Saltar a contenido

Cap. 4 Ejercicios

← Volver al capítulo　|　Ver soluciones

Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Valor absoluto y conjugado complejo de números complejos

Para cada uno de los siguientes números complejos, obtén (a) el conjugado complejo \(z^*\), (b) el valor absoluto \(|z|\), (c) \(z \cdot z^*\).

  1. \(z = 1 + i\)
  2. \(z = 3 - 4i\)
  3. \(z = -2i\)
  4. \(z = 5\)
Pista

Cuando \(z = a + bi\), utiliza \(z^* = a - bi\), \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(z \cdot z^* = a^2 + b^2 = |z|^2\).

→ Ver solución

B-2. Multiplicación de números complejos y fase

Calcula los siguientes productos en la forma \(a + bi\).

  1. \((1 + i)(1 - i)\)
  2. \((2 + 3i)(1 + 2i)\)
  3. \(i \cdot (3 + 4i)\)
  4. \((1 + i)^2\)
Pista

Expande normalmente y sustituye \(i^2 = -1\). Calcula siguiendo el procedimiento de la ecuación (4.2).

→ Ver solución

B-3. Conversión a forma polar

Expresa los siguientes números complejos en forma polar \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Determina \(r\) y \(\theta\)（\(0 \leq \theta < 2\pi\)）respectivamente.

  1. \(z = 1 + i\)
  2. \(z = -\sqrt{3} + i\)
  3. \(z = -2\)
  4. \(z = 3i\)
Pista

\(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\theta = \arctan(b/a)\) (teniendo cuidado con el cuadrante). Es conveniente dibujar el punto en el plano complejo para verificar el ángulo.

→ Ver solución

B-4. Multiplicación en forma polar

Dado \(z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})\) y \(z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})\):

  1. Expresa el producto \(z_1 \cdot z_2\) en forma polar.
  2. Convierte el producto \(z_1 \cdot z_2\) a la forma \(a + bi\).
Pista

Usa la ecuación (4.8): los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Ten en cuenta que \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}\).

→ Ver solución

B-5. Cálculo del término de interferencia

Se dan dos amplitudes de probabilidad \(\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\theta}\).

  1. Expresa \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) en términos de \(\theta\).
  2. Calcula la probabilidad \(P\) para cada uno de los casos \(\theta = 0, \, \pi/2, \, \pi\).
  3. ¿Cuánto vale la probabilidad si se suman las probabilidades de forma clásica, \(P_{\text{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)?
Pista

Usa la ecuación (4.14). Se tiene \(|\phi_1| = |\phi_2| = \frac{1}{\sqrt{2}}\) y la diferencia de fase es \(\delta = \theta\). Sustituye y calcula \(P = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\).

→ Ver solución

B-6. Conjugado complejo y términos de interferencia

Dados \(\phi_1 = 2e^{i\pi/4}\) y \(\phi_2 = 3e^{-i\pi/4}\):

  1. Calcula \(\phi_1 \phi_2^*\).
  2. Calcula el término de interferencia \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\) y verifica que es un número real.
  3. Obtén la probabilidad \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\).
Pista

Como \(\phi_2^* = 3e^{+i\pi/4}\), se tiene \(\phi_1 \phi_2^* = 2 \cdot 3 \cdot e^{i\pi/4} \cdot e^{i\pi/4} = 6e^{i\pi/2}\). También puedes utilizar la ecuación (4.13).

→ Ver solución

B-7. Notación de Dirac y la tercera regla

Una partícula viaja desde una fuente \(s\), pasando por la rendija \(k\) (\(k = 1, 2, 3\)), hasta llegar a la posición del detector \(x\). Dado que las amplitudes de cada etapa se proporcionan a continuación, calcula la amplitud de la trayectoria completa a través de la rendija \(k\): \(\phi_k = \langle x | k \rangle \langle k | s \rangle\).

\(k\) \(\langle k \mid s \rangle\) \(\langle x \mid k \rangle\)
1 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(e^{i\pi/3}\)
2 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(e^{i\pi}\)
3 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(e^{i5\pi/3}\)
Pista

Usa la tercera regla (multiplicación). \(\phi_k = \langle x | k \rangle \cdot \langle k | s \rangle\). En la multiplicación de un número complejo por un número real, el real modifica el valor absoluto y la fase se mantiene igual.

