Capítulo 5 Espín 1/2 y Stern-Gerlach — El germen del espacio de Hilbert¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En Cap. 4, introdujimos las reglas de amplitud de probabilidad como las 3 leyes de Feynman. Aprendimos que las probabilidades en mecánica cuántica se obtienen como "el módulo al cuadrado de la amplitud", que las amplitudes son números complejos, y que cuando hay estados intermedios, las amplitudes se "multiplican y luego se suman". Esta vez aplicaremos estas reglas a un sistema físico concreto —el experimento de Stern-Gerlach con partículas de espín 1/2— y abriremos la puerta a la estructura matemática de la mecánica cuántica.
Objetivo de este capítulo
- A través del experimento de Stern-Gerlach, confirmar la naturaleza discreta del "espín" e introducir los vectores de estado \(|\pm\rangle\) y el concepto de base
- Describir cómo el estado cambia con mediciones en diferentes direcciones usando el lenguaje de amplitudes, y experimentar la estructura de un espacio vectorial complejo bidimensional (el germen del espacio de Hilbert)
5.1 El experimento de Stern-Gerlach — El haz se divide en dos¶
🟡 Lina: Bien, en el capítulo anterior obtuvimos las reglas de amplitud de probabilidad. Hoy vamos a ver cómo se aplican esas reglas en un experimento históricamente famoso. Es el experimento que realizaron Otto Stern y Walther Gerlach en 1922.
🔵 Kai: ¿Qué tipo de experimento es?
🟡 Lina: El aparato experimental es simple. Se emite un haz de átomos de plata desde un horno a alta temperatura y se hace pasar a través de un campo magnético no uniforme — es decir, un campo magnético cuya intensidad varía según la posición. Luego se observa dónde llegan los átomos a una pantalla después de atravesar el campo magnético.
⚪ Mei: ¿Por qué se usa un campo magnético no uniforme?
🟡 Lina: Buena pregunta. Si colocas un imán en un campo uniforme, el imán rota pero no se desplaza. Para desplazar un imán, la intensidad del campo debe variar según la posición — es decir, debe haber un gradiente. Como los átomos de plata se comportan como pequeños imanes, experimentan una fuerza en un campo no uniforme y se desvían.
🔵 Kai: Entiendo. Entonces, ¿qué se predeciría según la física clásica?
🟡 Lina: En la física clásica, la "orientación del imán" de los átomos de plata que salen del horno debería apuntar aleatoriamente en todas las direcciones. Los átomos orientados en la misma dirección que el campo se desvían hacia arriba, los de dirección opuesta hacia abajo, y los que tienen ángulos intermedios experimentan fuerzas intermedias. Así que—
🔵 Kai: ¿Aparecería un patrón continuo en forma de banda en la pantalla?
🟡 Lina: Sí, esa es la predicción clásica. Sin embargo, el resultado real fue—
🔵 Kai: ¡¿Fue diferente?!
🟡 Lina: El haz se dividió en exactamente dos manchas. Una arriba y una abajo. No apareció nada en el medio. Mira Fig. 5.1「Aparato del experimento de Stern-Gerlach」 — lo dibujado en gris claro es la banda continua predicha clásicamente, y lo que realmente se observó son dos manchas concentradas.
Fig. 5.1: Aparato del experimento de Stern-Gerlach. El haz de átomos de plata emitido desde el horno se divide en dos puntos en la pantalla al pasar por un campo magnético no uniforme. En lugar de la banda continua predicha por la física clásica (gris claro), se concentra en dos manchas discretas (\(|+\rangle\) y \(|-\rangle\)).
🔵 Kai: Espera... ¿no continuo, sino solo dos?
🟡 Lina: Así es. Este es el fenómeno llamado cuantización espacial (spatial quantization). Indica que "algo" que el átomo de plata posee en la dirección del campo magnético no puede tomar valores continuos, sino solo dos valores discretos — valores separados.
⚪ Mei: Es decir, no es que "pueda apuntar en cualquier ángulo", sino que solo hay dos opciones: "arriba o abajo".
🟡 Lina: Para ser precisa, la componente en la dirección del campo magnético (tomemos la dirección \(z\)) solo puede tomar dos valores. Esos valores son:
Aquí \(\hbar\) (h-barra) es la constante de Planck reducida que apareció en Cap. 1 — \(\hbar = h/(2\pi) \approx 1.055 \times 10^{-34}\) J·s.
🔵 Kai: ¿Qué es \(S_z\)?
🟡 Lina: Este es el tema principal de hoy. Es la componente \(z\) del momento angular de espín. Lo explicaré en detalle en la siguiente sección.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de Stern-Gerlach, el hecho de que el haz se divida en dos se llama "cuantización espacial". ¿Qué propiedad del átomo de plata está indicando esto?
Respuesta
Indica que la componente del momento angular de espín \(S_z\) que el átomo de plata posee en la dirección del campo magnético solo puede tomar dos valores discretos: \(+\hbar/2\) y \(-\hbar/2\), y no valores continuos.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de Stern-Gerlach, ¿en qué difirieron la predicción de la física clásica y el resultado real?
Respuesta
La física clásica predecía un patrón continuo en forma de banda en la pantalla, pero en realidad el haz se dividió en exactamente dos manchas discretas. Esto indica que las propiedades magnéticas del átomo de plata solo pueden tomar valores discretos y no continuos.
📝 Ejercicios:
- Dibuja cualitativamente la predicción clásica del experimento de Stern-Gerlach y explica la diferencia con el resultado de la mecánica cuántica → Problema A-2. "Qué camino se tomó" y la desaparición de la interferencia
5.2 ¿Qué es el espín? — Una propiedad intrínseca, no una "rotación" clásica¶
🔵 Kai: Antes dijiste "momento angular de espín", pero ¿eso significa que el electrón está girando sobre sí mismo? ¿Como la Tierra rotando?
🟡 Lina: Muy buena pregunta. La respuesta es "no". El nombre es "espín (spin)" — en inglés "rotación" — pero es algo completamente diferente de la rotación clásica.
🔵 Kai: Entonces, ¿qué es?
🟡 Lina: El espín es un momento angular intrínseco que la partícula posee de nacimiento. A diferencia del momento angular que surge de orbitar (el momento angular orbital), existe incluso cuando la partícula está en reposo. Es una propiedad puramente cuántica que no tiene contrapartida en la física clásica.
⚪ Mei: ¿"No tiene contrapartida" significa que es imposible entenderlo intentando usar imágenes clásicas?
🟡 Lina: Así es. Uno querría pensar en el electrón como "una pequeña esfera en rotación", pero el modelo que mejor funciona trata al electrón como una partícula puntual. No tiene sentido que un punto "gire sobre sí mismo", ¿verdad? El espín existe como una cantidad física medible en experimentos, pero no se puede dibujar una imagen clásica de él.
🔵 Kai: Hmm, entonces ¿cómo debemos entenderlo?
🟡 Lina: Se entiende a través de la estructura matemática y los resultados experimentales. Voy a enumerar las propiedades del espín. También resumo las diferencias con el momento angular clásico en Tabla 5.1「Comparación entre espín y momento angular clásico」.
Tabla 5.1: Comparación entre espín y momento angular clásico
| Propiedad | Momento angular clásico (orbital) | Momento angular de espín |
|---|---|---|
| Origen | Movimiento de rotación/revolución del objeto | Intrínseco de la partícula (no depende del movimiento) |
| Valores de medición | Valores continuos arbitrarios | Discretos (solo \(\pm\hbar/2\)) |
| Cambio de magnitud | Cambia acelerando/desacelerando la rotación | Fijo según el tipo de partícula, no se puede modificar |
| Imagen clásica | Objeto en rotación (como la rotación de la Tierra) | No hay imagen correspondiente |
🟡 Lina: Concretamente, las propiedades del espín son:
- Intrínseco — está determinado para cada tipo de partícula y no se puede cambiar
- Discreto — los valores de medición solo pueden tomar valores separados
- Se caracteriza por un número cuántico de espín \(s\). Para el electrón, protón y neutrón, \(s = 1/2\)
🟡 Lina: Cuando se mide una partícula con número cuántico de espín \(s\) en la dirección del campo magnético, los valores posibles de \(S_z\) van desde \(-s\hbar\) hasta \(+s\hbar\) en pasos de \(\hbar\) — un total de \((2s+1)\) valores. Si \(s = 1/2\), son \(-\hbar/2\) y \(+\hbar/2\), es decir \(2 \times 1/2 + 1 = 2\) — por eso el haz se dividió en dos en el experimento de Stern-Gerlach.
⚪ Mei: Entiendo. Como el electrón de la capa más externa del átomo de plata tiene \(s = 1/2\), los valores de \(S_z\) son solo \(+\hbar/2\) y \(-\hbar/2\), y el haz se divide en dos líneas. ...Pero el átomo de plata tiene muchos electrones, ¿por qué solo uno es el que importa?
🟡 Lina: Buena duda. El átomo de plata tiene 47 electrones, pero los 46 internos están emparejados y sus espines se cancelan mutuamente. Solo el último electrón de la capa más externa "muestra" su espín. Por eso el átomo completo se comporta como si tuviera espín 1/2. Por cierto, en 1925 Uhlenbeck y Goudsmit propusieron el concepto de "espín del electrón". Tres años después del experimento de Stern-Gerlach.
🔵 Kai: ¡Un momento! ¿Si fuera una partícula de espín 1, se dividiría en 3 haces?
🟡 Lina: ¡Sí! Si \(s = 1\), toma \(2 \times 1 + 1 = 3\) valores — \(S_z = +\hbar, 0, -\hbar\) — así que el haz se divide en 3. El libro de Feynman comienza con el ejemplo de espín 1, pero aquí trataremos espín 1/2. Porque el electrón, la partícula más fundamental, tiene espín 1/2, y además como solo hay 2 estados, la matemática es lo más simple posible.
✅ Verificación de comprensión: Cuando se mide una partícula con número cuántico de espín \(s\) en la dirección del campo magnético, ¿cuántos valores posibles tiene \(S_z\)? Responde para los casos \(s = 1/2\) y \(s = 1\).
