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第 7 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 相互作用項の質量次元

\(d\) 次元時空（\(d = 4\) の場合）で、自然単位系 \(\hbar = c = 1\) において \([\mathcal{L}] = d = 4\)、\([\phi] = 1\) である。以下の相互作用項それぞれについて、結合定数の質量次元を求めよ。

(a) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\phi^3\)

(b) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\,\phi^4\)

(c) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\kappa}{5!}\,\phi^5\)

(d) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\eta}{6!}\,\phi^6\)

ヒント

\([\mathcal{L}_{\text{int}}] = 4\) から、\([\text{結合定数}] + n[\phi] = 4\) を使う。\([\phi] = 1\) なので \([\text{結合定数}] = 4 - n\)。質量次元が負の結合定数をもつ理論は繰り込み不可能 (non-renormalizable) と呼ばれる。

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B-2. 相互作用描像の演算子の時間微分

相互作用描像の場の演算子が \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,e^{-i\hat{H}_0 t}\) で定義されるとき、式 (7.3) を直接計算して

\[ i\frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = [\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}),\, \hat{H}_0] \]

が成り立つことを示せ。途中の微分計算を省略せずに書き下すこと。

ヒント

\(\frac{d}{dt}(e^{i\hat{H}_0 t}) = i\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}\) と \(\frac{d}{dt}(e^{-i\hat{H}_0 t}) = -i\hat{H}_0\,e^{-i\hat{H}_0 t}\) を使い、積の微分則を適用する。最後に \(\hat{O}_I = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{O}_S e^{-i\hat{H}_0 t}\) の定義を使って整理する。

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B-3. 時間順序積の具体的計算

スカラー場 \(\hat{\phi}_I(x)\) に対し、時間順序積の定義 (7.14) を用いて以下を計算せよ（\(x^0 > y^0\) と仮定）。

(a) \(T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]\) を通常の積で書き下せ。

(b) \(x^0 < y^0\) の場合はどうなるか。

(c) 2 点の時間順序積の真空期待値 \(\langle 0|T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]|0\rangle\) が Feynman 伝播関数 (Feynman propagator)

\[ D_F(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\,\frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \]

に等しいことを確認するために、\(\hat{\phi}_I\) のモード展開 (7.4) を代入し、\(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger|0\rangle = (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) を使って \(x^0 > y^0\) の場合の表式を書き下せ。

ヒント

(a)(b) は定義に従って並べ替えるだけ。(c) では \(\hat{\phi}_I = \hat{\phi}^{(+)} + \hat{\phi}^{(-)}\)（消滅部分と生成部分）に分け、真空 \(|0\rangle\) に対して \(\hat{a}|0\rangle = 0\) を使う。\(x^0 > y^0\) のとき非零の寄与は \(\langle 0|\hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y)|0\rangle\) のみ。

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B-4. \(\hat{\phi}^4\) の演算子構造

\(\hat{\phi}_I \sim \hat{a} + \hat{a}^\dagger\) と模式的に書くとき、\(\hat{\phi}_I^4\) を展開すると生成・消滅演算子の組み合わせが現れる。以下の各項が「粒子数をいくつ変えるか」を答えよ。

(a) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\)

(b) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\)

(c) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\)

(d) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\)

(e) \(\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\)

ヒント

\(\hat{a}^\dagger\) は粒子数を \(+1\)、\(\hat{a}\) は粒子数を \(-1\) する。各項に含まれる \(\hat{a}^\dagger\) の個数と \(\hat{a}\) の個数の差が、粒子数の変化量。

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B-5. Dyson 級数の 1 次の項

\(\phi^4\) 理論で \(\hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x})\) とする。Dyson 級数 (7.16) の 1 次の項を明示的に書き下せ。すなわち

\[ \hat{S}^{(1)} = (-i)\int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\,\hat{H}_I(t_1) \]

を 4 次元積分の形 \(\int d^4x\) で書き直し、Lorentz 不変な表式にせよ。

ヒント

\(\int dt_1\,\hat{H}_I(t_1) = \frac{\lambda}{4!}\int dt_1\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(x) = \frac{\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4(x)\) とまとめる。符号に注意：\(\hat{H}_I = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}}\) で \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\) なので \(\hat{H}_I = +\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\phi^4\)。

