Apéndice A Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo de componentes del producto vectorial
- B-2. Ortogonalidad del producto vectorial
- B-3. Triple producto escalar
- B-4. Gradiente de un campo escalar
- B-5. Divergencia de un campo vectorial
- B-6. Rotacional de un campo vectorial
- B-7. Laplaciano de un campo escalar
- B-8. Verificación de la identidad de Lagrange
- B-9. Verificación de la fórmula BAC-CAB
- B-10. Verificación de rot(grad) = 0
Intermedio
- M-1. Demostración de la fórmula BAC-CAB
- M-2. Demostración de div(rot) = 0
- M-3. Fórmula del producto escalar entre productos vectoriales
- M-4. Fórmula de la divergencia de un producto
- M-5. Teorema de Gauss y campo de Coulomb
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo de componentes del producto vectorial¶
Pista
La componente \(i\)-ésima es \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = a_j b_k - a_k b_j\) (los índices son cíclicos). También puedes desarrollar el determinante formal por cofactores de la primera fila.
B-2. Ortogonalidad del producto vectorial¶
Pista
Basta con sustituir en la definición del producto escalar \(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\).
B-3. Triple producto escalar¶
Pista
Calcula \(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\) mediante la regla de Sarrus o la expansión por cofactores.
B-4. Gradiente de un campo escalar¶
Pista
Calcula cada componente de \(\nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\; \frac{\partial\varphi}{\partial y},\; \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)\) mediante derivadas parciales.
B-5. Divergencia de un campo vectorial¶
Figura de referencia: Figura A.1: Producto vectorial (Apéndice A)
Pista
Sustituye en \(\operatorname{div}\boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\).
B-6. Rotacional de un campo vectorial¶
Figura de referencia: Figura A.1: Geometría del producto vectorial (Apéndice A)
Pista
Cada componente se obtiene mediante una "resta", como \((\nabla \times \boldsymbol{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\).
B-7. Laplaciano de un campo escalar¶
Pista
Calcula \(\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}\) término por término.
B-8. Verificación de la identidad de Lagrange¶
Pista
Primero calcula \(|\boldsymbol{a}|^2\), \(|\boldsymbol{b}|^2\) y \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\), luego obtén la suma de los cuadrados de cada componente de \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) y compara ambos resultados.
B-9. Verificación de la fórmula BAC-CAB¶
Pista
Primero calcula \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\), y luego calcula \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\). Para el lado derecho, obtén primero los escalares \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}\) y \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\).
B-10. Verificación de rot(grad) = 0¶
Referencia: La identidad del rotacional \(\nabla \times (\nabla\varphi) = 0\) se explica en la sección A.5 de Apéndice A.
Pista
Primero calcula \(\nabla\varphi\), luego considéralo como un campo vectorial y calcula cada componente de \(\nabla \times (\nabla\varphi)\). Presta atención al intercambio del orden de las derivadas parciales.
Intermedio¶
M-1. Demostración de la fórmula BAC-CAB¶
Demuestra que $$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $$ desarrollando la componente \(x\) del lado izquierdo y del lado derecho en términos de las componentes generales \(a_i, b_i, c_i\) y comparándolas. Explica (usando un argumento de simetría) por qué lo mismo se cumple para las componentes \(y\) y \(z\).
Pista
Escribe las componentes de \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\) y, a partir de la definición del producto vectorial, obtén la componente \(x\) de \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\). Desarrolla la componente \(x\) del lado derecho, \(b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\), y compara.
M-2. Demostración de div(rot) = 0¶
Referencia: La identidad de la divergencia \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) se explica en la sección A.5 de Apéndice A.
$$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0 $\(Demuestra que esta identidad se cumple utilizando la representación por componentes. Además, explica brevemente cómo esta identidad se relaciona con el hecho físico de que "no existen monopolos magnéticos" (\)\operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0$ y \(\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}\)).
Pista
Escribe cada componente de \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) y, al tomar la \(\operatorname{div}\), muestra que los términos \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_j \partial x_k}\) y \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_k \partial x_j}\) se emparejan y se cancelan.
