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第 4 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 自然単位系への変換と \(c\) の復元

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解法の方針: 次元解析を使い、両辺の次元が揃うように \(c\) を挿入または除去する。

(a) \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) を自然単位系で

自然単位系では \(c = 1\) とするので、\(c^2\) と \(c^4\) をすべて 1 に置き換える：

\[ \boxed{E^2 = p^2 + m^2} \]

この式では \(E\), \(p\), \(m\) がすべて同じ次元（例えば kg または eV）で扱われる。

(b) \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\) を SI 単位系で

SI 単位では速度 \(v\) は m/s の次元を持つ。\(v^2\) は速度の 2 乗（\(\text{m}^2/\text{s}^2\)）で、\(1\) と引き算するには無次元化が必要。そこで \(v\) を \(v/c\) に置き換える：

\[ \boxed{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}} \]

(c) 自然単位系で \(E = 5\) の SI 単位での値

自然単位系ではエネルギーと質量が同じ単位で測られる。SI 単位に戻すには \(E_{\text{SI}} = E_{\text{自然}} \cdot c^2\) の関係を使う。ただし「\(E = 5\)」の単位が何か（kg か eV か）で結果が変わる。

自然単位系でのエネルギーが kg で \(E = 5\) kg の場合：

\[ E_{\text{SI}} = 5 \times c^2 = 5 \times (3 \times 10^8)^2 \approx 4.5 \times 10^{17}\;\text{J} \]

自然単位系でのエネルギーが eV で \(E = 5\) eV の場合：

すでにエネルギーの単位なので、SI のジュールに変換するだけ：

\[ E_{\text{SI}} = 5\;\text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\text{J/eV} \approx 8.0 \times 10^{-19}\;\text{J} \]

(d) 電子の静止エネルギー

SI 単位（ジュール）：

\[ E = m_e c^2 = 9.11 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2 \approx 8.2 \times 10^{-14}\;\text{J} \]

電子ボルトに直すと \(\approx 511\;\text{keV} = 0.511\;\text{MeV}\)。

自然単位（kg）：

自然単位系では \(E = m\) なので、

\[ \boxed{E = m_e = 9.11 \times 10^{-31}\;\text{kg}} \]

検算

(a) 自然単位系で \(E^2 = p^2 + m^2\) を SI に戻すとき、\(p^2\) の次元を \(E^2\) に合わせるには \(c^2\) をかける（\([p^2] = (\text{kg}\cdot\text{m/s})^2\), \([E^2/c^2] = (\text{kg}\cdot\text{m/s})^2\)）。\(m^2\) を \(E^2\) に合わせるには \(c^4\) をかける。結果 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) と一致。✓

(c) 電子の場合、自然単位系では \(E = m_e = 9.11 \times 10^{-31}\) kg。SI に戻すと \(E = m_e c^2 \approx 8.2 \times 10^{-14}\) J。これは有名な電子の静止エネルギー \(0.511\) MeV に一致する。✓

B-2. 自然単位系での時間と長さ

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解法の方針: 自然単位系では \(c = 1\) なので、時間と長さが同じ単位で測られる。\(c = 3 \times 10^8\) m/s を換算係数として使う。

(a) 1 秒を長さで

光が 1 秒で進む距離は \(c \times 1\;\text{s} = 3 \times 10^8\) m。自然単位系ではこれが「1 秒」の長さ表現：

\[ \boxed{1\;\text{秒} = 3 \times 10^8\;\text{m}} \]

(b) 1 メートルを時間で

光が 1 メートル進むのにかかる時間は \(1\;\text{m}/c = 1/(3 \times 10^8)\;\text{s}\)：

\[ \boxed{1\;\text{m} = \frac{1}{3 \times 10^8}\;\text{s} \approx 3.33\;\text{ns}} \]

(c) 地球-太陽間の距離を時間で

\[ \frac{1.5 \times 10^{11}\;\text{m}}{3 \times 10^8\;\text{m/s}} = 500\;\text{s} \approx 8\;\text{分}\;20\;\text{秒} \]

