Saltar a contenido

Cap. 2 Soluciones

← Volver a ejercicios　|　Volver al capítulo

Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Cálculo numérico de la velocidad de la luz

→ Volver al problema

Problema: Calcula \(c\) usando \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) T·m/A y \(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) F/m.

Solución:

\(\mu_0 \varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7})(8.854 \times 10^{-12})\)

\(= 4 \times 3.1416 \times 8.854 \times 10^{-19}\)

\(= 12.566 \times 8.854 \times 10^{-19}\)

\(= 1.113 \times 10^{-17} \;\text{s}^2/\text{m}^2\)

\(c = \frac{1}{\sqrt{1.113 \times 10^{-17}}} = \frac{1}{1.055 \times 10^{-8.5}}\)

\(\boxed{c \approx 2.998 \times 10^8 \;\text{m/s}}\)

Esto coincide con el valor experimental de la velocidad de la luz \(c = 2.998 \times 10^8\) m/s.

Punto clave: \(\mu_0\) es una constante medida independientemente a partir de experimentos magnéticos, y \(\varepsilon_0\) a partir de experimentos eléctricos. Al combinarlas se obtiene la velocidad de la luz — esto fue precisamente lo que convenció a Maxwell de que "la luz es una onda electromagnética".

B-2. De los potenciales a las ecuaciones de Maxwell

→ Volver al problema

Problema: Demuestra que \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) se cumple automáticamente a partir de \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\).

Solución:

Por la identidad vectorial (Apéndice A.6):

\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0\)

Esta es una identidad que se cumple para cualquier campo vectorial \(\mathbf{A}\).

Sustituyendo \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\):

\(\boxed{\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0}\)

Punto clave: La segunda ecuación de Maxwell \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) (no existen monopolos magnéticos) se satisface automáticamente con solo expresar el campo magnético mediante el potencial vectorial \(\mathbf{A}\). Es decir, la representación mediante potenciales "incorpora" parte de las ecuaciones de Maxwell. Esto no es una simple reescritura, sino que refleja la estructura de la teoría.

Verificación de la identidad (opcional): Si deseas verificarlo por componentes, tomando \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\):

\(\nabla \times \mathbf{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\)

Tomando la divergencia de esto:

\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\)

Al expandir aparecen 6 términos que se cancelan todos entre sí por la conmutatividad de las derivadas parciales (\(\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}\)), dando como resultado cero.

Intermedio

M-1. Derivación de la velocidad de las ondas electromagnéticas

→ Volver al problema

Problema: A partir de la tercera y cuarta ecuaciones de Maxwell (en el vacío), deduce la ecuación de onda para el campo eléctrico \(\mathbf{E}\) y demuestra que la velocidad de la onda es \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\).

Solución:

Ecuaciones de Maxwell en el vacío (\(\rho = 0\), \(\mathbf{j} = 0\)):

\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \text{(3.ª ecuación)}\)

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \qquad \text{(4.ª ecuación)}\)

Aplicamos \(\nabla \times\) a ambos miembros de la 3.ª ecuación:

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})\)

Usamos la identidad vectorial (Apéndice A.6) en el lado izquierdo:

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)

En el vacío, \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) (ley de Gauss, \(\rho = 0\)), por lo que:

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla^2 \mathbf{E}\)

Sustituimos la 4.ª ecuación en el lado derecho:

\(-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)

Combinando ambos resultados:

\(-\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)

\(\boxed{\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}}\)

Esto tiene la forma de la ecuación de onda \(\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\). Comparando:

\(\frac{1}{c^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \qquad \therefore \quad \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}}\)

Punto clave: Maxwell dedujo la velocidad de la luz únicamente a partir de las constantes experimentales de la electricidad y el magnetismo, \(\mu_0\) y \(\varepsilon_0\). No estaba investigando la luz; la naturaleza de la luz se reveló como un subproducto de la unificación del electromagnetismo.