Capítulo 2 ¿No se pueden unificar la electricidad y el magnetismo? — El nacimiento del electromagnetismo¶
Resumen de lo anterior: En Cap. 1, vimos cómo Newton pudo explicar de forma unificada las órbitas planetarias, las mareas y la trayectoria de proyectiles a partir de un único modelo: la gravitación universal. El descubrimiento de Neptuno demostró dramáticamente el poder de las predicciones cuantitativas mediante ecuaciones. Sin embargo, el modelo de Newton dejó problemas sin resolver: no podía explicar "por qué se atraen" y asumía que "la gravedad se transmite instantáneamente". En este capítulo, veremos otra historia de unificación que ocurrió en un dominio diferente al de Newton: la electricidad y el magnetismo.
Objetivos de este capítulo
- Experimentar el poder de la unificación: "fenómenos que parecen separados pueden describirse con un único modelo"
- Seguir la historia de cómo Maxwell unificó la electricidad y el magnetismo en 4 ecuaciones, y cómo de ello surgió como subproducto la predicción de que "la luz es una onda electromagnética"
- Además, aprender sobre el potencial electromagnético y las transformaciones de gauge, y confirmar que la unificación genera un nuevo misterio: la invariancia de la velocidad de la luz
2.1 Motivación: ¿Son la electricidad y el magnetismo fenómenos distintos?¶
🟡 Lina: En Cap. 1 hablamos de cómo Newton creó un modelo de la gravedad. Hoy toca otro dominio: la electricidad y el magnetismo.
🔵 Kai: La electricidad y el magnetismo se estudian por separado en el instituto, ¿verdad? La ley de Coulomb para la electrostática y la teoría de los imanes.
🟡 Lina: Así es. Hasta el siglo XVIII, se pensaba que la electricidad y el magnetismo eran fenómenos completamente distintos. La electricidad era lo que ocurría al frotar ámbar, y el magnetismo era una propiedad de la magnetita. Nadie pensaba que estuvieran relacionados.
🔵 Kai: ¿Cuándo se descubrió que la electricidad y el magnetismo están relacionados?
🟡 Lina: En 1820, Ørsted descubrió que "una brújula se desvía cerca de una corriente eléctrica". Se demostró que la electricidad genera magnetismo. Y el proceso inverso —el magnetismo genera electricidad— fue descubierto por Faraday. El descubrimiento de la inducción electromagnética en 1831. Al mover un imán dentro de una bobina, fluye una corriente eléctrica.
⚪ Mei: Es decir, ambas direcciones —electricidad→magnetismo y magnetismo→electricidad— se confirmaron experimentalmente.
🔵 Kai: Es el principio del motor y del generador, ¿no?
🟡 Lina: Exacto. Hasta aquí son hechos experimentales. Pero quien explicó de forma unificada con un único modelo "por qué la electricidad genera magnetismo y el magnetismo genera electricidad" fue Maxwell.
⚪ Mei: Es la misma estructura que cuando Newton unificó "la caída de la manzana" y "la órbita de la Luna" en Cap. 1.
🔵 Kai: Con Newton se predijo Neptuno, ¿verdad? ¿De la unificación de Maxwell también sale alguna predicción?
🟡 Lina: Exactamente eso es lo que vamos a ver ahora. La unificación de Maxwell produce una predicción tan impactante como la de Newton —o incluso, en cierto sentido, más—. He preparado una línea temporal con este desarrollo, mírala (Fig. 2.1「Historia de la unificación del electromagnetismo」).
Fig. 2.1: Historia de la unificación del electromagnetismo. Desde la ley de la electrostática de Coulomb (1785) hasta la confirmación experimental de las ondas electromagnéticas por Hertz (1888), mostrando la acumulación de hechos experimentales, la unificación teórica de Maxwell y la verificación de sus predicciones.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué fenómeno descubrió Ørsted en 1820?
Respuesta
Que una brújula se desvía cerca de una corriente eléctrica (que la electricidad genera magnetismo).
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué fenómeno es la "inducción electromagnética" que Faraday descubrió en 1831?
Respuesta
El fenómeno de que al mover un imán dentro de una bobina fluye una corriente eléctrica. Es decir, que el magnetismo genera electricidad.
2.2 La idea del "campo" de Faraday¶
🟡 Lina: Para entender el trabajo de Maxwell, primero necesitas conocer la idea de Faraday.
🔵 Kai: ¿Qué tipo de persona era Faraday?
🟡 Lina: Era una persona que no recibió educación universitaria formal; pasó de aprendiz de encuadernador a científico autodidacta. Pero era un genio experimental. Y creó un concepto que cambió la historia de la física: la idea de campo (field).
🔵 Kai: ¿Campo? Apareció en Cap. 1 cuando hablamos del potencial gravitatorio, ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. En la gravedad de Newton se piensa que "objetos distantes se atraen directamente" —eso es la acción a distancia (action at a distance)—. Pero Faraday tenía una visión diferente. "El espacio mismo tiene un campo de fuerza extendido, y los objetos experimentan fuerzas a través de ese campo". Esto se llama acción local (local action).
🔵 Kai: El experimento de esparcir limaduras de hierro alrededor de un imán y ver los patrones, lo hicimos en el instituto. ¿Eso es el "campo"?
🟡 Lina: Exacto, esa es precisamente la imagen intuitiva del "campo" de Faraday. Faraday no podía escribir ecuaciones, pero introdujo el concepto de "campo". Y quien formuló ese concepto en ecuaciones fue Maxwell. El relevo entre estos dos es uno de los más bellos de la historia de la física. He preparado una figura que compara la acción a distancia y la acción local, mírala (Fig. 2.2「Comparación entre acción a distancia y acción local」).
Fig. 2.2: Comparación entre acción a distancia y acción local. En la acción a distancia de Newton (izquierda), los objetos se atraen directamente. En la acción local de Faraday (derecha), un campo se extiende por el espacio y los objetos experimentan fuerzas a través del campo.
🔵 Kai: El potencial gravitatorio \(\Phi(\mathbf{r})\) de Cap. 1 también era un tipo de "campo", ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. El potencial gravitatorio era un campo escalar que asigna un solo valor numérico a cada punto. En electromagnetismo aparecen campos que asignan un vector a cada punto. Lo organizaremos en la siguiente sección.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es la idea del "campo (field)" que introdujo Faraday?
Respuesta
La idea de que el espacio mismo tiene un campo de fuerza extendido y los objetos experimentan fuerzas a través de ese campo (acción local).
✅ Verificación de comprensión: ¿Quién formuló matemáticamente el concepto de "campo" de Faraday?
Respuesta
Maxwell.
2.3 Campos escalares y campos vectoriales¶
🟡 Lina: Antes de entrar en las ecuaciones de Maxwell, déjame explicar una distinción importante. En Cap. 1 introdujimos el potencial gravitatorio \(\Phi(x,y,z)\), ¿verdad? Era una función que asigna un solo valor numérico a cada punto —un campo escalar—.
🔵 Kai: Era como un mapa de distribución de temperatura, ¿no?
🟡 Lina: Exacto. Pero el campo eléctrico \(\mathbf{E}\) es diferente. Asigna a cada punto una flecha con dirección y magnitud (un vector) —es un campo vectorial—. El campo magnético \(\mathbf{B}\) también.
🔵 Kai: Los vectores los estudié en el instituto. Fuerzas, velocidades y esas cosas. Pero el campo eléctrico no se puede ver, ¿cómo se comprueba que tiene "dirección"?
🟡 Lina: Buena pregunta. Si colocas una pequeña carga de prueba positiva en ese punto, la dirección y magnitud de la fuerza que experimenta la carga —eso es la dirección y magnitud del campo eléctrico—. El campo eléctrico \(\mathbf{E}\) es un vector con 3 componentes \((E_x, E_y, E_z)\). En este libro, representaremos los vectores en negrita (\(\mathbf{E}\)). Los escalares (valores numéricos ordinarios) en fuente normal (\(\Phi\)).
⚪ Mei: En resumen:
| Tipo | Lo que se asigna a cada punto | Ejemplo |
|---|---|---|
| Campo escalar | Un valor numérico | Temperatura \(T(\mathbf{r})\), potencial gravitatorio \(\Phi(\mathbf{r})\) |
| Campo vectorial | Un vector (dirección + magnitud) | Campo eléctrico \(\mathbf{E}(\mathbf{r})\), campo magnético \(\mathbf{B}(\mathbf{r})\) |
Tabla 2.1: Comparación entre campos escalares y campos vectoriales
🔵 Kai: El potencial gravitatorio es un campo escalar, y el campo eléctrico y magnético son campos vectoriales —tienen diferente número de componentes—.
Fig. 2.3: Visualización de campos escalares y vectoriales. Izquierda: campo escalar (se asigna un valor a cada punto, representado con curvas de nivel). Derecha: campo vectorial (se asigna una flecha a cada punto).
