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Cap. 5 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo básico del álgebra de Clifford

Utilizando el álgebra de Clifford \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\), calcula lo siguiente. Se toma \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\).

(a) \(\gamma^0 \gamma^0\)

(b) \(\gamma^2 \gamma^2\)

(c) \(\gamma^1 \gamma^3 + \gamma^3 \gamma^1\)

(d) \(\gamma^0 \gamma^2 \gamma^0\) (calcula paso a paso consultando la pista)

Pista

(a)–(c) se resuelven simplemente sustituyendo \(\mu, \nu\) directamente en \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\). En (d), primero utiliza \(\gamma^0 \gamma^2 = -\gamma^2 \gamma^0\) (anticonmutación para índices diferentes) para mover \(\gamma^0\) hacia la derecha.

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B-2. Cálculo de \(\gamma^\mu \gamma_\mu\)

Calcula \(\gamma^\mu \gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\mu \gamma^\nu\) utilizando la relación de anticonmutación del álgebra de Clifford, y demuestra que el resultado es \(d\,\mathbf{1}\) (donde \(d\) es la dimensión del espacio-tiempo). Aquí, considera \(d = 4\) y obtén el valor concreto.

Pista

Trata \(\gamma^\mu \gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\mu \gamma^\nu\) como la parte simétrica. Transforma como \(\eta_{\mu\nu}\gamma^\mu \gamma^\nu = \eta_{\mu\nu} \cdot \frac{1}{2}\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = \eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}\), y utiliza \(\eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = d\).

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B-3. Transformación del conjugado de Dirac

Usando la definición del conjugado de Dirac (Dirac adjoint) \(\bar{\psi} \equiv \psi^\dagger \gamma^0\), demuestra lo siguiente.

(a) Demuestra que \(\overline{(\gamma^\mu \psi)} = \bar{\psi}\gamma^\mu\). Puedes utilizar la hermiticidad de \(\gamma^0\), es decir \((\gamma^0)^\dagger = \gamma^0\), y la anti-hermiticidad de las componentes espaciales \((\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i\).

(b) Usando el resultado anterior, demuestra que \(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\) es real (es decir, que \((\bar{\psi}\gamma^\mu\psi)^\dagger = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi\)).

Pista

(a) Primero verifica que se cumple \((\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0\) separando los casos \(\mu = 0\) y \(\mu = i\). Usando esto, puedes simplificar como \((\gamma^\mu \psi)^\dagger \gamma^0 = \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0 \gamma^0 = \bar{\psi}\gamma^\mu\). (b) Escribe explícitamente las componentes del espinor, o aplica directamente el resultado de (a).

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B-4. Reorganización del álgebra de Lorentz

Usando los generadores definidos en la ecuación (5.4) del texto:

\[ J^i_+ = \frac{1}{2}(J^i + iK^i), \qquad J^i_- = \frac{1}{2}(J^i - iK^i) \]

deriva \([J^i_+, J^j_-] = 0\) (ecuación (5.5c)). Sin omitir pasos intermedios en el cálculo, sustituye una por una las relaciones de conmutación de las ecuaciones (5.3a)–(5.3c).

Pista

El procedimiento es exactamente el mismo que se usó en el texto para calcular \([J^i_+, J^j_+]\). Expande \([J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}[(J^i + iK^i),(J^j - iK^j)]\) y calcula por separado los cuatro conmutadores \([J^i,J^j]\), \([J^i,-iK^j]\), \([iK^i,J^j]\) y \([iK^i,-iK^j]\), y luego súmalos. Los términos en \(K\) y los términos en \(J\) deberían cancelarse respectivamente.

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B-5. Generador de boosts en la representación espinorial

El generador de boosts del espinor de Weyl levógiro \((1/2, 0)\) es \(\mathbf{K}_L = -i\boldsymbol{\sigma}/2\). Escribe explícitamente en términos de \(\cosh\) y \(\sinh\) la matriz de transformación que realiza un boost en la dirección \(x\) con rapidez (rapidity) \(\eta\):

\[ S_L = \exp\left(-i\eta \, K_L^1\right) = \exp\left(-\frac{\eta}{2}\sigma^1\right) \]

utilizando la propiedad \((\sigma^1)^2 = \mathbf{1}\) de \(\sigma^1\).

