Saltar a contenido

Cap. 4 Soluciones

← Volver a ejercicios　|　Volver al capítulo

Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Lectura de valores de la relación de conmutación a tiempos iguales

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se sustituyen valores concretos en la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) y se utilizan las propiedades fundamentales de la función delta.

(a) Para \(\mathbf{x} = (1,2,3)\), \(\mathbf{y} = (4,5,6)\)

Como \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), se tiene \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \delta^{(3)}((-3,-3,-3)) = 0\).

\[ \boxed{[\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = 0} \]

Significado físico: el campo y la densidad de momento en puntos espaciales distintos conmutan entre sí, por lo que pueden tener valores definidos simultáneamente.

(b) Integración sobre \(\mathbf{y}\) en todo el espacio

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = \int d^3y\, i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

Usando la propiedad fundamental de la función delta \(\int d^3y\, f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\), si tomamos \(f(\mathbf{y}) = 1\) (constante), entonces

\[ \int d^3y\, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = 1 \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i} \]

(c) Expresar \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\)

Por la antisimetría del conmutador \([A, B] = -[B, A]\):

\[ \boxed{[\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = -[\hat{\phi}(t, \mathbf{y}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{x})] = -i\,\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = -i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \]

En la última igualdad se utilizó que \(\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) (paridad de la función delta).

Verificación

El resultado de (b) corresponde a la versión en teoría de campos de \([\hat{q}, \hat{p}] = i\) en mecánica cuántica. La integral sobre todo el espacio del campo corresponde a la suma sobre índices discretos, y al integrar \(\delta^{(3)}\) se obtiene el equivalente de la suma de deltas de Kronecker \(\sum_j \delta_{ij} = 1\). El resultado es consistente.

B-2. Cálculo de relaciones de conmutación de operadores de creación y aniquilación

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se usa repetidamente la fórmula del conmutador \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\).

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

Se aplica la fórmula con \(A = \hat{a}_{\mathbf{p}}\), \(B = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\), \(C = \hat{a}_{\mathbf{q}}\):

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}] = [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{q}} + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] \]

Sustituyendo \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) y \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\):

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}} \]

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

Se usa \([AB, C] = A[B, C] + [A, C]B\) con \(A = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(B = \hat{a}_{\mathbf{p}}\), \(C = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\):

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{p}} \]

Sustituyendo \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) y \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0\):

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger} \]

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

Se usa \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\) con \(B = C = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\):

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2] = [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] \]
\[ = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger + \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]
\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2] = 2\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger} \]

Verificación

El resultado (a) corresponde a \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger \hat{a}] = \hat{a}\) en mecánica cuántica, y (b) corresponde a \([\hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger\). Considerando que la función delta es la versión continua de la delta de Kronecker, los resultados son consistentes con el caso discreto. El resultado (c) es la versión continua de \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^2] = 2\hat{a}^\dagger\), y corresponde al caso \(n=2\) de la relación general \([\hat{a}, (\hat{a}^\dagger)^n] = n(\hat{a}^\dagger)^{n-1}\).

B-3. Acción del operador de aniquilación sobre el vacío

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se combina la definición del vacío \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) con las relaciones de conmutación.

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle \]

Usando la relación de conmutación, movemos \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) a la derecha de \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\):

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Al actuar sobre \(|0\rangle\), dado que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\):

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,|0\rangle} \]

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

Como \(\langle \mathbf{p}| = (|\mathbf{p}\rangle)^\dagger = (\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle)^\dagger = \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}}\), tenemos

\[ \langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle \]

Usando el resultado de (a):

\[ \langle 0| \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle = \langle 0| \left(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,|0\rangle\right) = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\,\langle 0|0\rangle \]

Por la normalización del vacío \(\langle 0|0\rangle = 1\):

\[ \boxed{\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})} \]

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

Dado que \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\), el orden de \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) es intercambiable. En cualquier caso, como \(\hat{a}_{\mathbf{q}}|0\rangle = 0\):

\[ \hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}} \cdot 0 = 0 \]
\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle = 0} \]

Verificación

El resultado de (b) expresa la ortonormalidad de los estados de una partícula con etiqueta de momento continua. Tiene la misma estructura que los autoestados de posición en mecánica cuántica \(\langle \mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\), lo cual es consistente. El resultado de (c) es físicamente natural: «no se puede aniquilar dos veces una partícula del vacío».

B-4. Verificación de la ortogonalidad de la transformada de Fourier

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se reinterpreta adecuadamente la fórmula básica \(\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\).

(a) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\)

Si reescribes el exponente como \(e^{i(\mathbf{p}-(-\mathbf{q}))\cdot\mathbf{x}}\), esto corresponde a aplicar la fórmula básica con la sustitución \(\mathbf{q} \to -\mathbf{q}\):

\[ \boxed{\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})} \]

(b) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\)

Combinando los exponentes mediante las leyes de exponenciales:

\[ e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = e^{i(\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}} \]

Aplicando la fórmula básica:

\[ \boxed{\int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q}+\mathbf{k})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{k})} \]

(c) \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\)

Primero se realiza la integración en \(\mathbf{p}\). Utilizando la representación de Fourier de la función delta:

\[ \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

se obtiene

\[ \int d^3x\, \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\, f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y}) \]
\[ \boxed{\int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})} \]

Verificación

El resultado (c) expresa que al aplicar sucesivamente la transformada de Fourier y su inversa se recupera la función original, lo cual constituye el teorema fundamental de la transformada de Fourier.

