第 1 章　古典物理の 3 つの危機 — 黒体輻射・光電効果・原子の安定性¶

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前回までのあらすじ:

プロローグでは、物理学のモデルはすべて「今のところ実験と矛盾していない最良の仮説」にすぎないこと、そして量子力学が原子・分子から宇宙全体まで、驚異的な精度で現象を予言し続けているモデルであることを見渡した。これからこの長い旅を、一歩ずつ数式で追いかけていく。

この章のゴール

19 世紀末に古典物理学（Newton 力学 + Maxwell 電磁気学）が直面した 3 つの深刻な危機——黒体輻射の紫外破綻、光電効果の謎、原子の安定性問題——を明確にし、それぞれに対する Planck の量子仮説（1900）、Einstein の光量子仮説（1905）、Bohr の原子モデル（1913）を理解する
特に「Einstein は量子論の創始者の一人である」ことを明示する

1.1　19 世紀末の物理学——「ほぼ完成した」という幻想¶

🟡 リナ: さて、いよいよ量子力学の旅が始まるわ。でもいきなり新しい理論に飛び込む前に、なぜ新しい理論が必要になったのか——古い理論の「限界」を確認するところから始めましょう。

🔵 カイ: 古い理論って、Newton (ニュートン) 力学と Maxwell (マクスウェル) の電磁気学ですか？

🟡 リナ: そう。19 世紀末の物理学者たちは、この 2 本柱で自然界のあらゆる現象が説明できると考えていた。Newton 力学は惑星の運動から振り子の振動まで、Maxwell の電磁気学は電気・磁気・光を統一的に説明した。「物理学はほぼ完成し、残っているのは小数点以下の精度を上げる仕事だけだ」と本気で思っていた人もいたのよ。

⚪ メイ: でも実際には、そうはいかなかった。

🟡 リナ: その通り。19 世紀末から 20 世紀初頭にかけて、古典物理学では絶対に説明できない現象が次々と発見された。今日は、その中でも特に深刻だった 3 つの危機を見ていくわ。

🔵 カイ: 3 つの危機……。どれくらい深刻だったんですか？

🟡 リナ: 「小数点以下の誤差」なんてレベルじゃない。理論が無限大を予言したり、原子が一瞬で崩壊すると予言したり——現実と根本的に矛盾するレベルよ。この矛盾を解決するために、物理学者たちは全く新しい仮説を立てる必要に迫られた。それが量子論の始まりなの。

✅ 理解度チェック: 19 世紀末の物理学の「2 本柱」とは何でしょうか？また、それらが「ほぼ完成した」と考えられていたにもかかわらず新理論が必要になったのはなぜでしょうか？

答え

2 本柱は Newton 力学と Maxwell の電磁気学である。これらでは説明できない現象（理論が無限大を予言する、原子が一瞬で崩壊すると予言するなど）が発見され、現実と根本的に矛盾したため、全く新しい仮説（量子論）が必要になった。

1.2　危機 ①：黒体輻射と紫外破綻¶

光る箱の謎——黒体輻射とは何か¶

🟡 リナ: 最初の危機は「黒体輻射 (black-body radiation)」の問題よ。これは 1900 年に解決されるんだけど、まずは問題の設定から見ていきましょう。

🔵 カイ: 黒体輻射って何ですか？

🟡 リナ: 密閉された箱——たとえば中が空洞の金属の箱——を高温に熱すると、箱の内部から光（電磁波）が放射されるの。箱に小さな穴を開けると、そこから光が漏れ出てくる。この光のエネルギーが振動数（光の色に対応する量）ごとにどう分布しているかを測定する実験よ。図 1.1「黒体輻射の実験装置」に実験装置の概念図を描いたわ。

図 1.1: 黒体輻射の実験装置。高温に加熱された金属の箱（黒体空洞）の内部は電磁波で満たされる。小さな穴から漏れ出た光をプリズムで分解し、振動数ごとのエネルギー分布を測定する。

⚪ メイ: 温度を決めれば、どの色の光がどれだけ強く出てくるかが決まるってことね。

🟡 リナ: そう。実験データは 19 世紀末には精密に測られていた。問題は、古典物理学で計算すると、実験結果と全然合わないということだったの。

🔵 カイ: どう合わないんですか？

🟡 リナ: 古典物理学（Newton 力学 + Maxwell 電磁気学 + 統計力学）に基づいて計算すると、振動数が高くなるにつれて放射エネルギーが際限なく増大してしまう。紫外線領域で無限大に発散するの。これを紫外破綻 (ultraviolet catastrophe) と呼ぶわ。

🔵 カイ: 無限大!? それはさすがにおかしいですよね。

🟡 リナ: 実験では、ある振動数をピークにしてエネルギーはちゃんと減少していく。理論は無限大を予言し、実験は有限の値を示す。これは「小数点以下の誤差」なんてものじゃない——古典物理学の枠組みに根本的な欠陥があることを示していたの。

Planck の量子仮説——エネルギーは飛び飛び¶

🟡 リナ: この問題に取り組んだのが、ドイツの物理学者 Max Planck (マックス・プランク) よ。1900 年のことだった。

🔵 カイ: どうやって解決したんですか？

🟡 リナ: Planck はまず、実験データに合う数式を見つけ出した。そしてその数式を理論的に導出しようとしたとき、ある途方もない仮定を置かなければならないことに気づいたの。

⚪ メイ: 途方もない仮定？

🟡 リナ: こういう仮定よ。

振動数 $\nu$ で振動するモード（振動子）——つまり特定の振動数で振動する「振動パターン」の一つ一つ——のエネルギーは、連続的な値を取ることができない。$h\nu$ の整数倍の値しか取れない。

つまり、振動数 $\nu$ のモードが持てるエネルギーは $0,\; h\nu,\; 2h\nu,\; 3h\nu,\; \ldots$ という飛び飛びの値しか許されない。中間の値は存在しない。

🔵 カイ: えっ、エネルギーが連続じゃない!?

🟡 リナ: ここで登場する式が、量子力学の最初の式よ。

\[ E = nh\nu \quad (n = 0, 1, 2, 3, \ldots) \tag{1.1} \]

$E$：エネルギー
$n$：非負の整数（$0, 1, 2, \ldots$）
$h$：Planck 定数 (Planck constant)。自然界の基本定数のひとつ
$\nu$（ギリシャ文字の「ニュー」）：光の振動数。光の色に対応する量で、振動数が高いほど紫や青に近く、低いほど赤に近い

\[ h \simeq 6.626 \times 10^{-34} \;\mathrm{J \cdot s} \tag{1.2} \]

⚪ メイ: $h$ の値がものすごく小さいわね。$10^{-34}$ って……。

🟡 リナ: そう。この値が非常に小さいから、日常のスケールではエネルギーが「飛び飛び」であることに気づかない。階段を想像してみて。遠くから見れば滑らかな坂道に見えるけど、近づいてみれば一段一段の段差がある。Planck の発見は、エネルギーという「坂道」が実は「階段」だった、ということなの。図 1.2「エネルギーの古典的描像（連続的な坂道）と量子論の描像（飛び飛びの階段）の比較」を見てちょうだい。

図 1.2: エネルギーの古典的描像（連続的な坂道）と量子論の描像（飛び飛びの階段）の比較。$h$ が極めて小さいため、日常スケールでは階段の段差が見えず滑らかな坂道に見える。

🔵 カイ: なるほど……。でも、なぜ「飛び飛び」にすると紫外破綻が解消されるんですか？

なぜ飛び飛びだと紫外破綻が解消されるのか¶

🟡 リナ: いい質問ね。鍵は 温度 $T$ の系が持つ「熱揺らぎのエネルギー」 よ。ここで少し統計力学の考え方を借りるわ。統計力学は、たくさんの粒子が熱的に運動している系の振る舞いを確率的に扱う分野。高校では詳しくやらないけれど、今必要なのは一つの結論だけ：

温度 $T$ の環境にある一つの振動モード（一つの振動数の光）が持つ典型的なエネルギーは $k_B T$ 程度。

ここで $k_B \simeq 1.38 \times 10^{-23}\;\mathrm{J/K}$ は Boltzmann (ボルツマン) 定数と呼ばれる自然定数で、「温度」と「エネルギー」を橋渡しする役割を持つの。温度が高いほど $k_B T$ が大きくなり、各モードに配られるエネルギーも大きくなる——直感的には「熱いほど激しく振動する」ということね。

🔵 カイ: $k_B T$ って、具体的にはどれくらいの大きさなんですか？

🟡 リナ: 室温（$T \simeq 300\;\mathrm{K}$）だと $k_B T \simeq 4.1 \times 10^{-21}\;\mathrm{J} \simeq 0.026\;\mathrm{eV}$ よ。$\mathrm{eV}$（電子ボルト）は原子物理でよく使うエネルギーの単位で、$1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}$——電子 1 個が 1 V の電位差で加速されたときに得るエネルギーに相当するの。これが「一つの振動モードに熱的に配られるエネルギーの目安」ね。なぜちょうど $k_B T$ なのかの厳密な証明は統計力学の教科書に譲るけれど、直感的には「温度とは分子の平均運動エネルギーの尺度」だから、各モードに配られるエネルギーも温度に比例する——それが $k_B T$ ということよ。

🔵 カイ: $k_B T$ が熱揺らぎのエネルギーの目安……。ということは、振動数に関係なく、どのモードにも同じ $k_B T$ が配られるんですか？

🟡 リナ: まさにそれが古典物理学の主張よ。どのモードにも等しく $k_B T$ 程度のエネルギーが配分される——これを等分配則 (equipartition theorem) と呼ぶわ。正確には「1 自由度あたり $\frac{1}{2}k_BT$」で、光の各モードは 2 自由度（電場と磁場の振動）を持つから合計 $k_BT$ になるの。今は「各モードに $k_BT$」とだけ覚えておけば十分よ。図 1.3「等分配則と量子論の比較」に、古典の等分配則と量子論による抑制の違いを視覚的に比較したわ。左が古典（全モードに $k_BT$ を均等配分）、右が量子（高振動数モードが「凍結」される）の様子よ。