Pista

Desarrolla en serie de Taylor \(e^{-\frac{\eta}{2}\sigma^1}\) y usa \((\sigma^1)^{2n} = \mathbf{1}\), \((\sigma^1)^{2n+1} = \sigma^1\) para separar los términos de orden par e impar. Compara con las definiciones en serie de \(\cosh\) y \(\sinh\).

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B-6. Ecuación de Euler-Lagrange del campo de Dirac (variación respecto a \(\psi\))

Para la densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi\), calcula la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\psi\) (no respecto a \(\bar{\psi}\))

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \bar{\psi}_\alpha} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \bar{\psi}_\alpha)} = 0 \]

y deriva la ecuación conjugada de la ecuación de Dirac

\[ i\partial_\mu \bar{\psi}\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0 \]

Aquí \(\alpha\) es el índice de la componente espinorial.

Pista

Puedes integrar por partes \(\mathcal{L}\) para trasladar la derivada a \(\bar{\psi}\), o bien derivar parcialmente de forma directa respecto a \(\bar{\psi}_\alpha\). Si escribes explícitamente las componentes como \(\mathcal{L} = i\bar{\psi}_\alpha (\gamma^\mu)_{\alpha\beta}\partial_\mu \psi_\beta - m\bar{\psi}_\alpha \psi_\alpha\), el cálculo se simplifica. Ten cuidado de no pasar por alto los términos que contienen \(\partial_\mu \bar{\psi}\) (es necesario realizar una integración por partes).

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B-7. Verificación del momento conjugado

En la ecuación (5.8) del texto se obtuvo \(\Pi = i\psi^\dagger\). Verifica este resultado en componentes. Es decir, escribiendo \(\mathcal{L} = i\psi^\dagger_\alpha (\gamma^0)_{\alpha\beta}(\gamma^\mu)_{\beta\gamma}\partial_\mu \psi_\gamma - m\psi^\dagger_\alpha (\gamma^0)_{\alpha\beta}\psi_\beta\), calcula \(\Pi_\alpha = \partial \mathcal{L}/\partial \dot{\psi}_\alpha\) y comprueba que \(\Pi_\alpha = i\psi^\dagger_\alpha\).

Pista

Los únicos términos que contienen \(\dot{\psi}_\alpha = \partial_0 \psi_\alpha\) son aquellos con \(\mu = 0\). Utiliza \(i\psi^\dagger_\alpha (\gamma^0)_{\alpha\beta}(\gamma^0)_{\beta\gamma}\partial_0 \psi_\gamma = i\psi^\dagger_\alpha [(\gamma^0)^2]_{\alpha\gamma}\partial_0 \psi_\gamma\) y sustituye \((\gamma^0)^2 = \mathbf{1}\).

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B-8. Derivación de la densidad hamiltoniana

Completa la derivación de la ecuación (5.9) del texto. Sustituye \(\Pi = i\psi^\dagger\) y \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\) en la transformada de Legendre

\[ \mathcal{H} = \Pi \dot{\psi} - \mathcal{L} \]

y separa \(\mathcal{L}\) en la componente \(\mu = 0\) y las componentes \(\mu = j\) (espaciales) para obtener la ecuación (5.9):

\[ \mathcal{H} = \psi^\dagger(-i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m\gamma^0)\psi \]
Pista

Descompón como \(\mathcal{L} = i\bar{\psi}\gamma^0\partial_0\psi + i\bar{\psi}\gamma^j\partial_j\psi - m\bar{\psi}\psi\). Dado que \(\bar{\psi}\gamma^0 = \psi^\dagger(\gamma^0)^2 = \psi^\dagger\), el primer término es \(i\psi^\dagger\dot{\psi} = \Pi\dot{\psi}\). Este se cancela con \(\Pi\dot{\psi}\) en la transformada de Legendre, y los términos restantes dan \(\mathcal{H}\). Ten en cuenta que \(\bar{\psi}\gamma^j = \psi^\dagger\gamma^0\gamma^j\).

