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第 6 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 2 次元極座標のヤコビアン

2 次元極座標 \((r, \theta)\) から直交座標 \((x, y)\) への Jacobi（ヤコビ）行列

\[ J^i{}_j = \frac{\partial x^i}{\partial u^j} \]

の行列式（ヤコビアン）\(\det J\) を求めよ。

ヒント

\(J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\) の行列式を計算する。

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B-2. 3 次元球座標の逆計量

3 次元球座標 \((r, \theta, \varphi)\) における線素

\[ ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

から、計量テンソル \(g_{ij}\) の逆行列 \(g^{ij}\)（逆計量（inverse metric））を求めよ。

ヒント

\(g_{ij}\) が対角行列のとき、逆行列の各対角成分は元の対角成分の逆数になる。

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B-3. 一般 2 次元計量の行列表示

2 次元の座標 \((u, v)\) で計量が

\[ ds^2 = (1 + u^2)\,du^2 + 2uv\,du\,dv + (1 + v^2)\,dv^2 \]

と与えられている。計量テンソル \(g_{ij}\) を \(2 \times 2\) の行列形式で書き下せ。

ヒント

\(ds^2 = g_{ij}\,du^i\,du^j\) を展開したとき、交差項 \(du\,dv\) の係数は \(g_{12} + g_{21}\) であり、計量テンソルの対称性 \(g_{12} = g_{21}\) を用いる。

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B-4. 球面上の特定の点での計量テンソル

半径 \(a\) の球面の計量

\[ ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

において、点 \((\theta, \varphi) = (\pi/3,\, 0)\) での計量テンソル \(g_{ij}\) の成分を具体的に書き下せ。

ヒント

\(\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\) を代入する。

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B-5. 線形座標変換の Jacobi 行列

2 次元で座標 \((x^1, x^2) = (x, y)\) から \((u^1, u^2) = (u, v)\) への変換が

\[ x = u + v, \quad y = u - v \]

で与えられている。Jacobi 行列 \(\dfrac{\partial x^i}{\partial u^j}\) を求めよ。

ヒント

\(\partial x/\partial u\)、\(\partial x/\partial v\)、\(\partial y/\partial u\)、\(\partial y/\partial v\) をそれぞれ偏微分で計算する。

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B-6. 計量テンソルの変換則の適用

問題 B-5. 線形座標変換の Jacobi 行列 の座標変換に対して、直交座標の計量 \(g_{ij} = \delta_{ij}\) を計量テンソルの変換則

\[ g'_{kl} = \frac{\partial x^i}{\partial u^k}\frac{\partial x^j}{\partial u^l}\,g_{ij} \]

を用いて新しい座標 \((u, v)\) での計量テンソル \(g'_{kl}\) を求めよ。結果を行列形式で書け。

ヒント

問題 B-5. 線形座標変換の Jacobi 行列 で求めた Jacobi 行列 \(J\) を使い、\(g' = J^T g\, J = J^T J\) を計算する。

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B-7. 座標基底ベクトルの直交座標成分

2 次元極座標の座標基底ベクトル（coordinate basis vector）\(\boldsymbol{e}_\theta\) について、点 \(r = 3\), \(\theta = \pi/4\) における直交座標成分 \((\boldsymbol{e}_\theta)^x\), \((\boldsymbol{e}_\theta)^y\) を求めよ。

ヒント

\(\boldsymbol{e}_\theta = \dfrac{\partial x}{\partial \theta}\,\boldsymbol{e}_x + \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\,\boldsymbol{e}_y\) に \(r = 3\), \(\theta = \pi/4\) を代入する。

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B-8. 逆変換の Jacobi 行列の行列式

2 次元極座標で、逆変換の Jacobi 行列

\[ \tilde{J}^k{}_i = \frac{\partial u^k}{\partial x^i} \]

の行列式 \(\det \tilde{J}\) を求め、問題 B-1. 2 次元極座標のヤコビアン で求めた \(\det J\) との関係を確認せよ。

ヒント

\(J \tilde{J} = I\)（単位行列）であることから、行列式の関係 \(\det J \cdot \det \tilde{J} = 1\) を使う。

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Medium（標準）

M-1. 座標変換 \((u, v)\) と計量テンソル

参考図: 図 5.1: 直交座標と極座標

2 次元平面で、座標変換 \(u = x + y\), \(v = x - y\) を考える。

(a) Jacobi 行列 \(\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\) を求めよ。

(b) この座標系での計量テンソル \(g'_{ij}\) を、変換則を用いて求めよ。

(c) \(ds^2 = dx^2 + dy^2\) をこの座標で書き直し、(b) の結果と一致することを確認せよ。

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M-2. 球座標の線素の導出

3 次元球座標 \((r, \theta, \varphi)\) の線素

\[ ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

を、直交座標の線素 \(ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\) と座標変換

\[ x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta \]

から導出せよ。全微分 \(dx\), \(dy\), \(dz\) を \((dr, d\theta, d\varphi)\) で表し、代入・整理する過程を全て示すこと。

ヒント

\(dx\), \(dy\), \(dz\) それぞれの全微分を求めた後、\(dx^2 + dy^2 + dz^2\) を展開する。交差項（\(dr\,d\theta\) など）が全て消えることを三角関数の恒等式で確認する。

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M-3. 放物線座標の計量テンソル

2 次元の放物線座標（parabolic coordinates）\((\sigma, \tau)\) が

\[ x = \sigma\tau, \quad y = \frac{1}{2}(\tau^2 - \sigma^2) \]

で定義されている。

(a) Jacobi 行列 \(\dfrac{\partial x^i}{\partial u^j}\)（ここで \((u^1, u^2) = (\sigma, \tau)\)）を求めよ。