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B-6. 時間順序積の対称性

3 つの時刻 \(t_1, t_2, t_3\) に対する時間順序積 \(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)]\) を考える。

(a) \(t_1 > t_2 > t_3\) のとき、\(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)]\) を通常の積で書け。

(b) \(t_3 > t_1 > t_2\) のとき、同様に書け。

(c) 3 つの時刻変数の順列は何通りあるか。これが Dyson 級数 3 次の \(1/3!\) の由来であることを確認せよ。

ヒント

時間順序積は「最も遅い時刻の演算子を最も左に置く」規則。ボソンの場合は入れ替えに符号がつかない。3 変数の順列は \(3! = 6\) 通り。

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B-7. \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\) の分解

S 演算子を \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\) と書くとき、以下を示せ。

(a) S 行列のユニタリ性 \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\) から、\(\hat{T}\) が満たすべき条件（光学定理の出発点）を導け。

(b) 初期状態と終状態が同じ \(|i\rangle = |f\rangle\) の場合、\(\langle i|\hat{S}|i\rangle\) の最低次（\(\lambda^0\)）の値を答えよ。

ヒント

(a) \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = (\mathbb{1} - i\hat{T}^\dagger)(\mathbb{1} + i\hat{T}) = \mathbb{1}\) を展開する。(b) \(\hat{S} = \mathbb{1} + O(\lambda)\) なので最低次は \(\mathbb{1}\) の寄与。

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B-8. 相互作用 Hamiltonian の描像変換

Schrödinger 描像の相互作用 Hamiltonian が \(\hat{H}' = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})\) で与えられるとき、相互作用描像での \(\hat{H}_I(t)\)（式 (7.7)）が

\[ \hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x}) \]

となることを、\(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\) の定義を使って示せ。

ヒント

\(e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\) に単位演算子 \(e^{-i\hat{H}_0 t}e^{i\hat{H}_0 t} = \mathbb{1}\) を \(\hat{\phi}_S\) と \(\hat{\phi}_S\) の間に 3 回挿入する。

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Medium（標準）

M-1. 相互作用描像の状態の運動方程式の導出

式 (7.5) の定義 \(|\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S\) から出発し、以下の手順で式 (7.6) を丁寧に導出せよ。

(a) \(|\psi_I(t)\rangle\) を \(t\) で微分し、Schrödinger 方程式 \(i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle_S = (\hat{H}_0 + \hat{H}')|\psi(t)\rangle_S\) を代入せよ。

(b) \(\hat{H}_0\) の項がキャンセルすることを確認し、残る項から \(\hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t}\) が自然に現れることを示せ。

(c) もし \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\) が成り立つ場合、\(\hat{H}_I(t)\) はどうなるか。この場合に摂動論が不要になる理由を物理的に説明せよ。

ヒント

(c) \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\) ならば \(\hat{H}_I(t) = \hat{H}'\)（時間に依存しない）。さらに \(\hat{H}_0\) と \(\hat{H}'\) が同時対角化できるので、厳密解が得られる。ただし場の量子論では通常 \([\hat{H}_0, \hat{H}'] \neq 0\)。

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M-2. Dyson 級数 2 次の項と時間順序積

Dyson 級数の 2 次の項

\[ \hat{U}_I^{(2)} = (-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\,\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2) \]

に対して、以下を示せ。

(a) 積分変数 \(t_1 \leftrightarrow t_2\) を入れ替え、\(t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\) の領域で \(\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\) が現れることを確認せよ。

(b) 上記 2 つの寄与を足し合わせると

\[ \hat{U}_I^{(2)} = \frac{(-i)^2}{2!}\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t}dt_2\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] \]

となることを示せ。

(c) この結果を \(n\) 次に一般化して Dyson 級数 (7.16) の形を得よ。一般化の論理を述べよ（厳密な証明でなくてよい）。

ヒント

(a) 元の積分領域は \((t_1, t_2)\) 平面の三角形 \(t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\) に対応する。\(t_1 \leftrightarrow t_2\) で別の三角形 \(t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\) に移る。(b) 2 つの三角形を合わせると正方形 \([t_0, t]^2\) 全体になる。時間順序積がどちらの三角形でも正しい順序を保証する。

