コンテンツにスキップ

第 3 章 練習問題 解答

← 問題に戻る　|　本文に戻る

目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Lagrangian 密度からの Euler-Lagrange 方程式（Klein-Gordon 場）

→ 問題に戻る

問題:

実スカラー場 \(\phi(x)\) の Lagrangian 密度が

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

で与えられる。Euler-Lagrange 方程式 (3.7) を用いて、以下の各ステップを明示的に計算せよ。

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) を求めよ。

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\) を求めよ。

(c) (a), (b) の結果を Euler-Lagrange 方程式に代入し、Klein-Gordon 方程式を導け。

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) の計算:

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) において、\(\phi\) そのもの（微分がついていない \(\phi\)）を含む項は \(-\frac{1}{2}m^2\phi^2\) のみである。

\[ \boxed{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2\phi} \]

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\) の計算:

運動項を \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\) と書き直す。\(\partial_\mu\phi\) で偏微分すると：

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left[\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\right] = \frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}(\delta^\mu_\alpha\,\partial_\beta\phi + \partial_\alpha\phi\,\delta^\mu_\beta) = \frac{1}{2}(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi + \eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi) = \partial^\mu\phi \]
\[ \boxed{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu\phi} \]

(c) Klein-Gordon 方程式の導出:

Euler-Lagrange 方程式 \(\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\) に代入する：

\[ \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi = 0} \]

これが Klein-Gordon 方程式である。

検算： 平面波 \(\phi \propto e^{-ik\cdot x}\) を代入すると \(-k_\mu k^\mu + m^2 = 0\)、すなわち \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) が得られ、相対論的分散関係と整合する。

B-2. 運動項の添え字の展開

→ 問題に戻る

問題:

Lagrangian 密度の運動項 \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) を、Minkowski 計量 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) を用いて時間成分と空間成分に明示的に展開し、

\[ \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 \]

を示せ。ここで \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\)、\(\nabla\phi = (\partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\) である。

\(\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\) を用いて各成分を確認する：

\[ \partial^0\phi = \eta^{00}\partial_0\phi = (+1)\partial_0\phi = \dot{\phi} \]
\[ \partial^i\phi = \eta^{ii}\partial_i\phi = (-1)\partial_i\phi = -\partial_i\phi \quad (i = 1, 2, 3) \]

\(\mu\) について和を取ると：

\[ \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\left[\partial_0\phi\,\partial^0\phi + \sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi\,\partial^i\phi\right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[\dot{\phi}\cdot\dot{\phi} + \sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi\cdot(-\partial_i\phi)\right] \]
\[ \boxed{\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2} \]

検算： 計量の符号 \((+,-,-,-)\) から、時間成分は正、空間成分は負の符号を持つことが確認できる。

B-3. 質量項を含まない場の分散関係

→ 問題に戻る

問題:

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) から得られる運動方程式に、平面波解

\[ \phi(x) = A\,e^{-ik_\mu x^\mu} = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \]

を代入し、分散関係 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2\) を導け。ここで \(k^\mu = (E, \mathbf{p})\) である。

\(m = 0\) の Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) から得られる運動方程式は：

\[ \partial_\mu\partial^\mu\phi = 0 \quad (\text{波動方程式}) \]

平面波解 \(\phi(x) = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) の各微分を計算する：

\[ \partial_0\phi = -iE\,\phi, \qquad \partial_0^2\phi = (-iE)^2\phi = -E^2\phi \]
\[ \partial_i\phi = ip_i\,\phi, \qquad \nabla^2\phi = (ip_1)^2\phi + (ip_2)^2\phi + (ip_3)^2\phi = -|\mathbf{p}|^2\phi \]

d'Alembertian を計算する：

\[ \partial_\mu\partial^\mu\phi = \partial_0^2\phi - \nabla^2\phi = -E^2\phi - (-|\mathbf{p}|^2\phi) = (-E^2 + |\mathbf{p}|^2)\phi = 0 \]

\(\phi \neq 0\) より：

\[ \boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2} \]

検算： これは質量ゼロの粒子（光子など）の分散関係 \(E = |\mathbf{p}|\) に対応し、物理的に正しい。

B-4. 相互作用項を含む Lagrangian

→ 問題に戻る

問題:

実スカラー場の Lagrangian 密度が

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 \]

で与えられるとき（\(\lambda\) は結合定数）、Euler-Lagrange 方程式を導き、

\[ (\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0 \]

を示せ。

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 \]

ステップ 1： \(\phi\) による偏微分

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -m^2\phi - \frac{\lambda}{4!}\cdot 4\phi^3 = -m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3 \]

ステップ 2： \(\partial_\mu\phi\) による偏微分

\(\phi^4\) の項は \(\partial_\mu\phi\) を含まないので、D1(b) と同じ結果：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi \]

ステップ 3： Euler-Lagrange 方程式に代入

\[ \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - \left(-m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3\right) = 0 \]
\[ \boxed{(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0} \]

