第 3 章 練習問題 解答
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目次
Basic（基礎）
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）
B-1. Lagrangian 密度からの Euler-Lagrange 方程式（Klein-Gordon 場）
→ 問題に戻る
(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) の計算
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) において、\(\phi\) そのもの（微分がついていない \(\phi\)）を含む項は \(-\frac{1}{2}m^2\phi^2\) のみである。
\[
\boxed{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2\phi}
\]
(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\) の計算
運動項を \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\) と書き直す。\(\partial_\mu\phi\) で偏微分すると：
\[
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left[\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\right] = \frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}(\delta^\mu_\alpha\,\partial_\beta\phi + \partial_\alpha\phi\,\delta^\mu_\beta) = \frac{1}{2}(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi + \eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi) = \partial^\mu\phi
\]
\[
\boxed{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu\phi}
\]
(c) Klein-Gordon 方程式の導出
Euler-Lagrange 方程式 \(\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\) に代入する：
\[
\partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0
\]
\[
\boxed{\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi = 0}
\]
これが Klein-Gordon 方程式である。
検算： 平面波 \(\phi \propto e^{-ik\cdot x}\) を代入すると \(-k_\mu k^\mu + m^2 = 0\)、すなわち \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) が得られ、相対論的分散関係と整合する。
B-2. 運動項の添え字の展開
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\(\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\) を用いて各成分を確認する：
\[
\partial^0\phi = \eta^{00}\partial_0\phi = (+1)\partial_0\phi = \dot{\phi}
\]
\[
\partial^i\phi = \eta^{ii}\partial_i\phi = (-1)\partial_i\phi = -\partial_i\phi \quad (i = 1, 2, 3)
\]
\(\mu\) について和を取ると：
\[
\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\left[\partial_0\phi\,\partial^0\phi + \sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi\,\partial^i\phi\right]
\]
\[
= \frac{1}{2}\left[\dot{\phi}\cdot\dot{\phi} + \sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi\cdot(-\partial_i\phi)\right]
\]
\[
\boxed{\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2}
\]
検算： 計量の符号 \((+,-,-,-)\) から、時間成分は正、空間成分は負の符号を持つことが確認できる。
B-3. 質量項を含まない場の分散関係
→ 問題に戻る
\(m = 0\) の Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) から得られる運動方程式は：
\[
\partial_\mu\partial^\mu\phi = 0 \quad (\text{波動方程式})
\]
平面波解 \(\phi(x) = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) の各微分を計算する：
\[
\partial_0\phi = -iE\,\phi, \qquad \partial_0^2\phi = (-iE)^2\phi = -E^2\phi
\]
\[
\partial_i\phi = ip_i\,\phi, \qquad \nabla^2\phi = (ip_1)^2\phi + (ip_2)^2\phi + (ip_3)^2\phi = -|\mathbf{p}|^2\phi
\]
d'Alembertian を計算する：
\[
\partial_\mu\partial^\mu\phi = \partial_0^2\phi - \nabla^2\phi = -E^2\phi - (-|\mathbf{p}|^2\phi) = (-E^2 + |\mathbf{p}|^2)\phi = 0
\]
\(\phi \neq 0\) より：
\[
\boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2}
\]
検算： これは質量ゼロの粒子（光子など）の分散関係 \(E = |\mathbf{p}|\) に対応し、物理的に正しい。
B-4. 相互作用項を含む Lagrangian
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\[
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4
\]
ステップ 1： \(\phi\) による偏微分
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -m^2\phi - \frac{\lambda}{4!}\cdot 4\phi^3 = -m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3