Respuesta
El número de valores posibles es \(2s+1\). Para \(s = 1/2\): \(2 \times 1/2 + 1 = 2\) valores (\(\pm\hbar/2\)). Para \(s = 1\): \(2 \times 1 + 1 = 3\) valores (\(+\hbar, 0, -\hbar\)).
✅ Verificación de comprensión: Menciona 2 aspectos en los que el espín difiere de la "rotación" clásica.
Respuesta
(1) El espín es una propiedad intrínseca que existe incluso cuando la partícula está en reposo, y no proviene del movimiento orbital. (2) Los valores de medición son discretos (solo \(\pm\hbar/2\)) y no se puede tomar un momento angular arbitrario como un cuerpo en rotación clásico.
5.3 Introducción de vectores de estado y notación ket¶
🟡 Lina: Bien, ahora entramos en el tema principal. Vamos a describir los resultados del experimento de Stern-Gerlach usando el lenguaje de amplitudes de probabilidad que aprendimos en Cap. 4. Para ello, voy a introducir el concepto de vector de estado y la notación para escribirlo.
🔵 Kai: ¿Vector de estado?
🟡 Lina: En mecánica cuántica, el "estado" de una partícula se representa mediante un vector. Los vectores que aprendiste en el instituto eran flechas — cantidades con magnitud y dirección. Los vectores de estado en mecánica cuántica también tienen una especie de "dirección", pero viven en un espacio diferente. No en 2 o 3 dimensiones reales, sino en un espacio de números complejos. Concretamente, se pueden representar como vectores con componentes complejas dispuestas verticalmente — por ejemplo
A este tipo de "vector con componentes dispuestas verticalmente" lo llamamos vector columna (column vector). En el instituto, era más común escribir las componentes horizontalmente como \((a, b)\), pero en mecánica cuántica usamos la notación vertical. Al contrario, cuando las componentes se disponen horizontalmente — como \((c_+^*,\; c_-^*)\) — lo llamamos vector fila (row vector). La razón por la que esta distinción es importante se verá en 「Punto 1: Los estados son vectores」.
🟡 Lina: Para escribir estos vectores de estado, usamos la notación ideada por Dirac. El vector que representa un estado se escribe como
y se llama ket. Es una notación que encierra entre una barra vertical y un ángulo, y en la parte \(\alpha\) se pone una etiqueta — como un nombre — para distinguir el estado.
🔵 Kai: ¿Por qué se llama "ket"?
🟡 Lina: Viene de dividir la palabra inglesa bracket (paréntesis) en bra y ket. El "bra" aparecerá en la sección siguiente de este capítulo. Por ahora, recuerda solo el ket.
🟡 Lina: Escribimos \(|+\rangle\) para el estado medido como \(S_z = +\hbar/2\) en el experimento de Stern-Gerlach, y \(|-\rangle\) para el estado medido como \(S_z = -\hbar/2\). Estos son los dos estados básicos del sistema de espín 1/2.
⚪ Mei: \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) corresponden al haz que se desvía hacia arriba y al que se desvía hacia abajo en el aparato de Stern-Gerlach.
🟡 Lina: Exacto. Y el corazón de la mecánica cuántica es que — un estado general se puede escribir como la suma de estos dos estados básicos con coeficientes complejos:
A este tipo de suma la llamamos superposición (superposition).
🔵 Kai: ¿"Sumar" estados? ¿Qué significa eso? ¿Por qué se permite algo así?
🟡 Lina: Porque el experimento así lo exige. Por ejemplo, se puede orientar el campo magnético del aparato de Stern-Gerlach no en la dirección \(z\) sino en la dirección \(x\). Entonces se puede seleccionar el estado "espín hacia arriba en la dirección \(x\)" — que escribiremos como \(|+\rangle_x\). Si pasamos esta partícula \(|+\rangle_x\) por un aparato en dirección \(z\), arriba y abajo salen mitad y mitad.
🔵 Kai: ¿Mitad y mitad? Si fuera \(|+\rangle\) iría 100% arriba, y si fuera \(|-\rangle\) iría 100% abajo, ¿no?
🟡 Lina: Así es. Es decir, \(|+\rangle_x\) es "un tercer estado que no es ni \(|+\rangle\) ni \(|-\rangle\)". Para representar este tercer estado dentro del marco bidimensional, la única opción es "sumar" \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) con coeficientes complejos — exactamente como descomponer una flecha diagonal en el plano en sus componentes \(x\) e \(y\). (La forma concreta y el cálculo los haremos en 5.5「Mediciones en diferentes direcciones — Cambio de base y amplitudes de probabilidad」. Por ahora, piensa solo que "existe tal estado".) La razón por la que la "superposición" es matemáticamente válida se entiende en capítulos posteriores a partir del hecho de que la ecuación fundamental de la mecánica cuántica (la ecuación de Schrödinger) es lineal. "Lineal" significa que si un estado es solución de la ecuación, entonces su múltiplo por una constante o la suma de dos soluciones también es una solución — por eso un estado superpuesto también es un estado físicamente permitido. Pero ahora avanzaremos tomando como punto de partida el hecho de que "el experimento así lo exige".
⚪ Mei: Es decir, la superposición no solo es "matemáticamente permitida" sino que es "experimentalmente necesaria".
Aquí \(c_+\) y \(c_-\) son coeficientes complejos. En el lenguaje de Cap. 4, \(c_+\) es "la amplitud de probabilidad de que el estado \(|\psi\rangle\) sea encontrado como \(|+\rangle\)", y \(c_-\) es "la amplitud de probabilidad de que el estado \(|\psi\rangle\) sea encontrado como \(|-\rangle\)".
🔵 Kai: ¡Amplitud de probabilidad! Eso apareció en el capítulo anterior. Entonces, ¿\(|c_+|^2\) es la probabilidad de obtener \(S_z = +\hbar/2\) y \(|c_-|^2\) es la probabilidad de obtener \(S_z = -\hbar/2\)?
🟡 Lina: Perfecto. Y como la suma de probabilidades es 1:
Esto se llama condición de normalización (normalization condition).
⚪ Mei: Es decir, la ecuación (5.4) dice "el estado de espín se puede representar como una combinación ponderada con pesos complejos de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\)". Y el módulo al cuadrado de los pesos da la probabilidad de medición.
🔵 Kai: Entiendo que la superposición es necesaria, pero aún no me queda claro qué significa concretamente "sumar estados". Con vectores normales, como la "composición de fuerzas", el significado físico es claro...
🟡 Lina: Esa sensación es correcta. Es natural que se sienta abstracto. Cuando calculemos concretamente la medición en dirección \(x\) en 5.5「Mediciones en diferentes direcciones — Cambio de base y amplitudes de probabilidad」, sentirás que "sin la superposición no se pueden explicar los resultados experimentales". Es un concepto que se entiende después de ver ejemplos concretos, así que por ahora avancemos.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa físicamente la condición de normalización \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\)?
Respuesta
Significa que al medir \(S_z\), la suma de la probabilidad de obtener \(+\hbar/2\) y la probabilidad de obtener \(-\hbar/2\) es 1 (es decir, 100%), o sea que el resultado de la medición es necesariamente uno de los dos.
✅ Verificación de comprensión: Para el estado \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|-\rangle\), ¿cuál es la probabilidad de obtener \(+\hbar/2\) al medir \(S_z\)?
Respuesta
\(|c_+|^2 = |1/\sqrt{3}|^2 = 1/3\).
📝 Ejercicios:
- Verifica que el estado \(|\psi\rangle = \frac{1+i}{2}|+\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|-\rangle\) está normalizado y calcula la probabilidad de obtener cada valor de medición de \(S_z\) → Problema B-1. Verificación de la condición de normalización
5.4 Base, ortonormalidad y completitud — El espacio de estados bidimensional¶
🟡 Lina: Para entender la ecuación (5.4) un poco más profundamente, voy a organizar qué propiedades tienen \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\).
Ortonormalidad¶
🟡 Lina: Primero, queremos considerar el "solapamiento" entre los dos estados básicos. Para ello, introduzco el producto interno (inner product). Para un ket \(|\alpha\rangle\), escribimos el bra correspondiente como \(\langle\alpha|\), y a la combinación de bra y ket
la llamamos producto interno. Este toma en general valores complejos. Así como el producto escalar de vectores del instituto \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) medía la "cercanía" entre dos vectores, \(\langle\beta|\alpha\rangle\) mide la "cercanía" entre el estado \(|\alpha\rangle\) y el estado \(|\beta\rangle\). El método concreto de cálculo (cómo calcularlo usando las componentes del vector columna) lo mostraré en 「Punto 1: Los estados son vectores」, así que por ahora avancemos usando la propiedad de "ortonormalidad".
🔵 Kai: Bracket... ¡la primera mitad de bracket es bra y la segunda es ket!
🟡 Lina: Sí, es un juego de palabras de Dirac. Bien, \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) satisfacen las siguientes propiedades:
🔵 Kai: ¿El producto interno consigo mismo es 1, y con un estado diferente es 0?
🟡 Lina: Sí. La ecuación (5.6) es la normalización — que la "longitud" de cada estado básico es 1. La ecuación (5.7) es la ortogonalidad — que los dos estados básicos son "perpendiculares". Juntas las llamamos ortonormales (orthonormal).
⚪ Mei: Es la misma estructura que en matemáticas del instituto, donde los vectores unitarios \(\hat{\mathbf{e}}_x\) y \(\hat{\mathbf{e}}_y\) del plano \(xy\) satisfacen \(\hat{\mathbf{e}}_x \cdot \hat{\mathbf{e}}_x = 1\), \(\hat{\mathbf{e}}_x \cdot \hat{\mathbf{e}}_y = 0\).
🟡 Lina: Exactamente. Puedes pensar en \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) como "los ejes de coordenadas ortogonales en versión mecánica cuántica". Solo que la diferencia es que el espacio no es real bidimensional sino complejo bidimensional — es decir, los coeficientes pueden ser números complejos.
🟡 Lina: Resumiendo las ecuaciones (5.6) y (5.7) usando la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\):
donde \(\delta_{ij}\) es 1 cuando \(i = j\) y 0 cuando \(i \neq j\).