検算： \(\lambda = 0\) とすると自由 Klein-Gordon 方程式に戻る。また、\(\frac{\lambda}{4!}\phi^4\) を \(\phi\) で微分すると \(\frac{4\lambda}{4!}\phi^3 = \frac{\lambda}{3!}\phi^3\) であり、階乗の処理が正しいことが確認できる。

B-5. d'Alembertian の成分表示

→ 問題に戻る

問題:

d'Alembertian (ダランベルシアン) \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu\) を、時間微分と空間微分で明示的に書き下せ。さらに、Klein-Gordon 方程式 \((\Box + m^2)\phi = 0\) を \((t, x, y, z)\) 成分で書き下せ。

\(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\) を展開する：

\[ \Box = \eta^{00}\partial_0\partial_0 + \eta^{11}\partial_1\partial_1 + \eta^{22}\partial_2\partial_2 + \eta^{33}\partial_3\partial_3 \]
\[ = (+1)\frac{\partial^2}{\partial t^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial x^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial y^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial z^2} \]
\[ \boxed{\Box = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}} \]

Klein-Gordon 方程式 \((\Box + m^2)\phi = 0\) を成分で書くと：

\[ \boxed{\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} + m^2\phi = 0} \]

検算： \(m = 0\) とすると通常の波動方程式 \(\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi\) に帰着する。

B-6. 連続の方程式の成分展開

→ 問題に戻る

問題:

保存カレント \(j^\mu = (j^0, j^1, j^2, j^3)\) が \(\partial_\mu j^\mu = 0\) を満たすとする。

(a) この式を時間成分と空間成分に分けて書き下し、連続の方程式の形にせよ。

(b) 保存電荷 \(Q = \int d^3x\,j^0\) が時間に依存しないことを、Gauss の定理を用いて示せ。ただし \(\mathbf{j}\) は空間の無限遠で十分速く減衰すると仮定する。

(a) 連続の方程式:

\(\partial_\mu j^\mu = 0\) を展開する：

\[ \partial_\mu j^\mu = \partial_0 j^0 + \partial_1 j^1 + \partial_2 j^2 + \partial_3 j^3 = \frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0 \]
\[ \boxed{\frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0} \]

これは電荷密度 \(\rho = j^0\) と電流密度 \(\mathbf{j}\) に対する連続の方程式と同じ形である。

(b) 保存電荷の時間不変性:

\[ \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}\int d^3x\,j^0 = \int d^3x\,\frac{\partial j^0}{\partial t} \]

(a) の結果 \(\frac{\partial j^0}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{j}\) を代入すると：

\[ \frac{dQ}{dt} = -\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j} \]

Gauss の定理を適用する：

\[ \frac{dQ}{dt} = -\oint_{\partial V}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S} \]

\(\mathbf{j}\) が空間の無限遠で十分速く減衰する（\(|\mathbf{j}| \to 0\) as \(|\mathbf{x}| \to \infty\)）と仮定すれば、積分領域を全空間に取ったとき表面積分はゼロになる：

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt} = 0} \]

したがって \(Q\) は時間に依存しない保存量である。

検算： 次元解析として、\(j^0\) が電荷密度の次元を持つなら \(Q = \int d^3x\,j^0\) は電荷の次元を持ち、整合する。

B-7. 複素スカラー場の偏微分

→ 問題に戻る

問題:

複素スカラー場 \(\phi(x)\) とその複素共役 \(\phi^*(x)\) を独立な変数として扱う。Lagrangian 密度が

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

で与えられるとき、以下を計算せよ。

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\)

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\)

(c) \(\phi^*\) に対する Euler-Lagrange 方程式を書き下せ。

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi \]

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\) の計算:

\(\phi^*\) そのもの（微分がついていない）を含む項は \(-m^2\phi^*\phi\) のみ。\(\phi\) は定数として扱う：

\[ \boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^*} = -m^2\phi} \]

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\) の計算:

\(\mathcal{L} = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi\) を \(\partial_\mu\phi^*\) で微分する。\(\partial_\beta\phi\) は \(\partial_\mu\phi^*\) に依存しないので定数として扱える：

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\left[\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\right] = \eta^{\alpha\beta}\delta^\mu_\alpha\,\partial_\beta\phi = \eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi = \partial^\mu\phi \]
\[ \boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} = \partial^\mu\phi} \]

(c) \(\phi^*\) に対する Euler-Lagrange 方程式:

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^*} = 0 \]
\[ \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0 \]
\[ \boxed{(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0} \]

\(\phi\) に対する Klein-Gordon 方程式が得られる。

検算： 同様に \(\phi\) に対する Euler-Lagrange 方程式を導くと \((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi^* = 0\) が得られ、\(\phi\) と \(\phi^*\) がそれぞれ独立に Klein-Gordon 方程式を満たすことが確認できる。

