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Apéndice D Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Determinación de la dimensión de masa (interacción de Yukawa)

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Estrategia de resolución

A partir de la dimensión de masa de la densidad lagrangiana \([\mathcal{L}] = 4\), se determina \([g]\) sumando las dimensiones de cada factor en el término de interacción.

Cálculo

El término de interacción de Yukawa es:

\[ \mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\bar{\psi}\psi\,\phi \]

Las dimensiones de masa de cada campo, según (D.3) y (D.4) del texto, son:

  • \([\psi] = [\bar{\psi}] = 3/2\)
  • \([\phi] = 1\)

De \([\mathcal{L}_{\text{int}}] = 4\) se obtiene:

\[ [g] + [\bar{\psi}] + [\psi] + [\phi] = [g] + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 1 = [g] + 4 = 4 \]

Respuesta final

\[ \boxed{[g] = 0} \]

La constante de acoplamiento de Yukawa es adimensional.

Verificación

La constante de acoplamiento de QED \(e\) también cumple \([e] = 0\) (véase el texto). La interacción de Yukawa \(\bar{\psi}\psi\phi\) tiene una suma de dimensiones de los campos igual a \(3/2 + 3/2 + 1 = 4\), la misma estructura que \(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu\) en QED, con \(3/2 + 3/2 + 1 = 4\). Ambas son interacciones renormalizables, y el hecho de que la constante de acoplamiento sea adimensional es consistente con ello.

B-2. Determinación de la dimensión de masa (campo escalar en espacio-tiempo de 6 dimensiones)

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Estrategia de solución

En un espacio-tiempo de \(d\) dimensiones, \([d^d x] = -d\) y \([S] = 0\) implican \([\mathcal{L}] = d\). Determinamos \([\phi]\) a partir del término cinético y lo sustituimos en la interacción \(\phi^3\).

Cálculo

Determinación de \([\phi]\):

En \(d\) dimensiones, \([\mathcal{L}] = d\). Considerando el término cinético \(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi)\):

\[ [\partial_\mu]^2 + [\phi]^2 = 2 + 2[\phi] = d \]
\[ [\phi] = \frac{d-2}{2} \]

Para \(d = 6\):

\[ [\phi] = \frac{6-2}{2} = 2 \]

Determinación de \([g]\):

De \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{g}{3!}\phi^3\):

\[ [g] + 3[\phi] = [g] + 6 = d = 6 \]
\[ [g] = 0 \]

Respuesta final

\[ \boxed{[\phi] = 2, \qquad [g] = 0} \]

En un espacio-tiempo de 6 dimensiones, la constante de acoplamiento de la teoría \(\phi^3\) es adimensional, lo que da lugar a una teoría renormalizable.

Verificación

En 4 dimensiones, \([\phi] = 1\) y la constante de acoplamiento de \(\phi^3\) es \([g] = 4 - 3 \times 1 = 1\) (dimensión de masa 1), por lo que es super-renormalizable. En 6 dimensiones, \(\phi^3\) resulta exactamente renormalizable (\([g]=0\)), lo cual coincide con el resultado conocido. Además, la constante de acoplamiento de la teoría \(\phi^4\), que es renormalizable en 4 dimensiones, tiene \([\lambda] = 4 - 4 \times 1 = 0\), pero en 6 dimensiones \([\lambda] = 6 - 4 \times 2 = -2\), volviéndose no renormalizable. Esta correspondencia es también consistente.

B-3. Cálculo directo de parámetros de Feynman

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Estrategia de resolución

Se aplica la ecuación (D.24) para unificar el denominador y se reorganiza mediante completación de cuadrados a la forma \(\ell^2 - \Delta\).

Cálculo

Introducción del parámetro de Feynman:

Con \(A = k^2 - m^2\) y \(B = (k+q)^2 - m^2\), se aplica la ecuación (D.24):

\[ \frac{1}{AB} = \int_0^1 dx\;\frac{1}{[xA + (1-x)B]^2} \]

Se desarrolla el contenido del denominador:

\[ xA + (1-x)B = x(k^2 - m^2) + (1-x)((k+q)^2 - m^2) \]
\[ = xk^2 - xm^2 + (1-x)(k^2 + 2k\cdot q + q^2 - m^2) \]
\[ = k^2 + 2(1-x)k\cdot q + (1-x)q^2 - m^2 \]

