Appendix E 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 複素数の絶対値と偏角
- B-2. Euler の公式 \(e^{i\pi}+1=0\)
- B-3. 極形式での積
- B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) で確認
- B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) は破れる
- B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)
- B-7. \(1/(z-1)\) の留数
- B-8. \(1/z^2\) の Laurent 展開と留数
- B-9. \(e^{1/z}\) の Laurent 展開
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 複素数の絶対値と偏角¶
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B-2. Euler の公式 \(e^{i\pi}+1=0\)¶
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B-3. 極形式での積¶
正則関数（E.3-E.4）¶
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B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) で確認¶
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B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) は破れる¶
→ 解答を見る
B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)¶
Laurent 展開と留数（E.5-E.6）¶
→ 解答を見る
B-7. \(1/(z-1)\) の留数¶
→ 解答を見る
B-8. \(1/z^2\) の Laurent 展開と留数¶
→ 解答を見る
B-9. \(e^{1/z}\) の Laurent 展開¶
→ 解答を見る
Medium（標準）¶
M-1. 留数定理：2 つの極¶
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M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) の留数¶
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M-3. Möbius 変換の合成¶
2 つの Möbius 変換 \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) と \(w_2(w) = 2w + 3\) を合成した変換 \(w_2(w_1(z))\) を求め、対応する行列積が一致することを確認せよ。
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Advanced（発展）¶
A-1. 共形写像 \(w = 1/z\)¶
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A-2. \(\partial X\) と \(\bar\partial X\) の交差項¶
本文 E.8「2 次元自由場の Green 関数」 で 2 点関数 \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\) を導出した。この結果から以下を示せ：
(a) \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) は \(z \neq w\) で 0 であること。 (b) \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) となること（反正則側の OPE）。
ヒント：\(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) と分解し、\(\partial_z\) で正則部分のみ、\(\partial_{\bar z}\) で反正則部分のみが残ることを使う。
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