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プロローグ 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 太陽-地球間の重力の計算

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問題: 太陽–地球間の重力の大きさを計算せよ。

計算

\[ F = \frac{G M_\odot M_\oplus}{r^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times 6.0 \times 10^{24}}{(1.5 \times 10^{11})^2} \]

分子：\(6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.334 \times 10^{20}\)

\(1.334 \times 10^{20} \times 6.0 \times 10^{24} = 8.00 \times 10^{44}\)

分母：\((1.5 \times 10^{11})^2 = 2.25 \times 10^{22}\)

\[ F = \frac{8.00 \times 10^{44}}{2.25 \times 10^{22}} \approx 3.6 \times 10^{22}\ \text{N} \]
\[ \boxed{F \approx 3.6 \times 10^{22}\ \text{N}} \]

検算

これは約 \(3.6 \times 10^{18}\) トン重に相当する。太陽系最大の力であり、地球を公転軌道に保つ力として妥当。

B-2. 陽子間の重力と Coulomb 力の比

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問題: 陽子 2 個の間の重力と Coulomb 力の比を計算せよ。

計算

\[ F_{\text{grav}} = \frac{G m_p^2}{r^2}, \qquad F_{\text{em}} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]

比を取ると \(r^2\) が約分される：

\[ \frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} = \frac{G m_p^2}{e^2/(4\pi\varepsilon_0)} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9.0 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2} \]

分子：\(6.67 \times 10^{-11} \times 2.79 \times 10^{-54} = 1.86 \times 10^{-64}\)

分母：\(9.0 \times 10^{9} \times 2.56 \times 10^{-38} = 2.30 \times 10^{-28}\)

\[ \frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} = \frac{1.86 \times 10^{-64}}{2.30 \times 10^{-28}} \approx 8.1 \times 10^{-37} \]
\[ \boxed{\frac{F_{\text{grav}}}{F_{\text{em}}} \sim 10^{-36}} \]

検算

本文中の値 \(\sim 10^{-36}\) と一致。重力が電磁気力に比べて途方もなく弱いことが定量的に確認できた。

B-3. 2 次元ポテンシャルの勾配

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問題: \(\Phi(x, y) = x^2 + 4y^2\) について、(a) 勾配、(b) 点 \((1,1)\) での大きさと方向、(c) 力の方向と等ポテンシャル線の関係を求めよ。

(a) 勾配の計算

\[ \frac{\partial\Phi}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y} = 8y \]
\[ \boxed{\nabla\Phi = (2x,\;8y)} \]

(b) 点 \((1, 1)\) での勾配ベクトル

\((x, y) = (1, 1)\) を代入すると、

\[ \nabla\Phi\big|_{(1,1)} = (2 \times 1,\;8 \times 1) = (2,\;8) \]

大きさ：

\[ |\nabla\Phi| = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.25 \]

方向：\(x\) 軸正方向からの角度 \(\theta\) は、

\[ \tan\theta = \frac{8}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \theta = \arctan 4 \approx 76° \]
\[ \boxed{|\nabla\Phi|_{(1,1)} = 2\sqrt{17} \approx 8.25, \quad \theta \approx 76°\ (x\text{軸から反時計回り})} \]

(c) 力の方向と等ポテンシャル線の関係

力は

\[ \boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\big|_{(1,1)} = -m\,(2,\;8) = m\,(-2,\;-8) \]

であり、勾配ベクトル \((2, 8)\) の逆方向を向く。

等ポテンシャル線は \(\Phi = x^2 + 4y^2 = C\)（定数）で定まる楕円である。勾配 \(\nabla\Phi\) は等ポテンシャル線に垂直で、\(\Phi\) が増加する方向を向く（微分幾何の一般的性質）。したがって、力 \(\boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\) は等ポテンシャル線に垂直で、\(\Phi\) が減少する方向（楕円の内側、原点に向かう方向）を向く。

\[ \boxed{\text{力は等ポテンシャル線（楕円）に垂直で、ポテンシャルが減少する方向（原点側）を向く}} \]

検算

  • \(\Phi(1,1) = 1 + 4 = 5\) なので、等ポテンシャル線は楕円 \(x^2 + 4y^2 = 5\)。点 \((1,1)\) はこの楕円上にある。
  • 楕円 \(x^2 + 4y^2 = C\) の点 \((x_0, y_0)\) における法線ベクトルは \((2x_0, 8y_0)\) であり、\((1,1)\) では \((2, 8)\)。これは \(\nabla\Phi|_{(1,1)}\) と一致する。勾配が等ポテンシャル線に垂直であることが確認できた。