物理的意味: これは光が太陽から地球に届くのにかかる時間。自然単位系では距離が「光が到達するまでの時間」として表現されるので、「太陽は地球から 500 秒離れている」と言える。我々が見ている太陽は 500 秒前の姿。

(d) 人の歩く速度を自然単位系で

\[ v = \frac{1\;\text{m/s}}{c} = \frac{1}{3 \times 10^8} \approx 3.33 \times 10^{-9} \]

自然単位系では速度は無次元（光速を 1 とする比）。人の歩く速度は光速の約 30 億分の 1。

検算

(a)(b) \(c \times 1\;\text{s} = 3 \times 10^8\) m、\(1\;\text{m}/c = 1/(3\times 10^8)\) s で、自然単位系では両者が同じ量を表す。ちょうど \(c = 1\) となる単位系。✓

(c) 光が太陽から地球に到達する実際の時間（約 8 分）と一致。日常の「太陽は 8 光分先」という表現は、まさにこの自然単位系的な表現。✓

(d) 人の日常的な速度が光速の \(10^{-9}\) オーダーであることは、特殊相対論の効果（\(\gamma \approx 1 + v^2/2\)）が日常では観測困難な理由を示している。\(v = 3.3 \times 10^{-9}\) なら \(\gamma - 1 \sim 10^{-17}\) で、原子時計でも検出が難しい。✓

B-3. Minkowski 内積の計算

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解法の方針: \(\eta_{\mu\nu}\) は対角行列 \(\mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\) なので、\(\mu = \nu\) の項のみ寄与する。

計算:

Einstein の縮約規則により、

\[ \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu = \sum_{\mu=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3}\eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu \]

\(\eta_{\mu\nu} = 0\)（\(\mu \neq \nu\)）なので、

\[ = \eta_{00}A^0 B^0 + \eta_{11}A^1 B^1 + \eta_{22}A^2 B^2 + \eta_{33}A^3 B^3 \]
\[ = (-1)(5)(2) + (+1)(3)(1) + (+1)(0)(0) + (+1)(0)(0) \]
\[ = -10 + 3 + 0 + 0 = -7 \]

最終回答:

\[ \boxed{\eta_{\mu\nu}\,A^\mu\,B^\nu = -7} \]

検算: 別の書き方で \(-A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -10 + 3 = -7\)。✓

B-4. 共変ベクトルの各成分

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解法の方針: \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) を各 \(\mu\) について計算する。

計算:

\[ A_0 = \eta_{0\nu}A^\nu = \eta_{00}A^0 = (-1)\cdot E = -E \]
\[ A_1 = \eta_{1\nu}A^\nu = \eta_{11}A^1 = (+1)\cdot p_x = p_x \]
\[ A_2 = \eta_{2\nu}A^\nu = \eta_{22}A^2 = (+1)\cdot p_y = p_y \]
\[ A_3 = \eta_{3\nu}A^\nu = \eta_{33}A^3 = (+1)\cdot p_z = p_z \]

最終回答:

\[ \boxed{A_0 = -E, \quad A_1 = p_x, \quad A_2 = p_y, \quad A_3 = p_z} \]

すなわち \(A_\mu = (-E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\)。

検算: \(A_\mu A^\mu = -E^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\)。これは \(\eta_{\mu\nu}A^\mu A^\nu\) と一致する。✓

B-5. 時空間隔の 16 項の展開

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解法の方針: \(ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu\) を \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\) の全 16 項について書き下す。

計算:

\[ ds^2 = \sum_{\mu=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3}\eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu \]

16 項を明示的に書くと（\(x^0 = t,\, x^1 = x,\, x^2 = y,\, x^3 = z\)）：

\(\mu \backslash \nu\) 0 1 2 3
0 \(\eta_{00}\,dt\,dt\) \(\eta_{01}\,dt\,dx\) \(\eta_{02}\,dt\,dy\) \(\eta_{03}\,dt\,dz\)
1 \(\eta_{10}\,dx\,dt\) \(\eta_{11}\,dx\,dx\) \(\eta_{12}\,dx\,dy\) \(\eta_{13}\,dx\,dz\)
2 \(\eta_{20}\,dy\,dt\) \(\eta_{21}\,dy\,dx\) \(\eta_{22}\,dy\,dy\) \(\eta_{23}\,dy\,dz\)
3 \(\eta_{30}\,dz\,dt\) \(\eta_{31}\,dz\,dx\) \(\eta_{32}\,dz\,dy\) \(\eta_{33}\,dz\,dz\)

