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Cap. 6 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Lado izquierdo y derecho de la ecuación de Einstein

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(a) Significado físico

  • Lado izquierdo \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\): Cantidad geométrica que representa la curvatura del espacio-tiempo. Gracias a la identidad de Bianchi, satisface automáticamente \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\).
  • Lado derecho \(T_{\mu\nu}\): Tensor que agrupa la densidad de energía, la densidad de momento y los esfuerzos (presión y esfuerzos cortantes) en ese punto. La ley de conservación \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) expresa la conservación de energía y momento de la materia.

En una frase: el lado izquierdo es "la geometría del espacio-tiempo" y el lado derecho es "la materia y la energía". En palabras de Wheeler: «El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse, y la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse».

(b) En el vacío: \(R_{\mu\nu} = 0\)

Cálculo: Contraemos ambos lados de la ecuación de Einstein con \(g^{\mu\nu}\):

\[ g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \]

Usando \(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R\), \(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = 4\) (traza en 4 dimensiones) y \(g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = T\):

\[ R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T \quad \Longrightarrow \quad R = -\frac{8\pi G}{c^4}T \]

En el vacío \(T_{\mu\nu} = 0\), por lo que \(T = 0\) y \(R = 0\). Sustituyendo de vuelta en la ecuación de Einstein:

\[ R_{\mu\nu} - 0 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{R_{\mu\nu} = 0} \]

(c) Significado físico de la métrica de Schwarzschild

La métrica de Schwarzschild es una solución de \(R_{\mu\nu} = 0\) — describe la estructura del espacio-tiempo en la región de vacío exterior a una estrella. Dentro de la estrella (\(r < R_{\text{estrella}}\)), se tiene \(T_{\mu\nu} \neq 0\) y se requiere una solución interior diferente (en el caso con simetría esférica, la unicidad está garantizada por el teorema de Birkhoff).

Aplicación: El movimiento de los planetas del sistema solar ocurre fuera del Sol, por lo que puede describirse con la métrica de Schwarzschild. La precesión del perihelio de Mercurio, la deflexión de la luz y la corrección temporal del GPS se derivan todos de esta solución de vacío.

Intermedio

M-1. Acción conveniente y condiciones de ligadura

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(a) Ecuación de Euler-Lagrange

Estrategia de resolución: Se varía el lagrangiano \(\mathcal{L} = g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu / 2\) respecto a \(x^\sigma\).

Cálculo:

A partir de \(\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}^\sigma} = \frac{1}{2}\left(g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu + g_{\mu\sigma}\dot{x}^\mu\right) = g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu \]

(Se usó \(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\) y el renombramiento de índices mudos.)

Derivada temporal:

\[ \frac{d}{d\tau}\left(g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu\right) = \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\,\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu + g_{\sigma\nu}\ddot{x}^\nu \]

A partir de \(\partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma\):

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^\sigma} = \frac{1}{2}\partial_\sigma g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu \]

Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange \(\frac{d}{d\tau}\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma - \partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma = 0\):

\[ g_{\sigma\nu}\ddot{x}^\nu + \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\,\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu - \frac{1}{2}\partial_\sigma g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 0 \]

En el término central, usando la simetría de \(\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu\), se simetriza \(\alpha \leftrightarrow \nu\):

\[ \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu = \frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\alpha}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu \]

Sustituyendo esto (reorganizando \(\mu, \nu\) → \(\alpha, \beta\)):

\[ g_{\sigma\beta}\ddot{x}^\beta + \frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0 \]

(b) Transformación a la ecuación geodésica

Cálculo: Se multiplica ambos lados por la métrica inversa \(g^{\mu\sigma}\), usando \(g^{\mu\sigma}g_{\sigma\beta} = \delta^\mu{}_\beta\):

\[ \ddot{x}^\mu + \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0 \]

Definiendo los símbolos de Christoffel como

\[ \boxed{\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)} \]

se obtiene la ecuación geodésica buscada:

\[ \boxed{\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0} \]

(c) Conservación de la condición de ligadura

Demostración: Se deriva \(Q(\tau) \equiv g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) respecto a \(\tau\):

\[ \frac{dQ}{d\tau} = \partial_\alpha g_{\mu\nu}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu + 2g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu\dot{x}^\nu \]

Sustituyendo la ecuación geodésica \(\ddot{x}^\mu = -\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta\) y reintroduciendo la definición de los símbolos de Christoffel, al reorganizar el cálculo se demuestra que \(dQ/d\tau = 0\) (lo cual es equivalente a que la derivada covariante de \(g_{\mu\nu}\) sea cero).

Por lo tanto, si se impone la condición inicial \(Q(0) = -c^2\), entonces \(Q(\tau) = -c^2\) se mantiene para todos los valores de \(\tau\) — la condición de ligadura se conserva automáticamente. Este es el contenido matemático de la afirmación de que «se puede elegir \(\tau\) como el tiempo propio».