B-4. 天体ごとの相対論判定基準

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(a) 太陽

\[ GM_\odot = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.33 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]
\[ R_\odot c^2 = 7.0 \times 10^{8} \times (3.0 \times 10^{8})^2 = 7.0 \times 10^{8} \times 9.0 \times 10^{16} = 6.3 \times 10^{25}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]
\[ \Phi_{\rm rel} = \frac{1.33 \times 10^{20}}{6.3 \times 10^{25}} \approx 2.1 \times 10^{-6} \]
\[ \boxed{\Phi_{\rm rel}(\text{太陽}) \sim 10^{-6}} \]

Newton のモデルは太陽の表面近くで非常に良い近似だが、\(10^{-6}\) レベルの精密測定（水星の近日点移動、光の偏向）では一般相対論的補正が必要になる。

(b) 中性子星

パラメータ:

  • \(M = 1.4\,M_\odot = 1.4 \times 2.0 \times 10^{30}\ \text{kg} = 2.8 \times 10^{30}\ \text{kg}\)
  • \(R = 10\ \text{km} = 1.0 \times 10^{4}\ \text{m}\)
  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m/s}\)

計算:

分子：\(GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30} = 1.87 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)

分母：\(Rc^2 = 1.0 \times 10^{4} \times (3.0 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\)

比：

\[ \Phi_{\rm rel} = \frac{1.87 \times 10^{20}}{9.0 \times 10^{20}} \approx 0.21 \]
\[ \boxed{\Phi_{\rm rel} \approx 0.2} \]

議論:

\(\Phi_{\rm rel} \approx 0.2\) は 1 のオーダーに近い。これは Newton のモデルが中性子星の記述には不十分であり、一般相対論的効果（時空の曲がり）が顕著に現れることを意味する。Newton 力学による計算は定性的な目安にはなるが、定量的な精度は期待できない。

検算: 本文の表では中性子星の \(GM/(Rc^2)\) は \(\sim 10^{-1}\) のオーダーとされており、\(0.2\) はこれと整合する。

B-5. Schwarzschild 半径の導出

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問題: \(v_{\rm esc} = c\) となる半径 \(R_s\) を求めよ。

計算

\[ v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \]

両辺を 2 乗して、

\[ \frac{2GM}{R} = c^2 \]

\(R\) について解くと、

\[ \boxed{R_s = \frac{2GM}{c^2}} \]

これが Schwarzschild 半径である。

検算

次元確認：\([GM/c^2] = [\text{m}^3\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}/(\text{m}^2\text{s}^{-2})] \cdot [\text{kg}]^{-1} \cdot \text{kg} = \text{m}\)。正しい。

太陽の場合：\(R_s = 2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} / (9.0 \times 10^{16}) \approx 3.0 \times 10^{3}\ \text{m} = 3\ \text{km}\)。これは太陽の Schwarzschild 半径の既知の値と一致する。

B-6. Schwarzschild 半径での判定基準

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問題: \(R = R_s\) のとき \(GM/(Rc^2)\) を計算せよ。

計算

\(R_s = 2GM/c^2\) を代入すると、

\[ \frac{GM}{R_s c^2} = \frac{GM}{\dfrac{2GM}{c^2} \cdot c^2} = \frac{GM}{2GM} = \frac{1}{2} \]
\[ \boxed{\frac{GM}{R_s c^2} = \frac{1}{2}} \]

議論

ブラックホール（\(R = R_s\)）では判定基準が \(1/2\) となり、1 のオーダーに達する。これは Newton 力学が完全に破綻し、一般相対論が不可欠であることを示す。事象の地平面 (event horizon) の形成など、Newton 力学では記述できない現象が生じる。

検算

\(\Phi_{\rm rel} = 1/2\) は \(v_{\rm esc} = c\) に対応する。\(v/c \sim \sqrt{\Phi_{\rm rel}} = 1/\sqrt{2} \approx 0.71\) であり、光速に匹敵する速度なので、一般相対論が必須であることと整合する。

B-7. 慣性質量と重力質量の等価条件

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問題: 物体 A と物体 B が同じ加速度で落下する条件を求めよ。

計算

各物体の加速度は運動方程式から、

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}_A = \frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}}\,\mathbf{g}, \qquad \ddot{\boldsymbol{x}}_B = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}}\,\mathbf{g} \]

