第 2 章 練習問題 解答
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目次
Basic（基礎）
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）
B-1. Compton (コンプトン) 散乱において、入射 X 線の波長が nm であるとする。散乱角 （後
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Compton 散乱：後方散乱（\(\theta = 180°\)）での散乱波長
解法の方針
Compton 散乱の公式 \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\) に \(\theta = 180°\) を代入する。
計算
\[\cos 180° = -1\]
\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - (-1)) = 2 \times \frac{h}{m_e c} = 2 \times 2.43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[\lambda' = \lambda + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 0.0711 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[= 71.1 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 75.96 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
最終回答
\[\boxed{\lambda' \approx 0.0760\ \mathrm{nm}}\]
検算
波長変化 \(\Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12}\) m は Compton 波長の 2 倍であり、これは後方散乱での最大波長変化に対応する。元の波長 \(71.1\) pm に対して約 6.8% の変化であり、X 線の実験で十分測定可能な値。妥当。
B-2. Compton 散乱の式 (2.1) において、散乱角 のときの波長変化 を求めよ
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Compton 散乱：\(\theta = 60°\) での波長変化
計算
\[\cos 60° = 0.5\]
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0.5) = 2.43 \times 10^{-12} \times 0.5\]
最終回答
\[\boxed{\Delta\lambda = 1.22 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 1.22\ \mathrm{pm}}\]
検算
\(\theta = 60°\) は \(\theta = 90°\)（\(\Delta\lambda = \lambda_C\)）と \(\theta = 0°\)（\(\Delta\lambda = 0\)）の中間。\(\Delta\lambda = \lambda_C / 2\) は Compton 波長の半分であり、妥当。
B-3. 質量 kg の陽子が速度 m/s で運動しているとき、de Broglie 波長 を求めよ
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陽子の de Broglie 波長
計算
\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4}\]
分母：
\[mv = 1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4 = 5.01 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
\[\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-23}} = 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]
最終回答
\[\boxed{\lambda \approx 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.132\ \mathrm{\AA}}\]
検算
次元確認：\([h]/([m][v]) = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\)。✓
値は原子間隔（数 Å）より短く、陽子は電子より重いので波長が短いのは妥当。
B-4. 加速電圧 V で加速された電子の de Broglie 波長を、簡便公式
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加速電圧 200 V での電子の de Broglie 波長
計算
\[\sqrt{200} = \sqrt{4 \times 50} = 2\sqrt{50} = 2 \times 7.071 = 14.14\]
\[\lambda \approx \frac{1.226}{14.14}\ \mathrm{nm} = 0.0867\ \mathrm{nm}\]
Å 単位への換算：
\[\lambda = 0.0867\ \mathrm{nm} \times 10\ \mathrm{\AA/nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}\]
最終回答
\[\boxed{\lambda \approx 0.0867\ \mathrm{nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}}\]
検算
\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V で \(\lambda \approx 1.00\) Å（本文）。\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V は 150 V より大きいので波長は短くなるはず。\(1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.100\) nm = 1.00 Å。200 V では 0.867 Å < 1.00 Å。✓
B-5. 電子（質量 kg）が加速電圧 V で加速されたとき、電子の速度 を式 (2.9)
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加速電圧 54 V で加速された電子の速度
計算
\[v = \sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}\]
分子：
\[2eV_{\mathrm{acc}} = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 54 = 1.730 \times 10^{-17}\ \mathrm{J}\]
\[\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} = \frac{1.730 \times 10^{-17}}{9.109 \times 10^{-31}} = 1.899 \times 10^{13}\ \mathrm{m^2/s^2}\]
\[v = \sqrt{1.899 \times 10^{13}} = 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}\]
最終回答
\[\boxed{v \approx 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}}\]
検算
