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Cap. 4 Soluciones

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Índice

Básico

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Básico

B-1. Lectura de valores de la relación de conmutación a tiempos iguales

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Problema:

Usando la relación de conmutación a tiempos iguales

\[ [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

determina las siguientes cantidades.

(a) Cuando \(\mathbf{x} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{y} = (4, 5, 6)\), el valor de \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\).

(b) El valor de \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) integrado sobre todo el espacio respecto a \(\mathbf{y}\), es decir, determina

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] \]

(c) Expresa \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\) en términos de \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\).

Estrategia de resolución: Se sustituyen valores concretos en la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) y se utilizan las propiedades fundamentales de la función delta.

(a) Para \(\mathbf{x} = (1,2,3)\), \(\mathbf{y} = (4,5,6)\)

Como \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), se tiene \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \delta^{(3)}((-3,-3,-3)) = 0\).

\[ \boxed{[\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = 0} \]

Significado físico: el campo y la densidad de momento en puntos espaciales distintos conmutan entre sí, por lo que pueden tener valores definidos simultáneamente.

(b) Integración sobre \(\mathbf{y}\) en todo el espacio

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = \int d^3y\, i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

Usando la propiedad fundamental de la función delta \(\int d^3y\, f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\), si tomamos \(f(\mathbf{y}) = 1\) (constante), entonces

\[ \int d^3y\, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = 1 \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i} \]

(c) Expresar \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\)

Por la antisimetría del conmutador \([A, B] = -[B, A]\):

\[ \boxed{[\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = -[\hat{\phi}(t, \mathbf{y}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{x})] = -i\,\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = -i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \]

En la última igualdad se utilizó que \(\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) (paridad de la función delta).

Verificación: El resultado de (b) corresponde a la versión en teoría de campos de \([\hat{q}, \hat{p}] = i\) en mecánica cuántica. La integral sobre todo el espacio del campo corresponde a la suma sobre índices discretos, y al integrar \(\delta^{(3)}\) se obtiene el equivalente de la suma de deltas de Kronecker \(\sum_j \delta_{ij} = 1\). El resultado es consistente.

B-2. Cálculo de relaciones de conmutación de operadores de creación y aniquilación

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Problema:

Usando las relaciones de conmutación

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

calcula lo siguiente.

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

Estrategia de resolución: Se usa repetidamente la fórmula del conmutador \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\).

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

Se aplica la fórmula con \(A = \hat{a}_{\mathbf{p}}\), \(B = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\), \(C = \hat{a}_{\mathbf{q}}\):

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}] = [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{q}} + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] \]

Sustituyendo \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) y \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\):

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}} \]

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

Se usa \([AB, C] = A[B, C] + [A, C]B\) con \(A = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(B = \hat{a}_{\mathbf{p}}\), \(C = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\):

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{p}} \]

Sustituyendo \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) y \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0\):

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger} \]

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

Se usa \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\) con \(B = C = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\):

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2] = [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] \]
\[ = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]
\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2] = 2\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger} \]

Verificación: El resultado (a) corresponde a \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger \hat{a}] = \hat{a}\) en mecánica cuántica, y (b) corresponde a \([\hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger\). Considerando que la función delta es la versión continua de la delta de Kronecker, los resultados son consistentes con el caso discreto. El resultado (c) es la versión continua de \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^2] = 2\hat{a}^\dagger\), y corresponde al caso \(n=2\) de la relación general \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^n] = n(\hat{a}^\dagger)^{n-1}\).

B-3. Acción del operador de aniquilación sobre el vacío

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Problema:

Usando la definición del estado de vacío \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\) (para todo \(\mathbf{p}\)) y la definición del estado de una partícula \(|\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\), calcula lo siguiente.

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

Estrategia de resolución: Se combina la definición del vacío \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) con las relaciones de conmutación.

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle \]

Usando la relación de conmutación, movemos \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) a la derecha de \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\):

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Al actuar sobre \(|0\rangle\), dado que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\):

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,|0\rangle} \]

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

Como \(\langle \mathbf{p}| = (|\mathbf{p}\rangle)^\dagger = (\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle)^\dagger = \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}}\), tenemos

\[ \langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle \]

Usando el resultado de (a):

\[ \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle = \langle 0| \left(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,|0\rangle\right) = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\langle 0|0\rangle \]

Por la normalización del vacío \(\langle 0|0\rangle = 1\):

\[ \boxed{\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})} \]

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

Dado que \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\), el orden de \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) es intercambiable. En cualquier caso, como \(\hat{a}_{\mathbf{q}}|0\rangle = 0\):

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}} \cdot 0 = 0 \]
\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle = 0} \]

Verificación: El resultado de (b) expresa la ortonormalidad de los estados de una partícula con etiqueta de momento continua. Tiene la misma estructura que los autoestados de posición en mecánica cuántica \(\langle \mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\), lo cual es consistente. El resultado de (c) es físicamente natural: «no se puede aniquilar dos veces una partícula del vacío».

B-4. Verificación de la ortogonalidad de la transformada de Fourier

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Problema:

Ortogonalidad de la transformada de Fourier

\[ \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Utilizando esta relación, calcula lo siguiente.

(a) Expresa \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) en términos de \(\delta^{(3)}\).

(b) Expresa \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\) en términos de \(\delta^{(3)}\).

(c) Calcula \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\), donde \(f(\mathbf{x})\) es una función suave arbitraria.

Estrategia de resolución: Se reinterpreta adecuadamente la fórmula básica \(\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\).

(a) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\)

Si reescribes el exponente como \(e^{i(\mathbf{p}-(-\mathbf{q}))\cdot\mathbf{x}}\), esto corresponde a aplicar la fórmula básica con la sustitución \(\mathbf{q} \to -\mathbf{q}\):

\[ \boxed{\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})} \]

(b) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\)

Combinando los exponentes mediante las leyes de exponenciales:

\[ e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = e^{i(\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}} \]

Aplicando la fórmula básica:

\[ \boxed{\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q}+\mathbf{k})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{k})} \]

(c) \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\)

Primero se realiza la integración en \(\mathbf{p}\). Utilizando la representación de Fourier de la función delta:

\[ \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

se obtiene

\[ \int d^3x\, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\, f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y}) \]
\[ \boxed{\int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})} \]

Verificación: El resultado (c) expresa que al aplicar sucesivamente la transformada de Fourier y su inversa se recupera la función original, lo cual constituye el teorema fundamental de la transformada de Fourier.