Completación de cuadrados:

Se realiza el cambio de variable \(\ell = k + (1-x)q\). De \(k = \ell - (1-x)q\) se obtiene:

\[ k^2 = \ell^2 - 2(1-x)\ell\cdot q + (1-x)^2 q^2 \]
\[ 2(1-x)k\cdot q = 2(1-x)\ell\cdot q - 2(1-x)^2 q^2 \]

Sumando ambas expresiones:

\[ k^2 + 2(1-x)k\cdot q = \ell^2 - (1-x)^2 q^2 \]

Por lo tanto, el denominador es:

\[ \ell^2 - (1-x)^2 q^2 + (1-x)q^2 - m^2 = \ell^2 + (1-x)[1-(1-x)]q^2 - m^2 \]
\[ = \ell^2 + x(1-x)q^2 - m^2 \]

Definiendo \(\Delta \equiv m^2 - x(1-x)q^2\):

\[ xA + (1-x)B = \ell^2 - \Delta \]

Respuesta final

\[ \frac{1}{(k^2 - m^2)((k+q)^2 - m^2)} = \int_0^1 dx\;\frac{1}{(\ell^2 - \Delta)^2} \]

donde \(\ell = k + (1-x)q\),

\[ \boxed{\Delta = m^2 - x(1-x)q^2} \]

Verificación

Caso especial \(q = 0\): Se obtiene \(\Delta = m^2\), y la expresión original es \(1/(k^2 - m^2)^2\), mientras que la representación con parámetro de Feynman es \(\int_0^1 dx\;1/(\ell^2 - m^2)^2\) (con \(\ell = k\)). La integral en \(x\) da trivialmente 1, lo cual es consistente.

Cancelación de los términos lineales en \(\ell\): Se ha verificado que el denominador tras el cambio de variable no contiene términos lineales en \(\ell\). Esto garantiza que los integrandos con potencias impares de \(\ell\) se anulan por simetría.

B-4. Signos de la rotación de Wick

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(a) Transformación de \(\ell^2\)

Sustituyendo \(\ell_0 = i\ell_0^E\):

\[ \ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2} = (i\ell_0^E)^2 - \vec{\ell}^{\,2} = -(\ell_0^E)^2 - \vec{\ell}^{\,2} \]
\[ \boxed{\ell^2 = -\ell_E^2} \]

donde \(\ell_E^2 \equiv (\ell_0^E)^2 + \vec{\ell}^{\,2}\) es el cuadrado de la norma en el espacio euclídeo (definida positiva).

(b) Transformación de \(d^4\ell\)

De \(\ell_0 = i\ell_0^E\) se obtiene \(d\ell_0 = i\,d\ell_0^E\). Como las componentes espaciales no cambian:

\[ d^4\ell = d\ell_0\,d^3\vec{\ell} = i\,d\ell_0^E\,d^3\vec{\ell} \]
\[ \boxed{d^4\ell = i\,d^4\ell_E} \]

(c) Transformación de \(1/(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3\)

Sustituyendo el resultado de (a), \(\ell^2 = -\ell_E^2\):

\[ \ell^2 - \Delta + i\varepsilon = -\ell_E^2 - \Delta + i\varepsilon \]

Cuando \(\ell_E^2 \geq 0\) y \(\Delta > 0\), se tiene \(-\ell_E^2 - \Delta < 0\), y el término \(i\varepsilon\) se vuelve innecesario (no hay necesidad de evitar polos). Por lo tanto:

\[ \frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3} = \frac{1}{(-\ell_E^2 - \Delta)^3} = \frac{1}{(-1)^3(\ell_E^2 + \Delta)^3} = \frac{-1}{(\ell_E^2 + \Delta)^3} \]
\[ \boxed{\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3} = \frac{-1}{(\ell_E^2 + \Delta)^3}} \]

Reuniendo todo: La transformación de una integral de lazo típica es

\[ \int \frac{d^4\ell}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3} = \int \frac{i\,d^4\ell_E}{(-1)^3(\ell_E^2 + \Delta)^3} = \frac{i}{(-1)^3}\int \frac{d^4\ell_E}{(\ell_E^2 + \Delta)^3} = -i\int \frac{d^4\ell_E}{(\ell_E^2 + \Delta)^3} \]

En general, para una potencia \(n\):

\[ \int \frac{d^4\ell}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^n} = \frac{i}{(-1)^n}\int \frac{d^4\ell_E}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = i(-1)^{-n}\int \frac{d^4\ell_E}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} \]

Verificación

Comprobación dimensional: Tanto \(d^4\ell\) como \(d^4\ell_E\) tienen dimensión de masa 4. El factor \(i\) es adimensional. La potencia del denominador es la misma. Las dimensiones son consistentes.