(b) 計量テンソルの変換則を用いて、放物線座標での計量テンソル \(g'_{kl}\) を導出し、線素 \(ds^2\) を \((\sigma, \tau)\) で表せ。

ヒント

\(g' = J^T J\) を計算する。結果が \((\sigma^2 + \tau^2)\) という共通因子でまとまることを確認する。

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M-4. 計量テンソルの対称性の証明

参考図: 図 5.2: 球面の計量

計量テンソルの変換則

\[ g'_{kl}(u) = \frac{\partial x^i}{\partial u^k}\frac{\partial x^j}{\partial u^l}\,g_{ij}(x) \]

から、計量テンソルが対称テンソルであること、すなわち \(g'_{kl} = g'_{lk}\) であることを、元の座標系での対称性 \(g_{ij} = g_{ji}\) を仮定して示せ。

ヒント

変換則の右辺で添字 \(i\) と \(j\) を入れ替え、\(g_{ij} = g_{ji}\) と和の添字の取り替えを用いる。

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M-5. 円筒面の計量と平坦性

半径 \(a\) の円筒面（cylinder）を座標 \((\varphi, z)\)（\(\varphi\) は周方向の角度、\(z\) は高さ）で記述するとき、線素は

\[ ds^2 = a^2\,d\varphi^2 + dz^2 \]

となる。

(a) この計量テンソル \(g_{ij}\) を行列形式で書け。

(b) 円筒面の計量テンソルの成分は座標に依存しない定数である。これと、球面の計量テンソルの成分が \(\theta\) に依存する事実を対比し、「計量テンソルの成分が定数 ⇒ 空間が平坦」という主張が正しいかどうか、本章の内容に基づいて論じよ。

ヒント

円筒面は紙を丸めて作れることを思い出す。紙を丸めても紙自体は伸び縮みしないので、内在的な幾何は平坦である。

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M-6. 球面上の「円」の幾何学

半径 \(a\) の球面上で、北極（\(\theta = 0\)）を中心とする「円」（\(\theta = \theta_0\) = 一定の線）を考える。

(a) この円の円周 \(C\) を、球面の計量 \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\) を用いて求めよ。

(b) 北極からこの円までの球面上の距離（\(\varphi\) 一定の経線に沿った距離）\(r\) を求めよ。

(c) \(C/(2\pi r)\) を計算し、\(\theta_0\) が大きくなると 1 より小さくなることを確認せよ。これは球面が正の曲率を持つことの現れである。

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M-7. 計量テンソルの変換則による \(g'_{33}\) の導出

計量テンソルの変換則

\[ g'_{kl}(u) = \frac{\partial x^i}{\partial u^k}\frac{\partial x^j}{\partial u^l}\,g_{ij}(x) \]

を用いて、3 次元球座標の計量 \(g'_{33} = r^2\sin^2\theta\) を、直交座標の計量 \(g_{ij} = \delta_{ij}\) から導け。（ヒント：\(\dfrac{\partial x}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\), \(\dfrac{\partial y}{\partial \varphi} = r\sin\theta\cos\varphi\), \(\dfrac{\partial z}{\partial \varphi} = 0\) を使う。）

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Advanced（発展）

A-1. 一般の曲線座標の計量テンソル

2 次元平面上に、次のような「一般の曲線座標」\((u^1, u^2)\) を考える：

\[ x = f(u^1, u^2), \quad y = g(u^1, u^2) \]

ここで \(f\), \(g\) は十分滑らかな関数で Jacobi 行列は正則とする。

(a) この座標での計量テンソル \(g_{ij}\) を \(f\), \(g\) の偏微分で表せ。

(b) 座標基底ベクトル \(\boldsymbol{e}_1\), \(\boldsymbol{e}_2\) が直交する（\(g_{12} = 0\)）ための条件を \(f\), \(g\) の偏微分を用いて書き下せ。

(c) 極座標と放物線座標（問題 M-3. 放物線座標の計量テンソル 参照）のそれぞれについて、(b) の直交条件が満たされているかどうかを確認せよ。

ヒント

\(g_{ij} = \dfrac{\partial x}{\partial u^i}\dfrac{\partial x}{\partial u^j} + \dfrac{\partial y}{\partial u^i}\dfrac{\partial y}{\partial u^j}\) を出発点とし、(b) では \(g_{12} = 0\) を条件式として書く。(c) は具体的に偏微分を代入する。

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A-2. Rindler 座標

参考図: 図 2.1: 光円錐と時空図（第 3〜4 章）

Minkowski（ミンコフスキー）時空の線素

\[ ds^2 = -c^2\,dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

に対し、Rindler（リンドラー）座標 \((\eta, \xi)\) を

\[ ct = \xi\sinh\eta, \quad x = \xi\cosh\eta \]

で導入する（\(y\), \(z\) 方向は変換しない）。

(a) Jacobi 行列の成分 \(\dfrac{\partial(ct)}{\partial \eta}\), \(\dfrac{\partial(ct)}{\partial \xi}\), \(\dfrac{\partial x}{\partial \eta}\), \(\dfrac{\partial x}{\partial \xi}\) を求めよ。

(b) 計量テンソルの変換則を用いて、Rindler 座標での線素が

\[ ds^2 = -\xi^2\,d\eta^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2 \]

となることを示せ。

(c) この計量テンソルの \(g_{\eta\eta} = -\xi^2\) 成分が \(\xi\) に依存している。これは第 5 章の等価原理（equivalence principle）の議論——「一様な重力場中では場所によって時間の進み方が異なる」——とどのように関係するか、物理的な意味を論じよ。

ヒント

\(\cosh^2\eta - \sinh^2\eta = 1\) を活用する。(c) では Rindler 座標が等加速度運動する観測者の座標系であることを思い出し、\(g_{00}\) 成分と固有時の関係を考える。

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