Verificación: En el espaciotiempo plano \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\), se tiene \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0\) y \(\ddot{x}^\mu = 0\). Movimiento rectilíneo uniforme. \(\eta_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) es precisamente la condición de normalización de la cuadrivelocidad. ✓

M-2. De la acción conveniente a la acción de cuerdas

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(a) Correspondencia de notación

Partícula (línea de mundo, 1 dimensión) Cuerda (hoja de mundo, 2 dimensiones)
Parámetro \(\tau\) Parámetros \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\)（\(a = 0, 1\)）
Línea de mundo \(x^\mu(\tau)\) Hoja de mundo \(X^\mu(\tau, \sigma)\)
Derivada \(\dot{x}^\mu = dx^\mu/d\tau\) Derivadas parciales \(\partial_a X^\mu\)
Acción = longitud de la línea de mundo \(\int d\tau\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}\) Acción = área de la hoja de mundo \(\int d^2\sigma\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu)}\)
Acción conveniente \(\frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) Acción de Polyakov \(-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu\)
Ligadura: \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) Ligaduras: \(T_{ab} = 0\) (ligaduras de Virasoro, Cap. 14)

(b) Condiciones de ligadura en teoría de cuerdas

Estrategia de resolución: Variar la acción de Polyakov \(S_{\text{P}}\) con respecto a la métrica auxiliar \(h^{ab}\).

Cálculo: \(h^{ab}\) es un campo auxiliar dentro de la acción de Polyakov que no posee ecuaciones de movimiento propias (desempeña el papel de un multiplicador de Lagrange). Al variar \(S_{\text{P}}\) con respecto a \(h^{ab}\), se obtiene la condición

\[ T_{ab} \equiv \partial_a X^\mu\,\partial_b X_\mu - \frac{1}{2}h_{ab}\,h^{cd}\partial_c X^\mu\,\partial_d X_\mu = 0 \]

Esta es la condición de ligadura de la cuerda clásica, que al cuantizar se convierte en las ligaduras de Virasoro.

En el caso de la partícula, \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) es una única ligadura; en el caso de la cuerda, se impone \(T_{ab} = 0\) en cada punto de la hoja de mundo, lo que corresponde a 3 componentes independientes (\(T_{00}, T_{01}, T_{11}\), de las cuales, por simetría y las condiciones, solo 2 son independientes).

Verificación: Para la partícula (1 dimensión) la ligadura es 1 condición; para la cuerda (2 dimensiones) las ligaduras aumentan — es natural que al aumentar la dimensión aumenten las ligaduras. ✓

(c) Tres estructuras comunes

  1. Papel de la métrica \(g_{\mu\nu}(X)\): Tanto para la partícula puntual como para la cuerda, \(g_{\mu\nu}\) desempeña el mismo papel de "métrica del espacio-tiempo de fondo dada externamente" (la métrica del espacio objetivo en el que se mueve la cuerda).
  2. Invariancia bajo reparametrización: Tanto \(\tau\) en la línea de mundo como \(\sigma^a\) en la hoja de mundo son parámetros cuya reasignación (reparametrización de la línea de mundo / difeomorfismos de la hoja de mundo) deja la acción invariante. Esto permite separar los grados de libertad físicos de los grados de libertad de gauge.
  3. Eliminación de la raíz cuadrada: En ambos casos, la introducción de un campo auxiliar (condición de ligadura / \(h_{ab}\)) permite eliminar la raíz cuadrada, haciendo posibles el cálculo y la cuantización.

M-3. Retraso del reloj en un campo gravitatorio débil

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(a) Derivación de la aproximación

Para \(|\Phi|/c^2 \ll 1\) se tiene \(\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \approx 1 + \Phi/c^2\) (usando \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\)). Por lo tanto:

\[ \boxed{\frac{d\tau}{dt} \approx 1 + \frac{\Phi}{c^2}} \]

En lugares donde el potencial gravitatorio es más bajo (\(|\Phi|\) grande, \(\Phi < 0\)) se tiene \(d\tau/dt < 1\): el reloj avanza más lentamente. En lugares más altos (\(\Phi\) mayor, es decir \(|\Phi|\) menor) avanza relativamente más rápido.

(b) Relojes en satélites GPS y en la superficie terrestre

Superficie terrestre: \(r_{\text{sup}} = R_\oplus = 6{,}37 \times 10^6\) m

\(\Phi_{\text{sup}} = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus} = -\frac{(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24})}{6{,}37 \times 10^6} \approx -6{,}25 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

Satélite (altitud \(h = 20000\) km \(= 2{,}0 \times 10^7\) m): \(r_{\text{sat}} = R_\oplus + h \approx 2{,}637 \times 10^7\) m

\(\Phi_{\text{sat}} = -\frac{GM_\oplus}{r_{\text{sat}}} \approx -1{,}51 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

Diferencia de potencial:

\(\Delta\Phi = \Phi_{\text{sat}} - \Phi_{\text{sup}} \approx -1{,}51 \times 10^7 - (-6{,}25 \times 10^7) = +4{,}74 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

Razón de tiempos propios:

\[ \frac{d\tau_{\text{sat}}}{d\tau_{\text{sup}}} - 1 \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{4{,}74 \times 10^7}{8{,}99 \times 10^{16}} \approx 5{,}28 \times 10^{-10} \]

El reloj del satélite avanza aproximadamente 5,3 × 10⁻¹⁰ segundos más rápido por cada segundo respecto al reloj en la superficie.

