第 3 章 練習問題 解答¶
Basic（基礎）¶
B-1. Carnot 効率の計算¶
→ 問題に戻る
解答:
\(\eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\)
\(T_{\text{hot}} = 500\) K, \(T_{\text{cold}} = 300\) K の場合： \(\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = \boxed{0.4 = 40\%}\)
\(T_{\text{cold}} = 200\) K に下げた場合： \(\eta = 1 - \frac{200}{500} = 1 - 0.4 = \boxed{0.6 = 60\%}\)
ポイント: 低温源の温度を下げると効率が上がる。しかし \(T_{\text{cold}} = 0\) K（絶対零度）でない限り、効率は 100%にならない。これは技術的な制約ではなく、熱力学の第二法則による根本的な制約。
Medium（標準）¶
M-1. コインのエントロピー¶
→ 問題に戻る
解答:
\(N = 4\) の場合： \(\Omega = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
全状態数は \(2^4 = 16\) なので、「ちょうど半分が表」の確率は \(6/16 = 37.5\%\)。
\(N = 100\) の場合、Stirling の近似 \(\ln N! \approx N\ln N - N\) を使う：
\(\ln \binom{100}{50} = \ln 100! - 2\ln 50!\) \(\approx (100\ln 100 - 100) - 2(50\ln 50 - 50)\) \(= 100\ln 100 - 100\ln 50 - 100 + 100\) \(= 100(\ln 100 - \ln 50) = 100\ln 2 \approx 69.3\)
\(\boxed{\Omega \approx e^{69.3} \approx 10^{30}}\)
全状態数は \(2^{100} \approx 10^{30.1}\)。つまり「ちょうど半分が表」の状態が全体のかなりの割合を占める。\(N\) が大きくなると、「ほぼ半分が表」の状態が圧倒的に多くなる。
M-2. 温度の統計力学的定義¶
→ 問題に戻る
解答:
全エントロピー \(S_{\text{total}} = S_1(E_1) + S_2(E - E_1)\) を \(E_1\) で最大化する。
\(\frac{dS_{\text{total}}}{dE_1} = \frac{\partial S_1}{\partial E_1} + \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\frac{dE_2}{dE_1} = 0\)
\(E_2 = E - E_1\) なので \(dE_2/dE_1 = -1\)：
\(\frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\)
温度の定義 \(1/T = \partial S / \partial E\) を使うと：
\(\boxed{\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_2} \quad \Rightarrow \quad T_1 = T_2}\)
ポイント: 熱平衡の条件は「全エントロピーが最大」。これは「温度が等しい」と同値。温度の統計力学的定義が、日常的な「熱平衡では温度が等しい」という経験と一致する。
このページについてフィードバック
分からなかった箇所、誤りの指摘、改善提案などをお寄せください。