\]
ステップ 2： \(\partial_\mu\phi\) による偏微分
\(\phi^4\) の項は \(\partial_\mu\phi\) を含まないので、D1(b) と同じ結果：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi
\]
ステップ 3： Euler-Lagrange 方程式に代入
\[
\partial_\mu(\partial^\mu\phi) - \left(-m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3\right) = 0
\]
\[
\boxed{(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0}
\]
検算： \(\lambda = 0\) とすると自由 Klein-Gordon 方程式に戻る。また、\(\frac{\lambda}{4!}\phi^4\) を \(\phi\) で微分すると \(\frac{4\lambda}{4!}\phi^3 = \frac{\lambda}{3!}\phi^3\) であり、階乗の処理が正しいことが確認できる。
B-5. d'Alembertian の成分表示
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\(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\) を展開する：
\[
\Box = \eta^{00}\partial_0\partial_0 + \eta^{11}\partial_1\partial_1 + \eta^{22}\partial_2\partial_2 + \eta^{33}\partial_3\partial_3
\]
\[
= (+1)\frac{\partial^2}{\partial t^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial x^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial y^2} + (-1)\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\]
\[
\boxed{\Box = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}}
\]
Klein-Gordon 方程式 \((\Box + m^2)\phi = 0\) を成分で書くと：
\[
\boxed{\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} + m^2\phi = 0}
\]
検算： \(m = 0\) とすると通常の波動方程式 \(\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi\) に帰着する。
B-6. 連続の方程式の成分展開
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(a) 連続の方程式
\(\partial_\mu j^\mu = 0\) を展開する：
\[
\partial_\mu j^\mu = \partial_0 j^0 + \partial_1 j^1 + \partial_2 j^2 + \partial_3 j^3 = \frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0
\]
\[
\boxed{\frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = 0}
\]
これは電荷密度 \(\rho = j^0\) と電流密度 \(\mathbf{j}\) に対する連続の方程式と同じ形である。
(b) 保存電荷の時間不変性
\[
\frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}\int d^3x\,j^0 = \int d^3x\,\frac{\partial j^0}{\partial t}
\]
(a) の結果 \(\frac{\partial j^0}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{j}\) を代入すると：
\[
\frac{dQ}{dt} = -\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j}
\]
Gauss の定理を適用する：
\[
\frac{dQ}{dt} = -\oint_{\partial V}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}
\]
\(\mathbf{j}\) が空間の無限遠で十分速く減衰する（\(|\mathbf{j}| \to 0\) as \(|\mathbf{x}| \to \infty\)）と仮定すれば、積分領域を全空間に取ったとき表面積分はゼロになる：
\[
\boxed{\frac{dQ}{dt} = 0}
\]
したがって \(Q\) は時間に依存しない保存量である。
検算： 次元解析として、\(j^0\) が電荷密度の次元を持つなら \(Q = \int d^3x\,j^0\) は電荷の次元を持ち、整合する。
B-7. 複素スカラー場の偏微分
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\[
\mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi
\]
(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\) の計算
\(\phi^*\) そのもの（微分がついていない）を含む項は \(-m^2\phi^*\phi\) のみ。\(\phi\) は定数として扱う：
\[
\boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^*} = -m^2\phi}
\]
(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\) の計算
\(\mathcal{L} = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi\) を \(\partial_\mu\phi^*\) で微分する。\(\partial_\beta\phi\) は \(\partial_\mu\phi^*\) に依存しないので定数として扱える：
\[
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\left[\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\right] = \eta^{\alpha\beta}\delta^\mu_\alpha\,\partial_\beta\phi = \eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi = \partial^\mu\phi
\]