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B-9. Relaciones de anticonmutación para un campo escalar y violación de la causalidad

Supongamos que en lugar de relaciones de conmutación, se imponen relaciones de anticonmutación \(\{\phi(x), \phi(y)\} = i\Delta(x-y)\) sobre un campo escalar real \(\phi(x)\). Demuestra que para dos puntos separados por un intervalo espacial \((x - y)^2 < 0\), se tiene \(\{\phi(x), \phi(y)\} \neq 0\) (violación de la causalidad). Contrasta con el caso de relaciones de conmutación, donde la causalidad se preserva.

Pista

\(\Delta(x-y) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2\omega_p}(e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{ip\cdot(x-y)})\) es una función impar. Para relaciones de anticonmutación aparece el signo \(+\), resultando una función par (que no se anula en la región espacial).

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Intermedio

M-1. Fallo de la cuantización mediante relaciones de conmutación

Consideremos la expansión en modos del campo de Dirac:

\[ \hat{\psi}(x) = \sum_{s=1}^{2}\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\boldsymbol{p}}}}\left[\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\, u^s(\boldsymbol{p})e^{-ip\cdot x} + \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\, v^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x}\right] \]

donde \(u^s(\boldsymbol{p})\), \(v^s(\boldsymbol{p})\) son las soluciones de energía positiva y negativa de la ecuación de Dirac, y \(E_{\boldsymbol{p}} = \sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}\).

(a) Supongamos que imponemos relaciones de conmutación para \(\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}}\) y \(\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\):

\[ [\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}] = (2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}), \qquad [\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}] = -(2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \]

Muestra que el hamiltoniano toma la forma

\[ \hat{H} = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} E_{\boldsymbol{p}}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{constante}) \]

(No es necesaria una derivación completa. Discute prestando atención al signo del sector \(d\)).

(b) A partir del resultado anterior, explica que aplicando repetidamente \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) se puede reducir la energía de forma ilimitada, y expón por qué esto es físicamente inaceptable.

(c) Muestra que si en su lugar se imponen relaciones de anticonmutación

\[ \{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}), \qquad \{\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3 \delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \]

el signo del sector \(d\) se invierte y el hamiltoniano se vuelve definido positivo (salvo la energía del punto cero).

Pista

(a) Sustituye la expansión en modos en el hamiltoniano y simplifica usando las relaciones de completitud de los espinores \(\sum_s u^s(\boldsymbol{p})\bar{u}^s(\boldsymbol{p}) = \not\!p + m\), etc. La clave es que en el sector \(d\) la relación de conmutación \(\hat{d}\hat{d}^\dagger = \hat{d}^\dagger\hat{d} + [\hat{d},\hat{d}^\dagger]\) tiene signo \(-1\). (b) Discute que \(\hat{d}^{s\dagger}\) funciona como un operador que crea "partículas de energía negativa". (c) Verifica que con relaciones de anticonmutación se tiene \(\hat{d}\hat{d}^\dagger = -\hat{d}^\dagger\hat{d} + \{\hat{d},\hat{d}^\dagger\}\), lo que cambia el signo.

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M-2. Derivación del principio de exclusión de Pauli

Utilizando la relación de anticonmutación \(\{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\), demuestra lo siguiente.

(a) Demuestra que \((\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2 = 0\).

(b) Explica por qué este resultado implica que no se pueden colocar dos o más fermiones con los mismos números cuánticos \((\boldsymbol{p}, s)\) en el mismo estado (principio de exclusión de Pauli).

(c) Contrasta con el caso de las relaciones de conmutación del campo escalar \([\hat{a}_{\boldsymbol{p}}, \hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{q}}] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\), donde \((\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{p}})^n |0\rangle \neq 0\) (para cualquier entero positivo \(n\)).

Pista

(a) Calcula \(\{\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\} = 2(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}})^2\). Además de la expresión obtenida al poner \(r=s\), \(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{q}\) en la relación de anticonmutación, necesitas la relación \(\{\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{r\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = 0\). (c) Recuerda que en el caso bosónico \((\hat{a}^\dagger)^n |0\rangle = \sqrt{n!}|n\rangle\).