Conteo de factores de \(i\): De \(d^4\ell\) se obtiene un factor \(i\), y del denominador aparece \((-1)^n\). Para \(n=2\) el resultado global es \(i \cdot (-1)^{-2} = i\); para \(n=3\) es \(i \cdot (-1)^{-3} = -i\). Esto coincide con los resultados estándar de los libros de texto.

B-5. Ángulo sólido de la esfera en 4 dimensiones

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Cálculo

Se sustituyen los valores en la fórmula \(\Omega_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\).

\(d = 2\):

\[ \Omega_2 = \frac{2\pi^{2/2}}{\Gamma(2/2)} = \frac{2\pi^1}{\Gamma(1)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \quad \checkmark \]

\(d = 3\):

\[ \Omega_3 = \frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(3/2)} = \frac{2\pi^{3/2}}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} = \frac{2\pi^{3/2} \cdot 2}{\sqrt{\pi}} = 4\pi^{3/2 - 1/2} = 4\pi \quad \checkmark \]

\(d = 4\):

\[ \Omega_4 = \frac{2\pi^{4/2}}{\Gamma(4/2)} = \frac{2\pi^2}{\Gamma(2)} = \frac{2\pi^2}{1} = 2\pi^2 \quad \checkmark \]

Respuesta final

\[ \boxed{\Omega_2 = 2\pi, \qquad \Omega_3 = 4\pi, \qquad \Omega_4 = 2\pi^2} \]

Todos los resultados coinciden con los valores conocidos.

Verificación

\(d = 2\): la longitud de la circunferencia \(2\pi r\) evaluada en \(r = 1\) da \(2\pi\). \(d = 3\): el área de la esfera \(4\pi r^2\) evaluada en \(r = 1\) da \(4\pi\). Ambos resultados son geométricamente correctos.

B-6. Verificación de los factores de \(2\pi\)

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Estrategia de resolución

Se sustituye la definición de \(\tilde{f}(p)\) en la expresión de \(f(x)\) y se demuestra que \(f(x)\) se reproduce utilizando la representación integral de la función delta.

Cálculo

Sustituimos la definición de \(\tilde{f}(p)\) en la expresión de \(f(x)\):

\[ f(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p)\,e^{ipx} = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\left[\int d^4x'\;f(x')\,e^{-ipx'}\right]e^{ipx} \]

Intercambiamos el orden de integración:

\[ = \int d^4x'\;f(x')\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;e^{ip(x - x')} \]

Aquí, por la representación integral de la función delta (D.20):

\[ \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;e^{ip(x - x')} = \delta^{(4)}(x - x') \]

(Esto se obtiene de la ecuación (D.20), \(\int d^4p\;e^{ip\cdot y} = (2\pi)^4\delta^{(4)}(y)\), haciendo \(y = x - x'\) y dividiendo ambos lados por \((2\pi)^4\).)

Por lo tanto:

\[ f(x) = \int d^4x'\;f(x')\;\delta^{(4)}(x - x') = f(x) \]

Respuesta final

Se ha demostrado que \(f(x)\) se reproduce idénticamente. Las convenciones de la transformada de Fourier (D.21), (D.22) son consistentes. \(\square\)

Verificación

Comprobamos también la dirección inversa. Sustituimos la expresión de \(f(x)\) en la definición de \(\tilde{f}(p)\):

\[ \tilde{f}(p) = \int d^4x\;f(x)\,e^{-ipx} = \int d^4x\left[\int \frac{d^4p'}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p')\,e^{ip'x}\right]e^{-ipx} \]
\[ = \int \frac{d^4p'}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p')\int d^4x\;e^{i(p'-p)x} = \int \frac{d^4p'}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p')\;(2\pi)^4\delta^{(4)}(p'-p) = \tilde{f}(p) \]

La dirección inversa también es consistente.

