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第 2 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Compton (コンプトン) 散乱において、入射 X 線の波長が nm であるとする。散乱角 （後

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問題:

Compton (コンプトン) 散乱において、入射 X 線の波長が \(\lambda = 0.0711\) nm であるとする。散乱角 \(\theta = 180°\)（後方散乱）のとき、散乱後の X 線の波長 \(\lambda'\) を求めよ。Compton 波長 \(h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m を用いてよい。

Compton 散乱：後方散乱（\(\theta = 180°\)）での散乱波長

解法の方針:

Compton 散乱の公式 \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\) に \(\theta = 180°\) を代入する。

計算:

\[\cos 180° = -1\]
\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - (-1)) = 2 \times \frac{h}{m_e c} = 2 \times 2.43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[\lambda' = \lambda + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 0.0711 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[= 71.1 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 75.96 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]

最終回答:

\[\boxed{\lambda' \approx 0.0760\ \mathrm{nm}}\]

検算:

波長変化 \(\Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12}\) m は Compton 波長の 2 倍であり、これは後方散乱での最大波長変化に対応する。元の波長 \(71.1\) pm に対して約 6.8% の変化であり、X 線の実験で十分測定可能な値。妥当。

B-2. Compton 散乱の式 (2.1) において、散乱角 のときの波長変化 を求めよ

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問題:

Compton 散乱の式 (2.1) において、散乱角 \(\theta = 60°\) のときの波長変化 \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) を求めよ。

Compton 散乱：\(\theta = 60°\) での波長変化

計算:

\[\cos 60° = 0.5\]
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0.5) = 2.43 \times 10^{-12} \times 0.5\]

最終回答:

\[\boxed{\Delta\lambda = 1.22 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 1.22\ \mathrm{pm}}\]

検算:

\(\theta = 60°\) は \(\theta = 90°\)（\(\Delta\lambda = \lambda_C\)）と \(\theta = 0°\)（\(\Delta\lambda = 0\)）の中間。\(\Delta\lambda = \lambda_C / 2\) は Compton 波長の半分であり、妥当。

B-3. 質量 kg の陽子が速度 m/s で運動しているとき、de Broglie 波長 を求めよ

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問題:

質量 \(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg の陽子が速度 \(v = 3.0 \times 10^{4}\) m/s で運動しているとき、de Broglie 波長 \(\lambda = h/(mv)\) を求めよ。

陽子の de Broglie 波長

計算:

\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4}\]

分母：

\[mv = 1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4 = 5.01 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
\[\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-23}} = 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]

最終回答:

\[\boxed{\lambda \approx 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.132\ \mathrm{\AA}}\]

検算:

次元確認：\([h]/([m][v]) = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\)。✓ 値は原子間隔（数 Å）より短く、陽子は電子より重いので波長が短いのは妥当。

B-4. 加速電圧 V で加速された電子の de Broglie 波長を、簡便公式

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問題:

加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V で加速された電子の de Broglie 波長を、簡便公式

\[ \lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]

を用いて求めよ。また、その値を Å（オングストローム）単位に換算せよ。

加速電圧 200 V での電子の de Broglie 波長

計算:

\[\sqrt{200} = \sqrt{4 \times 50} = 2\sqrt{50} = 2 \times 7.071 = 14.14\]
\[\lambda \approx \frac{1.226}{14.14}\ \mathrm{nm} = 0.0867\ \mathrm{nm}\]

Å 単位への換算：

\[\lambda = 0.0867\ \mathrm{nm} \times 10\ \mathrm{\AA/nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}\]

最終回答:

\[\boxed{\lambda \approx 0.0867\ \mathrm{nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}}\]

検算:

\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V で \(\lambda \approx 1.00\) Å（本文）。\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V は 150 V より大きいので波長は短くなるはず。\(1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.100\) nm = 1.00 Å。200 V では 0.867 Å < 1.00 Å。✓

B-5. 電子（質量 kg）が加速電圧 V で加速されたとき、電子の速度 を式 (2.9)

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問題:

電子（質量 \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg）が加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V で加速されたとき、電子の速度 \(v\) を式 (2.9)

\[ \frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

から求めよ。ただし \(e = 1.602 \times 10^{-19}\) C とする。

加速電圧 54 V で加速された電子の速度

計算:

\[v = \sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}\]

分子：

\[2eV_{\mathrm{acc}} = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 54 = 1.730 \times 10^{-17}\ \mathrm{J}\]
\[\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} = \frac{1.730 \times 10^{-17}}{9.109 \times 10^{-31}} = 1.899 \times 10^{13}\ \mathrm{m^2/s^2}\]
\[v = \sqrt{1.899 \times 10^{13}} = 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}\]

最終回答:

\[\boxed{v \approx 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}}\]

検算:

\(v/c = 4.36 \times 10^6 / 3.0 \times 10^8 \approx 0.015\)。非相対論的近似は妥当。本文で \(V_{\mathrm{acc}} = 100\) V のとき \(v \approx 5.93 \times 10^6\) m/s。\(v \propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) なので \(v(54\mathrm{V})/v(100\mathrm{V}) = \sqrt{54/100} = 0.735\)。\(5.93 \times 10^6 \times 0.735 = 4.36 \times 10^6\)。✓

B-6. Bragg (ブラッグ) 条件 において、結晶面間隔 Å、入射角 、次数 のとき、回折する波の波長

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問題:

Bragg (ブラッグ) 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) において、結晶面間隔 \(d = 0.91\) Å、入射角 \(\theta = 65°\)、次数 \(n = 1\) のとき、回折する波の波長 \(\lambda\) を Å 単位で求めよ。

Bragg 条件から波長を求める

計算:

\[\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n} = \frac{2 \times 0.91 \times \sin 65°}{1}\]
\[\sin 65° \approx 0.906\]
\[\lambda = 2 \times 0.91 \times 0.906 = 1.649\ \mathrm{\AA}\]

最終回答:

\[\boxed{\lambda \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]

検算:

この値は Davisson-Germer 実験で得られた電子の波長（\(\sim 1.65\) Å）と同程度であり、結晶回折で観測可能な範囲。\(\lambda < 2d = 1.82\) Å であることも Bragg 条件の要請を満たす。✓

B-7. 運動エネルギー eV の中性子（質量 kg）の de Broglie 波長を求めよ。ただし J とす

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問題:

運動エネルギー \(K = 1.0\) eV の中性子（質量 \(m_n = 1.675 \times 10^{-27}\) kg）の de Broglie 波長を求めよ。ただし \(1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\) J とする。

運動エネルギー 1.0 eV の中性子の de Broglie 波長

計算:

運動エネルギーを J に変換：

\[K = 1.0\ \mathrm{eV} = 1.0 \times 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\]

運動量：

\[p = \sqrt{2m_n K} = \sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19}}\]
\[= \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{53.67 \times 10^{-47}} = 7.326 \times 10^{-23.5}\]

もう少し丁寧に計算する：

\[2m_n K = 2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} = 5.367 \times 10^{-46}\ \mathrm{kg^2 \cdot m^2/s^2}\]
\[p = \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{5.367} \times 10^{-23} = 2.317 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]

de Broglie 波長：

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.317 \times 10^{-23}} = 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]

最終回答:

\[\boxed{\lambda \approx 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.286\ \mathrm{\AA}}\]

検算:

1 eV の中性子は「熱中性子」（\(\sim 0.025\) eV）より高エネルギーなので波長は短いはず。熱中性子の波長は \(\sim 1.8\) Å。\(\lambda \propto 1/\sqrt{K}\) なので \(\lambda(1\mathrm{eV})/\lambda(0.025\mathrm{eV}) = \sqrt{0.025/1} = 0.158\)。\(1.8 \times 0.158 \approx 0.28\) Å。✓

B-8. de Broglie の関係式を角振動数 (かくしんどうすう) と波数 で表した式 および を用いて

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問題:

de Broglie の関係式を角振動数 (かくしんどうすう) \(\omega\) と波数 \(k\) で表した式 \(E = \hbar\omega\) および \(p = \hbar k\) を用いて、波長 \(\lambda = 2.0\) Å の電子に対応する波数 \(k\) を SI 単位（m\(^{-1}\)）で求めよ。