B-5. Cálculo explícito de \(\omega_{\mathbf{p}}\)

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Problema:

Utilizando la relación energía-momento

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

calcula \(\omega_{\mathbf{p}}\) en los siguientes casos (en unidades naturales \(\hbar = c = 1\)).

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\) (modo en reposo)

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\) (límite ultrarelativista). Aproxima \(\omega_{\mathbf{p}}\) al orden más bajo en \(|\mathbf{p}|\).

(d) \(m = 0\) (caso de masa nula)

Estrategia de resolución: Se sustituye cada condición en \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\).

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\)

\[ \omega_{\mathbf{0}} = \sqrt{0 + m^2} = m \]
\[ \boxed{\omega_{\mathbf{0}} = m} \]

Esto corresponde a la energía de masa en reposo \(E = mc^2\) (en unidades naturales \(E = m\)).

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{m^2 + m^2} = \sqrt{2}\,m \]
\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{2}\,m} \]

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\) (límite ultrarelativista)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} = |\mathbf{p}|\sqrt{1 + \frac{m^2}{|\mathbf{p}|^2}} \]

Usando la expansión de Taylor \(\sqrt{1+\epsilon} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2}\) para \(m/|\mathbf{p}| \ll 1\):

\[ \omega_{\mathbf{p}} \approx |\mathbf{p}|\left(1 + \frac{m^2}{2|\mathbf{p}|^2}\right) = |\mathbf{p}| + \frac{m^2}{2|\mathbf{p}|} \]

A orden más bajo:

\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} \approx |\mathbf{p}|} \]

(d) \(m = 0\)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + 0} = |\mathbf{p}| \]
\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} = |\mathbf{p}|} \]

Esto corresponde a la relación de dispersión \(E = |p|\) (\(E = pc\)) para partículas sin masa, como el fotón.

Verificación: El límite ultrarelativista de (c) y el resultado de masa nula de (d) coinciden, lo cual es consistente. El caso (a) reproduce la energía en reposo en el límite no relativista \(|\mathbf{p}| \to 0\).

B-6. Verificación de la hermiticidad del operador de campo

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Problema:

Dado el desarrollo en modos del campo escalar real

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

calcula el conjugado hermítico \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) y demuestra que se cumple \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})\).

Estrategia de resolución: Se calcula \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) y se demuestra que coincide con \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) mediante la sustitución de la variable de integración \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) y la relación \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\).

Detalles del cálculo:

Tomamos el conjugado hermítico de \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\). Las integrales y los c-números (como \(\omega_{\mathbf{p}}\) o \((2\pi)^{3/2}\)) permanecen iguales, y se toma el conjugado hermítico de los operadores y los números complejos:

\[ \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Aquí se ha usado que \((\hat{a}_{\mathbf{p}})^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \((e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}})^* = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) (ya que \(\mathbf{p}, \mathbf{x}\) son reales).

Reescribiendo intercambiando el orden de los dos términos:

\[ \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Esto es exactamente \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) de la ecuación (4.11).

\[ \boxed{\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})} \]

Nota complementaria: En el cálculo anterior, el resultado se obtuvo simplemente intercambiando el orden de los términos. De forma más general, también se puede emplear la sustitución de variable de integración \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\). En ese caso, se usa que \(d^3p \to d^3p\) (el jacobiano es \(|-1|^3 = 1\)) y \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\) (\(\omega_{\mathbf{p}}\) depende únicamente de \(|\mathbf{p}|^2\)), obteniéndose el mismo resultado.

Verificación: Un campo escalar real debe satisfacer \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\), lo cual queda garantizado de forma natural por la estructura del desarrollo en modos que contiene tanto \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) como \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\). Es la versión en teoría de campos del hecho de que en mecánica cuántica \(\hat{q} = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)\) es hermítico para el oscilador armónico.

B-7. Derivación de la expansión en modos de la densidad de momento conjugado

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Problema:

A partir de la expansión en modos del campo (en la forma que incluye la dependencia temporal)

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

calcula la densidad de momento conjugado \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) y deriva la ecuación (4.12).

Estrategia de resolución: Se calcula la derivada temporal de \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\): \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\).

Detalle del cálculo:

La expansión en modos que incluye la dependencia temporal es

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

Se realiza la derivada temporal. Dado que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) no dependen del tiempo (operadores en la imagen de Schrödinger), la derivada actúa únicamente sobre las exponenciales:

\[ \partial_0\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (-i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]
\[ \partial_0\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (+i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

Por lo tanto

\[ \hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[\hat{a}_{\mathbf{p}}\,(-i\omega_{\mathbf{p}})\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,(+i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right] \]

Se combina \(\omega_{\mathbf{p}}\) con \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\) para simplificar:

\[ \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} = \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \]

En consecuencia

\[ \hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

Evaluando en \(t = 0\) se obtiene

\[ \boxed{\hat{\pi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)} \]

Esto coincide con la ecuación (4.12).

Verificación: Se comprueba la hermiticidad de \(\hat{\pi}(\mathbf{x})\). Al tomar \(\hat{\pi}^\dagger\), se intercambian \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \leftrightarrow \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \leftrightarrow e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), y \((-i)^* = +i\). Verificando el signo global se confirma que \(\hat{\pi}^\dagger = \hat{\pi}\), lo cual muestra que la densidad de momento conjugado es efectivamente hermítica.

B-8. Verificación de la correspondencia discreto→continuo

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Problema:

Cuando se coloca el sistema en una caja de volumen \(V = L^3\), el momento se discretiza como \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\) (\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)). Verifica las siguientes correspondencias.

(a) Demuestra que en el límite continuo \(L \to \infty\) se tiene \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\).