B-7. Fórmula general de parámetros de Feynman (\(n = 3\))

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Cálculo

Escritura explícita de la fórmula:

Sustituyendo \(n = 3\) en la ecuación (D.25):

\[ \frac{1}{A_1 A_2 A_3} = 2!\int_0^1 dx_1\,dx_2\,dx_3\;\frac{\delta(1 - x_1 - x_2 - x_3)}{[x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3]^3} \]
\[ = 2\int_0^1 dx_1\,dx_2\,dx_3\;\frac{\delta(1 - x_1 - x_2 - x_3)}{[x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3]^3} \]

Eliminación de \(x_3\):

Usando la función delta \(\delta(1 - x_1 - x_2 - x_3)\), sustituimos \(x_3 = 1 - x_1 - x_2\). De la condición \(x_3 \geq 0\) se obtiene \(x_1 + x_2 \leq 1\). Por lo tanto:

\[ \frac{1}{A_1 A_2 A_3} = 2\int_0^1 dx_1\int_0^{1-x_1} dx_2\;\frac{1}{[x_1 A_1 + x_2 A_2 + (1-x_1-x_2) A_3]^3} \]

Descripción del dominio de integración

El dominio de integración en el plano \((x_1, x_2)\) satisface: - \(x_1 \geq 0\) - \(x_2 \geq 0\) - \(x_1 + x_2 \leq 1\)

Es decir, es un triángulo rectángulo isósceles (símplice, simplex) con vértices en \((0,0)\), \((1,0)\) y \((0,1)\).

Respuesta final

\[ \boxed{\frac{1}{A_1 A_2 A_3} = 2\int_0^1 dx_1\int_0^{1-x_1} dx_2\;\frac{1}{[x_1 A_1 + x_2 A_2 + (1-x_1-x_2) A_3]^3}} \]

Verificación

Caso \(A_1 = A_2 = A_3 = A\): El denominador se convierte en \(A^3\), y la integral da el área del triángulo \(\frac{1}{2}\). Por lo tanto, el lado derecho \(= 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{A^3} = \frac{1}{A^3}\). El lado izquierdo también es \(\frac{1}{A^3}\). Coinciden.

B-8. Estimación de divergencias mediante dimensión de masa

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Estrategia de resolución

Se estudia el comportamiento del integrando cuando \(k \to \infty\). En 4 dimensiones, \(d^4k \sim k^3\,dk\), de modo que cuando el integrando se comporta como \(k^n\), la integral radial toma la forma \(\int dk\;k^{n+3}\). Diverge cuando \(n + 3 \geq -1\) (es decir, \(n \geq -4\)). El grado superficial de divergencia es \(D = n + 4\) (\(D \geq 0\) implica divergencia, \(D = 0\) corresponde a divergencia logarítmica).

Cálculo

(a) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{k^2 - m^2}\)

Para \(k \to \infty\), el integrando \(\sim 1/k^2\). Combinando con la medida \(d^4k \sim k^3\,dk\):

\[ \int dk\;\frac{k^3}{k^2} = \int dk\;k \to \infty \]

Grado superficial de divergencia: \(D = 4 - 2 = 2\) (divergencia cuadrática).

(b) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2)^2}\)

Para \(k \to \infty\), el integrando \(\sim 1/k^4\).

\[ \int dk\;\frac{k^3}{k^4} = \int dk\;\frac{1}{k} = \int \frac{dk}{k} \to \infty \]

Grado superficial de divergencia: \(D = 4 - 4 = 0\) (divergencia logarítmica).

(c) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{k^2}{(k^2 - m^2)^3}\)

Para \(k \to \infty\), el integrando \(\sim k^2/k^6 = 1/k^4\).

\[ \int dk\;\frac{k^3}{k^4} = \int \frac{dk}{k} \to \infty \]

Grado superficial de divergencia: \(D = 4 + 2 - 6 = 0\) (divergencia logarítmica).