→ Ver solución

B-8. Suma de amplitudes y probabilidad

Suma las \(\phi_1, \phi_2, \phi_3\) obtenidas en D7 usando la segunda regla (suma) y encuentra la amplitud total \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3\). Además, aplica la primera regla para calcular la probabilidad \(P = |\phi|^2\).

Pista

Conviene convertir cada \(\phi_k\) a la forma \(a + bi\) antes de sumar. Usa \(e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\), \(e^{i\pi} = -1\), \(e^{i5\pi/3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\).

→ Ver solución

Intermedio

M-1. Derivación de la fórmula general del término de interferencia

Supón que existen \(N\) caminos indistinguibles y que la amplitud de cada camino está dada por \(\phi_k\) (\(k = 1, 2, \ldots, N\)).

  1. Expande la probabilidad \(P = \left|\sum_{k=1}^{N} \phi_k \right|^2\) y demuestra que
\[P = \sum_{k=1}^{N} |\phi_k|^2 + \sum_{j \neq k} \phi_j \phi_k^*\]

  1. Explica por qué el número de términos de interferencia (términos cruzados) es \(N(N-1)\).

  2. Si el valor absoluto de todas las amplitudes es igual, \(|\phi_k| = A\), y las diferencias de fase entre \(\phi_k\) y \(\phi_j\) (\(j \neq k\)) están distribuidas aleatoriamente, explica cualitativamente por qué la contribución de los términos de interferencia es en promedio igual a cero.

Pista

Separa \(\left|\sum_k \phi_k\right|^2 = \left(\sum_j \phi_j\right)\left(\sum_k \phi_k\right)^* = \sum_j \sum_k \phi_j \phi_k^*\) en los casos \(j = k\) y \(j \neq k\) y reorganiza. Si las fases son aleatorias, el promedio de \(\cos\delta_{jk}\) es 0.

→ Ver solución

M-2. Patrón de interferencia de \(N\) rendijas equidistantes con igual amplitud

\(N\) rendijas están dispuestas con separación uniforme \(d\), y el momento de la partícula es \(p\). La diferencia de camino desde cada rendija hasta la posición del detector \(x\) es un valor constante \(\Delta r\) entre rendijas adyacentes, y se define la diferencia de fase como \(\delta = p\Delta r / \hbar\). El valor absoluto de la amplitud que pasa por cada rendija es igual para todas y vale \(A\).

  1. Explica por qué la amplitud que pasa por la \(k\)-ésima rendija (\(k = 0, 1, \ldots, N-1\)) puede escribirse como \(\phi_k = A e^{ik\delta}\).

  2. Escribe la amplitud total \(\phi = \sum_{k=0}^{N-1} A e^{ik\delta}\) en forma cerrada utilizando la fórmula de la serie geométrica.

  3. Demuestra que la probabilidad \(P = |\phi|^2\) es

\[P = A^2 \frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}\]
  1. Verifica que para \(N = 2\), esta expresión coincide con la ecuación (4.14) (en el caso \(|\phi_1| = |\phi_2| = A\)).
Pista

Suma de una serie geométrica: \(\sum_{k=0}^{N-1} r^k = \frac{1 - r^N}{1 - r}\). Sustituye \(r = e^{i\delta}\) y utiliza \(|1 - e^{iN\delta}|^2 = 4\sin^2(N\delta/2)\) (conviene demostrar que \(|1 - e^{i\alpha}|^2 = 2 - 2\cos\alpha = 4\sin^2(\alpha/2)\)).

→ Ver solución

M-3. "Observar" hace desaparecer la interferencia: explicación matemática

En el experimento de la doble rendija, sea \(\phi_1\) la amplitud para pasar por la rendija 1 y \(\phi_2\) la amplitud para pasar por la rendija 2.

  1. Explica, utilizando la segunda regla, por qué la probabilidad cuando no se observa por cuál rendija pasó la partícula es \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\).

  2. Cuando se observa por cuál rendija pasó la partícula, la probabilidad de que se determine que pasó por la rendija 1 es \(P_1 = |\phi_1|^2\), y la probabilidad de que se determine que pasó por la rendija 2 es \(P_2 = |\phi_2|^2\). La probabilidad total de llegar al detector \(x\) es

\[P_{\text{obs}} = P_1 + P_2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\]

Explica la razón por la cual no aparece un término de interferencia en esta expresión, utilizando la condición de aplicación de la segunda regla desde la perspectiva de que "los caminos se han vuelto distinguibles".