\(\eta_{\mu\nu}\) は対角行列なので、\(\mu \neq \nu\) の 12 項はすべてゼロ。残る 4 項は：

\[ ds^2 = \eta_{00}(dx^0)^2 + \eta_{11}(dx^1)^2 + \eta_{22}(dx^2)^2 + \eta_{33}(dx^3)^2 \]

\(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\) を代入して、

\[ \boxed{ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2} \]

検算: 光の場合 \(dx^2 + dy^2 + dz^2 = dt^2\) なので \(ds^2 = 0\)。光速不変と整合する。✓

B-6. ダミー添字の付け替え

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解法の方針: 両辺を明示的な和で書き下し、同じ式であることを確認する。

計算:

左辺を明示的に書くと：

\[ \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu = \sum_{\mu=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3}\eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu \]
\[ = \eta_{00}A^0 B^0 + \eta_{01}A^0 B^1 + \cdots + \eta_{33}A^3 B^3 \]

右辺を明示的に書くと：

\[ \eta_{\alpha\beta}A^\alpha B^\beta = \sum_{\alpha=0}^{3}\sum_{\beta=0}^{3}\eta_{\alpha\beta}A^\alpha B^\beta \]
\[ = \eta_{00}A^0 B^0 + \eta_{01}A^0 B^1 + \cdots + \eta_{33}A^3 B^3 \]

両辺とも、\(0\) から \(3\) までの全ての組み合わせについて和をとっている。和の変数（ダミー添字）の名前を \((\mu, \nu)\) から \((\alpha, \beta)\) に変えただけであり、各項の値は同一である。したがって、

\[ \boxed{\eta_{\mu\nu}\,A^\mu\,B^\nu = \eta_{\alpha\beta}\,A^\alpha\,B^\beta} \]

検算: これは \(\sum_{i=1}^{N} a_i = \sum_{j=1}^{N} a_j\) と同じ構造。和の添字は「走る」だけなので名前に意味はない。✓

B-7. 4 元速度の規格化条件の確認

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解法の方針: \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu\) を直接計算する。

計算:

\[ U^\mu = \gamma(1,\, v,\, 0,\, 0) \]
\[ \eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -(U^0)^2 + (U^1)^2 + (U^2)^2 + (U^3)^2 \]
\[ = -\gamma^2 \cdot 1^2 + \gamma^2 \cdot v^2 + 0 + 0 \]
\[ = \gamma^2(-1 + v^2) \]

\(\gamma^2 = 1/(1 - v^2)\) を代入すると（\(c = 1\)）、

\[ = \frac{-1 + v^2}{1 - v^2} = \frac{-(1 - v^2)}{1 - v^2} = -1 \]

最終回答:

\[ \boxed{\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1} \]

検算: \(v = 0\) のとき \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) で \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -1\)。✓

B-8. 相対論的エネルギーの低速極限

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(a) 低速極限での Newton 運動エネルギーの回復

解法の方針: \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\) を Taylor 展開する。近似公式 \((1 + x)^n \approx 1 + nx\) を \(x = -v^2/c^2\), \(n = -1/2\) に適用する。

計算:

\[ \gamma = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} \approx 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{v^2}{c^2}\right) = 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \]

これを \(E = \gamma mc^2\) に代入：

\[ E \approx \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right)mc^2 = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 \]
\[ \boxed{E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2} \]

第 1 項が静止エネルギー、第 2 項が Newton の運動エネルギーである。

(b) 新幹線レベルの速度での評価

解法の方針: \(v = 100\) m/s, \(c \approx 3 \times 10^8\) m/s を代入して比を求める。

計算:

\[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{(100)^2}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{10^4}{9 \times 10^{16}} \approx 1.11 \times 10^{-13} \]