波長 2.0 Å の電子に対応する波数 \(k\)

計算:

\[\lambda = 2.0\ \mathrm{\AA} = 2.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}\]
\[k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2.0 \times 10^{-10}} = \frac{6.283}{2.0 \times 10^{-10}} = 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}\]

最終回答:

\[\boxed{k \approx 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}}\]

検算:

\(p = \hbar k = 1.055 \times 10^{-34} \times 3.14 \times 10^{10} = 3.31 \times 10^{-24}\) kg·m/s。\(\lambda = h/p = 6.626 \times 10^{-34} / 3.31 \times 10^{-24} = 2.0 \times 10^{-10}\) m = 2.0 Å。✓

Medium（標準）

M-1. 加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出

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問題:

加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出

電子（質量 \(m_e\)、電荷 \(e\)）が静止状態から電圧 \(V_{\mathrm{acc}}\) で加速されるとき、以下の手順に従って de Broglie 波長が

\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

と表されることを導け。

(a) エネルギー保存から、電子の運動量 \(p\) を \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\) で表せ。

(b) de Broglie の関係式 \(\lambda = h/p\) に代入して上式を得よ。

(c) 定数を数値代入し、\(\lambda \approx 1.226/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) nm が得られることを確かめよ。

加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出

(a) 運動量 \(p\) を \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\) で表す:

エネルギー保存則より、静止状態から加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}}\) で加速された電子の運動エネルギーは：

\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

運動量 \(p = m_e v\) を用いると \(\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{p^2}{2m_e}\) だから：

\[\frac{p^2}{2m_e} = eV_{\mathrm{acc}}\]
\[\boxed{p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

(b) de Broglie 波長の導出:

de Broglie の関係式 \(\lambda = h/p\) に (a) の結果を代入する：

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}}\]

(c) 数値代入による簡便公式の確認:

定数部分を計算する：

\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19}}}\]

分母の中身：

\[2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.919 \times 10^{-49}\]
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = \sqrt{2.919} \times 10^{-24.5} = 1.709 \times 10^{-24.5}\]

ここで \(10^{-24.5} = 10^{-25} \times \sqrt{10} = 3.162 \times 10^{-25}\) なので：

\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = 1.709 \times 3.162 \times 10^{-25} = 5.403 \times 10^{-25}\]
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.403 \times 10^{-25}} = 1.226 \times 10^{-9}\ \mathrm{m \cdot V^{1/2}}\]

したがって：

\[\lambda = \frac{1.226 \times 10^{-9}}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{m} = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}}\]

検算:

\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V のとき \(\lambda = 1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.1001\) nm = 1.00 Å。本文の例と一致。✓

M-2. Davisson-Germer 実験の再現計算

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問題:

Davisson-Germer 実験の再現計算

Davisson-Germer 実験では、加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V で加速された電子をニッケル単結晶（表面原子間隔 \(d = 2.15\) Å）に当て、散乱角 \(\phi = 50°\) に強い回折ピークを観測した。

(a) 式 (2.12) を用いて、54 V で加速された電子の de Broglie 波長 \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) を求めよ。

(b) 回折条件 \(d\sin\phi = n\lambda\) に \(n = 1\), \(\phi = 50°\) を代入して、実験から得られる波長 \(\lambda_{\mathrm{exp}}\) を求めよ。

(c) \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) と \(\lambda_{\mathrm{exp}}\) を比較し、de Broglie 仮説の妥当性を論ぜよ。

Davisson-Germer 実験の再現計算

(a) de Broglie 波長の計算:

式 (2.12) を用いる：

\[\lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{1.226}{\sqrt{54}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{7.348}\ \mathrm{nm} = 0.1668\ \mathrm{nm} = 1.668\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\ \mathrm{\AA}}\]

(b) 回折条件から得られる波長:

回折条件 \(d\sin\phi = n\lambda\) に \(d = 2.15\) Å, \(\phi = 50°\), \(n = 1\) を代入：

\[\lambda_{\mathrm{exp}} = d\sin\phi = 2.15 \times \sin 50° = 2.15 \times 0.766 = 1.647\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]

