Capítulo 7 El tensor métrico e introducción a la métrica de Schwarzschild¶
Resumen de los capítulos anteriores: En Cap. 6 aprendimos el mecanismo de transformación de coordenadas usando coordenadas curvilíneas (polares, esféricas) y la matriz jacobiana, e introdujimos el tensor métrico \(g_{ij}\). Confirmamos que la "fórmula de la distancia" cambia según las coordenadas, pero que la distancia en sí misma no depende de la elección de coordenadas. Sin embargo, aún no hemos respondido la pregunta clave: "¿Cómo se mide la 'distancia' entre dos puntos en un espaciotiempo curvo?"
Objetivos de este capítulo
- Comprender que el tensor métrico \(g_{\alpha\beta}(x)\) es la "regla de medir" en el espaciotiempo curvo, y que el tiempo propio, la longitud propia y la trayectoria de la luz se determinan todos a partir de este único objeto
- Generalizar la métrica de Minkowski de la relatividad especial y presentar (sin derivación) la métrica de Schwarzschild que describe el espaciotiempo alrededor de una estrella esféricamente simétrica, "probando" la dilatación temporal gravitacional y el estiramiento espacial
- Con esto, se establece la base para discutir el movimiento de partículas (geodésicas) en los capítulos siguientes
Sistema de unidades de este capítulo: Para clarificar el significado físico de las componentes de la métrica, usamos principalmente el sistema SI con \(c\) explícito. Sin embargo, en los lugares donde queremos simplificar las expresiones (como al interpretar la métrica de Schwarzschild), cambiaremos a unidades naturales \(c = 1\) o unidades geométricas \(G = c = 1\). Lo indicaremos explícitamente en el texto. Las reglas de conversión se encuentran en Appendix D.6.
7.1 Recordemos la "distancia" en el espaciotiempo plano¶
🟡 Lina: En el capítulo anterior aprendimos que "las coordenadas solo ponen nombres a los puntos". Entonces, ¿qué determina cuánto "separados" están dos puntos?
🔵 Kai: En relatividad especial era \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\), ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. Aquí voy a escribirlo en el sistema de unidades \(c = 1\) para que la estructura de la métrica sea más visible.
Este es el elemento de línea (line element) de la métrica de Minkowski. Es la expresión que da el "cuadrado del intervalo espaciotemporal" entre dos eventos infinitamente cercanos.
⚪ Mei: En el espacio euclídeo ordinario sería \(ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\), que es el teorema de Pitágoras tal cual, pero en el espaciotiempo el término temporal lleva un signo menos.
🟡 Lina: Exacto. Ese signo menos es la clave que distingue el "tiempo" del "espacio". Usando la convención de suma de Einstein que aprendimos en Cap. 2, escribamos la ecuación (7.1) de forma compacta.
Aquí \(\eta_{\alpha\beta}\) es
una matriz \(4\times4\). Esta es la métrica de Minkowski.
🔵 Kai: En \(\eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\), \(\alpha\) aparece abajo y arriba, y \(\beta\) también abajo y arriba, así que se suma sobre ambos de 0 a 3, ¿verdad? La convención de suma de Einstein.
🟡 Lina: Así es. Si lo expandimos
Pero la métrica de Minkowski es una matriz diagonal, así que todos los términos con \(\alpha \neq \beta\) son cero. Lo que queda es
y recuperamos (7.1).
⚪ Mei: Es decir, la matriz \(\eta_{\alpha\beta}\) determina completamente "cómo se mide la distancia en el espaciotiempo".
✅ Verificación de comprensión: En el elemento de línea de la métrica de Minkowski \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\), ¿cuál es el significado físico del signo menos en el término temporal?
Respuesta
El signo menos cumple la función de distinguir el "tiempo" del "espacio". Gracias a esto, el intervalo espaciotemporal \(ds^2\) se divide en tres tipos: positivo (tipo espacio), negativo (tipo tiempo) y cero (tipo luz), determinando la estructura causal.
7.2 El tensor métrico — la "regla de medir" del espaciotiempo curvo¶
🟡 Lina: Aquí viene el tema principal. En un espaciotiempo curvo, no existe una matriz constante como \(\eta_{\alpha\beta}\) que sea válida en todo el espacio. En su lugar, usamos una matriz cuyo valor cambia de un lugar a otro \(g_{\alpha\beta}(x)\).
A este \(g_{\alpha\beta}(x)\) lo llamamos tensor métrico (metric tensor), o simplemente métrica (metric).
🔵 Kai: ¿Eso significa que las "marcas de la regla" cambian según el lugar?
🟡 Lina: Buena intuición. Piensa en la superficie de la Tierra. Cerca del ecuador, un grado de longitud corresponde a unos 111 km, pero a latitud 60° norte corresponde a unos 56 km. Es el mismo "un grado de longitud" pero la distancia real es diferente. Esto se debe a que las componentes de la métrica cambian según el lugar.
⚪ Mei: Como \(\alpha\) y \(\beta\) recorren de 0 a 3, es una matriz \(4\times4\), ¿verdad? ¿Pueden todas las componentes tomar valores arbitrariamente diferentes?
🟡 Lina: Buena pregunta. En realidad hay restricciones. En el lado derecho de \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\), si intercambiamos los nombres de \(\alpha\) y \(\beta\) obtenemos el mismo valor, por lo que no necesitamos distinguir \(g_{\alpha\beta}\) de \(g_{\beta\alpha}\) — es decir, \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\) se cumple naturalmente. Así que es una matriz simétrica. Además de la simetría, la métrica usada en relatividad general tiene otras 2 propiedades importantes. Primero, no degenerada (non-degenerate) — lo que significa que existe la matriz inversa. Esto es equivalente a decir "el determinante no es cero" (el determinante no se estudia en el bachillerato, pero para una matriz \(2\times2\) \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) es \(ad - bc\). Si esto es cero, no se puede construir la inversa).
🔵 Kai: Si el determinante es cero no se puede construir la inversa... es decir, ¿algo así como que "la regla se aplasta y ya no se puede medir la distancia"?
🟡 Lina: Sí, buena intuición. Las componentes de la matriz inversa se escriben como \(g^{\alpha\beta}\) (con los índices arriba). Es decir, se cumple \(g^{\alpha\gamma}g_{\gamma\beta} = \delta^\alpha{}_{\beta}\). Aquí \(\delta^\alpha{}_{\beta}\) es la delta de Kronecker — una cantidad que vale 1 si \(\alpha = \beta\) y 0 si \(\alpha \neq \beta\), que en forma matricial son las componentes de la matriz identidad. Es decir, "matriz métrica × matriz métrica inversa = matriz identidad". Esto será necesario más adelante para la operación de "subir/bajar índices".
🔵 Kai: Simétrica, y con inversa existente. Hasta aquí lo entiendo. ¿Cuál es la tercera propiedad?
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa que el tensor métrico sea "no degenerado"? ¿Cómo se denotan las componentes de la inversa?
Respuesta
No degenerado significa que la inversa existe (el determinante no es cero). Las componentes de la inversa se escriben con índices arriba como \(g^{\alpha\beta}\), y satisfacen \(g^{\alpha\gamma}g_{\gamma\beta} = \delta^\alpha{}_\beta\).
🔵 Kai: Si los índices están abajo es la métrica misma, y si están arriba es la inversa. El determinante no es cero, por lo tanto la inversa existe.
🟡 Lina: Así es. La otra propiedad es la signatura (signature) \((-,+,+,+)\). Para la métrica de Minkowski las componentes diagonales son \((-1, 1, 1, 1)\), así que hay un menos y tres más — esto se escribe como signatura \((-,+,+,+)\). La métrica general no es necesariamente diagonal, pero en un punto dado, eligiendo coordenadas adecuadamente, se puede diagonalizar — es decir, hacer que todas las componentes fuera de la diagonal sean cero. Esto se llama "diagonalización". Hay un teorema de álgebra lineal que dice que toda matriz simétrica con componentes reales puede diagonalizarse (no se estudia en bachillerato, pero intuitivamente significa que "eligiendo adecuadamente la orientación de los ejes coordenados, se pueden eliminar los términos cruzados entre direcciones diferentes — como términos \(dx\,dy\)". Imagina rotar los ejes \(x\) e \(y\) en 2D para alinearlos con los ejes principales de una elipse). Este es el primer paso — la operación de hacer cero las componentes no diagonales.
Como segundo paso, después de diagonalizar, escalando cada coordenada por una constante (transformación de escala), también se pueden ajustar las componentes diagonales a \(+1\) o \(-1\). Esto es un tipo de transformación de coordenadas; por ejemplo, la operación de ampliar o reducir la escala de las coordenadas como \(x' = ax\).