Relación de completitud¶
🟡 Lina: Bien, para escribir la relación de completitud, voy a explicar el significado del símbolo \(|+\rangle\langle+|\).
🔵 Kai: ¿\(|+\rangle\langle+|\)? Están el ket y el bra en orden inverso...
🟡 Lina: Buena observación. El producto interno \(\langle\beta|\alpha\rangle\) de antes era en orden "bra × ket", y el resultado era un número complejo (solo un número). Ahora \(|+\rangle\langle+|\) está en orden "ket × bra" — esto no es un número, sino algo que "actúa" sobre vectores de estado — una "operación" que recibe un vector de estado como entrada y devuelve otro vector de estado. Piensa que así como una función recibe un número y devuelve otro número, esta "operación" recibe un vector y devuelve otro vector.
🟡 Lina: Calculemos concretamente. Para \(|\psi\rangle = c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\), primero calculemos \(\langle+|\psi\rangle\). Aquí usamos una propiedad importante del producto interno — la linealidad. En los vectores del instituto, podías expandir como una ley distributiva: \(\vec{a} \cdot (c_1 \vec{b}_1 + c_2 \vec{b}_2) = c_1 (\vec{a} \cdot \vec{b}_1) + c_2 (\vec{a} \cdot \vec{b}_2)\), ¿verdad? El producto interno en mecánica cuántica se puede expandir de la misma manera. Es decir, cuando el bra \(\langle+|\) actúa sobre la suma de kets \(c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\), se puede calcular distribuyendo a cada término:
Usé la ortonormalidad de las ecuaciones (5.6) y (5.7). Con esto en mente:
Es decir, es una operación que extrae solo la componente \(|+\rangle\) del estado \(|\psi\rangle\) — una proyección (projection). A la forma "ket × bra" como \(|+\rangle\langle+|\) la llamamos producto externo (outer product).
🔵 Kai: ¿El producto externo es diferente del "producto vectorial" que aprendimos en el instituto — ese \(\vec{a} \times \vec{b}\) donde sale un vector perpendicular?
🟡 Lina: Son completamente diferentes. Es confuso que tengan el mismo nombre, pero aquí "producto externo" significa "la operación de colocar un ket junto a un bra para crear un operador". No tiene ninguna relación con el producto vectorial, así que no los confundas.
🔵 Kai: Entiendo, es una "operación" que cuando le introduces un vector de estado te devuelve otro vector de estado.
🟡 Lina: Sí. A este tipo de "operación que actúa sobre un vector de estado y devuelve otro vector de estado" se le llama en general operador (operator).
🟡 Lina: Bien, usando el concepto de proyección, voy a derivar una relación muy útil. Para un estado arbitrario \(|\psi\rangle = c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\), ¿qué pasa si sumamos la proyección sobre la componente \(|+\rangle\) y la proyección sobre la componente \(|-\rangle\)?
🔵 Kai: \(c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\)... ¡volvemos al \(|\psi\rangle\) original!
🟡 Lina: ¡Sí! Es decir, \(|+\rangle\langle+|\) es "la proyección en la dirección \(|+\rangle\)", \(|-\rangle\langle-|\) es "la proyección en la dirección \(|-\rangle\)". Si sumamos estas dos, obtenemos una operación que devuelve cualquier estado tal cual — el operador identidad \(\mathbf{1}\):
⚪ Mei: Entiendo. \(|+\rangle\langle+|\) es "la proyección en la dirección \(|+\rangle\)", \(|-\rangle\langle-|\) es "la proyección en la dirección \(|-\rangle\)". Al sumar ambas obtenemos el todo — es decir, el operador identidad.
🟡 Lina: Sí. Esta es la expresión matemática de que "\(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) agotan todo el espacio de estados". En el sistema de espín 1/2, el espacio de estados es bidimensional. No se necesitan más estados básicos.
🔵 Kai: ¿Bidimensional, como un plano?
🟡 Lina: Es "complejo bidimensional", así que contando con números reales hay 4 grados de libertad (\(c_+\) y \(c_-\) tienen cada uno parte real e imaginaria). Pero la condición de normalización reduce uno, y además la libertad de que "multiplicar por la misma fase \(e^{i\theta}\) (el número complejo de módulo siempre 1 que apareció en Cap. 4; \(\theta\) es un parámetro angular real, y se escribe \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)) no produce diferencia física" reduce otro — como resultado, los parámetros físicamente independientes son 2. El estado se puede especificar con un punto sobre una esfera — esto aparecerá en capítulos posteriores como la "esfera de Bloch". Por ahora no te preocupes por el conteo detallado — lo importante es que "con \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\) se puede escribir todo".
🔵 Kai: Entiendo que "los grados de libertad se reducen de 4 → 3 → 2", pero ¿qué significa concretamente que "la condición de normalización reduce uno"?
🟡 Lina: Como existe la condición \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\), de los 4 parámetros reales de \(c_+\) y \(c_-\), uno queda determinado por los otros 3 — solo 3 son independientes. Por ejemplo, si \(|c_+|\) está determinado, entonces \(|c_-|\) se determina automáticamente como \(\sqrt{1 - |c_+|^2}\), ¿verdad?
🔵 Kai: ¿Qué significa que "multiplicar por una fase global no se puede distinguir"?
🟡 Lina: Las probabilidades se calculan como \(|c_+|^2\) o \(|c_-|^2\), ¿verdad? Si multiplicamos tanto \(c_+\) como \(c_-\) por el mismo \(e^{i\theta}\), entonces \(|e^{i\theta} c_+|^2 = |e^{i\theta}|^2 |c_+|^2 = 1 \cdot |c_+|^2 = |c_+|^2\), así que la probabilidad no cambia (\(|e^{i\theta}| = 1\) lo confirmamos en Cap. 4). Es decir, la fase global no afecta en absoluto los resultados de medición. Por eso se consideran como el mismo estado físico. Lo trataremos con más detalle en capítulos posteriores.
Significado físico del producto interno¶
🟡 Lina: Usando la relación de completitud, el significado de los coeficientes \(c_+\), \(c_-\) de la ecuación (5.4) se aclara. Si actuamos con la ecuación (5.9) por la izquierda sobre \(|\psi\rangle\):
Comparando:
⚪ Mei: Es decir, el coeficiente \(c_+\) es el producto interno entre el estado \(|\psi\rangle\) y el estado básico \(|+\rangle\). Esto coincide con la amplitud de probabilidad \(\langle+|\psi\rangle\) que aprendimos en Cap. 4.
🟡 Lina: Así es. El producto interno \(\langle+|\psi\rangle\) es "la amplitud de probabilidad de que una partícula en el estado \(|\psi\rangle\) sea encontrada como \(|+\rangle\) al medirla". Su módulo al cuadrado \(|\langle+|\psi\rangle|^2\) da la probabilidad. Las reglas de Cap. 4 han tomado aquí una forma concreta.
✅ Verificación de comprensión: Cuando el producto externo \(|+\rangle\langle+|\) actúa sobre el estado \(|\psi\rangle\), ¿qué se obtiene? ¿Cómo se llama esta operación?
Respuesta
Se obtiene \(|+\rangle\langle+|\psi\rangle = c_+|+\rangle\), extrayendo solo la componente \(|+\rangle\) del estado \(|\psi\rangle\). Esta operación se llama proyección (projection).
✅ Verificación de comprensión: Enuncia en una frase el significado físico de la relación de completitud \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1}\).
Respuesta
Significa que cualquier estado del sistema de espín 1/2 se puede describir completamente como una superposición de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\), y que estos dos estados básicos agotan el espacio de estados.
📝 Ejercicios:
- Usando la relación de completitud, demuestra que para cualquier estado normalizado \(|\psi\rangle\) se cumple \(|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = 1\) → Problema M-1. Derivar la condición de normalización a partir de la relación de completitud
5.5 Mediciones en diferentes direcciones — Cambio de base y amplitudes de probabilidad¶
🟡 Lina: Hasta ahora solo hemos considerado el aparato de Stern-Gerlach en la dirección \(z\). Pero también se puede rotar el aparato y orientar el campo magnético en la dirección \(x\) o \(y\). Lo que ocurre entonces — es la parte que toca el corazón de la mecánica cuántica.
Estados propios en la dirección \(x\)¶
🟡 Lina: Cuando se pasa por un aparato de Stern-Gerlach con campo magnético en la dirección \(x\), el haz también se divide en dos. El estado con \(S_x = +\hbar/2\) y el estado con \(S_x = -\hbar/2\). Los escribimos como \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\).
🔵 Kai: ¿Son diferentes de \(|+\rangle\)?
🟡 Lina: Diferentes. \(|+\rangle\) es el estado "arriba al medir en dirección \(z\)". \(|+\rangle_x\) es el estado "arriba al medir en dirección \(x\)". Son estados diferentes que corresponden a mediciones en diferentes direcciones.
🟡 Lina: Aquí viene una pregunta importante. ¿Cómo se escribe \(|+\rangle_x\) en la base \(z\), es decir, en términos de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\)? Pista: la dirección \(x\) y la dirección \(z\) son espacialmente equivalentes — ninguna es "especial".
🔵 Kai: ¿"Equivalentes", qué significa concretamente?
🟡 Lina: Que las leyes de la física no dependen de la orientación del espacio — si rotamos todo el aparato 90°, deberíamos obtener los mismos resultados experimentales. Así que "medir en dirección \(z\) una partícula con espín arriba en \(x\)" y "medir en dirección \(x\) una partícula con espín arriba en \(z\)" son esencialmente la misma situación — en ambos casos "se mide en una dirección perpendicular (90°) a la dirección donde el espín está definido". Por simetría, cuando se mide en una dirección perpendicular no hay razón para ir arriba ni para ir abajo, así que—
🔵 Kai: ¡Arriba y abajo con la misma probabilidad — 50% cada uno!