  1. Para el caso \(|\phi_1| = |\phi_2|\), explica cualitativamente cómo se comporta la diferencia entre \(P\) y \(P_{\text{obs}}\) (es decir, el término de interferencia \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)) como función de la posición del detector \(x\), y describe qué significa que "el patrón de interferencia desaparece".
Pista

La condición de aplicación de la segunda regla es que "los caminos no sean distinguibles en principio". Cuando mediante la observación se obtiene información sobre cuál camino tomó la partícula, los dos caminos ya no pueden considerarse "indistinguibles". En ese caso, en lugar de sumar amplitudes, se suman probabilidades (se regresa a la regla de adición clásica de probabilidades).

→ Ver solución

M-4. Cálculo de la amplitud a través de dos paredes

Entre una fuente \(s\) y un detector \(x\) hay dos paredes. La primera pared tiene rendijas \(A_1, A_2\) y la segunda pared tiene rendijas \(B_1, B_2, B_3\). No se observa por cuál rendija pasa la partícula.

  1. Enumera todos los caminos posibles por los que la partícula puede llegar de \(s\) a \(x\) (indica el número de caminos).

  2. Usando la tercera regla, escribe en notación de Dirac la amplitud del camino "\(s \to A_j \to B_k \to x\)".

  3. Usando la segunda regla, escribe la amplitud total \(\langle x | s \rangle\).

  4. Suponiendo que las amplitudes de cada etapa son todas reales e iguales a un valor \(c\) (es decir, \(\langle A_j | s \rangle = \langle B_k | A_j \rangle = \langle x | B_k \rangle = c\)), expresa la probabilidad \(P = |\langle x | s \rangle|^2\) en términos de \(c\).

Pista

El número de caminos es el número de opciones en la primera pared × el número de opciones en la segunda pared. La amplitud de cada camino es el producto de tres etapas (tercera regla). Se suman las amplitudes de todos los caminos (segunda regla). Si todas las amplitudes son iguales, la suma de las amplitudes de \(N\) caminos es \(N \times (\text{amplitud de un camino})\).

→ Ver solución

M-5. Relación entre diferencia de fase y diferencia de camino

En un experimento de doble rendija, sea \(d\) la separación entre las rendijas y \(L\) la distancia desde la pared de las rendijas hasta la pantalla detectora (\(L \gg d\)). Para una posición \(x\) en la pantalla (tomando el centro de la pantalla como origen):

  1. Demuestra geométricamente que la diferencia \(\Delta r = r_1 - r_2\) entre la distancia \(r_1\) desde la rendija 1 hasta \(x\) y la distancia \(r_2\) desde la rendija 2 hasta \(x\), en la aproximación \(L \gg d\), es
\[\Delta r \approx \frac{dx}{L}\]

  1. Utilizando la ecuación (4.22), expresa la diferencia de fase \(\delta\) como función de \(x\).

  2. A partir de la condición de máximos de interferencia (interferencia constructiva) \(\delta = 2n\pi\) (\(n\) entero), obtén las posiciones de los máximos \(x_n\).

  3. Utilizando la relación de de Broglie \(p = h/\lambda\), expresa la separación entre máximos consecutivos \(\Delta x\) en términos de la longitud de onda \(\lambda\).

Pista

Dibuja los caminos desde las dos rendijas hasta la posición del detector \(x\) y utiliza el hecho de que, cuando \(L \gg d\), los dos caminos son aproximadamente paralelos. La diferencia de camino es \(d\sin\theta \approx d \cdot x/L\). Usa \(p/\hbar = 2\pi/\lambda\).

→ Ver solución

Avanzado

A-1. Análisis mecánico-cuántico del interferómetro de Mach–Zehnder

Un solo fotón incide en un interferómetro de Mach–Zehnder. El interferómetro consta de los siguientes elementos:

  • Divisor de haz BS1: divide el fotón incidente en dos caminos (camino \(A\) y camino \(B\)). La amplitud de reflexión es \(\frac{i}{\sqrt{2}}\) y la amplitud de transmisión es \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).
  • Espejos \(M_A\), \(M_B\): reflejan el fotón en cada camino respectivo. La amplitud de reflexión es \(i\) (desplazamiento de fase \(\pi/2\)).
  • Divisor de haz BS2: recombina los dos caminos. Tiene las mismas propiedades que BS1 (reflexión \(\frac{i}{\sqrt{2}}\), transmisión \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)).
  • Dos puertos de salida: detector \(D_1\) y detector \(D_2\).