🟡 Lina: En Fig. 2.3「Visualización de campos escalares y vectoriales」 puedes ver que el campo escalar se representa con curvas de nivel y el campo vectorial con flechas. Las definiciones de los operadores diferenciales que usaremos —\(\nabla\) (nabla), \(\nabla \cdot\) (divergencia), \(\nabla \times\) (rotacional)— están resumidas en Apéndice A, así que consúltalas cuando lo necesites. \(\nabla\) es un operador vectorial que representa "la dirección y magnitud del cambio espacial", y en 3 dimensiones se escribe \(\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\). Te doy solo el significado físico de forma breve (consulta también Fig. 2.4「Imagen intuitiva de la divergencia y el rotacional」):
- \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) (divergencia): grado en que el campo vectorial \(\mathbf{F}\) "brota" desde ese punto
- \(\nabla \times \mathbf{F}\) (rotacional): grado en que el campo vectorial \(\mathbf{F}\) "forma remolinos" alrededor de ese punto
- \(\nabla^2 f\) (laplaciano): cantidad que representa "cuánto se desvía el valor en un punto respecto al promedio de su entorno" para un campo escalar \(f\) (juega un papel central en la ecuación de onda de 2.5「La naturaleza de la luz — Predicción de las ecuaciones de Maxwell」). Concretamente, \(\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\). Para un campo vectorial \(\mathbf{F}\), como cada componente \(F_x, F_y, F_z\) es un campo escalar independiente, se define aplicando \(\nabla^2\) a cada componente: \(\nabla^2 \mathbf{F} = (\nabla^2 F_x,\; \nabla^2 F_y,\; \nabla^2 F_z)\) (es decir, una operación que examina "cómo se curva espacialmente el campo en cada dirección")
🔵 Kai: "Brotamiento", "remolino", "desviación respecto al promedio del entorno" —todas son herramientas que representan cambios en el espacio—.
Fig. 2.4: Imagen intuitiva de la divergencia y el rotacional. Izquierda: en un punto donde la divergencia (div) es positiva, el campo brota. Derecha: en un punto donde el rotacional (rot) no es cero, el campo forma remolinos.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la diferencia entre un campo escalar y un campo vectorial?
Respuesta
Un campo escalar es una función que asigna un solo valor numérico a cada punto (ejemplo: potencial gravitatorio \(\Phi\)). Un campo vectorial es una función que asigna un vector con dirección y magnitud a cada punto (ejemplo: campo eléctrico \(\mathbf{E}\)).
2.4 Ecuaciones de Maxwell — La unificación de la electricidad y el magnetismo¶
🟡 Lina: En la década de 1860, Maxwell resumió todos los hechos experimentales sobre electricidad y magnetismo en 4 ecuaciones.
🔵 Kai: ¿Solo 4?
🟡 Lina: Solo 4. Veámoslas una por una, con su ecuación y su significado como conjunto.
Primera ecuación: Ley de Gauss¶
🟡 Lina: \(\rho\) (rho) es la densidad de carga —cuánta carga hay en cada punto del espacio—. \(\varepsilon_0\) (épsilon cero) es la permitividad del vacío —una constante que representa las propiedades eléctricas del vacío—. \(\nabla \cdot\) (nabla punto) es la "divergencia" (consulta Apéndice A) —indica si el campo vectorial brota desde ese punto—.
🟡 Lina: Es decir, esta ecuación dice que las líneas de campo eléctrico (líneas de fuerza) brotan desde donde hay carga \(\rho\). Salen hacia afuera desde las cargas positivas y entran hacia las cargas negativas.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa físicamente la primera ecuación de Maxwell (ley de Gauss) \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\)?
Respuesta
Significa que las líneas de campo eléctrico brotan donde hay cargas. Salen hacia afuera desde las cargas positivas y entran hacia las cargas negativas.
Segunda ecuación: Ley de Gauss para el magnetismo¶
🟡 Lina: \(\mathbf{B}\) es el campo magnético (densidad de flujo magnético). También es un campo vectorial. Que el lado derecho sea cero significa que las líneas de campo magnético no tienen "fuentes". Es decir, no existen "monopolos magnéticos" (solo polo N o solo polo S). Las líneas de campo magnético siempre forman bucles cerrados.
🔵 Kai: Que al partir un imán siempre aparezcan el polo N y el polo S juntos es lo que dice esta ecuación, ¿verdad?
🟡 Lina: Exacto. Por mucho que lo partas, nunca obtienes un monopolo —ese es el contenido físico de esta ecuación—.
Tercera ecuación: Ley de Faraday¶
🟡 Lina: \(\nabla \times\) (nabla cruz) es el "rotacional (rot)" (consulta Apéndice A) —indica si el campo vectorial forma remolinos alrededor de ese punto—. El \(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) del lado derecho representa "fijando la posición, cómo cambia el campo magnético en ese punto con el tiempo" —es el vector obtenido al derivar cada componente \(B_x, B_y, B_z\) respecto al tiempo—.
🟡 Lina: Es decir, cuando el campo magnético \(\mathbf{B}\) varía en el tiempo, se genera un remolino del campo eléctrico \(\mathbf{E}\). Esta es la expresión matemática de la inducción electromagnética —el fenómeno que descubrió Faraday—.
✅ Verificación de comprensión: La tercera ecuación de Maxwell (ley de Faraday) establece que los remolinos del campo eléctrico se generan bajo cierta condición. ¿Cuál es esa condición?
Respuesta
Cuando el campo magnético \(\mathbf{B}\) varía en el tiempo, se generan remolinos del campo eléctrico \(\mathbf{E}\). Es la expresión matemática de la inducción electromagnética descubierta por Faraday.
Cuarta ecuación: Ley de Ampère-Maxwell¶
🟡 Lina: \(\mathbf{j}\) (jota) es la densidad de corriente —en cada punto del espacio, en qué dirección y cuánta corriente fluye (campo vectorial)—. \(\mu_0\) (mu cero) es la permeabilidad del vacío —una constante que representa las propiedades magnéticas del vacío—.
🟡 Lina: Cuando fluye una corriente \(\mathbf{j}\), se genera un remolino del campo magnético (ley de Ampère). Y —aquí está la contribución genial de Maxwell— cuando el campo eléctrico varía en el tiempo, también se genera un remolino del campo magnético.
🟡 Lina: Este último término \(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) es precisamente la parte que Maxwell añadió.
🔵 Kai: ¿No lo descubrió experimentalmente, sino que lo añadió para que las ecuaciones fueran consistentes?
🟡 Lina: Exacto. Te voy a mostrar concretamente por qué hay inconsistencia. Esta es la derivación de la "corriente de desplazamiento". Pero antes, resumamos las 4 ecuaciones en una tabla. Veamos primero el panorama completo y luego confirmemos por qué la corrección de la cuarta ecuación es necesaria.
Tabla 2.2: Las 4 ecuaciones de Maxwell y su significado físico
| Ecuación | Fórmula | Significado físico |
|---|---|---|
| 1ª (Gauss) | \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) | El campo eléctrico brota de las cargas |
| 2ª (Gauss magnética) | \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) | No existen monopolos magnéticos |
| 3ª (Faraday) | \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) | Cambio del campo magnético → remolino del campo eléctrico |
| 4ª (Ampère-Maxwell) | \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) | Corriente + cambio del campo eléctrico → remolino del campo magnético |
🟡 Lina: Confirmemos en una figura las situaciones físicas que representan estas 4 ecuaciones (Fig. 2.5「Significado físico de las ecuaciones de Maxwell」).
Fig. 2.5: Significado físico de las ecuaciones de Maxwell. Diagrama esquemático de la situación física que representa cada ecuación de Maxwell.
Necesidad de la corriente de desplazamiento — Derivación a partir de la conservación de la carga¶
🟡 Lina: Escribamos matemáticamente la ley de conservación de la carga —"la carga no se crea ni se destruye"—. Piensa en una pequeña región. Si una corriente sale de esa región, la carga interior disminuye, ¿verdad?
🔵 Kai: Sí. Es como si el agua sale de un cubo, el agua interior disminuye.
🟡 Lina: Exacto. \(\nabla \cdot \mathbf{j}\) es la divergencia de la densidad de corriente —representa cuánta corriente "sale" de un punto—. Que la corriente salga (\(\nabla \cdot \mathbf{j} > 0\)) significa que la carga se está yendo de ese lugar. Es decir, la densidad de carga \(\rho\) disminuye con el tiempo (\(\frac{\partial \rho}{\partial t} < 0\)).
🔵 Kai: El flujo de salida es positivo, pero la tasa de cambio de la carga es negativa... los signos son opuestos.
🟡 Lina: Exacto. Como dijiste con el ejemplo del cubo, cuando el flujo de salida de agua (\(\nabla \cdot \mathbf{j}\)) es positivo, la tasa de cambio de la cantidad de agua en el cubo (\(\frac{\partial \rho}{\partial t}\)) es negativa —es decir, los signos son opuestos—. Por eso \(\nabla \cdot \mathbf{j} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\). Reorganizando, obtenemos la ecuación de continuidad:
⚪ Mei: Es decir, "la carga que sale de una región es exactamente la que disminuye en esa región".
🟡 Lina: Exacto. Ahora veamos qué pasa si la cuarta ecuación fuera solo la ley de Ampère original —es decir, solo \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}\)—. Tomemos la divergencia \(\nabla \cdot\) de ambos lados:
🟡 Lina: El lado izquierdo, por una identidad del análisis vectorial (consulta Apéndice A), es siempre cero:
Por lo tanto:
🔵 Kai: ¡Un momento! Esto dice que "la divergencia de la corriente es cero" —es decir, que "la carga no se acumula ni disminuye"—.
🟡 Lina: Exactamente. Pero la ecuación de continuidad dice \(\nabla \cdot \mathbf{j} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\). En situaciones donde la carga varía en el tiempo (por ejemplo, durante la carga de un condensador), \(\frac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0\), así que \(\nabla \cdot \mathbf{j} \neq 0\). Hay una contradicción.