Respuesta final

Integral Comportamiento para \(k \to \infty\) Grado de divergencia \(D\) Tipo de divergencia
(a) \(k^3/k^2 = k\) \(2\) Divergencia cuadrática (potencial)
(b) \(k^3/k^4 = 1/k\) \(0\) Divergencia logarítmica
(c) \(k^3 \cdot k^2/k^6 = 1/k\) \(0\) Divergencia logarítmica

Verificación

Confirmación mediante análisis dimensional: La integral (a) debe tener dimensión de masa \(4 - 2 = 2\), consistente con \(D = 2\). La integral (b) tiene dimensión \(4 - 4 = 0\), es decir, es adimensional, consistente con \(D = 0\) (la divergencia logarítmica tiene la forma \(\ln\Lambda\), que es adimensional). La integral (c) tiene dimensión \(4 + 2 - 6 = 0\), análogamente.

Intermedio

M-1. Organización completa de integrales a un loop usando parámetros de Feynman

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(a) Introducción de parámetros de Feynman

Sea \(A = k^2 - m^2 + i\varepsilon\), \(B = (k-p)^2 - m^2 + i\varepsilon\) y apliquemos la ecuación (D.24):

\[ \Sigma(p^2) = \frac{g^2}{2}\int_0^1 dx\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{[x(k^2 - m^2) + (1-x)((k-p)^2 - m^2) + i\varepsilon]^2} \]

Desarrollamos el contenido del denominador:

\[ x(k^2 - m^2) + (1-x)((k-p)^2 - m^2) \]
\[ = xk^2 + (1-x)(k^2 - 2k\cdot p + p^2) - m^2 \]
\[ = k^2 - 2(1-x)k\cdot p + (1-x)p^2 - m^2 \]

(b) Cambio de variable y determinación de \(\Delta\)

Realizamos el cambio de variable \(\ell = k - (1-x)p\). Mediante un cálculo similar al de D3:

\[ k^2 - 2(1-x)k\cdot p = \ell^2 - (1-x)^2 p^2 \]

Por lo tanto, el denominador queda:

\[ \ell^2 - (1-x)^2 p^2 + (1-x)p^2 - m^2 = \ell^2 + x(1-x)p^2 - m^2 \]
\[ = \ell^2 - \Delta \]

donde:

\[ \boxed{\Delta = m^2 - x(1-x)p^2} \]

Por consiguiente:

\[ \Sigma(p^2) = \frac{g^2}{2}\int_0^1 dx\int \frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^2} \]

(c) Rotación de Wick

Hacemos \(\ell_0 = i\ell_0^E\). Usando los resultados de D4:

  • \(d^4\ell = i\,d^4\ell_E\)
  • \(\ell^2 = -\ell_E^2\)
  • \((\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^2 = (-\ell_E^2 - \Delta)^2 = (\ell_E^2 + \Delta)^2\)

(Como \(\ell_E^2 + \Delta > 0\), el \(i\varepsilon\) ya no es necesario.)

Por lo tanto:

\[ \int \frac{d^4\ell}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^2} = \frac{i\,d^4\ell_E}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} \]
\[ \Sigma(p^2) = \frac{g^2}{2}\int_0^1 dx\;i\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} \]

(d) Integración angular y divergencia logarítmica

Usamos coordenadas esféricas en el espacio euclídeo 4-dimensional. Con \(d^4\ell_E = \ell_E^3\,d\ell_E\,d\Omega_4\) y \(\Omega_4 = 2\pi^2\) (resultado de D5):

\[ \int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} = \frac{\Omega_4}{(2\pi)^4}\int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^3}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} \]
\[ = \frac{2\pi^2}{16\pi^4}\int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^3}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} = \frac{1}{8\pi^2}\int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^3}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} \]

Evaluación de la integral radial:

Sustituyendo \(u = \ell_E^2\), con \(du = 2\ell_E\,d\ell_E\), \(\ell_E\,d\ell_E = du/2\):

\[ \int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^3}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} = \frac{1}{2}\int_0^\infty du\;\frac{u}{(u + \Delta)^2} \]

Descomposición en fracciones parciales:

\[ \frac{u}{(u+\Delta)^2} = \frac{(u+\Delta) - \Delta}{(u+\Delta)^2} = \frac{1}{u+\Delta} - \frac{\Delta}{(u+\Delta)^2} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{1}{2}\int_0^\Lambda du\left[\frac{1}{u+\Delta} - \frac{\Delta}{(u+\Delta)^2}\right] \]

(Introducimos un corte ultravioleta \(\Lambda^2\) como límite superior de \(u\). Aquí \(\Lambda\) corresponde al corte en \(\ell_E\) original.)