静止エネルギーに対する運動エネルギーの比は、(a) より、

\[ \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mc^2} = \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \approx 5.56 \times 10^{-14} \]
\[ \boxed{\frac{v^2}{c^2} \approx 1.1 \times 10^{-13}, \qquad \frac{(\text{運動 E})}{(\text{静止 E})} \approx 5.6 \times 10^{-14}} \]

物理的意義: 日常的な速度では運動エネルギーは静止エネルギーの \(10^{-13}\) オーダーしかない。Newton の時代には運動を \(\frac{1}{2}mv^2\) の変化として記述できれば十分で、その背後にある \(mc^2\)（約 \(9 \times 10^{16}\) J、広島型原爆の千数百倍）は完全に隠れていた。核反応で初めて \(mc^2\) のごく一部（\(\sim 10^{-3}\)）が解放され、相対論的エネルギーの存在が直接的に観測できるようになった。

(c) 質量ゼロの粒子

解法の方針: \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) と \(E = \gamma mc^2\) の両方を \(m = 0\) で評価する。

計算:

\(m = 0\) を \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) に代入：

\[ E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{E = |\vec{p}|\,c} \]

質量ゼロでも運動量 \(|\vec{p}|\) があれば有限のエネルギーを持てる。

一方、\(E = \gamma mc^2\) で \(m = 0\) かつ \(E \neq 0\) を両立させるには、

\[ E = \gamma \cdot 0 \cdot c^2 = 0 \quad (\text{有限な } \gamma \text{ では}) \]

となり矛盾する。これを避けるには \(\gamma \to \infty\) でなければならず、\(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \to \infty\) は \(v \to c\) を意味する。したがって質量ゼロで有限のエネルギーを持つ粒子は必ず光速で運動する。

光子は \(E = |\vec{p}|c\) を満たし、第 25 章で登場する重力子も同じ関係を満たす。

検算:

  • (a) \(v \to 0\) で \(E \to mc^2\)。静止エネルギーに帰着。✓
  • (a) \(v \to c\) では近似が破綻する（\(\gamma \to \infty\)）。2 次までの展開は \(v \ll c\) でのみ有効。✓
  • (c) 光子のエネルギー・運動量関係 \(E = pc\) は電磁気学からも独立に得られ、一致する。✓

Medium（標準）

M-1. テンソルの縮約と添字の分類

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解法の方針: 縮約の定義に基づき、自由添字とダミー添字を特定する。

計算

\(T^{\mu\nu}A_\nu\) を明示的に書くと、

\[ T^{\mu\nu}A_\nu = \sum_{\nu=0}^{3} T^{\mu\nu}A_\nu = T^{\mu 0}A_0 + T^{\mu 1}A_1 + T^{\mu 2}A_2 + T^{\mu 3}A_3 \]

この式において：

  • ダミー添字（縮約添字）: \(\nu\) — 上付きと下付きの両方に現れ、\(0\) から \(3\) まで和をとる。和の変数なので名前を変えても値は変わらない（例えば \(T^{\mu\alpha}A_\alpha\) と書いても同じ）。

  • 自由添字: \(\mu\) — 上付きに 1 回だけ現れ、和をとらない。\(\mu\) の値（\(0, 1, 2, 3\)）ごとに異なる値を与える。

テンソルの階数

\(T^{\mu\nu}\) は 2 階の反変テンソル（自由添字 2 つ）、\(A_\nu\) は 1 階の共変テンソル（自由添字 1 つ）である。縮約 \(T^{\mu\nu}A_\nu\) では \(\nu\) が 1 つ消えるので、残る自由添字は \(\mu\) の 1 つだけである。

\[ \boxed{T^{\mu\nu}A_\nu \text{ は 1 階の（反変）テンソル（= 4 元ベクトル）。自由添字は } \mu\text{、ダミー添字は } \nu\text{。}} \]