⚪ Mei: Es decir, solo con la ley de Ampère original no es consistente con la conservación de la carga.
🟡 Lina: Entonces Maxwell añadió un término a la cuarta ecuación para restaurar la consistencia. Si derivamos ambos lados de la primera ecuación \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) respecto al tiempo:
Sustituyendo la ecuación de continuidad \(\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{j}\):
Reorganizando:
🔵 Kai: ¡Oh! Solo con \(\mathbf{j}\) la divergencia no es cero, ¡pero al sumar la variación temporal del campo eléctrico sí lo es!
🟡 Lina: Exacto. Es decir, \(\mathbf{j}\) por sí solo no tiene divergencia cero, pero \(\mathbf{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) sí la tiene. Por eso, si se corrige la ley de Ampère como:
entonces ya no hay contradicción con \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = 0\).
⚪ Mei: La forma del término que hay que añadir queda determinada unívocamente solo por la consistencia matemática.
🟡 Lina: Así es. Este término adicional \(\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) se llama corriente de desplazamiento (displacement current). Maxwell no "descubrió" este término experimentalmente, sino que lo derivó lógicamente a partir del principio de conservación de la carga. He hecho una figura que muestra por qué la corriente de desplazamiento es necesaria en un circuito de carga de un condensador, mírala (Fig. 2.6「Diagrama conceptual de la corriente de desplazamiento」).
Fig. 2.6: Diagrama conceptual de la corriente de desplazamiento. Durante la carga de un condensador, no fluye corriente entre las placas pero el campo eléctrico varía en el tiempo. Con la ley de Ampère original, el resultado depende de qué superficie se elija (izquierda). Al añadir la corriente de desplazamiento \(\varepsilon_0 \partial_t E\), la contradicción se resuelve (derecha).
🟡 Lina: Y esta pequeña corrección va a producir una predicción extraordinaria.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa físicamente la segunda ecuación de Maxwell \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)?
Respuesta
Significa que las líneas de campo magnético no tienen fuentes, y que no existen monopolos magnéticos (solo polo N o solo polo S).
✅ Verificación de comprensión: ¿En qué se basó la introducción del término \(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) que Maxwell añadió a la cuarta ecuación (ley de Ampère-Maxwell)?
Respuesta
Se introdujo por la exigencia de consistencia matemática con la ley de conservación de la carga (ecuación de continuidad). Solo con la ley de Ampère original había contradicción con la conservación de la carga.
2.5 La naturaleza de la luz — Predicción de las ecuaciones de Maxwell¶
🟡 Lina: Al combinar la tercera y cuarta ecuaciones de Maxwell, se descubre lo siguiente: un cambio en el campo eléctrico genera campo magnético, y ese cambio del campo magnético genera nuevamente campo eléctrico... esta cadena se propaga como una onda del campo electromagnético a través del espacio.
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flowchart LR
E1["Cambio del campo E"] -->|"4ª ec.: genera remolino de B"| B1["Cambio del campo B"]
B1 -->|"3ª ec.: genera remolino de E"| E2["Cambio del campo E"]
E2 -->|"4ª ec."| B2["Cambio del campo B"]
B2 -->|"3ª ec."| E3["…"]Fig. 2.7: Propagación de ondas electromagnéticas por inducción mutua entre campo eléctrico y magnético
🔵 Kai: ¿Una onda? ¿Como las olas en la superficie del agua?
🟡 Lina: Es parecido, pero las olas del agua son oscilaciones del medio (agua). Las ondas electromagnéticas se propagan sin medio, con el campo eléctrico y magnético generándose mutuamente. Vamos a derivarlo concretamente.
Derivación de la ecuación de onda¶
🟡 Lina: Escribamos las ecuaciones de Maxwell en el vacío (sin cargas ni corrientes: \(\rho = 0\), \(\mathbf{j} = \mathbf{0}\)):
🟡 Lina: Queremos obtener una ecuación solo para el campo eléctrico \(\mathbf{E}\). La tercera ecuación (III) contiene \(\mathbf{B}\), pero la cuarta ecuación (IV) expresa \(\nabla \times \mathbf{B}\) como la derivada temporal de \(\mathbf{E}\). Entonces, si aplicamos \(\nabla \times\) otra vez a ambos lados de la tercera ecuación, en el lado izquierdo aparece \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\), y en el lado derecho aparece \(\nabla \times \mathbf{B}\) —ahí sustituimos la cuarta ecuación y \(\mathbf{B}\) desaparece—. Hagámoslo:
🔵 Kai: Aplicando \(\nabla \times\) otra vez se elimina \(\mathbf{B}\). Es como crear un "andamiaje" para la sustitución.
🟡 Lina: Exacto. En el lado derecho, intercambiamos el orden de \(\nabla \times\) y \(\partial/\partial t\). Como \(\nabla \times\) es una derivada respecto a las coordenadas espaciales \((x,y,z)\) y \(\partial/\partial t\) es una derivada respecto al tiempo, son derivadas respecto a variables diferentes y se pueden intercambiar sin cambiar el resultado (\(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial t}\)):
🟡 Lina: Sustituimos \(\nabla \times \mathbf{B}\) del lado derecho por la cuarta ecuación (IV):
Reorganizando:
🔵 Kai: El lado izquierdo, \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\), es el rotacional del rotacional. ¿Cómo se calcula?
🟡 Lina: Buena pregunta. Se usa una identidad del análisis vectorial (demostrada en Apéndice A):
🔵 Kai: Hmm, el lado izquierdo es "el remolino del remolino". ¿Qué significan los dos términos del lado derecho?
🟡 Lina: El primer término del lado derecho, \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})\), representa "cómo varía espacialmente la intensidad del brotamiento del campo eléctrico", y el segundo término, \(\nabla^2 \mathbf{E}\), es el laplaciano que representa "cómo se curva espacialmente cada componente del campo eléctrico". Pero lo importante en esta derivación no es entender profundamente el significado físico de esta identidad, sino el hecho de que en el vacío, el primer término se anula completamente. ¿Por qué? Porque en el vacío, de la primera ecuación (I), \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) (no hay cargas, así que no hay brotamiento), por lo que \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = \nabla(0) = \mathbf{0}\) y el primer término desaparece. La demostración de la identidad en sí se puede verificar escribiendo las componentes (consulta Apéndice A), pero por ahora usaremos solo el resultado "se puede descomponer de esta forma":
⚪ Mei: La condición de vacío hace que se simplifique de forma elegante.
🟡 Lina: Sustituyendo esto:
Multiplicando ambos lados por \(-1\):
🟡 Lina: Aquí \(\nabla^2 \mathbf{E}\) es el "laplaciano del campo vectorial" que expliqué en 2.3「Campos escalares y campos vectoriales」 —aplicar el laplaciano escalar \(\nabla^2\) a cada componente \(E_x, E_y, E_z\), es decir, \((\nabla^2 E_x,\; \nabla^2 E_y,\; \nabla^2 E_z)\)—.
⚪ Mei: \(\mathbf{B}\) ha desaparecido completamente y queda una ecuación solo en \(\mathbf{E}\).
🔵 Kai: El lado izquierdo es la segunda derivada espacial y el lado derecho es la segunda derivada temporal... Pero, ¿qué tiene que ver esto con una "onda"?
🟡 Lina: Buena pregunta. El \(\nabla^2\) del lado izquierdo se llama operador laplaciano y es la suma de las segundas derivadas espaciales. Concretamente:
Intuitivamente, representa "cuánto se desvía el valor en un punto del promedio de su entorno". Para el campo eléctrico, significa "cómo se curva espacialmente el campo eléctrico" (más detalles en Apéndice A). El \(\partial^2/\partial t^2\) del lado derecho es la segunda derivada temporal —"cómo se acelera temporalmente el campo eléctrico"—.
🔵 Kai: Esta es la ecuación de onda para el campo eléctrico, ¿verdad? ¿Qué pasa con el campo magnético?
🟡 Lina: Buena pregunta. Si hacemos el mismo procedimiento para el campo magnético \(\mathbf{B}\), sale una ecuación de onda de la misma forma. Aplicando \(\nabla \times\) a la cuarta ecuación (IV) y haciendo el mismo cálculo:
Tanto el campo eléctrico como el magnético satisfacen una ecuación de onda de la misma forma.
🔵 Kai: Sale la misma forma de ecuación. Entonces, ¿la onda del campo eléctrico y la del campo magnético se propagan por separado? ¿O juntas?
🟡 Lina: Juntas. Como están acopladas mutuamente por la tercera y cuarta ecuaciones, no existen ondas solo de campo eléctrico ni ondas solo de campo magnético. Siempre se propagan como un conjunto —por eso se llaman "ondas electromagnéticas"—.
⚪ Mei: Claro. La tercera ecuación dice "cambio del campo magnético → remolino del campo eléctrico" y la cuarta dice "cambio del campo eléctrico → remolino del campo magnético", así que ninguna se puede cumplir por sí sola.
🔵 Kai: Pero en las olas del agua puedes ver que el agua sube y baja. ¿Las ondas electromagnéticas se propagan sin que haya ninguna "sustancia que oscile"? ¿No es eso muy extraño?
🟡 Lina: Precisamente ese es el punto que también preocupó a los físicos del siglo XIX. Muchos pensaron que "debe existir un medio que transmite la luz (el éter)". Pero el éter nunca se encontró —trataremos esto en detalle en Cap. 5—.
🔵 Kai: Así que la gente de aquella época tenía la misma duda. Entonces ahora se piensa que "el campo mismo oscila", ¿no?