B-5. Cálculo explícito de \(\omega_{\mathbf{p}}\)

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se sustituye cada condición en \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\).

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\)

\[ \omega_{\mathbf{0}} = \sqrt{0 + m^2} = m \]
\[ \boxed{\omega_{\mathbf{0}} = m} \]

Esto corresponde a la energía de masa en reposo \(E = mc^2\) (en unidades naturales \(E = m\)).

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{m^2 + m^2} = \sqrt{2}\,m \]
\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{2}\,m} \]

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\) (límite ultrarelativista)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} = |\mathbf{p}|\sqrt{1 + \frac{m^2}{|\mathbf{p}|^2}} \]

Usando la expansión de Taylor \(\sqrt{1+\epsilon} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2}\) para \(m/|\mathbf{p}| \ll 1\):

\[ \omega_{\mathbf{p}} \approx |\mathbf{p}|\left(1 + \frac{m^2}{2|\mathbf{p}|^2}\right) = |\mathbf{p}| + \frac{m^2}{2|\mathbf{p}|} \]

A orden más bajo:

\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} \approx |\mathbf{p}|} \]

(d) \(m = 0\)

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + 0} = |\mathbf{p}| \]
\[ \boxed{\omega_{\mathbf{p}} = |\mathbf{p}|} \]

Esto corresponde a la relación de dispersión \(E = |p|\) (\(E = pc\)) para partículas sin masa, como el fotón.

Verificación

El límite ultrarelativista de (c) y el resultado de masa nula de (d) coinciden, lo cual es consistente. El caso (a) reproduce la energía en reposo en el límite no relativista \(|\mathbf{p}| \to 0\).

B-6. Verificación de la hermiticidad del operador de campo

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se calcula \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) y se demuestra que coincide con \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) mediante la sustitución de la variable de integración \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) y la relación \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\).

Detalles del cálculo

Tomamos el conjugado hermítico de \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\). Las integrales y los c-números (como \(\omega_{\mathbf{p}}\) o \((2\pi)^{3/2}\)) permanecen iguales, y se toma el conjugado hermítico de los operadores y los números complejos:

\[ \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Aquí se ha usado que \((\hat{a}_{\mathbf{p}})^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \((e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}})^* = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) (ya que \(\mathbf{p}, \mathbf{x}\) son reales).

Reescribiendo intercambiando el orden de los dos términos:

\[ \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Esto es exactamente \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) de la ecuación (4.11).

\[ \boxed{\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})} \]

Nota complementaria: En el cálculo anterior, el resultado se obtuvo simplemente intercambiando el orden de los términos. De forma más general, también se puede emplear la sustitución de variable de integración \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\). En ese caso, se usa que \(d^3p \to d^3p\) (el jacobiano es \(|-1|^3 = 1\)) y \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\) (\(\omega_{\mathbf{p}}\) depende únicamente de \(|\mathbf{p}|^2\)), obteniéndose el mismo resultado.

Verificación

Un campo escalar real debe satisfacer \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\), lo cual queda garantizado de forma natural por la estructura del desarrollo en modos que contiene tanto \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) como \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\). Es la versión en teoría de campos del hecho de que en mecánica cuántica \(\hat{q} = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)\) es hermítico para el oscilador armónico.

B-7. Derivación de la expansión en modos de la densidad de momento conjugado

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se calcula la derivada temporal de \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\): \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\).

Detalle del cálculo

La expansión en modos que incluye la dependencia temporal es

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

Se realiza la derivada temporal. Dado que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) no dependen del tiempo (operadores en la imagen de Schrödinger), la derivada actúa únicamente sobre las exponenciales:

\[ \partial_0\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (-i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]
\[ \partial_0\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} = (+i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \]

Por lo tanto

\[ \hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[\hat{a}_{\mathbf{p}}\,(-i\omega_{\mathbf{p}})\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,(+i\omega_{\mathbf{p}})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right] \]

Se combina \(\omega_{\mathbf{p}}\) con \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\) para simplificar:

\[ \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} = \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \]

En consecuencia

\[ \hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

Evaluando en \(t = 0\) se obtiene

\[ \boxed{\hat{\pi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)} \]

Esto coincide con la ecuación (4.12).

Verificación

Se comprueba la hermiticidad de \(\hat{\pi}(\mathbf{x})\). Al tomar \(\hat{\pi}^\dagger\), se intercambian \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \leftrightarrow \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \leftrightarrow e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), y \((-i)^* = +i\). Verificando el signo global se confirma que \(\hat{\pi}^\dagger = \hat{\pi}\), lo cual muestra que la densidad de momento conjugado es efectivamente hermítica.

B-8. Verificación de la correspondencia discreto→continuo

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Consideramos momentos discretizados en una caja de volumen \(V = L^3\) y derivamos las relaciones de correspondencia en el límite continuo \(L \to \infty\).