(c) 比較と考察:

両者の差：

\[\frac{|\lambda_{\mathrm{dB}} - \lambda_{\mathrm{exp}}|}{\lambda_{\mathrm{dB}}} \times 100\% = \frac{|1.67 - 1.65|}{1.67} \times 100\% \approx 1.2\%\]

de Broglie 仮説から予測される波長 \(\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\) Å と、回折実験から測定される波長 \(\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\) Å は約 1% の差で一致する。この程度の差は実験の測定精度（角度の読み取り誤差、結晶面間隔の不確かさなど）の範囲内であり、de Broglie の物質波仮説 \(\lambda = h/p\) が実験的に確認されたと結論できる。

検算:

わずかな差の原因として、電子が結晶内部に入る際の内部ポテンシャルによる屈折効果（加速電圧の補正）が考えられる。実際の精密な解析ではこの補正を含めるとさらに良い一致が得られる。

M-3. Compton 散乱の公式の構造分析

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問題:

Compton 散乱の公式の構造分析

Compton 散乱の公式

\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

について、以下の問いに答えよ。

(a) \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) の取りうる値の範囲を \(\theta\) の関数として求めよ（\(0 \le \theta \le 180°\)）。

(b) 散乱される相手が電子ではなく陽子（質量 \(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg）であった場合の Compton 波長 \(h/(m_p c)\) を計算し、電子の場合と比較せよ。

(c) (b) の結果から、「Compton 散乱の波長変化は軽い粒子ほど大きい」ことを説明せよ。

Compton 散乱の公式の構造分析

(a) \(\Delta\lambda\) の取りうる値の範囲:

\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

\(0 \le \theta \le 180°\) の範囲で \(\cos\theta\) は \(+1\) から \(-1\) まで変化するので、\((1 - \cos\theta)\) は \(0\) から \(2\) まで変化する。

\[\boxed{0 \le \Delta\lambda \le \frac{2h}{m_e c} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}}\]
  • \(\theta = 0°\)（前方散乱）：\(\Delta\lambda = 0\)（波長変化なし）
  • \(\theta = 90°\)：\(\Delta\lambda = h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m
  • \(\theta = 180°\)（後方散乱）：\(\Delta\lambda = 2h/(m_e c) = 4.86 \times 10^{-12}\) m（最大）

(b) 陽子の Compton 波長:

\[\frac{h}{m_p c} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^8}\]
\[= \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.015 \times 10^{-19}} = 1.321 \times 10^{-15}\ \mathrm{m}\]
\[\boxed{\frac{h}{m_p c} \approx 1.32 \times 10^{-15}\ \mathrm{m} = 1.32\ \mathrm{fm}}\]

電子の Compton 波長との比：

\[\frac{h/(m_e c)}{h/(m_p c)} = \frac{m_p}{m_e} = \frac{1.673 \times 10^{-27}}{9.109 \times 10^{-31}} \approx 1836\]

陽子の Compton 波長は電子の約 \(1/1836\) 倍であり、電子の場合（\(2.43\) pm）に比べて約 1840 分の 1 の大きさ（\(1.32\) fm）。

(c) 「軽い粒子ほど波長変化が大きい」ことの説明:

Compton 散乱の波長変化は：

\[\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\]

ここで \(h/(mc)\) は散乱される相手の粒子の質量 \(m\) に反比例する。したがって：

  • 質量が小さい粒子（電子）と散乱する場合：Compton 波長が大きく、波長変化も大きい
  • 質量が大きい粒子（陽子）と散乱する場合：Compton 波長が小さく、波長変化も小さい

物理的には、軽い粒子ほど光子から運動量を受け取って大きく反跳するため、光子が失うエネルギー（＝波長の増加）が大きくなる。逆に、非常に重い粒子（\(m \to \infty\)）では \(\Delta\lambda \to 0\) となり、古典的な Thomson 散乱（波長変化なし）に帰着する。

検算:

\(m \to \infty\) の極限で \(\Delta\lambda \to 0\) は、重い壁にボールを当てるとほぼ同じ速さで跳ね返る（エネルギー変化なし）という古典的直観と一致。✓