図 1.3: 等分配則と量子論の比較。左：古典的な等分配則では全モードに一律 $k_BT$ のエネルギーが配分され、モード数が無限にあるため総エネルギーが発散する。右：Planck の量子仮説では、$h\nu \gg k_BT$ の高振動数モードはエネルギーを受け取れず「凍結」されるため、総エネルギーは有限に収まる。

🔵 カイ: モードの数って、どれくらいあるんですか？

🟡 リナ: その答えを出すために、まず「モード」を具体的にイメージしましょう。ギターの弦を思い浮かべて。弦の両端は固定されているから、弦の長さにちょうど収まる振動パターンしか存在できない——半波長が 1 個分、2 個分、3 個分……と飛び飛びね。これが 1 次元の「モード」よ。

🔵 カイ: なるほど、弦の長さに収まる波だけが許されるんですね。

🟡 リナ: 箱の中の光も同じで、壁と壁の間に収まる振動パターンだけが許される。ただし箱は 3 次元だから、縦・横・奥行きの 3 方向それぞれに振動パターンの組み合わせがある。1 次元なら「数直線上の整数点」を数えるだけだけど、3 次元なら「空間の格子点」を数えることになる。各方向の振動パターンは整数（1, 2, 3, ...）で番号づけられるから、3 方向の組み合わせ $(n_x, n_y, n_z)$ が一つのモードに対応するの。

🔵 カイ: 3 つの整数の組み合わせ一つ一つが、一つの振動パターンに対応するんですね。

🟡 リナ: そう。1 次元の弦では、振動パターンの番号 $n$ がそのまま振動数に比例していたわね。3 次元の箱では、各方向の振動パターン番号 $n_x, n_y, n_z$ がそれぞれ独立に振動数に寄与するの。1 次元では「弦の長さに半波長が $n$ 個入る」条件から振動数が $n$ に比例したわよね。3 次元の箱では各方向に独立にこの条件が課されるから、$x$ 方向の振動数成分 $\nu_x \propto n_x$、$y$ 方向は $\nu_y \propto n_y$、$z$ 方向は $\nu_z \propto n_z$ となる。

🔵 カイ: 各方向の振動数は分かりました。でも全体の振動数はどうやって決まるんですか？単純に足すんですか？

🟡 リナ: いい質問ね。さっき「$x$ 方向の振動数成分 $\nu_x \propto n_x$」のように書いたわよね。この $\nu_x, \nu_y, \nu_z$ を使うと、全体の振動数は $\nu = \sqrt{\nu_x^2 + \nu_y^2 + \nu_z^2}$ で決まるの——ちょうど 3 次元空間で原点から点 $(\nu_x, \nu_y, \nu_z)$ までの距離を三平方の定理で求めるのと同じ構造ね。なぜ二乗和の平方根になるかは波動方程式から導かれる結果で、詳しくは後の章で扱うわ。直感的には、1 次元の弦で「弦の長さに半波長が $n$ 個入る」条件から振動数が決まったわよね。3 次元の箱では $x, y, z$ の 3 方向それぞれに独立にこの条件が課されるの。波動方程式を解くと、全体の振動数は各方向の振動数成分の「三平方の定理」で合成される——ちょうど直方体の対角線の長さを 3 辺から求めるのと同じ構造よ。今は「そういう結果になる」と受け入れてもらえれば十分。だから「振動数 $\nu$ 以下のモードの数」は、各方向の振動パターン番号 $(n_x, n_y, n_z)$ を座標と見なして、原点を中心とする半径 $\propto \nu$ の球の中にある格子点の数に対応するの。

⚪ メイ: つまり、振動数の問題が「3次元空間で球の中の格子点を数える」という幾何の問題に置き換わるのね。

🟡 リナ: その通り。格子点は各方向に 1 刻みで並んでいるから、その数は球の体積にほぼ等しい（1 辺 1 の小さな立方体 1 個に格子点が 1 個ずつ対応するイメージね。厳密には球の表面付近で多少のずれがあるけれど、半径が大きいほどこの誤差は無視できるの）。ただし、振動パターンの番号 $n_x, n_y, n_z$ は正の整数（$1, 2, 3, \ldots$）だけを取るから、数えるのは球全体ではなく「第一象限」——つまり $n_x > 0,\; n_y > 0,\; n_z > 0$ の部分だけ。これは球の体積の $1/8$ に相当するわ。さらに、光には互いに直交する 2 つの偏光方向があるから、同じ振動パターンでも偏光が 2 通りあってモード数は 2 倍になるわ。球の体積は半径の 3 乗に比例するから、$1/8$ と偏光の因子 2 を含めた比例定数をまとめて $C$ と書くと、「振動数 $\nu$ 以下のモードの総数」$N(\nu)$ は近似的に $N(\nu) = C\nu^3$ と $\nu^3$ に比例して増えていく。

🔵 カイ: $N(\nu) \propto \nu^3$ ……振動数が 2 倍になると、モードの数は $2^3 = 8$ 倍ってことですか。すごい勢いで増えますね。でも、紫外破綻って「ある振動数付近にどれだけモードが集中しているか」が問題なんですよね？総数じゃなくて、振動数ごとの密度みたいなものが必要な気がするんですけど……。

🟡 リナ: まさにその通り。ここから「振動数 $\nu$ 付近の単位振動数あたりのモード数」——これをモード密度と呼ぶわ——を求めるの。モード密度のイメージは「振動数の目盛りを少しだけ進めたとき、新しく現れるモードの数」よ。たとえば FM ラジオの周波数帯で「80 MHz から 81 MHz の間に何局あるか」を数えるようなもの——それを連続的に考えたのがモード密度ね。数学的には、$\nu$ を $\Delta\nu$ だけ増やしたときに増えるモード数 $\Delta N$ を $\Delta\nu$ で割ったもの $\Delta N / \Delta\nu$ よ。$\Delta\nu$ を限りなく小さくすれば、これは高校数学で習う微分 $dN/d\nu$ そのものね。さっきの議論から $N(\nu) = C\nu^3$ と書けるわ（$C$ は箱の体積・偏光の因子 2・正の整数だけを数えるための $1/8$ などをまとめた定数で、今は具体的な値は必要ないの）。$\nu$ で微分すると $dN/d\nu = 3C\nu^2$——つまりモード密度は $\nu^2$ に比例するわ。

⚪ メイ: $\nu^3$ を微分すると $3\nu^2$——モード密度が $\nu^2$ で増えていくのね。

🟡 リナ: 等分配則によれば各モードに $k_BT$ ずつエネルギーが配られるから、振動数 $\nu$ から $\nu + d\nu$ の微小区間にあるモードの数は「モード密度 $\times$ 微小幅 $d\nu$」、つまり $3C\nu^2\,d\nu$ に比例する。それぞれに $k_BT$ のエネルギーが入るから、この区間のエネルギーは $\nu^2 \cdot k_BT\,d\nu$ に比例する。全振動数にわたってこれを足し上げる——つまり $\int_0^\infty \nu^2 \cdot k_BT\,d\nu$ に比例する積分が箱全体の放射エネルギーになるの。

🔵 カイ: 全部足し上げる積分……。これって収束するんですか？

🟡 リナ: ここで $\int_0^R \nu^2\,d\nu$ は高校で習った $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$ の公式で $n = 2$ を代入すれば $\nu^3/3$ の $0$ から $R$ までの定積分だから $R^3/3$ ね。上限 $R$ を大きくすればするほど値が際限なく増え続けて、$R \to \infty$ で無限大に発散してしまう——これが紫外破綻の数学的な正体よ。

⚪ メイ: つまり、モードの数が振動数とともに際限なく増えるのに、各モードに同じ $k_BT$ が配られるから総エネルギーが発散するのね。

🟡 リナ: その通り。モードごとに $k_B T$ ずつ配れば、総エネルギーは発散する——これが紫外破綻よ。図 1.4「モードの数え方と紫外破綻のメカニズム」にこのメカニズムを図示したわ。左側は格子点によるモードの数え方、右側は古典と量子のエネルギー密度の違いを示しているの。

図 1.4: モードの数え方と紫外破綻のメカニズム。左：箱の中の振動モードは整数の組 $(n_x, n_y, n_z)$ で番号づけられ、振動数 $\nu$ 以下のモード数は半径 $\propto \nu$ の球内の格子点数に対応する。右：古典理論（灰色破線）ではモード密度 $\propto \nu^2$ に一律 $k_BT$ が配られ高振動数で発散するが、Planck の量子論（赤実線）では高振動数側が指数的に抑制される。

🔵 カイ: さっきの話だと、モードの数は $\nu^3$ に比例して無限に増えるんでしたよね。全部に $k_B T$ ずつ配ったら確かに発散する……。Planck の仮説を入れるとどう変わるんですか？

🟡 リナ: Planck の量子仮説を入れると、この「どのモードにも $k_B T$」が変わる。振動数 $\nu$ のモードには、エネルギーの単位 $h\nu$ を少なくとも 1 個埋める必要があるけれど、それに必要な「お金」（熱エネルギー）は $k_B T$ しかない。もし $h\nu \gg k_B T$ なら、1 個分のチケット $h\nu$ ですら買えない。

統計力学には Boltzmann (ボルツマン) 分布という重要な法則があるの。これは「温度 $T$ の環境で、エネルギー $E$ の状態がどれくらいの確率で実現するか」を教えてくれる：

\[\text{確率} \propto e^{-E / k_B T}\]

$\propto$（「プロポーショナル・トゥー」と読む）は「比例する」という意味の記号よ。「確率 $\propto$ 何か」は「確率は何かに比例する」という意味ね。なぜ指数関数なのかを直感的に言うと、「独立な障壁を何段も越える必要があるとき、各段を越える確率が掛け算になるから」——高校の確率で「独立な事象が同時に起こる確率は各確率の積」と習ったわよね。たとえば 1 段越える確率が $p$ なら、$n$ 段越える確率は $p^n$。これは $n$ が増えると急激に減る。$p^n = e^{n \ln p}$ と書けるから、段数 $n$ に対して指数関数的に減少する——これが Boltzmann 分布の $e^{-E/k_BT}$ の本質よ。エネルギー $E$ が「越えるべき段数」、$k_BT$ が「1 段の高さ」に対応しているの（連続的なエネルギーの場合も、微小な段を無限に細かくした極限と思えば同じ論理が成り立つわ）。