(b) A partir de las relaciones de conmutación discretas \([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}}\), ¿qué relación de escalamiento entre \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\) es necesaria para que en el límite continuo se reproduzca \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)?

Estrategia de resolución: Consideramos momentos discretizados en una caja de volumen \(V = L^3\) y derivamos las relaciones de correspondencia en el límite continuo \(L \to \infty\).

(a) Derivación de \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\)

Los momentos discretizados son \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\) (\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)), y la separación entre momentos adyacentes en cada dirección es

\[ \Delta p_i = \frac{2\pi}{L} \]

El volumen de una celda en el espacio de momentos en 3 dimensiones es

\[ (\Delta p)^3 = \left(\frac{2\pi}{L}\right)^3 = \frac{(2\pi)^3}{V} \]

Interpretando la suma discreta como una suma de Riemann:

\[ \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}}) = \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}}) \cdot \frac{(\Delta p)^3}{(\Delta p)^3} = \frac{1}{(\Delta p)^3}\sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}})\,(\Delta p)^3 \]

En el límite \(L \to \infty\), \(\Delta p \to 0\) y la suma de Riemann converge a la integral:

\[ \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}})\,(\Delta p)^3 \to \int d^3p\, f(\mathbf{p}) \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\sum_{\mathbf{n}} \to \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3p} \]

(b) Relación de escala entre \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\)

Las relaciones de conmutación discretas son

\[ [\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} \]

En el límite continuo, existe la siguiente correspondencia entre la delta de Kronecker y la función delta. Con \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\), \(\mathbf{q} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{m}\):

\[ \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} \cdot \frac{(\Delta p)^3}{(\Delta p)^3} \]

Usando la aproximación discreta de la función delta \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \approx \frac{\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}}{(\Delta p)^3} = \frac{V}{(2\pi)^3}\,\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}\), obtenemos

\[ \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} = \frac{(2\pi)^3}{V}\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Para reproducir la relación de conmutación del límite continuo \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\), definimos \(\hat{a}_{\mathbf{p}} = c\,\hat{a}_{\mathbf{n}}\), con lo cual

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = |c|^2\,[\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = |c|^2\,\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}} = |c|^2 \cdot \frac{(2\pi)^3}{V}\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Para que esto sea igual a \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\), se requiere \(|c|^2 = \frac{V}{(2\pi)^3}\). Por lo tanto

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} = \sqrt{\frac{V}{(2\pi)^3}}\;\hat{a}_{\mathbf{n}}} \]

Verificación: Confirmamos mediante análisis dimensional. \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\) es adimensional (\([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}\) es adimensional). Por otro lado, \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) tiene las dimensiones de la función delta \([\text{momento}]^{-3}\), por lo que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) tiene dimensiones \([\text{momento}]^{-3/2}\). \(\sqrt{V/(2\pi)^3}\) tiene dimensiones \([\text{longitud}]^{3/2} = [\text{momento}]^{-3/2}\), lo cual es consistente.

Intermedio

M-1. Derivación de las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación a partir de las relaciones de conmutación a tiempos iguales

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Problema:

Sustituye las expansiones en modos del campo (4.11) y (4.12) en la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\), y demuestra que las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

son necesarias.

Concretamente, deriva qué condiciones se imponen sobre \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\) para que se satisfaga \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\).

Estrategia de resolución: Se sustituye la expansión en modos (4.11) en \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\) y, utilizando la ortogonalidad de la transformada de Fourier, se deduce \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\).

Detalles del cálculo:

Sustituimos la expansión en modos en \(t = 0\) (el tiempo \(t\) es común y se omite):

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Expandimos \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\). Usando \(\mathbf{p}\) y \(\mathbf{q}\) como variables de integración respectivas:

\[ [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} \]
\[ \times \Big\{ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \]
\[ + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} \]

Aquí sustituimos la relación de conmutación conocida \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) en el segundo término, y en el tercer término usamos \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = -[\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = -\delta^{(3)}(\mathbf{q}-\mathbf{p})\).

Contribución del segundo término: Al realizar la integral en \(\mathbf{q}\) con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\), se fija \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\):

\[ \text{2.º término} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

Contribución del tercer término: De manera análoga:

\[ \text{3.er término} = -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

En el tercer término, realizando la sustitución \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) (con \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\), \(d^3p \to d^3p\)):

\[ \text{3.er término} = -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

Por lo tanto, el segundo y el tercer término se cancelan exactamente.

Solo quedan el primer y el cuarto término:

\[ [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} \]
\[ \times \Big\{ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} = 0 \]

Observa que \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = ([\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}])^\dagger\). Si definimos \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = f(\mathbf{p}, \mathbf{q})\), entonces \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = f^*(\mathbf{q}, \mathbf{p})\).

Para que la expresión anterior se cumpla para todo \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\), por la completitud de la transformada de Fourier, los coeficientes de Fourier del integrando deben ser cero.

Centrándonos en el primer término: \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\) forma modos de Fourier independientes respecto a \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\). Para que este término sea cero para todo \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\), se requiere:

\[ \frac{[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q} \]

Como \(\omega_{\mathbf{p}}, \omega_{\mathbf{q}} > 0\):

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q}} \]

Tomando el conjugado hermítico se obtiene:

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q}} \]

Verificación: Si se realiza un cálculo análogo para \([\hat{\pi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = 0\), se obtiene la misma condición \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\). En la expansión en modos de \(\hat{\pi}\) aparece un factor \(\sqrt{\omega_{\mathbf{p}}/2}\), pero como \(\omega_{\mathbf{p}} > 0\), la conclusión no cambia.

M-2. Expresión del Hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación

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Problema:

Sustituye las expansiones en modos (4.11), (4.12) en el Hamiltoniano del campo de Klein-Gordon

\[ H = \int d^3x\, \mathcal{H} = \int d^3x\, \left[\frac{1}{2}\hat{\pi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 + \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\right] \]

y reescríbelo en la siguiente forma:

\[ H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

Indica explícitamente en cada paso dónde se utilizan la ortogonalidad de la transformada de Fourier (4.15) y las relaciones de conmutación (4.13).

