Appendix C 練習問題 解答¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 添字の上げ下げ
- B-2. Kronecker デルタの縮約
- B-3. 球面の計量と逆計量
- B-4. Schwarzschild 計量の漸近 Minkowski
- B-5. 平坦空間で Christoffel ゼロ
- B-6. 平坦空間での測地線が等速直線
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 添字の上げ下げ¶
→ 問題に戻る
\(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\)、\(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)\)。
\(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\)：
\(A_0 = \eta_{00}A^0 = (-1)(1) = -1\)
\(A_1 = \eta_{11}A^1 = (1)(2) = 2\)
\(A_2 = \eta_{22}A^2 = (1)(3) = 3\)
\(A_3 = \eta_{33}A^3 = (1)(4) = 4\)
\(A_\mu = (-1, 2, 3, 4)\)
時間成分だけ符号が反転する。
B-2. Kronecker デルタの縮約¶
→ 問題に戻る
\(\delta^\mu_\nu A^\nu = \sum_{\nu=0}^{3} \delta^\mu_\nu A^\nu\)
\(\delta^\mu_\nu\) は \(\mu = \nu\) のとき 1、それ以外は 0 なので、和の中で \(\nu = \mu\) の項だけが生き残る：
\(\delta^\mu_\nu A^\nu = A^\mu\)
Kronecker デルタは「添字をそのまま通す」演算子。
B-3. 球面の計量と逆計量¶
→ 問題に戻る
\(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\) から：
\(g_{\theta\theta} = R^2, \quad g_{\phi\phi} = R^2\sin^2\theta, \quad g_{\theta\phi} = g_{\phi\theta} = 0\)
逆計量は対角成分の逆数：
\(g^{\theta\theta} = \frac{1}{R^2}, \quad g^{\phi\phi} = \frac{1}{R^2\sin^2\theta}\)
B-4. Schwarzschild 計量の漸近 Minkowski¶
→ 問題に戻る
\(ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2\)
\(r \to \infty\) のとき \(\frac{2GM}{c^2 r} \to 0\) なので：
\(ds^2 \to -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2\)
これは球座標で書いた Minkowski 計量。遠方では時空は平坦に戻る。
B-5. 平坦空間で Christoffel ゼロ¶
→ 問題に戻る
\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \text{const}\) のとき、\(\partial_\alpha g_{\mu\nu} = 0\)（全ての偏微分がゼロ）。
\(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha}) = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(0 + 0 - 0) = 0\)
全ての Christoffel 記号がゼロ。
B-6. 平坦空間での測地線が等速直線¶
→ 問題に戻る
\(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\)
\(\Gamma = 0\) のとき：
\(\ddot{x}^\mu = 0\)
これは等速直線運動（加速度ゼロ）。Newton の第一法則に対応する。曲がった時空（\(\Gamma \neq 0\)）では \(\Gamma\) の項が「重力による加速」を表す。
Medium（標準）¶
M-1. 4 元運動量と質量殻条件¶
→ 問題に戻る
\(p^\mu = (E/c,\; p_x,\; p_y,\; p_z)\)
\(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(E/c)^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 = -E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2\)
これが \(-m^2c^2\) に等しいとすると：
\(-E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2 = -m^2c^2\)
\(E^2/c^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2c^2\)
\(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4 = (pc)^2 + (mc^2)^2\)
これは相対論的なエネルギー-運動量関係そのもの。\(\mathbf{p} = 0\)（静止）のとき \(E = mc^2\)。
M-2. 極座標の計量と \(r=0\) での挙動¶
→ 問題に戻る
\(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\) から：
\(g_{rr} = 1, \quad g_{\theta\theta} = r^2, \quad g_{r\theta} = 0\)
\(r = 0\) では \(g_{\theta\theta} = 0\) となり、計量が退化する（\(\det g = 0\)）。これは座標の特異性であり、物理的な特異点ではない。原点では \(\theta\) の方向が定義できない（どの方向を向いても同じ点）ため。
M-3. 球面の \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\)¶
→ 問題に戻る
公式：\(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha})\)
\(\Gamma^\theta_{\phi\phi} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta}(\partial_\phi g_{\phi\theta} + \partial_\phi g_{\phi\theta} - \partial_\theta g_{\phi\phi})\)
\(g_{\phi\theta} = 0\) なので最初の 2 項はゼロ：
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R^2} \cdot (0 + 0 - \partial_\theta(R^2\sin^2\theta))\)
\(= \frac{1}{2R^2}(-2R^2\sin\theta\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta\)
Advanced（発展）¶
A-1. Bianchi 恒等式とエネルギー保存¶
→ 問題に戻る
Einstein テンソル \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) は、Riemann テンソルの Bianchi 恒等式の帰結として：
\(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)
を自動的に満たす（微分幾何の恒等式であり、運動方程式ではない）。
Einstein 方程式 \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) の両辺に \(\nabla^\mu\) を作用させると：
\(0 = \nabla^\mu G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\nabla^\mu T_{\mu\nu}\)
したがって \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\)（エネルギー運動量の保存則）。
つまり、Einstein 方程式の数学的構造が、エネルギー運動量保存を自動的に保証している。保存則を別途仮定する必要がない。
このページについてフィードバック
分からなかった箇所、誤りの指摘、改善提案などをお寄せください。