🔵 カイ: あ、独立事象の積が指数関数になるのか。確率の掛け算がこんなところに出てくるんですね。

🟡 リナ: イメージとしては、階段の上の段に行くほど「たどり着ける人」が急激に減る、という感じ。熱エネルギー $k_B T$ が「一段分の体力」に相当して、それに比べて必要なエネルギー $E$ が大きいほど、到達できる確率が激減するの。数学的には「エネルギーが高い状態ほど実現しにくい」——しかも単に「しにくい」のではなく、指数関数的に急激に確率が下がる。たとえば $E = 3k_BT$ なら確率は $e^{-3} \approx 0.05$（約 5%）、$E = 10k_BT$ なら $e^{-10} \approx 0.00005$（ほぼゼロ）。だから $h\nu \gg k_B T$ のモードは、事実上まったく励起されないの。

🔵 カイ: えっと……$h\nu$ が $k_B T$ よりずっと大きいと、$e^{-h\nu/k_B T}$ の指数の肩が大きな負の数になるから、ほぼゼロ。つまり高振動数のモードは「存在はするけど、事実上エネルギーを持てない」ってことですか？でも逆に、低振動数のモードはどうなるんですか？ $h\nu$ が $k_BT$ よりずっと小さかったら、普通に励起される？

🟡 リナ: その通り。低振動数側は古典と同じように $k_BT$ のエネルギーを持てるわ。図 1.5「Boltzmann 分布と量子的エネルギー抑制」を見てちょうだい。左のグラフは Boltzmann 分布そのもので、エネルギーが $k_BT$ を超えると確率が急激に下がることが分かるわ。右のグラフは、各振動モードの平均エネルギーが振動数とともにどう変わるかを示しているの。

図 1.5: Boltzmann 分布と量子的エネルギー抑制。左：Boltzmann 分布 $e^{-E/k_BT}$ — エネルギーが高い状態ほど実現確率が指数的に減少する。右：振動モードの平均エネルギーの比較 — 古典では全モードに $k_BT$ が配られるが（灰色破線）、量子論では $h\nu \gg k_BT$ の領域で平均エネルギーが指数的に抑制される（赤実線）。

🟡 リナ: Boltzmann 分布を使って「エネルギーが $0, h\nu, 2h\nu, \ldots$ しか取れないモードの平均エネルギー」を計算してみましょう。考え方だけ示すわね。各エネルギー $nh\nu$ が実現する確率は $e^{-nh\nu/k_BT}$ に比例するから、平均エネルギーは「（各エネルギー）×（その確率）の総和」を「確率の総和」で割ったもの——これを $\langle E \rangle$ と書くわ（山括弧 $\langle\;\rangle$ は「平均」を表す記号よ）。つまり

\[\langle E \rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} nh\nu \cdot e^{-nh\nu/k_BT}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nh\nu/k_BT}}\]

よ。ここで $\sum_{n=0}^{\infty}$（シグマ記号）は「$n = 0, 1, 2, \ldots$ と順に代入して全部足し合わせる」という意味——つまり分母は $e^{0} + e^{-h\nu/k_BT} + e^{-2h\nu/k_BT} + \cdots$ ということね。

🔵 カイ: 無限に足すんですか？発散しないんですか？

🟡 リナ: いい質問ね。$x = e^{-h\nu/k_BT}$ と置くと $0 < x < 1$ だから、分母は等比級数 $1 + x + x^2 + \cdots$ になる。この和は高校でも出てくるわね——$S = 1 + x + x^2 + \cdots$ の両辺に $x$ を掛けると $xS = x + x^2 + x^3 + \cdots$。引き算すると $S - xS = 1$ だから $S = 1/(1-x)$。$|x| < 1$ で各項がどんどん小さくなるから和が有限に収束するの。

⚪ メイ: 分母は $1/(1-x)$ ね。分子はどうなるの？

🟡 リナ: 分子は $\sum_{n=0}^\infty nh\nu \cdot x^n = 0 \cdot x^0 + 1 \cdot h\nu \cdot x + 2h\nu \cdot x^2 + \cdots$ だけど、$n = 0$ の項はゼロだから消えて、$h\nu \cdot x(1 + 2x + 3x^2 + \cdots)$ ね。ここで一つテクニックを使うわ。$1 + 2x + 3x^2 + \cdots$ という級数の和を求めたい。実は、さっきの等比級数の和 $S = 1 + x + x^2 + \cdots = 1/(1-x)$ の両辺を $x$ で微分するだけで求まるの。左辺を項ごとに微分すると $dS/dx = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \cdots = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots$——まさに欲しかった級数ね（定数項 $1$ を微分するとゼロになるから消えるの）。右辺を微分すると $d[1/(1-x)]/dx = 1/(1-x)^2$。だから $1 + 2x + 3x^2 + \cdots = 1/(1-x)^2$ が得られるわ。「無限に続く和を項ごとに微分していいの？」と思うかもしれないけれど、$|x| < 1$ で各項がどんどん小さくなって和がちゃんと有限値に収束している場合は、この操作が許されるの（厳密な証明は大学数学に譲るわ）。

🔵 カイ: 試しに具体的な数で確認できますか？

🟡 リナ: $x = 1/2$ で確認してみると、右辺は $1/(1 - 1/2)^2 = 4$。左辺は $1 + 2 \cdot (1/2) + 3 \cdot (1/4) + 4 \cdot (1/8) + \cdots = 1 + 1 + 0.75 + 0.5 + \cdots$ で、足していくと確かに 4 に近づいていくわ。これを使うと分子は $h\nu \cdot x/(1-x)^2$ と書ける。分母は $1/(1-x)$ だったから、平均エネルギーは

\[\langle E \rangle = \frac{h\nu \cdot x/(1-x)^2}{1/(1-x)} = \frac{h\nu \cdot x}{1-x}\]

よ。ここに $x = e^{-h\nu/k_BT}$ を戻すと $1 - x = 1 - e^{-h\nu/k_BT}$ だから

\[\langle E \rangle = \frac{h\nu \cdot e^{-h\nu/k_BT}}{1 - e^{-h\nu/k_BT}} = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1}\]

となるの（最後の等号は分子・分母に $e^{h\nu/k_BT}$ を掛けたわ）。

⚪ メイ: きれいな式にまとまったわね。これが Planck の平均エネルギーの公式ということね。

🟡 リナ: そう。この式の振る舞いを 2 つの極限で確認しましょう。

$h\nu \ll k_B T$（低振動数）のとき：$\xi = h\nu/k_B T \ll 1$ と置くと、$e^\xi \approx 1 + \xi$ と近似できるから、$e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq h\nu / k_B T$ となり、$\langle E \rangle \simeq k_B T$（古典の結果と一致）
$h\nu \gg k_B T$（高振動数）のとき：$e^{h\nu/k_BT} \gg 1$ だから分母の $-1$ は無視できて $\langle E \rangle \simeq h\nu\, e^{-h\nu / k_B T}$ で 指数的に抑制される

⚪ メイ: なるほど。高振動数側はさっきの $e^{-h\nu / k_B T}$ で指数的に抑制されるから、無限大に発散しないのね。

🔵 カイ: あ、そうか！低振動数側は古典と同じ $k_B T$ だけど、高振動数側だけが「チケットが高すぎて買えない」状態になるから、全体として有限に収まるんですね。……でもちょっと待ってください。じゃあ温度を上げたらどうなるんですか？ $k_BT$ が大きくなったら、もっと高い振動数のモードまで励起されるようになって、スペクトルのピークが高振動数側にずれたりしません？

🟡 リナ: その通り。温度を上げると $k_BT$ が大きくなるから、「チケットが買える」振動数の上限が高くなって、ピークは高振動数側にずれるわ。でもどんなに温度を上げても、$h\nu \gg k_BT$ の領域は必ず存在して、そこでは指数的に抑制される——だから総エネルギーは常に有限に収まるの。つまりエネルギーが「飛び飛び」であることで、高振動数側のモードが熱揺らぎでは励起されにくくなる。これで紫外破綻は解消。古典物理学の「等分配則」が破れて、Planck の公式が実験と完全に一致するの。図 1.6「黒体輻射のエネルギー密度の比較」を見てちょうだい。古典の予言（Rayleigh-Jeans）が高振動数で発散するのに対し、Planck の公式はピークを越えると指数的に減衰しているでしょう？図には複数の温度のスペクトルも描いてあるけれど、温度が高いほどピークは高振動数側に移動しているのが分かるわね。これは Wien (ヴィーン) の変位則と呼ばれる経験則で、Planck の公式から自然に導かれるの。

図 1.6: 黒体輻射のエネルギー密度の比較。古典物理学の Rayleigh-Jeans の予言（灰色点線）は高振動数で発散するが、Planck の公式（実線）はピークを越えると指数的に減衰する。温度が高いほどピークは高振動数側に移動する（Wien の変位則）。

🔵 カイ: すごい！たった一つの仮定で解決するんですね。でも……「飛び飛びだ」って仮定しただけで、なぜ飛び飛びなのかは分からないままですよね？

🟡 リナ: いいところを突くわね。実は Planck 自身もそう感じていたの。彼はこの仮定を「数学的なトリック」だと思っていた。計算を合わせるための便宜的な手段であって、エネルギーが本当に飛び飛びだなんて信じていなかったの。彼は後に「絶望的な仮定だった」と述べているわ。

⚪ メイ: つまり Planck は、自分が物理学の革命を起こしたことに気づいていなかったのね。

🟡 リナ: そう。Planck の仮説を本気で受け止め、さらに押し進めたのが——次に登場する Einstein (アインシュタイン) よ。

✅ 理解度チェック: Planck 定数 $h$ の値が非常に小さいことは、日常生活でエネルギーの「飛び飛び」が観測されないこととどう関係しているでしょうか？

答え

$h \simeq 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}$ と極めて小さいため、日常スケールではエネルギーの最小単位 $h\nu$ が無視できるほど微小になる。そのため階段状のエネルギーが滑らかな連続量に見え、量子効果に気づかない。