B-8. Noether カレントの構成（公式の適用）

→ 問題に戻る

問題:

Noether の定理によれば、場 \(\phi\) の微小変換 \(\phi \to \phi + \delta\phi\) のもとで Lagrangian 密度が不変（\(\delta\mathcal{L} = 0\)）であるとき、保存カレントは

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi \]

で与えられる。Klein-Gordon 場 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して、微小な定数シフト \(\delta\phi = \epsilon\)（\(\epsilon\) は微小定数）を考える。

(a) この変換のもとで \(\delta\mathcal{L}\) を計算し、\(m \neq 0\) の場合にこれが対称性とならないことを確認せよ。

(b) \(m = 0\) の場合にはこの変換が対称性となることを確認し、対応する保存カレント \(j^\mu\) を書き下せ。

(a) \(\delta\mathcal{L}\) の計算:

微小定数シフト \(\delta\phi = \epsilon\) のもとで \(\partial_\mu(\delta\phi) = 0\) なので \(\delta(\partial_\mu\phi) = 0\)。

\[ \delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta(\partial_\mu\phi) = (-m^2\phi)\cdot\epsilon + \partial^\mu\phi\cdot 0 = -m^2\phi\,\epsilon \]

\(m \neq 0\) かつ \(\phi \neq 0\) のとき \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) であるから：

\[ \boxed{m \neq 0 \text{ の場合、定数シフトは対称性ではない}} \]

(b) \(m = 0\) の場合:

\(m = 0\) のとき：

\[ \delta\mathcal{L} = -0\cdot\phi\,\epsilon = 0 \]

したがって定数シフトは対称性である。対応する保存カレントは：

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi = \partial^\mu\phi\cdot\epsilon \]

\(\epsilon\) を除いて（\(\epsilon\) は任意の微小定数なので係数を取り出す）：

\[ \boxed{j^\mu = \partial^\mu\phi} \]

検算： \(m = 0\) の運動方程式は \(\partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\) であるから、\(\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\) が確かに成り立つ。\(m \neq 0\) の場合は \(\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\partial^\mu\phi = -m^2\phi \neq 0\) となり、カレントが保存しないことも整合する。

Medium（標準）

M-1. 共役運動量と Hamiltonian 密度の導出

→ 問題に戻る

問題:

実スカラー場の Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して、以下を行え。

(a) 場 \(\phi\) に共役な運動量密度 \(\pi(x)\) を

\[ \pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} \]

により定義し、その具体的な表式を求めよ。

(b) Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\) を Legendre 変換

\[ \mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L} \]

により構成し、\(\pi\)、\(\phi\)、\(\nabla\phi\) を用いて書き下せ。

(c) 得られた \(\mathcal{H}\) の各項の物理的意味を、粒子力学の Hamiltonian \(H = T + V\) との類推で説明せよ。

(a) 共役運動量密度:

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) （D2 の結果を使用）

\[ \pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = \frac{\partial}{\partial\dot{\phi}}\left[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2\right] = \dot{\phi} \]
\[ \boxed{\pi(x) = \dot{\phi}(x)} \]

(b) Hamiltonian 密度:

Legendre 変換 \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) を計算する。\(\dot{\phi} = \pi\) を用いて：

\[ \mathcal{H} = \pi\cdot\pi - \left[\frac{1}{2}\pi^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right] \]
\[ = \pi^2 - \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]
\[ \boxed{\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2} \]

(c) 物理的意味:

粒子力学の Hamiltonian \(H = T + V\)（運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー）との類推：

項 物理的意味 粒子力学との対応
\(\frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2\) 場の時間変化に伴うエネルギー密度 運動エネルギー \(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\)
\(\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2\) 場の空間的な勾配に伴うエネルギー密度（隣接する点の場の値が異なることのコスト） バネで繋がれた質点系のバネのポテンシャルエネルギー
\(\frac{1}{2}m^2\phi^2\) 場の値そのものに伴うエネルギー密度（質量項） 調和振動子のポテンシャル \(\frac{1}{2}k q^2\)

重要な点として、\(\mathcal{H}\) の 3 つの項はすべて正定値であり、エネルギー密度は \(\mathcal{H} \geq 0\) を満たす。これは理論の安定性を保証する。

検算： \(\mathcal{H}\) の次元を確認する。自然単位系で \([\phi] = \text{mass}^1\)、\([\partial_\mu] = \text{mass}^1\) なので \([\mathcal{H}] = \text{mass}^4\) であり、エネルギー密度（= エネルギー/体積 = mass\(^4\)）の次元と一致する。

M-2. 複素スカラー場の内部対称性と Noether カレント

→ 問題に戻る

問題:

複素スカラー場の Lagrangian 密度

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

は、大域的 \(U(1)\) 変換

\[ \phi(x) \to e^{i\alpha}\phi(x), \qquad \phi^*(x) \to e^{-i\alpha}\phi^*(x) \]

