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Apéndice C Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Coeficientes de Fourier de una función (función constante) definida en un intervalo, mediante las ecuaciones (C.6) y (C.7)

Determina todos los coeficientes de Fourier \(a_n\) (\(n = 0, 1, 2, \ldots\)) y \(b_n\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)) de la función \(f(x) = 1\) (función constante) definida en el intervalo \([0, L]\), utilizando las ecuaciones (C.6) y (C.7).

Pista

Al integrar \(\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)\) desde \(0\) hasta \(L\), para \(n \geq 1\) se obtiene un período completo del \(\sin\). Ten en cuenta que cuando \(n = 0\), el integrando se convierte en \(1\).

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B-2. Usando la ortogonalidad de las funciones exponenciales complejas (ecuación (C.12)), calcula la siguiente integral

Usando la ortogonalidad de las funciones exponenciales complejas (ecuación (C.12)), calcula la siguiente integral.

\[ \int_0^L e^{i \frac{2\pi \cdot 3}{L} x}\, e^{-i \frac{2\pi \cdot 5}{L} x}\, dx \]
Pista

Reescribe el integrando en la forma \(e^{i\frac{2\pi(m-n)}{L}x}\). Verifica que cuando \(m = 3\) y \(n = 5\), se cumple \(m \neq n\).

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B-3. Demuestra lo siguiente utilizando la fórmula de Euler

Utilizando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), demuestra lo siguiente:

\[ \cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right) = \frac{1}{2}\left(e^{i\frac{2\pi n}{L}x} + e^{-i\frac{2\pi n}{L}x}\right) \]

Además, deduce las relaciones entre los coeficientes reales de Fourier \(a_n, b_n\) y los coeficientes complejos de Fourier \(c_n\) de una función real \(f(x)\):

\[ c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad (n \geq 1), \qquad c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2} \quad (n \geq 1), \qquad c_0 = \frac{a_0}{2} \]

comparando la ecuación (C.5) con la ecuación (C.10).

Pista

Reescribe \(\cos\) y \(\sin\) en la ecuación (C.5) en forma de exponenciales complejas usando la ecuación (C.9), y compara los coeficientes de \(e^{ik_n x}\) y \(e^{-ik_n x}\) con \(c_n\) y \(c_{-n}\) de la ecuación (C.10).

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B-4. Determina todos los coeficientes de Fourier y en el intervalo

Determina todos los coeficientes de Fourier \(a_n\) y \(b_n\) de \(f(x) = \sin\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\) en el intervalo \([0, L]\).

Pista

Para el cálculo de \(a_n\) puedes usar directamente la ortogonalidad de la ecuación (C.4). Para el cálculo de \(b_n\), utiliza la ecuación (C.3).

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B-5. Fórmula de la integral de Gauss

Fórmula de la integral de Gauss

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \qquad (\alpha > 0) \]

Utilizando esta fórmula, calcula la transformada de Fourier \(\tilde{f}(k)\) de la función \(f(x) = e^{-3x^2}\) según la convención (b) (ecuación (C.16)).

Pista

Completa el cuadrado en la parte exponencial de \(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x^2} e^{-ikx}\,dx\) como \(-3\!\left(x + \frac{ik}{6}\right)^2 - \frac{k^2}{12}\).

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B-6. Siguiendo la definición de convolución (ecuación (C.21)), calcula la convolución de y ( es una constante). Aquí es D

Siguiendo la definición de convolución (ecuación (C.21)), calcula la convolución \((f * g)(x)\) de \(f(x) = e^{-|x|}\) y \(g(x) = \delta(x - a)\) (\(a\) es una constante). Aquí \(\delta\) es la función δ de Dirac, que satisface \(\int_{-\infty}^{\infty} h(x')\,\delta(x' - a)\,dx' = h(a)\).

Pista

Utilizando la propiedad de \(\delta(x' - a)\) (propiedad de filtrado), la integral en \(x'\) se puede realizar instantáneamente.

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B-7. Evalúa la siguiente integral utilizando la representación de Fourier de la función δ (ecuación (C.19))

Evalúa la siguiente integral utilizando la representación de Fourier de la función δ (ecuación (C.19)):

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k - k')x}\,dx = \delta(k - k') \]
\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \cdot 7 x}\,dx \]
Pista

Basta con sustituir \(k = 7\), \(k' = 0\) en la ecuación (C.19).