Estrategia de resolución: Escribimos cada uno de los tres términos del Hamiltoniano \(\hat{\pi}^2\), \((\nabla\hat{\phi})^2\), \(m^2\hat{\phi}^2\) mediante la expansión en modos, usamos la ortogonalidad de Fourier en la integral sobre \(\mathbf{x}\) y finalmente combinamos los resultados.

Detalles del cálculo:

Utilizamos la expansión en modos en \(t = 0\). Para mayor brevedad, introducimos la siguiente notación abreviada:

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]
\[ \hat{\pi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_p}{2}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Paso 1: Cálculo de \(\int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2\):

\[ \hat{\pi}(\mathbf{x})^2 = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} (-i)^2 \sqrt{\frac{\omega_p}{2}}\sqrt{\frac{\omega_q}{2}} \]
\[ \times \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)\left(\hat{a}_q\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_q^\dagger\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Nota que \((-i)^2 = -1\). Al expandir aparecen 4 términos:

\[ = -\int \frac{d^3p\, d^3q}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{\omega_p \omega_q}}{2} \Big\{ \hat{a}_p \hat{a}_q\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p \hat{a}_q^\dagger\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} \]
\[ - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_q\, e^{-i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_q^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} \Big\} \]

Al integrar sobre \(\mathbf{x}\), por la ortogonalidad de Fourier (4.15): - El término con \(e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) → \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) (fija \(\mathbf{q} = -\mathbf{p}\)) - El término con \(e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) → \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) (fija \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\))

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = -\frac{1}{2}\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{\omega_p \omega_q}}{2}\Big|_{\text{tras }\delta} \times (\text{cada término}) \]

Realizamos explícitamente la integral sobre \(\mathbf{q}\). En los términos con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) tenemos \(\mathbf{q} \to -\mathbf{p}\), \(\omega_q \to \omega_p\):

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = -\frac{1}{4}\int d^3p\, \omega_p \Big\{ \hat{a}_p \hat{a}_{-p} - \hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger \Big\} \]

Aquí \((2\pi)^3\) se cancela con la normalización \((2\pi)^{3/2} \times (2\pi)^{3/2}\) de la función \(\delta\), quedando solo \(\int d^3p\) (más precisamente \(\int \frac{d^3p\, d^3q}{(2\pi)^3} \cdot (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\cdots) = \int d^3p\)).

Reordenando:

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = \frac{1}{4}\int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p - \hat{a}_p \hat{a}_{-p} - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{I} \]

Paso 2: Cálculo de \(\int d^3x\, \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2\):

Cuando \(\nabla\) actúa sobre \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) produce \(i\mathbf{p}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\). Por lo tanto:

\[ \nabla\hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{i\mathbf{p}}{\sqrt{2\omega_p}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Expandimos \((\nabla\hat{\phi})^2\) y realizamos la integral sobre \(\mathbf{x}\). Tiene la misma estructura que el cálculo de \(\hat{\pi}^2\), pero en lugar de \(\sqrt{\omega_p \omega_q}/2\) aparece \(\frac{(-\mathbf{p}\cdot\mathbf{q})}{2\sqrt{\omega_p \omega_q}}\), e interviene también el signo de \((i)^2 = -1\).

En los términos con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) tenemos \(\mathbf{q} = -\mathbf{p}\), así que \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = -|\mathbf{p}|^2\). En los términos con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) tenemos \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\), así que \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = |\mathbf{p}|^2\).

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 = \frac{1}{4}\int d^3p\, \frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p} \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p \hat{a}_{-p} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{II} \]

Paso 3: Cálculo de \(\int d^3x\, \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\):

La expansión de \(\hat{\phi}^2\) tiene la misma estructura que \((\nabla\hat{\phi})^2\), pero sin el factor \(\mathbf{p}\) y con el factor \(1/(2\omega_p)\).

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2 = \frac{m^2}{4}\int d^3p\, \frac{1}{\omega_p} \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p \hat{a}_{-p} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{III} \]

Paso 4: Combinación de las tres contribuciones:

\(H = (\text{I}) + (\text{II}) + (\text{III})\)

Coeficientes de los términos \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\) y \(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\):

Contribución de (I): \(-\frac{1}{4}\omega_p\)

Contribución de (II): \(+\frac{1}{4}\frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p}\)

Contribución de (III): \(+\frac{1}{4}\frac{m^2}{\omega_p}\)

Suma:

\[ -\frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2}{4\omega_p} + \frac{m^2}{4\omega_p} = -\frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2 + m^2}{4\omega_p} = -\frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p^2}{4\omega_p} = 0 \]

Aquí hemos usado \(\omega_p^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\). Los términos de tipo \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\) se cancelan completamente.

Coeficientes de los términos \(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\):

Contribución de (I): \(+\frac{1}{4}\omega_p\)

Contribución de (II): \(+\frac{1}{4}\frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p}\)

Contribución de (III): \(+\frac{1}{4}\frac{m^2}{\omega_p}\)

Suma:

\[ \frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2 + m^2}{4\omega_p} = \frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p^2}{4\omega_p} = \frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p}{4} = \frac{\omega_p}{2} \]

Por lo tanto:

\[ H = \frac{1}{2}\int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\right) \]

Paso 5: Simplificación usando las relaciones de conmutación:

Utilizando la relación de conmutación (4.13) \([\hat{a}_p, \hat{a}_p^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{0})\) (caso \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)):

\[ \hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger = \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \delta^{(3)}(\mathbf{0}) \]

Sustituyendo:

\[ H = \frac{1}{2}\int d^3p\, \omega_p \left(2\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]
\[ \boxed{H = \int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right)} \]

Aquí hacemos una aclaración sobre el factor \((2\pi)^3\). Con la normalización del texto, \(\int d^3p\) debería escribirse como \(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\), pero cuando se usa el factor de normalización \((2\pi)^{3/2}\) de la expansión en modos (4.11), \((2\pi)^3\) es absorbido por la integral sobre \(\mathbf{x}\), y el resultado final es:

\[ \boxed{H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right)} \]

Verificación: - Análisis dimensional: \(\omega_p\) tiene dimensiones de energía, \(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\) tiene dimensiones de \([\text{momento}]^{-3}\) (igual que \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)), e \(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\) tiene dimensiones de \([\text{momento}]^3\). El conjunto tiene dimensiones de energía, lo cual es consistente. - Cancelación de los términos de tipo \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\): La relación de dispersión \(\omega_p^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) juega un papel esencial. Esta es una consecuencia de la ecuación de Klein-Gordon y es físicamente correcta. - Caso especial: Para un solo modo, se reproduce el oscilador armónico de mecánica cuántica \(H = \omega(a^\dagger a + 1/2)\).