🟡 Lina: Exacto. El campo eléctrico y el campo magnético existen como entidades reales en el espacio, y ellos mismos oscilan y se propagan —aquí es donde el concepto de "campo" de Faraday cobra importancia—.
La ecuación de onda y la velocidad de la onda¶
🟡 Lina: Comparemos la ecuación que acabamos de derivar con la ecuación de onda general. Cuando una "onda" se propaga en física, su ecuación tiene la siguiente forma:
donde \(v\) es la velocidad de propagación de la onda.
🔵 Kai: ¿Por qué esta forma es una "onda"? Solo con verla no me queda claro...
🟡 Lina: Buena pregunta. Primero te lo muestro concretamente en el caso unidimensional:
Para cualquier función de forma arbitraria \(g\), \(f(x,t) = g(x - vt)\) es solución de esta ecuación. Comprobémoslo. Haciendo \(u = x - vt\), al derivar respecto a \(x\) tenemos \(\frac{\partial u}{\partial x} = 1\) así que \(\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u)\), derivando otra vez \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\). Por otro lado, al derivar respecto a \(t\) tenemos \(\frac{\partial u}{\partial t} = -v\) así que \(\frac{\partial f}{\partial t} = -v\,g'(u)\), derivando otra vez \(\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\). Por lo tanto \(g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u)\) y efectivamente se cumple. Esto representa que "la forma \(g\) se desplaza hacia la derecha con velocidad \(v\) sin cambiar" —por eso es la "ecuación de onda"—.
🔵 Kai: Entiendo, es como si la forma de la onda se deslizara lateralmente. Pero, ¿qué forma concreta de onda se propaga?
🟡 Lina: La típica es una onda periódica. Con la forma \(f(x,t) = f_0 \sin(kx - \omega t)\). \(f_0\) es la amplitud —una constante que representa la altura del pico de la onda—. Aparecen 2 nuevos símbolos, así que te los explico uno por uno.
🟡 Lina: Primero, \(k\) (número de onda). Usando la longitud de onda \(\lambda\) (distancia de un pico al siguiente), \(k = 2\pi/\lambda\). ¿Por qué aparece \(2\pi\)? Porque la función \(\sin\) completa un ciclo cuando su argumento cambia en \(2\pi\), ¿verdad? Se define \(k\) de modo que al avanzar una distancia \(\lambda\), el cambio en \(kx\) sea \(k\lambda = 2\pi\). Cuanto mayor sea \(k\), más corta es la longitud de onda y más fina la onda.
🟡 Lina: Luego, \(\omega\) (frecuencia angular). Si la frecuencia (número de oscilaciones por segundo) es \(\nu\), entonces \(\omega = 2\pi \nu\). Por la misma razón, se define de modo que al transcurrir un período (\(1/\nu\) segundos), el cambio en \(\omega t\) sea \(2\pi\). Cuanto mayor sea \(\omega\), más rápido oscila la onda.
🔵 Kai: Es decir, ¿\(k\) y \(\omega\) son cantidades que "absorben el \(2\pi\) para poder meterlas directamente en el argumento del \(\sin\)"?
🟡 Lina: Exacto. ¿Por qué probamos con \(\sin\)? Porque ya sabemos que \(g(x - vt)\) es la solución general, así que de entre ellas elegimos la onda periódica más básica —es decir, una onda que se repite con longitud de onda constante—. \(\sin\) es la función más simple que "se repite suavemente con longitud de onda constante", ¿no? Y de hecho, se puede demostrar matemáticamente que cualquier forma de onda compleja se puede escribir como superposición de ondas seno (esto se llama descomposición de Fourier — más detalles en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice C). Por eso basta con estudiar las propiedades de las ondas \(\sin\).
⚪ Mei: Cuanto mayor es \(k\), más corta es la longitud de onda y más fina la onda; cuanto mayor es \(\omega\), más rápido oscila la onda.
🟡 Lina: Así es. Verifiquemos sustituyendo \(f = f_0\sin(kx - \omega t)\) en la ecuación de onda. Derivando una vez respecto a \(x\): \(\frac{\partial f}{\partial x} = k f_0\cos(kx - \omega t)\); derivando otra vez: \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -k^2 f_0\sin(kx - \omega t) = -k^2 f\). Análogamente, derivando dos veces respecto a \(t\): \(\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = -\omega^2 f\).
🔵 Kai: El lado izquierdo es \(-k^2 f\) y el lado derecho es \(\frac{1}{v^2}(-\omega^2 f)\), así que... para que sean iguales, \(k^2 = \omega^2/v^2\), es decir ¡\(v = \omega/k\)! Pero, ¿esta \(v\) no cambia según los valores de \(k\) o \(\omega\)? ¿Las ondas de longitud de onda corta y larga se propagan todas a la misma velocidad?
🟡 Lina: Buena pregunta. En el caso de esta ecuación de onda, sí —\(v\) está determinada como constante dentro de la ecuación, así que no depende de \(k\) ni de \(\omega\)—. Es decir, ondas de cualquier longitud de onda se propagan a la misma velocidad. Esta propiedad se llama "ausencia de dispersión" (al contrario, cuando la velocidad cambia según la longitud de onda se dice que "hay dispersión" —que la luz blanca se separe en colores del arcoíris en un prisma se debe a que en el vidrio la velocidad varía según la longitud de onda—). Las ondas electromagnéticas en el vacío no tienen dispersión; la luz de cualquier longitud de onda viaja a la misma velocidad \(c\). Intuitivamente, "cuanto mayor es la curvatura espacial (lado izquierdo), más intenso es el cambio temporal (lado derecho)" —esta relación genera la onda—. Consulta Apéndice A para más detalles.
🟡 Lina: Comparando con la ecuación de onda obtenida de las ecuaciones de Maxwell:
Por lo tanto, la velocidad de la onda electromagnética \(c\) es:
🔵 Kai: La velocidad de la onda queda determinada solo por \(\mu_0\) y \(\varepsilon_0\).
🟡 Lina: En Fig. 2.8「Oscilación ortogonal de E y B en una onda electromagnética」 muestro cómo se propaga la onda electromagnética. El campo eléctrico y el magnético oscilan perpendicularmente entre sí y también perpendicularmente a la dirección de propagación.
Fig. 2.8: Oscilación ortogonal de E y B en una onda electromagnética. En una onda electromagnética, el campo eléctrico E y el campo magnético B oscilan perpendicularmente entre sí y también perpendicularmente a la dirección de propagación.
Cálculo numérico de la velocidad de la luz¶
🟡 Lina: \(\mu_0\) y \(\varepsilon_0\) son constantes que se pueden medir independientemente a partir de experimentos eléctricos y magnéticos. Sustituyamos sus valores:
Calculando el producto:
🔵 Kai: ¿Por qué las unidades resultan \(\text{s}^2/\text{m}^2\)?
🟡 Lina: Verifiquemos las unidades. Las unidades de \(\mu_0\) son \(\text{T·m/A}\). El tesla (T) es la unidad de densidad de flujo magnético; descompuesto en unidades básicas es \(\text{T} = \text{kg/(A·s}^2\text{)}\) (esto se puede deducir de la ecuación de fuerza \(\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}\)). Sustituyendo: \(\text{T·m/A} = \frac{\text{kg}}{\text{A·s}^2} \cdot \frac{\text{m}}{\text{A}} = \text{kg·m/(A}^2\text{·s}^2\text{)}\). Las unidades de \(\varepsilon_0\) son \(\text{C}^2/(\text{N·m}^2)\). Aquí \(\text{C} = \text{A·s}\) (culombio = amperio × segundo), \(\text{N} = \text{kg·m/s}^2\), así que \(\text{C}^2/(\text{N·m}^2) = (\text{A·s})^2/(\text{kg·m/s}^2 \cdot \text{m}^2) = \text{A}^2\text{·s}^4/(\text{kg·m}^3)\). Multiplicando, las unidades de \(\mu_0\varepsilon_0\) son \(\frac{\text{kg·m}}{\text{A}^2\text{·s}^2} \times \frac{\text{A}^2\text{·s}^4}{\text{kg·m}^3} = \frac{\text{s}^2}{\text{m}^2}\). Es decir, las unidades de \(1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\) son \(\text{m/s}\) —¡unidades de velocidad!— Todos los pasos de la conversión de unidades están en Apéndice A, así que puedes verificarlo.
🔵 Kai: El punto clave es descomponer \(\text{N}\) en kilogramos y metros.
⚪ Mei: Hemos confirmado que las unidades son de velocidad. Ahora el valor numérico.
Tomando el inverso de la raíz cuadrada:
🔵 Kai: ... ¡Eso es la velocidad de la luz! Pero, ¿por qué al combinar constantes de electricidad y magnetismo sale la velocidad de la luz? ¿La luz tenía relación con la electricidad o el magnetismo?
🟡 Lina: Ahí está lo impactante. El propio Maxwell escribió: "Esta velocidad es tan cercana a la velocidad de la luz que hay una fuerte razón para pensar que la luz es un fenómeno electromagnético". Es decir, la luz era una onda de campo eléctrico y magnético —una onda electromagnética—.
⚪ Mei: El modelo que unificó la electricidad y el magnetismo predijo que la naturaleza de la luz es una onda electromagnética.
🔵 Kai: Es igual que con Neptuno... De un lugar inesperado, ajeno al objetivo original, surge un descubrimiento.