\[ = \frac{1}{2}\left[\ln(u+\Delta) + \frac{\Delta}{u+\Delta}\right]_0^{\Lambda^2} \]
\[ = \frac{1}{2}\left[\ln(\Lambda^2 + \Delta) + \frac{\Delta}{\Lambda^2 + \Delta} - \ln\Delta - 1\right] \]

En el límite \(\Lambda^2 \gg \Delta\):

\[ \approx \frac{1}{2}\left[\ln\frac{\Lambda^2}{\Delta} - 1 + O(\Delta/\Lambda^2)\right] \]

Verificación de la divergencia logarítmica: En el límite \(\Lambda \to \infty\) permanece el término \(\ln\Lambda^2\), y la integral diverge logarítmicamente.

Resultado final

\[ \Sigma(p^2) = \frac{ig^2}{16\pi^2}\int_0^1 dx\left[\ln\frac{\Lambda^2}{\Delta} - 1\right] + O(1/\Lambda^2) \]

donde \(\Delta = m^2 - x(1-x)p^2\). La integral presenta una divergencia logarítmica \(\sim \ln\Lambda^2\).

Verificación

Análisis dimensional: Si consideramos la teoría \(\phi^3\) (renormalizable en 6 dimensiones) en 4 dimensiones, \([g] = 1\). \(\Sigma\) es la autoenergía del campo escalar con \([\Sigma] = 2\). El lado derecho es \(g^2 \times (\text{adimensional}) = 1^2 \times 2 = 2\)... más precisamente, en la teoría \(\phi^3\) en 4 dimensiones \([g] = 1\), por lo que \([g^2] = 2\), y \(\ln(\Lambda^2/\Delta)\) es adimensional. Así \([\Sigma] = 2\). La autoenergía debe tener dimensión de masa 2, lo cual es consistente.

Verificación del grado de divergencia: Como vimos en D8(b), la integral de \(1/(\ell^2)^2\) diverge logarítmicamente (\(D = 0\)). Esto coincide con el resultado obtenido aquí.

M-2. Verificación de la validez de la rotación de Wick

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(a) Posición de los polos

El denominador del propagador de Feynman es \(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2} - \Delta + i\varepsilon\). Definiendo \(\omega^2 \equiv \vec{\ell}^{\,2} + \Delta > 0\), los polos son:

\[ \ell_0^2 = \omega^2 - i\varepsilon \]
\[ \ell_0 = \pm\sqrt{\omega^2 - i\varepsilon} = \pm(\omega - i\varepsilon') \]

donde \(\varepsilon' = \varepsilon/(2\omega) > 0\) (en el límite \(\varepsilon \to 0^+\)).

Por lo tanto: - Polo positivo \(\ell_0 = +\omega - i\varepsilon'\): ligeramente por debajo del eje real (lado del cuarto cuadrante) - Polo negativo \(\ell_0 = -\omega + i\varepsilon'\): ligeramente por encima del eje real (lado del segundo cuadrante)

\[ \boxed{\text{Los polos se encuentran en el segundo y cuarto cuadrante}} \]

(b) Contribución de la parte del arco

Se rota el contorno de integración de \(\ell_0\) desde el eje real al eje imaginario 90° en sentido antihorario. El contorno cerrado consiste en:

  1. Sobre el eje real desde \(-R\) hasta \(+R\)
  2. Un arco de cuarto de círculo en el primer cuadrante (radio \(R\))
  3. Sobre el eje imaginario desde \(+iR\) hasta \(-iR\) (sentido inverso)... o más precisamente, eje real → arco en el primer cuadrante → parte positiva del eje imaginario, y parte negativa del eje real → arco en el segundo cuadrante → parte positiva del eje imaginario.

De manera más precisa: se rota el camino de integración sobre el eje real hacia el eje imaginario pasando por el primer y segundo cuadrante.

Sobre el arco de cuarto de círculo, con \(\ell_0 = Re^{i\theta}\) (\(0 \leq \theta \leq \pi/2\)), se tiene \(|\ell_0| = R\). El factor típico del denominador es:

\[ |\ell_0^2 - \omega^2 + i\varepsilon| \sim |\ell_0^2| = R^2 \quad (R \to \infty) \]

En el caso del producto de \(n\) propagadores, el denominador crece como \(\sim R^{2n}\). Por otro lado, la medida de integración sobre el arco es \(|d\ell_0| = R\,d\theta\).