\(v/c = 4.36 \times 10^6 / 3.0 \times 10^8 \approx 0.015\)。非相対論的近似は妥当。本文で \(V_{\mathrm{acc}} = 100\) V のとき \(v \approx 5.93 \times 10^6\) m/s。\(v \propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) なので \(v(54\mathrm{V})/v(100\mathrm{V}) = \sqrt{54/100} = 0.735\)。\(5.93 \times 10^6 \times 0.735 = 4.36 \times 10^6\)。✓
B-6. Bragg (ブラッグ) 条件 において、結晶面間隔 Å、入射角 、次数 のとき、回折する波の波長
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Bragg 条件から波長を求める
計算
\[\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n} = \frac{2 \times 0.91 \times \sin 65°}{1}\]
\[\sin 65° \approx 0.906\]
\[\lambda = 2 \times 0.91 \times 0.906 = 1.649\ \mathrm{\AA}\]
最終回答
\[\boxed{\lambda \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]
検算
この値は Davisson-Germer 実験で得られた電子の波長（\(\sim 1.65\) Å）と同程度であり、結晶回折で観測可能な範囲。\(\lambda < 2d = 1.82\) Å であることも Bragg 条件の要請を満たす。✓
B-7. 運動エネルギー eV の中性子（質量 kg）の de Broglie 波長を求めよ。ただし J とす
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運動エネルギー 1.0 eV の中性子の de Broglie 波長
計算
運動エネルギーを J に変換：
\[K = 1.0\ \mathrm{eV} = 1.0 \times 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\]
運動量：
\[p = \sqrt{2m_n K} = \sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19}}\]
\[= \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{53.67 \times 10^{-47}} = 7.326 \times 10^{-23.5}\]
もう少し丁寧に計算する：
\[2m_n K = 2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} = 5.367 \times 10^{-46}\ \mathrm{kg^2 \cdot m^2/s^2}\]
\[p = \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{5.367} \times 10^{-23} = 2.317 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
de Broglie 波長：
\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.317 \times 10^{-23}} = 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]
最終回答
\[\boxed{\lambda \approx 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.286\ \mathrm{\AA}}\]
検算
1 eV の中性子は「熱中性子」（\(\sim 0.025\) eV）より高エネルギーなので波長は短いはず。熱中性子の波長は \(\sim 1.8\) Å。\(\lambda \propto 1/\sqrt{K}\) なので \(\lambda(1\mathrm{eV})/\lambda(0.025\mathrm{eV}) = \sqrt{0.025/1} = 0.158\)。\(1.8 \times 0.158 \approx 0.28\) Å。✓
B-8. de Broglie の関係式を角振動数 (かくしんどうすう) と波数 で表した式 および を用いて
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波長 2.0 Å の電子に対応する波数 \(k\)
計算
\[\lambda = 2.0\ \mathrm{\AA} = 2.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}\]
\[k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2.0 \times 10^{-10}} = \frac{6.283}{2.0 \times 10^{-10}} = 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}\]
最終回答
\[\boxed{k \approx 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}}\]
検算
\(p = \hbar k = 1.055 \times 10^{-34} \times 3.14 \times 10^{10} = 3.31 \times 10^{-24}\) kg·m/s。\(\lambda = h/p = 6.626 \times 10^{-34} / 3.31 \times 10^{-24} = 2.0 \times 10^{-10}\) m = 2.0 Å。✓
Medium（標準）
M-1. 加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出
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加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出
(a) 運動量 \(p\) を \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\) で表す
エネルギー保存則より、静止状態から加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}}\) で加速された電子の運動エネルギーは：
\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]
運動量 \(p = m_e v\) を用いると \(\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{p^2}{2m_e}\) だから：
\[\frac{p^2}{2m_e} = eV_{\mathrm{acc}}\]
\[\boxed{p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]
(b) de Broglie 波長の導出
de Broglie の関係式 \(\lambda = h/p\) に (a) の結果を代入する：
\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}}\]
(c) 数値代入による簡便公式の確認
定数部分を計算する：
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19}}}\]
分母の中身：
\[2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.919 \times 10^{-49}\]
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = \sqrt{2.919} \times 10^{-24.5} = 1.709 \times 10^{-24.5}\]
ここで \(10^{-24.5} = 10^{-25} \times \sqrt{10} = 3.162 \times 10^{-25}\) なので：
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = 1.709 \times 3.162 \times 10^{-25} = 5.403 \times 10^{-25}\]