🟡 Lina: Así es. Este es el poder de la "predicción del modelo". Maxwell no estaba investigando la luz. Mientras perseguía la unificación de la electricidad y el magnetismo, la naturaleza de la luz se reveló como subproducto. Es la misma estructura que cuando Neptuno fue predicho a partir del modelo de Newton en Cap. 1.
📝 Ejercicios:
- Derivación de la ecuación de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell → Problema M-1. Derivación de la velocidad de las ondas electromagnéticas
- Cálculo numérico de la velocidad de la luz → Problema B-1. Cálculo numérico de la velocidad de la luz
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la expresión de la velocidad \(c\) de las ondas electromagnéticas derivada de las ecuaciones de Maxwell en términos de \(\mu_0\) y \(\varepsilon_0\)?
Respuesta
\(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué predijo el modelo de Maxwell sobre "la naturaleza de la luz"?
Respuesta
Que la naturaleza de la luz es una onda electromagnética. Se dedujo del hecho de que la velocidad de las ondas electromagnéticas coincide con la velocidad de la luz.
2.6 Potencial electromagnético y transformación de gauge¶
🟡 Lina: Aquí vamos a reescribir el campo eléctrico y magnético en términos de potenciales. Es la misma idea que cuando reescribimos la gravedad de Newton con el potencial \(\Phi\) en Cap. 1. También para el campo electromagnético se pueden introducir potenciales \((\Phi, \mathbf{A})\).
Introducción de los potenciales¶
🔵 Kai: ¿El campo eléctrico y magnético también tienen potenciales?
🟡 Lina: Así es. El punto de partida es la segunda ecuación de Maxwell \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\). Esto dice que "el campo magnético no tiene fuentes". En análisis vectorial existe la siguiente identidad:
🟡 Lina: Es decir, si se cumple \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), entonces \(\mathbf{B}\) se puede escribir como el rotacional de algo:
Este \(\mathbf{A}\) se llama potencial vector.
🔵 Kai: "No tiene fuentes" implica "se puede escribir como un rotacional" —se deduce lógicamente—.
🟡 Lina: Exacto. A continuación, sustituimos esto en la tercera ecuación \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\):
Reorganizando:
🟡 Lina: Un campo vectorial cuyo "rotacional es cero" se puede escribir como el gradiente de algún campo escalar (demostración en Apéndice A):
(El signo negativo es convención). Intuitivamente, "un flujo que no tiene remolinos" necesariamente tiene la estructura de "ir cuesta abajo" —es decir, apunta en la dirección en que desciende el potencial—. Por lo tanto:
Reorganizando:
⚪ Mei: \(\Phi\) es el potencial escalar (del mismo tipo que el potencial gravitatorio de Cap. 1), y \(\mathbf{A}\) es el potencial vector.
🟡 Lina: Exacto. En resumen:
La ventaja de esta forma de escribirlo es que la segunda ecuación de Maxwell \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) y la tercera ecuación \(\nabla \times \mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{B}\) se satisfacen automáticamente. De las 4 ecuaciones, 2 se obtienen gratis.
🔵 Kai: ¡2 de 4 automáticamente! Obtener la mitad gratis es una gran ventaja.
📝 Ejercicios:
- Verificación de que \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) se satisface automáticamente a partir del potencial vector → Problema B-2. De los potenciales a las ecuaciones de Maxwell
Transformación de gauge — Una "reescritura" que no cambia la física¶
🔵 Kai: ¿El potencial queda determinado de forma única? 🟡 Lina: Pregunta aguda. En realidad no queda determinado. Considera la siguiente transformación:
donde \(\Lambda(\mathbf{r}, t)\) es una función escalar arbitraria. Esta transformación se llama transformación de gauge (gauge transformation).
⚪ Mei: ¿Está bien transformar con una función arbitraria?
🟡 Lina: Sí. Porque lo que es físicamente observable son \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\), no \(\Phi\) ni \(\mathbf{A}\) en sí mismos. Verifiquémoslo.
🟡 Lina: Primero el campo magnético. Calculemos \(\mathbf{B}'\) después de la transformación:
🟡 Lina: Usando la identidad del análisis vectorial \(\nabla \times (\nabla \Lambda) = \mathbf{0}\) (el rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es cero):
El campo magnético no cambia. ✓
🟡 Lina: Ahora el campo eléctrico:
Expandiendo:
🔵 Kai: El segundo y cuarto término tienen el mismo signo y... ¿se cancelan?
🟡 Lina: Exacto. Como \(\nabla\frac{\partial \Lambda}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \Lambda)\) (intercambio del orden de derivadas espacial y temporal), el segundo y cuarto término se cancelan:
El campo eléctrico tampoco cambia. ✓
🔵 Kai: ¡Vaya! Sin importar cuál sea \(\Lambda\), \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\) son invariantes.
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flowchart TD
A["Potencial (Φ, A)"] -->|"E = -∇Φ - ∂A/∂t"| C["Campo eléctrico E"]
A -->|"B = ∇×A"| D["Campo magnético B"]
B["Potencial (Φ', A')"] -->|"E = -∇Φ' - ∂A'/∂t"| C
B -->|"B = ∇×A'"| D
A <-->|"Transformación de gauge\nΦ→Φ−∂ₜΛ\nA→A+∇Λ"| B
style C fill:#f9f,stroke:#333
style D fill:#f9f,stroke:#333Fig. 2.9: Transformación de gauge y no unicidad del potencial
🟡 Lina: Exacto. Los potenciales \((\Phi, \mathbf{A})\) tienen una redundancia (redundancy). Existen infinitos potenciales que describen la misma física (los mismos \(\mathbf{E}\), \(\mathbf{B}\)). Esta redundancia se llama libertad de gauge.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es la "libertad de gauge"?
Respuesta
La redundancia de que existen infinitos potenciales \((\Phi, \mathbf{A})\) que describen la misma situación física (los mismos \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\)). Se obtienen diferentes potenciales mediante transformaciones de gauge con una función escalar arbitraria \(\Lambda\), pero las cantidades físicamente observables no cambian.
🔵 Kai: Pero si es redundante, ¿para qué usar potenciales? Se podría escribir directamente con \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\).
🟡 Lina: Buena pregunta. Hay dos razones. Primera, usando potenciales la mitad de las ecuaciones de Maxwell se satisfacen automáticamente y el cálculo se simplifica. Segunda —y esta es la razón más profunda—, en mecánica cuántica hay situaciones donde el potencial \(\mathbf{A}\) afecta directamente a la física en lugar de \(\mathbf{E}\) o \(\mathbf{B}\) (efecto Aharonov-Bohm, consulta Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Cap. 26).
⚪ Mei: Así que una "descripción que parece redundante" es en realidad necesaria para describir una física más profunda.
🟡 Lina: Y esta libertad de gauge no es una mera conveniencia matemática, sino que refleja una simetría fundamental de la naturaleza. En Cap. 9 aprenderemos que la transformación de gauge vista en este capítulo es la manifestación de una estructura matemática llamada "simetría de gauge \(U(1)\)", y veremos el camino que lleva hasta el modelo estándar al extenderla (el significado de símbolos como \(U(1)\) se define en Cap. 9. Más detalles en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 17).
Nota de filosofía de la ciencia: La transformación de gauge utiliza una forma de descripción que contiene "grados de libertad físicamente no observables". Esto plantea el problema filosófico de "la distinción entre la descripción del modelo y la realidad física". ¿Son los potenciales "reales" o simplemente herramientas de cálculo convenientes? La respuesta a esta pregunta cambiará con la llegada de la mecánica cuántica. Los elementos para juzgar por ti mismo se irán acumulando a medida que avances en este libro.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la fórmula para obtener el campo magnético \(\mathbf{B}\) a partir del potencial electromagnético \((\Phi, \mathbf{A})\)?
Respuesta
\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)
✅ Verificación de comprensión: Bajo la transformación de gauge \(\Phi \to \Phi - \partial_t \Lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\Lambda\), ¿qué les ocurre a \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\)?
Respuesta
Ambos permanecen invariantes (no cambian). Las cantidades físicamente observables no cambian bajo transformaciones de gauge.
2.7 Forma lagrangiana (avanzado)¶
🟡 Lina: A partir de aquí el contenido es algo más avanzado —toda esta sección puede saltarse en la primera lectura y pasar directamente a Cap. 3—. En los capítulos siguientes no se asume como prerrequisito el contenido de esta sección, así que no te preocupes. Si vuelves después de aprender relatividad especial en Cap. 5, la notación 4-dimensional te resultará natural. Sin embargo, si lo lees ahora entenderás que "las 4 ecuaciones de Maxwell parecen separadas, pero en realidad todas salen de una única acción" —aquí está la expresión más bella de la "unificación", tema de este capítulo—. En Cap. 1 presenté el "principio de acción". La idea de que las ecuaciones de movimiento de Newton se derivan de la condición de estacionariedad de la acción \(S\). Lo mismo se puede hacer con las ecuaciones de Maxwell.
🔵 Kai: ¿Las ecuaciones de Maxwell también se derivan del principio de acción?
🟡 Lina: Sí. Para ello, primero necesitamos introducir una herramienta llamada tensor del campo electromagnético \(F_{\mu\nu}\). Usaré el lenguaje de los 4-vectores que se aprende en Relatividad General Relatividad General Cap. 3.
4-potencial y tensor del campo electromagnético¶
🟡 Lina: El objetivo de esta subsección es ver que "el campo eléctrico y el magnético son en realidad diferentes componentes de un único objeto (un tensor)". Para ello, introduciré la notación 4-dimensional que unifica tiempo y espacio.