🟡 Lina: ¡Exacto! Que la probabilidad sea \(1/2\) significa que \(|c_+|^2 = |c_-|^2 = 1/2\), así que el módulo de ambos coeficientes es \(1/\sqrt{2}\). Los coeficientes tienen libertad de fase como \(e^{i\theta}/\sqrt{2}\), pero como se explicó en 5.4「Base, ortonormalidad y completitud — El espacio de estados bidimensional」, "multiplicar por la misma fase global no produce diferencia física", así que se permite elegir el primer componente como un valor real positivo. Aquí elegimos lo más simple: ambos reales y positivos:
¿Y \(|-\rangle_x\)? Como \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\) corresponden a resultados de medición diferentes, deben ser ortogonales entre sí.
🔵 Kai: La condición de ortogonalidad — es decir, el producto interno de \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\) es 0 — determina el signo. Si \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), sería igual a \(|+\rangle_x\), así que...
🟡 Lina: Así es. \(|-\rangle_x\) también debería dar 50%-50% al medir en \(z\) (la equivalencia entre \(x\) y \(z\) se aplica también a \(|-\rangle_x\)), así que \(|c_+|^2 = |c_-|^2 = 1/2\) y el módulo de ambos coeficientes es \(1/\sqrt{2}\). Escribiéndolo con reales: \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{b}{\sqrt{2}}|-\rangle\) (con \(b = \pm 1\)). Determina \(b\) usando la condición de ortogonalidad. El procedimiento es el mismo que cuando calculamos \(\langle+|\psi\rangle\) — se expande usando la linealidad del producto interno y se evalúa cada término con la ortonormalidad de las ecuaciones (5.6), (5.7).
🔵 Kai: A ver, tengo que calcular \({}_x\langle+|-\rangle_x\). Como \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)... al convertirlo en bra, ¿qué pasa con los coeficientes?
🟡 Lina: En general, al pasar al bra se toma el conjugado complejo de los coeficientes del ket — esto lo explicaré en detalle en 「Punto 1: Los estados son vectores」. Pero esta vez los coeficientes son \(1/\sqrt{2}\), que es un número real, así que al tomar el conjugado complejo el valor no cambia. Por eso se puede escribir directamente \({}_{x}\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\).
🔵 Kai: Entiendo. Entonces actúo esto sobre \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{b}{\sqrt{2}}|-\rangle\)... \(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}\langle+|-\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}\langle-|-\rangle\). Por la ortonormalidad, \(\langle+|+\rangle = \langle-|-\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = \langle-|+\rangle = 0\), así que \(\frac{1}{2} + \frac{b}{2} = 0\)... ¡\(b = -1\)!
🟡 Lina: Perfecto. Es decir:
🔵 Kai: Ya veo, la diferencia de signo se determina necesariamente por la condición de ortogonalidad.
🔵 Kai: En las ecuaciones se ve simple, pero pensándolo bien es extraño. "Definitivamente arriba" en la dirección \(x\), pero al medir en \(z\) es completamente 50-50.
🟡 Lina: Así es. Como el coeficiente es \(1/\sqrt{2}\), \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\). Es decir, si una partícula con espín arriba en la dirección \(x\) se mide en la dirección \(z\), \(+\hbar/2\) y \(-\hbar/2\) salen con igual probabilidad — 50% cada uno.
🔵 Kai: Ambos coeficientes son \(1/\sqrt{2}\) así que es exactamente mitad y mitad... ¿es decir que aunque la dirección \(x\) está definida, no se sabe nada sobre la dirección \(z\)?
🟡 Lina: Exacto. Esta es una característica esencial de la mecánica cuántica. \(S_x\) y \(S_z\) no pueden tener valores definidos simultáneamente. Si se define uno, el otro queda completamente indeterminado.
✅ Verificación de comprensión: Para una partícula \(|+\rangle_x\) (espín arriba en dirección \(x\)), ¿qué resultado da la medición de \(S_z\)? Explica la razón desde el punto de vista de la superposición de estados.
Respuesta
Como \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), se obtienen \(S_z = +\hbar/2\) y \(S_z = -\hbar/2\) cada uno con probabilidad \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\). Cuando el espín en dirección \(x\) está definido, la información sobre la dirección \(z\) queda completamente indeterminada.
Estados propios en la dirección \(y\)¶
🟡 Lina: ¿Y en la dirección \(y\)? Pensemos con la misma lógica que para \(x\). Como \(y\) y \(z\) también son espacialmente equivalentes, medir \(|+\rangle_y\) en dirección \(z\) da 50%-50% — es decir, el módulo de ambos coeficientes es \(1/\sqrt{2}\). Y \(|+\rangle_y\) y \(|-\rangle_y\) deben ser ortogonales.
🔵 Kai: Las mismas condiciones que para la dirección \(x\). Pero en la dirección \(x\) se resolvió con \(+1/\sqrt{2}\) y \(-1/\sqrt{2}\), ¿qué es diferente para la dirección \(y\)?
🟡 Lina: Buena duda. En realidad, \(|+\rangle_y\) debe ser un estado diferente tanto de \(|+\rangle_x\) como de \(|-\rangle_x\). ¿Por qué? Porque la dirección \(y\) y la dirección \(x\) también son direcciones espacialmente perpendiculares — la misma relación que entre \(z\) y \(x\) — así que, por exactamente la misma razón que argumentamos "si \(z\) y \(x\) son perpendiculares → 50%-50%", una partícula definida en dirección \(y\) también debería dar 50%-50% al medirla en dirección \(x\). Si \(|+\rangle_y\) fuera el mismo estado que \(|+\rangle_x\), medir en dirección \(x\) daría 100% \(+\hbar/2\), y no sería 50%-50%. Igualmente, si \(|+\rangle_y\) fuera el mismo que \(|-\rangle_x\), medir en \(x\) daría 100% \(-\hbar/2\) — tampoco sería 50%-50%. Así que \(|+\rangle_y\) debe ser diferente tanto de \(|+\rangle_x\) como de \(|-\rangle_x\). Sin embargo, busquemos pares ortonormales usando solo reales con módulo de coeficientes \(1/\sqrt{2}\). Cada coeficiente es alguno de \(\pm 1/\sqrt{2}\), así que los candidatos son \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\), \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\), \((-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\), \((-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\) — 4 en total.
🔵 Kai: Si hay 4, parece que se podría hacer una combinación diferente a la de la dirección \(x\)...
🟡 Lina: Pero resulta que no funciona. Recuerda — en 5.4「Base, ortonormalidad y completitud — El espacio de estados bidimensional」 dijimos que "multiplicar por la misma fase \(e^{i\theta}\) global no cambia la probabilidad, así que es el mismo estado físico". Usando la fórmula de Euler con \(\theta = \pi\): \(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1\), así que multiplicar por \(-1\) es lo mismo que "multiplicar por \(e^{i\theta}\) con fase \(\pi\)" — es decir, \(-1\) también es un tipo de fase. Así que multiplicar todo el estado por \(-1\) no produce diferencia física.
🔵 Kai: Espera un momento. No me queda intuitivo que \(-1\) sea una "fase"... \(-1\) es un número real normal, ¿no?
🟡 Lina: Buena duda. El punto es que "todo número complejo de módulo 1 se llama factor de fase". Los números complejos de la forma \(e^{i\theta}\) siempre satisfacen \(|e^{i\theta}| = 1\) — esto lo confirmamos en Cap. 4. Al revés, todo número complejo de módulo 1 se puede escribir en la forma \(e^{i\theta}\). Como \(|-1| = 1\), se puede escribir \(-1 = e^{i\pi}\), un legítimo factor de fase. Las probabilidades se calculan como \(|c|^2\), así que \(|(-1) \times c|^2 = |-1|^2 |c|^2 = 1 \times |c|^2 = |c|^2\) — no cambia en absoluto.
🔵 Kai: Ah, entiendo. Es decir, \((-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\) es simplemente \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\) multiplicado globalmente por \(-1\), ¿así que en términos de probabilidades es exactamente el mismo estado?
🟡 Lina: Exacto. Verifícalo — \(|-1/\sqrt{2}|^2 = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\), así que medir en dirección \(z\) o en dirección \(x\) da exactamente las mismas probabilidades. No existe ningún experimento que pueda distinguir los dos estados en principio — por eso se consideran "el mismo estado" físicamente. Igualmente, \((-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\) es \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\) multiplicado globalmente por \(-1\) — compruébalo: \((-1) \times (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}) = (-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\). Las probabilidades son \(|-1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\), \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\), exactamente iguales. Por la misma razón de antes, son físicamente el mismo estado.
Es decir, usando la libertad de fase global, se puede elegir que la primera componente sea positiva — por ejemplo, a \((-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\) le multiplicamos por \(-1\) y obtenemos \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\); a \((-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\) le multiplicamos por \(-1\) y obtenemos \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\). Así, los estados físicamente distinguibles son solo \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\) y \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\) — que son precisamente \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\). Es decir, dentro del rango de los reales solo se puede construir la base en dirección \(x\).
⚪ Mei: Con solo números reales no se puede representar una nueva dirección — por eso los números complejos son esencialmente necesarios.
🟡 Lina: Exacto. Por eso, para representar la dirección \(y\), los números complejos juegan un papel esencial:
🔵 Kai: ¡Apareció \(i\)! Es la unidad imaginaria. Claro, \(|i/\sqrt{2}|^2 = 1/2\) así que la condición de probabilidad se cumple, y como la fase es diferente de los estados en dirección \(x\), se pueden distinguir.
🟡 Lina: Sí. En la dirección \(x\) los coeficientes eran reales, pero en la dirección \(y\) aparece el imaginario \(i\). Esto no es casualidad. Para representar 3 direcciones independientes del espacio tridimensional en un espacio complejo bidimensional, los reales solos no bastan, se necesitan los complejos. Es una manifestación concreta de que el mundo de la mecánica cuántica "está hecho de amplitudes de probabilidad complejas".
⚪ Mei: Es decir, tanto en dirección \(x\) como en \(y\), al medir en \(z\) se obtiene 50%-50% — solo con las probabilidades no se pueden distinguir \(|+\rangle_x\) y \(|+\rangle_y\). ¿Para distinguirlos se necesita mirar la fase de la amplitud, no solo la probabilidad?
