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Apéndice A Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo por componentes del producto vectorial

Calcula componente a componente, siguiendo la definición, el producto vectorial \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) de los vectores \(\boldsymbol{a} = (2,\, 1,\, -1)\) y \(\boldsymbol{b} = (0,\, 3,\, 2)\).

Pista

La componente \(i\)-ésima es \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = a_j b_k - a_k b_j\) (los índices se toman de forma cíclica). También puedes desarrollar el determinante formal por cofactores de la primera fila.

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B-2. Ortogonalidad del producto vectorial

Verifica que el \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) obtenido en el problema A.1 es ortogonal a \(\boldsymbol{a}\), calculando el producto escalar \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}\).

Pista

Basta con sustituir en la definición del producto escalar \(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\).

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B-3. Producto triple escalar

Calcula el producto triple escalar \(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\) de los vectores \(\boldsymbol{a} = (1,\, 0,\, 2)\), \(\boldsymbol{b} = (3,\, 1,\, 0)\), \(\boldsymbol{c} = (0,\, -1,\, 1)\) como un determinante \(3 \times 3\).

Pista

Calcula \(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\) mediante la regla de Sarrus o la expansión por cofactores.

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B-4. Gradiente de un campo escalar

Determina el gradiente \(\nabla\varphi\) del campo escalar \(\varphi(x, y, z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x\).

Pista

Calcula cada componente de \(\nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\; \frac{\partial\varphi}{\partial y},\; \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)\) mediante derivadas parciales.

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B-5. Divergencia de un campo vectorial

Figura de referencia: Figura A.1: Producto vectorial (Apéndice A)

Calcula la divergencia \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\) del campo vectorial \(\boldsymbol{F} = (x^2 y,\; y^2 z,\; z^2 x)\).

Pista

Sustituye en \(\operatorname{div}\boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\).

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B-6. Rotacional de un campo vectorial

Figura de referencia: Figura A.1: Geometría del producto vectorial (Apéndice A)

Calcula componente a componente el rotacional \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) del campo vectorial \(\boldsymbol{F} = (yz,\; xz,\; xy)\).

Pista

Obtén cada componente mediante una "resta", como \((\nabla \times \boldsymbol{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\).

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B-7. Laplaciano de un campo escalar

Calcula el laplaciano \(\Delta\varphi = \nabla^2\varphi\) del campo escalar \(\varphi = e^x \sin y + z^3\).

Pista

Calcula cada término de \(\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}\) por separado.

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B-8. Verificación de la identidad de Lagrange

Utilizando la identidad de Lagrange, calcula \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2\) como \(|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2\) para \(\boldsymbol{a} = (1,\, 2,\, 0)\), \(\boldsymbol{b} = (0,\, 1,\, 3)\), y verifica que el resultado coincide con el obtenido al calcular directamente el cuadrado de la magnitud del producto vectorial.

Pista

Primero calcula \(|\boldsymbol{a}|^2\), \(|\boldsymbol{b}|^2\), \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\), y luego obtén la suma de los cuadrados de cada componente de \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) para comparar.

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B-9. Verificación de la fórmula BAC-CAB

Verifica la fórmula BAC-CAB \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\) calculando por separado el lado izquierdo y el lado derecho para el caso \(\boldsymbol{a} = (1,0,0)\), \(\boldsymbol{b} = (0,1,0)\), \(\boldsymbol{c} = (0,0,1)\), y confirma que la igualdad se cumple.

Pista

Primero calcula \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\), y luego calcula \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\). Para el lado derecho, obtén primero los escalares \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}\) y \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\).

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B-10. Verificación de rot(grad) = 0

Referencia: La identidad del rotacional \(\nabla \times (\nabla\varphi) = 0\) se explica en la sección A.5 de Apéndice A.

Para el campo escalar \(\varphi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\), verifica mediante cálculo por componentes que se cumple \(\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi) = \boldsymbol{0}\).

Pista

Primero calcula \(\nabla\varphi\), luego considéralo como un campo vectorial y calcula cada componente de \(\nabla \times (\nabla\varphi)\). Presta atención al intercambio del orden de las derivadas parciales.

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Intermedio

M-1. Demostración de la fórmula BAC-CAB

Demuestra que $$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $$ desarrollando la componente \(x\) del lado izquierdo y del lado derecho en términos de las componentes generales \(a_i, b_i, c_i\) y comparándolas. Explica (usando un argumento de simetría) por qué lo mismo se cumple para las componentes \(y\) y \(z\).

Pista

Escribe las componentes de \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}\) y, a partir de la definición del producto vectorial, obtén la componente \(x\) de \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\). Desarrolla la componente \(x\) del lado derecho, \(b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\), y compara.

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M-2. Demostración de div(rot) = 0

Referencia: La identidad de la divergencia \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) se explica en la sección A.5 de Apéndice A.

\[ \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0 \]

Demuestra que esta identidad se cumple utilizando la representación por componentes. Además, explica brevemente cómo esta identidad se relaciona con el hecho físico de que "no existen monopolos magnéticos" (\(\operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0\) y \(\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}\)).