検算

テンソルの階数の一般則：\(n\) 階テンソルと \(m\) 階テンソルの縮約で \(k\) 個の添字を縮約すると、結果は \((n + m - 2k)\) 階テンソルになる。本問では \(n = 2\), \(m = 1\), \(k = 1\) なので \(2 + 1 - 2 = 1\) 階。✓

具体例で確認：エネルギー・運動量テンソル \(T^{\mu\nu}\) と 4 元速度 \(U_\nu\) の縮約 \(T^{\mu\nu}U_\nu\) はエネルギー・運動量の流れを表す 4 元ベクトルであり、1 階テンソルとして物理的に意味を持つ。✓

Advanced（発展）

A-1. 4 元速度と 4 元加速度

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(a) 4 元速度と 4 元加速度の直交性

解法の方針: \(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -1\) を \(\tau\) で微分する。

計算:

\[ \frac{d}{d\tau}\left(\eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu\right) = \frac{d}{d\tau}(-1) = 0 \]

左辺を微分する。\(\eta_{\mu\nu}\) は定数なので、

\[ \eta_{\mu\nu}\frac{dU^\mu}{d\tau}U^\nu + \eta_{\mu\nu}U^\mu\frac{dU^\nu}{d\tau} = 0 \]

\(a^\mu \equiv dU^\mu/d\tau\) を代入：

\[ \eta_{\mu\nu}a^\mu U^\nu + \eta_{\mu\nu}U^\mu a^\nu = 0 \]

第 1 項でダミー添字 \(\mu \leftrightarrow \nu\) を入れ替え、\(\eta_{\mu\nu} = \eta_{\nu\mu}\)（対称性）を使うと、

\[ \eta_{\nu\mu}a^\nu U^\mu + \eta_{\mu\nu}U^\mu a^\nu = 2\,\eta_{\mu\nu}U^\mu a^\nu = 0 \]

したがって、

\[ \boxed{\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,a^\nu = 0} \]

4 元速度と 4 元加速度は Minkowski 内積の意味で常に直交する。

(b) 瞬間静止系での 4 元加速度

解法の方針: 瞬間静止系で \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\) を (a) の結果に代入する。

計算:

瞬間静止系では \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)。(a) の結果より、

\[ \eta_{\mu\nu}U^\mu a^\nu = 0 \]
\[ \eta_{0\nu}U^0 a^\nu = 0 \quad (\text{$U^i = 0$ なので $\mu = 0$ の項のみ残る}) \]
\[ \eta_{00} \cdot 1 \cdot a^0 = 0 \quad \Longrightarrow \quad -a^0 = 0 \]
\[ \boxed{a^0 = 0} \]

したがって、瞬間静止系では \(a^\mu = (0, a^1, a^2, a^3)\)。この Minkowski ノルムは

\[ \eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = -(a^0)^2 + (a^1)^2 + (a^2)^2 + (a^3)^2 = (a^1)^2 + (a^2)^2 + (a^3)^2 \geq 0 \]

等号は \(a^\mu = 0\)（加速度なし）のときのみ。加速している粒子に対しては、

\[ \eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu > 0 \]

すなわち、4 元加速度は純粋に空間的なベクトルである。

(c) 一様加速度運動の世界線

解法の方針: \(U^\mu\) を \(\tau\) の関数として求め、積分して世界線を得る。

計算:

1 次元運動（\(x\) 方向のみ）なので \(U^\mu = (U^0, U^1, 0, 0)\)。

規格化条件：

\[ \eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -(U^0)^2 + (U^1)^2 = -1 \tag{I} \]

これは \(U^0 = \cosh f(\tau)\), \(U^1 = \sinh f(\tau)\) とパラメトライズできる（恒等式 \(\cosh^2 - \sinh^2 = 1\) により自動的に満たされる）。

4 元加速度：

\[ a^\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} = \left(\dot{f}\sinh f,\, \dot{f}\cosh f,\, 0,\, 0\right) \]

ここで \(\dot{f} = df/d\tau\)。

一定固有加速度の条件：

\[ \eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = -\dot{f}^2\sinh^2 f + \dot{f}^2\cosh^2 f = \dot{f}^2(\cosh^2 f - \sinh^2 f) = \dot{f}^2 = g^2 \]