のもとで不変である（\(\alpha\) は実定数）。

(a) 微小変換（\(\alpha \ll 1\)）のもとで \(\delta\phi = i\alpha\phi\)、\(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\) を用いて、\(\delta\mathcal{L} = 0\) を明示的に確認せよ。

(b) Noether の定理を用いて保存カレント \(j^\mu\) を導出せよ。

(c) 保存電荷 \(Q = \int d^3x\,j^0\) を書き下し、これが「粒子数 \(-\) 反粒子数」に対応するものであることを定性的に説明せよ。

(a) \(\delta\mathcal{L} = 0\) の確認:

微小変換 \(\delta\phi = i\alpha\phi\)、\(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\) のもとで：

\[ \delta(\partial_\mu\phi) = i\alpha\,\partial_\mu\phi, \qquad \delta(\partial_\mu\phi^*) = -i\alpha\,\partial_\mu\phi^* \]

\(\mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi\) の変分を計算する：

\[ \delta\mathcal{L} = \delta(\partial_\mu\phi^*)\,\partial^\mu\phi + \partial_\mu\phi^*\,\delta(\partial^\mu\phi) - m^2[\delta(\phi^*)\,\phi + \phi^*\,\delta\phi] \]

各項を代入する：

\[ = (-i\alpha\,\partial_\mu\phi^*)\,\partial^\mu\phi + \partial_\mu\phi^*\,(i\alpha\,\partial^\mu\phi) - m^2[(-i\alpha\phi^*)\phi + \phi^*(i\alpha\phi)] \]
\[ = -i\alpha\,\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi + i\alpha\,\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2[-i\alpha\phi^*\phi + i\alpha\phi^*\phi] \]
\[ = 0 + 0 = 0 \]
\[ \boxed{\delta\mathcal{L} = 0} \]

(b) Noether カレントの導出:

複素スカラー場の場合、Noether カレントは：

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\,\delta\phi^* \]

各偏微分を計算する。\(\mathcal{L} = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi\) より：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi^* \]
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} = \partial^\mu\phi \]

代入すると：

\[ j^\mu = \partial^\mu\phi^*\cdot(i\alpha\phi) + \partial^\mu\phi\cdot(-i\alpha\phi^*) \]
\[ = i\alpha\left[\phi\,\partial^\mu\phi^* - \phi^*\,\partial^\mu\phi\right] \]

\(\alpha\) の係数を取り出して保存カレントを定義する：

\[ \boxed{j^\mu = i\left(\phi\,\partial^\mu\phi^* - \phi^*\,\partial^\mu\phi\right)} \]

(c) 保存電荷:

\[ Q = \int d^3x\,j^0 = i\int d^3x\left(\phi\,\partial^0\phi^* - \phi^*\,\partial^0\phi\right) = i\int d^3x\left(\phi\,\dot{\phi}^* - \phi^*\,\dot{\phi}\right) \]
\[ \boxed{Q = i\int d^3x\left(\phi\,\dot{\phi}^* - \phi^*\,\dot{\phi}\right)} \]

物理的意味： 量子化後、複素スカラー場は粒子と反粒子の両方を記述する。場 \(\phi\) を Fourier 展開すると、正振動数部分が粒子の消滅演算子に、負振動数部分が反粒子の生成演算子に対応する。保存電荷 \(Q\) は量子化後に「粒子数 \(-\) 反粒子数」（\(N_{\text{particle}} - N_{\text{antiparticle}}\)）に比例する演算子となる。これは \(U(1)\) 対称性に対応する保存量であり、電磁相互作用と結合させれば電荷保存に対応する。

検算： \(\phi\) が実スカラー場（\(\phi = \phi^*\)）の場合、\(j^\mu = i(\phi\,\partial^\mu\phi - \phi\,\partial^\mu\phi) = 0\) となり、実スカラー場には \(U(1)\) 電荷がないことと整合する。

M-3. 時空並進不変性とエネルギー・運動量テンソル

→ 問題に戻る

問題:

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) が時空並進 \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\)（\(a^\mu\) は微小定数ベクトル）に対して不変であるとする。この変換のもとで場は \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) と変化する。

(a) Lagrangian 密度自身の変化が \(\delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})\) と全微分の形に書けることを示せ。

(b) Noether の定理の一般化（\(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) の場合、保存カレントは \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi - K^\mu\)）を用いて、正準エネルギー・運動量テンソル (canonical energy-momentum tensor)

\[ T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L} \]

を導出せよ。

(c) Klein-Gordon 場の Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して \(T^{00}\) を計算し、これが Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\) に一致することを確認せよ。

(a) \(\delta\mathcal{L}\) が全微分であることの証明:

\(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) は \(x^\mu\) に陽に依存しないので、\(\mathcal{L}\) の時空依存性は場 \(\phi(x)\) を通じてのみ生じる。時空並進 \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\) のもとで場は \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) と変化する。