El integrando completo (cuando no hay potencias de \(\ell_0\) en el numerador) se comporta sobre el arco como:

\[ \sim \frac{R\,d\theta}{R^{2n}} = \frac{d\theta}{R^{2n-1}} \]

Como para \(n \geq 1\) se tiene \(2n - 1 \geq 1\), la contribución del arco se anula cuando \(R \to \infty\).

(c) Justificación mediante el teorema integral de Cauchy

Por (a), los polos están en el segundo y cuarto cuadrante. El contorno cerrado rotado 90° en sentido antihorario (eje real → arco en el primer cuadrante → eje imaginario) encierra el primer cuadrante. Como no existen polos en el primer cuadrante, por el teorema integral de Cauchy:

\[ \oint_C f(\ell_0)\,d\ell_0 = 0 \]

Por (b), la contribución del arco es cero, de modo que:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(\ell_0)\,d\ell_0 + \int_{\text{eje imaginario (de arriba a abajo)}} f(\ell_0)\,d\ell_0 = 0 \]

Sustituyendo \(\ell_0 = i\ell_0^E\) (\(\ell_0^E\): de \(-\infty\) a \(+\infty\)) sobre el eje imaginario, se tiene \(d\ell_0 = i\,d\ell_0^E\). Teniendo en cuenta la orientación:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} d\ell_0\;f(\ell_0) = i\int_{-\infty}^{+\infty} d\ell_0^E\;f(i\ell_0^E) \]

Esta es la igualdad de la rotación de Wick, justificada como consecuencia directa del teorema integral de Cauchy. \(\square\)

Verificación

Consistencia de la posición de los polos: Si se invierte el signo de \(i\varepsilon\) (es decir, \(-i\varepsilon\)), los polos se desplazan al primer y tercer cuadrante, y la rotación de Wick ya no puede justificarse. Esto corresponde a la prescripción anti-Feynman y contradice la condición física de causalidad. La estructura en la que la prescripción \(+i\varepsilon\) de Feynman hace posible la rotación de Wick es consistente.

M-3. Derivación de la fórmula básica de regularización dimensional

→ Volver al problema

Objetivo

Derivar lo siguiente:

\[ \int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(n - d/2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-d/2}} \]

(a) Integración angular

En coordenadas esféricas \(d\)-dimensionales, \(d^d\ell_E = \ell_E^{d-1}\,d\ell_E\,d\Omega_d\). Como el integrando depende únicamente de \(\ell_E = |\ell_E|\), la integración angular da el ángulo sólido \(\Omega_d\):

\[ \int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{\Omega_d}{(2\pi)^d}\int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^{d-1}}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} \]

Sustituyendo \(\Omega_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\):

\[ = \frac{2\pi^{d/2}}{(2\pi)^d\,\Gamma(d/2)}\int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^{d-1}}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} \]

Simplificando el coeficiente delantero:

\[ \frac{2\pi^{d/2}}{(2\pi)^d\,\Gamma(d/2)} = \frac{2\pi^{d/2}}{2^d\pi^d\,\Gamma(d/2)} = \frac{1}{2^{d-1}\pi^{d/2}\,\Gamma(d/2)} \]

(b) Reducción de la integral radial a la función beta

Realizamos el cambio de variable \(t = \ell_E^2/\Delta\). Entonces \(\ell_E = \sqrt{\Delta t}\), \(d\ell_E = \frac{\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{t}}\,dt\).

\[ \ell_E^{d-1} = (\Delta t)^{(d-1)/2} = \Delta^{(d-1)/2}\,t^{(d-1)/2} \]
\[ (\ell_E^2 + \Delta)^n = (\Delta t + \Delta)^n = \Delta^n(1+t)^n \]

Por lo tanto, la integral radial es:

\[ \int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^{d-1}}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \int_0^\infty \frac{\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{t}}\,dt\;\frac{\Delta^{(d-1)/2}\,t^{(d-1)/2}}{\Delta^n(1+t)^n} \]
\[ = \frac{\Delta^{1/2 + (d-1)/2 - n}}{2}\int_0^\infty dt\;\frac{t^{(d-1)/2 - 1/2}}{(1+t)^n} \]
\[ = \frac{\Delta^{d/2 - n}}{2}\int_0^\infty dt\;\frac{t^{d/2 - 1}}{(1+t)^n} \]