🔵 Kai: Ajustar las componentes diagonales a \(+1\) o \(-1\)... ¿cómo se hace concretamente?
🟡 Lina: Por ejemplo, si una componente diagonal es \(+4\), estirando la coordenada en esa dirección por un factor de 2 se convierte en \(+1\). Concretamente, con \(ds^2 = 4\,dx^2\), si hacemos \(x' = 2x\) entonces \(dx = dx'/2\) y por tanto \(ds^2 = 4(dx'/2)^2 = dx'^2\). Igualmente, si una componente diagonal es \(-9\), con \(ds^2 = -9\,dt^2\) hacemos \(t' = 3t\), entonces \(dt = dt'/3\) y \(ds^2 = -9(dt'/3)^2 = -dt'^2\). En general, si la componente diagonal es un número positivo \(a\), una transformación de escala por \(\sqrt{a}\) la convierte en \(+1\); si es un número negativo \(-b\), una por \(\sqrt{b}\) la convierte en \(-1\). Como es no degenerada (determinante ≠ 0), no aparecen ceros en las componentes diagonales — son necesariamente positivas o negativas.
⚪ Mei: ¿Y la cantidad de \(+1\) y \(-1\) es constante independientemente de la elección de coordenadas?
🟡 Lina: Así es. Tras los dos pasos — (1) diagonalizar para eliminar las componentes no diagonales, (2) transformación de escala para ajustar las diagonales a \(\pm 1\) — la métrica en un punto se puede llevar a la forma \(\mathrm{diag}(\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1)\). Entonces, ¿por qué "el número de \(+1\) y \(-1\) es constante independientemente de las coordenadas"? Intuitivamente, como las transformaciones de coordenadas son operaciones continuas, para que una componente diagonal cambie de positiva a negativa tendría que pasar por cero. Pero el determinante de una matriz diagonal es el producto de todas las componentes diagonales (para \(4\times4\), el producto de las 4 componentes diagonales).
🔵 Kai: El producto de todas... para \(2\times2\) es \(ad - bc\), y en una matriz diagonal \(b = c = 0\), así que es \(a \times d\), ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. Para \(4\times4\) la estructura es la misma: el producto de las 4 componentes diagonales. Si una sola componente diagonal se hace cero, el determinante también es cero — lo cual contradice la no degeneración (determinante ≠ 0). Por eso no puede pasar por cero, y la signatura no cambia (este hecho se conoce como la ley de inercia de Sylvester, pero no necesitas memorizar el nombre).
🔵 Kai: Ya veo, para que cambie la signatura tendría que pasar por cero, pero si se hace cero el determinante también es cero y contradice la no degeneración, así que no puede pasar... por eso el número de signaturas es invariante.
🟡 Lina: Exacto. Físicamente, al cambiar de coordenadas, la estructura básica del espaciotiempo de "una dirección temporal y tres espaciales" no debería cambiar — la signatura es precisamente lo que lo garantiza matemáticamente. Para la métrica del espaciotiempo exigimos "un menos y tres más". El único menos corresponde a la "dirección temporal" y los tres más a las "direcciones espaciales".
⚪ Mei: Resumiendo, las propiedades del tensor métrico son tres — simétrica, no degenerada y signatura \((-,+,+,+)\).
Tabla 7.1: Las 3 propiedades del tensor métrico
| Propiedad | Significado | Expresión matemática |
|---|---|---|
| Simétrica | El valor no cambia al intercambiar índices | \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\) |
| No degenerada | Existe la inversa | \(\det(g_{\alpha\beta}) \neq 0\) |
| Signatura \((-,+,+,+)\) | 1 dirección temporal, 3 espaciales | Al diagonalizar: 1 negativo y 3 positivos |
🟡 Lina: Así es. Por ser simétrica, el número de componentes independientes se reduce. Contemos. Una matriz \(4\times4\) tiene 16 componentes en total, pero como \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\), la parte triangular superior e inferior tienen los mismos valores — las independientes son las 4 componentes diagonales más las \(\frac{4\times3}{2} = 6\) por encima de la diagonal, sumando 10. En general, para una matriz simétrica \(n \times n\) son \(\frac{n(n+1)}{2}\), y para \(n = 4\) son \(\frac{4 \times 5}{2} = 10\). Estas 10 funciones determinan completamente la geometría del espaciotiempo — es decir, el campo gravitatorio.
🔵 Kai: 10 funciones determinan el campo gravitatorio... en el modelo de Newton era solo un potencial \(\Phi\), esto es bastante más complejo.
🟡 Lina: Sí. Pero a cambio, la dilatación temporal, la curvatura del espacio y las órbitas de la luz se derivan todas de estas 10. Con un solo objeto se describe todo de forma unificada.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuántas componentes independientes tiene el tensor métrico \(g_{\alpha\beta}\) en un espaciotiempo de 4 dimensiones? ¿Por qué ese número?
Respuesta
- Como es una matriz simétrica \(4 \times 4\) (\(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\)), las componentes independientes son \(4 \times 5 / 2 = 10\).
📝 Ejercicios:
- Lectura de la métrica de Minkowski y del tensor métrico → Problema B-1. Cálculo del elemento de línea con la métrica de Minkowski y clasificación espacio-temporal, Problema B-2. Tensor métrico y métrica inversa de la esfera bidimensional, Problema B-6. Componentes de la métrica tipo de Sitter y métrica inversa, Problema M-5. Número de componentes independientes del tensor métrico
7.3 Tiempo propio — el tiempo que marca "tu propio reloj"¶
🟡 Lina: Extraigamos la cantidad física más importante de la métrica. Empecemos por el tiempo propio (proper time) \(d\tau\).
🔵 Kai: El tiempo propio es "el tiempo que marca un reloj en movimiento", que apareció en Cap. 5, ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. Cuando una partícula se mueve por el espaciotiempo, el tiempo que marca el reloj que lleva consigo es el tiempo propio. Las partículas con masa son más lentas que la luz, así que a lo largo de la trayectoria de la partícula, el desplazamiento infinitesimal tiene \(c^2 dt^2\) (término temporal) mayor que \(dx^2 + dy^2 + dz^2\) (términos espaciales). Aquí vuelvo al sistema SI con \(c\) explícito para hablar de dimensiones. La métrica de Minkowski es \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\), y si la velocidad de la partícula es menor que la de la luz, \(c^2 dt^2 > dx^2 + dy^2 + dz^2\), por lo que \(ds^2 < 0\) — esto es una "trayectoria tipo tiempo".
🔵 Kai: ¿\(ds^2\) se vuelve negativo? "Al cuadrado" y que sea negativo se siente raro.
🟡 Lina: Es normal que te parezca raro. El símbolo \(ds^2\) no es "el cuadrado de algo", sino el nombre de una cantidad: el "intervalo espaciotemporal". Y el tiempo propio \(d\tau\) es "el tiempo que marca un reloj", así que queremos que sea un número real positivo. Es decir, queremos que \(d\tau^2\) sea positivo. Si \(ds^2 < 0\) entonces \(-ds^2 > 0\), así que definiendo \(d\tau^2 = -ds^2\) se vuelve positivo. Pero en el sistema SI (\(c \neq 1\)) también hay que hacer coincidir las dimensiones. El elemento de línea en SI es \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) y tiene dimensiones de "longitud al cuadrado". Por otro lado \(d\tau\) tiene dimensiones de "tiempo", así que \(d\tau^2\) tiene dimensiones de "tiempo al cuadrado". Físicamente, en el sistema donde la partícula está en reposo (\(dx = dy = dz = 0\)), \(ds^2 = -c^2 dt^2\). En Cap. 4 definimos \(d\tau^2 = -ds^2\) en unidades \(c = 1\). En el sistema SI, cuando la partícula está en reposo en el espaciotiempo de Minkowski, el reloj coordenado está en reposo junto con la partícula, así que el tiempo coordenado \(dt\) es igual al tiempo propio \(d\tau\) de la partícula. Por tanto \(ds^2 = -c^2 d\tau^2\), es decir
\(ds^2\) es un escalar (invariante independiente de las coordenadas), y \(d\tau\) también es una cantidad física que no depende de la elección del sistema de coordenadas — es decir, un escalar — "el tiempo que marca el reloj de la propia partícula", así que esta relación vale no solo en el sistema en reposo sino en cualquier sistema inercial. La razón es que un escalar es "una cantidad que tiene el mismo valor independientemente del sistema de coordenadas en que se calcule", así que tanto el lado izquierdo \(c^2 d\tau^2\) como el derecho \(-ds^2\) no cambian de valor al cambiar de sistema. Si en un sistema se cumple "lado izquierdo = lado derecho", al pasar a otro sistema ambos lados mantienen su valor, así que la igualdad se mantiene.