\(\mathcal{L}\) の変化を直接計算する。\(\mathcal{L}\) を \(x\) の合成関数として見ると：

\[ \delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta(\partial_\mu\phi) \]

一方、\(\mathcal{L}\) 自身もスカラー場であるから、同じ並進のもとで：

\[ \delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} \]

これを全微分の形に書き直す。\(a^\nu\) は定数なので：

\[ \delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = -\partial_\mu(a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) \]

ここで \(\partial_\mu\delta^\mu{}_\nu = 0\)（定数）かつ \(\partial_\mu a^\nu = 0\)（定数）を用いた。

\[ \boxed{\delta\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})} \]

これは \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) の形であり、\(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) である。

(b) エネルギー・運動量テンソルの導出:

一般化された Noether の定理（\(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) の場合）によれば、保存カレントは：

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

\(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) と \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) を代入する：

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,(-a^\nu\partial_\nu\phi) - (-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) \]
\[ = -a^\nu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\right] \]

\(a^\nu\) は任意の定数ベクトルなので、\(\nu\) ごとに独立な保存カレントが得られる。\(j^\mu = -a^\nu T^\mu{}_\nu\) とおくと：

\[ \boxed{T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L}} \]

保存則は \(\partial_\mu T^{\mu}{}_\nu = 0\)（各 \(\nu\) について）である。

(c) Klein-Gordon 場の \(T^{00}\) の計算:

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して：

\[ T^{0}{}_{0} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\,\partial_0\phi - \delta^0{}_{0}\,\mathcal{L} \]

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)} = \partial^0\phi = \dot{\phi}\) であるから：

\[ T^{0}{}_{0} = \dot{\phi}\cdot\dot{\phi} - \mathcal{L} = \dot{\phi}^2 - \left[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right] \]
\[ = \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]
\[ T^{00} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

S1(b) で得た Hamiltonian 密度と比較すると（\(\pi = \dot{\phi}\) を用いて）：

\[ \mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]
\[ \boxed{T^{00} = \mathcal{H}} \]

検算： \(T^{00}\) はエネルギー密度であり、Hamiltonian 密度と一致すべきである。また、\(T^{00} \geq 0\)（各項が正定値）であり、エネルギーが下に有界であることが確認できる。さらに \(T^{0i}\) を計算すると \(T^{0i} = \dot{\phi}\,\partial_i\phi\) となり、これは運動量密度に対応する。

M-4. Dirac 場の Euler-Lagrange 方程式

→ 問題に戻る

問題:

Dirac 場 \(\psi(x)\)（4 成分スピノル）の Lagrangian 密度は

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi \]

で与えられる。ここで \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\) は Dirac 共役、\(\gamma^\mu\) はガンマ行列である。

(a) \(\bar{\psi}\) を独立な変数として扱い、\(\bar{\psi}\) に関する Euler-Lagrange 方程式を導出して、Dirac 方程式

\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0 \]

を得よ。

(b) \(\psi\) に関する Euler-Lagrange 方程式を導出し、\(\bar{\psi}\) に対する随伴 Dirac 方程式

\[ \bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0 \]

を得よ。ここで \(\overleftarrow{\partial}_\mu\) は左に作用する微分を表す。

(a) \(\bar{\psi}\) に関する Euler-Lagrange 方程式:

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi \]

\(\bar{\psi}\) を独立変数として扱う。\(\mathcal{L}\) の中で \(\partial_\mu\bar{\psi}\) を含む項は存在しない（\(\partial_\mu\) は \(\psi\) にのみ作用している）。したがって：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})} = 0 \]

Euler-Lagrange 方程式は：

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0 \implies -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0 \]

\(\bar{\psi}\) による偏微分を計算する：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi = (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi \]

したがって：

\[ \boxed{(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0} \]

これが Dirac 方程式である。

(b) \(\psi\) に関する Euler-Lagrange 方程式:

\(\psi\) を独立変数として扱う。

\(\psi\) による偏微分：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi} = -m\bar{\psi} \]

（\(i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi\) の項は \(\partial_\mu\psi\) を含むので、\(\psi\) そのものによる偏微分には寄与しない。）

\(\partial_\mu\psi\) による偏微分：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)} = i\bar{\psi}\gamma^\mu \]

Euler-Lagrange 方程式に代入する：

\[ \partial_\mu\left(i\bar{\psi}\gamma^\mu\right) - (-m\bar{\psi}) = 0 \]
\[ i(\partial_\mu\bar{\psi})\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0 \]

左に作用する微分の記法 \(\overleftarrow{\partial}_\mu\) を用いて書き直すと：

\[ \boxed{\bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0} \]

これが随伴 Dirac 方程式である。

検算： Dirac 方程式 \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\) の Dirac 共役を取る。\(\psi^\dagger\) を左から掛けて \(\gamma^0\) を右から掛ける操作を行うと：

\[ [(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi]^\dagger\gamma^0 = 0 \]
\[ \psi^\dagger(-i\gamma^{\mu\dagger}\overleftarrow{\partial}_\mu - m)\gamma^0 = 0 \]