したがって \(\dot{f} = g\)（\(g > 0\) を選ぶ）。積分すると、

\[ f(\tau) = g\tau + \text{const.} \]

初期条件 \(\tau = 0\) で \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)：

\[ U^0(0) = \cosh f(0) = 1, \quad U^1(0) = \sinh f(0) = 0 \]

これより \(f(0) = 0\)、したがって定数 \(= 0\)。

\[ \boxed{U^0 = \cosh(g\tau), \qquad U^1 = \sinh(g\tau)} \]

世界線の積分：

\[ t(\tau) = \int_0^\tau U^0\,d\tau' = \int_0^\tau \cosh(g\tau')\,d\tau' = \frac{1}{g}\sinh(g\tau) \]
\[ x(\tau) = x(0) + \int_0^\tau U^1\,d\tau' = \frac{1}{g} + \int_0^\tau \sinh(g\tau')\,d\tau' = \frac{1}{g} + \frac{1}{g}[\cosh(g\tau) - 1] = \frac{\cosh(g\tau)}{g} \]

ここで初期条件 \(x(0) = 1/g\) を使った。

双曲線の確認：

\[ x^2 - t^2 = \frac{\cosh^2(g\tau)}{g^2} - \frac{\sinh^2(g\tau)}{g^2} = \frac{1}{g^2} \]
\[ \boxed{x^2 - t^2 = \frac{1}{g^2}} \]

これは \(x\)-\(t\) 平面上の双曲線であり、双曲線運動 (hyperbolic motion) と呼ばれる。

検算:

  • \(\tau = 0\) で \(t = 0\), \(x = 1/g\)。初期条件と一致。✓
  • \(\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = g^2\) を直接確認：\(a^\mu = (g\sinh(g\tau),\, g\cosh(g\tau),\, 0,\, 0)\) なので \(\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu = -g^2\sinh^2(g\tau) + g^2\cosh^2(g\tau) = g^2(\cosh^2(g\tau) - \sinh^2(g\tau)) = g^2\)。✓
  • \(g\tau \ll 1\)（非相対論的極限）で \(t \approx \tau\), \(x \approx 1/g + \frac{1}{2}g\tau^2\)。\(x - 1/g \approx \frac{1}{2}gt^2\) となり、Newton の等加速度運動に帰着する。✓

A-2. 一般方向の Lorentz ブースト

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(a) 時空間隔の不変性の確認

解法の方針: \(ds'^2 = -dt'^2 + d\mathbf{x}' \cdot d\mathbf{x}'\) を計算し、\(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x}\) と一致することを示す。

計算:

与えられた変換（\(c = 1\)）：

\[ t' = \gamma(t - \mathbf{v} \cdot \mathbf{x}) \]
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{x} + (\gamma - 1)\frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x})}{v^2}\mathbf{v} - \gamma\mathbf{v}\,t \]

微分形：

\[ dt' = \gamma(dt - \mathbf{v} \cdot d\mathbf{x}) \tag{i} \]
\[ d\mathbf{x}' = d\mathbf{x} + (\gamma - 1)\frac{(\mathbf{v} \cdot d\mathbf{x})}{v^2}\mathbf{v} - \gamma\mathbf{v}\,dt \tag{ii} \]

\(dt'^2\) の計算：

\[ dt'^2 = \gamma^2(dt - \mathbf{v} \cdot d\mathbf{x})^2 = \gamma^2\left[dt^2 - 2(\mathbf{v} \cdot d\mathbf{x})dt + (\mathbf{v} \cdot d\mathbf{x})^2\right] \]

\(d\mathbf{x}' \cdot d\mathbf{x}'\) の計算：

\(d\mathbf{x}\) を \(\mathbf{v}\) に平行な成分と垂直な成分に分解する。\(\mathbf{v} \cdot d\mathbf{x} \equiv \alpha\) と略記し、\(\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{v}/v\) とする。

\[ d\mathbf{x}_\parallel = \frac{\alpha}{v^2}\mathbf{v}, \qquad d\mathbf{x}_\perp = d\mathbf{x} - \frac{\alpha}{v^2}\mathbf{v} \]