🔵 Kai: Ah, como ambos lados son escalares, si demuestras la igualdad en un sistema de coordenadas vale en cualquiera — está bien diseñado.
🟡 Lina: Así es. Verificando las dimensiones: el lado izquierdo es \([\text{velocidad}]^2 \times [\text{tiempo}]^2 = [\text{longitud}]^2\), que coincide con la dimensión "longitud al cuadrado" del lado derecho \(-ds^2\).
De aquí en adelante vuelvo al sistema de unidades \(c = 1\). Como \(c^2 = 1\), la ecuación (7.5) se simplifica a
⚪ Mei: Solo cuando \(ds^2 < 0\) (intervalo tipo tiempo) \(d\tau\) es real.
🟡 Lina: Así es. Y para la luz, donde \(ds^2 = 0\), \(d\tau = 0\) — la luz no experimenta tiempo propio.
🟡 Lina: El tiempo propio a lo largo de una trayectoria finita se obtiene integrando a lo largo de la trayectoria. Primero explico qué es un "parámetro de la trayectoria". Cuando una partícula se mueve en el espaciotiempo del punto A al punto B, asignamos un número a cada punto de la trayectoria, como \(\lambda = 0\) (salida) hasta \(\lambda = 1\) (llegada) — ese número es el "parámetro \(\lambda\)". La forma de asignar los números es libre, no tiene que ser uniforme. Entonces las coordenadas en la trayectoria se escriben como funciones de \(\lambda\): \(x^\alpha(\lambda)\). \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\) es "cuánto cambia la coordenada \(x^\alpha\) cuando el parámetro \(\lambda\) cambia un poco" — es decir, las componentes del vector tangente a la trayectoria.
Aquí, el tiempo propio infinitesimal \(d\tau = \sqrt{-g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta}\) se reescribe sustituyendo \(dx^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\lambda}\,d\lambda\) — esto es simplemente la definición de la derivada: "cuando \(\lambda\) cambia en \(d\lambda\), la coordenada cambia en \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\,d\lambda\)". Sustituyendo, \(d\tau = \sqrt{-g_{\alpha\beta}\,\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\,\frac{dx^\beta}{d\lambda}}\;d\lambda\). Sumando esto de A a B:
Aquí \(\lambda_A\) es el valor del parámetro en el punto de salida y \(\lambda_B\) en el de llegada (en el ejemplo anterior, \(\lambda_A = 0\), \(\lambda_B = 1\)). El valor de esta integral no depende de la elección del parámetro — como es una cantidad físicamente medible, es natural.
🔵 Kai: ¿Que no dependa del parámetro por qué? El parámetro es algo que introducimos por conveniencia para escribir la integral, ¿no? Entiendo que sería raro que el resultado dependiera de algo convencional, pero me pregunto si realmente es así.
🟡 Lina: Buena duda. Por ejemplo, si al mismo camino le asignamos "números de \(\lambda = 0\) a \(1\) uniformemente" o "de \(\lambda' = 0\) a \(100\)", sería un problema que el tiempo propio calculado cambiara — el mismo reloj recorre el mismo camino, y que el resultado cambie según la numeración no tiene sentido físico. Por eso hay que verificar que "independientemente del parámetro usado, se obtiene el mismo valor". Intuitivamente es como "la longitud del camino no cambia aunque cambies la velocidad a la que caminas" — el parámetro corresponde a la velocidad de caminata. A continuación lo confirmo con fórmulas.
Resumo primero lo que queremos demostrar y la estructura de la prueba.
- Lo que queremos demostrar: Que usando un parámetro \(\lambda'\) diferente a \(\lambda\), el valor de la integral (7.7) es el mismo
- Estructura de la prueba: El factor \(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\) que aparece por la regla de la cadena y el factor \(\frac{d\lambda}{d\lambda'}\) que aparece por la sustitución de la integral son recíprocos y se cancelan — por lo que el valor de la integral no cambia
- 2 pasos: (i) Reescribir \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\) usando la regla de la cadena, (ii) Cambiar la variable de integración a \(\lambda'\) por sustitución
Paso (i): Reescritura con la regla de la cadena. ¿Qué significa reemplazar \(\lambda\) por otro parámetro \(\lambda'\)? Cada punto de la trayectoria tiene el número \(\lambda\), pero podemos reasignar otro número \(\lambda'\) al mismo punto. Entonces \(\lambda'\) es una función de \(\lambda\) (\(\lambda' = \lambda'(\lambda)\)), y las coordenadas \(x^\alpha\) se convierten en una función compuesta \(x^\alpha(\lambda'(\lambda))\). Con la misma estructura de la regla de la cadena para funciones compuestas que se aprende en el bachillerato \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\), tenemos \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda'}\cdot\frac{d\lambda'}{d\lambda}\).
Aquí se necesita una condición — mantener la "orientación" del parámetro. Es decir, que cuando \(\lambda\) crece, \(\lambda'\) también crezca (\(\frac{d\lambda'}{d\lambda} > 0\)). Físicamente es la condición natural de "no recorrer la trayectoria en sentido contrario". ¿Por qué es necesaria? Porque al sacar \(\left(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right)^2\) de la raíz, \(\sqrt{a^2} = |a|\) lleva valor absoluto. Si \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} > 0\), entonces \(\left|\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right| = \frac{d\lambda'}{d\lambda}\) y podemos quitar el valor absoluto (si fuera negativo aparecería un menos y el tiempo propio sería negativo — físicamente sin sentido). Verifiquémoslo con un ejemplo concreto: en lugar de \(\lambda = 0\) a \(1\), usamos \(\lambda' = 2\lambda\) (es decir \(\lambda' = 0\) a \(2\)), \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} = 2 > 0\) y la orientación es la misma. Entonces \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda'} \cdot 2\), así que dentro de la raíz entra \(2^2 = 4\), y al sacarlo sale \(2\). Por otro lado, con la sustitución \(d\lambda = \frac{1}{2}d\lambda'\) así que \(2 \times \frac{1}{2} = 1\) y se cancelan — el valor de la integral no cambia.
Bajo esta condición, sustituyendo el resultado de la regla de la cadena en la integral — usando \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda'}\cdot\frac{d\lambda'}{d\lambda}\) en los dos lugares (\(\alpha\) y \(\beta\)), aparece \(\left(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right)^2\) dentro de la raíz:
🔵 Kai: Ah, como tanto \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\) como \(\frac{dx^\beta}{d\lambda}\) llevan un factor \(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\), se eleva al cuadrado y entra en la raíz. Y \(\sqrt{\left(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right)^2} = \left|\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right|\), pero como mantuvimos la orientación, se puede quitar el valor absoluto directamente.
🟡 Lina: Exacto.
Paso (ii): Sustitución de la integral. Ahora queremos cambiar la variable de integración de \(\lambda\) a \(\lambda'\). Sustitución de variables — en el bachillerato, cuando hacías \(x = g(t)\) escribías \(dx = g'(t)\,dt\) — es lo mismo: \(d\lambda = \frac{d\lambda}{d\lambda'}\,d\lambda'\). \(\frac{d\lambda}{d\lambda'}\) es el recíproco de \(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\), es decir \(\frac{1}{d\lambda'/d\lambda}\). Por la condición de orientación (\(\frac{d\lambda'}{d\lambda} > 0\)), también \(\frac{d\lambda}{d\lambda'} > 0\), así que la sustitución no cambia la orientación de la integral.
Sustituyendo \(d\lambda = \frac{d\lambda}{d\lambda'}\,d\lambda'\) en el resultado del paso (i), y convirtiendo los extremos de integración a \(\lambda' = \lambda'_A\) (correspondiente a \(\lambda = \lambda_A\)) y \(\lambda' = \lambda'_B\) (correspondiente a \(\lambda = \lambda_B\)):
En el lado derecho aparece el factor \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{d\lambda'} = 1\) (producto de recíprocos). Como es 1, desaparece:
Esto tiene la misma forma que la integral original escrita en \(\lambda'\). Por lo tanto no depende de la elección del parámetro.
🔵 Kai: Si invirtiéramos la orientación — si asignáramos números en dirección decreciente de \(\lambda'\) — ¿qué pasaría?
🟡 Lina: \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} < 0\), y al sacar de la raíz aparece un menos — como resultado el signo del valor de la integral se invierte y obtenemos "tiempo propio negativo". Como no tiene sentido físico, lo excluimos.
🔵 Kai: La analogía que mencionó antes la profesora de que "la longitud del camino no cambia aunque cambies la velocidad de caminata" se confirma también con las fórmulas. Pero si cambias la trayectoria misma — es decir, si tomas otro camino — el tiempo propio sí cambia, ¿verdad?