\(\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0 = \gamma^\mu\) の関係（ガンマ行列のエルミート性）を用いると \(\bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0\) が得られ、(b) の結果と一致する。

Advanced（発展）

A-1. Noether の定理の一般化

→ 問題に戻る

問題:

場の変換 \(\phi \to \phi + \delta\phi\) のもとで、Lagrangian 密度が不変ではなく、ある 4 元ベクトル \(K^\mu\) を用いて

\[ \delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu \]

と全微分（4 次元の発散）の形で変化する場合を考える。

(a) 作用 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) の変分 \(\delta S\) がこの場合にも（適切な境界条件のもとで）ゼロになることを示し、運動方程式が変わらないことを確認せよ。

(b) 修正された Noether カレント

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

が、運動方程式が成り立つとき \(\partial_\mu j^\mu = 0\) を満たすことを証明せよ。

(c) 応用として、実スカラー場 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - V(\phi)\) に対する Lorentz ブースト変換（\(x\) 方向に微小ラピディティ \(\delta\omega\)）

\[ \delta\phi = -\delta\omega\,(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi) \]

を考え、対応する保存カレントを構成せよ。この保存電荷の物理的意味を論じよ。

(a) 作用の不変性:

作用の変分は：

\[ \delta S = \int d^4x\,\delta\mathcal{L} = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu \]

4 次元の Gauss の定理（発散定理）を適用する：

\[ \delta S = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu = \oint_{\partial\Omega} K^\mu\,dS_\mu \]

ここで \(\partial\Omega\) は 4 次元積分領域の境界面である。場の変分 \(\delta\phi\) が境界でゼロになる（あるいは \(K^\mu\) が境界で十分速く減衰する）という境界条件のもとで：

\[ \boxed{\delta S = 0} \]

したがって運動方程式（\(\delta S = 0\) から導かれる Euler-Lagrange 方程式）は変わらない。

(b) 修正された Noether カレントの保存の証明:

\(\delta\mathcal{L}\) を場の変分を通じて計算する：

\[ \delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi) \]

第 2 項を部分積分的に書き換える：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi) = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\delta\phi \]

代入すると：

\[ \delta\mathcal{L} = \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\right]\delta\phi + \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) \]

運動方程式が成り立つとき、角括弧内はゼロ：

\[ \delta\mathcal{L} = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) \]

一方、仮定より \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\)。両辺を等置すると：

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) = \partial_\mu K^\mu \]
\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu\right) = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu j^\mu = 0, \qquad j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu} \]

(c) Lorentz ブースト変換への応用:

\(x\) 方向への微小 Lorentz ブースト（ラピディティ \(\delta\omega\)）のもとで：

\[ \delta x^0 = -\delta\omega\,x^1, \qquad \delta x^1 = -\delta\omega\,x^0, \qquad \delta x^2 = \delta x^3 = 0 \]

スカラー場の変換則 \(\delta\phi = -\delta x^\nu\partial_\nu\phi\) より：

\[ \delta\phi = -(-\delta\omega\,x^1)\partial_0\phi - (-\delta\omega\,x^0)\partial_1\phi = \delta\omega(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) \]

すなわち \(\delta\phi = \delta\omega(x\,\dot{\phi} + t\,\partial_x\phi)\)。（問題文の符号規約 \(\delta\phi = -\delta\omega(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi)\) と一致する。ここで \(x^0 = t\), \(x^1 = x\) とした。）

\(K^\mu\) の決定：

\(\mathcal{L}\) もスカラーなので、同じ変換のもとで：

\[ \delta\mathcal{L} = -\delta x^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \delta\omega(x^1\partial_0\mathcal{L} + x^0\partial_1\mathcal{L}) \]

これを全微分の形に書く：

\[ \delta\mathcal{L} = \delta\omega\left[\partial_0(x^1\mathcal{L}) + \partial_1(x^0\mathcal{L})\right] - \delta\omega\left[(\partial_0 x^1)\mathcal{L} + (\partial_1 x^0)\mathcal{L}\right] \]

\(\partial_0 x^1 = 0\)、\(\partial_1 x^0 = 0\) なので：

\[ \delta\mathcal{L} = \delta\omega\,\partial_\mu\left[\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L}\right] = \partial_\mu K^\mu \]

ここで \(K^\mu = \delta\omega(\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L})\)、すなわち \(K^0 = \delta\omega\,x^1\mathcal{L}\)、\(K^1 = \delta\omega\,x^0\mathcal{L}\)、\(K^2 = K^3 = 0\)。

保存カレントの構成：

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\) を用いて：

\[ j^\mu = \partial^\mu\phi\cdot\delta\omega(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) - \delta\omega(\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L}) \]

\(\delta\omega\) を除くと：

\[ j^\mu = \partial^\mu\phi(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) - \delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} - \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L} \]