✅ 理解度チェック: 紫外破綻とは何でしょうか？また、Planck の量子仮説がそれをどう解決するか、一言ずつ述べてください。

答え

紫外破綻: 古典物理学で黒体輻射を計算すると、高振動数側で放射エネルギーが無限大に発散してしまう問題。解決: エネルギーが $h\nu$ の整数倍しか取れないと仮定すると、振動数が高い光は一量子あたりのエネルギーが大きすぎて放射されにくくなり、高振動数側が自然に抑制される。

📝 練習問題:

Planck 定数の小ささを実感する計算 → 問題 B-1. Planck 定数の小ささを実感する

1.3　危機 ②：光電効果の謎¶

光を当てると電子が飛び出す——でも不思議なことが¶

🟡 リナ: 2 つ目の危機は「光電効果 (photoelectric effect)」よ。これは 1887 年に Hertz (ヘルツ) によって発見された現象で、金属の表面に光を当てると、金属の中から電子が飛び出してくるの。

🔵 カイ: 光で電子を叩き出す、みたいな感じですか？

🟡 リナ: そう。現象自体は知られていたけれど、詳しく調べると古典物理学ではどうしても説明できない奇妙な性質が見つかったの。4 つの不思議を挙げるわね（表 1.1「光電効果における4つの不思議と古典予想の矛盾」）。

表 1.1: 光電効果における4つの不思議と古典予想の矛盾

不思議	実験事実	古典的な波の予想
① 閾値の存在	ある振動数より低い光では、どんなに強くても電子は出ない	強い光なら出るはず
② 強度に依存しない	光を強くしても、飛び出す電子 1 個のエネルギーは変わらない	強い光ほどエネルギー大のはず
③ 振動数に比例	光の振動数が高いほど、電子のエネルギーが大きい	強度で決まるはず
④ 瞬時の反応	光を当てた瞬間に電子が飛び出す	エネルギー蓄積に時間がかかるはず

🔵 カイ: 全部、古典的な予想と逆じゃないですか！

🟡 リナ: そうなの。古典的な波の理論では、光のエネルギーは振幅（明るさ）で決まる。波が電子に少しずつエネルギーを渡して、十分溜まったら飛び出す——だから明るい光を当てれば早く溜まって電子は飛び出すはず。ところが実験結果は、明るさではなく色（振動数）が決め手だと言っている。

⚪ メイ: 明るさを上げても電子のエネルギーは変わらず、色を変えると変わる……。波の理論では全く説明がつかないわね。

Einstein の光量子仮説——光は粒子でもある¶

🟡 リナ: ここで登場するのが Albert Einstein (アルベルト・アインシュタイン) よ。1905 年——特殊相対論を発表したのと同じ年に、彼はもう一つの革命的な論文を書いたの。

🔵 カイ: 同じ年に 2 つも!?

🟡 リナ: Einstein は Planck の「エネルギーのパケット」というアイデアをさらに押し進めた。Planck は「光のエネルギーが飛び飛びの値を取る」と言ったけれど、Einstein はもっと大胆なことを主張したの。

光そのものが、エネルギー $h\nu$ を持つ粒子の集まりである。

つまり、光は連続的な波ではなく、エネルギーの「パケット（小包）」が飛んでいるようなもの。この光の粒子を、今日では光子 (photon) と呼ぶわ。

🔵 カイ: 光が粒!? でも光は波じゃなかったんですか？干渉とか回折とか……。

🟡 リナ: その疑問はもっともよ。19 世紀の物理学は、Young (ヤング) の二重スリット実験で干渉縞が観測されることから、光が波であることを確立していた。それなのに「波であると同時に粒子でもある」——この「波動・粒子の二重性 (wave-particle duality)」については、次の章で詳しく扱うわ。今は Einstein の仮説で光電効果がどう説明されるかに集中しましょう。

雹のたとえ——なぜ色が決め手なのか¶

🟡 リナ: Einstein の説明を直感的に理解するために、雹（ひょう）のたとえを使うわね。

車のボンネットがへこむかどうかを決めるのは、降ってくる雹の総量じゃなくて、一粒一粒の大きさでしょう？ものすごい量の雹が降っても、一粒一粒が砂粒みたいに小さければ、ボンネットはへこまない。逆に、数は少なくても一粒がゴルフボール大なら、一発でへこむ。

🔵 カイ: あっ、なるほど！光も同じってことですか？

🟡 リナ: そう。光がいくら強くても（＝光子がたくさんあっても）、個々の光子のエネルギーが小さければ（＝振動数が低ければ）、電子は原子から叩き出されない。逆に、光が弱くても、振動数が十分に高ければ、一粒一粒のエネルギーが大きいので電子は飛び出す。図 1.7「雹のたとえで理解する光電効果」を見てちょうだい。

図 1.7: 雹のたとえで理解する光電効果。左：低振動数（赤い光）の光子はエネルギー $h\nu$ が小さいため、いくら大量に当てても電子を叩き出せない。右：高振動数（紫外光）の光子は 1 個のエネルギーが大きいため、少数でも電子を叩き出せる。光電効果で重要なのは光の強さ（光子の数）ではなく色（振動数）である。

⚪ メイ: だから色が決め手であって、強さではないのね。強さは光子の数に対応するだけ。

光電効果の方程式¶

🟡 リナ: これを定量的に書くわね。金属の中の電子は、周囲の原子核の正電荷に引きつけられて束縛されている——いわば「壁に囲まれた部屋」の中にいるようなもの。この壁を乗り越えて外に出るために必要な最小エネルギーを $W$ と書いて、仕事関数 (work function) と呼ぶ。$W$ は英語の Work（仕事）の頭文字ね——電子を引き剥がす「仕事」に必要な最小エネルギーという意味。光電効果が起こる条件は

\[ h\nu \geq W \tag{1.3} \]

であり、この条件が満たされたとき、飛び出した電子の運動エネルギー $K$ は

\[ K = h\nu - W \tag{1.4} \]

🔵 カイ: 光子 1 個が持つエネルギー $h\nu$ から、電子を引き剥がすのに使われるエネルギー $W$ を引いた残りが、電子の運動エネルギーになる……。シンプルですね！でも、光子が 2 個同時に当たって合計のエネルギーで電子を叩き出す、ってことはないんですか？

🟡 リナ: いい質問ね。実は非常に強いレーザー光を使えば「多光子吸収」という現象が起きるの。でも通常の光電効果の実験では、光の強度がそこまで高くないから、2 個の光子がほぼ同時に同じ電子に当たる確率は極めて低い。だから光子 1 個が電子 1 個に一対一でエネルギーを渡す過程が圧倒的に支配的で、式 (1.4) で十分なのよ。さて、式 (1.4) を見れば、4 つの不思議がすべて説明できるわ（表 1.2「Einsteinの光量子仮説による光電効果の説明」）。

表 1.2: Einsteinの光量子仮説による光電効果の説明

不思議	Einstein の説明
① 閾値	$h\nu < W$ なら光子 1 個のエネルギーが壁を越えるのに足りないので電子は出ない
② 強度非依存	光子 1 個のエネルギーは $h\nu$ で決まり、光子の数（＝強度）には依存しない
③ 振動数に比例	$K = h\nu - W$ より、$\nu$ が大きいほど $K$ が大きい
④ 瞬時の反応	光子 1 個が一瞬で電子にエネルギーを渡す。蓄積の必要なし

⚪ メイ: 全部一つの式で説明できてしまうのね。

🟡 リナ: 図 1.8「光電効果の運動エネルギーと振動数の関係」を見て。$K$ を $\nu$ に対してプロットすると、傾き $h$ の直線になる。直線が $K = 0$ と交わる点の振動数 $\nu_0 = W/h$ が閾振動数——これより低い振動数の光では、どんなに強くしても電子は飛び出さないの。金属の種類によって閾振動数（つまり切片 $-W$）は変わるけれど、傾きはすべて同じ——これが Planck 定数の実験的な決定法の一つなの。

図 1.8: 光電効果の運動エネルギーと振動数の関係。光電効果における電子の運動エネルギー $K = h\nu - W$ の直線関係。金属によって閾値 $\nu_0 = W/h$ が異なるが、傾きはすべて共通で Planck 定数 $h$ を与える。直線が $K = 0$ と交わる点が閾振動数で、そこより低い振動数の光ではどんなに強くしても電子は飛び出さない。

🟡 リナ: Einstein はこの仕事でノーベル賞を受賞したの。相対性理論ではなく、光電効果の理論でね。

🔵 カイ: へえ！相対論じゃないんだ。

Einstein は量子論の創始者の一人¶

🟡 リナ: ここで強調しておきたいことがあるの。Einstein は後に量子力学を批判したことで有名だけれど——「神はサイコロを振らない」という言葉は聞いたことがあるかしら？

🔵 カイ: あ、聞いたことあります。

🟡 リナ: でもそれは後の話。1905 年の時点では、Einstein は量子論を生み出した側の人間なの。Planck が「エネルギーは飛び飛びだ」と言い、Einstein が「光そのものが粒だ」と言った。さらに 1917 年には「誘導放出 (stimulated emission)」という概念を導入して、これは後にレーザーの原理になる。Einstein は量子論の創始者の一人——このことは忘れないでおいてね。後の章で、この創始者が批判者として再登場する劇的な場面が来るわ。

⚪ メイ: 自分が生み出した理論を、後から批判する……。ドラマチックね。

✅ 理解度チェック: Einstein の光量子仮説は Planck の量子仮説とどこが異なるでしょうか？両者の主張の違いを述べてください。

答え

Planck は「振動数 $

u$ の光のエネルギーが $h u$ の整数倍の値しか取れない」と主張した（エネルギーの離散化）。一方 Einstein は「光そのものがエネルギー $h u$ を持つ粒子（光子）の集まりである」と主張した。つまり Einstein は、離散性を光の放出・吸収の仕方ではなく、光の存在そのものの性質として捉えた点がより大胆だった。