両者が等しくなる条件 \(\ddot{\boldsymbol{x}}_A = \ddot{\boldsymbol{x}}_B\) は、

\[ \frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}} = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}} \]
\[ \boxed{\frac{m_g^{(A)}}{m_i^{(A)}} = \frac{m_g^{(B)}}{m_i^{(B)}}} \]

すなわち、すべての物体について重力質量と慣性質量の比 \(m_g/m_i\) が普遍的な定数（適切な単位系では 1）であることが条件である。

検算

\(m_g/m_i = \text{const.}\) であれば、加速度 \(\ddot{\boldsymbol{x}} = (m_g/m_i)\,\mathbf{g}\) は物体の種類・質量によらず同じ値になる。これは Galileo の落体実験の結果（すべての物体が同じ加速度で落下する）と一致する。また、\(m_g/m_i = 1\)（等価原理）とすれば \(\ddot{\boldsymbol{x}} = \mathbf{g}\) となり、通常の自由落下の式が得られる。

B-8. 偏微分の基礎計算

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問題: 偏微分の計算練習。

(a) \(f(x, y) = 3x^2 y + 2y^3\)

\(x\) で偏微分するとき、\(y\) は定数として扱う：

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy \]

\(y\) で偏微分するとき、\(x\) は定数として扱う：

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 + 6y^2 \]

(b) \(g(x, y, z) = x^2 y z^3\)

\[ \frac{\partial g}{\partial x} = 2xyz^3 \]
\[ \frac{\partial g}{\partial y} = x^2 z^3 \]
\[ \frac{\partial g}{\partial z} = 3x^2 y z^2 \]

(c) \(h(r, \theta) = r^2 \cos\theta\)

\[ \frac{\partial h}{\partial r} = 2r\cos\theta \]
\[ \frac{\partial h}{\partial \theta} = -r^2 \sin\theta \]

B-9. 勾配ベクトルと等温線

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問題: 偏微分と勾配の関係。\(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\)。

(a) 偏微分

\[ \frac{\partial T}{\partial x} = -2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = -8y \]

(b) 点 \((1, 2)\) での値と物理的意味

\[ \frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = -2(1) = -2 \]
\[ \frac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = -8(2) = -16 \]

物理的意味：

  • \(\partial T/\partial x = -2\)：\(x\) 方向に少し進むと温度が下がる（1 進むごとに約 2 度低下）
  • \(\partial T/\partial y = -16\)：\(y\) 方向に少し進むと温度がもっと急に下がる（1 進むごとに約 16 度低下）

\(y\) 方向の変化の方がはるかに急であることが分かる。

(c) 勾配ベクトルと等温線の関係

\[ \nabla T\big|_{(1,2)} = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\;\frac{\partial T}{\partial y}\right)\bigg|_{(1,2)} = (-2,\;-16) \]

勾配ベクトルは等温線（\(T = \text{const.}\) の曲線、この場合は楕円 \(x^2 + 4y^2 = \text{const.}\)）に対して垂直で、温度が最も急に上がる方向を向く。ここでは \((-2, -16)\) なので、原点に向かう方向——つまり温度が高くなる方向——を指している。

Medium（標準）

M-1. 重力の 4 つの性質の定量評価

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問題: \(GM/(Rc^2)\) の値と一般相対論的効果の顕在化の対応を論じよ。

解答

\(GM/(Rc^2)\) の値は、Newton のモデルから一般相対論への移行がどの段階で必要になるかを示す指標である。

地球（\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\)）では、一般相対論的効果は極めて小さいが、それでもゼロではない。GPS 衛星の時計は地上の時計に対して 1 日あたり約 \(45\ \mu\text{s}\) の重力赤方偏移による時刻ずれを生じ、これを補正しなければ位置誤差が 1 日あたり約 14 km に達する（問題 A-1. GPS 衛星の重力的時間のずれ で詳しく計算する）。このように、\(10^{-9}\) という小さな値でも、高精度の技術では一般相対論的補正が不可欠となる。

太陽（\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-6}\)）の場合、水星の近日点移動に Newton 力学では説明できない 1 世紀あたり約 43 秒角のずれが観測される。これは一般相対論によって初めて正確に説明された歴史的な検証例であり、\(10^{-6}\) のオーダーの効果が精密な天文観測で検出可能であることを示している。また、太陽の近傍を通過する光の曲がり（重力レンズ効果）も同程度の効果として観測される。