⚪ Mei: Así es. La elección del parámetro es un problema de "cómo numerar el mismo camino"; si cambias el camino mismo, el tiempo propio cambia — la paradoja de los gemelos del capítulo anterior era exactamente eso.
🟡 Lina: Exacto. Cuando los gemelos se reencuentran y sus tiempos propios son diferentes, es porque los dos recorrieron trayectorias diferentes en el espaciotiempo. No es la elección del parámetro, sino la diferencia de la trayectoria misma lo que produce la diferencia física.
✅ Verificación de comprensión: Escribe la relación entre el tiempo propio \(d\tau\) y el intervalo espaciotemporal \(ds^2\).
Respuesta
\(d\tau^2 = -ds^2\) (en unidades \(c = 1\)). Solo cuando \(ds^2 < 0\) (intervalo tipo tiempo) el tiempo propio se define como número real. La luz (\(ds^2 = 0\)) no experimenta tiempo propio.
7.4 Longitud propia — la distancia que mide "tu propia regla"¶
🟡 Lina: Ahora la longitud propia (proper length) \(dL\). Se define para el caso en que medimos la distancia entre dos puntos en un instante — es decir, para intervalos en la dirección puramente espacial (\(ds^2 > 0\)) donde la diferencia de tiempo coordenado es cero (\(dt = 0\)). "\(dt = 0\)" significa simultaneidad en el sistema de coordenadas que estamos usando. \(dt = 0\) significa \(dx^0 = 0\) (en unidades \(c = 1\), \(x^0 = t\)). Entonces en \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\), todos los términos con \(\alpha = 0\) o \(\beta = 0\) contienen \(dx^0 = 0\) y desaparecen (\(g_{00}(dx^0)^2\) obviamente, y también los "términos cruzados" tiempo-espacio \(g_{0i}\,dx^0\,dx^i\) — donde \(i = 1, 2, 3\) son componentes espaciales — se anulan con \(dx^0 = 0\)). Solo quedan los términos con \(\alpha, \beta\) ambos iguales a 1, 2, 3. Es decir
Aquí \(i, j\) son índices que recorren solo las 3 direcciones espaciales (1, 2, 3), a diferencia de las letras griegas \(\alpha, \beta\) (0–3) (es la convención introducida en Cap. 4 de que "las letras latinas son solo componentes espaciales"). Es decir, \(g_{ij}\) es la parte espacial (\(\alpha, \beta = 1, 2, 3\)) extraída del tensor métrico \(4\times4\) \(g_{\alpha\beta}\).
La longitud finita se obtiene igualmente por integración:
Aquí también \(i, j = 1, 2, 3\) son solo componentes espaciales (por la misma razón que la ecuación (7.8): como \(dt = 0\), los términos con \(\alpha = 0\) o \(\beta = 0\) desaparecen). Una "trayectoria con \(dt = 0\)" es una curva que se mueve solo en el espacio fijando un instante de tiempo — imagina una línea trazada en el espacio en el instante de tomar una fotografía. Como no hay componente temporal, el contenido de la raíz se determina por \(g_{ij}\) (la métrica solo de las componentes espaciales). Para métricas diagonales (cuando las componentes no diagonales son cero — la métrica en coordenadas esféricas que veremos enseguida es un ejemplo), el contenido de la raíz es \(g_{11}(dx^1/d\lambda)^2 + g_{22}(dx^2/d\lambda)^2 + g_{33}(dx^3/d\lambda)^2\). \(g_{11}, g_{22}, g_{33}\) son todos positivos, y \((dx^i/d\lambda)^2\) también son positivos por ser cuadrados — así que el contenido de la raíz es positivo. Para una métrica general también, por la signatura \((-,+,+,+)\) y la condición \(dt = 0\), se garantiza que la distancia espacial es siempre positiva. Intuitivamente, la signatura \((-,+,+,+)\) significa "el menos es solo en la dirección temporal", así que la parte espacial sin la dirección temporal es toda positiva — es decir, la métrica espacial es definida positiva (la distancia es positiva en cualquier dirección). La demostración rigurosa requiere álgebra lineal, así que la omitimos por ahora.
🔵 Kai: El tiempo propio es \(-ds^2\), y la longitud propia es \(+ds^2\). Los signos son opuestos.
🟡 Lina: Así es. En la dirección temporal \(ds^2 < 0\), por lo que \(-ds^2 > 0\) y el tiempo propio es real; en la dirección espacial \(ds^2 > 0\), por lo que la longitud propia es real. La signatura \((-,+,+,+)\) de la métrica proporciona naturalmente esta distinción.
🟡 Lina: El tiempo propio se define en la región \(ds^2 < 0\), y la longitud propia en la región \(ds^2 > 0\) — estas tres regiones se visualizan mejor con el cono de luz. Mira Fig. 7.1「Las 3 clasificaciones del intervalo espaciotemporal y el cono de luz」. El interior del cono de luz es la región tipo tiempo (donde se define el tiempo propio), el exterior es la región tipo espacio (donde se define la longitud propia), y sobre el cono es tipo luz. La línea de mundo de una partícula con masa siempre pasa por el interior del cono de luz — porque es más lenta que la luz.
Fig. 7.1: Las 3 clasificaciones del intervalo espaciotemporal y el cono de luz. El interior del cono de luz es la región tipo tiempo (\(ds^2 < 0\), donde se define el tiempo propio), el exterior es la región tipo espacio (\(ds^2 > 0\), donde se define la longitud propia), y sobre el cono de luz es tipo luz (\(ds^2 = 0\)). La línea de mundo de una partícula con masa siempre pasa por el interior del cono de luz.
⚪ Mei: Resumiendo, si se nos da el tensor métrico, podemos calcular el tiempo propio y la longitud propia.
🔵 Kai: Para la luz \(ds^2 = 0\), así que el tiempo propio es cero. Entonces, ¿cómo se determina la trayectoria de la luz? Si no se puede usar el tiempo propio, se necesita otra condición, ¿no?
🟡 Lina: Buena pregunta. Las trayectorias que satisfacen \(ds^2 = 0\) son los caminos de la luz. Que el tiempo propio sea cero significa que la luz siempre corre sobre la superficie \(ds^2 = 0\) (el cono de luz) — así que la condición \(g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta = 0\) determina la trayectoria de la luz. Resumido en una tabla:
Tabla 7.2: Tiempo propio y longitud propia determinados por el tensor métrico
| Cantidad física | Definición | Condición |
|---|---|---|
| Tiempo propio \(d\tau\) | \(d\tau^2 = -g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta\) | \(ds^2 < 0\) (tipo tiempo) |
| Longitud propia \(dL\) | \(dL^2 = g_{ij}\,dx^i dx^j\) (\(dt = 0\)) | \(dt = 0\) (intervalo tipo espacio, \(ds^2 > 0\)) |
| Trayectoria de la luz | \(0 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta\) | \(ds^2 = 0\) (tipo luz) |
⚪ Mei: Así que también se determina "qué eventos están conectados por luz".
🟡 Lina: Así es. Saber qué eventos están conectados por luz significa saber "qué evento puede enviar una señal a qué otro evento" — es decir, la causalidad se determina solo con la métrica. La métrica realmente contiene toda la información del espaciotiempo.
7.5 La métrica funciona también en coordenadas curvilíneas — coordenadas polares en espaciotiempo plano¶
🟡 Lina: Aquí una observación importante. Que las componentes de la métrica dependan del lugar no significa necesariamente que el espacio esté curvado. Para entender visualmente por qué las componentes de la métrica dependen del lugar, hablemos de los vectores base coordenados. Mira Fig. 7.2「Comparación entre base coordenada y base ortonormal」. Como aprendimos en Cap. 6, las componentes de la métrica son el producto interno de los vectores base coordenados \(g_{ij} = \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j\). Por tanto \(g_{22} = |\mathbf{e}_\theta|^2 = r^2\), es decir \(|\mathbf{e}_\theta| = r\), y la longitud de \(\mathbf{e}_\theta\) cambia proporcionalmente a \(r\) de un lugar a otro. "Que la componente métrica \(g_{22} = r^2\) dependa del lugar" es el reflejo de este cambio de longitud del vector base. Para comparar, también se muestra una "base ortonormal" \(\hat{\mathbf{e}}_r, \hat{\mathbf{e}}_\theta\) ajustada para tener longitud 1 y ser mutuamente ortogonal en todos los puntos. "Ortonormal" significa longitud 1 ("normal") y mutuamente perpendicular ("orto").