✅ 理解度チェック: 光電効果において、光の「強度」を上げても飛び出す電子のエネルギーが変わらない理由を、光子の概念を使って説明してみましょう。

答え

光の強度は光子の数に対応する。個々の光子のエネルギーは $h\nu$（振動数で決まる）であり、強度を上げても光子 1 個あたりのエネルギーは変わらない。電子を叩き出すのは光子 1 個の仕事なので、飛び出す電子のエネルギー $K = h\nu - W$ は強度に依存しない。

📝 練習問題:

仕事関数と閾値振動数の計算 → 問題 B-2. 仕事関数と閾値振動数

1.4　危機 ③：原子の安定性問題¶

Rutherford の原子モデル——太陽系のような原子¶

🟡 リナ: 3 つ目の危機は「原子の安定性」の問題よ。これが最も深刻だったと言ってもいいわ。

🔵 カイ: 原子って安定に存在してますよね？何が問題なんですか？

🟡 リナ: 問題は、「古典物理学に従うと、原子は安定に存在できない」ということなの。まず原子の構造から確認しましょう。1911 年、Ernest Rutherford (アーネスト・ラザフォード) は有名な金箔実験によって、原子の構造を明らかにした。結果はこう——原子の中心に、正電荷を持つ小さくて重い原子核があり、その周りを負電荷の電子が回っている。太陽系のような構造ね。

⚪ メイ: 高校でも習ったわ。でも具体的なスケールはどれくらいなの？

🟡 リナ: 実験によると、原子の半径は約 $10^{-10}\;\mathrm{m}$ 程度なのに対し、原子核の半径は約 $10^{-15}\;\mathrm{m}$ 程度。原子核は原子全体に比べて 10 万分の 1 の大きさしかない。電子は原子核から遠く離れて回っていることになるわ。図 1.9「Rutherford の原子モデル」を見てちょうだい。

図 1.9: Rutherford の原子モデル。中心の正電荷を持つ原子核（赤）の周りを、負電荷の電子（緑）が円軌道で回っている。原子半径 $\sim 10^{-10}$ m に対して、原子核半径は $\sim 10^{-15}$ m と圧倒的に小さい。このモデルは実験事実を説明するが、次に見るように古典電磁気学と両立できない。

🔵 カイ: 太陽系モデル、分かりやすいですね。何が問題なんだろう……。

古典電磁気学の予言——原子は一瞬で崩壊する¶

🟡 リナ: 問題は Maxwell の電磁気学にあるの。この理論によれば、加速度運動をしている電荷は必ず電磁波を放射する。

🔵 カイ: 円運動は……加速度運動ですよね。向心加速度がある。

🟡 リナ: その通り！円運動している電子は常に向心加速度を持つから、Maxwell の理論によれば、電子は常に電磁波を放射し続けることになる。電磁波を放射するということは、エネルギーを失うということ。

🔵 カイ: エネルギーを失ったら……電子はどうなるんですか？

🟡 リナ: 螺旋を描いて原子核に落ち込んでしまう。古典電磁気学には「加速する電荷が放射するパワー」を与える公式（Larmor の公式）があるの。大まかに言うと、電荷 $e$ が加速度 $a$ で運動しているとき、放射されるパワー（単位時間あたりのエネルギー損失）は $P \propto e^2 a^2 / c^3$ に比例する。水素原子の電子は原子核から $r \sim 10^{-10}\;\mathrm{m}$ の距離で向心加速度 $a \sim v^2/r$ を受けているから、放射パワーが見積もれて、電子の全エネルギー（$\sim$ 数 eV）をこのパワーで割ると崩壊時間が

\[ \tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s} \tag{1.5} \]

程度——つまり約 100 億分の 1 秒で完了してしまうの。具体的な計算は練習問題で挑戦してみてね（Larmor の公式の正確な形は問題文の中で与えるから、今覚える必要はないわ）。

🔵 カイ: 一瞬じゃないですか！でも実際には原子は何億年も安定に存在してる……。

🟡 リナ: そう。古典物理学に従えば、原子は全く安定に存在できない。ところが現実には、あなたの体を構成する原子は何十億年も前から崩壊せずに存在し続けている。これは明らかに矛盾よ。図 1.10「古典的原子の電磁放射による崩壊」に、電子が螺旋を描いて落ち込む様子を描いたわ。

図 1.10: 古典的原子の電磁放射による崩壊。古典電磁気学が予言する原子の崩壊。電子は電磁波を放射しながらエネルギーを失い、螺旋を描いて原子核に落ち込む。約 $10^{-11}$ 秒で崩壊が完了する。

🔵 カイ: これは深刻ですね……。Newton 力学と Maxwell 電磁気学の両方を認めると、原子が存在できないことになる。

🟡 リナ: もう一つ問題があるわ。もし電子が螺旋を描いて落ち込むなら、その過程で放射される電磁波の振動数は連続的に変化するはず。なぜなら、軌道半径が連続的に小さくなるから、電子の回転周波数も連続的に変化するの。ところが実験で原子が放つ光を調べると、特定の振動数の光だけが観測される。スペクトル線が飛び飛びなのよ。

⚪ メイ: 連続的に変化するはずなのに、実際は飛び飛び——これも古典物理学では説明できない矛盾ね。

🟡 リナ: その通り。原子の安定性とスペクトルの離散性——この 2 つの謎を同時に解決したのが、次に見る Bohr のモデルよ。

✅ 理解度チェック: 古典電磁気学によれば原子が安定に存在できない理由を、2 文以内で述べてください。

答え

円運動する電子は加速度運動をしているため、Maxwell の電磁気学によれば電磁波を放射してエネルギーを失い続ける。その結果、電子は螺旋を描いて約 $10^{-11}$ 秒で原子核に落ち込んでしまう。

📝 練習問題:

古典的な原子崩壊時間のオーダー見積もり → 問題 M-3. 古典的原子崩壊時間のオーダー見積もり

1.5　Bohr の原子モデルと Rydberg 公式¶

原子スペクトル——物質の「指紋」¶

🟡 リナ: さて、Bohr のモデルに入る前に、実験事実をもう少し詳しく見ておきましょう。原子が放つ光をプリズムで分解すると、特定の振動数の光だけが細い線（輝線）として現れる。これをスペクトル (spectrum) と呼ぶわ。

🔵 カイ: 虹みたいに全部の色が出るんじゃなくて、特定の色だけが出るんですね。

🟡 リナ: そう。スペクトルは元素ごとに固有のパターンを持っていて、物質の「指紋」のようなもの。特に水素原子のスペクトルは最も単純で、規則的なパターンを示すの。

1885 年、Balmer (バルマー) は水素原子の可視光領域のスペクトル線が、ある簡単な数式に従うことを発見した。後にこれは一般化されて、Rydberg (リュードベリ) 公式と呼ばれる形になったわ。

✅ 理解度チェック: 原子のスペクトルが「離散的」であるとはどういう意味でしょうか？また、これは古典物理学の予言とどう矛盾するでしょうか？

答え

原子が放出する光は全ての振動数（色）を含むのではなく、特定の振動数だけが細い輝線として現れる。古典電磁気学では、螺旋を描いて落ち込む電子の軌道半径が連続的に変化するため、放射される光の振動数も連続的に変化するはずであり、離散的なスペクトル線は説明できない。

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \tag{1.6} \]

ここで - $\lambda$：放出される光の波長 - $R_\infty$：Rydberg 定数。$R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}$ - $n, m$：正の整数（$m > n$）

🔵 カイ: $n$ と $m$ に具体的な数を入れると、どうなるんですか？

🟡 リナ: $n = 1$ として $m = 2, 3, 4, \ldots$ とすると紫外線領域の系列が得られる。これを Lyman (ライマン) 系列と呼ぶわ。$n = 2$ として $m = 3, 4, 5, \ldots$ とすると可視光領域の系列——Balmer (バルマー) 系列——になる。

⚪ メイ: $n$ の値で系列が決まって、$m$ を変えると同じ系列の中の個々の線が出てくるのね。

🟡 リナ: その通り。この公式は実験データを完璧に再現する。でも 1885 年の時点では、なぜこんな公式が成り立つのか、誰も説明できなかった。整数 $n$ と $m$ は何を意味しているのか？なぜ $1/n^2$ という形なのか？この謎に答えたのが Bohr よ。

Bohr の 3 つの仮説¶

🟡 リナ: 1913 年、デンマークの物理学者 Niels Bohr (ニールス・ボーア) は、Planck と Einstein の量子仮説を原子に適用して、大胆なモデルを提案したの。3 つの仮説から成るわ。

仮説 1：定常状態の存在

電子は特定の軌道（定常状態）にいるときだけ安定に存在でき、電磁波を放射しない。許される軌道は飛び飛びで、その間の軌道は存在しない。

🔵 カイ: えっ、「放射しない」って宣言しちゃうんですか？ Maxwell の理論に反してませんか？

🟡 リナ: 反しているわ。Bohr は「原子の世界では古典電磁気学がそのままでは成り立たない」ということを、仮説として明示的に置いたの。大胆でしょう？

仮説 2：量子条件

許される軌道は、電子の角運動量 $L$ が特定の値を取るものだけ。なぜ角運動量なのかというと、Planck の $h$ の単位が $\mathrm{J \cdot s}$（エネルギー × 時間）で、これは角運動量と同じ次元を持つの。確認してみましょう——角運動量 $L = mvr$ の次元は $\mathrm{kg \cdot (m/s) \cdot m} = \mathrm{kg \cdot m^2/s}$。一方 $\mathrm{J \cdot s} = \mathrm{kg \cdot m^2/s^2 \cdot s} = \mathrm{kg \cdot m^2/s}$。確かに同じね。だから「$h$ に関係する量子条件を課すなら、角運動量が自然な候補」というわけ。

🔵 カイ: 次元が合うからこそ、角運動量に条件を課すのが自然なんですね。

🟡 リナ: 角運動量とは「回転の勢い」を表す量よ。直線運動の勢いは運動量 $mv$（質量 × 速さ）で表されるわよね——高校物理でも出てきたはず。回転運動の勢いは「運動量 $mv$ × 回転半径 $r$」で表される。なぜ半径を掛けるかというと、同じ速さで回っていても、回転半径が大きいほど「回転を止めにくい」——たとえば紐の先に石をつけて振り回すとき、紐が長いほど止めにくいわよね。同じ速さでも、遠くで回っているほど回転の勢いが大きい。回転の勢いは「速さ $\times$ 半径」で大きくなるの。つまり質量 $m$ の物体が半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で回っているとき $L = mvr$ と定義されるの。Bohr の条件は

\[ L = n\hbar \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \tag{1.7} \]