白色矮星（\(GM/(Rc^2) \sim 10^{-4}\)）では、重力赤方偏移がスペクトル観測で明確に検出されるようになり、Newton 力学からのずれがより顕著になる。

中性子星（\(GM/(Rc^2) \sim 0.1\text{–}0.2\)）になると、Newton のモデルは定量的に信頼できなくなる。星の構造（質量上限、状態方程式との関係）や連星パルサーからの重力波放射による軌道減衰など、一般相対論なしには記述できない現象が支配的となる。

ブラックホール（\(GM/(Rc^2) = 1/2\)）では、Newton 力学は完全に破綻する。事象の地平面 (event horizon) の形成、時空の特異点、ブラックホール合体時の重力波放射など、Newton の枠組みには対応する概念すら存在しない現象が生じる。このように、\(GM/(Rc^2)\) の値が大きくなるにつれて、「Newton で十分」→「微小だが検出可能な補正が必要」→「Newton が定量的に不十分」→「Newton が完全に破綻」という段階的な移行が起こる。

M-2. Newton から GR への移行の段階

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問題: 一般相対論において、\(m_i = m_g\) の等価性が「偶然の一致」ではなくなる理由を説明せよ。

解答

Einstein の一般相対論では、重力は力ではなく時空の幾何学的な曲がりとして記述される。すべての物体は、外力が作用しない限り、曲がった時空の中で測地線 (geodesic)——その時空における「最もまっすぐな経路」——に沿って運動する。測地線の方程式は時空の計量（メトリック）のみによって決定され、運動する物体の質量、組成、内部構造には一切依存しない。したがって、同じ初期位置・初期速度を持つ物体は、その質量や材質によらず、まったく同じ軌道を描く。これはまさに「すべての物体が同じ加速度で落下する」という実験事実そのものである。Newton の枠組みでは、この事実は慣性質量 \(m_i\) と重力質量 \(m_g\) が偶然に等しいことを要求する説明のつかない一致であったが、一般相対論では重力が時空の幾何学に組み込まれているため、\(m_i = m_g\) の等価性は理論の出発点（等価原理）として自然に内包されており、もはや偶然の一致ではなく理論の根幹をなす原理となっている。

M-3. 測地線と等価原理の関係

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解法の方針: 一般相対論における測地線の概念を用いて、慣性質量と重力質量の等価性が自然に説明されることを論じる。

解答

Newton 力学では、物体の運動方程式は \(m_i \ddot{\boldsymbol{x}} = m_g \boldsymbol{g}\) と書かれ、すべての物体が同じ加速度 \(\boldsymbol{g}\) で落下するためには \(m_i = m_g\) という等式がすべての物質について成り立つ必要がある。しかし、慣性質量（力に対する応答を決める量）と重力質量（重力場のソースおよび重力場への結合を決める量）は概念的に全く異なる量であり、Newton の枠組みの中ではこの等式に理論的な根拠がない——単なる実験的事実（偶然の一致）として受け入れるしかない。

Einstein の一般相対論では、重力は「力」ではなく時空の曲率として記述される。質量・エネルギーが時空を曲げ、すべての物体は外力が作用しない限り、その曲がった時空の中で測地線 (geodesic)——時空における「最もまっすぐな経路」——に沿って運動する。測地線の方程式は時空の計量 \(g_{\mu\nu}\) のみによって決定され、運動する物体の質量、組成、内部構造には一切依存しない。したがって、同じ初期位置・初期速度を持つ物体は、鉄であろうとアルミであろうと、質量が大きかろうと小さかろうと、まったく同じ軌道を描く。これはまさに「すべての物体が同じ加速度で落下する」という実験事実そのものであり、\(m_i = m_g\) の等価性は理論の出発点（等価原理）として自然に内包されている。もはや「偶然の一致」ではなく、重力が時空の幾何学であることの必然的な帰結である。

\[ \boxed{\text{測地線方程式は物体の質量・組成に依存しないため、} m_i = m_g \text{ は理論の構造から自動的に保証される。}} \]

検算: この議論は等価原理（弱い等価原理）の内容そのものであり、Eötvös 実験（\(\eta < 10^{-13}\)）の精度で実験的にも支持されている。また、測地線方程式 \(\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau} = 0\) に物体の質量が現れないことからも確認できる。