\[
\boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} = \partial^\mu\phi}
\]
(c) \(\phi^*\) に対する Euler-Lagrange 方程式
\[
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^*} = 0
\]
\[
\partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0
\]
\[
\boxed{(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0}
\]
\(\phi\) に対する Klein-Gordon 方程式が得られる。
検算： 同様に \(\phi\) に対する Euler-Lagrange 方程式を導くと \((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi^* = 0\) が得られ、\(\phi\) と \(\phi^*\) がそれぞれ独立に Klein-Gordon 方程式を満たすことが確認できる。
B-8. Noether カレントの構成（公式の適用）
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(a) \(\delta\mathcal{L}\) の計算
微小定数シフト \(\delta\phi = \epsilon\) のもとで \(\partial_\mu(\delta\phi) = 0\) なので \(\delta(\partial_\mu\phi) = 0\)。
\[
\delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta(\partial_\mu\phi) = (-m^2\phi)\cdot\epsilon + \partial^\mu\phi\cdot 0 = -m^2\phi\,\epsilon
\]
\(m \neq 0\) かつ \(\phi \neq 0\) のとき \(\delta\mathcal{L} \neq 0\) であるから：
\[
\boxed{m \neq 0 \text{ の場合、定数シフトは対称性ではない}}
\]
(b) \(m = 0\) の場合
\(m = 0\) のとき：
\[
\delta\mathcal{L} = -0\cdot\phi\,\epsilon = 0
\]
したがって定数シフトは対称性である。対応する保存カレントは：
\[
j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi = \partial^\mu\phi\cdot\epsilon
\]
\(\epsilon\) を除いて（\(\epsilon\) は任意の微小定数なので係数を取り出す）：
\[
\boxed{j^\mu = \partial^\mu\phi}
\]
検算： \(m = 0\) の運動方程式は \(\partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\) であるから、\(\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\partial^\mu\phi = 0\) が確かに成り立つ。\(m \neq 0\) の場合は \(\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\partial^\mu\phi = -m^2\phi \neq 0\) となり、カレントが保存しないことも整合する。
Medium（標準）
M-1. 共役運動量と Hamiltonian 密度の導出
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(a) 共役運動量密度
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) （D2 の結果を使用）
\[
\pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = \frac{\partial}{\partial\dot{\phi}}\left[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2\right] = \dot{\phi}
\]
\[
\boxed{\pi(x) = \dot{\phi}(x)}
\]
(b) Hamiltonian 密度
Legendre 変換 \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) を計算する。\(\dot{\phi} = \pi\) を用いて：
\[
\mathcal{H} = \pi\cdot\pi - \left[\frac{1}{2}\pi^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right]
\]
\[
= \pi^2 - \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2
\]
\[
\boxed{\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2}
\]
(c) 物理的意味
粒子力学の Hamiltonian \(H = T + V\)（運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー）との類推：
| 項 |
物理的意味 |
粒子力学との対応 |
| \(\frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2\) |
場の時間変化に伴うエネルギー密度 |
運動エネルギー \(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\) |
| \(\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2\) |
場の空間的な勾配に伴うエネルギー密度（隣接する点の場の値が異なることのコスト） |
バネで繋がれた質点系のバネのポテンシャルエネルギー |
| \(\frac{1}{2}m^2\phi^2\) |
場の値そのものに伴うエネルギー密度（質量項） |
調和振動子のポテンシャル \(\frac{1}{2}k q^2\) |
重要な点として、\(\mathcal{H}\) の 3 つの項はすべて正定値であり、エネルギー密度は \(\mathcal{H} \geq 0\) を満たす。これは理論の安定性を保証する。
検算： \(\mathcal{H}\) の次元を確認する。自然単位系で \([\phi] = \text{mass}^1\)、\([\partial_\mu] = \text{mass}^1\) なので \([\mathcal{H}] = \text{mass}^4\) であり、エネルギー密度（= エネルギー/体積 = mass\(^4\)）の次元と一致する。
M-2. 複素スカラー場の内部対称性と Noether カレント
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(a) \(\delta\mathcal{L} = 0\) の確認