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.403 \times 10^{-25}} = 1.226 \times 10^{-9}\ \mathrm{m \cdot V^{1/2}}\]
したがって：
\[\lambda = \frac{1.226 \times 10^{-9}}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{m} = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}}\]
検算
\(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V のとき \(\lambda = 1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.1001\) nm = 1.00 Å。本文の例と一致。✓
M-2. Davisson-Germer 実験の再現計算
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Davisson-Germer 実験の再現計算
(a) de Broglie 波長の計算
式 (2.12) を用いる：
\[\lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{1.226}{\sqrt{54}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{7.348}\ \mathrm{nm} = 0.1668\ \mathrm{nm} = 1.668\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\ \mathrm{\AA}}\]
(b) 回折条件から得られる波長
回折条件 \(d\sin\phi = n\lambda\) に \(d = 2.15\) Å, \(\phi = 50°\), \(n = 1\) を代入：
\[\lambda_{\mathrm{exp}} = d\sin\phi = 2.15 \times \sin 50° = 2.15 \times 0.766 = 1.647\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]
(c) 比較と考察
両者の差：
\[\frac{|\lambda_{\mathrm{dB}} - \lambda_{\mathrm{exp}}|}{\lambda_{\mathrm{dB}}} \times 100\% = \frac{|1.67 - 1.65|}{1.67} \times 100\% \approx 1.2\%\]
de Broglie 仮説から予測される波長 \(\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\) Å と、回折実験から測定される波長 \(\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\) Å は約 1% の差で一致する。この程度の差は実験の測定精度（角度の読み取り誤差、結晶面間隔の不確かさなど）の範囲内であり、de Broglie の物質波仮説 \(\lambda = h/p\) が実験的に確認されたと結論できる。
検算
わずかな差の原因として、電子が結晶内部に入る際の内部ポテンシャルによる屈折効果（加速電圧の補正）が考えられる。実際の精密な解析ではこの補正を含めるとさらに良い一致が得られる。
M-3. Compton 散乱の公式の構造分析
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Compton 散乱の公式の構造分析
(a) \(\Delta\lambda\) の取りうる値の範囲
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]
\(0 \le \theta \le 180°\) の範囲で \(\cos\theta\) は \(+1\) から \(-1\) まで変化するので、\((1 - \cos\theta)\) は \(0\) から \(2\) まで変化する。
\[\boxed{0 \le \Delta\lambda \le \frac{2h}{m_e c} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}}\]
- \(\theta = 0°\)（前方散乱）：\(\Delta\lambda = 0\)（波長変化なし）
- \(\theta = 90°\)：\(\Delta\lambda = h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m
- \(\theta = 180°\)（後方散乱）：\(\Delta\lambda = 2h/(m_e c) = 4.86 \times 10^{-12}\) m（最大）
(b) 陽子の Compton 波長
\[\frac{h}{m_p c} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^8}\]
\[= \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.015 \times 10^{-19}} = 1.321 \times 10^{-15}\ \mathrm{m}\]
\[\boxed{\frac{h}{m_p c} \approx 1.32 \times 10^{-15}\ \mathrm{m} = 1.32\ \mathrm{fm}}\]
電子の Compton 波長との比：
\[\frac{h/(m_e c)}{h/(m_p c)} = \frac{m_p}{m_e} = \frac{1.673 \times 10^{-27}}{9.109 \times 10^{-31}} \approx 1836\]
陽子の Compton 波長は電子の約 \(1/1836\) 倍であり、電子の場合（\(2.43\) pm）に比べて約 1840 分の 1 の大きさ（\(1.32\) fm）。
(c) 「軽い粒子ほど波長変化が大きい」ことの説明
Compton 散乱の波長変化は：
\[\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\]
ここで \(h/(mc)\) は散乱される相手の粒子の質量 \(m\) に反比例する。したがって：
- 質量が小さい粒子（電子）と散乱する場合：Compton 波長が大きく、波長変化も大きい
- 質量が大きい粒子（陽子）と散乱する場合：Compton 波長が小さく、波長変化も小さい
物理的には、軽い粒子ほど光子から運動量を受け取って大きく反跳するため、光子が失うエネルギー（＝波長の増加）が大きくなる。逆に、非常に重い粒子（\(m \to \infty\)）では \(\Delta\lambda \to 0\) となり、古典的な Thomson 散乱（波長変化なし）に帰着する。
検算
\(m \to \infty\) の極限で \(\Delta\lambda \to 0\) は、重い壁にボールを当てるとほぼ同じ速さで跳ね返る（エネルギー変化なし）という古典的直観と一致。✓
M-4. Bragg 条件を用いた電子線回折の解析
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G. P. Thomson の実験を模した電子線回折の解析
(a) 電子の de Broglie 波長
\[\lambda = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{\sqrt{10000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{100}\ \mathrm{nm} = 0.01226\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda = 0.1226\ \mathrm{\AA}}\]
(b) \(n = 1\) の回折角 \(\theta\)
Bragg 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) より：
\[\sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} = \frac{1 \times 0.1226}{2 \times 2.34} = \frac{0.1226}{4.68} = 0.02620\]