エネルギー・運動量テンソル \(T^{\mu}{}_\nu = \partial^\mu\phi\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) を用いて書き直す：

\[ j^\mu = x^1(\partial^\mu\phi\,\partial_0\phi - \delta^\mu{}_0\mathcal{L}) + x^0(\partial^\mu\phi\,\partial_1\phi - \delta^\mu{}_1\mathcal{L}) \]
\[ = x^1 T^{\mu 0} + x^0 T^{\mu 1} \]

ここで \(T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\alpha}T^\mu{}_\alpha\) を用いた。\(T^{\mu 0} = T^\mu{}_0\)（\(\eta^{00} = 1\)）、\(T^{\mu 1} = -T^\mu{}_1\)（\(\eta^{11} = -1\)）に注意すると：

\[ j^\mu = x^1 T^{\mu 0} - x^0 T^{\mu 1} \]

あるいは、Lorentz 変換の生成子に対応する保存カレントとして：

\[ \boxed{M^{\mu 01} = x^0 T^{\mu 1} - x^1 T^{\mu 0}} \]

（符号の規約は \(M^{\mu\rho\sigma} = x^\rho T^{\mu\sigma} - x^\sigma T^{\mu\rho}\) に従う。）

保存電荷：

\[ M^{01} = \int d^3x\,M^{001} = \int d^3x\,(x^0 T^{01} - x^1 T^{00}) = t\,P^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H} \]

ここで \(P^1 = \int d^3x\,T^{01}\) は \(x\) 方向の全運動量である。

物理的意味： この保存電荷はブースト生成子であり、系の「重心位置」に関する情報を含む。\(M^{01} = tP^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}\) が保存するということは：

\[ \frac{d}{dt}\left(tP^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}\right) = 0 \]
\[ P^1 + t\frac{dP^1}{dt} - \frac{d}{dt}\int d^3x\,x\,\mathcal{H} = 0 \]

\(P^1\) が保存する（\(\frac{dP^1}{dt} = 0\)）ことを用いると、\(\frac{d}{dt}\int d^3x\,x\,\mathcal{H} = P^1\) となる。これは「エネルギーの重心が一定速度で運動する」ことを意味し、粒子力学における \(X_{\mathrm{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}\) が等速直線運動することの場の理論版である。

検算： \(\partial_\mu M^{\mu\rho\sigma} = 0\) を直接確認する。\(\partial_\mu M^{\mu\rho\sigma} = \partial_\mu(x^\rho T^{\mu\sigma} - x^\sigma T^{\mu\rho}) = \delta^\rho_\mu T^{\mu\sigma} + x^\rho\partial_\mu T^{\mu\sigma} - \delta^\sigma_\mu T^{\mu\rho} - x^\sigma\partial_\mu T^{\mu\rho} = T^{\rho\sigma} - T^{\sigma\rho}\)（\(\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\) を使用）。正準エネルギー・運動量テンソルが対称 \(T^{\rho\sigma} = T^{\sigma\rho}\) であれば保存する。Klein-Gordon 場の場合 \(T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}\) は対称であるため、整合する。

A-2. Maxwell 場の Lagrangian とゲージ不変性

→ 問題に戻る

問題:

電磁場の Lagrangian 密度は

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \]

で与えられる。ここで場の強度テンソルは \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)、\(A_\mu(x)\) は 4 元ポテンシャルである。

(a) \(A_\nu\) に対する Euler-Lagrange 方程式を導出し、真空中の Maxwell 方程式（ソースなし）

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \]

を得よ。途中で \(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\) の計算を明示すること。

(b) ゲージ変換 \(A_\mu(x) \to A_\mu(x) + \partial_\mu\Lambda(x)\)（\(\Lambda(x)\) は任意のスカラー関数）のもとで \(F_{\mu\nu}\) が不変であることを示し、したがって \(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}}\) もゲージ不変であることを確認せよ。

(c) Noether の定理を直接ゲージ変換に適用しようとすると何が起こるか議論せよ。特に、ゲージ変換のパラメータ \(\Lambda(x)\) が時空の関数（局所変換）であることが、大域的対称性を前提とする Noether の定理とどのように関わるかを説明し、第 2 種 Noether の定理 (Noether's second theorem) の存在に言及せよ。

(a) Euler-Lagrange 方程式の導出:

\(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) で \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)。

ステップ 1：\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}\) の計算

\(\mathcal{L}\) は \(A_\nu\) そのもの（微分なし）を含まないので：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]

ステップ 2：\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\) の計算

\(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) を展開する：

\[ F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} = F_{\alpha\beta}\,\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}F_{\gamma\delta} = (\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha)\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}(\partial_\gamma A_\delta - \partial_\delta A_\gamma) \]

\(\partial_\mu A_\nu\) による偏微分を計算する。\(F_{\alpha\beta} = \partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha\) なので：

\[ \frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = \delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta - \delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha \]