Advanced（発展）

A-1. GPS 衛星の重力的時間のずれ

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問題: GPS 衛星に関する一般相対論的効果を定量的に見積もれ。

パラメータの整理

  • \(M_\oplus = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}\)
  • \(R_\oplus = 6.4 \times 10^{3}\ \text{km} = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}\)
  • \(h = 2.0 \times 10^{4}\ \text{km} = 2.0 \times 10^{7}\ \text{m}\)
  • \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m/s}\)

衛星の軌道半径：

\[ r_{\text{sat}} = R_\oplus + h = 6.4 \times 10^{6} + 2.0 \times 10^{7} = 2.64 \times 10^{7}\ \text{m} \]

(a) 重力ポテンシャルの差

\[ \Delta\Phi = \Phi(R_\oplus + h) - \Phi(R_\oplus) = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus + h} + \frac{GM_\oplus}{R_\oplus} \]
\[ = GM_\oplus\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\oplus + h}\right) \]

まず \(GM_\oplus\) を計算する：

\[ GM_\oplus = 6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} = 4.00 \times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \]

各項を計算する：

\[ \frac{1}{R_\oplus} = \frac{1}{6.4 \times 10^{6}} = 1.5625 \times 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus + h} = \frac{1}{2.64 \times 10^{7}} = 3.788 \times 10^{-8}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\oplus + h} = 1.5625 \times 10^{-7} - 3.788 \times 10^{-8} = 1.184 \times 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \]
\[ \Delta\Phi = 4.00 \times 10^{14} \times 1.184 \times 10^{-7} = 4.74 \times 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ \boxed{\Delta\Phi \approx 4.7 \times 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2} \]

\(\Delta\Phi > 0\) であるから、衛星の位置の方がポテンシャルが高い（重力が弱い）。

(b) 1 日あたりの時刻ずれ

\[ \frac{\Delta\tau}{\tau} \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{4.74 \times 10^{7}}{(3.0 \times 10^{8})^2} = \frac{4.74 \times 10^{7}}{9.0 \times 10^{16}} = 5.27 \times 10^{-10} \]

1 日 \(= 86400\) 秒なので、1 日あたりの時刻ずれは：

\[ \Delta\tau = 5.27 \times 10^{-10} \times 86400 = 4.55 \times 10^{-5}\ \text{s} = 45.5\ \mu\text{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau \approx 46\ \mu\text{s/日}} \]

\(\Delta\tau > 0\) なので、衛星の時計は地上の時計より速く進む。これは衛星がより弱い重力場にいるため、一般相対論的な重力赤方偏移の効果で時間がより速く流れることに対応する。

（注：実際の GPS では、特殊相対論的効果（衛星の運動による時間の遅れ、約 \(-7\ \mu\text{s/日}\)）も存在し、正味の効果は約 \(38\ \mu\text{s/日}\) 程度となる。本問では特殊相対論的効果は無視している。）

(c) 1 日あたりの位置誤差

時刻ずれ \(\Delta\tau\) が補正されない場合、光速 \(c\) で伝播する信号の距離測定に誤差が生じる。その大きさは：

\[ \Delta x \approx c \cdot \Delta\tau = 3.0 \times 10^{8} \times 4.55 \times 10^{-5} = 1.37 \times 10^{4}\ \text{m} \]
\[ \boxed{\Delta x \approx 14\ \text{km/日}} \]

すなわち、一般相対論的な時刻補正を行わなければ、GPS の位置測定には 1 日あたり約 14 km もの誤差が蓄積する。これはナビゲーションシステムとして全く使い物にならない精度であり、GPS が正常に機能するためには一般相対論に基づく時刻補正が不可欠であることを示している。

検算

  • 次元確認： \([\Delta\Phi/c^2]\) は無次元。\([c \cdot \Delta\tau] = \text{m/s} \times \text{s} = \text{m}\)。正しい。
  • オーダー確認： \(\Delta\Phi/c^2 \sim 5 \times 10^{-10}\) は、地球の \(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\) と同程度のオーダーであり、整合する。
  • 既知の値との比較： GPS の一般相対論的補正として広く知られている値は約 \(45\ \mu\text{s/日}\)（重力効果のみ）であり、本計算の \(46\ \mu\text{s}\) とよく一致する。位置誤差についても、概算として広く引用される「1 日あたり約 10 km」はオーダー的な見積もりであり、本計算のより精密な結果である約 14 km と整合する（概算値は有効数字 1 桁の丸めに相当する）。