ここで $\hbar$（「エイチバー」と読む）$= h / 2\pi$ は Planck 定数を $2\pi$ で割ったもので、ディラック定数 (Dirac constant) とも呼ばれる。「なぜ $h$ そのものではなく $2\pi$ で割るの？」と思うかもしれないけれど、これは円運動（一周 $= 2\pi$ ラジアン、つまり $360°$）と深く関係していて、次章で de Broglie の物質波を学ぶと自然に理解できるわ。$n$ は量子数 (quantum number) と呼ばれる正の整数よ。$n = 0$ は許されない——角運動量がゼロだと電子は回転しておらず、軌道が存在しないことになるからね。

🔵 カイ: なるほど、$n = 0$ だと「回ってない」から原子核に落ちちゃうってことですね。……でも、本当に「回ってない」状態は絶対にありえないんですか？後でひっくり返ったりしません？

🟡 リナ: いい質問ね。Bohr モデルでは「電子が円軌道を回っている」という描像が前提だから、$n = 0$（回転なし）だと軌道半径もゼロになって電子が原子核と重なってしまう——モデルとして意味をなさないの。だから Bohr モデルの枠内では $n \geq 1$ は論理的に正しい制限よ。ただし予告しておくと、後の量子力学では角運動量ゼロの状態も許される——そのとき電子は「回っている」のではなく、もっと別の存在の仕方をしているの。それは後の章で詳しく扱うわ。今は Bohr モデルの枠内で $n \geq 1$ として進めましょう。

⚪ メイ: 整理すると、仮説 2 のポイントは「角運動量が $\hbar$ の整数倍しか許されない」ということね。さっきの $h$ の値を $2\pi$ で割ると

\[ \hbar \equiv \frac{h}{2\pi} \simeq 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \tag{1.8} \]

で、$h$ と同様に極めて小さいわ。

仮説 3：振動数条件

電子がエネルギー $E_m$ の軌道からエネルギー $E_n$ の軌道（$E_m > E_n$）に「飛び移る」とき、そのエネルギー差に対応する振動数の光が放出される。

\[ h\nu = E_m - E_n \tag{1.9} \]

⚪ メイ: 仮説 3 は Planck の $E = h\nu$ を使っているわね。エネルギー差がちょうど光子 1 個のエネルギーになる。

🔵 カイ: Planck → Einstein → Bohr って、前の人のアイデアを次の人が発展させてるんですね。でも、「飛び移る」って具体的にはどういうイメージなんだろう……。

🟡 リナ: いい疑問ね。「飛び移る」というのは、中間の状態を経ずに瞬間的に別の軌道に移るということ——古典的な「だんだん移動する」とは全く違う、量子論特有の描像よ。図 1.11「Bohr の振動数条件」を見てちょうだい。電子が高い準位から低い準位に飛び移るとき、エネルギー差に対応する光子が放出される様子を図示したわ。そして、始点と終点の組み合わせごとに異なる振動数の光が放出されるから、スペクトル線が離散的になるの。

図 1.11: Bohr の振動数条件。電子がエネルギー準位 $E_m$ から $E_n$（$m > n$）に遷移するとき、エネルギー差 $E_m - E_n$ に等しいエネルギー $h\nu$ を持つ光子が放出される。遷移の始点と終点の組み合わせごとに異なる振動数の光が放出され、これが離散的なスペクトル線に対応する。

🟡 リナ: 整理のために、3 人の量子化のアイデアを比較しておくわね（表 1.3「Planck・Einstein・Bohr の量子化アイデアの比較」）。

表 1.3: Planck・Einstein・Bohr の量子化アイデアの比較

物理学者	何を量子化したか	式	大胆さのレベル
Planck (1900)	振動子のエネルギー	$E = nh\nu$	「計算のトリック」のつもり
Einstein (1905)	光そのもの（光子）	$E_{\text{photon}} = h\nu$	光の存在様式を変えた
Bohr (1913)	電子の軌道（角運動量）	$L = n\hbar$	古典電磁気学を一部放棄

🔵 カイ: だんだん大胆になってる感じがしますね。計算のトリック → 光の本質 → 古典理論の放棄……。

水素原子のエネルギー準位の導出¶

🟡 リナ: では、Bohr の仮説を水素原子に適用して、具体的に計算してみましょう。水素原子は最も単純な原子で、陽子 1 個（電荷 $+e$）の原子核の周りを電子 1 個（電荷 $-e$、質量 $m_e$）が回っているわ。

🔵 カイ: 太陽系モデルの最も単純なバージョンですね。

🟡 リナ: 電子が半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で回っているとしましょう。円運動の条件は、Coulomb (クーロン) 力が向心力を提供すること。高校では Coulomb 力を $F = kq_1q_2/r^2$ と書いたわね。ここでは物理学で標準的な表記を使って、Coulomb 定数 $k$ を $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ と書き換えるわ。$\varepsilon_0$ は真空の誘電率と呼ばれる定数（$\varepsilon_0 \simeq 8.854 \times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$）で、Coulomb 定数 $k$ を $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ と書き換えただけ——つまり $k \simeq 8.99 \times 10^9\;\mathrm{N \cdot m^2/C^2}$ と同じ情報を持つ別の書き方にすぎないの。高校で使った $k$ の値を覚えていれば、$\varepsilon_0 = 1/(4\pi k)$ で求まるわ。計算では $\varepsilon_0$ の具体的な値を代入するだけだから、単位 $\mathrm{F/m}$ の意味は今は気にしなくて大丈夫よ。水素原子では $q_1 = +e$（陽子）、$q_2 = -e$（電子）で、力の大きさは

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \tag{1.10} \]

左辺が Coulomb 力の大きさ、右辺が向心力 $m_e v^2 / r$ ね。

⚪ メイ: 高校物理で習った「万有引力が向心力を提供する」のと同じ構造ね。重力の代わりに Coulomb 力になっただけ。

🟡 リナ: 式 (1.10) を整理すると

\[ m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \tag{1.11} \]

次に、角運動量の量子条件（仮説 2）を使うわ。円運動の角運動量は $L = m_e v r$ だから

\[ m_e v r = n\hbar \tag{1.12} \]

式 (1.12) から $v = n\hbar / (m_e r)$ を式 (1.11) に代入すると

\[ m_e \left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

\[ \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

両辺に $r$ を掛けて整理すると

\[ r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 \tag{1.13} \]

🔵 カイ: 軌道半径が $n^2$ に比例する！ $n = 1$ が一番小さい軌道ですね。

🟡 リナ: そう。図 1.12「Bohr の原子モデルにおける許される軌道」に各量子数の軌道を描いたわ。$n$ が大きくなると軌道半径が急速に広がるのが分かるでしょう？

図 1.12: Bohr の原子モデルにおける許される軌道。$r_n = a_0 n^2$ より、$n = 1, 2, 3, 4$ に対して軌道半径は $a_0, 4a_0, 9a_0, 16a_0$ と二乗で広がる。軌道間の中間的な半径は許されず、電子は飛び飛びの軌道上にのみ存在できる。

🟡 リナ: $n = 1$ のときの半径をボーア半径 (Bohr radius) と呼んで、$a_0$ と書くわ。

\[ a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \simeq 0.529 \times 10^{-10}\;\mathrm{m} \simeq 0.529\;\text{Å} \tag{1.14} \]

⚪ メイ: 約 $0.5 \times 10^{-10}\;\mathrm{m}$……原子の大きさのオーダーと一致するわね！

🟡 リナ: さて、エネルギーを求めましょう。電子の全エネルギーは、運動エネルギーと静電気力による位置エネルギー（Coulomb ポテンシャルエネルギー）の和よ。位置エネルギーの考え方を確認しておくわね。

🔵 カイ: 位置エネルギーって、高校では「地面を基準にして $mgh$」って習いましたけど、原子の場合は何を基準にするんですか？

🟡 リナ: いい質問ね。原子の場合、「電子が原子核から無限に離れて、もう引力を感じない状態」を基準（ゼロ）にするの。地面がない宇宙空間で、「完全に自由な状態」をゼロと決めるわけ。すると、引力で引き合う 2 つの電荷が距離 $r$ まで近づいたとき、位置エネルギーは $-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$ になる。これは「電子を距離 $r$ から無限遠まで引き離すとき、Coulomb 引力に逆らってする仕事」にマイナスをつけた量よ。引力に引かれて近づくほどエネルギーが下がるから符号はマイナス——万有引力の位置エネルギー $-GMm/r$ と同じ構造ね。

⚪ メイ: 無限遠をゼロにして、束縛されているほどマイナスが大きい——直感的に分かりやすいわ。

🟡 リナ: 導出の詳細は練習問題に譲るけれど、今は「力が $1/r^2$ に比例するとき、距離 $r$ から無限遠まで引き離す仕事を計算すると $1/r$ に比例する」と覚えておいて。高校数学で言えば、Coulomb 力の大きさは $F = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r'^2)$ だったわね。電子を距離 $r$ から $R$ まで引力に逆らって引き離す仕事は「力 × 移動距離」の積分だから

\[ W = \int_r^R \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\,dr' \]

よ（引き離す方向に力を加えるから、力と移動方向が同じで $\cos\theta = 1$ ね）。まず $r$ 依存性だけに注目すると、$1/r'^2 = r'^{-2}$ だから、高校で習った $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$（$n \neq -1$）の公式を使うわ。$n = -2$ を代入してみて——$n + 1 = -1$ だから $\int r'^{-2}\,dr' = r'^{-1}/(-1) = -1/r'$ ね。