M-4. Bragg 条件を用いた電子線回折の解析

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問題:

Bragg 条件を用いた電子線回折の解析

G. P. Thomson (G. P. トムソン) の実験を模した状況を考える。加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V で加速された電子を、面間隔 \(d = 2.34\) Å のアルミニウム結晶に入射させる。

(a) 電子の de Broglie 波長を求めよ。

(b) Bragg 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を用いて、\(n = 1\) の回折が起こる入射角 \(\theta\) を求めよ。

(c) 加速電圧を 2 倍（\(20{,}000\) V）にしたとき、\(n = 1\) の回折角 \(\theta\) はどう変わるか。定性的に説明した上で、具体的な値を求めよ。

G. P. Thomson の実験を模した電子線回折の解析

(a) 電子の de Broglie 波長:

\[\lambda = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{\sqrt{10000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{100}\ \mathrm{nm} = 0.01226\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda = 0.1226\ \mathrm{\AA}}\]

(b) \(n = 1\) の回折角 \(\theta\):

Bragg 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) より：

\[\sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} = \frac{1 \times 0.1226}{2 \times 2.34} = \frac{0.1226}{4.68} = 0.02620\]
\[\theta = \arcsin(0.02620) \approx 1.50°\]

\(\sin\theta \approx 0.0262\) は十分小さいので、小角近似 \(\sin\theta \approx \theta\)（ラジアン）も使える：\(\theta \approx 0.0262\) rad \(= 1.50°\)。

\[\boxed{\theta \approx 1.50°}\]

(c) 加速電圧を 20,000 V にした場合:

定性的説明： \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) なので、加速電圧を 2 倍にすると波長は \(1/\sqrt{2}\) 倍になる。Bragg 条件 \(\sin\theta = \lambda/(2d)\) より \(\sin\theta\) も \(1/\sqrt{2}\) 倍になるので、回折角は小さくなる。

具体的な計算：

\[\lambda' = \frac{1.226}{\sqrt{20000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{141.4}\ \mathrm{nm} = 0.008671\ \mathrm{nm} = 0.08671\ \mathrm{\AA}\]
\[\sin\theta' = \frac{0.08671}{2 \times 2.34} = \frac{0.08671}{4.68} = 0.01853\]
\[\theta' = \arcsin(0.01853) \approx 1.06°\]
\[\boxed{\theta' \approx 1.06°}\]

確認：\(\theta'/\theta = 1.06°/1.50° = 0.707 = 1/\sqrt{2}\)（小角近似が成り立つ範囲では \(\theta \propto \lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)）。✓

検算:

高エネルギー電子ほど波長が短く、回折角が小さくなるのは物理的に妥当。G. P. Thomson の実験では数万 V の加速電圧を使い、小さな角度で回折リングを観測しており、この計算結果と整合する。

Advanced（発展）

A-1. Compton 散乱の公式の導出

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問題:

Compton 散乱の公式の導出

波長 \(\lambda\) の X 線光子が、静止している電子（質量 \(m_e\)）に衝突する場合を考える。散乱後の光子の波長を \(\lambda'\)、散乱角を \(\theta\)、反跳電子の運動量の大きさを \(p_e\)、反跳角（入射方向と電子の運動方向のなす角）を \(\varphi\) とする。

以下の手順に従い、Compton 散乱の公式

\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

を導出せよ。光子のエネルギーは \(E = pc\)（質量ゼロの粒子の相対論的関係）、電子のエネルギーは相対論的に \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\) で与えられる。

(a) エネルギー保存則を書き下せ。入射光子のエネルギーを \(h c/\lambda\)、散乱後の光子のエネルギーを \(h c/\lambda'\)、反跳電子の静止エネルギーを \(m_e c^2\) として表せ。

(b) 運動量保存則を入射方向（\(x\) 方向）と垂直方向（\(y\) 方向）の 2 成分に分けて書き下せ。

(c) (b) の 2 式から反跳角 \(\varphi\) を消去し、\(p_e^2\) を \(\lambda\), \(\lambda'\), \(\theta\) で表せ。