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M-3. Relaciones de anticonmutación a tiempos iguales del campo de Dirac

Expansión en modos y relaciones de anticonmutación fundamentales

\[ \{\hat{b}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}), \qquad \{\hat{d}^r_{\boldsymbol{p}}, \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{q}}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \]

Partiendo de estas relaciones (donde todos los demás anticonmutadores son cero), deriva la relación de anticonmutación a tiempos iguales

\[ \{\hat{\psi}_\alpha(\boldsymbol{x}, t), \hat{\psi}^\dagger_\beta(\boldsymbol{y}, t)\} = \delta_{\alpha\beta}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \]

donde \(\alpha, \beta\) son índices de componentes espinoriales. Puedes utilizar la relación de completitud de espinores

\[ \sum_{s=1}^{2} u^s_\alpha(\boldsymbol{p})\, u^{s\dagger}_\beta(\boldsymbol{p}) + \sum_{s=1}^{2} v^s_\alpha(-\boldsymbol{p})\, v^{s\dagger}_\beta(-\boldsymbol{p}) = 2E_{\boldsymbol{p}}\,\delta_{\alpha\beta} \]
Pista

Al sustituir la expansión en modos y calcular el anticonmutador, los términos cruzados entre \(b\) y \(d\) desaparecen (debido a que \(\{b, d^\dagger\} = 0\), etc.). Suma las contribuciones del sector \(b\) y del sector \(d\), y verifica que la relación de completitud de espinores aparece dentro de la integral en momento. Para los términos con \(v^s(\boldsymbol{p})e^{+ip\cdot x}\), es útil realizar el cambio de variable de integración \(\boldsymbol{p} \to -\boldsymbol{p}\).

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M-4. Corriente de Noether y conservación del número fermiónico

El Lagrangiano del campo de Dirac \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\not\!\partial - m)\psi\) es invariante bajo la transformación \(U(1)\) global

\[ \psi \to e^{i\alpha}\psi, \qquad \bar{\psi} \to \bar{\psi}\, e^{-i\alpha} \]

(a) Utilizando el teorema de Noether, deriva la corriente conservada \(j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi\).

(b) Reescribe la carga conservada correspondiente

\[ \hat{Q} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger \hat{\psi} \]

mediante la expansión en modos, y demuestra que adopta la forma

\[ \hat{Q} = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\left(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} - \hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\right) + (\text{constante}) \]

(c) A partir de este resultado, interpreta que las partículas creadas por \(\hat{b}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) y las creadas por \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) tienen cargas de signo opuesto, y explica por qué \(\hat{d}^{s\dagger}_{\boldsymbol{p}}\) es el operador de creación de antipartículas.

Pista

(a) Utiliza la fórmula de la corriente de Noether para la transformación infinitesimal \(\delta\psi = i\alpha\psi\): \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\delta\psi + \delta\bar{\psi}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})}\). (b) Sustituye la expansión en modos en \(\hat{Q} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger\hat{\psi}\) y utiliza que la integral espacial de \(e^{i(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{x}}\) produce \(\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})\). Los términos cruzados \(b\)-\(d\) se anulan por ortogonalidad (términos del tipo \(u^\dagger v\)).

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Avanzado

A-1. Teorema de espín y estadística——argumento desde la causalidad

Se discute la causalidad (independencia de las mediciones) en dos puntos separados espacialmente \((x - y)^2 < 0\) para el campo de Dirac.

(a) Para el campo escalar (bosón), cita los resultados de Cap. 4 para establecer que, cuando se imponen relaciones de conmutación, se cumple \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0\) para separaciones espaciales.

(b) Para el campo de Dirac, argumenta que si se impusieran relaciones de conmutación, se tendría \([\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)] \neq 0\) para separaciones espaciales, violando la causalidad, debido a que la cancelación entre las contribuciones de energía positiva y energía negativa no ocurre.

(c) Demuestra que cuando se imponen relaciones de anticonmutación se cumple \(\{\hat{\psi}_\alpha(x), \bar{\hat{\psi}}_\beta(y)\} = 0\) (para \((x-y)^2 < 0\)), y explica por qué esto es compatible con la causalidad. En particular, discute que los conmutadores de los observables físicos (formas bilineales del campo fermiónico como \(\bar{\psi}\Gamma\psi\), etc.) se anulan para separaciones espaciales.