🔵 カイ: あ、$r'^{-1}$ って $1/r'$ のことですよね。マイナスがついて $-1/r'$ か。

🟡 リナ: そう。定積分は「上端の値 − 下端の値」だから $[-1/r']_r^R = (-1/R) - (-1/r) = 1/r - 1/R$ よ。ここで $R$ を無限に大きくすると $1/R$ はどんどんゼロに近づくわよね（$R = 100$ なら $0.01$、$R = 10000$ なら $0.0001$……）。だから $R \to \infty$ の極限で $1/R \to 0$ となり、積分は $1/r$ に収束する。「上端を無限大にする」のは高校の範囲を少し超えるけれど、要は「十分遠くまで離せば $1/R$ は無視できるほど小さくなる」ということよ。前に出した比例定数 $e^2/(4\pi\varepsilon_0)$ を掛け戻すと、「引き離す仕事」は $+e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$。位置エネルギーは「無限遠を基準（ゼロ）にして、そこから現在の位置に来るまでに下がったエネルギー」だから、符号を反転させて $-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$ ね。

🔵 カイ: 積分で力を距離について足し上げると、$1/r^2$ が $1/r$ に変わるんですね。位置エネルギーの符号がマイナスなのも、束縛されてるほど低い、って意味で納得です。

🟡 リナ: つまり：

\[ E = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

式 (1.11) の両辺を 2 で割ると $\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$ なので

\[ E = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} \]

ここに $r_n = a_0 n^2$ を代入すると

\[ E_n = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{1.15} \]

⚪ メイ: 運動エネルギーが位置エネルギーの大きさの半分に等しくて、全体としてマイナスになる——束縛状態の典型的なパターンね。

🟡 リナ: ここで定数部分の値を求めましょう。原子や分子のエネルギーを扱うとき、ジュール (J) だと数値が極端に小さくなって不便なの。先ほど導入した $\mathrm{eV}$（電子ボルト、$1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}$）を使うわね。

式 (1.15) の定数部分に $e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}$、$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$、$a_0 = 0.529 \times 10^{-10}\;\mathrm{m}$ を代入すると

\[ \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{8\pi \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.529 \times 10^{-10}} \simeq 2.18 \times 10^{-18}\;\mathrm{J} \simeq 13.6\;\mathrm{eV} \]

したがって

\[ E_n = -\frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \tag{1.16} \]

🔵 カイ: エネルギーが $1/n^2$ に比例して飛び飛びの値を取る！ $n = 1$ が最もエネルギーが低い状態（基底状態）で、$n$ が大きくなるほどエネルギーが高くなる。

🟡 リナ: 図 1.13「水素原子のエネルギー準位図」にエネルギー準位を図示したわ。$n$ が大きくなるほど準位の間隔が狭くなっていくのが見えるでしょう？

図 1.13: 水素原子のエネルギー準位図。$n = 1$（基底状態）から $n = \infty$（電離）まで、エネルギーは $-13.6/n^2$ eV で与えられる。矢印は電子の遷移（光の放出）を表す。

Rydberg 公式の導出¶

🟡 リナ: いよいよ Rydberg 公式を導出するわ。振動数条件（仮説 3）を使って、電子が量子数 $m$ の状態から量子数 $n$ の状態（$m > n$）に遷移するとき放出される光の振動数を求めましょう。

電子が高いエネルギー準位 $E_m$ から低いエネルギー準位 $E_n$ に落ちるとき、$m > n$ だから $1/m^2 < 1/n^2$ よ。たとえば $m = 3,\; n = 2$ なら $E_3 = -13.6/9 \simeq -1.51\;\mathrm{eV}$、$E_2 = -13.6/4 = -3.40\;\mathrm{eV}$。数直線上で $-1.51$ は $-3.40$ より右（大きい）だから $E_m > E_n$ ね。一般に、負の数は絶対値が小さいほど大きい。したがって

\[ h\nu = E_m - E_n = -\frac{13.6\;\mathrm{eV}}{m^2} - \left(-\frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2}\right) = 13.6\;\mathrm{eV}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

$m > n$ なので $1/n^2 - 1/m^2 > 0$ となり、$h\nu > 0$ が保証されるわ。

🔵 カイ: おお、ちゃんと正のエネルギーが出る。それが光子として飛び出すわけですね。

🟡 リナ: 光の振動数 $\nu$ と波長 $\lambda$ の間には $c = \nu\lambda$ という関係があるわ（$c \simeq 3.0 \times 10^8\;\mathrm{m/s}$ は光速）。波が 1 秒間に $\nu$ 回振動し、1 波長分の長さが $\lambda$ だから、1 秒間に進む距離が $\nu\lambda = c$ ということね。これを使うと

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

ここで、Rydberg 公式 (1.6) の $R_\infty$ を基本定数で表してみましょう。目標は $1/\lambda = R_\infty(1/n^2 - 1/m^2)$ の $R_\infty$ が何かを明らかにすることよ。

上で得た $h\nu = 13.6\;\mathrm{eV}\,(1/n^2 - 1/m^2)$ の両辺を $hc$ で割ると（$\nu/c = 1/\lambda$ だから）

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

だから $R_\infty = 13.6\;\mathrm{eV}/(hc)$ ね。これを基本定数で書き下すために、式 (1.15) の定数部分 $e^2/(8\pi\varepsilon_0 a_0)$ に、式 (1.14) の $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)$ を代入するわ。$1/a_0 = m_e e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar^2)$ だから

\[ \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2} = \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} \]

つまり $13.6\;\mathrm{eV} = m_e e^4/(32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2)$ ね（$32\pi^2$ がどこから来るかというと、$e^2/(8\pi\varepsilon_0 a_0)$ の分母 $8\pi\varepsilon_0$ と、$1/a_0 = m_e e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar^2)$ の分母 $4\pi\varepsilon_0\hbar^2$ を掛け合わせたとき、$8\pi \times 4\pi = 32\pi^2$ が現れるの）。これを $hc$ で割ると

\[ R_\infty = \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2 \cdot hc} \]

ここで $\hbar = h/(2\pi)$ だから $\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)$ を代入するわ。分子は $m_e e^4$（先ほど求めた通り）で、分母を見ると

\[ 32\pi^2\varepsilon_0^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2} \cdot hc = \frac{32\pi^2}{4\pi^2}\,\varepsilon_0^2 \cdot h^2 \cdot hc = 8\varepsilon_0^2 \cdot h^2 \cdot h \cdot c = 8\varepsilon_0^2 h^3 c \]

🔵 カイ: えっと、$\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)$ を分母に代入して、$32\pi^2$ と $4\pi^2$ で $\pi$ が約分されて $32/4 = 8$ になって、$h^2 \cdot h = h^3$ だから $8\varepsilon_0^2 h^3 c$ ですね。でもさっき $\hbar = h/(2\pi)$ って出てきたのに、ここでは $h$ のまま書くんですね。何か使い分けの基準があるんですか？

🟡 リナ: いい着眼点ね。今の計算では $\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)$ を代入したことで $\pi$ がきれいに約分されて、最終的に $h$ だけの式になったでしょう？もし逆に $h = 2\pi\hbar$ を代入して $\hbar$ で書き直すと、$\pi$ が復活して式が少し複雑になるの。一般的な使い分けとしては、振動数 $\nu$ と組み合わせるときは $h$（$E = h\nu$）、角振動数 $\omega$ と組み合わせるときは $\hbar$（$E = \hbar\omega$）が自然——$2\pi$ が相殺してすっきりするからよ。角振動数 $\omega$ は $\omega = 2\pi\nu$ と定義される量で、振動数 $\nu$ が「1 秒あたり何回振動するか」なのに対し、$\omega$ は「1 秒あたり何ラジアン（角度）進むか」を表すの。1 回の振動で $2\pi$ ラジアン（$360°$）進むから $\omega = 2\pi\nu$ ね。次章以降で本格的に使うから、今は $h$ と $\hbar$ の使い分けの目安だけ覚えておいてね。

⚪ メイ: つまり「$\pi$ が消えてすっきりする方を選ぶ」のが実用的な方針ね。

🟡 リナ: 歴史的にも Rydberg 定数は $h$ で書くのが標準だから、ここではこのまま進めましょう。実際に $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\;\mathrm{kg}$、$e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}$、$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$、$h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}$、$c = 2.998 \times 10^8\;\mathrm{m/s}$ を代入すると $R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}$ となって、実験値と完璧に一致するわ。まとめると

\[ R_\infty = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}} \tag{1.17} \]

これを使えば

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

🔵 カイ: これ、さっきの Rydberg 公式 (1.6) そのものじゃないですか！ 30 年間「なぜこの式が成り立つのか」分からなかったのが、Bohr の 3 つの仮説だけで出てくるなんて……。

🟡 リナ: そう！ Bohr のモデルは、30 年間謎だった Rydberg 公式を理論的に導出してみせたの。しかも Rydberg 定数の値を基本定数（$m_e$, $e$, $\varepsilon_0$, $h$, $c$）だけから計算でき、実験値と完璧に一致した。図 1.14「水素原子のスペクトル系列の波長分布（対数軸）」に、各系列がどの波長域に現れるかをまとめたわ。

図 1.14: 水素原子のスペクトル系列の波長分布（対数軸）。$n_f = 1$ に落ちる Lyman 系列は紫外線、$n_f = 2$ に落ちる Balmer 系列は可視光（黄色帯）、$n_f = 3$ に落ちる Paschen 系列は赤外線に現れる。各系列の開始点は電離エネルギーに対応し、高い $n_i$ ほど線が密集する。

🟡 リナ: ここまでの成果を整理しておくわね。Bohr のモデルが解決したこと： - 原子の安定性：電子は定常状態にいるとき電磁波を放射しない（仮説 1） - スペクトルの離散性：許される軌道が飛び飛びだから、エネルギー差も飛び飛びで、放出される光の振動数も飛び飛び - Rydberg 公式の導出：$E_n = -13.6\;\mathrm{eV}/n^2$ と振動数条件から完全に再現