Pista

Escribe cada componente de \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) y, al tomar la \(\operatorname{div}\), muestra que los términos \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_j \partial x_k}\) y \(\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_k \partial x_j}\) se emparejan y se cancelan.

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M-3. Fórmula del producto escalar entre productos vectoriales

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \]

Sustituyendo \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}\) en esta expresión, deduce la identidad de Lagrange

\[ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 \]

Además, a partir de este resultado, demuestra que \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\) (donde \(\theta\) es el ángulo entre \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\)).

Pista

Sustituye \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\) y utiliza \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\).

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M-4. Fórmula de la divergencia de un producto

Referencia: Para las fórmulas de productos, consulta la lista de identidades en A.5 de Apéndice A.

Demuestra mediante la representación en componentes que

\[ \operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F}) \]
Pista

Expande \(\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = \frac{\partial(\varphi F_x)}{\partial x} + \cdots\) usando la regla del producto para derivadas (regla de Leibniz).

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M-5. Teorema de Gauss y campo de Coulomb

Utilizando el teorema de Gauss (divergencia), demuestra que para el campo eléctrico de Coulomb \(\boldsymbol{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\) (\(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\), \(r = |\boldsymbol{r}|\)) generado por una carga puntual \(q\) en el origen, la integral de superficie del campo eléctrico (flujo eléctrico) a través de cualquier superficie cerrada \(S\) que contenga el origen es igual a \(q/\varepsilon_0\). Para ello, puedes utilizar como auxiliar una superficie esférica de radio \(R\) centrada en el origen, y puedes usar el hecho de que \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\) para \(r \neq 0\).

Pista

Aplica el teorema de Gauss a la región comprendida entre una superficie cerrada arbitraria que contenga el origen y una pequeña superficie esférica centrada en el origen, y demuestra que, dado que \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0\), la integral de superficie es igual al valor sobre la superficie esférica. Sobre la superficie esférica, \(\boldsymbol{E}\) y \(d\boldsymbol{S}\) son paralelos y la magnitud es constante.

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Avanzado

A-1. Identidades con el símbolo de Levi-Civita

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j\, b_k \]

se puede escribir así. Responde las siguientes preguntas.

(a) Admitiendo la fórmula de contracción

\[ \sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \]

deduce, únicamente mediante cálculo con índices, la fórmula del producto escalar de dos productos vectoriales:

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \]

(b) Utilizando la misma fórmula de contracción, deduce la fórmula BAC-CAB: \(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\).

(c) Teniendo en cuenta la correspondencia con el tensor de Levi-Civita en 4 dimensiones \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) que aparece en el texto principal, escribe la componente \(i\)-ésima de \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) usando \(\varepsilon_{ijk}\) en 3 dimensiones, y demuestra nuevamente la identidad \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0\) mediante cálculo con índices.

Pista

(a) Escribe \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \sum_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j b_k)(\sum_{l,m}\varepsilon_{ilm} c_l d_m)\) y aplica la fórmula de contracción a \(\sum_i \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}\). (b) Expande \([\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_i = \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_k\) y contrae el producto de \(\varepsilon\). (c) En \(\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \sum_i \partial_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k)\), compara la antisimetría de \(\varepsilon_{ijk}\) con la simetría de \(\partial_i \partial_j\).

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A-2. Aplicaciones del teorema de Stokes

Referencia: El teorema de Stokes se explica en la sección A.6 de Apéndice A.

\[ \oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} \]

Usando esta expresión, discute lo siguiente.

(a) Cuando un campo vectorial \(\boldsymbol{F}\) puede escribirse como \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\) (el gradiente de un campo escalar \(\varphi\)), demuestra que la integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada \(C\) satisface \(\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = 0\), utilizando el teorema de Stokes y la identidad \(\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}\).

(b) Recíprocamente, demuestra que si en una región simplemente conexa se cumple \(\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\), entonces existe un campo escalar \(\varphi\) tal que \(\boldsymbol{F} = \nabla\varphi\), mostrando el método de construcción de \(\varphi\) mediante una integral de línea.

(c) En el contexto de la relatividad general tratado en el texto principal, «el desfase de un vector al transportarlo paralelamente a lo largo de una curva cerrada» se describe mediante el tensor de curvatura. Discute cualitativamente la relación entre el teorema de Stokes y la curvatura, desde el punto de vista de que \(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\) representa «la circulación por unidad de curva cerrada infinitesimal» (no se requiere un cálculo cuantitativo).

Pista

(a) basta con sustituir la identidad en el lado derecho del teorema de Stokes. (b) muestra que la integral de línea \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}'\) desde un punto fijo \(\boldsymbol{r}_0\) hasta \(\boldsymbol{r}\) no depende del camino, y verifica que \(\nabla\varphi = \boldsymbol{F}\). (c) señala la analogía entre el hecho de que en el teorema de Stokes el integrando de la integral de superficie representa «la circulación por elemento de área», y que el tensor de curvatura describe «el desfase del transporte paralelo a lo largo de un paralelogramo infinitesimal».

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