Se supone que en el camino \(A\) hay una lámina de fase que puede introducir un desplazamiento de fase adicional \(e^{i\varphi}\) (el camino \(B\) no tiene fase adicional).

  1. Calcula las amplitudes de los dos caminos por los que el fotón llega desde el puerto de entrada hasta \(D_1\) (vía camino \(A\) y vía camino \(B\)), utilizando la tercera regla. (Escribe en orden los elementos que el fotón experimenta en cada camino y multiplica las amplitudes.)

  2. Obtén la amplitud total utilizando la segunda regla y calcula la probabilidad \(P_1(\varphi)\) de que el fotón sea detectado en \(D_1\).

  3. De forma análoga, calcula la probabilidad \(P_2(\varphi)\) de detección en \(D_2\). Verifica que se cumple \(P_1 + P_2 = 1\).

  4. Para los casos \(\varphi = 0\) y \(\varphi = \pi\), obtén los valores de \(P_1\) y \(P_2\) y describe su significado físico.

  5. Discute, basándote en las condiciones de aplicación de la segunda regla, cómo cambia la interferencia si se inserta un dispositivo que detecta "por cuál camino pasó" en medio del camino \(A\).

Pista

Proceso para llegar a \(D_1\) vía camino \(A\): reflexión en BS1 → lámina de fase → reflexión en espejo \(M_A\) → transmisión (o reflexión) en BS2. Se multiplican las amplitudes de cada elemento en orden. Que en BS2 el fotón se transmita o se refleje para llegar a \(D_1\) depende de la disposición geométrica del interferómetro. En la configuración típica, el camino \(A\) se transmite en BS2 hacia \(D_1\), y el camino \(B\) se refleja en BS2 hacia \(D_1\) (otra convención es válida siempre que sea consistente).

→ Ver solución

A-2. Interferencia en un sistema de 3 estados y el principio del "borrador cuántico"

Considera un experimento en el que una partícula viaja desde una fuente \(s\) hasta un detector \(x\) pasando por 3 rendijas (\(1, 2, 3\)). La amplitud para pasar por cada rendija es

\[\phi_k = A e^{i\alpha_k} \quad (k = 1, 2, 3)\]

donde \(\alpha_1 = 0\), \(\alpha_2 = 2\pi/3\), \(\alpha_3 = 4\pi/3\) (correspondientes a las diferencias de fase en el centro de rendijas equiespaciadas).

Parte I: Interferencia completa

  1. Calcula la amplitud total \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3\) y obtén \(P = |\phi|^2\).

  2. Interpreta este resultado relacionándolo con el hecho de que \(e^{i \cdot 2\pi/3}\) es una "raíz primitiva cúbica de la unidad".

Parte II: Información parcial del camino

Se introduce un "marcador" en la rendija 1, de modo que un dispositivo permite distinguir si la partícula pasó por la rendija 1 o no, pero no permite distinguir entre las rendijas 2 y 3.

  1. Discute, basándote en las tres reglas de Feynman, cómo debe calcularse la probabilidad en este caso. Expresa \(P(x)\) explícitamente mediante una fórmula.

  2. Compara con el resultado de la Parte I y discute si puede ocurrir el fenómeno de "recuperación parcial de la interferencia al obtener información parcial del camino".

Parte III: Borrador cuántico

  1. Si se "borra" la información del marcador de la Parte II (es decir, se decide no leerla), ¿qué ocurre con el patrón de interferencia? Explícalo volviendo a las condiciones de aplicación de la segunda regla. Indica que este es el principio básico del "borrador cuántico (quantum eraser)".
Pista

Parte I: \(1 + e^{i2\pi/3} + e^{i4\pi/3} = 0\) (la suma de las raíces primitivas \(n\)-ésimas de la unidad es 0). Parte II: La rendija 1 es distinguible de las demás, por lo que la amplitud de la rendija 1 se convierte independientemente en probabilidad. Las rendijas 2 y 3 son indistinguibles, por lo que se suman las amplitudes. \(P = |\phi_1|^2 + |\phi_2 + \phi_3|^2\). Parte III: Al borrar la información del marcador, todos los caminos vuelven a ser indistinguibles y se restablece la regla de sumar amplitudes.

→ Ver solución