式 (ii) を書き直すと、

\[ d\mathbf{x}' = d\mathbf{x}_\perp + \frac{\alpha}{v^2}\mathbf{v} + (\gamma - 1)\frac{\alpha}{v^2}\mathbf{v} - \gamma\mathbf{v}\,dt = d\mathbf{x}_\perp + \gamma\frac{\alpha}{v^2}\mathbf{v} - \gamma\mathbf{v}\,dt \]
\[ = d\mathbf{x}_\perp + \frac{\gamma\mathbf{v}}{v^2}(\alpha - v^2\,dt) \]

\(d\mathbf{x}_\perp\) と \(\mathbf{v}\) は直交するので、

\[ |d\mathbf{x}'|^2 = |d\mathbf{x}_\perp|^2 + \frac{\gamma^2}{v^2}(\alpha - v^2\,dt)^2 \]

ここで \(|d\mathbf{x}_\perp|^2 = |d\mathbf{x}|^2 - \alpha^2/v^2\)。

\[ |d\mathbf{x}'|^2 = |d\mathbf{x}|^2 - \frac{\alpha^2}{v^2} + \frac{\gamma^2}{v^2}(\alpha - v^2\,dt)^2 \]

第 3 項を展開：

\[ \frac{\gamma^2}{v^2}(\alpha^2 - 2\alpha v^2\,dt + v^4\,dt^2) \]

したがって、

\[ |d\mathbf{x}'|^2 = |d\mathbf{x}|^2 - \frac{\alpha^2}{v^2} + \frac{\gamma^2\alpha^2}{v^2} - 2\gamma^2\alpha\,dt + \gamma^2 v^2\,dt^2 \]
\[ = |d\mathbf{x}|^2 + \frac{\alpha^2}{v^2}(\gamma^2 - 1) - 2\gamma^2\alpha\,dt + \gamma^2 v^2\,dt^2 \]

\(ds'^2\) の計算：

\[ ds'^2 = -dt'^2 + |d\mathbf{x}'|^2 \]
\[ = -\gamma^2 dt^2 + 2\gamma^2\alpha\,dt - \gamma^2\alpha^2 + |d\mathbf{x}|^2 + \frac{\alpha^2(\gamma^2 - 1)}{v^2} - 2\gamma^2\alpha\,dt + \gamma^2 v^2\,dt^2 \]

\(2\gamma^2\alpha\,dt\) の項が相殺。整理すると、

\[ = dt^2(-\gamma^2 + \gamma^2 v^2) + |d\mathbf{x}|^2 + \alpha^2\left(-\gamma^2 + \frac{\gamma^2 - 1}{v^2}\right) \]

\(dt^2\) の係数：\(\gamma^2(v^2 - 1) = \gamma^2 \cdot (-1/\gamma^2) = -1\)。

\(\alpha^2\) の係数：

\[ -\gamma^2 + \frac{\gamma^2 - 1}{v^2} = \frac{-\gamma^2 v^2 + \gamma^2 - 1}{v^2} = \frac{\gamma^2(1 - v^2) - 1}{v^2} = \frac{1 - 1}{v^2} = 0 \]

したがって、

\[ \boxed{ds'^2 = -dt^2 + |d\mathbf{x}|^2 = ds^2} \]

時空間隔は不変に保たれる。✓

(b) \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\) の場合

\(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\) のとき \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x} = vx\), \(v^2 = v^2\)。

時間成分：

\[ t' = \gamma(t - vx) \quad \checkmark \]

空間成分：

\[ x' = x + (\gamma - 1)\frac{vx}{v^2}v - \gamma v\,t = x + (\gamma - 1)x - \gamma vt = \gamma x - \gamma vt = \gamma(x - vt) \quad \checkmark \]
\[ y' = y + (\gamma - 1)\frac{v \cdot 0}{v^2}v_y - \gamma v_y\,t = y + 0 - 0 = y \quad \checkmark \]
\[ z' = z \quad \checkmark \]

