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Appendix E 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 複素数の絶対値と偏角

\(z = 1 + i\) の絶対値 \(|z|\) と偏角 \(\arg(z)\) を求めよ。極形式 \(z = re^{i\theta}\) で書け。

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B-2. Euler の公式 \(e^{i\pi}+1=0\)

Euler の公式を使って \(e^{i\pi} + 1 = 0\) を確認せよ。この式に含まれる5つの数学定数（\(e, i, \pi, 1, 0\)）を挙げよ。

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B-3. 極形式での積

複素数 \(z_1 = 2e^{i\pi/3}\)、\(z_2 = 3e^{i\pi/6}\) が与えられているとき、積 \(z_1 z_2\) を極形式で求め、さらに直交形式 \(a + bi\) に変換せよ。

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B-4. Cauchy-Riemann: \(z^2\) で確認

\(f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = (x^2-y^2) + 2ixy\) が Cauchy-Riemann の関係式を満たすことを確認せよ。

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B-5. Cauchy-Riemann: \(|z|^2\) は破れる

\(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\) が Cauchy-Riemann の関係式を満たさないことを確認せよ。

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B-6. \(\partial_z(z^2) = 2z\)

Wirtinger 微分の定義

\[ \partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y) \]

を用いて、\(f(z) = z^2\)（ただし \(z = x + iy\)）に対して \(\partial_z(z^2) = 2z\) となることを示せ。

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B-7. \(1/(z-1)\) の留数

\(f(z) = 1/(z-1)\) の \(z = 1\) における留数を求めよ。

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B-8. \(1/z^2\) の Laurent 展開と留数

\(f(z) = 1/z^2\) の \(z = 0\) における Laurent 展開を書き、留数が \(0\) であることを確認せよ。

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B-9. \(e^{1/z}\) の Laurent 展開

\(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! z^n}\) の \(z = 0\) における Laurent 展開を書き、留数（\(z^{-1}\) の係数）が \(1\) であることを確認せよ。\(z = 0\) はどの種類の特異点か？

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Medium（標準）

M-1. 留数定理：2 つの極

\(\oint_{|z|=2} \frac{dz}{z(z-1)}\) を留数定理で計算せよ。（\(|z| = 2\) の円の内部に \(z = 0\) と \(z = 1\) の2つの極がある）

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M-2. \(z/[(z-1)(z-2)]\) の留数

\(f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)}\) の \(z = 1\) と \(z = 2\) における留数をそれぞれ求め、\(\oint_{|z|=3} f(z) dz\) を計算せよ。

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M-3. Möbius 変換の合成

2 つの Möbius 変換 \(w_1(z) = (z+1)/(z-1)\) と \(w_2(w) = 2w + 3\) を合成した変換 \(w_2(w_1(z))\) を求め、対応する行列積が一致することを確認せよ。

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Advanced（発展）

A-1. 共形写像 \(w = 1/z\)

共形写像 \(w = 1/z\) が、\(z\) 平面の単位円 \(|z| = 1\) を \(w\) 平面のどこに写すかを求めよ。また、\(z\) 平面の実軸を \(w\) 平面のどこに写すかを求めよ。

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A-2. \(\partial X\) と \(\bar\partial X\) の交差項

本文 E.8「2 次元自由場の Green 関数」 で 2 点関数 \(\langle X(z,\bar z)\, X(w,\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\) を導出した。この結果から以下を示せ：

(a) \(\langle \partial X(z)\, \bar\partial X(w)\rangle\) は \(z \neq w\) で 0 であること。 (b) \(\langle \bar\partial X(\bar z)\, \bar\partial X(\bar w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{1}{(\bar z - \bar w)^2}\) となること（反正則側の OPE）。

ヒント：\(\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\) と分解し、\(\partial_z\) で正則部分のみ、\(\partial_{\bar z}\) で反正則部分のみが残ることを使う。

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