🟡 Lina: Exactamente. Solo mirando probabilidades son iguales. Pero las fases de las amplitudes son diferentes — \(1/\sqrt{2}\) e \(i/\sqrt{2}\) tienen el mismo módulo pero sus fases están desfasadas \(90°\). Esta diferencia de fase se manifiesta en experimentos de interferencia.
🔵 Kai: Ya veo... solo con probabilidades no se distinguen, pero con la amplitud — es decir, la información que incluye la fase — sí se distinguen.
🟡 Lina: Así es. Por eso la mecánica cuántica toma como base no la "probabilidad" sino la "amplitud de probabilidad".
✅ Verificación de comprensión: ¿Afecta al cálculo de probabilidades que los coeficientes de los estados propios en dirección \(y\) contengan el número imaginario \(i\)? Además, ¿dónde se manifiesta la diferencia con los estados propios en dirección \(x\)?
Respuesta
No afecta al cálculo de probabilidades (\(|i/\sqrt{2}|^2 = 1/2\), igual que para la dirección \(x\)). Sin embargo, como la fase de la amplitud difiere en \(90°\), la diferencia entre los estados propios de \(x\) e \(y\) se manifiesta en situaciones donde interviene la fase, como experimentos de interferencia.
Representación matricial del cambio de base¶
🟡 Lina: Resumamos las ecuaciones (5.11)–(5.12) en forma de matriz. Esta matriz tiene el papel de "transformar un estado escrito en la base \(x\) a la base \(z\)". Cada componente es el producto interno del "bra de la base \(z\) correspondiente a la fila" con el "ket de la base \(x\) correspondiente a la columna". Hagámoslo concretamente. La componente de la fila 1, columna 1 es \(\langle+|+\rangle_x\) — el producto interno del bra \(\langle+|\) de la base \(z\) con el ket \(|+\rangle_x\) de la base \(x\). De la ecuación (5.11), \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), así que \(\langle+|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Igualmente, la fila 2, columna 1 es \(\langle-|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Siguiendo este procedimiento para todas las componentes:
🔵 Kai: Cada componente es una amplitud. ¿Qué significa concretamente el \(1/\sqrt{2}\) en la posición \((1,1)\)?
🟡 Lina: \(\langle+|+\rangle_x = 1/\sqrt{2}\) es "la amplitud de medir una partícula con espín arriba en \(x\) en dirección \(z\) y obtener arriba". La matriz completa cumple el papel de matriz de cambio de base — un "diccionario de traducción" de una base a otra.
🔵 Kai: ¿Esto es como escribir las componentes de un vector en otros ejes de coordenadas, representado como una matriz?
🟡 Lina: Sí. Solo que a diferencia de las matrices reales ordinarias, las componentes pueden ser números complejos. Este tipo de matrices con componentes complejas tienen una propiedad especial llamada matriz unitaria (unitary matrix), que garantiza que la suma de probabilidades se conserva en 1. Los detalles los veremos en Cap. 11, pero por ahora recuerda que "el cambio de base se puede escribir como una matriz".
🔵 Kai: ¿Qué es "unitaria"? ¿En qué se diferencia de una matriz de rotación normal?
🟡 Lina: Las matrices de rotación eran "matrices con componentes reales que conservan la longitud", ¿verdad? Las matrices unitarias son la versión compleja — "matrices con componentes complejas que conservan la longitud del vector (= la suma de probabilidades)". Basta con recordar el nombre. El contenido lo veremos con detalle en Cap. 11.
✅ Verificación de comprensión: Al pasar una partícula en estado \(|+\rangle\) (espín arriba en dirección \(z\)) por un aparato de Stern-Gerlach en dirección \(x\), ¿cuál es la probabilidad de obtener \(S_x = +\hbar/2\)?
Respuesta
Queremos calcular \(|\langle+|+\rangle_x|^2\), que es lo mismo que \(|{}_x\langle+|+\rangle|^2\). Invirtiendo la ecuación (5.11) — expandiendo \(|+\rangle\) en la base \(x\): \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x\) (resolviendo inversamente las ecuaciones (5.11), (5.12)). Por lo tanto \({}_x\langle+|+\rangle = 1/\sqrt{2}\), y la probabilidad es \(1/2\).
📝 Ejercicios:
- Verifica que la ecuación (5.13) está normalizada (\({}_y\langle+|+\rangle_y = 1\)) y que \(|+\rangle_y\) y \(|-\rangle_y\) son ortogonales (\({}_y\langle+|-\rangle_y = 0\)) → Problema B-3. Acción del producto externo (operador de proyección)
5.6 Experimento de Stern-Gerlach secuencial — El corazón de la mecánica cuántica¶
🟡 Lina: Bien, usando las herramientas que hemos desarrollado, vamos a ver la característica más sorprendente de la mecánica cuántica. El experimento de Stern-Gerlach secuencial.
Experimento 1: Medir dos veces en la misma dirección¶
🟡 Lina: Primero, el caso más simple. Seleccionamos \(|+\rangle\) con un aparato en dirección \(z\), e inmediatamente lo pasamos por otro aparato en la misma dirección \(z\).
🔵 Kai: Obviamente todo va arriba, ¿no? Ya se confirmó que era "arriba".
🟡 Lina: Así es. La amplitud de probabilidad es \(\langle+|+\rangle = 1\). Se obtiene \(+\hbar/2\) con probabilidad 100%. Esto coincide también con la intuición clásica.
Experimento 2: Medición en 3 etapas \(z\) → \(x\) → \(z\)¶
🟡 Lina: Ahora viene lo central. Alineamos tres aparatos:
- Primer aparato (dirección \(z\)): Solo pasa \(|+\rangle\)
- Segundo aparato (dirección \(x\)): Solo pasa \(|+\rangle_x\)
- Tercer aparato (dirección \(z\)): Se observa si pasa como \(|+\rangle\)
🔵 Kai: A ver, primero se confirma arriba en \(z\), luego se confirma arriba en \(x\), y finalmente se mide otra vez en \(z\)... como la primera y la última medición son iguales, ¿todo pasa, no?
🟡 Lina: Clásicamente, eso es lo que se esperaría. Pero la respuesta de la mecánica cuántica es — solo pasa la mitad.
🔵 Kai: ¡¿Qué?! ¡¿Pero si al principio se confirmó "arriba en \(z\)"?!
🟡 Lina: Calculémoslo. El punto clave es que el segundo aparato está bloqueando \(|-\rangle_x\) — es decir, se ha realizado una medición que confirma que "pasó como \(|+\rangle_x\)".
Recuerda las reglas que aprendimos en Cap. 4. Si "no se determina por cuál camino pasó en el medio (no se pueden distinguir)", se suman las amplitudes. Pero cuando, como ahora, se mide en el medio y el camino queda determinado — es decir, se bloquea \(|-\rangle_x\) y se sabe que "pasó por \(|+\rangle_x\)" — ¿qué pasa? Como el bloqueo reduce el camino a uno solo, se aplica directamente la tercera regla de Cap. 4 (la amplitud de procesos consecutivos se multiplica). La amplitud total es el producto de las amplitudes de cada etapa:
La probabilidad es su módulo al cuadrado \(|1/2|^2 = 1/4\). Aquí coincide con "multiplicar las probabilidades de paso de cada etapa \(1/2 \times 1/2 = 1/4\)". De hecho esto no es casualidad — cuando solo hay un camino, por la propiedad del módulo \(|A \times B|^2 = |A|^2 \times |B|^2\), "elevar al cuadrado después de multiplicar amplitudes" y "multiplicar probabilidades" siempre dan el mismo resultado. Pero cuando hay dos o más caminos y las amplitudes se suman, la cosa cambia — porque \(|A + B|^2 \neq |A|^2 + |B|^2\), aparecen términos de interferencia y el resultado cambia. Comparando con el experimento 3, donde "no se bloquea" — es decir, donde los dos caminos coexisten e interfieren — esta diferencia se verá aún más clara.
🔵 Kai: ¿Por qué medir en el medio cambia a "multiplicar probabilidades"? La tercera regla era "multiplicar amplitudes", ¿no?
🟡 Lina: Buena pregunta. El punto es que "bloquear reduce el camino a uno". Recuerda la doble rendija — si tapas una rendija, el patrón de interferencia desaparece, ¿verdad? La interferencia requiere "sumar las amplitudes de dos caminos", pero si se bloquea uno, no hay con quién sumar. Así que la interferencia no ocurre.
🔵 Kai: Entiendo. Pero ¿cómo se conecta "no hay interferencia" con "multiplicar probabilidades"?
🟡 Lina: Piénsalo así. En el momento de pasar el segundo aparato, el estado de la partícula queda determinado como \(|+\rangle_x\) — la "memoria" de que antes era \(|+\rangle\) se borra. Así que para la partícula que entra al tercer aparato, el primer aparato es irrelevante — es como si empezara un nuevo experimento. Como cada etapa se convierte en un evento independiente, multiplicar probabilidades es la regla correcta.
🔵 Kai: "La memoria se borra"... es decir, después de pasar el segundo aparato, la información de que "al principio era arriba en \(z\)" se pierde completamente, y se reinicia desde el estado \(|+\rangle_x\).
🟡 Lina: Así es. Se ve claro al verificar con la ecuación — \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), así que la información en dirección \(z\) se ha "reseteado" a "mitad arriba y mitad abajo". No queda rastro en esta ecuación de que antes era \(|+\rangle\), ¿verdad? Ese es el significado matemático de "la memoria se borra". Calculando concretamente:
- Primera etapa: La amplitud de que el estado \(|+\rangle\) pase el segundo aparato como \(|+\rangle_x\) es \({}_x\langle+|+\rangle = 1/\sqrt{2}\), probabilidad \(1/2\)
- Segunda etapa: La amplitud de que el estado \(|+\rangle_x\) pase el tercer aparato como \(|+\rangle\) es \(\langle+|+\rangle_x = 1/\sqrt{2}\), probabilidad \(1/2\)
En resumen: cuando el estado se determina en el medio, la información de fase anterior se pierde. Si la fase se pierde, no hay interferencia. Si no hay interferencia, la regla correcta es multiplicar probabilidades independientemente.