標準的な \(x\) 方向ブーストに帰着する。

(c) Thomas 回転

解法の方針: 純粋なブーストの行列が対称であることを示し、2 つの異なる方向のブーストの合成が一般に対称でないことから、回転成分の存在を議論する。

純粋なブーストの対称性：

一般方向のブースト \(\Lambda(\mathbf{v})\) の行列成分を書き下す。\(\beta^i = v^i\), \(\beta = |\mathbf{v}|\) として（\(c = 1\)）、

\[ \Lambda^{0}{}_{0} = \gamma \]
\[ \Lambda^{0}{}_{i} = \Lambda^{i}{}_{0} = -\gamma\beta^i \]
\[ \Lambda^{i}{}_{j} = \delta^i{}_j + (\gamma - 1)\frac{\beta^i\beta^j}{\beta^2} \]

ここで \(\Lambda^{0}{}_{i} = \Lambda^{i}{}_{0}\) であり、\(\Lambda^{i}{}_{j}\) は \(i, j\) について対称（\(\beta^i\beta^j = \beta^j\beta^i\)）。したがって、純粋なブーストの \(4 \times 4\) 行列は対称行列である：

\[ \Lambda^{\mu}{}_{\nu} = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} \]

合成の非対称性：

\(\mathbf{v}_1\) と \(\mathbf{v}_2\) がともに \(x\)-\(y\) 平面内にあり、\(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \neq \mathbf{0}\) とする。\(\Lambda_1 = \Lambda(\mathbf{v}_1)\) と \(\Lambda_2 = \Lambda(\mathbf{v}_2)\) はともに対称行列である。

合成変換 \(\Lambda_{21} = \Lambda_2 \Lambda_1\) の転置を考えると、

\[ \Lambda_{21}^T = (\Lambda_2 \Lambda_1)^T = \Lambda_1^T \Lambda_2^T = \Lambda_1 \Lambda_2 \]

もし \(\Lambda_{21}\) が対称ならば \(\Lambda_{21} = \Lambda_{21}^T\)、すなわち \(\Lambda_2\Lambda_1 = \Lambda_1\Lambda_2\)。しかし、異なる方向のブーストは一般に非可換（\(\Lambda_2\Lambda_1 \neq \Lambda_1\Lambda_2\)）であるから、

\[ \Lambda_{21}^T \neq \Lambda_{21} \]

すなわち、合成変換 \(\Lambda_{21}\) は対称行列ではない。

回転成分の同定：

任意の proper Lorentz 変換は、純粋なブースト \(B\)（対称行列）と空間回転 \(R\)（直交行列）の積に一意に分解できる（極分解）：

\[ \Lambda_{21} = B \cdot R \]

\(\Lambda_{21}\) が対称でないということは \(R \neq I\)（恒等変換でない）、すなわち非自明な空間回転が含まれることを意味する。

この回転は Thomas 回転（または Wigner 回転）と呼ばれる。\(\mathbf{v}_1\) と \(\mathbf{v}_2\) が \(x\)-\(y\) 平面内にある場合、回転軸は \(z\) 軸であり、回転角 \(\Omega\) は \(v_1, v_2\) および両者のなす角に依存する。

物理的意義： Thomas 回転は、原子物理学におけるスピン-軌道相互作用の Thomas 因子 \(1/2\) の起源であり、水素原子の微細構造の正確な計算に不可欠である。電子が原子核の周りを曲線運動するとき、瞬間的なブースト方向が刻々と変化し、その合成が回転を生む。

検算:

  • 同じ方向のブースト（\(\mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{v}_2\)）の場合：\(\Lambda_1\) と \(\Lambda_2\) は可換であり、合成は対称行列（純粋なブースト）になる。Thomas 回転はゼロ。✓
  • \(v_1, v_2 \ll 1\) の極限では Thomas 回転角は \(\Omega \approx \frac{1}{2}(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)\) のオーダーとなり、2 次の微小量。非相対論的極限で消える。✓