Fig. 7.2: Comparación entre base coordenada y base ortonormal. (a) Base coordenada \(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta\). \(|\mathbf{e}_r| = 1\) pero \(|\mathbf{e}_\theta| = r\) cambia de longitud según el lugar. (b) La base ortonormal \(\hat{\mathbf{e}}_r, \hat{\mathbf{e}}_\theta\) tiene longitud 1 en todas partes.
🟡 Lina: En la parte (a) de la figura está la base coordenada — se ve que la longitud de \(\mathbf{e}_\theta\) cambia según el lugar. Por eso la componente métrica \(g_{22} = r^2\) depende del lugar. Pero esto se debe a la elección de coordenadas, y el espacio en sí es plano. La parte (b) es la base ortonormal — a diferencia de la base coordenada, está normalizada a longitud 1 en todos los puntos. La incluimos para comparar visualmente ambas. La base ortonormal aparecerá en capítulos posteriores, así que por ahora solo necesitas saber que existe.
🔵 Kai: ¿Eh? ¿Entonces las componentes de la métrica pueden cambiar aunque el espacio no esté curvado?
🟡 Lina: Escribamos el espaciotiempo plano en coordenadas esféricas \((t, r, \theta, \varphi)\). La relación con las coordenadas cartesianas es
🟡 Lina: Sustituyendo esto en (7.1) — calculando las diferenciales totales como \(dz = \cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta\) (el mismo procedimiento de Cap. 6) —
🟡 Lina: Lee las componentes de la métrica a partir de aquí. Comparando con \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\) se puede ver.
⚪ Mei: El coeficiente de \(dt^2\) es \(g_{00} = -1\), el de \(dr^2\) es \(g_{11} = 1\), el de \(d\theta^2\) es \(g_{22} = r^2\), y el de \(d\varphi^2\) es \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\). Resumiendo:
\(g_{22} = r^2\) y \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\) dependen del lugar. ¿Esto es exactamente el caso que dijo la profesora de que "las componentes pueden depender del lugar sin que haya curvatura"?
🟡 Lina: Exactamente. Esto se debe a la elección de coordenadas, y el espaciotiempo en sí sigue siendo plano.
🔵 Kai: Entonces, ¿cómo se determina si "realmente está curvado"?
🟡 Lina: Si el tensor de curvatura de Riemann (una cantidad con 4 índices, construida a partir de las derivadas segundas de la métrica, que cuantifica el grado de curvatura del espacio) no es cero, entonces realmente está curvado. Hasta las derivadas primeras se pueden eliminar por transformación de coordenadas, pero las derivadas segundas no — esta es la consecuencia del teorema de planitud local (local flatness theorem). La definición concreta y los cálculos los haremos en detalle en capítulos posteriores; por ahora solo recuerda que "existe un criterio para determinar la curvatura".
🟡 Lina: Exacto. Enunciemos con precisión el teorema de planitud local. En cualquier espaciotiempo, por muy curvado que esté, en cualquier punto se puede hacer una transformación de coordenadas para llevar la métrica a \(\eta_{\alpha\beta}\) (métrica de Minkowski) y además anular las derivadas primeras de la métrica. Sin embargo, las derivadas segundas en general no se pueden anular. Por eso la esencia de "estar curvado" está en las derivadas segundas. Lo desarrollaremos en detalle en capítulos posteriores.
⚪ Mei: Es decir, aunque las componentes de la métrica dependan del lugar, no se puede distinguir si eso es "por la elección de coordenadas" o "curvatura real" solo con las derivadas primeras — se necesita examinar hasta las derivadas segundas para determinarlo.
✅ Verificación de comprensión: Aunque las componentes de la métrica dependan del lugar, el espacio no tiene por qué estar curvado. ¿Con qué se determina si "realmente está curvado"?
Respuesta
Si el tensor de curvatura de Riemann, construido a partir de las derivadas segundas de la métrica, no es cero, entonces realmente está curvado. Hasta las derivadas primeras se pueden eliminar por transformación de coordenadas, pero las segundas no.
7.6 Ejemplo concreto de la métrica como "regla de medir"¶
🔵 Kai: Me gustaría ver más concretamente eso de que "las componentes de la métrica dependen del lugar" es como que "las marcas de la regla cambian según el lugar".
🟡 Lina: Buena petición. En la ecuación (7.11), fijando \(t, \theta, \varphi\) y variando solo \(r\) en \(dr\):
La longitud propia en la dirección \(r\) coincide directamente con el cambio de coordenada. Ahora, fijando \(t, r, \varphi\) y variando solo \(\theta\) en \(d\theta\):
🔵 Kai: ¡Ah, es la longitud de arco! En un círculo de radio \(r\), si avanzas un ángulo \(d\theta\), la longitud del arco es \(r\,d\theta\). Es obvio.
🟡 Lina: Así es. La componente métrica \(g_{22} = r^2\) nos dice que "la distancia real por cada marca de la coordenada \(\theta\) se multiplica por \(r\)". Igualmente, \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\) dice "la distancia real por cada marca de \(\varphi\) se multiplica por \(r\sin\theta\)".
✅ Verificación de comprensión: En coordenadas esféricas del espaciotiempo plano, ¿cuál es la longitud propia al avanzar \(dr\) en la dirección \(r\)? ¿Y al avanzar \(d\theta\) en la dirección \(\theta\)?
Respuesta
En la dirección \(r\) es \(dL = dr\) (como \(g_{11} = 1\), coincide con el cambio de coordenada). En la dirección \(\theta\) es \(dL = r\,d\theta\) (como \(g_{22} = r^2\), es la longitud de arco de un círculo de radio \(r\)).
⚪ Mei: Pensando en la superficie terrestre, en el ecuador (\(\theta = \pi/2\)) la distancia por grado de longitud es máxima, y acercándose al polo (\(\theta = 0\)), \(\sin\theta \to 0\) y la distancia se acerca a cero. Que los meridianos se estrechan en las latitudes altas de un atlas se debe a esto.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa físicamente la componente métrica \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)?
Respuesta
Significa que la distancia real por cada marca de la coordenada \(\varphi\) es \(r\sin\theta\). Es máxima en el ecuador (\(\theta = \pi/2\)) y cero en el polo (\(\theta = 0\)).
📝 Ejercicios:
- Longitud propia en polares, métrica en coordenadas curvilíneas → Problema B-3. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en coordenadas polares, Problema M-1. Cálculo del área de una esfera, Problema M-2. Longitud de la circunferencia en el ecuador
7.7 Métrica de Schwarzschild — el espaciotiempo alrededor de una estrella esféricamente simétrica¶
🟡 Lina: Con las herramientas que tenemos hasta ahora, ya podemos interpretar la métrica de un "espaciotiempo curvado" real. Presento sin derivación el elemento de línea del espaciotiempo en la región exterior (región de vacío) de una masa \(M\) esféricamente simétrica y estática, encontrado en 1916 por Karl Schwarzschild. El interior de la estrella contiene materia así que tiene otra métrica, pero para el exterior se puede escribir en esta forma.
donde
es una cantidad llamada radio de Schwarzschild, una escala de longitud propia de la masa \(M\). Verificando las dimensiones: la dimensión de \(G\) es \([\mathrm{m}^3\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}]\), \(M\) es \([\mathrm{kg}]\), \(c^2\) es \([\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-2}]\), así que la dimensión de \(GM/c^2\) es \([\mathrm{m}]\) — efectivamente es una longitud. Para el Sol, \(r_s \approx 3\,\mathrm{km}\) (extremadamente pequeño comparado con el radio solar de unos 700 000 km); para la Tierra, \(r_s \approx 9\,\mathrm{mm}\) (extremadamente pequeño comparado con el radio terrestre de unos 6400 km). Es decir, para cuerpos celestes ordinarios, el radio de Schwarzschild está "enterrado" profundamente en el interior, y en el exterior se cumple \(r \gg r_s\).
Al sistema de unidades que, además de \(c = 1\), establece \(G = 1\) se le llama unidades geométricas. ¿Por qué añadir \(G = 1\)? Porque en la métrica de Schwarzschild la combinación \(GM/c^2\) aparece repetidamente, y poder escribirla simplemente como \(M\) simplifica enormemente las fórmulas. Así como \(c = 1\) "permite medir tiempo y longitud en las mismas unidades", añadir \(G = 1\) "permite medir también la masa en las mismas unidades que la longitud". En este sistema, \(r_s = 2GM/c^2\) con \(G\) y \(c^2\) iguales a 1 da \(r_s = 2M\). Puede parecer extraño, pero es lo mismo que multiplicar la masa por el factor de conversión \(\frac{G}{c^2} \approx 7.4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m/kg}\) en SI para convertirla a longitud. Por ejemplo, la masa del Sol \(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}\) da \(GM_\odot/c^2 \approx 1.5\,\mathrm{km}\) (\(r_s = 2 \times 1.5\,\mathrm{km} = 3\,\mathrm{km}\), coincidiendo con el valor anterior). En unidades geométricas este factor de conversión es 1, así que la masa \(M\) tiene directamente dimensiones de longitud. Por ejemplo, para el Sol se puede escribir "\(M_\odot = 1.5\,\mathrm{km}\)" (correspondiente a \(GM_\odot/c^2 \approx 1.5\,\mathrm{km}\) en SI). Por tanto \(2M/r\) es "longitud ÷ longitud", una cantidad adimensional — en SI sería \(2GM/(rc^2)\), que también es "longitud ÷ longitud" y adimensional.