(a) Derivación de \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\)

Los momentos discretizados son \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\) (\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)), y la separación entre momentos adyacentes en cada dirección es

\[ \Delta p_i = \frac{2\pi}{L} \]

El volumen de una celda en el espacio de momentos en 3 dimensiones es

\[ (\Delta p)^3 = \left(\frac{2\pi}{L}\right)^3 = \frac{(2\pi)^3}{V} \]

Interpretando la suma discreta como una suma de Riemann:

\[ \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}}) = \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}}) \cdot \frac{(\Delta p)^3}{(\Delta p)^3} = \frac{1}{(\Delta p)^3}\sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}})\,(\Delta p)^3 \]

En el límite \(L \to \infty\), \(\Delta p \to 0\) y la suma de Riemann converge a la integral:

\[ \sum_{\mathbf{n}} f(\mathbf{p}_{\mathbf{n}})\,(\Delta p)^3 \to \int d^3p\, f(\mathbf{p}) \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\sum_{\mathbf{n}} \to \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3p} \]

(b) Relación de escala entre \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\)

Las relaciones de conmutación discretas son

\[ [\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} \]

En el límite continuo, existe la siguiente correspondencia entre la delta de Kronecker y la función delta. Con \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\), \(\mathbf{q} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{m}\):

\[ \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} \cdot \frac{(\Delta p)^3}{(\Delta p)^3} \]

Usando la aproximación discreta de la función delta \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \approx \frac{\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}}{(\Delta p)^3} = \frac{V}{(2\pi)^3}\,\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}\), obtenemos

\[ \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}} = \frac{(2\pi)^3}{V}\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Para reproducir la relación de conmutación del límite continuo \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\), definimos \(\hat{a}_{\mathbf{p}} = c\,\hat{a}_{\mathbf{n}}\), con lo cual

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = |c|^2\,[\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = |c|^2\,\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}} = |c|^2 \cdot \frac{(2\pi)^3}{V}\,\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Para que esto sea igual a \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\), se requiere \(|c|^2 = \frac{V}{(2\pi)^3}\). Por lo tanto

\[ \boxed{\hat{a}_{\mathbf{p}} = \sqrt{\frac{V}{(2\pi)^3}}\;\hat{a}_{\mathbf{n}}} \]

Verificación

Confirmamos mediante análisis dimensional. \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\) es adimensional (\([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}}\) es adimensional). Por otro lado, \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) tiene las dimensiones de la función delta \([\text{momento}]^{-3}\), por lo que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) tiene dimensiones \([\text{momento}]^{-3/2}\). \(\sqrt{V/(2\pi)^3}\) tiene dimensiones \([\text{longitud}]^{3/2} = [\text{momento}]^{-3/2}\), lo cual es consistente.

Intermedio

M-1. Derivación de las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación a partir de las relaciones de conmutación a tiempos iguales

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Se sustituye la expansión en modos (4.11) en \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\) y, utilizando la ortogonalidad de la transformada de Fourier, se deduce \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\).

Detalles del cálculo

Sustituimos la expansión en modos en \(t = 0\) (el tiempo \(t\) es común y se omite):

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Expandimos \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\). Usando \(\mathbf{p}\) y \(\mathbf{q}\) como variables de integración respectivas:

\[ [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} \]
\[ \times \Big\{ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \]
\[ + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} \]

Aquí sustituimos la relación de conmutación conocida \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) en el segundo término, y en el tercer término usamos \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = -[\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = -\delta^{(3)}(\mathbf{q}-\mathbf{p})\).

Contribución del segundo término: Al realizar la integral en \(\mathbf{q}\) con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\), se fija \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\):

\[ \text{2.º término} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

Contribución del tercer término: De manera análoga:

\[ \text{3.er término} = -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

En el tercer término, realizando la sustitución \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) (con \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\), \(d^3p \to d^3p\)):

\[ \text{3.er término} = -\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} \]

Por lo tanto, el segundo y el tercer término se cancelan exactamente.

Solo quedan el primer y el cuarto término:

\[ [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} \]
\[ \times \Big\{ [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} = 0 \]

Observa que \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = ([\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}])^\dagger\). Si definimos \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = f(\mathbf{p}, \mathbf{q})\), entonces \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = f^*(\mathbf{q}, \mathbf{p})\).

Para que la expresión anterior se cumpla para todo \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\), por la completitud de la transformada de Fourier, los coeficientes de Fourier del integrando deben ser cero.

Centrándonos en el primer término: \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\) forma modos de Fourier independientes respecto a \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\). Para que este término sea cero para todo \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\), se requiere:

\[ \frac{[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}} = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q} \]

Como \(\omega_{\mathbf{p}}, \omega_{\mathbf{q}} > 0\):

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q}} \]

Tomando el conjugado hermítico se obtiene:

\[ \boxed{[\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \quad \text{for all } \mathbf{p}, \mathbf{q}} \]

Verificación

Si se realiza un cálculo análogo para \([\hat{\pi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = 0\), se obtiene la misma condición \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0\). En la expansión en modos de \(\hat{\pi}\) aparece un factor \(\sqrt{\omega_{\mathbf{p}}/2}\), pero como \(\omega_{\mathbf{p}} > 0\), la conclusión no cambia.

M-2. Expresión del Hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación

→ Volver al problema

Estrategia de resolución

Escribimos cada uno de los tres términos del Hamiltoniano \(\hat{\pi}^2\), \((\nabla\hat{\phi})^2\), \(m^2\hat{\phi}^2\) mediante la expansión en modos, usamos la ortogonalidad de Fourier en la integral sobre \(\mathbf{x}\) y finalmente combinamos los resultados.

