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第 3 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Basic（基礎）

B-1. 双曲線関数の恒等式の導出

双曲線関数の恒等式 \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\) を、定義式

\[ \cosh\varphi = \frac{e^\varphi + e^{-\varphi}}{2}, \qquad \sinh\varphi = \frac{e^\varphi - e^{-\varphi}}{2} \]

から直接導け。

ヒント

それぞれを二乗して差をとり、指数関数の積を整理せよ。

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B-2. ラピディティと Lorentz 因子の関係

ラピディティ (rapidity) \(\varphi\) と速度 \(v\) の関係 \(\tanh\varphi = v/c\) を用いて、\(\cosh\varphi = \gamma\), \(\sinh\varphi = \gamma v/c\) を導け。ただし \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\) である。

ヒント

\(\tanh\varphi = \sinh\varphi / \cosh\varphi\) と \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\) を連立させよ。

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B-3. Lorentz 変換行列の縮約計算

\(x\) 方向に速度 \(v\) で動く慣性系への Lorentz (ローレンツ) 変換行列（\(c = 1\) の単位系）

\[ \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v & 0 & 0 \\ -\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

を用いて、\(dx^\mu = (dt,\, dx,\, 0,\, 0)\) に対する \(dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{\nu}\,dx^\nu\) を縮約規則に従って計算し、\(dx' = \gamma(dx - v\,dt)\) を確認せよ。

ヒント

\(\nu = 0, 1, 2, 3\) の各項を書き下し、\(\Lambda^{1'}{}_{0} = -\gamma v\), \(\Lambda^{1'}{}_{1} = \gamma\) を代入せよ。

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Medium（標準）

M-1. Lorentz 変換の係数決定の詳細計算

本文 3.5 節で、Lorentz 変換の係数を決める連立方程式

\[ \begin{aligned} -c^2\,a_1^2 + a_6^2\,v^2 &= -c^2 \quad &\text{（}dt^2\text{ の係数）} \\ -c^2\,a_2^2 + a_6^2 &= 1 \quad &\text{（}dx^2\text{ の係数）} \\ -2\,c^2\,a_1\,a_2 - 2\,a_6^2\,v &= 0 \quad &\text{（交差項 }dt\,dx\text{ の係数）} \end{aligned} \]

を得た。これを解いて

\[ a_1 = a_6 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad a_2 = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

を導出せよ。さらに、\(v \to 0\) で恒等変換（\(a_1 = a_6 = 1\), \(a_2 = 0\)）に戻るべきという連続性の条件から、\(a_6\) の符号が \(+\) に決まることを示せ。

ヒント

(a) 交差項の式から \(a_2 = -a_6^2\,v / (c^2\,a_1)\) を得る。 (b) これを \(dx^2\) の式に代入し、\(a_1^2\) と \(a_6^2\) の関係式を得る。 (c) \(dt^2\) の式と連立して \(a_6^2 = 1/(1 - v^2/c^2)\) を得る。 (d) \(v \to 0\) で \(a_6 \to +1\) となる符号を選ぶ。

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M-2. Lorentz 変換による計量の保存条件

Lorentz 変換の行列 \(\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}\) が Minkowski 計量を保存する条件

\[ \eta_{\mu'\nu'} = \Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\,\Lambda^{\beta}{}_{\nu'}\,\eta_{\alpha\beta} \]

を、\(x\) 方向ブーストの具体的な \(\Lambda\) を代入して \((\mu', \nu') = (0, 0)\) と \((\mu', \nu') = (0, 1)\) の成分について検証せよ。

注: 問題文の \(\Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\) は「ダッシュ付き添字（\(S'\) 系の成分）からダッシュなし添字（\(S\) 系の成分）への変換行列」を表す。つまり順変換 \(x^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_{\nu}x^\nu\) の逆行列に相当する。ただし \(x\) 方向ブーストの行列は対称行列であるため、本問の計算では「順変換行列の第 0 列 \((\gamma, -\gamma v, 0, 0)\) を \(\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\) として読む」という対応で結果が得られる。

ヒント

\((\mu', \nu') = (0, 0)\) では \(\alpha,\, \beta\) について和をとると \(-\gamma^2 + \gamma^2 v^2\) が現れる。

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M-3. 同時性の相対性の定量的帰結

Lorentz 変換の式から、\(S\) 系で同時刻（\(\Delta t = 0\)）に距離 \(\Delta x = L\) だけ離れた二つの事象について、\(S'\) 系での時間差 \(\Delta t'\) を求めよ。これが「同時性の相対性」のどのような帰結を示しているか、言葉で説明せよ。

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M-4. 固有時間と座標時間の関係

固有時間 (proper time) \(d\tau^2 = -ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\)（\(c = 1\)）を用いて、座標時間 \(t\) と固有時間 \(\tau\) の関係

\[ \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{\gamma} \]

を導出せよ。さらに、この結果から「動いている時計は遅れる」ことを説明せよ。

ヒント

\(d\tau^2\) を \(dt^2\) でくくり出し、\(dx^i/dt = v^i\) を代入せよ。

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M-5. 速度の合成則の導出

Lorentz 変換を 2 回連続で適用する問題。\(S\) 系に対して \(x\) 方向に速度 \(v_1\) で動く \(S'\) 系、\(S'\) 系に対して同じく \(x\) 方向に速度 \(v_2\) で動く \(S''\) 系を考える。ラピディティの加法性 \(\varphi_{12} = \varphi_1 + \varphi_2\) を用いて、相対論的な速度の合成則

\[ v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2} \]

を導出せよ（\(c = 1\)）。

ヒント

\(\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)\) の加法公式を使い、\(\tanh\varphi = v\) を代入せよ。

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M-6. 同時性の相対性（具体例）

\(S\) 系で同時刻 \(t = 0\) に \(x_A = 0\), \(x_B = L\) で起きた二つの事象 \(A\), \(B\) を考える。\(x\) 方向に速度 \(v\) で動く \(S'\) 系において、(a) 二つの事象の時間差 \(\Delta t' = t'_B - t'_A\) を求め、(b) どちらの事象が先に起きるかを \(v\) の符号で場合分けして答えよ。

ヒント

Lorentz 変換の \(t'\) の式に \(t_A = t_B = 0\) を代入せよ。

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