🔵 Kai: Que la masa tenga dimensiones de longitud... que me digan que el Sol es 1.5 km me hace cortocircuito. En SI se multiplica la masa por el factor de conversión \(G/c^2\) para obtener una longitud, ¿verdad? Que eso sea 1 significa que la información de \(G\) y \(c\) desaparece de las fórmulas, y parece que uno se confundiría al querer volver atrás.
🟡 Lina: Es una preocupación válida. Pero es lo mismo que decir en SI "la masa del Sol convertida a longitud es 1.5 km". Las unidades geométricas simplemente hacen esa conversión "×1". Para volver, se restauran \(G\) y \(c\) por análisis dimensional — de hecho, hace un momento pasamos de \(r_s = 2M\) a \(r_s = 2GM/c^2\), que es exactamente ese procedimiento. Una vez que te acostumbras, las fórmulas se simplifican enormemente.
⚪ Mei: Es decir, la regla de las unidades geométricas es "\(c = 1\) unifica tiempo y longitud, \(G = 1\) unifica también masa y longitud" — cuando quieras volver a SI, restauras \(G\) y \(c\) por análisis dimensional.
🟡 Lina: Exacto. En este sistema de unidades, la métrica de Schwarzschild se escribe (\(c = 1\) así que \(c^2 dt^2 \to dt^2\), \(r_s = 2GM/c^2 \to 2M\)):
🔵 Kai: ¡Guau, es muy parecido al espaciotiempo plano (7.11), pero \(dt^2\) y \(dr^2\) llevan pegado un \(\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\)!
🟡 Lina: Así es. Aquí quiero que notes que esta \(r\) no es "la distancia real desde el centro". En un espacio curvo, "la distancia medida en línea recta desde el centro" no se puede conocer solo a partir de las coordenadas — hay que integrar a través de la métrica (eso es lo que veremos en la ecuación (7.17)). Entonces, ¿qué es \(r\)? Es una coordenada definida de tal manera que "la superficie esférica a \(r\) constante tiene área \(4\pi r^2\)", y se llama coordenada areal (areal coordinate).
🔵 Kai: ¿Eh? Que el área de la esfera sea \(4\pi r^2\) es igual que una esfera normal, ¿no? ¿Es algo que merezca ser definido especialmente?
🟡 Lina: En un espacio curvo, "la distancia real desde el centro hasta la esfera" y "el radio calculado a partir del área" no coinciden. Por ejemplo, como veremos en la ecuación (7.17), la distancia real en la dirección \(r\) es \(dr/\sqrt{1-2M/r}\), que es mayor que la diferencia de coordenadas \(dr\). Por eso "la \(r\) tal que el área es \(4\pi r^2\)" y "la distancia real medida desde el centro" son cosas diferentes — para distinguirlas le ponemos el nombre de coordenada areal. El área se puede calcular solo con la métrica sobre la esfera (\(g_{22}\) y \(g_{33}\)) sin ser afectada por la curvatura en la dirección \(r\) — porque, al fijar \(r\) en la esfera, \(r\) no varía (\(dr = 0\)), y en el elemento de línea \(ds^2\) el término \(g_{11}\,dr^2\) se anula y desaparece. Solo quedan los términos en \(\theta\) y \(\varphi\).
⚪ Mei: Ya veo, al fijar \(r\) tenemos \(dr = 0\) y el término en la dirección \(r\) desaparece, así que la geometría sobre la esfera se determina solo por \(g_{22}\) y \(g_{33}\).
🟡 Lina: Así es. Concretamente, consideremos el área infinitesimal sobre una esfera con \(r\) fijo. La longitud propia en la dirección \(\theta\) es \(\sqrt{g_{22}}\,d\theta = r\,d\theta\), y en la dirección \(\varphi\) es \(\sqrt{g_{33}}\,d\varphi = r\sin\theta\,d\varphi\). La pequeña región limitada por estos dos lados se puede considerar aproximadamente rectangular (si \(d\theta\) y \(d\varphi\) son suficientemente pequeños, la curvatura de la superficie se puede ignorar). Por tanto el área infinitesimal es \(dA = r\,d\theta \times r\sin\theta\,d\varphi = r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\). Sumando esto sobre toda la esfera se obtiene el área \(4\pi r^2\). Aquí aparece una "integral doble" — una operación de repetir la integración dos veces — pero lo que se hace es simple: "primero mueves \(\varphi\) de \(0\) a \(2\pi\) para obtener el área de una franja, luego mueves \(\theta\) de \(0\) a \(\pi\) para apilar las franjas" — una suma en dos etapas. Concretamente, integrando \(\varphi\) de \(0\) a \(2\pi\) sale \(\int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi\), y luego calculando \(\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta\): la primitiva de \(\sin\theta\) es \(-\cos\theta\) (porque \((\cos\theta)' = -\sin\theta\)), así que \([-\cos\theta]_0^\pi = -\cos\pi -(-\cos 0) = -(-1)+1 = 2\). Multiplicando todo: \(r^2 \times 2\pi \times 2 = 4\pi r^2\). En fórmula: \(\int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta = 4\pi r^2\). Es el mismo procedimiento que leer la métrica de la esfera con \(r\) fijo \(ds^2 = r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\) a partir de la ecuación (7.11) de este capítulo (o del elemento de línea en esféricas del capítulo anterior) y construir el área infinitesimal a partir de las longitudes propias en cada dirección. En la métrica de Schwarzschild, la métrica sobre la esfera tiene la misma forma ($ r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2$) que en el espaciotiempo plano, así que el área también es \(4\pi r^2\).
🔵 Kai: Entiendo, \(r\) no es una "distancia" sino una "etiqueta determinada a partir del área".
🟡 Lina: Exacto. Entonces leyendo las componentes de la métrica:
⚪ Mei: La diferencia con el espaciotiempo plano (7.12) está solo en \(g_{00}\) (componente temporal) y \(g_{11}\) (componente en la dirección \(r\)). \(g_{22}\) y \(g_{33}\) tienen exactamente la misma forma.
🔵 Kai: Entonces, si \(r\) se hace muy grande, \(\frac{2M}{r}\) es casi cero, ¡así que vuelve al espaciotiempo plano!
🟡 Lina: Exacto. Suficientemente lejos de la estrella, el efecto gravitatorio desaparece y se recupera la métrica de Minkowski. Esto se llama "asintóticamente plano". Físicamente es natural — no deberías sentir la gravedad de una estrella lejana. Lo resumo en una tabla comparativa. El significado físico escrito en la columna de "diferencia" lo confirmaremos enseguida.
Tabla 7.3: Comparación de componentes métricas entre Schwarzschild y espaciotiempo plano
| Componente | Espaciotiempo plano (esféricas) | Métrica de Schwarzschild | Diferencia |
|---|---|---|---|
| \(g_{00}\) | \(-1\) | \(-(1 - 2M/r)\) | Dilatación temporal gravitacional |
| \(g_{11}\) | \(+1\) | \((1 - 2M/r)^{-1}\) | Estiramiento espacial |
| \(g_{22}\) | \(r^2\) | \(r^2\) | Igual |
| \(g_{33}\) | \(r^2\sin^2\theta\) | \(r^2\sin^2\theta\) | Igual |
Lo que nos enseña la métrica de Schwarzschild¶
🟡 Lina: De esta métrica se pueden leer inmediatamente varias consecuencias físicas. Aquí solo "probamos" los puntos principales, y la discusión detallada la dejamos para Cap. 9.
(1) Dilatación temporal gravitacional¶
🟡 Lina: Consideremos un observador con \(r\) constante, \(\theta\) constante, \(\varphi\) constante (una persona estacionaria alrededor de la estrella). Como \(dr = d\theta = d\varphi = 0\), del elemento de línea solo queda \(ds^2 = g_{00}\,dt^2\). Usando la definición del tiempo propio \(d\tau^2 = -ds^2\):
Por tanto
Esta es la expresión en unidades geométricas \(c = G = 1\). Para volver al sistema SI, basta sustituir \(2M/r\) por \(r_s/r = 2GM/(rc^2)\), dando \(d\tau = \sqrt{1 - r_s/r}\;dt = \sqrt{1 - 2GM/(rc^2)}\;dt\).