Detalles del cálculo

Utilizamos la expansión en modos en \(t = 0\). Para mayor brevedad, introducimos la siguiente notación abreviada:

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]
\[ \hat{\pi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_p}{2}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Paso 1: Cálculo de \(\int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2\)

\[ \hat{\pi}(\mathbf{x})^2 = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} (-i)^2 \sqrt{\frac{\omega_p}{2}}\sqrt{\frac{\omega_q}{2}} \]
\[ \times \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)\left(\hat{a}_q\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_q^\dagger\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Nota que \((-i)^2 = -1\). Al expandir aparecen 4 términos:

\[ = -\int \frac{d^3p\, d^3q}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{\omega_p \omega_q}}{2} \Big\{ \hat{a}_p \hat{a}_q\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p \hat{a}_q^\dagger\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} \]
\[ - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_q\, e^{-i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_q^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} \Big\} \]

Al integrar sobre \(\mathbf{x}\), por la ortogonalidad de Fourier (4.15): - El término con \(e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) → \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) (fija \(\mathbf{q} = -\mathbf{p}\)) - El término con \(e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) → \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) (fija \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\))

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = -\frac{1}{2}\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{\omega_p \omega_q}}{2}\Big|_{\text{tras }\delta} \times (\text{cada término}) \]

Realizamos explícitamente la integral sobre \(\mathbf{q}\). En los términos con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) tenemos \(\mathbf{q} \to -\mathbf{p}\), \(\omega_q \to \omega_p\):

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = -\frac{1}{4}\int d^3p\, \omega_p \Big\{ \hat{a}_p \hat{a}_{-p} - \hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger \Big\} \]

Aquí \((2\pi)^3\) se cancela con la normalización \((2\pi)^{3/2} \times (2\pi)^{3/2}\) de la función \(\delta\), quedando solo \(\int d^3p\) (más precisamente \(\int \frac{d^3p\, d^3q}{(2\pi)^3} \cdot (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\cdots) = \int d^3p\)).

Reordenando:

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}\hat{\pi}^2 = \frac{1}{4}\int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p - \hat{a}_p \hat{a}_{-p} - \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{I} \]

Paso 2: Cálculo de \(\int d^3x\, \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2\)

Cuando \(\nabla\) actúa sobre \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) produce \(i\mathbf{p}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\). Por lo tanto:

\[ \nabla\hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{i\mathbf{p}}{\sqrt{2\omega_p}} \left(\hat{a}_p\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} - \hat{a}_p^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Expandimos \((\nabla\hat{\phi})^2\) y realizamos la integral sobre \(\mathbf{x}\). Tiene la misma estructura que el cálculo de \(\hat{\pi}^2\), pero en lugar de \(\sqrt{\omega_p \omega_q}/2\) aparece \(\frac{(-\mathbf{p}\cdot\mathbf{q})}{2\sqrt{\omega_p \omega_q}}\), e interviene también el signo de \((i)^2 = -1\).

En los términos con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}+\mathbf{q})\) tenemos \(\mathbf{q} = -\mathbf{p}\), así que \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = -|\mathbf{p}|^2\). En los términos con \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) tenemos \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\), así que \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = |\mathbf{p}|^2\).

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 = \frac{1}{4}\int d^3p\, \frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p} \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p \hat{a}_{-p} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{II} \]

Paso 3: Cálculo de \(\int d^3x\, \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\)

La expansión de \(\hat{\phi}^2\) tiene la misma estructura que \((\nabla\hat{\phi})^2\), pero sin el factor \(\mathbf{p}\) y con el factor \(1/(2\omega_p)\).

\[ \int d^3x\, \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2 = \frac{m^2}{4}\int d^3p\, \frac{1}{\omega_p} \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \hat{a}_p \hat{a}_{-p} + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\right) \tag{III} \]

Paso 4: Combinación de las tres contribuciones

\(H = (\text{I}) + (\text{II}) + (\text{III})\)

Coeficientes de los términos \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\) y \(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_{-p}^\dagger\):

Contribución de (I): \(-\frac{1}{4}\omega_p\)

Contribución de (II): \(+\frac{1}{4}\frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p}\)

Contribución de (III): \(+\frac{1}{4}\frac{m^2}{\omega_p}\)

Suma:

\[ -\frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2}{4\omega_p} + \frac{m^2}{4\omega_p} = -\frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2 + m^2}{4\omega_p} = -\frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p^2}{4\omega_p} = 0 \]

Aquí hemos usado \(\omega_p^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\). Los términos de tipo \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\) se cancelan completamente.

Coeficientes de los términos \(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\):

Contribución de (I): \(+\frac{1}{4}\omega_p\)

Contribución de (II): \(+\frac{1}{4}\frac{|\mathbf{p}|^2}{\omega_p}\)

Contribución de (III): \(+\frac{1}{4}\frac{m^2}{\omega_p}\)

Suma:

\[ \frac{\omega_p}{4} + \frac{|\mathbf{p}|^2 + m^2}{4\omega_p} = \frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p^2}{4\omega_p} = \frac{\omega_p}{4} + \frac{\omega_p}{4} = \frac{\omega_p}{2} \]

Por lo tanto:

\[ H = \frac{1}{2}\int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger + \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\right) \]

Paso 5: Simplificación usando las relaciones de conmutación

Utilizando la relación de conmutación (4.13) \([\hat{a}_p, \hat{a}_p^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{0})\) (caso \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)):

\[ \hat{a}_p \hat{a}_p^\dagger = \hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \delta^{(3)}(\mathbf{0}) \]