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B-8. Usando la igualdad de Parseval (ecuación (C.18)), verifica lo siguiente. Para el caso

Usando la igualdad de Parseval (ecuación (C.18)), verifica lo siguiente. Para \(f(x) = e^{-|x|}\),

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(k)|^2\,dk \]

se cumple. Calcula el lado izquierdo directamente, calcula el lado derecho usando \(\tilde{f}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{1}{1+k^2}\) (convención (b)), y muestra que ambos coinciden.

Pista

Lado izquierdo: la integral de \(|f(x)|^2 = e^{-2|x|}\) es el doble de \(\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx\). Lado derecho: utiliza el hecho de que \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{(1+k^2)^2}\) vale \(\frac{\pi}{2}\) (puedes usar descomposición en fracciones parciales, o emplear \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{(1+k^2)^2} = \frac{\pi}{2}\) como fórmula conocida).

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Intermedio

M-1. Determinar los coeficientes de Fourier y de una función definida en el intervalo y escribir la serie de Fourier (ecuación (C.5

Determina los coeficientes de Fourier \(a_n\) y \(b_n\) de la función \(f(x) = x\) definida en el intervalo \([0, L]\), y escribe la serie de Fourier (ecuación (C.5)). Además, verifica que el valor de la serie obtenido al sustituir \(x = L/2\) coincide con \(f(L/2) = L/2\).

Pista

\(a_n\): \(\int_0^L x\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx\) se calcula por integración por partes. \(a_0\) es el doble del valor medio. \(b_n\): \(\int_0^L x\sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx\) también se resuelve por integración por partes. Comprueba los valores de \(\sin\) y \(\cos\) en \(x = L/2\).

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M-2. Transformada de Fourier de la función gaussiana y la igualdad de Parseval

Obtén la transformada de Fourier de la función gaussiana \(f(x) = e^{-ax^2}\) (\(a > 0\)) usando la convención (b), y demuestra que el resultado es nuevamente una función gaussiana. Además, utilizando la igualdad de Parseval (ecuación (C.18)), verifica que se cumple

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2ax^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2a}\,e^{-k^2/(2a)}\,dk \]
Pista

Completa el cuadrado en el exponente como \(-a\!\left(x + \frac{ik}{2a}\right)^2 - \frac{k^2}{4a}\). Utiliza la fórmula de la integral gaussiana \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha t^2}\,dt = \sqrt{\pi/\alpha}\).

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M-3. Usando el teorema de convolución (ecuación (C.22)), resuelve el siguiente problema

Usando el teorema de convolución (ecuación (C.22)), resuelve el siguiente problema.

Para \(f(x) = e^{-x^2}\) y \(g(x) = e^{-x^2}\), en lugar de calcular directamente la convolución \((f * g)(x)\), obtenla calculando el producto en el espacio de las transformadas de Fourier y luego aplicando la transformada inversa.

Pista

Utiliza \(\tilde{f}(k) = \tilde{g}(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}\) (caso \(a = 1\) de D5). A partir de la ecuación (C.22), calcula \(\widetilde{(f*g)}(k) = \sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k)\,\tilde{g}(k)\) y aplica la transformada de Fourier inversa.

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M-4. Representación integral de Fourier de la función δ

Partiendo de la representación integral de Fourier de la función δ

\[ \delta(x - x') = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x - x')}\,dk \]

deriva lo siguiente.

(a) Que \(\delta(x)\) es una función par: \(\delta(-x) = \delta(x)\)

(b) La regla de escalamiento: \(\delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|}\,\delta(x)\) (\(\alpha \neq 0\))

(c) \(x\,\delta(x) = 0\)

Pista

(a) En la representación integral de Fourier, sustituye \(x \to -x\) y realiza el cambio de variable de integración \(k \to -k\). (b) En la representación de Fourier de \(\delta(\alpha x)\), realiza el cambio de variable \(k \to k/\alpha\). (c) Calcula \(\int x\,\delta(x)\,\phi(x)\,dx\) para una función de prueba arbitraria \(\phi(x)\).

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M-5. Propiedad de la derivada en la transformada de Fourier

Deduce la propiedad de la derivada en la transformada de Fourier. En la convención (b), suponiendo que la transformada de Fourier de \(f(x)\) es \(\tilde{f}(k)\):

(a) Demuestra que la transformada de Fourier de \(f'(x) \equiv \frac{df}{dx}\) es \(ik\,\tilde{f}(k)\).

(b) Utilizando este resultado, resuelve la ecuación diferencial \(f'(x) + \beta f(x) = 0\) (\(\beta > 0\)) en el espacio de transformadas de Fourier y reproduce \(f(x) = Ce^{-\beta x}\) (\(x > 0\)).