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M-3. \(\phi^4\) 理論の 2→2 散乱振幅（最低次）

\(\phi^4\) 理論で、初期状態 \(|i\rangle = |\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p}_2}^\dagger|0\rangle\)、終状態 \(|f\rangle = |\mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}_3}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p}_4}^\dagger|0\rangle\) として、S 行列の最低次（\(\lambda\) の 1 次）の寄与

\[ \langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = \langle \mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4|\left(\frac{-i\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4(x)\right)|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle \]

を以下の手順で計算せよ。

(a) \(\hat{\phi}_I(x)\) のモード展開 (7.4) を代入し、\(\hat{\phi}_I^4(x)\) の中から「2 個消滅・2 個生成」の項を抽出せよ。

(b) 生成・消滅演算子の交換関係を用いて、結果が

\[ \langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = -i\lambda\,(2\pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_1}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_2}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_3}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_4}}} \]

（外線因子を含む形）に比例することを示せ。\(4!\) の因子がどのようにキャンセルするかを明示すること。

(c) この結果から、不変散乱振幅 \(\mathcal{M}\) が最低次で \(\mathcal{M} = -\lambda\) であることを読み取れ。

ヒント

(a) \(\hat{\phi}_I^4\) を展開すると、4 つの場のうち 2 つが消滅演算子で初期状態の粒子を消し、残り 2 つが生成演算子で終状態の粒子を作る。(b) 4 つの場のどれが \(\mathbf{p}_1\) を消し、どれが \(\mathbf{p}_2\) を消し……という組み合わせが \(4!/(2!\cdot 2!) \times 2! \times 2! = 4!\) 通りあり、\(1/4!\) と打ち消し合う。(c) LSZ 簡約公式の慣習では、外線因子 \(1/\sqrt{2\omega}\) を除いた部分が \(i\mathcal{M}\)。

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M-4. 正規順序と Wick の定理（2 場の場合）

自由スカラー場 \(\hat{\phi}_I(x)\) を正の振動数部分 \(\hat{\phi}^{(+)}(x)\)（消滅演算子を含む）と負の振動数部分 \(\hat{\phi}^{(-)}(x)\)（生成演算子を含む）に分け、\(\hat{\phi}_I = \hat{\phi}^{(+)} + \hat{\phi}^{(-)}\) とする。

(a) 正規順序 (normal ordering) \(:\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y):\) の定義を述べ、具体的に \(\hat{\phi}^{(\pm)}\) を使って書き下せ。

(b) 収縮 (contraction) を

\[ \underbrace{\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)} \equiv T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] - :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): \]

と定義するとき、これが c 数（演算子でない数）であることを示し、Feynman 伝播関数 \(D_F(x-y)\) に等しいことを確認せよ。

(c) 以上から、2 場に対する Wick の定理

\[ T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] = :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): + D_F(x-y) \]

を導け。

ヒント

(a) 正規順序は生成演算子を左、消滅演算子を右に並べる操作。(b) \(T[\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)]\) を \(x^0 > y^0\) と \(y^0 > x^0\) に場合分けし、\(\hat{\phi}^{(+)}\hat{\phi}^{(-)}\) の交換子 \([\hat{\phi}^{(+)}(x), \hat{\phi}^{(-)}(y)]\) が c 数であることを使う。

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M-5. S 行列のユニタリ性と確率保存

S 演算子がユニタリ \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \hat{S}\hat{S}^\dagger = \mathbb{1}\) であることを、以下の手順で確認せよ。

(a) \(\hat{U}_I(t, t_0)\) の定義 (7.9) から、\(\hat{U}_I^\dagger(t, t_0) = \hat{U}_I(t_0, t)\)（逆方向の時間発展）が成り立つことを示せ。

(b) \(\hat{U}_I(t, t_0)\hat{U}_I(t_0, t) = \mathbb{1}\) を示し、\(t \to +\infty\), \(t_0 \to -\infty\) の極限で \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\) を得よ。

(c) ユニタリ性が物理的に意味するのは何か。完全系 \(\sum_f |f\rangle\langle f| = \mathbb{1}\) を挿入して確率の和が 1 になることを示せ。