Sustituyendo:

\[ H = \frac{1}{2}\int d^3p\, \omega_p \left(2\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]
\[ \boxed{H = \int d^3p\, \omega_p \left(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p + \frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right)} \]

Aquí hacemos una aclaración sobre el factor \((2\pi)^3\). Con la normalización del texto, \(\int d^3p\) debería escribirse como \(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\), pero cuando se usa el factor de normalización \((2\pi)^{3/2}\) de la expansión en modos (4.11), \((2\pi)^3\) es absorbido por la integral sobre \(\mathbf{x}\), y el resultado final es:

\[ \boxed{H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right)} \]

Verificación

  • Análisis dimensional: \(\omega_p\) tiene dimensiones de energía, \(\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p\) tiene dimensiones de \([\text{momento}]^{-3}\) (igual que \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)), e \(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\) tiene dimensiones de \([\text{momento}]^3\). El conjunto tiene dimensiones de energía, lo cual es consistente.
  • Cancelación de los términos de tipo \(\hat{a}_p \hat{a}_{-p}\): La relación de dispersión \(\omega_p^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) juega un papel esencial. Esta es una consecuencia de la ecuación de Klein-Gordon y es físicamente correcta.
  • Caso especial: Para un solo modo, se reproduce el oscilador armónico de mecánica cuántica \(H = \omega(a^\dagger a + 1/2)\).

M-3. Energía del punto cero y orden normal

→ Volver al problema

(a) Divergencia de la energía del vacío

Calculamos el valor esperado en el vacío utilizando el resultado de S2.

\[ \langle 0 | H | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle + \frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

De \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) se obtiene \(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\). Por lo tanto

\[ \langle 0 | H | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}\, \delta^{(3)}(\mathbf{0}) \]

Esta expresión contiene una doble divergencia:

  1. Divergencia infrarroja (divergencia de volumen): \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) es formalmente infinita. Si se regulariza con un volumen de caja \(V = L^3\), se tiene \(\delta^{(3)}(\mathbf{0}) = V/(2\pi)^3\). Esto refleja que la energía del punto cero se extiende por todo el espacio, y como densidad de energía:
\[ \frac{\langle 0 | H | 0 \rangle}{V} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2} \cdot \frac{1}{(2\pi)^3} \]
  1. Divergencia ultravioleta: Como \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) crece como \(|\mathbf{p}|\) cuando \(|\mathbf{p}| \to \infty\), la integral \(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\) diverge en el ultravioleta. En coordenadas esféricas, diverge como \(\int_0^\Lambda dp\, p^2 \cdot p \sim \Lambda^4\).
\[ \boxed{\langle 0 | H | 0 \rangle = \infty} \]

Problema físico: la densidad de energía del vacío resulta infinita. Este es el resultado de sumar la energía del punto cero \(\frac{1}{2}\omega_{\mathbf{p}}\) de cada modo sobre todos los modos, lo cual corresponde a la suma total de las energías del punto cero de un número infinito de osciladores armónicos.

(b) Eliminación de la energía del vacío mediante el orden normal

El orden normal \(:\!\hat{O}\!:\) es la operación de reordenar todos los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger\) a la izquierda de los operadores de aniquilación \(\hat{a}\). En este proceso se descartan los términos c-numéricos que surgen de las relaciones de conmutación.

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

Calculando el valor esperado en el vacío

\[ \langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle \]

De \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\) se obtiene

\[ \langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0 \]

Por lo tanto

\[ \boxed{\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0} \]

El orden normal corresponde a la operación de «redefinir la energía del vacío como cero». Dado que el valor absoluto de la energía no es físicamente observable (excepto en presencia de gravedad), y solo las diferencias de energía tienen significado físico, esta operación está justificada.

(c) Efecto Casimir y la diferencia de energía del punto cero

El valor absoluto de la energía del punto cero puede eliminarse mediante el orden normal, pero la diferencia de energía del punto cero entre configuraciones con distintas condiciones de contorno es físicamente observable.

Explicación del efecto Casimir:

Cuando se colocan dos placas conductoras paralelas separadas una distancia \(L\), los modos permitidos del campo electromagnético (o campo escalar) entre las placas se discretizan (las condiciones de contorno solo permiten ciertas longitudes de onda). En cambio, fuera de las placas se permiten modos continuos.

  • Energía del punto cero entre las placas: suma sobre modos discretos \(E_{\text{in}}(L) = \sum_n \frac{1}{2}\omega_n\)
  • Energía del punto cero sin placas: integral sobre modos continuos \(E_{\text{free}}\)

La diferencia \(\Delta E = E_{\text{in}}(L) - E_{\text{free}}\) tiene un valor finito y depende de \(L\). La fuerza derivada de esta diferencia

\[ F = -\frac{d(\Delta E)}{dL} \]

se observa como una fuerza atractiva. Este es el efecto Casimir, predicho por Casimir en 1948 y confirmado experimentalmente por Lamoreaux en 1997.

Punto clave: el valor absoluto divergente de la energía del punto cero no tiene significado físico, pero la diferencia de energía del punto cero asociada al cambio de condiciones de contorno es finita y produce una fuerza medible experimentalmente.

M-4. Cuantización del campo escalar complejo y partículas/antipartículas

→ Volver al problema

(a) Derivación de la densidad de momento conjugado

La densidad lagrangiana es

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

Tratamos \(\phi\) y \(\phi^*\) como campos independientes.