Pista

(a) Integra por partes \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\,e^{-ikx}\,dx\) y utiliza que \(f(x)\) se anula cuando \(x \to \pm\infty\). (b) Ten en cuenta que la ecuación tras la transformada de Fourier no es \((ik + \beta)\tilde{f}(k) = 0\), sino una ecuación algebraica cuyo lado derecho depende de las condiciones iniciales. Alternativamente, también puedes calcular directamente la transformada de Fourier tomando \(f(x) = C e^{-\beta x}\theta(x)\) (donde \(\theta\) es la función escalón de Heaviside).

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Avanzado

A-1. Demostración de la relación de incertidumbre mediante análisis de Fourier

Demostración de la relación de incertidumbre mediante análisis de Fourier

Supón que una función \(f(x)\) y su transformada de Fourier \(\tilde{f}(k)\) (convención (b)) están ambas normalizadas (\(\int |f(x)|^2\,dx = 1\)). Se definen la "anchura" en posición y la "anchura" en número de onda respectivamente como

\[ (\Delta x)^2 \equiv \int_{-\infty}^{\infty} x^2\,|f(x)|^2\,dx, \qquad (\Delta k)^2 \equiv \int_{-\infty}^{\infty} k^2\,|\tilde{f}(k)|^2\,dk \]

(por simplicidad se asume \(\langle x \rangle = 0\), \(\langle k \rangle = 0\)).

(a) En la desigualdad de Cauchy–Schwarz

\[ \left|\int_{-\infty}^{\infty} u(x)^*\,v(x)\,dx\right|^2 \leq \int_{-\infty}^{\infty}|u(x)|^2\,dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty}|v(x)|^2\,dx \]

sustituye \(u(x) = x\,f(x)\), \(v(x) = f'(x)\) y demuestra que \(\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}\).

(b) Encuentra la condición para que se cumpla la igualdad y muestra que corresponde a la función gaussiana \(f(x) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{1/4} e^{-x^2/(4\sigma^2)}\).

(c) Verifica que, sustituyendo \(p = \hbar k\), se obtiene la relación de incertidumbre de la mecánica cuántica \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\).

Pista

(a) Integra por partes \(\int x\,f(x)^*\,f'(x)\,dx\) y utiliza \(\int |f(x)|^2\,dx = 1\). Además, emplea el resultado de D5, S5(a) (la transformada de Fourier de \(f'\) es \(ik\tilde{f}\)) y la igualdad de Parseval para demostrar que \(\int |f'(x)|^2\,dx = \int k^2|\tilde{f}(k)|^2\,dk = (\Delta k)^2\). (b) La condición de igualdad en Cauchy–Schwarz es \(v(x) = \lambda\,u(x)\) (\(\lambda\) es una constante). Esto se convierte en la ecuación diferencial \(f' = \lambda\,x\,f\). (c) Basta con sustituir \(\Delta p = \hbar\,\Delta k\).

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A-2. De la serie de Fourier a la igualdad de Parseval: derivación de \(\zeta(2) = \pi^2/6\)

De la serie de Fourier a la igualdad de Parseval: derivación de \(\zeta(2) = \pi^2/6\)

(a) Utilizando la serie de Fourier de \(f(x) = x\) en el intervalo \([0, L]\) (resultado de S1), deriva la versión para series de Fourier de la igualdad de Parseval

\[ \frac{1}{L}\int_0^L |f(x)|^2\,dx = \frac{|a_0|^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right) \]

(Pista: integra \(|f(x)|^2\) de la ecuación (C.5) y utiliza la ortogonalidad.)

(b) Sustituyendo los coeficientes de Fourier de \(f(x) = x\) en el resultado de (a), demuestra que

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

Este es el valor de \(\zeta(2)\) en la función zeta de Riemann \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) (problema de Basilea).

Pista

(a) Sustituye la ecuación (C.5) dos veces en el lado izquierdo \(\frac{1}{L}\int_0^L |f(x)|^2\,dx\) y usa la ortogonalidad (C.2)–(C.4) para eliminar los términos cruzados. (b) Cuando \(f(x) = x\), se tiene \(\frac{1}{L}\int_0^L x^2\,dx = \frac{L^2}{3}\); sustituyendo los \(a_n, b_n\) obtenidos en S1 y eliminando \(L\), se determina el valor de \(\sum 1/n^2\).

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