⚪ Mei: Es decir, si no se bloquea, coexisten "la amplitud de pasar por \(|+\rangle_x\)" y "la amplitud de pasar por \(|-\rangle_x\)" y hay interferencia. Pero si se bloquea uno, el camino queda en uno solo y no hay con quién interferir. Comparando con el experimento 3 "sin bloqueo", esta diferencia debería verse claramente.
Ahora calculemos concretamente. Después de pasar el primer aparato, el estado es \(|+\rangle\).
Paso 1: Probabilidad de pasar el segundo aparato (dirección \(x\)) como \(|+\rangle_x\). La amplitud es:
(Verificación del cálculo: de la ecuación (5.11), \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), así que el bra correspondiente es \({}_x\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\) (como los coeficientes son reales, no cambian al tomar el conjugado complejo). Actuando sobre \(|+\rangle\): \({}_x\langle+|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 1/\sqrt{2}\). Además, en general se cumple \(\langle\alpha|\beta\rangle = \langle\beta|\alpha\rangle^*\) (al intercambiar el orden del producto interno se obtiene el conjugado complejo), pero como aquí todos los coeficientes son reales, \(\langle+|+\rangle_x = {}_x\langle+|+\rangle = 1/\sqrt{2}\), el mismo valor independientemente del orden.)
Por lo tanto, la probabilidad de paso es \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\). El estado de la partícula que pasa queda determinado como \(|+\rangle_x\).
Paso 2: Probabilidad de pasar el tercer aparato (dirección \(z\)) como \(|+\rangle\). La amplitud de encontrar \(|+\rangle\) a partir del estado \(|+\rangle_x\) es:
Por lo tanto, la probabilidad de paso es \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\).
Probabilidad total de paso: Como al pasar el segundo aparato el estado se resetea a \(|+\rangle_x\), los pasos 1 y 2 son eventos probabilísticos independientes entre sí. La probabilidad de eventos independientes se calcula como el producto:
Es decir, solo una cuarta parte de las partículas confirmadas inicialmente como arriba en \(z\) salen finalmente como arriba en \(z\).
🔵 Kai: ¿Adónde fueron las otras 3/4?
🟡 Lina: En el segundo aparato, la mitad del total es bloqueada como \(|-\rangle_x\) (se pierde \(1/2\)), y de la mitad restante, otra mitad se desvía hacia abajo como \(|-\rangle\) en el tercer aparato (se pierde \(1/4\) del total). En total \(1/2 + 1/4 = 3/4\) se eliminan en el camino.
⚪ Mei: Es decir, al intercalar la medición en dirección \(x\) en el medio, la información en dirección \(z\) que estaba definida al principio fue destruida.
🟡 Lina: Exactamente. Esta es la esencia de la medición en mecánica cuántica. En palabras de Feynman:
Una vez que se ha medido en otra dirección, la partícula "no recuerda" su estado anterior
🔵 Kai: Pero ¿por qué? ¿Medir no es simplemente "mirar"?
🟡 Lina: En mecánica cuántica, la medición cambia el estado del sistema. Que el segundo aparato haya dejado pasar solo \(|+\rangle_x\) significa que el estado fue re-preparado como \(|+\rangle_x\). Y como \(|+\rangle_x\) es una superposición igual de \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\), la información en dirección \(z\) queda completamente reseteada.
🔵 Kai: ...Es decir, el acto mismo de "seleccionar en dirección \(x\)" reescribe el estado en dirección \(z\) a mitad y mitad entre \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\). Por eso en la última medición en \(z\) solo pasa la mitad. "Mirar" reescribe el estado. ...Pero, ¿no habrá alguna manera de "mirar suavemente" — es decir, obtener información sin destruir el estado?
🟡 Lina: Aguda duda. Pero en mecánica cuántica, para conocer la dirección del espín es necesario hacer interactuar la partícula con el aparato, y esa interacción cambia el estado. Los límites de "medir sin destruir" se discutirán cuantitativamente como relación de incertidumbre en Cap. 8.
🔵 Kai: Entendido. Por ahora acepto que "la medición cambia el estado" y seguimos adelante.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de Stern-Gerlach secuencial, ¿por qué la medición intermedia en dirección \(x\) "destruye" la información en dirección \(z\)?
Respuesta
Al seleccionar \(|+\rangle_x\) en la dirección \(x\), el estado se re-prepara como \(|+\rangle_x\). Como \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), el espín en dirección \(z\) queda como una superposición de \(+\hbar/2\) y \(-\hbar/2\) con igual probabilidad, y la información en dirección \(z\) que estaba definida al principio se resetea completamente.
Experimento 3: Pasar todos los haces en dirección \(x\)¶
🟡 Lina: Para comparar, consideremos el caso en que no se bloquea nada en el segundo aparato. Se pasa por el aparato en dirección \(x\), pero se dejan pasar tanto \(|+\rangle_x\) como \(|-\rangle_x\).
🔵 Kai: Si no se bloquea nada, ¿no es lo mismo que si no hubiera aparato?
🟡 Lina: ¡Exacto! Intuitivamente sí. Pero lo importante es confirmar con el cálculo de "sumar amplitudes" que realmente es así — queremos ver en qué parte de las ecuaciones aparece la diferencia con el experimento 2. En las reglas de amplitud de Cap. 4, expandiendo \(|+\rangle\) en la base \(x\):
(Sumando las ecuaciones (5.11) y (5.12): \(|+\rangle_x + |-\rangle_x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\right) = \frac{2}{\sqrt{2}}|+\rangle = \sqrt{2}|+\rangle\). Dividiendo ambos lados por \(\sqrt{2}\): \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_x + |-\rangle_x)\).)
Y de hecho, la relación de completitud se cumple no solo para la base \(z\), sino para cualquier base ortonormal. La razón es la misma — \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\) también son ortonormales, y con estos dos se cubre todo el espacio bidimensional, así que al proyectar cualquier estado sobre estos dos y sumar, se recupera el original. Aquí \({}_x\langle+|\) es el bra correspondiente a \(|+\rangle_x\), y \({}_x\langle-|\) es el bra correspondiente a \(|-\rangle_x\) (la misma relación que \(\langle+|\) era el bra de \(|+\rangle\) en la base \(z\)). Escribiendo la relación de completitud en la base \(x\):
Esta es la expresión de que "\(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\) también agotan el espacio de estados". Pasar todos los haces es equivalente a aplicar el operador identidad \(\mathbf{1}\) — es decir, no hacer nada. En este caso, en el tercer aparato se pasa con 100%.
⚪ Mei: Entiendo. El estado cambia porque se bloquea; si se deja pasar todo, el estado no cambia — la ecuación (5.20) lo garantiza.
🔵 Kai: "Pasar todo" y "no hacer nada" son lo mismo... pero ¿cómo se confirma esto con el cálculo de amplitudes? En el experimento 2 la probabilidad era \(1/4\), y quiero ver si realmente vuelve a \(1\).
🟡 Lina: Buena pregunta. Hagámoslo concretamente. Calculemos la amplitud total de obtener \(|+\rangle\) en el tercer aparato después de pasar todo en el segundo. Recuerda la segunda regla de Cap. 4 — "sumar las amplitudes de caminos indistinguibles". En este caso, la partícula tiene dos caminos en el segundo aparato — pasar por \(|+\rangle_x\) y pasar por \(|-\rangle_x\) — pero como ninguno está bloqueado, son indistinguibles. Así que sumamos las amplitudes de los dos caminos.
Matemáticamente, "no bloquear nada" es lo mismo que insertar el operador identidad \(\mathbf{1}\). Al sustituir la relación de completitud de la ecuación (5.20), la forma "sumar las amplitudes de dos caminos" sale automáticamente:
Leamos cada factor de las ecuaciones (5.11), (5.12). \(\langle+|+\rangle_x\) es "la amplitud de medir una partícula en estado \(|+\rangle_x\) en dirección \(z\) y obtener \(|+\rangle\)", que es \(1/\sqrt{2}\). \({}_x\langle+|+\rangle\) es "la amplitud de medir una partícula en estado \(|+\rangle\) en dirección \(x\) y obtener \(|+\rangle_x\)", que es igualmente \(1/\sqrt{2}\).
🔵 Kai: ¿Los otros dos también de la misma forma?
🟡 Lina: Sí. Calculemos \(\langle+|-\rangle_x\). De la ecuación (5.12), \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), así que:
Ahora \({}_x\langle-|+\rangle\) — "la amplitud de que \(|+\rangle\) sea encontrado como \(|-\rangle_x\)". En general se cumple \(\langle\alpha|\beta\rangle = \langle\beta|\alpha\rangle^*\) (al intercambiar el orden del producto interno se obtiene el conjugado complejo), así que si conocemos \(\langle+|-\rangle_x\), entonces \({}_x\langle-|+\rangle = \langle+|-\rangle_x^*\). Como \(\langle+|-\rangle_x = 1/\sqrt{2}\) es real, \({}_x\langle-|+\rangle = (1/\sqrt{2})^* = 1/\sqrt{2}\) inmediatamente. Verifiquemos también con cálculo directo. De la ecuación (5.12), \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\), así que el bra correspondiente es \({}_x\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\) (como los coeficientes son reales, no necesitamos conjugado complejo). Actuando sobre \(|+\rangle\):
Efectivamente coincide con \(\langle+|-\rangle_x^* = 1/\sqrt{2}\). (Método alternativo: expandiendo \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x\) según la ecuación (5.19) y usando la ortonormalidad de la base \(x\), se obtiene el mismo resultado.)
🔵 Kai: Todos son \(1/\sqrt{2}\). Entonces sustituyendo...
Por lo tanto:
🔵 Kai: ¡Dio exactamente 1! Las amplitudes de los dos caminos sumadas dan 1. Pero espera — en el experimento 2 multiplicamos probabilidades y dio \(1/2 \times 1/2 = 1/4\). Aquí estamos multiplicando amplitudes y luego sumando. ¿La diferencia es "si se midió en el medio o no"?
🟡 Lina: ¡Exacto! En el experimento 2, el segundo aparato bloqueó \(|-\rangle_x\) — es decir, "por cuál pasó" quedó determinado. Así que tomamos la probabilidad en cada etapa y la multiplicamos. Pero esta vez ambos pasan, así que "no se sabe por cuál pasó" — por eso se suman las amplitudes. La diferencia entre estos dos experimentos la vamos a comparar en una figura enseguida.