Densidad de momento conjugado a \(\phi\):

\[ \pi_\phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi)} \]

El término en \(\mathcal{L}\) que contiene \(\partial_0 \phi\) es \((\partial_0 \phi^*)(\partial_0 \phi)\) (término con \(\mu = 0\), métrica \(\eta^{00} = +1\)). Como \(\phi^*\) es independiente de \(\phi\):

\[ \pi_\phi = \frac{\partial}{\partial(\partial_0 \phi)}\left[(\partial_0 \phi^*)(\partial_0 \phi)\right] = \partial_0 \phi^* = \dot{\phi}^* \]
\[ \boxed{\pi_\phi = \dot{\phi}^*} \]

Densidad de momento conjugado a \(\phi^*\):

\[ \pi_{\phi^*} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi^*)} = \partial_0 \phi = \dot{\phi} \]
\[ \boxed{\pi_{\phi^*} = \dot{\phi}} \]

(b) Expresión de \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\)

La expansión en modos dada es

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Tomamos el conjugado hermítico. \((\hat{a}_{\mathbf{p}})^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \((\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger)^\dagger = \hat{b}_{\mathbf{p}}\), \((e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}})^* = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\):

\[ \boxed{\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right)} \]

Observación: A diferencia del campo escalar real, \(\hat{\phi}^\dagger \neq \hat{\phi}\). En \(\hat{\phi}\) aparecen \(\hat{a}\) y \(\hat{b}^\dagger\), mientras que en \(\hat{\phi}^\dagger\) aparecen \(\hat{a}^\dagger\) y \(\hat{b}\).

(c) Diferencia física entre partículas y antipartículas

La carga de Noether correspondiente a la simetría \(U(1)\), \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\), \(\phi^* \to e^{-i\alpha}\phi^*\), es

\[ Q = i\int d^3x\, (\phi^* \dot{\phi} - \dot{\phi}^* \phi) \]

Después de la cuantización, sustituyendo la expansión en modos y realizando la integral en \(\mathbf{x}\) (usando la ortogonalidad de Fourier, de manera análoga a S2):

\[ :\!Q\!: = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} - \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{b}_{\mathbf{p}}\right) \]

De este resultado:

  • Las partículas creadas por \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) tienen carga \(Q = +1\) (el signo del término \(\hat{a}^\dagger \hat{a}\) es \(+\))
  • Las partículas creadas por \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) tienen carga \(Q = -1\) (el signo del término \(\hat{b}^\dagger \hat{b}\) es \(-\))

Ambas tienen la misma masa \(m\) (\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) es común a \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\)), pero el signo de la carga \(U(1)\) es opuesto.

\[ \boxed{\text{Las partículas creadas por } \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \text{ y las antipartículas creadas por } \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger \text{ tienen la misma masa, pero carga } U(1) \text{ de signo opuesto.}} \]

Este es el origen de las antipartículas. Al cuantizar un campo escalar complejo, la existencia de la simetría \(U(1)\) hace que aparezcan necesariamente dos tipos de operadores de creación, y las partículas y antipartículas surgen automáticamente. En el caso del campo escalar real (\(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\)), se tiene \(\hat{a} = \hat{b}\), y la partícula y la antipartícula son idénticas (partícula autoconjugada).

Verificación

Confirmamos la conservación de la carga. Se puede verificar que \(:\!Q\!:\) conmuta con \(:\!H\!:\) (\([:\!Q\!:, :\!H\!:] = 0\)) a partir de \([\hat{a}_p^\dagger \hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger \hat{a}_q] = 0\) y \([\hat{b}_p^\dagger \hat{b}_p, \hat{b}_q^\dagger \hat{b}_q] = 0\). Esto es consistente con la consecuencia del teorema de Noether (simetría \(U(1)\) → conservación de la carga).

Avanzado

A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión

→ Volver al problema

(a) Modos de momento permitidos

Imponemos condiciones de frontera de Dirichlet \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\). La expansión en modos del campo en una dimensión toma la forma

\[ \hat{\phi}(x) = \sum_n c_n \sin(p_n x) \]

(el \(\cos\) no es adecuado porque no se anula en \(x = 0\)).

Condición de frontera en \(x = 0\): \(\sin(0) = 0\) ✓ (se satisface automáticamente)

Condición de frontera en \(x = L\): de \(\sin(p_n L) = 0\) se obtiene

\[ p_n L = n\pi \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \]
\[ \boxed{p_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)} \]

\(n = 0\) se excluye porque \(\sin(0) = 0\) da la solución trivial (campo nulo). \(n < 0\) no es independiente ya que \(\sin(-p_n x) = -\sin(p_n x)\) representa el mismo modo que \(n > 0\).

(b) Energía del punto cero mediante regularización zeta

Como \(m = 0\), tenemos \(\omega_n = |p_n| = \frac{n\pi}{L}\). La energía del punto cero es

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

\(\sum_{n=1}^{\infty} n\) diverge claramente. Aplicamos la regularización mediante la función zeta.

Procedimiento: Generalizamos la suma divergente como

\[ \sum_{n=1}^{\infty} n \;\longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} = \zeta(s) \]

y utilizamos la continuación analítica a \(s = -1\). El valor de la función zeta de Riemann en \(s = -1\) es

\[ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} \]

Por lo tanto

\[ E(L) = \frac{\pi}{2L} \cdot \zeta(-1) = \frac{\pi}{2L} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right) \]
\[ \boxed{E(L) = -\frac{\pi}{24L}} \]

(c) Fuerza de Casimir

\[ F = -\frac{dE}{dL} = -\frac{d}{dL}\left(-\frac{\pi}{24L}\right) = -\frac{\pi}{24L^2} \]
\[ \boxed{F = -\frac{\pi}{24L^2}} \]

Como \(F < 0\), la fuerza actúa en la dirección que reduce la separación \(L\) entre las paredes, es decir, es atractiva.