⚪ メイ: きれいに 3 つの危機すべてに対応しているのね。

Bohr モデルの限界¶

🟡 リナ: ただし、Bohr のモデルには限界があることも言っておかないといけないわ。

🔵 カイ: 限界？あんなに見事に Rydberg 公式を導出したのに……。

🟡 リナ: Bohr のモデルは水素原子（電子 1 個）のスペクトルを見事に説明したけれど、電子が 2 個以上の原子（ヘリウム以降）には適用できなかった。また、「なぜ定常状態では放射しないのか」「なぜ角運動量が $\hbar$ の整数倍なのか」——これらの「なぜ」には答えられなかった。整理するわね（表 1.4「Bohr モデルの成功と限界」）。

表 1.4: Bohr モデルの成功と限界

成功した点	限界・未解決の点
水素原子のスペクトルを完全に再現	ヘリウム以降の多電子原子に適用不可
Rydberg 定数を基本定数から導出	「なぜ定常状態で放射しないか」に答えなし
原子の安定性を説明	「なぜ $L = n\hbar$ か」の根拠なし
原子サイズの正しいオーダーを予言	スペクトル線の強度（明るさ）を予言できない

🔵 カイ: 「なぜ $\hbar$ の整数倍なのか」って、確かに Bohr は「そう仮定する」と言っただけで、理由は説明してないですよね。仮定が正しい結果を出すからといって、仮定自体が正しいとは限らない……？

🟡 リナ: まさにその通り。プロローグで話した「物理のモデルは実験と矛盾しない最良の仮説にすぎない」という考え方ね。Bohr のモデルは水素原子の実験と矛盾しないけれど、「なぜそうなるか」を説明する、より深い理論が必要——それが「暫定的なモデル」と言われる理由よ。

⚪ メイ: 正しい答えを出すけれど、その根拠が不明確——本当の「なぜ」は、もっと深い理論が必要なのね。

🟡 リナ: その通り。本当の答え——「なぜ」に対する答え——は、1925-26 年に Heisenberg (ハイゼンベルク) と Schrödinger (シュレーディンガー) が完成させた量子力学によって初めて与えられることになる。Bohr のモデルは、古典物理学から量子力学への橋渡しとして、歴史的に極めて重要な役割を果たしたの。

🔵 カイ: 古典 → Bohr → 本格的な量子力学、という流れですね。

🟡 リナ: そう。そしてこの旅では、Bohr モデルの「なぜ」に答えるために、第 4 章以降で確率振幅の概念から量子力学を一歩ずつ組み立てていくわ。

✅ 理解度チェック: Bohr モデルの主な限界を 2 つ挙げてください。

答え

① 電子が 2 個以上の原子（ヘリウム以降）のスペクトルを説明できない。② 「なぜ定常状態では電磁波を放射しないのか」「なぜ角運動量が $\hbar$ の整数倍なのか」という根本的な理由を説明できない（仮定として置いただけで導出していない）。

✅ 理解度チェック: Bohr の量子条件 $L = n\hbar$ を水素原子に適用したとき、$n = 2$ の軌道半径は $n = 1$ の何倍でしょうか？

答え

式 (1.13) より $r_n \propto n^2$ なので、$r_2 / r_1 = 2^2 / 1^2 = 4$ 倍。

✅ 理解度チェック: 水素原子の電子が $n = 3$ から $n = 2$ に遷移するとき放出される光の波長を、Rydberg 公式を用いて計算してみましょう。

答え

$\displaystyle \frac{1}{\lambda} = R_\infty\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 1.097 \times 10^7 \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} \simeq 1.524 \times 10^6\;\mathrm{m^{-1}}$

$\lambda \simeq 6.56 \times 10^{-7}\;\mathrm{m} = 656\;\mathrm{nm}$（赤色の光——Balmer 系列の $H_\alpha$ 線）。

📝 練習問題:

Bohr モデルによる水素原子のイオン化エネルギーの計算 → 問題 M-1. Bohr モデルによる水素原子のエネルギー準位の導出

まとめ——古典物理の限界と量子論の幕開け¶

🟡 リナ: この章で見てきたことを整理しましょう（表 1.5「古典物理の3つの危機と量子論による解決」）。19 世紀末、古典物理学は 3 つの深刻な危機に直面した。

表 1.5: 古典物理の3つの危機と量子論による解決

危機	問題の核心	解決者と年	鍵となるアイデア
黒体輻射の紫外破綻	高振動数で放射エネルギーが無限大に発散	Planck (1900)	エネルギーは $h\nu$ の整数倍（量子仮説）
光電効果の謎	光の色が決め手で、強度は無関係	Einstein (1905)	光は $h\nu$ のエネルギーを持つ粒子（光子）
原子の安定性	電子が螺旋を描いて $\sim 10^{-11}$ 秒で崩壊	Bohr (1913)	電子は飛び飛びの軌道だけが許される

🟡 リナ: この 3 つの突破口を時系列で見ると、わずか 13 年の間に量子論の基礎が築かれたことが分かるわ。図 1.15「量子論の誕生のタイムライン」を見てちょうだい。

図 1.15: 量子論の誕生のタイムライン。Planck の量子仮説（1900）→ Einstein の光量子仮説（1905）→ Rutherford の原子核発見（1911）→ Bohr の原子モデル（1913）。各発見は前の成果を土台にしており、量子のアイデアが継承・発展していく流れが見える。

🔵 カイ: 全部に共通するのは「飛び飛び」ってことですね。エネルギーが飛び飛び、光が粒々、軌道が飛び飛び……。でも「なぜ自然は飛び飛びなのか」——その理由はまだ出てきてないですよね？

🟡 リナ: いいところに気づいたわね。実はその「なぜ」に答えるのが、これから学ぶ量子力学の本体なの。Planck も Bohr も「飛び飛びだと仮定すれば実験と合う」と示しただけで、その根拠は説明できなかった。根拠が見えてくるのは、波動関数と境界条件を学ぶ第 4 章以降よ。今は「飛び飛びであることが実験事実」という出発点をしっかり押さえておいてね。

⚪ メイ: つまりこの章の 3 つの危機は「離散性を仮定すれば解ける」ことを示しただけで、「なぜ離散的か」は未解決のまま次章以降に持ち越し——ということね。

🟡 リナ: 「連続」から「離散（飛び飛び）」へ——これが古典物理学から量子論への最も根本的なパラダイムシフト。そして、このすべてを貫く定数が

\[ h \simeq 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \]

Planck 定数 $h$。この定数がゼロでない有限の値を持つことが、世界を「飛び飛び」にしているの。

🔵 カイ: じゃあ、もし $h$ がゼロだったらどうなるんですか？飛び飛びじゃなくなる？

🟡 リナ: その通り。$h = 0$ なら量子効果はすべて消えて、古典物理学に戻る。そして $h$ は非常に小さいけれどゼロではない——だから日常スケールでは古典物理が良い近似になりつつ、原子スケールでは量子効果が支配的になるの。「古典物理学は $h \to 0$ の極限」と言い換えてもいいわ。

⚪ メイ: つまり、$h$ の小ささが「古典と量子の境界」を決めているのね。

🔵 カイ: なるほど……。$h$ がゼロじゃないから世界は飛び飛びで、でも小さいから普段は気づかない。あと、Einstein が量子論の創始者の一人だってことが印象的でした。自分で「光は粒だ」と言ったのに、後で量子力学を批判するって……何がそんなに気に入らなかったんだろう？

🟡 リナ: いい疑問ね。1905 年の光量子仮説、1917 年の誘導放出の理論——Einstein は量子論を生み出した側の人間。でも量子力学が完成したとき、「自然の振る舞いが本質的に確率的である」という解釈に深い違和感を覚えたの。「神はサイコロを振らない」という有名な言葉は、その違和感の表明よ。具体的に何が問題だったのかは第 21 章（誘導放出の定量化）と第 23 章（EPR 論争と Bell の不等式）で詳しく見ていくわ。楽しみにしていてね。

次章予告¶

🟡 リナ: この章では、古典物理学の 3 つの危機と、それぞれに対する「飛び飛び」の解決策を見てきた。でも、まだ大きな謎が残っているわ。

Einstein は「光は粒子（光子）でもある」と言った。でも光が波であることは、干渉実験で確立された事実よ。波であると同時に粒子でもある——これはいったいどういうことなのか？

さらに 1924 年——Bohr のモデルから約 10 年後——de Broglie (ド・ブロイ) は逆方向の提案をした。「光が粒子でもあるなら、電子のような粒子も波ではないか？」——そしてこれは実験で確認された。図 1.16「電子の二重スリット干渉パターン形成」を見てちょうだい。電子を一個ずつスリットに撃ち込むと、最初はランダムな点にしか見えないのに、数を増やすと波の干渉縞が浮かび上がるの。この実験こそ、de Broglie の「物質波」の考えが正しいことを端的に示す証拠であり、次章の出発点になるわ。

図 1.16: 電子の二重スリット干渉パターン形成。電子を一個ずつ二重スリットに撃ち込んだときの着弾分布の時間発展。少数の電子ではランダムなスポットに見えるが、多数蓄積すると波の干渉縞が現れる。「粒子なのに波の性質を持つ」ことを端的に示す実験であり、次章で扱う de Broglie の物質波の出発点となる。

次章では、この大胆な仮説と、それを劇的に裏付けた電子線回折実験を追いかける。粒子と波の境界が溶け出す瞬間を目撃しよう。

練習問題¶

📝 練習問題:

Planck 定数の小ささを実感する計算 → 問題 B-1. Planck 定数の小ささを実感する

仕事関数と閾値振動数の計算 → 問題 B-2. 仕事関数と閾値振動数

古典的な原子崩壊時間のオーダー見積もり → 問題 M-3. 古典的原子崩壊時間のオーダー見積もり

Bohr モデルによる水素原子のイオン化エネルギーの計算 → 問題 M-1. Bohr モデルによる水素原子のエネルギー準位の導出

参考文献¶

M. Planck, "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum," Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 237–245 (1900).
A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt," Annalen der Physik 17, 132–148 (1905).
N. Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules," Philosophical Magazine 26, 1–25 (1913).
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III (Addison-Wesley, 1965), Ch. 1.
C. Rovelli, Reality Is Not What It Seems (Penguin, 2016), Ch. 6.
清水明『新版量子論の基礎——その本質のやさしい理解のために』(サイエンス社, 2004), 第 1 章「古典物理学の破綻」.
D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2018), §1.1.