微小変換 \(\delta\phi = i\alpha\phi\)、\(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\) のもとで：
\[
\delta(\partial_\mu\phi) = i\alpha\,\partial_\mu\phi, \qquad \delta(\partial_\mu\phi^*) = -i\alpha\,\partial_\mu\phi^*
\]
\(\mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi\) の変分を計算する：
\[
\delta\mathcal{L} = \delta(\partial_\mu\phi^*)\,\partial^\mu\phi + \partial_\mu\phi^*\,\delta(\partial^\mu\phi) - m^2[\delta(\phi^*)\,\phi + \phi^*\,\delta\phi]
\]
各項を代入する：
\[
= (-i\alpha\,\partial_\mu\phi^*)\,\partial^\mu\phi + \partial_\mu\phi^*\,(i\alpha\,\partial^\mu\phi) - m^2[(-i\alpha\phi^*)\phi + \phi^*(i\alpha\phi)]
\]
\[
= -i\alpha\,\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi + i\alpha\,\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2[-i\alpha\phi^*\phi + i\alpha\phi^*\phi]
\]
\[
= 0 + 0 = 0
\]
\[
\boxed{\delta\mathcal{L} = 0}
\]
(b) Noether カレントの導出
複素スカラー場の場合、Noether カレントは：
\[
j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\,\delta\phi^*
\]
各偏微分を計算する。\(\mathcal{L} = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi - m^2\phi^*\phi\) より：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi^*
\]
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} = \partial^\mu\phi
\]
代入すると：
\[
j^\mu = \partial^\mu\phi^*\cdot(i\alpha\phi) + \partial^\mu\phi\cdot(-i\alpha\phi^*)
\]
\[
= i\alpha\left[\phi\,\partial^\mu\phi^* - \phi^*\,\partial^\mu\phi\right]
\]
\(\alpha\) の係数を取り出して保存カレントを定義する：
\[
\boxed{j^\mu = i\left(\phi\,\partial^\mu\phi^* - \phi^*\,\partial^\mu\phi\right)}
\]
(c) 保存電荷
\[
Q = \int d^3x\,j^0 = i\int d^3x\left(\phi\,\partial^0\phi^* - \phi^*\,\partial^0\phi\right) = i\int d^3x\left(\phi\,\dot{\phi}^* - \phi^*\,\dot{\phi}\right)
\]
\[
\boxed{Q = i\int d^3x\left(\phi\,\dot{\phi}^* - \phi^*\,\dot{\phi}\right)}
\]
物理的意味： 量子化後、複素スカラー場は粒子と反粒子の両方を記述する。場 \(\phi\) を Fourier 展開すると、正振動数部分が粒子の消滅演算子に、負振動数部分が反粒子の生成演算子に対応する。保存電荷 \(Q\) は量子化後に「粒子数 \(-\) 反粒子数」（\(N_{\text{particle}} - N_{\text{antiparticle}}\)）に比例する演算子となる。これは \(U(1)\) 対称性に対応する保存量であり、電磁相互作用と結合させれば電荷保存に対応する。
検算： \(\phi\) が実スカラー場（\(\phi = \phi^*\)）の場合、\(j^\mu = i(\phi\,\partial^\mu\phi - \phi\,\partial^\mu\phi) = 0\) となり、実スカラー場には \(U(1)\) 電荷がないことと整合する。
M-3. 時空並進不変性とエネルギー・運動量テンソル
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(a) \(\delta\mathcal{L}\) が全微分であることの証明
\(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) は \(x^\mu\) に陽に依存しないので、\(\mathcal{L}\) の時空依存性は場 \(\phi(x)\) を通じてのみ生じる。時空並進 \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\) のもとで場は \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) と変化する。
\(\mathcal{L}\) の変化を直接計算する。\(\mathcal{L}\) を \(x\) の合成関数として見ると：
\[
\delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta(\partial_\mu\phi)
\]
一方、\(\mathcal{L}\) 自身もスカラー場であるから、同じ並進のもとで：
\[
\delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L}
\]
これを全微分の形に書き直す。\(a^\nu\) は定数なので：
\[
\delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = -\partial_\mu(a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}) = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})
\]
ここで \(\partial_\mu\delta^\mu{}_\nu = 0\)（定数）かつ \(\partial_\mu a^\nu = 0\)（定数）を用いた。
\[
\boxed{\delta\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})}
\]
これは \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) の形であり、\(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) である。
(b) エネルギー・運動量テンソルの導出