(d) Justificación física de la regularización

La justificación de descartar la parte divergente y retener solo la parte finita se entiende de la siguiente manera.

Lo que es físicamente medible es la diferencia en la energía del punto cero debida a la presencia o ausencia de las condiciones de frontera.

Consideramos la diferencia entre la energía del punto cero con paredes \(E_{\text{in}}(L)\) y la energía del punto cero sin paredes (espacio libre) \(E_{\text{free}}(L)\) (calculada en una región de la misma longitud \(L\)):

\[ \Delta E = E_{\text{in}}(L) - E_{\text{free}}(L) \]

Ambas contienen divergencias ultravioletas, pero los modos de alta energía (longitud de onda corta) apenas se ven afectados por la presencia de las paredes (los modos cuya longitud de onda es mucho menor que la separación \(L\) se comportan igual con o sin paredes). Por lo tanto, las partes divergentes se cancelan y solo queda una diferencia finita.

Verificación explícita con un corte exponencial:

Introducimos un corte \(e^{-\epsilon n}\) (\(\epsilon > 0\)) y calculamos

\[ E_\epsilon(L) = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n\, e^{-\epsilon n} \]

Usando \(\sum_{n=1}^{\infty} n\, e^{-\epsilon n} = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\) y expandiendo en el límite \(\epsilon \to 0\):

\[ \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} - \frac{1}{12} + O(\epsilon^2) \]

El término divergente \(1/\epsilon^2\) no depende de la presencia de las paredes (la misma divergencia aparece en el espacio libre), por lo que se cancela al tomar la diferencia. La parte finita restante \(-1/12\) coincide con el resultado de la regularización zeta.

De esta manera, la regularización mediante la función zeta es un método ingenioso que "elimina automáticamente la parte divergente físicamente irrelevante y extrae únicamente la parte finita que depende de las condiciones de frontera".

Verificación

  • Análisis dimensional: En unidades naturales \(E \sim 1/L\) es correcto (en 1+1 dimensiones \([E] = [\text{longitud}]^{-1}\)).
  • Límite \(L \to \infty\): \(E(L) \to 0\), \(F \to 0\). Cuando las paredes se separan infinitamente, el efecto Casimir desaparece. Esto es físicamente correcto.
  • Signo: Con condiciones de frontera de Dirichlet en una dimensión la fuerza es atractiva. En el efecto Casimir del campo electromagnético en 3+1 dimensiones (placas conductoras paralelas) también es atractiva, lo cual es cualitativamente consistente.

A-2. Invariancia de Lorentz de las relaciones de conmutación de campos y causalidad

→ Volver al problema

(a) Existencia de un marco de simultaneidad para separación espacial

Supongamos que el intervalo entre dos puntos del espacio-tiempo \(x^\mu\) e \(y^\mu\) es de tipo espacial:

\[ (x - y)^2 = (x^0 - y^0)^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2 < 0 \]

Esto implica \(|\Delta t| < |\Delta \mathbf{x}|\) (\(\Delta t = x^0 - y^0\), \(\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{y}\)).

Tomemos la dirección de \(\Delta \mathbf{x}\) como el eje \(x^1\) (siempre es posible mediante una rotación espacial). Entonces el problema se reduce a 1+1 dimensiones y solo necesitamos considerar \(\Delta t\) y \(\Delta x^1\).

Al aplicar un boost de Lorentz con velocidad \(v\) en la dirección \(x^1\), la diferencia temporal se transforma como

\[ \Delta t' = \gamma(\Delta t - v\,\Delta x^1) \]

Para que \(\Delta t' = 0\) necesitamos

\[ v = \frac{\Delta t}{\Delta x^1} \]

De la condición de intervalo espacial \(|\Delta t| < |\Delta x^1|\) se obtiene

\[ |v| = \frac{|\Delta t|}{|\Delta x^1|} < 1 \]

Esta es una velocidad de boost de Lorentz físicamente permitida (menor que la velocidad de la luz).

\[ \boxed{\text{Para dos puntos con separación espacial, un boost de Lorentz con } |v| < 1 \text{ permite hacerlos simultáneos } (\Delta t' = 0).} \]

(b) Demostración de la microcausalidad

(i) Para dos puntos espacialmente separados \(x, y\) (\((x-y)^2 < 0\)), como se mostró en (a), existe un marco \(S'\) en el que se pueden hacer simultáneos mediante una transformación de Lorentz adecuada.

(ii) En el marco \(S'\) se tiene \(x'^0 = y'^0\), por lo que según la relación de conmutación a tiempos iguales (4.5)

\[ [\hat{\phi}(x'), \hat{\phi}(y')] = [\hat{\phi}(t', \mathbf{x}'), \hat{\phi}(t', \mathbf{y}')] = 0 \]

(iii) El conmutador \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\) del campo escalar es un escalar de Lorentz. Esto se entiende de la siguiente manera:

Un campo escalar se transforma bajo una transformación de Lorentz \(x \to x' = \Lambda x\) como \(\hat{\phi}'(x') = \hat{\phi}(x)\). Por lo tanto

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = [\hat{\phi}'(x'), \hat{\phi}'(y')] \]

Es decir, el valor del conmutador no depende del sistema de coordenadas.