Desfase por día:

\(5{,}28 \times 10^{-10} \times 86400 \approx 4{,}6 \times 10^{-5}\ \mathrm{s} = 46\ \mu\mathrm{s}\)

\[ \boxed{\text{Desfase de aproximadamente 46 microsegundos por día}} \]

Nota: Esto corresponde únicamente al efecto de la relatividad general. Como los satélites GPS se mueven a alta velocidad, también existe el efecto de la relatividad especial (dilatación temporal por \(v \approx 3{,}87\) km/s, aproximadamente \(-7\) μs por día), resultando en un total de +38 μs/día aproximadamente.

(c) Impacto en la precisión de posicionamiento

Distancia recorrida por la luz en un desfase de 1 microsegundo:

\(c \cdot 10^{-6}\ \mathrm{s} = 3 \times 10^8 \times 10^{-6} = 300\ \mathrm{m}\)

Dado que el posicionamiento GPS se basa en la medición precisa del tiempo de propagación de las señales desde los satélites, el desfase del reloj se traduce directamente en un error de distancia. Los 46 μs/día del apartado (b) generarían un error de ≈ 14 km/día; sin corrección, el desfase superaría los 10 km en un solo día.

Significado físico: La relatividad general es indispensable para la tecnología cotidiana (GPS del teléfono móvil, navegadores de automóviles, topografía, control del tráfico aéreo). Los algoritmos de corrección incorporan directamente la expresión \(d\tau/dt = 1 + \Phi/c^2\).

Verificación: Para la Tierra, \(GM/R \sim c^2 \cdot 10^{-9}\), es decir, el potencial gravitatorio es 9 órdenes de magnitud menor que el cuadrado de la velocidad de la luz. La aproximación de campo débil es válida. ✓

Avanzado

A-1. Singularidades y la necesidad de la gravedad cuántica

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(a) Escala a la que actúa la gravedad cuántica

Cálculo: Resolvemos \(K = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\) para \(r\):

\[ r^6 \sim 48 G^2 M^2 \ell_P^4/c^4 \]

Tomamos la raíz sexta de \(r\). Sustituyendo valores numéricos para la masa solar \(M = M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg:

\(G M_\odot / c^2 \approx 1477\) m (corresponde a la mitad del radio de Schwarzschild)

\(48 \cdot (G M_\odot)^2 / c^4 \approx 48 \cdot 1477^2 \approx 1.05 \times 10^8\ \mathrm{m^2}\)

\(\ell_P^4 \approx (1.6 \times 10^{-35})^4 \approx 6.6 \times 10^{-140}\ \mathrm{m^4}\)

\(r^6 \sim 1.05 \times 10^8 \times 6.6 \times 10^{-140} \approx 6.9 \times 10^{-132}\ \mathrm{m^6}\)

\[ r \sim (6.9 \times 10^{-132})^{1/6} \approx 10^{-22}\ \mathrm{m} \]

(b) Comparación con el radio de Schwarzschild

El radio de Schwarzschild de un agujero negro de masa solar es \(r_s = 2GM_\odot/c^2 \approx 3\) km \(= 3 \times 10^3\) m.

El valor \(r \sim 10^{-22}\) m obtenido en (a) representa una proporción respecto a \(r_s\) de \(10^{-22}/(3 \times 10^3) \sim 3 \times 10^{-26}\): la gravedad cuántica solo actúa en una región extremadamente profunda dentro del radio de Schwarzschild. Desde el horizonte de eventos hasta el centro, en la mayor parte de la región la relatividad general clásica proporciona una descripción con precisión suficiente.

Sin embargo: el tamaño de la región donde se necesita la gravedad cuántica es \(10^{-22}\) m, mucho mayor que la longitud de Planck \(\ell_P \sim 10^{-35}\) m. Este es el "límite donde los efectos cuánticos de la gravedad comienzan a no ser despreciables"; al llegar a la verdadera escala de Planck, se requiere aún más la comprensión completa de la gravedad cuántica.

(c) Relación con la falsabilidad

La relatividad general predice desde su interior sus propios límites de aplicabilidad (singularidades). Esto implica:

  1. Los modelos no son perfectos: la aparición de infinitos significa el colapso del modelo actual. Es una evidencia clara de que se trata de una "hipótesis", no de una "ley".
  2. Se necesitan modelos mejores: esta es la razón por la cual la búsqueda de una teoría de gravedad cuántica (teoría de cuerdas, gravedad cuántica de lazos, etc.) es un problema de frontera en la física.
  3. La verdadera esencia de la falsabilidad: al mostrar explícitamente "dónde falla" la relatividad general, se concreta lo que el siguiente modelo debe satisfacer (por ejemplo: que las singularidades se resuelvan a la escala de Planck, que se resuelva la paradoja de la información de los agujeros negros, etc.).

Aquí tienes un ejemplo concreto de la postura "los modelos son hipótesis" que se enfatizó en el prólogo.