一般化された Noether の定理（\(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) の場合）によれば、保存カレントは：
\[
j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu
\]
\(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) と \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) を代入する：
\[
j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,(-a^\nu\partial_\nu\phi) - (-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})
\]
\[
= -a^\nu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\right]
\]
\(a^\nu\) は任意の定数ベクトルなので、\(\nu\) ごとに独立な保存カレントが得られる。\(j^\mu = -a^\nu T^\mu{}_\nu\) とおくと：
\[
\boxed{T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L}}
\]
保存則は \(\partial_\mu T^{\mu}{}_\nu = 0\)（各 \(\nu\) について）である。
(c) Klein-Gordon 場の \(T^{00}\) の計算
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して：
\[
T^{0}{}_{0} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\,\partial_0\phi - \delta^0{}_{0}\,\mathcal{L}
\]
\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)} = \partial^0\phi = \dot{\phi}\) であるから：
\[
T^{0}{}_{0} = \dot{\phi}\cdot\dot{\phi} - \mathcal{L} = \dot{\phi}^2 - \left[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right]
\]
\[
= \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2
\]
\[
T^{00} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2
\]
S1(b) で得た Hamiltonian 密度と比較すると（\(\pi = \dot{\phi}\) を用いて）：
\[
\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2
\]
\[
\boxed{T^{00} = \mathcal{H}}
\]
検算： \(T^{00}\) はエネルギー密度であり、Hamiltonian 密度と一致すべきである。また、\(T^{00} \geq 0\)（各項が正定値）であり、エネルギーが下に有界であることが確認できる。さらに \(T^{0i}\) を計算すると \(T^{0i} = \dot{\phi}\,\partial_i\phi\) となり、これは運動量密度に対応する。
M-4. Dirac 場の Euler-Lagrange 方程式
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(a) \(\bar{\psi}\) に関する Euler-Lagrange 方程式
\[
\mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi
\]
\(\bar{\psi}\) を独立変数として扱う。\(\mathcal{L}\) の中で \(\partial_\mu\bar{\psi}\) を含む項は存在しない（\(\partial_\mu\) は \(\psi\) にのみ作用している）。したがって：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})} = 0
\]
Euler-Lagrange 方程式は：
\[
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0 \implies -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0
\]
\(\bar{\psi}\) による偏微分を計算する：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi = (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi
\]
したがって：
\[
\boxed{(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0}
\]
これが Dirac 方程式である。
(b) \(\psi\) に関する Euler-Lagrange 方程式
\(\psi\) を独立変数として扱う。
\(\psi\) による偏微分：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi} = -m\bar{\psi}
\]
（\(i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi\) の項は \(\partial_\mu\psi\) を含むので、\(\psi\) そのものによる偏微分には寄与しない。）
\(\partial_\mu\psi\) による偏微分：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)} = i\bar{\psi}\gamma^\mu
\]
Euler-Lagrange 方程式に代入する：
\[
\partial_\mu\left(i\bar{\psi}\gamma^\mu\right) - (-m\bar{\psi}) = 0
\]
\[
i(\partial_\mu\bar{\psi})\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0
\]
左に作用する微分の記法 \(\overleftarrow{\partial}_\mu\) を用いて書き直すと：
\[
\boxed{\bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0}
\]
これが随伴 Dirac 方程式である。
検算： Dirac 方程式 \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\) の Dirac 共役を取る。\(\psi^\dagger\) を左から掛けて \(\gamma^0\) を右から掛ける操作を行うと：
\[
[(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi]^\dagger\gamma^0 = 0
\]
\[