🟡 Lina: Pero si se bloquea uno — como vimos en el experimento 2 — la interferencia desaparece y la probabilidad cae a \(1/4\).
🔵 Kai: ¡Esto tiene la misma estructura que el experimento de la doble rendija! Si se cierra una rendija, el patrón de interferencia desaparece. Pero en la doble rendija eran "dos caminos separados espacialmente", mientras que aquí es el "estado interno del espín" algo invisible lo que interfiere — ¿la interferencia no se limita a caminos espaciales?
🟡 Lina: Exactamente. Esta es la universalidad de las leyes de Feynman que aprendimos en Cap. 4 — "sumar amplitudes de caminos indistinguibles → interferencia", "distinguirlos → multiplicar probabilidades → sin interferencia". Lo que determina si hay interferencia o no, no es si los caminos están separados espacialmente, sino si son distinguibles o no — todo se reduce a este punto.
⚪ Mei: Es decir, el experimento secuencial de Stern-Gerlach es "un experimento de doble rendija en el mundo del espín". Y la relación de completitud \(|+\rangle_x{}_{x}\langle+| + |-\rangle_x{}_{x}\langle-| = \mathbf{1}\) garantiza matemáticamente que "pasar todo = no hacer nada", así que la razón por la que la interferencia se restaura completamente también es clara.
🔵 Kai: ¿Hay una figura donde se pueda comparar de un vistazo la diferencia entre los aparatos de los experimentos 1, 2 y 3?
🟡 Lina: Mira Fig. 5.2「Comparación de experimentos de Stern-Gerlach secuenciales. Comparación de tres configuraciones experimentales. (a) Un haz sin seleccionar del horno (orientación de espín aleatoria) se pasa por SG\(_z\) y se divide en 2 manchas. (b) Se extrae \(|+\rangle\) con SG\(_z\) y se pasa de nuevo por SG\(_z\): pasa al 100% (experimento 1). (c) Se intercala SG\(_x\) y se selecciona solo \(|+\rangle_x\): en el último SG\(_z\) vuelve a ser 50:50」. (a) es el experimento básico de Stern-Gerlach que vimos en la primera sección — el haz que sale del horno (estado sin seleccionar con orientación de espín aleatoria) se divide en 2. (b) es el experimento 1 — se selecciona \(|+\rangle\) con SG\(_z\) y se pasa de nuevo por SG\(_z\): pasa al 100%. (c) es el experimento 2 — intercalando SG\(_x\) y seleccionando solo \(|+\rangle_x\), en el último SG\(_z\) vuelve a ser 50:50. Se ve de un vistazo que la medición en dirección \(x\) borra la información en \(z\). La comparación con el experimento 3 (sin bloqueo) la mostraré enseguida en otra figura.
Fig. 5.2: Comparación de experimentos de Stern-Gerlach secuenciales. Comparación de tres configuraciones experimentales. (a) Un haz sin seleccionar del horno (orientación de espín aleatoria) se pasa por SG\(_z\) y se divide en 2 manchas. (b) Se extrae \(|+\rangle\) con SG\(_z\) y se pasa de nuevo por SG\(_z\): pasa al 100% (experimento 1). (c) Se intercala SG\(_x\) y se selecciona solo \(|+\rangle_x\): en el último SG\(_z\) vuelve a ser 50:50 — la medición en dirección \(x\) borra la información en dirección \(z\) (experimento 2). {: #fig-qm-ch5-sequential-stern-gerlach } 🔵 Kai: ¿Hay también una figura para comparar de un vistazo la diferencia entre los experimentos 2 y 3?
🟡 Lina: Mira Fig. 5.3「Comparación entre interferencia y bloqueo. Izquierda: Experimento 2 (un camino bloqueado)」. El lado izquierdo es el experimento 2 — con un camino bloqueado, se multiplican las probabilidades de cada etapa y el total es \(1/4\). El lado derecho es el experimento 3 — sin bloqueo, las amplitudes de los dos caminos se suman e interfieren, y la probabilidad de paso vuelve a \(1\).
Fig. 5.3: Comparación entre interferencia y bloqueo. Izquierda: Experimento 2 (un camino bloqueado) — se multiplican las probabilidades en cada etapa y la probabilidad total de paso es \(1/4\). Derecha: Experimento 3 (sin bloqueo) — se suman las amplitudes de los dos caminos, y por interferencia la probabilidad de paso es \(1\) (100%).
⚪ Mei: Mirando esta figura, la diferencia entre "sumar amplitudes" y "multiplicar probabilidades" en el lado izquierdo y derecho es obvia. Que el resultado sea \(1/4\) versus \(1\) con una diferencia tan grande, solo por si se midió en el medio o no.
🟡 Lina: Así es. Como muestra esta figura, "si se midió en el medio o no" cambia el resultado dramáticamente. En la doble rendija, las amplitudes del "camino por la rendija A" y del "camino por la rendija B" interferían. Aquí, las amplitudes del "camino por \(|+\rangle_x\)" y del "camino por \(|-\rangle_x\)" interfieren y determinan el resultado. Si se bloquea uno, la interferencia desaparece y el resultado cambia — la estructura es exactamente la misma. Y la relación de completitud de la ecuación (5.20) garantiza matemáticamente que "pasar todo = no hacer nada", así que la razón por la que la interferencia se restaura completamente también es clara.
⚪ Mei: Es decir, los "rendija A / B" de la doble rendija corresponden aquí a "\(|+\rangle_x\) / \(|-\rangle_x\)", y la estructura es la misma.
✅ Verificación de comprensión: Cuando no se bloquea nada en el segundo aparato (dirección \(x\)) y se dejan pasar todos los haces, ¿a qué es equivalente esta operación desde el punto de vista de la relación de completitud?
Respuesta
Como \(|+\rangle_x{}_{x}\langle+| + |-\rangle_x{}_{x}\langle-| = \mathbf{1}\) (operador identidad), pasar todos los haces es equivalente a "no hacer nada". Por lo tanto el estado no cambia, y finalmente se obtiene \(|+\rangle\) con probabilidad del 100%.
✅ Verificación de comprensión: En el experimento secuencial \(z\) → \(x\) → \(z\), ¿cuál es la probabilidad de obtener \(|+\rangle\) al final cuando el segundo aparato (dirección \(x\)) solo deja pasar \(|+\rangle_x\), y cuando no se bloquea nada, respectivamente?
Respuesta
Caso donde solo pasa \(|+\rangle_x\): probabilidad de paso del segundo aparato \(1/2\), probabilidad de paso del tercer aparato \(1/2\), total \(1/4\). Caso sin bloqueo: las amplitudes interfieren sumando a 1, probabilidad \(1\) (100% de paso).
📝 Ejercicios:
- En un experimento secuencial \(z\) → \(y\) → \(z\), cuando el segundo aparato (dirección \(y\)) solo deja pasar \(|+\rangle_y\), calcula la probabilidad de obtener \(|+\rangle\) al final → Problema B-6. Obtener probabilidades a partir de amplitudes de probabilidad
5.7 Estructura del espacio de estados — El germen del espacio de Hilbert¶
🟡 Lina: Repasemos la discusión hasta aquí y organicemos qué tipo de estructura matemática tiene la mecánica cuántica.
🔵 Kai: Por favor. Han salido muchas cosas y estoy un poco confundido.
🟡 Lina: No te preocupes. Los puntos esenciales son 4.
Punto 1: Los estados son vectores¶
🟡 Lina: El estado de una partícula de espín 1/2 se especifica por un par de dos números complejos \((c_+, c_-)\). Esto es un elemento de un espacio vectorial complejo bidimensional — es decir, un vector.
El lado derecho es la representación en vector columna. Corresponde a asociar \(|+\rangle\) con \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) y \(|-\rangle\) con \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).
🔵 Kai: ¿Por qué se usa \(\doteq\) en vez de \(=\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. \(|\psi\rangle\) es un vector de estado abstracto, el "cuerpo" que no depende de la elección de base. En cambio, el vector columna \(\begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix}\) es la "representación en componentes" cuando se elige la base \(z\) — si se elige la base \(x\), los valores numéricos de las componentes cambian. Por eso se usa \(\doteq\) con el significado de "representación después de elegir una base". Es parecido a cómo el mismo terreno se ve diferente al cambiar la proyección de un mapa. En adelante seguiremos usando este símbolo.
🔵 Kai: ¿Y el bra \(\langle\psi|\) cómo se corresponde con el vector columna?
🟡 Lina: El bra es un vector fila, con las componentes tomando el conjugado complejo. El conjugado complejo, como vimos en Cap. 4, es tomar un número complejo \(z = a + bi\) e invertir el signo de la parte imaginaria: \(z^* = a - bi\):
🟡 Lina: ¿Por qué se toma el conjugado complejo? Porque si no, el "producto interno consigo mismo" no sería un número real positivo. Si calculamos \(\langle\psi|\psi\rangle\): \(c_+^* c_+ + c_-^* c_- = |c_+|^2 + |c_-|^2\) — aquí \(c^* c = |c|^2\) es la relación que confirmamos en Prólogo. Esta es la suma de probabilidades, así que debe ser necesariamente un número real positivo. Si no tomáramos el conjugado complejo e hiciéramos \(c_+ \cdot c_+ + c_- \cdot c_-\), cuando \(c_+\) es complejo podría resultar negativo o imaginario, ¿verdad?
🔵 Kai: Entiendo, el conjugado complejo es necesario para que la probabilidad sea un número real positivo.
🟡 Lina: Así es. En general, el producto interno es \(\langle\phi|\psi\rangle = \phi_1^* \psi_1 + \phi_2^* \psi_2\) — se multiplican los conjugados complejos de las componentes del lado izquierdo por las componentes del lado derecho, y se suman. En lenguaje de matrices, es el producto del vector fila \((\phi_1^*,\; \phi_2^*)\) por el vector columna \(\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}\).