(d) (a) のエネルギー保存から \(p_e^2 c^2\) を \(\lambda\), \(\lambda'\) で表し、(c) の結果と等置することで Compton 散乱の公式を導け。

Compton 散乱の公式の導出

(a) エネルギー保存則:

入射光子のエネルギーは \(hc/\lambda\)、散乱後の光子のエネルギーは \(hc/\lambda'\)。電子は初め静止しているので初期エネルギーは静止エネルギー \(m_e c^2\) のみ。散乱後の電子のエネルギーは \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\)。

エネルギー保存則：

\[\boxed{\frac{hc}{\lambda} + m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}} \tag{A1.1}\]

(b) 運動量保存則:

入射方向を \(x\) 軸、それに垂直な方向を \(y\) 軸とする。入射光子の運動量は \(h/\lambda\)（\(x\) 方向）。散乱後の光子は角度 \(\theta\) の方向に進み、反跳電子は角度 \(\varphi\) の方向に進む。

\(x\) 成分：

\[\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\theta + p_e\cos\varphi \tag{A1.2}\]

\(y\) 成分：

\[0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta - p_e\sin\varphi \tag{A1.3}\]

(c) \(\varphi\) の消去と \(p_e^2\) の導出:

式 (A1.2) を変形：

\[p_e\cos\varphi = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta \tag{A1.4}\]

式 (A1.3) を変形：

\[p_e\sin\varphi = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta \tag{A1.5}\]

(A1.4) と (A1.5) をそれぞれ 2 乗して足す（\(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\) を利用）：

\[p_e^2 = \left(\frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\right)^2\]

展開する：

\[p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2\cos^2\theta}{\lambda'^2} + \frac{h^2\sin^2\theta}{\lambda'^2}\]
\[= \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{\lambda'^2}\]
\[\boxed{p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda'^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}} \tag{A1.6}\]

(d) エネルギー保存から \(p_e^2 c^2\) を求め、Compton 公式を導出:

式 (A1.1) を変形して反跳電子のエネルギーを左辺に集める：

\[\sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\]

両辺を 2 乗する：

\[(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\right)^2\]

右辺を展開する。\(A = hc/\lambda - hc/\lambda'\), \(B = m_e c^2\) とおくと：

\[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]
\[p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)m_e c^2 + m_e^2 c^4\]

\(m_e^2 c^4\) が両辺で消えて：

\[p_e^2 c^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2m_e c^2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)\]

左辺の \(A^2\) を展開：

\[\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\]

したがって：

\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) \tag{A1.7}\]

一方、(A1.6) に \(c^2\) を掛けると：

\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right) \tag{A1.8}\]

(A1.7) と (A1.8) を等置する：

\[h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right)\]

両辺から \(h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\) を消去：

\[-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'} + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\]

移項する：

\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\]
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

両辺を \(2hc^2\) で割る：

\[m_e c\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

左辺を変形：

\[\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'}\]

代入：

\[m_e c \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'} = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

両辺に \(\lambda\lambda'\) を掛ける：

\[m_e c(\lambda' - \lambda) = h(1 - \cos\theta)\]
\[\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)}\]

検算:

  • \(\theta = 0\) の場合： \(\lambda' - \lambda = 0\)。前方散乱では波長変化なし。光子がかすめるだけなので物理的に妥当。✓
  • 次元解析： \([h/(m_e c)] = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\)。波長の次元。✓
  • \(\theta = 180°\) の場合： \(\Delta\lambda = 2h/(m_e c)\)。最大波長変化。後方散乱で光子が最大のエネルギーを電子に渡すので妥当。✓

A-2. 相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用

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問題:

相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用

本章の式 (2.11) は非相対論的近似（\(v \ll c\)）に基づいている。加速電圧が非常に高い場合（例えば電子顕微鏡で使われる \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV）、電子の運動エネルギーが静止エネルギー \(m_e c^2 \approx 511\) keV と比較して無視できなくなり、相対論的補正が必要になる。

(a) 相対論的なエネルギーと運動量の関係

\[ E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

において、全エネルギーが \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\)（静止エネルギー＋運動エネルギー）であることを用いて、運動量 \(p\) を \(m_e\), \(c\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\) で表せ。

