第 2 章 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 物理量のテンソル階数の判別¶
以下の物理量について、テンソルとしての階数（0 階・1 階・2 階）を答えよ。
(a) 温度 \(T\) (b) 力 \(\vec{F}\) (c) 質量 \(m\) (d) 速度 \(\vec{v}\) (e) 時空間隔 \(ds^2\) (f) 計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) (g) エネルギー運動量テンソル \(T_{\mu\nu}\) (h) 4 元速度 \(U^\mu\)
ヒント
添字の数に注目せよ。添字が 0 個ならスカラー（0 階）、1 個ならベクトル（1 階）、2 個なら 2 階テンソル。
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B-2. Newton の運動方程式の限界¶
Newton の運動方程式 \(\vec{F} = m\vec{a}\) は、空間の回転や平行移動に対しては不変である。しかし、これは一般相対論で求められる「すべての座標系で同じ形をとる」という要請を完全には満たしていない。不足している点を 2 つ挙げて説明せよ。
ヒント
(1) 空間だけの 3 次元ベクトルでは「時空の回転」（慣性系の間の変換）に対応できない。(2) 重力を力として扱う限り、特殊相対論との矛盾（重力の瞬時伝播）が解消されない。
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B-3. Newton と Einstein の二本柱の対応¶
Einstein の重力モデルは、粒子の運動を決める式と時空の形を決める式の二本柱で構成される。Newton の重力モデルと対応させながら、それぞれの式の名前と役割を答えよ。
| Newton | Einstein | |
|---|---|---|
| 粒子の運動 | ？ | ？ |
| 場の方程式 | ？ | ？ |
ヒント
Newton 側: \(\vec{F} = m\vec{a}\) と Poisson 方程式 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)。Einstein 側: 測地線方程式と Einstein 方程式 \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\)。
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Medium（標準）¶
M-1. 測地線方程式の理解¶
測地線方程式
について以下に答えよ。
(a) この式の右辺がゼロであることは、物理的に何を意味するか。Newton の \(\vec{F} = m\vec{a}\) における右辺との対応を述べよ。
(b) 接続係数 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) は何から決まるか。
(c) 荷電粒子が電磁場中を運動する場合、この式の右辺はどうなるか。その場合、粒子の軌跡は測地線と呼べるか。
ヒント
(a) 右辺がゼロ＝力がない＝測地線は「重力以外の力が働いていない物体の世界線」。(b) 計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) の 1 階微分から決まる。(c) 右辺に電磁気力の 4 元版 \(qF^{\mu}{}_{\nu}(dx^\nu/d\tau)\) が入り、測地線ではなくなる。
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M-2. Einstein 方程式の係数¶
Einstein 方程式 \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\) について以下に答えよ。
(a) 左辺の \(G_{\mu\nu}\)（Einstein テンソル）と右辺の \(G\)（万有引力定数）の違いを説明せよ。
(b) 係数 \(8\pi G/c^4\) はどのように決まるか。
(c) 弱い重力・遅い速度の極限で、この方程式は Newton のどの式に帰着するか。
ヒント
(a) \(G_{\mu\nu}\) は添字付きの 2 階テンソル、\(G\) は添字なしのスカラー定数。同じ記号を使うのは歴史的な偶然。(b) Newton の Poisson 方程式と整合するように定まる。(c) Poisson 方程式 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)。
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Advanced（発展）¶
A-1. 計量テンソルから派生する量¶
接続係数 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) と Einstein テンソル \(G_{\mu\nu}\) は、どちらも計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) から作られる量である。それぞれ計量の何階微分から作られるか、そしてそれぞれが物理的に「何を決める量」か答えよ。
ヒント
\(\Gamma\) は計量の 1 階微分から作られ、測地線方程式を通じて粒子の軌道を決める。\(G_{\mu\nu}\) は計量の 2 階微分（Riemann テンソル、Ricci テンソルを経由）から作られ、時空の曲がりそのものを表す。
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