🔵 Kai: Cuanto menor es \(r\) (más cerca de la estrella), más pequeño es \(\sqrt{1 - 2M/r}\), así que \(d\tau < dt\)... ¡es decir, cuanto más cerca de la estrella, más lentamente pasa el tiempo!
🟡 Lina: Mira Fig. 7.3「Dilatación temporal gravitacional」. El gráfico de la izquierda muestra cómo varía el factor de dilatación temporal \(\sqrt{1 - 2M/r}\) con \(r\). La imagen de la derecha representa que relojes colocados a diferentes posiciones avanzan a velocidades diferentes.
Fig. 7.3: Dilatación temporal gravitacional. Izquierda: Gráfica del factor de dilatación temporal \(\sqrt{1 - 2M/r}\). En \(r = 2M\) (horizonte de eventos) el factor se hace cero, y en el infinito (\(r \to \infty\)) se aproxima a 1. Derecha: Relojes colocados a diferentes distancias de la masa \(M\). Cuanto más cerca de la estrella, más lento avanza el reloj.
🟡 Lina: La corrección horaria de los satélites GPS utiliza exactamente este efecto. La superficie terrestre está más cerca de la Tierra que la órbita del satélite, así que el reloj en la superficie avanza ligeramente más lento.
🔵 Kai: El GPS mide la posición por el tiempo de llegada de las ondas de radio, ¿verdad? Si el reloj se desfasa, la posición también... ¿Cuánta corrección se necesita?
🟡 Lina: Unos 38 microsegundos por día. Suena poco, pero multiplicado por la velocidad de la luz da unos 11 km de desfase al día. Sin corrección, la navegación sería inútil.
🔵 Kai: ¿Solo 38 microsegundos producen un desfase de 11 km?... La relatividad general está directamente conectada con la tecnología cotidiana.
⚪ Mei: En \(r = 2M\), \(g_{00} = 0\). Ahí \(d\tau = 0\).
🔵 Kai: \(d\tau = 0\)... ¿significa que el tiempo se detiene?
🟡 Lina: Para ser precisa, desde la perspectiva de un observador lejano, el tiempo de un objeto acercándose a \(r = 2M\) parece detenerse por completo. \(r = 2M\) es una superficie especial llamada horizonte de eventos (event horizon). Lo discutiremos en detalle en Cap. 16.
(2) El "estiramiento" del espacio¶
🟡 Lina: Ahora, la longitud propia al avanzar \(dr\) en la dirección \(r\) en un instante (\(dt = 0\)) es
🔵 Kai: Como \(1 - 2M/r < 1\), entonces \(\frac{1}{\sqrt{1-2M/r}} > 1\)... es decir, la longitud propia \(dL\) es mayor que la diferencia de coordenadas \(dr\). ¡El espacio está "estirado"!
🟡 Lina: Así es. Cuanto más cerca de la estrella, la "distancia real" en la dirección \(r\) es mayor de lo que indica la coordenada. Esta es la manifestación concreta de que "el espacio está curvado". En Fig. 7.4「Estiramiento espacial en la dirección \(r\) en la métrica de Schwarzschild」 se visualiza la magnitud de este "estiramiento".
Fig. 7.4: Estiramiento espacial en la dirección \(r\) en la métrica de Schwarzschild. Arriba: Gráfica de \(dL/dr = 1/\sqrt{1 - 2M/r}\). La longitud propia es siempre mayor que la diferencia de coordenadas (\(dL/dr > 1\)). Diverge en el horizonte de eventos (\(r = 2M\)). Abajo: Imagen de cómo la "regla" se estira más cuanto más cerca de la masa \(M\).
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué en la métrica de Schwarzschild la longitud propia \(dL\) en la dirección \(r\) es mayor que la diferencia de coordenadas \(dr\)?
Respuesta
\(dL = dr/\sqrt{1-2M/r}\), y como \(1-2M/r < 1\), entonces \(1/\sqrt{1-2M/r} > 1\). Por tanto la longitud propia es siempre mayor que la diferencia de coordenadas. Esto representa el "estiramiento" del espacio debido a la gravedad.
(3) Aproximación para \(r \gg 2M\)¶
🟡 Lina: Cuando \(r\) es mucho mayor que \(2M\), \(\frac{2M}{r} \ll 1\) y podemos aproximar \((1-2M/r)^{-1} \approx 1 + 2M/r\). Esta es la fórmula de que cuando \(|x| \ll 1\), \(\frac{1}{1-x} \approx 1 + x\) — porque \((1-x)(1+x) = 1 - x^2 \approx 1\), así que \(\frac{1}{1-x} \approx 1+x\). Entonces
Aquí, restaurando \(c\), \(g_{00} = -(1 - 2GM/(rc^2))\), pero usando el potencial gravitatorio newtoniano \(\Phi = -GM/r\) (Cap. 1) tenemos \(1 + 2\Phi/c^2 = 1 + 2(-GM/r)/c^2 = 1 - 2GM/(rc^2)\), así que \(g_{00} = -(1 + 2\Phi/c^2)\). En la métrica de Schwarzschild, \(\Phi = -GM/r\) coincide exactamente con el potencial newtoniano, así que esto es simplemente una sustitución de la definición de \(\Phi\) — para \(g_{00}\) no hay aproximación involucrada. Sin embargo, hay que notar que esto ocurre porque el \(g_{00}\) de Schwarzschild resulta tener una forma lineal en \(\Phi/c^2\) (\(1 + 2\Phi/c^2\)) — es decir, es un caso especial donde la correspondencia con el potencial newtoniano se ve directamente al sustituir \(\Phi\). En espaciotiempos más complejos (por ejemplo alrededor de un agujero negro en rotación), \(g_{00}\) podría no ser lineal en \(\Phi\), así que \(g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)\) no siempre es exactamente válido.
🔵 Kai: Mmm, entonces para \(g_{00}\) simplemente se sustituye el potencial newtoniano. ¿Y para \(g_{11}\)?
🟡 Lina: Para \(g_{11}\), se está aproximando \((1-2GM/(rc^2))^{-1} \approx 1 + 2GM/(rc^2)\) (usando \(r \gg r_s\)). Como \(\Phi = -GM/r\), tenemos \(-2\Phi/c^2 = -2(-GM/r)/c^2 = +2GM/(rc^2)\), así que \(g_{11} \approx 1 - 2\Phi/c^2\). Es decir, la aproximación de campo débil solo entra en \(g_{11}\). Y en gravedad débil, el efecto de \(g_{00}\) es dominante, que es lo que corresponde a la teoría de Newton. En otras palabras, el modelo de Newton es "la aproximación de campo débil de la métrica de Schwarzschild". Este es el contenido matemático de lo anunciado en Cap. 1: "el modelo de Newton es una aproximación del modelo de Einstein".
🔵 Kai: Espera un momento. ¿Para \(g_{00}\) es una "reescritura exacta" y solo para \(g_{11}\) hay "aproximación"? ¿Por qué la aproximación entra solo en uno?
🟡 Lina: Buena pregunta. El punto es la diferencia en la forma matemática.
- \(g_{00} = -(1 - 2GM/(rc^2))\): Sustituyendo \(\Phi = -GM/r\) se puede escribir directamente como \(-(1 + 2\Phi/c^2)\). \(1 - 2GM/(rc^2) = 1 + 2(-GM/r)/c^2 = 1 + 2\Phi/c^2\), sin descartar nada
- \(g_{11} = (1 - 2GM/(rc^2))^{-1}\): Este tiene la forma de un recíproco. Primero se aproxima \(\frac{1}{1-x} \approx 1+x\) para obtener \(g_{11} \approx 1 + 2GM/(rc^2)\), y luego con \(\Phi = -GM/r\), \(2GM/(rc^2) = -2\Phi/c^2\), se escribe \(g_{11} \approx 1 - 2\Phi/c^2\)
Uno es "sustitución directa" y el otro "desarrollo del recíproco" — esta diferencia es la razón de la asimetría.
⚪ Mei: Es decir, la relación asimétrica entre \(g_{00}\) y \(g_{11}\) con \(\Phi\) se debe a que las formas matemáticas originales son diferentes (una es lineal, la otra es un recíproco).
🔵 Kai: Entiendo... entonces al revés, si \(g_{00}\) tuviera una forma más complicada (por ejemplo cuadrática o superior en \(r\)), ¿la correspondencia con el potencial newtoniano no sería tan limpia?