M-3. Energía del punto cero y orden normal

→ Volver al problema

Problema:

(a) Explica qué problema físico causa el término \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) en el resultado del problema estándar S2. En particular, calcula la energía del vacío \(\langle 0 | H | 0 \rangle\) y demuestra que diverge.

(b) Se define el orden normal (normal ordering) \(:\!\hat{O}\!:\) como "la operación de reordenar todos los operadores de creación a la izquierda de los operadores de aniquilación". Para el Hamiltoniano con orden normal

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

demuestra que \(\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0\).

(c) El orden normal elimina el valor absoluto de la energía del punto cero, pero la diferencia de energías del punto cero es físicamente observable. Explica brevemente esta afirmación en el contexto del efecto Casimir.

(a) Divergencia de la energía del vacío:

Calculamos el valor esperado en el vacío utilizando el resultado de S2.

\[ \langle 0 | H | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle + \frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

De \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) se obtiene \(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\). Por lo tanto

\[ \langle 0 | H | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}\, \delta^{(3)}(\mathbf{0}) \]

Esta expresión contiene una doble divergencia:

  1. Divergencia infrarroja (divergencia de volumen): \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) es formalmente infinita. Si se regulariza con un volumen de caja \(V = L^3\), se tiene \(\delta^{(3)}(\mathbf{0}) = V/(2\pi)^3\). Esto refleja que la energía del punto cero se extiende por todo el espacio, y como densidad de energía:
\[ \frac{\langle 0 | H | 0 \rangle}{V} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2} \cdot \frac{1}{(2\pi)^3} \]
  1. Divergencia ultravioleta: Como \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) crece como \(|\mathbf{p}|\) cuando \(|\mathbf{p}| \to \infty\), la integral \(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\) diverge en el ultravioleta. En coordenadas esféricas, diverge como \(\int_0^\Lambda dp\, p^2 \cdot p \sim \Lambda^4\).
\[ \boxed{\langle 0 | H | 0 \rangle = \infty} \]

Problema físico: la densidad de energía del vacío resulta infinita. Este es el resultado de sumar la energía del punto cero \(\frac{1}{2}\omega_{\mathbf{p}}\) de cada modo sobre todos los modos, lo cual corresponde a la suma total de las energías del punto cero de un número infinito de osciladores armónicos.

(b) Eliminación de la energía del vacío mediante el orden normal:

El orden normal \(:\!\hat{O}\!:\) es la operación de reordenar todos los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger\) a la izquierda de los operadores de aniquilación \(\hat{a}\). En este proceso se descartan los términos c-numéricos que surgen de las relaciones de conmutación.

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

Calculando el valor esperado en el vacío

\[ \langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle \]

De \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) se obtiene

\[ \langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0 \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0} \]

El orden normal corresponde a la operación de «redefinir la energía del vacío como cero». Dado que el valor absoluto de la energía no es físicamente observable (excepto en presencia de gravedad), y solo las diferencias de energía tienen significado físico, esta operación está justificada.

(c) Efecto Casimir y la diferencia de energía del punto cero:

El valor absoluto de la energía del punto cero puede eliminarse mediante el orden normal, pero la diferencia de energía del punto cero entre configuraciones con distintas condiciones de contorno es físicamente observable.

Explicación del efecto Casimir:

Cuando se colocan dos placas conductoras paralelas separadas una distancia \(L\), los modos permitidos del campo electromagnético (o campo escalar) entre las placas se discretizan (las condiciones de contorno solo permiten ciertas longitudes de onda). En cambio, fuera de las placas se permiten modos continuos.

  • Energía del punto cero entre las placas: suma sobre modos discretos \(E_{\text{in}}(L) = \sum_n \frac{1}{2}\omega_n\)
  • Energía del punto cero sin placas: integral sobre modos continuos \(E_{\text{free}}\)

La diferencia \(\Delta E = E_{\text{in}}(L) - E_{\text{free}}\) tiene un valor finito y depende de \(L\). La fuerza derivada de esta diferencia

\[ F = -\frac{d(\Delta E)}{dL} \]

se observa como una fuerza atractiva. Este es el efecto Casimir, predicho por Casimir en 1948 y confirmado experimentalmente por Lamoreaux en 1997.

Punto clave: el valor absoluto divergente de la energía del punto cero no tiene significado físico, pero la diferencia de energía del punto cero asociada al cambio de condiciones de contorno es finita y produce una fuerza medible experimentalmente.

M-4. Cuantización del campo escalar complejo y partículas/antipartículas

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Problema:

Considera la densidad Lagrangiana del campo escalar complejo

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

(a) Tratando \(\phi\) y \(\phi^*\) como campos independientes, obtén las densidades de momento conjugado \(\pi_\phi\) y \(\pi_{\phi^*}\) de cada uno.

(b) La expansión en modos del campo escalar complejo se escribe usando dos tipos de operadores de creación y aniquilación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \(\hat{b}_{\mathbf{p}}, \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) como

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Expresa \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) en términos de \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \(\hat{b}_{\mathbf{p}}\).

(c) Explica la diferencia física entre la partícula creada por \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y la partícula creada por \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\), desde el punto de vista del signo de la carga de Noether correspondiente a la simetría \(U(1)\) \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\) estudiada en Cap. 3.

(a) Derivación de la densidad de momento conjugado:

La densidad lagrangiana es

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

Tratamos \(\phi\) y \(\phi^*\) como campos independientes.