M-3. Fórmula del producto escalar entre productos vectoriales¶
$$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) $$Sustituyendo \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\) en esta expresión, deduce la identidad de Lagrange $$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 $$Además, a partir de este resultado, demuestra que \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\) (donde \(\theta\) es el ángulo entre \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\)).
Pista
Sustituye \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\) y utiliza \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\).
M-4. Fórmula de la divergencia de un producto¶
Referencia: Para las fórmulas de productos, consulta la lista de identidades en A.5 de Apéndice A.
Demuestra mediante la representación en componentes que $$\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F}) $$
Pista
Expande \(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = \frac{\partial(\varphi F_x)}{\partial x} + \cdots\) usando la regla del producto para derivadas (regla de Leibniz).
M-5. Teorema de Gauss y campo de Coulomb¶
Pista
Aplica el teorema de Gauss en la región entre una superficie cerrada arbitraria que contiene el origen y una pequeña esfera centrada en el origen. A partir de \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\), demuestra que la integral de superficie es igual al valor sobre la esfera. Sobre la esfera, \(\boldsymbol{E}\) y \(d\boldsymbol{S}\) son paralelos y la magnitud es constante.
Avanzado¶
A-1. Identidades con el símbolo de Levi-Civita¶
$$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})i = \sum\, a_j\, b_k $$se puede escribir así. Responde las siguientes preguntas.} \varepsilon_{ijk
(a) Admitiendo la fórmula de contracción $$\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} $$deduce, únicamente mediante cálculo con índices, la fórmula del producto escalar de dos productos vectoriales: $$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) $$
(b) Utilizando la misma fórmula de contracción, deduce la fórmula BAC-CAB: \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\).
(c) Teniendo en cuenta la correspondencia con el tensor de Levi-Civita en 4 dimensiones \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) que aparece en el texto principal, escribe la componente \(i\)-ésima de \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) usando \(\varepsilon_{ijk}\) en 3 dimensiones, y demuestra nuevamente la identidad \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\) mediante cálculo con índices.
Pista
(a) Escribe \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \sum_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j b_k)(\sum_{l,m}\varepsilon_{ilm} c_l d_m)\) y aplica la fórmula de contracción a \(\sum_i \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}\). (b) Expande \([\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_i = \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_k\) y contrae el producto de \(\varepsilon\). (c) En \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \sum_i \partial_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k)\), compara la antisimetría de \(\varepsilon_{ijk}\) con la simetría de \(\partial_i \partial_j\).
A-2. Aplicaciones del teorema de Stokes¶
Referencia: El teorema de Stokes se explica en la sección A.6 de Apéndice A. $$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} $$Usando esta expresión, discute lo siguiente.
(a) Cuando un campo vectorial \(\boldsymbol{F}\) puede escribirse como \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\) (el gradiente de un campo escalar \(\varphi\)), demuestra que la integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada \(C\) satisface \(\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = 0\), utilizando el teorema de Stokes y la identidad \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\).
(b) Recíprocamente, demuestra que si en una región simplemente conexa se cumple \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\), entonces existe un campo escalar \(\varphi\) tal que \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\), mostrando el método de construcción de \(\varphi\) mediante una integral de línea.
(c) En el contexto de la relatividad general tratado en el texto principal, «el desfase de un vector al transportarlo paralelamente a lo largo de una curva cerrada» se describe mediante el tensor de curvatura. Discute cualitativamente la relación entre el teorema de Stokes y la curvatura, desde el punto de vista de que \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) representa «la circulación por unidad de curva cerrada infinitesimal» (no se requiere un cálculo cuantitativo).
Pista
(a) basta con sustituir la identidad en el lado derecho del teorema de Stokes. (b) muestra que la integral de línea \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}'\) desde un punto fijo \(\boldsymbol{r}_0\) hasta \(\boldsymbol{r}\) no depende del camino, y verifica que \(\nabla\varphi = \boldsymbol{F}\). (c) señala la analogía entre el hecho de que en el teorema de Stokes el integrando de la integral de superficie representa «la circulación por elemento de área», y que el tensor de curvatura describe «el desfase del transporte paralelo a lo largo de un paralelogramo infinitesimal».
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