積の微分法則を用いて：

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}) = \frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}F^{\alpha\beta} + F_{\alpha\beta}\frac{\partial F^{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \]

\(F^{\alpha\beta} = \eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}F_{\gamma\delta}\) なので、第 2 項も同じ構造を持つ。対称性から両項は等しく：

\[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}) = 2(\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta - \delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha)F^{\alpha\beta} = 2(F^{\mu\nu} - F^{\nu\mu}) = 4F^{\mu\nu} \]

ここで \(F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}\)（反対称性）を用いた。

したがって：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -\frac{1}{4}\cdot 4F^{\mu\nu} = -F^{\mu\nu} \]

ステップ 3：Euler-Lagrange 方程式

\[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]
\[ \partial_\mu(-F^{\mu\nu}) - 0 = 0 \]
\[ \boxed{\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0} \]

これは真空中の Maxwell 方程式（ソースなし）である。成分で書くと、\(\nu = 0\) は \(\nabla\cdot\mathbf{E} = 0\)（Gauss の法則）、\(\nu = i\) は \(-\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \nabla\times\mathbf{B} = 0\)（Ampère の法則）に対応する。

(b) ゲージ不変性の証明:

ゲージ変換 \(A_\mu \to A'_\mu = A_\mu + \partial_\mu\Lambda\) のもとで場の強度テンソルの変化を計算する：

\[ F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A'_\nu - \partial_\nu A'_\mu = \partial_\mu(A_\nu + \partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(A_\mu + \partial_\mu\Lambda) \]
\[ = \partial_\mu A_\nu + \partial_\mu\partial_\nu\Lambda - \partial_\nu A_\mu - \partial_\nu\partial_\mu\Lambda \]

偏微分の交換可能性 \(\partial_\mu\partial_\nu\Lambda = \partial_\nu\partial_\mu\Lambda\) より：

\[ F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu\nu} \]
\[ \boxed{F'_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}} \]

\(F_{\mu\nu}\) がゲージ不変であるから、\(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) もゲージ不変である。

(c) Noether の定理とゲージ変換の関係:

問題点の分析：

Noether の定理（第 1 種）は大域的（global）な連続対称性、すなわちパラメータが時空に依存しない定数である変換に対して適用される。しかし、ゲージ変換 \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\Lambda(x)\) のパラメータ \(\Lambda(x)\) は時空の任意の関数（局所的パラメータ）である。

Noether の定理を直接適用しようとすると：

  1. 大域的ゲージ変換（\(\Lambda = \text{const}\)）の場合：\(\delta A_\mu = \partial_\mu\Lambda = 0\) となり、場は変化しない。したがって自明な恒等式 \(0 = 0\) しか得られず、非自明な保存カレントは構成できない。

  2. 局所的ゲージ変換（\(\Lambda(x)\) が任意関数）の場合：パラメータが無限個の自由度を持つため、通常の Noether の定理の枠組みでは扱えない。

第 2 種 Noether の定理 (Noether's second theorem)：

変換のパラメータが時空の任意関数である場合（局所対称性）、第 2 種 Noether の定理が適用される。この定理は次のことを述べる：

作用が任意関数 \(\Lambda(x)\) とその有限階の微分を含む変換のもとで不変であるならば、Euler-Lagrange 方程式の間に恒等的な関係（Bianchi 恒等式のようなもの）が存在する。

Maxwell 理論の場合、この恒等式は：

\[ \partial_\nu(\partial_\mu F^{\mu\nu}) \equiv 0 \]

であり、これは \(F^{\mu\nu}\) の反対称性から運動方程式を使わずに恒等的に成り立つ。

物理的意味：

  • ゲージ対称性は物理的な対称性（新しい保存量を生む）ではなく、理論の記述における冗長性 (redundancy) を反映している。
  • \(A_\mu\) の 4 成分のうち、物理的自由度は 2 つ（光子の 2 つの偏極状態）であり、残りの 2 つはゲージの冗長性に対応する。
  • 第 1 種 Noether の定理が「対称性 → 保存量」を与えるのに対し、第 2 種 Noether の定理は「局所対称性 → 運動方程式間の恒等式（拘束条件）」を与える。
\[ \boxed{\text{ゲージ対称性（局所対称性）} \xrightarrow{\text{第2種 Noether}} \text{運動方程式間の恒等式 + 物理的自由度の減少}} \]

検算： Maxwell 理論で物理的自由度を数える。\(A_\mu\) は 4 成分だが、ゲージ自由度（\(\Lambda(x)\) の 1 つの任意関数）により 1 成分が冗長、さらに \(\partial_\mu F^{\mu 0} = 0\) が拘束条件（初期値に対する条件）を与えるため、もう 1 成分が除かれる。結果として \(4 - 1 - 1 = 2\) 自由度が残り、これは光子の 2 つの物理的偏極（横波）に対応する。