Densidad de momento conjugado a \(\phi\):

\[ \pi_\phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi)} \]

El término en \(\mathcal{L}\) que contiene \(\partial_0 \phi\) es \((\partial_0 \phi^*)(\partial_0 \phi)\) (término con \(\mu = 0\), métrica \(\eta^{00} = +1\)). Como \(\phi^*\) es independiente de \(\phi\):

\[ \pi_\phi = \frac{\partial}{\partial(\partial_0 \phi)}\left[(\partial_0 \phi^*)(\partial_0 \phi)\right] = \partial_0 \phi^* = \dot{\phi}^* \]
\[ \boxed{\pi_\phi = \dot{\phi}^*} \]

Densidad de momento conjugado a \(\phi^*\):

\[ \pi_{\phi^*} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi^*)} = \partial_0 \phi = \dot{\phi} \]
\[ \boxed{\pi_{\phi^*} = \dot{\phi}} \]

(b) Expresión de \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\):

La expansión en modos dada es

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Tomamos el conjugado hermítico. \((\hat{a}_{\mathbf{p}})^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \((\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger)^\dagger = \hat{b}_{\mathbf{p}}\), \((e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}})^* = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\):

\[ \boxed{\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)} \]

Observación: A diferencia del campo escalar real, \(\hat{\phi}^\dagger \neq \hat{\phi}\). En \(\hat{\phi}\) aparecen \(\hat{a}\) y \(\hat{b}^\dagger\), mientras que en \(\hat{\phi}^\dagger\) aparecen \(\hat{a}^\dagger\) y \(\hat{b}\).

(c) Diferencia física entre partículas y antipartículas:

La carga de Noether correspondiente a la simetría \(U(1)\), \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\), \(\phi^* \to e^{-i\alpha}\phi^*\), es

\[ Q = i\int d^3x\, (\phi^* \dot{\phi} - \dot{\phi}^* \phi) \]

Después de la cuantización, sustituyendo la expansión en modos y realizando la integral en \(\mathbf{x}\) (usando la ortogonalidad de Fourier, de manera análoga a S2):

\[ :\!Q\!: = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} - \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{b}_{\mathbf{p}}\right) \]

De este resultado:

  • Las partículas creadas por \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) tienen carga \(Q = +1\) (el signo del término \(\hat{a}^\dagger \hat{a}\) es \(+\))
  • Las partículas creadas por \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) tienen carga \(Q = -1\) (el signo del término \(\hat{b}^\dagger \hat{b}\) es \(-\))

Ambas tienen la misma masa \(m\) (\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) es común a \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\)), pero el signo de la carga \(U(1)\) es opuesto.

\[ \boxed{\text{Las partículas creadas por } \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \text{ y las antipartículas creadas por } \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger \text{ tienen la misma masa, pero carga } U(1) \text{ de signo opuesto.}} \]

Este es el origen de las antipartículas. Al cuantizar un campo escalar complejo, la existencia de la simetría \(U(1)\) hace que aparezcan necesariamente dos tipos de operadores de creación, y las partículas y antipartículas surgen automáticamente. En el caso del campo escalar real (\(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\)), se tiene \(\hat{a} = \hat{b}\), y la partícula y la antipartícula son idénticas (partícula autoconjugada).

Verificación: Confirmamos la conservación de la carga. Se puede verificar que \(:\!Q\!:\) conmuta con \(:\!H\!:\) (\([:\!Q\!:, :\!H\!:] = 0\)) a partir de \([\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger \hat{a}_q] = 0\) y \([\hat{b}_p^\dagger \hat{b}_p, \hat{b}_q^\dagger \hat{b}_q] = 0\). Esto es consistente con la consecuencia del teorema de Noether (simetría \(U(1)\) → conservación de la carga).

Avanzado

A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión

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Problema:

Considera un campo escalar sin masa (\(m = 0\)) en un espacio unidimensional, con paredes perfectamente reflectantes (condiciones de contorno de Dirichlet: \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\)) colocadas en \(x = 0\) y \(x = L\).

(a) Demuestra que los modos de momento permitidos entre las paredes son \(p_n = n\pi/L\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)).

(b) La energía del punto cero entre las paredes se escribe formalmente como

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

Reemplaza esta suma divergente por un valor finito utilizando la regularización por función zeta (zeta function regularization). Concretamente, utiliza la continuación analítica de la función zeta de Riemann \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) evaluada en \(s = -1\): \(\zeta(-1) = -1/12\).

(c) A partir de la energía de Casimir obtenida, calcula la fuerza que actúa entre las paredes \(F = -dE/dL\) y determina si dicha fuerza es atractiva o repulsiva.

(d) (Consideración avanzada) En este cálculo se ha tratado la divergencia ultravioleta mediante regularización. Desde el punto de vista físico, argumenta por qué está justificado descartar la parte divergente y quedarse solo con la parte finita, desde la perspectiva de la "diferencia de energía del punto cero con y sin condiciones de contorno".

(a) Modos de momento permitidos:

Imponemos condiciones de frontera de Dirichlet \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\). La expansión en modos del campo en una dimensión toma la forma

\[ \hat{\phi}(x) = \sum_n c_n \sin(p_n x) \]

(el \(\cos\) no es adecuado porque no se anula en \(x = 0\)).

Condición de frontera en \(x = 0\): \(\sin(0) = 0\) ✓ (se satisface automáticamente)

Condición de frontera en \(x = L\): de \(\sin(p_n L) = 0\) se obtiene

\[ p_n L = n\pi \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \]
\[ \boxed{p_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)} \]

\(n = 0\) se excluye porque \(\sin(0) = 0\) da la solución trivial (campo nulo). \(n < 0\) no es independiente ya que \(\sin(-p_n x) = -\sin(p_n x)\) representa el mismo modo que \(n > 0\).

(b) Energía del punto cero mediante regularización zeta:

Como \(m = 0\), tenemos \(\omega_n = |p_n| = \frac{n\pi}{L}\). La energía del punto cero es

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

\(\sum_{n=1}^{\infty} n\) diverge claramente. Aplicamos la regularización mediante la función zeta.