(iv) Dado que \([\hat{\phi}(x'), \hat{\phi}(y')] = 0\) en el marco \(S'\), en cualquier marco también se tiene

\[ \boxed{[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{para } (x-y)^2 < 0} \]

Significado físico de la microcausalidad:

Los operadores de campo en dos puntos con separación espacial conmutan. Esto significa que las mediciones realizadas en dos regiones espacialmente separadas no se afectan mutuamente. La transmisión de señales a velocidades superiores a la de la luz es imposible, y la causalidad de la relatividad especial se preserva también en la teoría cuántica de campos.

(c) Cuantización con estadística de Fermi y violación de la microcausalidad

Si intentamos cuantizar el campo de Klein-Gordon con estadística de Fermi (relaciones de anticonmutación), en lugar de relaciones de conmutación imponemos

\[ \{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad \{\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}\} = 0, \qquad \{\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\} = 0 \]

donde \(\{A, B\} = AB + BA\) es el anticonmutador.

Calculemos el anticonmutador \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) del campo escalar real. Sustituyendo la expansión en modos, mediante un cálculo análogo al de la demostración de (b), aparecen anticonmutadores \(\{\cdot, \cdot\}\) en lugar de conmutadores \([\cdot, \cdot]\).

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}\sqrt{2\omega_q}} \]
\[ \times \Big\{ \{\hat{a}_p, \hat{a}_q\}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + \{\hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger\}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \]
\[ + \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} + \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q^\dagger\}\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}} \Big\} \]

Dado que \(\{\hat{a}_p, \hat{a}_q\} = 0\) y \(\{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q^\dagger\} = 0\), el primer y cuarto término se anulan. Los términos segundo y tercero restantes dan

\[ \{\hat{a}_p, \hat{a}_q^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}), \qquad \{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\} = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}) \]

(El anticonmutador es simétrico \(\{A, B\} = \{B, A\}\), por lo que \(\{\hat{a}_p^\dagger, \hat{a}_q\} = \{\hat{a}_q, \hat{a}_p^\dagger\} = \delta^{(3)}(\mathbf{q}-\mathbf{p}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\))

Realizando la integral en \(\mathbf{q}\) con la función \(\delta\) se obtiene

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_p} \left(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} + e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\right) \]
\[ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\omega_p} \cos(\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})) \]

Diferencia crucial: En el caso de estadística de Bose (conmutador), como se vio en S1, en \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\) el segundo y tercer término aparecen con resta, dando \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} - e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\), que se cancela bajo la sustitución \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\). Sin embargo, con estadística de Fermi (anticonmutador) aparece una suma, \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} + e^{-i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\).

Esta integral generalmente no se anula para \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\). De hecho, definiendo \(\mathbf{r} = \mathbf{x} - \mathbf{y}\) y calculando en coordenadas esféricas

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} = \int_0^\infty \frac{dp}{2\pi^2} \frac{p^2}{\omega_p} \frac{\sin(p|\mathbf{r}|)}{p|\mathbf{r}|} \]

Esto tiene un valor finito para \(|\mathbf{r}| \neq 0\) (en el caso \(m = 0\) es proporcional a \(\frac{1}{2\pi^2 |\mathbf{r}|^2}\)).

Por lo tanto, incluso para dos puntos espacialmente separados (\(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), a tiempos iguales)

\[ \{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\} \neq 0 \]

y la microcausalidad se viola.

\[ \boxed{\text{Si se cuantiza un campo de espín entero (campo escalar) con estadística de Fermi, la microcausalidad se viola.}} \]

Relación con el teorema espín-estadística:

Este resultado muestra que los campos de espín entero deben ser cuantizados con estadística de Bose. Inversamente, si se intenta cuantizar un campo de espín semientero (como el campo de Dirac) con estadística de Bose, surge otro problema: la energía no está acotada inferiormente (el hamiltoniano no es definido positivo).

Combinando ambos resultados: - Espín entero → estadística de Bose (relaciones de conmutación): la microcausalidad se preserva - Espín semientero → estadística de Fermi (relaciones de anticonmutación): la energía es definida positiva

Este es el núcleo del teorema espín-estadística, una de las consecuencias fundamentales de la teoría cuántica de campos relativista.

Verificación

  • El resultado de (a) es consistente con el hecho de que para intervalos de tipo temporal (\((x-y)^2 > 0\)) se obtiene \(|v| > 1\), por lo que no es posible hacer los eventos simultáneos mediante un boost de Lorentz. En el cono de luz (\((x-y)^2 = 0\)) se tiene \(|v| = 1\), que es el caso límite.
  • La microcausalidad de (b) establece que la función invariante de Lorentz \(\Delta(x-y) = [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\) se anula en la región espacial. Esta función se conoce como la función de Pauli-Jordan y se expresa como \(\Delta(x-y) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3p\, \frac{1}{2\omega_p}(e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{ip\cdot(x-y)})\). El hecho de que el integrando cambie de signo bajo \(p \to -p\) (función impar) garantiza que se anule en la región espacial.
  • En el caso del anticonmutador de (c), el integrando es una función par, por lo que la cancelación no ocurre y el resultado no es cero. Este contraste es esencial.