🟡 Lina: En relatividad especial, se unifican tiempo y espacio escribiéndolos con coordenadas 4-dimensionales \(x^\mu = (ct, x, y, z)\). De la misma manera, unimos el potencial escalar \(\Phi\) y el potencial vector \(\mathbf{A}\) para definir el 4-potencial:
🟡 Lina: En componentes contravariantes (índice arriba):
donde \(A_x, A_y, A_z\) son las componentes del mismo potencial vector 3-dimensional \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) que usamos en la sección anterior.
🔵 Kai: ¿Por qué es \(\Phi/c\) y no simplemente \(\Phi\)?
🟡 Lina: Porque todas las componentes de un 4-vector deben tener las mismas dimensiones (unidades). Las unidades de \(\mathbf{A}\) son \(\text{V·s/m}\) (se deduce de \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)). Las unidades de \(\Phi\) son \(\text{V}\), así que al dividir por \(c\) obtenemos \(\text{V/(m/s)} = \text{V·s/m}\), que coincide con las de \(\mathbf{A}\).
🔵 Kai: ¿Qué son "contravariante" y "covariante"? ¿Por qué se necesitan dos formas de escribirlo?
🟡 Lina: Buena pregunta. Lo estudiarás en detalle en Relatividad General Relatividad General Cap. 3, pero por ahora basta con que recuerdes la regla de cálculo de que "según el índice esté arriba o abajo, el signo de las componentes espaciales cambia". La razón la entenderás naturalmente cuando estudies relatividad especial en Cap. 5.
🟡 Lina: Para decirlo en una frase: al tratar tiempo y espacio en un mismo marco, se necesita un "peso" para distinguirlos. En un ejemplo cotidiano, "avanzar 3 km hacia el norte" y "esperar 3 horas" son el mismo "3" pero físicamente completamente diferentes, ¿verdad? Al escribir tiempo y espacio juntos en 4 dimensiones, esa diferencia se expresa con signos —ese es el tensor métrico \(\eta_{\mu\nu}\)—. Es una matriz 4×4 con valores solo en la diagonal: concretamente \(\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\). Es decir, la componente temporal (\(\mu = \nu = 0\)) se multiplica por \(+1\), y las componentes espaciales (\(\mu = \nu = 1, 2, 3\)) por \(-1\).
⚪ Mei: La "diferencia de peso" entre tiempo y espacio se expresa con el signo.
🟡 Lina: En las componentes contravariantes (índice arriba), las componentes 3-dimensionales entran tal cual. Las componentes covariantes (índice abajo) se obtienen con \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\). Como las componentes espaciales se multiplican por \(-1\), el signo se invierte:
🟡 Lina: Y definimos el tensor del campo electromagnético así:
donde \(\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}\). Como todos los índices de la definición están abajo (covariantes), para el cálculo se usan las componentes covariantes \(A_\mu = (\Phi/c, -A_x, -A_y, -A_z)\).
🔵 Kai: Entiendo la definición, pero ¿qué sale concretamente al calcularlo?
🟡 Lina: Al escribir explícitamente las componentes de \(F_{\mu\nu}\), aparecen el campo eléctrico y el magnético. Por ejemplo:
🟡 Lina: Como todos los índices en la definición de \(F_{\mu\nu}\) están abajo (covariantes), usamos las componentes covariantes \(A_\mu = (\Phi/c, -A_x, -A_y, -A_z)\). Como \(x^0 = ct\), tenemos \(\partial_0 = \frac{\partial}{\partial x^0} = \frac{\partial}{\partial(ct)} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\). Análogamente, \(\partial_1 = \frac{\partial}{\partial x^1} = \frac{\partial}{\partial x}\). Sustituyendo \(A_0 = \Phi/c\), \(A_1 = -A_x\):
Recordando que en la sección anterior derivamos \(E_x = -\frac{\partial \Phi}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial t}\), multiplicando ambos lados por \(-1\): \(\frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial A_x}{\partial t} = -E_x\), así que:
🔵 Kai: ¡El campo eléctrico aparece como componente del tensor!
🟡 Lina: De forma análoga, al calcular todas las componentes, \(F_{\mu\nu}\) resulta ser un tensor antisimétrico que contiene todas las componentes del campo eléctrico y magnético. Es decir, las 6 componentes de \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{B}\) están empaquetadas en un único tensor \(F_{\mu\nu}\).
🔵 Kai: El campo eléctrico y el magnético se unifican en un solo objeto.
Fig. 2.10: Estructura de componentes del tensor del campo electromagnético. Muestra cómo se almacenan el campo eléctrico y magnético en las componentes del tensor antisimétrico F_μν.
🟡 Lina: Exacto. Esta es la expresión matemática de "la unificación de la electricidad y el magnetismo". Al cambiar las coordenadas mediante una transformación de Lorentz (consulta Relatividad General Relatividad General Cap. 3), las componentes de \(F_{\mu\nu}\) se mezclan —es decir, lo que para un observador es "campo eléctrico", para otro observador es parte del "campo magnético"—. El campo eléctrico y el magnético son diferentes aspectos de lo mismo.
Transformación de gauge en 4 dimensiones¶
🟡 Lina: Escribamos la transformación de gauge que aprendimos antes en lenguaje 4-dimensional. Pero aquí hay una advertencia. Como las componentes covariantes del 4-potencial son \(A_\mu = (\Phi/c, -A_x, -A_y, -A_z)\) con signo negativo en la parte espacial, hacer corresponder directamente los signos con la versión 3-dimensional requiere un poco de cuidado.
🔵 Kai: Parece que los signos van a ser complicados...
🟡 Lina: Sí. De hecho, las convenciones de signos varían según el libro de texto. Así que por ahora, quedémonos con solo lo esencial. Lo esencial es "el tensor del campo electromagnético \(F_{\mu\nu}\) es invariante bajo transformaciones de gauge" —solo eso—. Primero confirmemos esto, y luego veremos como complemento la correspondencia de signos con la versión 3-dimensional. La transformación de gauge en 4 dimensiones se escribe:
(\(\chi\) es una función escalar arbitraria). La razón de usar un símbolo diferente del \(\Lambda\) de la versión 3-dimensional es que en 4 dimensiones la forma más simple es "sumar \(\partial_\mu\chi\) a la componente covariante \(A_\mu\)" —la relación con \(\Lambda\) de la versión 3D es \(\chi = -\Lambda\), pero lo verificaremos después—. Aplicando esta transformación a \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\):
🟡 Lina: Como el orden de las derivadas parciales se puede intercambiar (\(\partial_\mu \partial_\nu \chi = \partial_\nu \partial_\mu \chi\)), los términos adicionales se cancelan:
El tensor del campo electromagnético es invariante de gauge. ✓
🔵 Kai: Ya veo, es la misma estructura que la versión 3-dimensional —los términos extra se cancelan y la cantidad física no cambia—. Pero, ¿cómo se corresponde con la transformación de gauge 3-dimensional \(\Phi \to \Phi - \partial_t\Lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\Lambda\)?
🟡 Lina: Poniendo \(\chi = -\Lambda\) coincide con la versión 3-dimensional. El signo es opuesto porque la parte espacial de la componente covariante \(A_\mu\) tiene un signo negativo \(A_i = -A_i^{\text{(3D)}}\), así que \(\partial_i\chi = -\partial_i\Lambda\) en \(A_i + \partial_i\chi\) corresponde al \(\mathbf{A} + \nabla\Lambda\) 3-dimensional. Verificando la componente \(\mu = 0\): \(\Phi/c \to \Phi/c + \frac{1}{c}\partial_t(-\Lambda) = \Phi/c - \frac{1}{c}\partial_t\Lambda\), es decir \(\Phi \to \Phi - \partial_t\Lambda\). La componente espacial: \(A_i \to A_i + \partial_i\chi = -A_x + (-\partial_x\Lambda)\), es decir, como potencial vector 3-dimensional: \(A_x \to A_x + \partial_x\Lambda\) —efectivamente se reproduce \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\Lambda\)—. ✓
⚪ Mei: Es decir, entre la versión 3-dimensional y la 4-dimensional solo cambia el signo de la función utilizada, pero la física es la misma.
🟡 Lina: Exacto. La convención de usar \(\chi\) o \(\Lambda\) varía según el libro de texto, pero lo que debes recordar ahora es: \(F_{\mu\nu}\) es invariante bajo transformaciones de gauge —eso es lo esencial—. Los detalles de la convención de signos se reorganizarán en Relatividad General Relatividad General Cap. 3.
Densidad lagrangiana del campo electromagnético¶
🟡 Lina: Para escribir la acción del campo electromagnético, definimos la densidad lagrangiana. La cantidad más simple que es invariante de gauge e invariante de Lorentz es:
🔵 Kai: ¿Por qué lleva el factor \(-\frac{1}{4\mu_0}\)?
🟡 Lina: El coeficiente \(-\frac{1}{4\mu_0}\) es una normalización elegida para que al derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange de este lagrangiano, salgan exactamente las ecuaciones de Maxwell en unidades SI. En unidades naturales (\(c = 1\) además de \(\mu_0 = 1\) —es decir, redefiniendo también las unidades electromagnéticas a su tamaño "natural"—) se reduce simplemente a \(-\frac{1}{4}\).