\psi^\dagger(-i\gamma^{\mu\dagger}\overleftarrow{\partial}_\mu - m)\gamma^0 = 0
\]
\(\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0 = \gamma^\mu\) の関係（ガンマ行列のエルミート性）を用いると \(\bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0\) が得られ、(b) の結果と一致する。
Advanced（発展）
A-1. Noether の定理の一般化
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(a) 作用の不変性
作用の変分は：
\[
\delta S = \int d^4x\,\delta\mathcal{L} = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu
\]
4 次元の Gauss の定理（発散定理）を適用する：
\[
\delta S = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu = \oint_{\partial\Omega} K^\mu\,dS_\mu
\]
ここで \(\partial\Omega\) は 4 次元積分領域の境界面である。場の変分 \(\delta\phi\) が境界でゼロになる（あるいは \(K^\mu\) が境界で十分速く減衰する）という境界条件のもとで：
\[
\boxed{\delta S = 0}
\]
したがって運動方程式（\(\delta S = 0\) から導かれる Euler-Lagrange 方程式）は変わらない。
(b) 修正された Noether カレントの保存の証明
\(\delta\mathcal{L}\) を場の変分を通じて計算する：
\[
\delta\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi)
\]
第 2 項を部分積分的に書き換える：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi) = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\delta\phi
\]
代入すると：
\[
\delta\mathcal{L} = \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\right]\delta\phi + \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right)
\]
運動方程式が成り立つとき、角括弧内はゼロ：
\[
\delta\mathcal{L} = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right)
\]
一方、仮定より \(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\)。両辺を等置すると：
\[
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right) = \partial_\mu K^\mu
\]
\[
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu\right) = 0
\]
\[
\boxed{\partial_\mu j^\mu = 0, \qquad j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu}
\]
(c) Lorentz ブースト変換への応用
\(x\) 方向への微小 Lorentz ブースト（ラピディティ \(\delta\omega\)）のもとで：
\[
\delta x^0 = -\delta\omega\,x^1, \qquad \delta x^1 = -\delta\omega\,x^0, \qquad \delta x^2 = \delta x^3 = 0
\]
スカラー場の変換則 \(\delta\phi = -\delta x^\nu\partial_\nu\phi\) より：
\[
\delta\phi = -(-\delta\omega\,x^1)\partial_0\phi - (-\delta\omega\,x^0)\partial_1\phi = \delta\omega(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi)
\]
すなわち \(\delta\phi = \delta\omega(x\,\dot{\phi} + t\,\partial_x\phi)\)。（問題文の符号規約 \(\delta\phi = -\delta\omega(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi)\) と一致する。ここで \(x^0 = t\), \(x^1 = x\) とした。）
\(K^\mu\) の決定：
\(\mathcal{L}\) もスカラーなので、同じ変換のもとで：
\[
\delta\mathcal{L} = -\delta x^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \delta\omega(x^1\partial_0\mathcal{L} + x^0\partial_1\mathcal{L})
\]
これを全微分の形に書く：
\[
\delta\mathcal{L} = \delta\omega\left[\partial_0(x^1\mathcal{L}) + \partial_1(x^0\mathcal{L})\right] - \delta\omega\left[(\partial_0 x^1)\mathcal{L} + (\partial_1 x^0)\mathcal{L}\right]
\]
\(\partial_0 x^1 = 0\)、\(\partial_1 x^0 = 0\) なので：
\[
\delta\mathcal{L} = \delta\omega\,\partial_\mu\left[\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L}\right] = \partial_\mu K^\mu
\]
ここで \(K^\mu = \delta\omega(\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L})\)、すなわち \(K^0 = \delta\omega\,x^1\mathcal{L}\)、\(K^1 = \delta\omega\,x^0\mathcal{L}\)、\(K^2 = K^3 = 0\)。
保存カレントの構成：
\[
j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu
\]
\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\) を用いて：
\[
