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Appendix H 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 中心電荷の一般公式

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問題:

\(bc\) ゴースト系の中心電荷の一般公式

\[ c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1) \]

を用いて、以下の各場合について中心電荷を計算せよ。

(a) ボソン弦のリパラメトリゼーションゴースト \(\lambda = 2\) (b) 超共形対称性の \(\beta\gamma\) 系 \(\lambda = 3/2\) (c) 自由フェルミオン \(\lambda = 1/2\) (d) \(\lambda = 0\)（trivial 例）

解答:

一般公式 \(c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\) に代入する。

(a) \(\lambda = 2\): $$ c = -2(6 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 1) = -2(24 - 12 + 1) = -2 \cdot 13 = \boxed{-26} $$

(b) \(\lambda = 3/2\): $$ c = -2\left(6 \cdot \frac{9}{4} - 6 \cdot \frac{3}{2} + 1\right) = -2\left(\frac{27}{2} - 9 + 1\right) = -2 \cdot \frac{11}{2} = \boxed{-11} $$

注：\(\beta\gamma\) 系はボソン的な反交換場（統計が逆）のため、公式の全体符号が反転し、実効的な中心電荷は \(\boxed{+11}\) になる（本文 H.7「一般の \(\lambda\) の場合 — 公式 \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)」 参照）。

(c) \(\lambda = 1/2\): $$ c = -2\left(6 \cdot \frac{1}{4} - 6 \cdot \frac{1}{2} + 1\right) = -2\left(\frac{3}{2} - 3 + 1\right) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \boxed{+1} $$

自由フェルミオン 1 つの中心電荷 \(c = 1/2\) と整合させるため、この公式は複素フェルミオン（2 実成分）に対するもの。

(d) \(\lambda = 0\): $$ c = -2(0 - 0 + 1) = \boxed{-2} $$

Medium（標準）

M-1. \(T_{\text{ghost}} b\) OPE

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問題:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) \sim \frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w} \]

になるような \(T_{\text{ghost}}\) の係数を決定せよ（\(\lambda\) を一般の値として）。具体的には、\(T_{\text{ghost}} = \alpha\, :bc': + \beta\, :b'c:\) の形を仮定し、この OPE が上の形になる条件から \(\alpha, \beta\) を \(\lambda\) で表せ。

解答:

\(T_{\text{ghost}}(z) = \alpha\, :b(z)\partial c(z): + \beta\, :\partial b(z)\, c(z):\) を仮定し、\(T_{\text{ghost}}(z)\, b(w)\) の OPE を Wick の定理で計算する。

基本 OPE \(b(z)c(w) \sim 1/(z-w)\) から：

\[ \langle \partial c(z)\, b(w)\rangle = \partial_z\frac{1}{z-w} = -\frac{1}{(z-w)^2} \]
\[ \langle c(z)\, b(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \]

第 1 項 \(\alpha :b\partial c:(z)\, b(w)\):

\(\partial c(z)\) と \(b(w)\) を縮約、\(b(z)\) は残す。反交換場の符号を考慮して：

\[ \alpha \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{1}{(z-w)^2}\right) \cdot b(z) = \frac{\alpha\, b(z)}{(z-w)^2} \]

\(b(z) = b(w) + (z-w)\partial b(w) + \cdots\) で展開：

\[ = \frac{\alpha\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\alpha\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

第 2 項 \(\beta :\partial b\, c:(z)\, b(w)\):

\(c(z)\) と \(b(w)\) を縮約、\(\partial b(z)\) は残す：

\[ \beta \cdot (-1) \cdot \frac{1}{z-w} \cdot \partial b(z) = -\frac{\beta\, \partial b(z)}{z-w} \]

\(\partial b(z) = \partial b(w) + (z-w)\partial^2 b(w) + \cdots\) で展開：

\[ = -\frac{\beta\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

合計:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) = \frac{\alpha\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{(\alpha - \beta)\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

一次場の形 \(\frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w}\) と比較：

  • \(\alpha = \lambda\)
  • \(\alpha - \beta = 1 \Rightarrow \beta = \lambda - 1 = -(1-\lambda)\)

したがって：

\[ \boxed{T_{\text{ghost}} = \lambda\, :b\partial c: - (1-\lambda)\, :\partial b\, c:} \]

注: 本文 H.5「\(bc\) 系のエネルギー運動量テンソル」 の表記 \(T_{\text{ghost}} = -\lambda :bc': + (1-\lambda):b'c:\) とは全体符号が逆だが、これは共役場の定義（\(b \leftrightarrow \bar{b}\) や \(:bc:\) の順序の取り方）の違いによる。物理的な結論（中心電荷 \(-26\)）は同じ。

Advanced（発展）

A-1. 超弦の臨界次元 \(D=10\) の導出

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問題:

超弦の臨界次元 \(D = 10\) を、物質場とゴーストの中心電荷の合計ゼロ条件から導出せよ。物質場は \(D\) 個の自由ボソン（\(c = D\)）と \(D\) 個のワールドシートフェルミオン（各 \(c = 1/2\)、合計 \(c = D/2\)）、ゴースト場は \(bc\) 系（\(c = -26\)）と \(\beta\gamma\) 系（\(c = +11\)）からなる。

解答:

超弦の全中心電荷：

\[ c_{\text{total}} = c_{\text{matter}} + c_{bc} + c_{\beta\gamma} \]

各項を書き下す：

  • 物質場: \(D\) 個のボソン（各 \(c = 1\)）と \(D\) 個のフェルミオン（各 \(c = 1/2\)）
\[ c_{\text{matter}} = D \cdot 1 + D \cdot \frac{1}{2} = \frac{3D}{2} \]
  • リパラメトリゼーションゴースト: \(c_{bc} = -26\)
  • 超対称ゴースト: \(c_{\beta\gamma} = +11\)

\(c_{\text{total}} = 0\) の条件：

\[ \frac{3D}{2} - 26 + 11 = \frac{3D}{2} - 15 = 0 \]
\[ \frac{3D}{2} = 15 \;\Longrightarrow\; \boxed{D = 10} \]

A-2. 物質場中心電荷の減少

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問題:

問題 H.3 の結果は「超対称性ゴースト \(\beta\gamma\) の中心電荷が \(+11\) なので、その分だけ物質場が少なくて済む」と解釈できる。物質場の合計中心電荷が、ボソン弦（\(c_{\text{matter}} = 26\)）から超弦（\(c_{\text{matter}} = 15\)）に減ったことを確認せよ。

解答:

  • ボソン弦：物質場は \(D = 26\) 個のボソンのみ $$ c_{\text{matter}}^{\text{ボソン弦}} = 26 \cdot 1 = 26 $$ ゴーストは \(c_{bc} = -26\) のみ。\(c_{\text{total}} = 26 - 26 = 0\) ✓

  • 超弦：問題 H.3 から \(D = 10\) $$ c_{\text{matter}}^{\text{超弦}} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15 $$ ゴーストは \(c_{bc} + c_{\beta\gamma} = -26 + 11 = -15\)。\(c_{\text{total}} = 15 - 15 = 0\) ✓

解釈: \(\beta\gamma\) 系の中心電荷 \(+11\) がゴースト全体の寄与を \(-15\) まで「軽減」する。これに合わせて物質場も \(26 \to 15\) まで減らせるので、必要な時空次元が \(D = 26 \to 10\) に下がる。超対称性の導入が、時空次元の削減と一体不可分の関係にあることが見える。