Procedimiento: Generalizamos la suma divergente como

\[ \sum_{n=1}^{\infty} n \;\longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} = \zeta(s) \]

y utilizamos la continuación analítica a \(s = -1\). El valor de la función zeta de Riemann en \(s = -1\) es

\[ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} \]

Por lo tanto

\[ E(L) = \frac{\pi}{2L} \cdot \zeta(-1) = \frac{\pi}{2L} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right) \]
\[ \boxed{E(L) = -\frac{\pi}{24L}} \]

(c) Fuerza de Casimir:

\[ F = -\frac{dE}{dL} = -\frac{d}{dL}\left(-\frac{\pi}{24L}\right) = -\frac{\pi}{24L^2} \]
\[ \boxed{F = -\frac{\pi}{24L^2}} \]

Como \(F < 0\), la fuerza actúa en la dirección que reduce la separación \(L\) entre las paredes, es decir, es atractiva.

(d) Justificación física de la regularización:

La justificación de descartar la parte divergente y retener solo la parte finita se entiende de la siguiente manera.

Lo que es físicamente medible es la diferencia en la energía del punto cero debida a la presencia o ausencia de las condiciones de frontera.

Consideramos la diferencia entre la energía del punto cero con paredes \(E_{\text{in}}(L)\) y la energía del punto cero sin paredes (espacio libre) \(E_{\text{free}}(L)\) (calculada en una región de la misma longitud \(L\)):

\[ \Delta E = E_{\text{in}}(L) - E_{\text{free}}(L) \]

Ambas contienen divergencias ultravioletas, pero los modos de alta energía (longitud de onda corta) apenas se ven afectados por la presencia de las paredes (los modos cuya longitud de onda es mucho menor que la separación \(L\) se comportan igual con o sin paredes). Por lo tanto, las partes divergentes se cancelan y solo queda una diferencia finita.

Verificación explícita con un corte exponencial:

Introducimos un corte \(e^{-\epsilon n}\) (\(\epsilon > 0\)) y calculamos

\[ E_\epsilon(L) = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n\, e^{-\epsilon n} \]

Usando \(\sum_{n=1}^{\infty} n\, e^{-\epsilon n} = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\) y expandiendo en el límite \(\epsilon \to 0\):

\[ \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} - \frac{1}{12} + O(\epsilon^2) \]

El término divergente \(1/\epsilon^2\) no depende de la presencia de las paredes (la misma divergencia aparece en el espacio libre), por lo que se cancela al tomar la diferencia. La parte finita restante \(-1/12\) coincide con el resultado de la regularización zeta.

De esta manera, la regularización mediante la función zeta es un método ingenioso que "elimina automáticamente la parte divergente físicamente irrelevante y extrae únicamente la parte finita que depende de las condiciones de frontera".

Verificación: - Análisis dimensional: En unidades naturales \(E \sim 1/L\) es correcto (en 1+1 dimensiones \([E] = [\text{longitud}]^{-1}\)). - Límite \(L \to \infty\): \(E(L) \to 0\), \(F \to 0\). Cuando las paredes se separan infinitamente, el efecto Casimir desaparece. Esto es físicamente correcto. - Signo: Con condiciones de frontera de Dirichlet en una dimensión la fuerza es atractiva. En el efecto Casimir del campo electromagnético en 3+1 dimensiones (placas conductoras paralelas) también es atractiva, lo cual es cualitativamente consistente.

A-2. Invariancia de Lorentz de las relaciones de conmutación de campos y causalidad

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Problema:

En la cuantización canónica se otorga un tratamiento especial al tiempo al imponer relaciones de conmutación a tiempos iguales, pero la teoría resultante debe ser invariante de Lorentz. En este problema investigamos la estructura causal de las relaciones de conmutación de los campos.

(a) Demuestra que cuando el intervalo espacio-temporal entre dos puntos \(x - y\) es espacial (\((x - y)^2 < 0\)), se puede lograr \(x^0 = y^0\) (simultaneidad) mediante una transformación de Lorentz apropiada.

(b) Utilizando la relación de conmutación a tiempos iguales para el campo escalar real \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\), argumenta que para dos puntos separados espacialmente se cumple

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{for } (x-y)^2 < 0 \]

Explica por qué esta condición se denomina microcausalidad (microcausality).

(c) Demuestra que si se intenta cuantizar el campo de Klein-Gordon con estadística de Fermi (anticonmutadores) en lugar de estadística de Bose (conmutadores), la microcausalidad se viola.

(Pista: calcula el anticonmutador \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) y verifica que no se anula para dos puntos separados espacialmente.)

Este resultado ilustra un aspecto del teorema de espín-estadística (spin-statistics theorem): los campos de espín entero obedecen la estadística de Bose y los campos de espín semientero obedecen la estadística de Fermi.

(a) Existencia de un marco de simultaneidad para separación espacial:

Supongamos que el intervalo entre dos puntos del espacio-tiempo \(x^\mu\) e \(y^\mu\) es de tipo espacial:

\[ (x - y)^2 = (x^0 - y^0)^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2 < 0 \]

Esto implica \(|\Delta t| < |\Delta \mathbf{x}|\) (\(\Delta t = x^0 - y^0\), \(\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{y}\)).

Tomemos la dirección de \(\Delta \mathbf{x}\) como el eje \(x^1\) (siempre es posible mediante una rotación espacial). Entonces el problema se reduce a 1+1 dimensiones y solo necesitamos considerar \(\Delta t\) y \(\Delta x^1\).

Al aplicar un boost de Lorentz con velocidad \(v\) en la dirección \(x^1\), la diferencia temporal se transforma como

\[ \Delta t' = \gamma(\Delta t - v\,\Delta x^1) \]

Para que \(\Delta t' = 0\) necesitamos

\[ v = \frac{\Delta t}{\Delta x^1} \]

De la condición de intervalo espacial \(|\Delta t| < |\Delta x^1|\) se obtiene

\[ |v| = \frac{|\Delta t|}{|\Delta x^1|} < 1 \]

Esta es una velocidad de boost de Lorentz físicamente permitida (menor que la velocidad de la luz).

\[ \boxed{\text{Para dos puntos con separación espacial, un boost de Lorentz con } |v| < 1 \text{ permite hacerlos simultáneos } (\Delta t' = 0).} \]

(b) Demostración de la microcausalidad:

(i) Para dos puntos espacialmente separados \(x, y\) (\((x-y)^2 < 0\)), como se mostró en (a), existe un marco \(S'\) en el que se pueden hacer simultáneos mediante una transformación de Lorentz adecuada.