ヒント

(a) \(\hat{U}_I(t,t_0)\) の微分方程式 (7.9) の随伴を取ると \(-i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I^\dagger = \hat{U}_I^\dagger\hat{H}_I(t)\)。これは \(\hat{U}_I(t_0, t)\) の満たす方程式と一致する（\(\hat{H}_I = \hat{H}_I^\dagger\) を使う）。

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Advanced（発展）

A-1. Yukawa 理論への拡張と Wick の定理の適用

スカラー場 \(\phi\) と Dirac 場 \(\psi\) の Yukawa (湯川) 相互作用

\[ \mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\bar{\psi}\psi\phi \]

を考える（\(g\) は Yukawa 結合定数）。

(a) 結合定数 \(g\) の質量次元を求めよ（4 次元時空、\([\psi] = 3/2\), \([\phi] = 1\)）。

(b) この理論の S 行列の 1 次の項 \(\hat{S}^{(1)}\) を書き下せ。

(c) フェルミオン-フェルミオン散乱 \(\psi + \psi \to \psi + \psi\) の最低次の寄与は \(\hat{S}\) の何次から現れるか。その理由を、\(\hat{S}^{(1)}\) の演算子構造から説明せよ。

(d) 2 次の寄与 \(\hat{S}^{(2)}\) に Wick の定理を適用すると、スカラー場の収縮 \(D_F(x-y)\) が現れる。これが「\(\phi\) の交換」による力——すなわち Yukawa ポテンシャルの場の量子論的起源——であることを物理的に説明せよ。

ヒント

(a) \([g] + [\bar{\psi}] + [\psi] + [\phi] = 4\) から求める。(c) \(\hat{S}^{(1)} \propto \int d^4x\,\bar{\psi}\psi\phi\) は \(\psi\) を 1 個消滅・1 個生成し、\(\phi\) を 1 個生成または消滅する。2 フェルミオン → 2 フェルミオンの過程では \(\phi\) が内部線として伝播する必要があるため、\(\hat{S}^{(2)}\) が必要。(d) 量子力学 第 13 章の摂動論で Born 近似のポテンシャルと伝播関数の関係を思い出すとよい。

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A-2. 断熱仮説と Gell-Mann–Low の定理

本章では \(t \to \pm\infty\) で相互作用が「消える」ことを暗黙に仮定した。これを厳密化するために、断熱スイッチング (adiabatic switching)

\[ \hat{H}_I(t) \to \hat{H}_I(t)\,e^{-\epsilon|t|} \]

（\(\epsilon > 0\) は微小パラメータ、最終的に \(\epsilon \to 0^+\)）を導入する。

(a) この処方箋のもとで、\(t \to \pm\infty\) で \(\hat{H}_I(t) \to 0\) となることを確認せよ。

(b) Gell-Mann–Low の定理は「相互作用する理論の真空状態 \(|\Omega\rangle\) が、自由理論の真空 \(|0\rangle\) から断熱的に生成される」ことを主張する。形式的に

\[ |\Omega\rangle = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{\hat{U}_I(0, -\infty)|0\rangle}{\langle 0|\hat{U}_I(0, -\infty)|0\rangle} \]

と書けることを、断熱仮説のもとで議論せよ。分母の役割（位相の除去と規格化）を説明すること。

(c) この定理が散乱振幅の計算において「真空バブル（vacuum bubble）の寄与を無視してよい」ことの根拠になる理由を説明せよ。Dyson 級数の各次数に現れる真空バブル図の寄与が、分母 \(\langle 0|\hat{S}|0\rangle\) によってキャンセルされることを概念的に示せ。

ヒント

(b) \(t = -\infty\) で状態は \(|0\rangle\)（自由真空）。\(\hat{U}_I(0, -\infty)\) で時刻 0 まで発展させると、\(\epsilon \to 0\) の極限で相互作用する真空 \(|\Omega\rangle\) に到達する。分母は \(|0\rangle\) と \(|\Omega\rangle\) の重なりの位相と大きさを補正する。(c) 連結・非連結定理（linked-cluster theorem）を使う。S 行列要素の分子に現れる真空バブルは指数関数的に因数分解でき、分母とキャンセルする。

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