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Appendix E 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 複素数の絶対値と偏角

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\(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

\(\arg(z) = \arctan(1/1) = \pi/4\)（第 1 象限）

極形式：\(z = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}\)

B-2. Euler の公式 \(e^{i\pi}+1=0\)

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\(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + i \cdot 0 = -1\)

\(e^{i\pi} + 1 = 0\) ✓

含まれる 5 つの数学定数：\(e\)（自然対数の底）、\(i\)（虚数単位）、\(\pi\)（円周率）、\(1\)（乗法の単位元）、\(0\)（加法の単位元）。

B-3. 極形式での積

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\(z_1 z_2 = 2e^{i\pi/3} \cdot 3e^{i\pi/6} = 6\, e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\, e^{i\pi/2}\)

\(= 6(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2)) = 6i\)

B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) で確認

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\(f(z) = (x+iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy\)

\(u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy\)

CR 関係式の確認：

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x\) → \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) ✓

\(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -2y\) → \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\) ✓

B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) は破れる

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\(f = x^2 + y^2\)（実数値関数なので \(v = 0\)）

\(u = x^2 + y^2, \quad v = 0\)

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0\)

\(2x = 0\) は \(x = 0\) でしか成り立たない。一般には \(\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}\)。

CR 関係式を満たさないので、\(|z|^2\) は正則ではない。

B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)

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\(z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\)

\(\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)\)

\(\partial_x(z^2) = 2x + 2iy = 2(x + iy) = 2z\)

\(\partial_y(z^2) = -2y + 2ix = 2i(x + iy) = 2iz\)

\(\partial_z(z^2) = \frac{1}{2}(2z - i \cdot 2iz) = \frac{1}{2}(2z + 2z) = 2z\) ✓

B-7. \(1/(z-1)\) の留数

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\(z = 1\) は 1 位の極。

\(\text{Res}_{z=1} \frac{1}{z-1} = \lim_{z \to 1}(z-1) \cdot \frac{1}{z-1} = 1\)

B-8. \(1/z^2\) の Laurent 展開と留数

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\(f(z) = z^{-2}\)

これは既に Laurent 展開の形。\(a_{-2} = 1\), \(a_{-1} = 0\), 他は全てゼロ。

留数 \(= a_{-1} = 0\)。

\(z = 0\) は 2 位の極（\(a_{-2} \neq 0\), \(a_n = 0\) for \(n < -2\)）。

B-9. \(e^{1/z}\) の Laurent 展開

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\(e^w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^n}{n!}\) で \(w = 1/z\) とおくと：

\(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!\, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{6z^3} + \cdots\)

留数（\(z^{-1}\) の係数）\(= a_{-1} = 1\) ✓

主要部（\(n < 0\) の項）が無限に続くので、\(z = 0\) は真性特異点。

Medium（標準）

M-1. 留数定理：2 つの極

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\(|z| = 2\) の円の内部に \(z = 0\) と \(z = 1\) の 2 つの極がある。

\(z = 0\) での留数：\(\lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{0-1} = -1\)

\(z = 1\) での留数：\(\lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{1} = 1\)

留数定理：

\(\oint_{|z|=2} \frac{dz}{z(z-1)} = 2\pi i(-1 + 1) = 0\)

M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) の留数

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\(z = 1\) での留数：\(\lim_{z \to 1}(z-1) \cdot \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{1}{1-2} = -1\)

\(z = 2\) での留数：\(\lim_{z \to 2}(z-2) \cdot \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{2}{2-1} = 2\)

\(|z| = 3\) の円の内部に両方の極が含まれるので：

\(\oint_{|z|=3} f(z)\,dz = 2\pi i(-1 + 2) = 2\pi i\)

M-3. Möbius 変換の合成

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解答:

まず \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\)。行列は：

\[M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

次に \(w_2(w) = 2w + 3\)。\(w_2(w) = (2w+3)/(0\cdot w + 1)\) だから：

\[M_2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

合成 \(w_2(w_1(z))\) を直接計算:

\[w_2(w_1(z)) = 2 \cdot \frac{z+1}{z-1} + 3 = \frac{2(z+1) + 3(z-1)}{z-1} = \frac{5z - 1}{z-1}\]

行列積 \(M_2 M_1\):

\[M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3 & 2-3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

これに対応する Möbius 変換は \((5z - 1)/(z - 1)\) で、直接計算と一致 ✓

Advanced（発展）

A-1. 共形写像 \(w = 1/z\)

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単位円 \(|z| = 1\) の像:

\(|z| = 1\) のとき \(z = e^{i\theta}\)。\(w = 1/z = e^{-i\theta}\)。

\(|w| = 1\) なので、単位円は単位円自身に写される（ただし回る向きが逆転）。

実軸の像:

\(z = x\)（\(x\) は実数、\(x \neq 0\)）のとき \(w = 1/x\)（実数）。

実軸は実軸自身に写される。ただし \(x > 0\) は \(w > 0\) に、\(x < 0\) は \(w < 0\) に写り、\(x \to 0^+\) で \(w \to +\infty\)、\(x \to \pm\infty\) で \(w \to 0\)。

A-2. \(\partial X\) と \(\bar\partial X\) の交差項

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解答:

(a) \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) の計算：

\[\langle X(z,\bar z)\, X(w, \bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2 = -\frac{\alpha'}{2}[\ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)]\]

\(z\) で微分：

\[\partial_z \langle XX\rangle = -\frac{\alpha'}{2} \cdot \frac{1}{z-w}\]

（\(\ln(\bar z - \bar w)\) は \(z\) に依存しないので消える。）

続いて \(\bar w\) で微分：

\[\partial_{\bar w}\left[-\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{z-w}\right] = 0\]

（\(1/(z-w)\) は \(\bar w\) に依存しないので 0。）

したがって：

\[\boxed{\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = 0 \qquad (z \neq w)}\]

正則部分と反正則部分が完全に分離する。これが共形場理論の「左右セクターの独立性」の根拠。

(b) \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle\) の計算：

\(\bar z\) で微分すると反正則部分だけ残る：

\[\partial_{\bar z} \langle XX\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{\bar z - \bar w}\]

続いて \(\bar w\) で微分（\(\bar z\) 側から見ると \(\bar w\) 側の符号に注意）：

\[\partial_{\bar w}\frac{1}{\bar z - \bar w} = \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\]

したがって：

\[\boxed{\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\cdot\frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}}\]

反正則側も完全に \(z \leftrightarrow \bar z\) 対称な形で、正則側と同じ構造を持つ。