(b) 相対論的な de Broglie 波長が $$

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}$$

と書けることを示せ。

(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV のとき、非相対論的な式 (2.11) による波長と、(b) の相対論的な波長をそれぞれ数値で求め、両者の差を百分率で評価せよ。

(d) 電子顕微鏡の分解能は概ね使用する波長程度であるとする。\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV の電子顕微鏡で原子レベルの構造（\(\sim 1\) Å）を観察できるか論ぜよ。

相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用

(a) 相対論的運動量の導出:

相対論的エネルギー-運動量関係：

\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

電子が加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}}\) で加速されたとき、全エネルギーは：

\[E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\]

代入して \(p\) について解く：

\[(m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
\[(pc)^2 = (m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\]

右辺を展開：

\[(m_e c^2)^2 + 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[p^2 c^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[\boxed{p = \frac{1}{c}\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]

(b) 相対論的 de Broglie 波長:

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]

分母から \(2m_e eV_{\mathrm{acc}}\) をくくり出す：

\[p^2 = \frac{1}{c^2}\left[2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\right] = 2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\]
\[p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}\]

したがって：

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}}\]

非相対論的極限（\(eV_{\mathrm{acc}} \ll m_e c^2\)）では括弧内の補正項が無視でき、\(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}\) に帰着する。✓

(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV での数値計算:

非相対論的な波長：

\[\lambda_{\mathrm{NR}} = \frac{1.226}{\sqrt{200{,}000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{447.2}\ \mathrm{nm} = 2.742 \times 10^{-3}\ \mathrm{nm} = 0.02742\ \mathrm{\AA}\]

相対論的補正因子：

\[eV_{\mathrm{acc}} = 200\ \mathrm{keV},\quad m_e c^2 = 511\ \mathrm{keV}\]
\[\frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = \frac{200}{2 \times 511} = \frac{200}{1022} = 0.1957\]
\[1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = 1.1957\]

相対論的な波長：

\[\lambda_{\mathrm{rel}} = \frac{\lambda_{\mathrm{NR}}}{\sqrt{1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}}} = \frac{0.02742}{\sqrt{1.1957}}\ \mathrm{\AA} = \frac{0.02742}{1.0935}\ \mathrm{\AA} = 0.02508\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{NR}} \approx 0.0274\ \mathrm{\AA},\quad \lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA}}\]

百分率の差：

\[\frac{\lambda_{\mathrm{NR}} - \lambda_{\mathrm{rel}}}{\lambda_{\mathrm{rel}}} \times 100\% = \frac{0.0274 - 0.0251}{0.0251} \times 100\% \approx 9.2\%\]

非相対論的な式は相対論的な正しい値に比べて約 9% 過大評価する。200 kV の加速電圧では相対論的補正は無視できない。

(d) 原子レベルの構造の観察可能性:

\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV の電子顕微鏡で使用される電子の de Broglie 波長は：

\[\lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA} = 2.51 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]

原子レベルの構造のサイズは \(\sim 1\) Å \(= 10^{-10}\) m であるから、電子の波長はこれより約 40 倍短い。

回折限界による分解能は使用する波長程度であるから、波長の観点からは原子レベルの構造を十分に分解できる。実際の電子顕微鏡では、レンズの収差などにより理論限界よりも分解能は劣るが、近年の収差補正技術により原子分解能（\(\sim 1\) Å 以下）が達成されている。

\[\boxed{\text{波長 } 0.025\ \mathrm{\AA} \ll 1\ \mathrm{\AA} \text{ であり、原子レベルの観察は原理的に十分可能。}}\]

検算:

  • 非相対論的極限の確認： \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2) = 0.196\) は無視できない大きさであり、相対論的補正が必要であることと整合。
  • \(V_{\mathrm{acc}} \to 0\) の極限： 補正因子 \(\to 1\) で非相対論的公式に帰着。✓
  • 波長のオーダー： 200 kV 電子顕微鏡の波長が \(\sim 0.025\) Å というのは、電子顕微鏡の教科書の値と一致。✓