🔵 Kai: Déjame verificar. Por ejemplo, si \(|\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ i/\sqrt{2} \end{pmatrix}\), entonces \(\langle\psi| \doteq (1/\sqrt{2},\; -i/\sqrt{2})\), ¿verdad? Porque el conjugado complejo de \(i\) es \(-i\).
🟡 Lina: Perfecto. Y \(\langle\psi|\psi\rangle = (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (-i/\sqrt{2})(i/\sqrt{2}) = 1/2 + 1/2 = 1\). Para verificar el segundo término: \((-i) \times i = -(i \times i) = -i^2 = -(-1) = 1\), así que \((−i/\sqrt{2})(i/\sqrt{2}) = 1 \times (1/2) = 1/2\).
⚪ Mei: Es satisfactorio que dé exactamente 1. Ahora siento la razón de tomar el conjugado complejo.
Punto 2: El producto interno da la amplitud de probabilidad¶
🟡 Lina: El producto interno \(\langle\phi|\psi\rangle\) de dos estados \(|\psi\rangle\) y \(|\phi\rangle\) es la amplitud de probabilidad de que una partícula en \(|\psi\rangle\) sea encontrada como \(|\phi\rangle\). La probabilidad es \(|\langle\phi|\psi\rangle|^2\).
Punto 3: La elección de base no es única¶
🟡 Lina: \(\{|+\rangle, |-\rangle\}\) es la base en dirección \(z\). \(\{|+\rangle_x, |-\rangle_x\}\) es la base en dirección \(x\). Ambas son ortonormales y completas — es decir, ambas son "bases correctas". La física no depende de la elección de base.
Punto 4: La medición corresponde a la elección de base¶
🟡 Lina: Medir \(S_z\) es proyectar sobre la base \(z\). Medir \(S_x\) es proyectar sobre la base \(x\). La medición "colapsa" el estado a uno de los vectores de base.
⚪ Mei: Es decir, resumiendo — los estados son vectores, el producto interno da la amplitud de probabilidad, y la medición corresponde a la proyección sobre una base. Estos 4 puntos están todos conectados.
🟡 Lina: Exacto. Y a toda esta estructura — "un espacio vectorial complejo con producto interno definido" — en matemáticas se le llama espacio de Hilbert. El sistema de espín 1/2 de hoy es un espacio de Hilbert bidimensional. A partir de Cap. 7, cuando tratemos funciones de onda, aparecerán espacios de Hilbert de dimensión infinita, pero la estructura es esencialmente la misma.
🔵 Kai: ¿De bidimensional a dimensión infinita...?
🟡 Lina: Sí. Pero no te preocupes. Las reglas de "base ortonormal", "relación de completitud", "producto interno = amplitud", "proyección = medición" que aprendimos hoy en 2 dimensiones se usan tal cual aunque aumente la dimensión. Por eso es importante grabar la estructura en el sistema bidimensional más simple.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significan los 4 puntos esenciales de la estructura matemática de la mecánica cuántica (estado, producto interno, base, medición)? Enúncialos brevemente.
Respuesta
(1) Los estados se representan como vectores (elementos de un espacio vectorial complejo). (2) El producto interno \(\langle\phi|\psi\rangle\) da la amplitud de probabilidad. (3) La elección de base no es única: hay bases ortonormales diferentes para cada dirección de medición. (4) La medición corresponde a la operación de proyectar el estado sobre la base elegida.
Resumen de la representación matricial¶
🟡 Lina: Finalmente, resumo la representación en vectores columna en la base \(z\):
🔵 Kai: Es interesante que solo la dirección \(y\) tenga el número imaginario \(i\).
🟡 Lina: Sí. Para representar las 3 direcciones del espacio tridimensional en un espacio complejo bidimensional, se necesitan tanto "coeficientes reales" como "coeficientes imaginarios". Aquí se ve una parte de la razón por la que los números complejos son indispensables en mecánica cuántica. En Fig. 5.4「Vectores de base del espín 1/2」 dibujé cómo "apunta" cada vector de base cuando se toma la base \(z\) como ejes coordenados. La base \(x\) apunta en una dirección rotada 45° dentro del plano real, pero la base \(y\) tiene componente imaginaria así que no se puede representar completamente solo en el plano real — en la figura lo dibujo por conveniencia, pero la verdadera "dirección" solo se entiende incluyendo el plano complejo.
Fig. 5.4: Vectores de base del espín 1/2. Cuando se toma la base \(z\) \(\{|+\rangle, |-\rangle\}\) como ejes coordenados, la base \(x\) apunta en una dirección rotada 45°. La base \(y\) tiene componente imaginaria por lo que no se puede representar completamente solo en el plano real.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa que el espacio de estados del sistema de espín 1/2 sea un "espacio de Hilbert bidimensional"?
Respuesta
Significa que cualquier estado de espín se puede expresar como combinación lineal con coeficientes complejos de dos vectores de base ortonormales (por ejemplo \(|+\rangle\) y \(|-\rangle\)), y es un espacio vectorial complejo con producto interno definido.
📝 Ejercicios:
- Verifica que \(|+\rangle_x\) y \(|-\rangle_x\) de la ecuación (5.24) son ortonormales usando el producto interno de vectores columna (\(\langle a|b\rangle = a_1^* b_1 + a_2^* b_2\)) → Problema B-2. Cálculo del producto interno
Resumen y perspectivas¶
🟡 Lina: Repasemos el contenido de hoy. Resumo los conceptos principales en Tabla 5.2「Resumen de conceptos principales del @chapter」.
Tabla 5.2: Resumen de conceptos principales del Cap. 5
| Concepto | Contenido |
|---|---|
| Experimento de Stern-Gerlach | El haz de átomos de plata se divide en 2 → discretización del espín |
| Espín | Momento angular intrínseco de la partícula. No es una "rotación" clásica |
| Vector de estado \(\vert\psi\rangle\) | Elemento del espacio vectorial complejo que representa el estado cuántico |
| Base \(\vert+\rangle, \vert-\rangle\) | Conjunto de estados básicos ortonormales. Diferente para cada dirección de medición |
| Producto interno \(\langle\phi\vert\psi\rangle\) | Amplitud de probabilidad. \(\vert\langle\phi\vert\psi\rangle\vert^2\) es la probabilidad |
| Relación de completitud | \(\vert+\rangle\langle+\vert + \vert-\rangle\langle-\vert = \mathbf{1}\) |
| Medición | Operación de proyectar el estado sobre una base. Destruye la información de otras direcciones |
🔵 Kai: Lo que más me sorprendió fue que después de confirmar la dirección \(z\), si se mide en dirección \(x\), la información en \(z\) se borra. Pero al revés, ¿no hay manera de medir \(z\) y \(x\) simultáneamente? Por ejemplo, si se inclina el aparato a 45°, ¿no se podría obtener información "intermedia" de \(z\) y \(x\)?
🟡 Lina: Buena idea. Pero si inclinas el aparato a 45°, eso es medir "la componente de espín en la dirección de 45°" — no estás midiendo \(z\) y \(x\) "simultáneamente". El resultado sigue siendo de 2 valores \(\pm\hbar/2\), y al quedar definido el espín en esa dirección, la información en las direcciones \(z\) y \(x\) queda indeterminada.
⚪ Mei: Es decir, no importa en qué dirección orientes el aparato, solo puedes medir "la componente en esa dirección", y la información de las otras direcciones se pierde.
🔵 Kai: Pero ¿por qué no se puede "definir simultáneamente"? Debe haber alguna razón profunda...
🟡 Lina: Esa duda toca el núcleo. "Las componentes de espín en diferentes direcciones no pueden estar definidas simultáneamente" — esta propiedad, matemáticamente, se debe a las relaciones de conmutación. Las matrices que representan \(S_x\) y \(S_z\) "dan resultados diferentes al intercambiar el orden de multiplicación" — esta no-conmutatividad es la raíz de la incertidumbre. Lo formularemos cuantitativamente como relación de incertidumbre en Cap. 8.
🔵 Kai: "El resultado cambia al intercambiar el orden de multiplicación"... en el instituto también aprendimos que el orden importa en la multiplicación de matrices, pero que eso se conecte con la incertidumbre física es sorprendente. Entonces, al revés, ¿si hubiera un par de cantidades físicas donde "el resultado no cambia al intercambiar el orden", esas podrían estar definidas simultáneamente?
🟡 Lina: Exactamente. Ese es uno de los temas centrales de Cap. 8. Espéralo con ganas.
Adelanto del próximo capítulo¶
🟡 Lina: En esta ocasión obtuvimos las herramientas para describir "el estado en un instante dado". Pero lo que realmente queremos saber en física es cómo cambia el estado con el tiempo, ¿verdad?
🔵 Kai: Cierto. ¿Eso significa que los coeficientes \(c_+\) y \(c_-\) del vector de estado cambian con el tiempo?
🟡 Lina: Exacto. En el próximo Cap. 6, trataremos la evolución temporal del sistema de dos estados. Concretamente, veremos cómo el átomo de nitrógeno en la molécula de amoníaco (NH₃) se mueve cuánticamente entre las posiciones "arriba" y "abajo" — una oscilación cuántica. Y el dispositivo que utiliza esta oscilación es el máser (maser) — el antecesor del láser.
⚪ Mei: Si a la "descripción del estado" de hoy le añadimos la "regla de evolución temporal", podremos hacer predicciones.
🟡 Lina: Así es. Las reglas de amplitud de probabilidad de Cap. 4, los vectores de estado y bases de Cap. 5, y la evolución temporal de Cap. 6 — cuando estas tres piezas se reúnen, la mecánica cuántica comienza por fin a funcionar como un "modelo predictivo".
Referencias¶
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2021 — Ch.1: Estructura que introduce vectores de estado, operadores y medición partiendo del experimento de Stern-Gerlach. Referencia principal de este capítulo.
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Basic Books — Ch.5–6: "Spin One" / "Spin One-Half" — Discusión detallada del experimento de Stern-Gerlach para sistemas de espín 1 y derivación de las matrices de rotación para espín 1/2.
- D. J. Griffiths, D. F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2018 — Ch.4.4: Introducción del espín y matrices de Pauli.
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