\[\theta = \arcsin(0.02620) \approx 1.50°\]
\(\sin\theta \approx 0.0262\) は十分小さいので、小角近似 \(\sin\theta \approx \theta\)（ラジアン）も使える：\(\theta \approx 0.0262\) rad \(= 1.50°\)。
\[\boxed{\theta \approx 1.50°}\]
(c) 加速電圧を 20,000 V にした場合
定性的説明： \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) なので、加速電圧を 2 倍にすると波長は \(1/\sqrt{2}\) 倍になる。Bragg 条件 \(\sin\theta = \lambda/(2d)\) より \(\sin\theta\) も \(1/\sqrt{2}\) 倍になるので、回折角は小さくなる。
具体的な計算：
\[\lambda' = \frac{1.226}{\sqrt{20000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{141.4}\ \mathrm{nm} = 0.008671\ \mathrm{nm} = 0.08671\ \mathrm{\AA}\]
\[\sin\theta' = \frac{0.08671}{2 \times 2.34} = \frac{0.08671}{4.68} = 0.01853\]
\[\theta' = \arcsin(0.01853) \approx 1.06°\]
\[\boxed{\theta' \approx 1.06°}\]
確認：\(\theta'/\theta = 1.06°/1.50° = 0.707 = 1/\sqrt{2}\)（小角近似が成り立つ範囲では \(\theta \propto \lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)）。✓
検算
高エネルギー電子ほど波長が短く、回折角が小さくなるのは物理的に妥当。G. P. Thomson の実験では数万 V の加速電圧を使い、小さな角度で回折リングを観測しており、この計算結果と整合する。
Advanced（発展）
A-1. Compton 散乱の公式の導出
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Compton 散乱の公式の導出
(a) エネルギー保存則
入射光子のエネルギーは \(hc/\lambda\)、散乱後の光子のエネルギーは \(hc/\lambda'\)。電子は初め静止しているので初期エネルギーは静止エネルギー \(m_e c^2\) のみ。散乱後の電子のエネルギーは \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\)。
エネルギー保存則：
\[\boxed{\frac{hc}{\lambda} + m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}} \tag{A1.1}\]
(b) 運動量保存則
入射方向を \(x\) 軸、それに垂直な方向を \(y\) 軸とする。入射光子の運動量は \(h/\lambda\)（\(x\) 方向）。散乱後の光子は角度 \(\theta\) の方向に進み、反跳電子は角度 \(\varphi\) の方向に進む。
\(x\) 成分：
\[\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\theta + p_e\cos\varphi \tag{A1.2}\]
\(y\) 成分：
\[0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta - p_e\sin\varphi \tag{A1.3}\]
(c) \(\varphi\) の消去と \(p_e^2\) の導出
式 (A1.2) を変形：
\[p_e\cos\varphi = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta \tag{A1.4}\]
式 (A1.3) を変形：
\[p_e\sin\varphi = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta \tag{A1.5}\]
(A1.4) と (A1.5) をそれぞれ 2 乗して足す（\(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\) を利用）：
\[p_e^2 = \left(\frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\right)^2\]
展開する：
\[p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2\cos^2\theta}{\lambda'^2} + \frac{h^2\sin^2\theta}{\lambda'^2}\]
\[= \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{\lambda'^2}\]
\[\boxed{p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda'^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}} \tag{A1.6}\]
(d) エネルギー保存から \(p_e^2 c^2\) を求め、Compton 公式を導出
式 (A1.1) を変形して反跳電子のエネルギーを左辺に集める：
\[\sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\]
両辺を 2 乗する：
\[(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\right)^2\]
右辺を展開する。\(A = hc/\lambda - hc/\lambda'\), \(B = m_e c^2\) とおくと：
\[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]
\[p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)m_e c^2 + m_e^2 c^4\]
\(m_e^2 c^4\) が両辺で消えて：
\[p_e^2 c^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2m_e c^2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)\]
左辺の \(A^2\) を展開：
\[\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\]
したがって：
\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) \tag{A1.7}\]
一方、(A1.6) に \(c^2\) を掛けると：
\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right) \tag{A1.8}\]
(A1.7) と (A1.8) を等置する：
\[h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right)\]
両辺から \(h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\) を消去：
\[-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'} + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\]
移項する：
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\]
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]
両辺を \(2hc^2\) で割る：