j^\mu = \partial^\mu\phi\cdot\delta\omega(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) - \delta\omega(\delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} + \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L})
\]
\(\delta\omega\) を除くと：
\[
j^\mu = \partial^\mu\phi(x^1\partial_0\phi + x^0\partial_1\phi) - \delta^\mu{}_0\,x^1\mathcal{L} - \delta^\mu{}_1\,x^0\mathcal{L}
\]
エネルギー・運動量テンソル \(T^{\mu}{}_\nu = \partial^\mu\phi\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) を用いて書き直す：
\[
j^\mu = x^1(\partial^\mu\phi\,\partial_0\phi - \delta^\mu{}_0\mathcal{L}) + x^0(\partial^\mu\phi\,\partial_1\phi - \delta^\mu{}_1\mathcal{L})
\]
\[
= x^1 T^{\mu 0} + x^0 T^{\mu 1}
\]
ここで \(T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\alpha}T^\mu{}_\alpha\) を用いた。\(T^{\mu 0} = T^\mu{}_0\)（\(\eta^{00} = 1\)）、\(T^{\mu 1} = -T^\mu{}_1\)（\(\eta^{11} = -1\)）に注意すると：
\[
j^\mu = x^1 T^{\mu 0} - x^0 T^{\mu 1}
\]
あるいは、Lorentz 変換の生成子に対応する保存カレントとして：
\[
\boxed{M^{\mu 01} = x^0 T^{\mu 1} - x^1 T^{\mu 0}}
\]
（符号の規約は \(M^{\mu\rho\sigma} = x^\rho T^{\mu\sigma} - x^\sigma T^{\mu\rho}\) に従う。）
保存電荷：
\[
M^{01} = \int d^3x\,M^{001} = \int d^3x\,(x^0 T^{01} - x^1 T^{00}) = t\,P^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}
\]
ここで \(P^1 = \int d^3x\,T^{01}\) は \(x\) 方向の全運動量である。
物理的意味： この保存電荷はブースト生成子であり、系の「重心位置」に関する情報を含む。\(M^{01} = tP^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}\) が保存するということは：
\[
\frac{d}{dt}\left(tP^1 - \int d^3x\,x\,\mathcal{H}\right) = 0
\]
\[
P^1 + t\frac{dP^1}{dt} - \frac{d}{dt}\int d^3x\,x\,\mathcal{H} = 0
\]
\(P^1\) が保存する（\(\frac{dP^1}{dt} = 0\)）ことを用いると、\(\frac{d}{dt}\int d^3x\,x\,\mathcal{H} = P^1\) となる。これは「エネルギーの重心が一定速度で運動する」ことを意味し、粒子力学における \(X_{\mathrm{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}\) が等速直線運動することの場の理論版である。
検算： \(\partial_\mu M^{\mu\rho\sigma} = 0\) を直接確認する。\(\partial_\mu M^{\mu\rho\sigma} = \partial_\mu(x^\rho T^{\mu\sigma} - x^\sigma T^{\mu\rho}) = \delta^\rho_\mu T^{\mu\sigma} + x^\rho\partial_\mu T^{\mu\sigma} - \delta^\sigma_\mu T^{\mu\rho} - x^\sigma\partial_\mu T^{\mu\rho} = T^{\rho\sigma} - T^{\sigma\rho}\)（\(\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\) を使用）。正準エネルギー・運動量テンソルが対称 \(T^{\rho\sigma} = T^{\sigma\rho}\) であれば保存する。Klein-Gordon 場の場合 \(T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}\) は対称であるため、整合する。
A-2. Maxwell 場の Lagrangian とゲージ不変性
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(a) Euler-Lagrange 方程式の導出
\(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) で \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)。
ステップ 1：\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}\) の計算
\(\mathcal{L}\) は \(A_\nu\) そのもの（微分なし）を含まないので：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0
\]
ステップ 2：\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\) の計算
\(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) を展開する：
\[
F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} = F_{\alpha\beta}\,\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}F_{\gamma\delta} = (\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha)\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}(\partial_\gamma A_\delta - \partial_\delta A_\gamma)
\]
\(\partial_\mu A_\nu\) による偏微分を計算する。\(F_{\alpha\beta} = \partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha\) なので：
\[
\frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = \delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta - \delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha
\]
積の微分法則を用いて：
\[
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}) = \frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}F^{\alpha\beta} + F_{\alpha\beta}\frac{\partial F^{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}
\]
\(F^{\alpha\beta} = \eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta}F_{\gamma\delta}\) なので、第 2 項も同じ構造を持つ。対称性から両項は等しく：
\[
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}) = 2(\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta - \delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha)F^{\alpha\beta} = 2(F^{\mu\nu} - F^{\nu\mu}) = 4F^{\mu\nu}
\]
ここで \(F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}\)（反対称性）を用いた。
したがって：
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -\frac{1}{4}\cdot 4F^{\mu\nu} = -F^{\mu\nu}
\]
ステップ 3：Euler-Lagrange 方程式
\[
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0
\]
\[
\partial_\mu(-F^{\mu\nu}) - 0 = 0
\]
\[
\boxed{\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0}
\]
これは真空中の Maxwell 方程式（ソースなし）である。成分で書くと、\(\nu = 0\) は \(\nabla\cdot\mathbf{E} = 0\)（Gauss の法則）、\(\nu = i\) は \(-\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \nabla\times\mathbf{B} = 0\)（Ampère の法則）に対応する。
(b) ゲージ不変性の証明
ゲージ変換 \(A_\mu \to A'_\mu = A_\mu + \partial_\mu\Lambda\) のもとで場の強度テンソルの変化を計算する：
\[
F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A'_\nu - \partial_\nu A'_\mu = \partial_\mu(A_\nu + \partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(A_\mu + \partial_\mu\Lambda)
\]
\[
= \partial_\mu A_\nu + \partial_\mu\partial_\nu\Lambda - \partial_\nu A_\mu - \partial_\nu\partial_\mu\Lambda
\]
偏微分の交換可能性 \(\partial_\mu\partial_\nu\Lambda = \partial_\nu\partial_\mu\Lambda\) より：
\[
F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu\nu}
\]
\[
\boxed{F'_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}}
\]
\(F_{\mu\nu}\) がゲージ不変であるから、\(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) もゲージ不変である。
(c) Noether の定理とゲージ変換の関係
問題点の分析：
Noether の定理（第 1 種）は大域的（global）な連続対称性、すなわちパラメータが時空に依存しない定数である変換に対して適用される。しかし、ゲージ変換 \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\Lambda(x)\) のパラメータ \(\Lambda(x)\) は時空の任意の関数（局所的パラメータ）である。
Noether の定理を直接適用しようとすると：
-
大域的ゲージ変換（\(\Lambda = \text{const}\)）の場合：\(\delta A_\mu = \partial_\mu\Lambda = 0\) となり、場は変化しない。したがって自明な恒等式 \(0 = 0\) しか得られず、非自明な保存カレントは構成できない。
-
局所的ゲージ変換（\(\Lambda(x)\) が任意関数）の場合：パラメータが無限個の自由度を持つため、通常の Noether の定理の枠組みでは扱えない。
第 2 種 Noether の定理 (Noether's second theorem)：
変換のパラメータが時空の任意関数である場合（局所対称性）、第 2 種 Noether の定理が適用される。この定理は次のことを述べる：
作用が任意関数 \(\Lambda(x)\) とその有限階の微分を含む変換のもとで不変であるならば、Euler-Lagrange 方程式の間に恒等的な関係（Bianchi 恒等式のようなもの）が存在する。
Maxwell 理論の場合、この恒等式は：
\[
\partial_\nu(\partial_\mu F^{\mu\nu}) \equiv 0
\]
であり、これは \(F^{\mu\nu}\) の反対称性から運動方程式を使わずに恒等的に成り立つ。
物理的意味：
- ゲージ対称性は物理的な対称性（新しい保存量を生む）ではなく、理論の記述における冗長性 (redundancy) を反映している。
- \(A_\mu\) の 4 成分のうち、物理的自由度は 2 つ（光子の 2 つの偏極状態）であり、残りの 2 つはゲージの冗長性に対応する。
- 第 1 種 Noether の定理が「対称性 → 保存量」を与えるのに対し、第 2 種 Noether の定理は「局所対称性 → 運動方程式間の恒等式（拘束条件）」を与える。
\[
\boxed{\text{ゲージ対称性（局所対称性）} \xrightarrow{\text{第2種 Noether}} \text{運動方程式間の恒等式 + 物理的自由度の減少}}
\]
検算： Maxwell 理論で物理的自由度を数える。\(A_\mu\) は 4 成分だが、ゲージ自由度（\(\Lambda(x)\) の 1 つの任意関数）により 1 成分が冗長、さらに \(\partial_\mu F^{\mu 0} = 0\) が拘束条件（初期値に対する条件）を与えるため、もう 1 成分が除かれる。結果として \(4 - 1 - 1 = 2\) 自由度が残り、これは光子の 2 つの物理的偏極（横波）に対応する。