🟡 Lina: Exactamente. Que el \(g_{00}\) de Schwarzschild sea casualmente lineal en \(\Phi/c^2\) es lo que permite la correspondencia exacta con el potencial newtoniano \(\Phi = -GM/r\). En espaciotiempos generales puede ser más complicado.
⚪ Mei: Resumiendo: el potencial newtoniano entra en la componente \((0,0)\) de la métrica como \(g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)\), y como dijo la profesora, en gravedad débil la componente temporal es dominante y corresponde a la teoría de Newton — y en la métrica de Schwarzschild, \(g_{00}\) es justamente lineal en \(\Phi\), por lo que esta correspondencia se cumple limpiamente.
✅ Verificación de comprensión: En la aproximación de campo débil (\(r \gg 2M\)) de la métrica de Schwarzschild, ¿en qué componente de la métrica aparece el potencial gravitatorio newtoniano \(\Phi = -GM/r\) y de qué forma?
Respuesta
Aparece en la componente \((0,0)\) como \(g_{00} = -(1 + 2\Phi/c^2)\) (en la métrica de Schwarzschild esto es una igualdad exacta). En gravedad débil la componente temporal es dominante, correspondiendo a la teoría de Newton. El modelo de Newton es la aproximación de campo débil de la métrica de Schwarzschild.
✅ Verificación de comprensión: En la métrica de Schwarzschild, ¿qué le pasa al tiempo cuanto menor es \(r\) (más cerca de la estrella)? ¿Cuál es la razón?
Respuesta
El tiempo pasa más lentamente. El tiempo propio es \(d\tau = \sqrt{1 - 2M/r}\,dt\), y cuanto menor es \(r\), menor es \(\sqrt{1 - 2M/r}\), por lo que \(d\tau < dt\).
📝 Ejercicios:
- Cálculos con la métrica de Schwarzschild, corrimiento al rojo gravitacional, GPS → Problema B-4. Tiempo propio de un observador estático en la métrica de Schwarzschild, Problema B-5. Componentes de la métrica de Schwarzschild en \(r = 4M\), Problema B-7. Longitud propia en la dirección \(\varphi\) en la métrica de Schwarzschild, Problema M-3. Derivación del corrimiento al rojo gravitacional (derivación completa a partir de la métrica de Schwarzschild), Problema M-4. Longitud propia radial en la métrica de Schwarzschild, Problema A-1. Geometría de espacios bidimensionales de curvatura constante, Problema A-2. GPS y corrimiento al rojo gravitacional
¿Por qué "sin derivación"?¶
🔵 Kai: Pero profesora, ¿de dónde viene esta métrica? Apareció de la nada.
🟡 Lina: Honestamente, para derivar esta métrica hay que resolver la ecuación de Einstein (Cap. 14). En esta etapa aún no hemos escrito esa ecuación, así que no queda más remedio que aceptar "tiene esta forma" sin derivación. Pero, una vez dada la métrica, las consecuencias físicas como el tiempo propio, la longitud propia y las trayectorias de la luz se pueden calcular todas con las herramientas de este capítulo. Primero practicamos "usar" la métrica, y después aprenderemos cómo "derivarla" — ese es el orden.
⚪ Mei: Ya veo, la derivación viene después, pero con las herramientas actuales ya podemos extraer todos los resultados físicos.
🟡 Lina: Así es. Si lo comparamos con la cocina: antes de aprender la receta (ecuación de Einstein), probamos el plato terminado (métrica de Schwarzschild) para experimentar "qué física contiene".
7.8 Resumen de este capítulo¶
🟡 Lina: Organicemos lo que aprendimos hoy.
- El tensor métrico \(g_{\alpha\beta}(x)\) es la "regla de medir" en el espaciotiempo curvo. Un tensor simétrico con 10 componentes independientes
- Del elemento de línea \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\) se calculan el tiempo propio (\(d\tau^2 = -ds^2\), intervalo tipo tiempo) y la longitud propia (\(dL^2 = ds^2|_{dt=0}\), intervalo tipo espacio)
- Que las componentes de la métrica dependan del lugar no implica por sí solo que el espacio esté curvado (puede ser efecto de las coordenadas)
- La métrica de Schwarzschild describe el espaciotiempo alrededor de una masa esféricamente simétrica y estática. "Probamos" la dilatación temporal gravitacional, el estiramiento espacial y la recuperación del potencial newtoniano en el límite de campo débil (los detalles en Cap. 9)
- Para \(r \to \infty\) se recupera la métrica de Minkowski, y en el límite de gravedad débil se reproduce el modelo de Newton
🔵 Kai: Se pasó de un solo potencial en Newton a 10 funciones, pero a cambio aparecen todos los fenómenos que Newton no podía explicar — la dilatación temporal, el estiramiento espacial... Pero al revés, es curioso que teniendo 10 componentes, solo la condición de "simetría esférica" determine casi por completo la forma.
🟡 Lina: Buen punto de vista. Cuando la simetría impone restricciones fuertes, las componentes independientes se reducen drásticamente. Por qué es así se aclarará después de aprender la ecuación de Einstein (Cap. 14).
🔵 Kai: La simetría es poderosa... Pero, ¿de verdad con solo la condición de "simetría esférica" se determina unívocamente? Por ejemplo, si la estrella está pulsando o en medio de una explosión, ¿seguiría siendo la misma métrica?
🟡 Lina: De hecho, está demostrado que solo con la condición de vacío y simetría esférica — incluso si la estrella está pulsando — la métrica exterior se determina unívocamente como la métrica de Schwarzschild (teorema de Birkhoff). Ni siquiera se necesita la condición de estática. Esto también lo veremos a partir de Cap. 14.
🔵 Kai: Vaya... que aunque esté pulsando la métrica exterior sea la misma es contraintuitivo. Si el interior cambia pero no afecta al exterior, ¿por qué es así?
🟡 Lina: De hecho, en la gravedad de Newton hay algo similar. Fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica, el campo gravitatorio es el mismo que si toda la masa estuviera concentrada en el centro — el teorema de la corteza de Newton. El teorema de Birkhoff es la versión relativista general de eso. La simetría esférica impone restricciones tan fuertes que "no deja escapar información al exterior".
🔵 Kai: Ya veo. Y otra cosa que me preguntaba — en este capítulo quedó claro que la métrica es la "regla de medir" y que se puede leer la dilatación temporal y el estiramiento espacial. Pero cómo se mueve una partícula hay que determinarlo aparte, ¿no? "Ir en línea recta" en un espaciotiempo curvo, ¿cómo se define? Si está curvado, parece que "recto" no debería existir...
🟡 Lina: Ese es exactamente el tema del próximo capítulo. Te doy una pista: si tienes una "regla de medir", puedes medir la "longitud" de una trayectoria — y se usa un principio de "elegir la trayectoria más eficiente". Lo "recto" en un espaciotiempo curvo — la geodésica — se define así.
🔵 Kai: "La trayectoria más eficiente"... ¿es algo como el principio de mínima acción de Cap. 1? Pero "minimizar" la acción y "maximizarla" son cosas diferentes, ¿no? ¿Se maximiza o se minimiza el tiempo propio?
🟡 Lina: Buena duda. Si es "mínimo" o "máximo" — la respuesta y la razón las veremos cuidadosamente en el próximo capítulo. Espéralo con ganas.
⚪ Mei: En este capítulo fuimos de "regla de medir" (métrica) → "cómo medir tiempo y distancia" (tiempo propio, longitud propia) → "ejemplo concreto" (métrica de Schwarzschild), así que lo siguiente natural es "cómo se mueve en ese espaciotiempo" — las geodésicas — es un flujo lógicamente natural.
Avance del próximo capítulo¶
Ya entendimos que la métrica proporciona la "regla de medir" del espaciotiempo. Entonces, ¿qué significa que una partícula "vaya en línea recta" en ese espaciotiempo curvo? En Cap. 8 derivaremos la ecuación de la geodésica como la trayectoria que extremiza el tiempo propio. El movimiento de una partícula en caída libre se describe por esta ecuación en lugar de la ecuación de movimiento de Newton — el "modelo del movimiento" en relatividad general finalmente toma forma.
Referencias¶
- Hartle, J. B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Chapter 7. Addison-Wesley.
- Schutz, B. F. (2022). A First Course in General Relativity, 3rd ed., Chapter 7. Cambridge University Press.
- Tong, D. (2019). General Relativity (Cambridge lecture notes), Chapter 6.
- Lancaster, T. & Blundell, S. J. (2014). General Relativity for the Gifted Amateur, Chapter 3.
- 石井俊全 (2013). 『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』, 第 7 章「一般相対性理論」. ベレ出版.
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