🟡 Lina: Al expandir \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) en componentes, se obtiene una combinación de los cuadrados de las componentes del campo eléctrico y magnético. Sin embargo, escribir \(c\) y \(\mu_0\) explícitamente alarga las fórmulas y oscurece lo esencial. Por eso usaremos unidades naturales (\(c = 1\), \(\mu_0 = 1\)) para simplificar los cálculos. En el cálculo anterior teníamos \(F_{01} = E_x/c\), pero con \(c = 1\) se convierte en \(F_{01} = E_x\) —las fórmulas quedan más claras, ¿ves?—
🔵 Kai: ¿Se puede poner las constantes igual a 1 así como así? ¿No cambian los valores de las cantidades físicas?
🟡 Lina: Buena pregunta. No es "cambiar el valor de las constantes", sino "cambiar la elección de unidades". Por ejemplo, medir distancias en km o en m cambia el valor numérico pero no la física, ¿verdad? De la misma manera, si se toma como unidad de longitud "la distancia que recorre la luz en 1 segundo", entonces \(c = 1\). Lo mismo para \(\mu_0 = 1\): eligiendo apropiadamente la unidad de corriente, \(\mu_0\) se vuelve 1. Solo mejora la claridad de las fórmulas; si al final quieres volver a unidades SI, puedes restaurar \(c\) y \(\mu_0\) mediante análisis dimensional (más detalles en Relatividad General Relatividad General Cap. 3).
⚪ Mei: En programación sería como almacenar constantes en nombres de variables y referenciarlas después. El valor en sí no cambia.
🟡 Lina: En estas unidades, \(F_{01} = E_x\) (con \(c=1\) en el \(E_x/c\) anterior) y la densidad lagrangiana es \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\). Aquí \(F^{\mu\nu}\) es el tensor con los índices subidos con la métrica: \(F^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\).
🔵 Kai: ¿Qué significa "subir los índices con la métrica"?
🟡 Lina: Cuando el mismo índice \(\alpha\) aparece una vez arriba y una vez abajo, se suma sobre ese índice de 0 a 3 —esto se llama convención de suma de Einstein—. Por ejemplo, \(\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\) es la abreviatura de \(\sum_{\alpha=0}^{3}\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\).
🔵 Kai: Es decir, ¿cuando \(\alpha\) aparece tanto arriba como abajo significa "suma \(\alpha = 0, 1, 2, 3\) todos"?
🟡 Lina: Exacto. Escribiéndolo explícitamente: \(\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta} = \eta^{\mu 0}F_{0\beta} + \eta^{\mu 1}F_{1\beta} + \eta^{\mu 2}F_{2\beta} + \eta^{\mu 3}F_{3\beta}\) —se suman los 4 términos—. Pero como la métrica \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) es una matriz diagonal, \(\eta^{\mu\alpha}\) solo tiene valor cuando \(\alpha = \mu\) y es cero en el resto. Así que al sumar, solo sobrevive el término \(\alpha = \mu\). El resultado es la operación de "la componente temporal se queda igual, las componentes espaciales cambian de signo".
🔵 Kai: Como es una matriz diagonal, en la práctica solo se toma esa componente.
🟡 Lina: Exacto. Hagamos un ejemplo concreto. Para obtener \(F^{01}\), calculamos \(F^{01} = \eta^{00}\eta^{11}F_{01}\) (al ser matriz diagonal, solo sobrevive el término \(\alpha = 0\), \(\beta = 1\)). \(\eta^{00} = +1\), \(\eta^{11} = -1\), así que \(F^{01} = (+1)(-1)E_x = -E_x\). Es decir, al "subir los índices" se invierte el signo de la dirección espacial. El porqué de esta convención de signos se entenderá naturalmente al estudiar relatividad especial en Relatividad General Relatividad General Cap. 3; por ahora acéptalo como "regla de cálculo". Esta inversión de signo es la que produce efecto al expandir \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\). Usando la métrica \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) y sumando todas las componentes (todo lo siguiente en unidades naturales \(c = 1\), \(\mu_0 = 1\)):
🔵 Kai: ¿Por qué aparece un signo negativo en \(\mathbf{E}^2\)? ¿Y de dónde sale el 2?
🟡 Lina: Te doy solo lo esencial. Al subir los índices con la métrica \(\eta^{\mu\nu}\), a las componentes tiempo-espacio (por ejemplo \(F_{01} = E_x\)) se les multiplica \(\eta^{00}\eta^{11} = (+1)(-1) = -1\). Así que \(F_{01}F^{01} = E_x \cdot (-E_x) = -E_x^2\) —la contribución del campo eléctrico es negativa—. En cambio, a las componentes espacio-espacio (por ejemplo \(F_{12} = B_z\)) se les multiplica \(\eta^{11}\eta^{22} = (-1)(-1) = +1\), así que \(F_{12}F^{12} = B_z^2\) —la contribución del campo magnético es positiva—.
🔵 Kai: Los signos de la métrica \((+1,-1,-1,-1)\) son los que producen el efecto.
🟡 Lina: Exacto. Para el "2" te lo muestro concretamente. \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) suma \(\mu\) y \(\nu\) de 0 a 3 —es decir, se incluyen tanto el término \(\mu = 0, \nu = 1\) como el término \(\mu = 1, \nu = 0\)—. Por la antisimetría \(F_{10} = -F_{01}\), tenemos \(F_{10}F^{10} = (-E_x)(+E_x) = -E_x^2\), que es el mismo valor que \(F_{01}F^{01} = -E_x^2\). Es decir, la misma componente física se cuenta 2 veces. Por eso al escribirlo en términos de componentes independientes aparece el coeficiente 2. Los detalles completos de la expansión están en Apéndice A; si te interesa, compruébalo.
Por lo tanto:
🔵 Kai: El cuadrado del campo eléctrico menos el cuadrado del campo magnético... ¿Es una forma similar al \(L = T - V\) de Cap. 1?
🟡 Lina: Buena intuición. Se parece a la estructura del lagrangiano de mecánica de partículas \(L = T - V\) (energía cinética menos energía potencial), ¿verdad? Puedes pensar que el campo eléctrico corresponde a la parte "cinética" y el campo magnético a la parte "potencial". La correspondencia exacta se trata en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 3.
⚪ Mei: Es decir, la misma forma "algo menos algo" que vimos con \(T - V\) en Cap. 1 se repite también en la teoría de campos.
Rederivación de las ecuaciones de Maxwell a partir del principio de acción (resumen)¶
🟡 Lina: La acción es:
donde \(d^4x = dt\,dx\,dy\,dz\) representa la integral 4-dimensional sobre toda la región de tiempo y espacio. Usando coordenadas \(x^\mu = (ct, x, y, z)\) se puede escribir \(d^4x = \frac{1}{c}dx^0\,dx^1\,dx^2\,dx^3\) (en unidades naturales \(c=1\) ambas son lo mismo).
🟡 Lina: En Cap. 1 aprendimos la ecuación de Euler-Lagrange para partículas \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\). En teoría de campos, la variable dinámica es el campo \(A_\nu(x)\) en lugar de la posición de la partícula \(q(t)\). La ecuación de Euler-Lagrange correspondiente para campos es (la derivación se trata en detalle en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 3):
🔵 Kai: En el caso de partículas era \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\), derivar "respecto a la velocidad". En el caso de campos, \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\), ¿respecto a qué se está derivando?
🟡 Lina: Buena pregunta. Es la misma idea que cuando en mecánica de partículas se trata \(\dot{q}\) como variable independiente de \(q\) para calcular \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\). En el caso de campos, se trata cada \(\partial_\mu A_\nu\) (cada componente de derivada del campo) como variable independiente, y se calcula la derivada parcial de \(\mathcal{L}\) respecto a ella. Solo que en el caso de campos, \(\partial_\mu A_\nu\) tiene múltiples combinaciones con \(\mu = 0,1,2,3\) y \(\nu = 0,1,2,3\), así que se especifica "respecto a qué par \(\mu\), \(\nu\) de la componente de derivada se toma la derivada parcial".
🔵 Kai: En el caso de partículas \(\dot{q}\) era solo uno, pero para campos hay muchas componentes de derivada.
🟡 Lina: Exacto. Te muestro un ejemplo concreto. Dentro de \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\) está contenido \(F_{01} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0\). Al derivar parcialmente respecto a \(\partial_0 A_1\), solo reacciona el \(\partial_0 A_1\) dentro de \(F_{01}\) dando 1, y la parte \(\partial_1 A_0\) da cero. Como resultado sale un término proporcional a \(F^{01}\) —este tipo de cálculo se hace para todas las combinaciones de \(\mu\), \(\nu\)—. Y el \(\partial_\mu\) del primer término del lado izquierdo suma sobre \(\mu = 0, 1, 2, 3\) por la convención de suma —es decir, suma las derivadas en todas las direcciones del espacio-tiempo—.
⚪ Mei: Es decir, mientras que el \(\frac{d}{dt}\) de la mecánica de partículas era solo en la dirección temporal, en la teoría de campos se convierte en la suma sobre todas las direcciones.
🟡 Lina: Exacto. Mientras que el \(\frac{d}{dt}\) de la mecánica de partículas era solo en la dirección temporal, en la teoría de campos se convierte en la suma de derivadas en todas las direcciones del espacio-tiempo \(\partial_\mu\) —ese es el punto clave de la extensión de partículas a campos—.
🔵 Kai: En el caso de partículas se derivaba respecto a \(q\) y \(\dot{q}\). En campos se deriva respecto a \(A_\nu\) y \(\partial_\mu A_\nu\)... ¿"el valor del campo" y "la tasa de cambio espacial y temporal del campo" son lo que corresponde?