\[m_e c\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]
左辺を変形：
\[\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'}\]
代入：
\[m_e c \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'} = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]
両辺に \(\lambda\lambda'\) を掛ける：
\[m_e c(\lambda' - \lambda) = h(1 - \cos\theta)\]
\[\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)}\]
検算
- \(\theta = 0\) の場合： \(\lambda' - \lambda = 0\)。前方散乱では波長変化なし。光子がかすめるだけなので物理的に妥当。✓
- 次元解析： \([h/(m_e c)] = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\)。波長の次元。✓
- \(\theta = 180°\) の場合： \(\Delta\lambda = 2h/(m_e c)\)。最大波長変化。後方散乱で光子が最大のエネルギーを電子に渡すので妥当。✓
A-2. 相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用
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相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用
(a) 相対論的運動量の導出
相対論的エネルギー-運動量関係：
\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
電子が加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}}\) で加速されたとき、全エネルギーは：
\[E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\]
代入して \(p\) について解く：
\[(m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
\[(pc)^2 = (m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\]
右辺を展開：
\[(m_e c^2)^2 + 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[p^2 c^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[\boxed{p = \frac{1}{c}\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]
(b) 相対論的 de Broglie 波長
\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]
分母から \(2m_e eV_{\mathrm{acc}}\) をくくり出す：
\[p^2 = \frac{1}{c^2}\left[2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\right] = 2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\]
\[p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}\]
したがって：
\[\boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}}\]
非相対論的極限（\(eV_{\mathrm{acc}} \ll m_e c^2\)）では括弧内の補正項が無視でき、\(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}\) に帰着する。✓
(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV での数値計算
非相対論的な波長：
\[\lambda_{\mathrm{NR}} = \frac{1.226}{\sqrt{200{,}000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{447.2}\ \mathrm{nm} = 2.742 \times 10^{-3}\ \mathrm{nm} = 0.02742\ \mathrm{\AA}\]
相対論的補正因子：
\[eV_{\mathrm{acc}} = 200\ \mathrm{keV},\quad m_e c^2 = 511\ \mathrm{keV}\]
\[\frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = \frac{200}{2 \times 511} = \frac{200}{1022} = 0.1957\]
\[1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = 1.1957\]
相対論的な波長：
\[\lambda_{\mathrm{rel}} = \frac{\lambda_{\mathrm{NR}}}{\sqrt{1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}}} = \frac{0.02742}{\sqrt{1.1957}}\ \mathrm{\AA} = \frac{0.02742}{1.0935}\ \mathrm{\AA} = 0.02508\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{NR}} \approx 0.0274\ \mathrm{\AA},\quad \lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA}}\]
百分率の差：
\[\frac{\lambda_{\mathrm{NR}} - \lambda_{\mathrm{rel}}}{\lambda_{\mathrm{rel}}} \times 100\% = \frac{0.0274 - 0.0251}{0.0251} \times 100\% \approx 9.2\%\]
非相対論的な式は相対論的な正しい値に比べて約 9% 過大評価する。200 kV の加速電圧では相対論的補正は無視できない。
(d) 原子レベルの構造の観察可能性
\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV の電子顕微鏡で使用される電子の de Broglie 波長は：
\[\lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA} = 2.51 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
原子レベルの構造のサイズは \(\sim 1\) Å \(= 10^{-10}\) m であるから、電子の波長はこれより約 40 倍短い。
回折限界による分解能は使用する波長程度であるから、波長の観点からは原子レベルの構造を十分に分解できる。実際の電子顕微鏡では、レンズの収差などにより理論限界よりも分解能は劣るが、近年の収差補正技術により原子分解能（\(\sim 1\) Å 以下）が達成されている。
\[\boxed{\text{波長 } 0.025\ \mathrm{\AA} \ll 1\ \mathrm{\AA} \text{ であり、原子レベルの観察は原理的に十分可能。}}\]
検算
- 非相対論的極限の確認： \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2) = 0.196\) は無視できない大きさであり、相対論的補正が必要であることと整合。
- \(V_{\mathrm{acc}} \to 0\) の極限： 補正因子 \(\to 1\) で非相対論的公式に帰着。✓
- 波長のオーダー： 200 kV 電子顕微鏡の波長が \(\sim 0.025\) Å というのは、電子顕微鏡の教科書の値と一致。✓