(d) Generalizando la discusión anterior, resume las exigencias físicas del teorema de espín y estadística (spin-statistics theorem) —"los campos de espín entero deben ser bosones (relaciones de conmutación) y los campos de espín semientero deben ser fermiones (relaciones de anticonmutación)"— desde dos perspectivas: (i) la positividad definida de la energía y (ii) la causalidad.

Pista

(a) Recuerda la invariancia de Lorentz de \([\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]\) demostrada en Cap. 4 y su anulación a tiempos iguales \(x^0 = y^0\). (b) En el caso bosónico, las amplitudes de propagación de partícula y antipartícula se cancelan para separaciones espaciales porque ambas obedecen la misma estadística. Si se imponen relaciones de conmutación a los fermiones, no se obtiene el signo relativo necesario para esta cancelación. (c) Con relaciones de anticonmutación se tiene \(\hat{\psi}(x)\bar{\hat{\psi}}(y) = -\bar{\hat{\psi}}(y)\hat{\psi}(x) + \{\hat{\psi}(x), \bar{\hat{\psi}}(y)\}\), de modo que si el anticonmutador es cero, intercambiar el orden de los campos solo produce un cambio de signo. Ten en cuenta que los observables de campos fermiónicos siempre se escriben como productos de un número par de campos fermiónicos. (d) Combina los resultados de S1 con los de este problema.

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A-2. Transformaciones \(C\), \(P\), \(T\) y teorema \(CPT\)

Consideremos las simetrías discretas \(C\) (conjugación de carga (charge conjugation)), \(P\) (inversión espacial (parity)) y \(T\) (inversión temporal (time reversal)) para el campo de Dirac.

(a) Supongamos que bajo la transformación de paridad \(P\), el campo de Dirac se transforma como

\[ \hat{P}\hat{\psi}(t, \boldsymbol{x})\hat{P}^{-1} = \eta_P \gamma^0 \hat{\psi}(t, -\boldsymbol{x}) \]

(donde \(\eta_P\) es un factor de fase). Demuestra que bajo esta regla de transformación, la ecuación de Dirac \((i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0\) es invariante.

(b) Definimos la transformación de conjugación de carga \(C\) como

\[ \hat{C}\hat{\psi}(x)\hat{C}^{-1} = \eta_C \, C\,\bar{\hat{\psi}}^T(x) \]

donde \(C\) es la matriz de conjugación de carga que satisface \(C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu\). Utilizando la expansión en modos, demuestra que la transformación \(C\) intercambia partículas y antipartículas (\(\hat{b}^s_{\boldsymbol{p}} \leftrightarrow \hat{d}^s_{\boldsymbol{p}}\)).

(c) Verifica que cuando se aplica el producto de la transformación \(CPT\) al campo de Dirac, el lagrangiano \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\not\!\partial - m)\psi\) es invariante. Mencionando que el teorema \(CPT\) es un teorema general que se deriva de la invariancia de Lorentz y la localidad, demuestra la invariancia en este ejemplo concreto.

Pista

(a) Sustituye \(\psi'(t, \boldsymbol{x}) = \eta_P \gamma^0 \psi(t, -\boldsymbol{x})\) en la ecuación de Dirac. Ten en cuenta que \(\partial_0\) no cambia, pero \(\partial_i \to -\partial_i'\). Utiliza \(\gamma^0 \gamma^i \gamma^0 = -\gamma^i\). (b) Escribe la expansión en modos de \(\bar{\psi}^T\) y utiliza el hecho de que la matriz \(C\) conecta los espinores \(u\) y \(v\) (\(C\bar{u}^T \propto v\), etc.). (c) Aplica cada transformación secuencialmente, o escribe la composición de la transformación \(CPT\) de una sola vez. Verifica que \(CPT\) transforma el campo en una forma como \(\hat{\psi}(x) \to \gamma^5 \hat{\psi}^c(-x)\). Necesitarás las propiedades de \(\gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\).

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