(ii) En el marco \(S'\) se tiene \(x'^0 = y'^0\), por lo que según la relación de conmutación a tiempos iguales (4.5)

\[ [\hat{\phi}(x'), \hat{\phi}(y')] = [\hat{\phi}(t', \mathbf{x}'), \hat{\phi}(t', \mathbf{y}')] = 0 \]

(iii) El conmutador \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\) del campo escalar es un escalar de Lorentz. Esto se entiende de la siguiente manera:

Un campo escalar se transforma bajo una transformación de Lorentz \(x \to x' = \Lambda x\) como \(\hat{\phi}'(x') = \hat{\phi}(x)\). Por lo tanto

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = [\hat{\phi}'(x'), \hat{\phi}'(y')] \]

Es decir, el valor del conmutador no depende del sistema de coordenadas.

(iv) Dado que \([\hat{\phi}(x'), \hat{\phi}(y')] = 0\) en el marco \(S'\), en cualquier marco también se tiene

\[ \boxed{[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{para } (x-y)^2 < 0} \]

Significado físico de la microcausalidad:

Los operadores de campo en dos puntos con separación espacial conmutan. Esto significa que las mediciones realizadas en dos regiones espacialmente separadas no se afectan mutuamente. La transmisión de señales a velocidades superiores a la de la luz es imposible, y la causalidad de la relatividad especial se preserva también en la teoría cuántica de campos.

(c) Cuantización con estadística de Fermi y violación de la microcausalidad:

Si intentamos cuantizar el campo de Klein-Gordon con estadística de Fermi (relaciones de anticonmutación), en lugar de relaciones de conmutación imponemos

\[ \{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad \{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}\} = 0, \qquad \{\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\} = 0 \]

donde \(\{A, B\} = AB + BA\) es el anticonmutador.

Calculemos el anticonmutador \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) del campo escalar real. Sustituyendo la expansión en modos, mediante un cálculo análogo al de la demostración de (b), aparecen anticonmutadores \(\{\cdot, \cdot\}\) en lugar de conmutadores \([\cdot, \cdot]\).

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}\sqrt{2\omega_q}} \]
\[ \times \Big\{ \{\hat{a}_p, \hat{a}_q\}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + \{\hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger\}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \]
\[ + \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q^\dagger\}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} \]

Dado que \(\{\hat{a}_p, \hat{a}_q\} = 0\) y \(\{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q^\dagger\} = 0\), el primer y cuarto término se anulan. Los términos segundo y tercero restantes dan

\[ \{\hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}), \qquad \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}) \]

(El anticonmutador es simétrico \(\{A, B\} = \{B, A\}\), por lo que \(\{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\} = \{\hat{a}_q, \hat{a}_p^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{q}-\mathbf{p}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\))

Realizando la integral en \(\mathbf{q}\) con la función \(\delta\) se obtiene

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_p} \left(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} + e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\right) \]
\[ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\omega_p} \cos(\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})) \]

Diferencia crucial: En el caso de estadística de Bose (conmutador), como se vio en S1, en \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\) el segundo y tercer término aparecen con resta, dando \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} - e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\), que se cancela bajo la sustitución \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\). Sin embargo, con estadística de Fermi (anticonmutador) aparece una suma, \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} + e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\).

Esta integral generalmente no se anula para \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\). De hecho, definiendo \(\mathbf{r} = \mathbf{x} - \mathbf{y}\) y calculando en coordenadas esféricas

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int_0^\infty \frac{dp}{2\pi^2} \frac{p^2}{\omega_p} \frac{\sin(p|\mathbf{r}|)}{p|\mathbf{r}|} \]

Esto tiene un valor finito para \(|\mathbf{r}| \neq 0\) (en el caso \(m = 0\) es proporcional a \(\frac{1}{2\pi^2 |\mathbf{r}|^2}\)).

Por lo tanto, incluso para dos puntos espacialmente separados (\(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), a tiempos iguales)

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} \neq 0 \]

y la microcausalidad se viola.

\[ \boxed{\text{Si se cuantiza un campo de espín entero (campo escalar) con estadística de Fermi, la microcausalidad se viola.}} \]

Relación con el teorema espín-estadística:

Este resultado muestra que los campos de espín entero deben ser cuantizados con estadística de Bose. Inversamente, si se intenta cuantizar un campo de espín semientero (como el campo de Dirac) con estadística de Bose, surge otro problema: la energía no está acotada inferiormente (el hamiltoniano no es definido positivo).

Combinando ambos resultados: - Espín entero → estadística de Bose (relaciones de conmutación): la microcausalidad se preserva - Espín semientero → estadística de Fermi (relaciones de anticonmutación): la energía es definida positiva

Este es el núcleo del teorema espín-estadística, una de las consecuencias fundamentales de la teoría cuántica de campos relativista.

Verificación: - El resultado de (a) es consistente con el hecho de que para intervalos de tipo temporal (\((x-y)^2 > 0\)) se obtiene \(|v| > 1\), por lo que no es posible hacer los eventos simultáneos mediante un boost de Lorentz. En el cono de luz (\((x-y)^2 = 0\)) se tiene \(|v| = 1\), que es el caso límite. - La microcausalidad de (b) establece que la función invariante de Lorentz \(\Delta(x-y) = [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\) se anula en la región espacial. Esta función se conoce como la función de Pauli-Jordan y se expresa como \(\Delta(x-y) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3p\, \frac{1}{2\omega_p}(e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{ip\cdot(x-y)})\). El hecho de que el integrando cambie de signo bajo \(p \to -p\) (función impar) garantiza que se anule en la región espacial. - En el caso del anticonmutador de (c), el integrando es una función par, por lo que la cancelación no ocurre y el resultado no es cero. Este contraste es esencial.