🟡 Lina: Exacto, buena comprensión. Comparando con la fórmula de mecánica de partículas, la correspondencia es \(\frac{d}{dt} \to \partial_\mu\), \(\dot{q} \to \partial_\mu A_\nu\), \(q \to A_\nu\). Como \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) (en el vacío) no depende de \(A_\nu\) en sí sino solo de \(\partial_\mu A_\nu\), el segundo término es cero. En el primer término, como se deriva \(\mathcal{L}\) respecto a \(\partial_\mu A_\nu\), se termina derivando \(\partial_\mu A_\nu\) dentro de \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\), y el resultado es \(F^{\mu\nu}\). El cálculo da (detalles de la derivación en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 3):
🔵 Kai: ¡Las ecuaciones de Maxwell en una sola línea...!
🟡 Lina: Estas son las ecuaciones de Maxwell en el vacío (versión vacía de la primera y cuarta ecuaciones) escritas en lenguaje 4-dimensional. Como \(\nu\) toma valores 0, 1, 2, 3, en realidad contiene 4 ecuaciones. Tomando \(\nu = 0\) se obtiene \(\partial_i F^{i0} = 0\), que corresponde a \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) (primera ecuación en el vacío). Tomando \(\nu = 1, 2, 3\) se obtiene \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) (cuarta ecuación en el vacío). Cuando hay cargas y corrientes, se añade al lagrangiano un término de acoplamiento con la corriente \(-A_\nu j^\nu\). Entonces \(\mathcal{L}\) también depende de \(A_\nu\), y el segundo término de la ecuación de Euler-Lagrange genera \(j^\nu\). Volviendo a unidades SI (restaurando \(\mu_0\)):
donde \(j^\nu = (c\rho, \mathbf{j})\) es la 4-corriente.
🔵 Kai: Increíble. Las 4 ecuaciones de Maxwell salen naturalmente del principio de acción.
🟡 Lina: Así es. En Cap. 1 las ecuaciones de movimiento de partículas salían del principio de acción, ¿verdad? Ahora las ecuaciones de campo también salen del mismo principio —el principio de acción es un marco universal que funciona tanto para partículas como para campos—.
⚪ Mei: La misma estructura se repite. Tanto para partículas como para campos, se escribe el lagrangiano, se hace la variación y salen las ecuaciones de movimiento.
🟡 Lina: Y la razón por la que esta forma lagrangiana es importante es que se convierte en el punto de partida para cuantizar el campo electromagnético en la teoría cuántica de campos (Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 6). Además, el principio de acción juega un papel central también en la teoría de cuerdas (Cap. 13 en adelante). La estructura que hemos visto aquí la seguiremos usando mucho más adelante.
Nota de filosofía de la ciencia: El lagrangiano \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) queda casi unívocamente determinado solo por las condiciones de "invariancia de gauge", "invariancia de Lorentz" y "dar ecuaciones diferenciales de segundo orden o menor". Que los requisitos de simetría determinen la forma de la teoría —esto es el germen del principio de gauge, un tema que se desarrollará plenamente en Cap. 9—.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la definición del tensor del campo electromagnético \(F_{\mu\nu}\)?
Respuesta
\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué se obtiene al derivar la ecuación de Euler-Lagrange de la densidad lagrangiana del campo electromagnético \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)?
Respuesta
Las ecuaciones de Maxwell en el vacío \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\).
2.8 Preguntas pendientes — Pistas¶
🟡 Lina: El modelo de Maxwell unificó electricidad, magnetismo y luz. Pero también surgieron nuevos misterios.
🔵 Kai: ¿Cuáles?
🟡 Lina: El problema de que la velocidad de la luz \(c\) es "la misma para todos los observadores".
🔵 Kai: ¿Qué la velocidad de la luz es la misma para todos? Si lanzas una pelota dentro de un tren, la velocidad vista desde el suelo y desde dentro del tren son diferentes, ¿no?
🟡 Lina: Exacto. Normalmente, la velocidad de una onda cambia según el estado de movimiento del observador. Pero la velocidad de la luz \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\) derivada de las ecuaciones de Maxwell no contiene información de "para quién". \(\mu_0\) y \(\varepsilon_0\) son constantes que representan propiedades del vacío y no dependen de la velocidad del observador.
🔵 Kai: Entonces, si corres en la misma dirección que la luz y la miras, la luz debería verse más lenta... ¿pero la ecuación de Maxwell no dice eso?
🟡 Lina: Exacto. Las ecuaciones de Maxwell solo dicen "la velocidad de la luz es \(c\)". No especifican "para quién es \(c\)". Esto contradice frontalmente el sentido común de la mecánica newtoniana —que la velocidad depende del observador—. La resolución de esta contradicción es la relatividad especial de Einstein (Cap. 5).
🔵 Kai: Así que cuando crees que has unificado, aparece el siguiente problema. No tiene fin...
🟡 Lina: Parece que no tiene fin, pero en realidad hay un patrón.
🔵 Kai: ¿Un patrón?
🟡 Lina: Newton unificó la gravedad y quedó "¿por qué se transmite instantáneamente?". Maxwell unificó el electromagnetismo y quedó "¿por qué la velocidad de la luz es la misma para todos?". Cada vez que se unifica, emerge una nueva pregunta que no era visible en el modelo anterior.
🔵 Kai: Entonces, ¿si se resuelve esa "pregunta pendiente", aparecerá otra nueva? Si esto continúa eternamente, ¿realmente existe una unificación final?
🟡 Lina: Esa es precisamente una de las preguntas fundamentales de la física. ¿Existe una "teoría definitiva", o es una estructura de muñecas rusas infinita? Al final de este libro (Parte IV), veremos cómo la teoría de cuerdas intenta responder a esa pregunta.
⚪ Mei: Pero al menos, es cierto que con cada unificación queda más claro "qué es lo que no sabemos".
🔵 Kai: Pero al menos, con cada unificación queda claro "qué debemos preguntar a continuación". Con Newton quedó "¿por qué se transmite instantáneamente?" y con Maxwell "¿por qué la velocidad de la luz es constante?" —ambos son problemas sobre la "velocidad"—. ¿Es casualidad?
🟡 Lina: Buena observación. No es casualidad. Hay una estructura en la que, con cada unificación, las preguntas sobre cómo se transmite la información se agudizan. Y esa estructura misma es la fuerza motriz que impulsa la física hacia adelante.
🟡 Lina: Y voy a dejar otra pista. La libertad de gauge que apareció en este capítulo —no es una simple conveniencia matemática, sino que refleja una simetría profunda de la naturaleza—.
⚪ Mei: Así que esa "descripción redundante" del potencial tiene un significado tan profundo.
🟡 Lina: En Cap. 9 aprenderemos que la transformación de gauge vista en este capítulo es la manifestación de una estructura matemática llamada "simetría de gauge \(U(1)\)", y veremos el camino que lleva al modelo estándar al extenderla (el significado de símbolos como \(U(1)\) se define en Cap. 9. Más detalles en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 17).
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flowchart TD
A["Leyes de la electricidad\n(Coulomb)"] --> C["Ecuaciones de Maxwell\nUnificadas en 4 ecuaciones"]
B["Leyes del magnetismo\n(Ampère, Faraday)"] --> C
D["Conservación de la carga"] -->|"Introducción de la corriente de desplazamiento"| C
C -->|"Derivación de la ecuación de onda"| E["Predicción de ondas electromagnéticas\nc = 1/√(μ₀ε₀)"]
E --> F["La naturaleza de la luz es una onda electromagnética"]
C -->|"Representación en potenciales"| G["(Φ, A) y transformación de gauge"]
G --> H["Simetría de gauge\n→ Capítulo 9: Modelo estándar"]
F --> I["Misterio de la invariancia de la velocidad de la luz\n→ Capítulo 5: Relatividad especial"]
C --> J["Unificación con la gravedad no lograda\n→ Parte IV: Teoría de cuerdas"]Fig. 2.11: Estructura lógica desde las ecuaciones de Maxwell hasta la predicción de la luz
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es el nuevo misterio que genera la velocidad de la luz \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\) derivada de las ecuaciones de Maxwell?
Respuesta
El problema de que la velocidad de la luz \(c\) no contiene información de "para quién" y tiene el mismo valor independientemente del estado de movimiento del observador.
Avance del próximo capítulo¶
Cap. 3「Capítulo 3 Querer mejorar la eficiencia de la máquina de vapor — El nacimiento de la termodinámica y la entropía」 ——La historia de cómo Carnot persiguió el límite de eficiencia de las máquinas de vapor y Boltzmann descifró el significado estadístico de la entropía. Una exploración que comenzó por "necesidad" alcanzó una propiedad fundamental del universo.
Referencias¶
El contenido de este capítulo se ha construido consultando las siguientes referencias.
- David Tong, Lectures on Quantum Field Theory, Ch.2: "Free Fields" — Forma lagrangiana de las ecuaciones de Maxwell, tensor de intensidad de campo \(F_{\mu\nu}\)
- Lee Smolin, The Trouble with Physics, Ch.3: "The World As Geometry" — Motivación histórica de la unificación y criterios de evaluación
- Lee Smolin, The Trouble with Physics, Ch.4: "Unification Becomes a Science" — Pistas sobre simetría de gauge, teoría de gauge \(U(1)\)
- J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, Ch.6 — Ecuaciones de Maxwell, derivación de la ecuación de onda
- D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Ch.7 — Ondas electromagnéticas, potenciales y transformación de gauge
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