Comparando esta integral con la representación integral de la función beta:

\[ B(a, b) = \int_0^\infty dt\;\frac{t^{a-1}}{(1+t)^{a+b}} = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \]

identificamos \(a = d/2\), \(a + b = n\), es decir \(b = n - d/2\), con lo que:

\[ \int_0^\infty dt\;\frac{t^{d/2 - 1}}{(1+t)^n} = B\!\left(\frac{d}{2},\;n - \frac{d}{2}\right) = \frac{\Gamma(d/2)\,\Gamma(n - d/2)}{\Gamma(n)} \]

(Converge cuando \(n - d/2 > 0\). En regularización dimensional se trata \(d\) como variable continua y se realiza la continuación analítica.)

Ensamblaje del resultado completo

\[ \int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{2^{d-1}\pi^{d/2}\,\Gamma(d/2)} \cdot \frac{\Delta^{d/2-n}}{2} \cdot \frac{\Gamma(d/2)\,\Gamma(n-d/2)}{\Gamma(n)} \]

\(\Gamma(d/2)\) se cancela:

\[ = \frac{1}{2^d\,\pi^{d/2}} \cdot \frac{\Gamma(n-d/2)}{\Gamma(n)} \cdot \frac{1}{\Delta^{n-d/2}} \]

Verificamos directamente que \(2^d\,\pi^{d/2} = (4\pi)^{d/2}\):

\[ (4\pi)^{d/2} = 4^{d/2}\,\pi^{d/2} = 2^d\,\pi^{d/2} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{1}{2^d\,\pi^{d/2}} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}} \]

Resultado final

\[ \boxed{\int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(n - d/2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-d/2}}} \]

Verificación

Caso \(d = 4\), \(n = 2\):

\[ \frac{1}{(4\pi)^2}\;\frac{\Gamma(2-2)}{\Gamma(2)}\;\frac{1}{\Delta^0} = \frac{1}{16\pi^2}\;\frac{\Gamma(0)}{1} \]

\(\Gamma(0)\) tiene un polo. Esto corresponde a la divergencia logarítmica vista en S1. En regularización dimensional, tomando \(d = 4 - 2\epsilon\), se expande \(\Gamma(\epsilon) = 1/\epsilon - \gamma_E + O(\epsilon)\), y el polo \(1/\epsilon\) representa la divergencia logarítmica. Es consistente.

Análisis dimensional: La dimensión de masa del lado izquierdo es \(d - 2n\) (\(d^d\ell_E\) tiene dimensión \(d\), el denominador tiene dimensión \(2n\)). En el lado derecho, la dimensión de \(\Delta^{-(n-d/2)}\) es \(-2(n-d/2) = d - 2n\). Coinciden.

M-4. Recuperación de unidades y estimación de secciones eficaces

→ Volver al problema

(a) Verificación de la dimensión de masa de \(\sigma\)

En unidades naturales \([\alpha] = 0\) (la constante de estructura fina es adimensional), \([s] = 2\) (dimensión de energía al cuadrado).

\[ [\sigma] = \frac{[\alpha]^2}{[s]} = \frac{0}{2} = -2 \]
\[ \boxed{[\sigma] = -2} \]

La sección eficaz debe tener dimensión de "área", y \([\text{longitud}^2] = (-1)^2 = -2\) (dimensión de masa). Es consistente.

(b) Cálculo numérico de \(\sigma\)

\(\sqrt{s} = 10\) GeV, es decir, \(s = 100\) GeV\(^2\).

\[ \sigma = \frac{4\pi\alpha^2}{3s} = \frac{4\pi}{3 \times 137^2 \times 100}\ \text{GeV}^{-2} \]

Calculamos el valor numérico:

\[ 137^2 = 18769 \]
\[ 3 \times 18769 \times 100 = 5{,}630{,}700 \]
\[ \sigma = \frac{4\pi}{5{,}630{,}700}\ \text{GeV}^{-2} = \frac{12.566}{5{,}630{,}700}\ \text{GeV}^{-2} = 2.232 \times 10^{-6}\ \text{GeV}^{-2} \]

Usando el factor de conversión (D.6): \(1\ \text{GeV}^{-2} = 0.3894\ \text{mb} = 3.894 \times 10^{8}\ \text{pb}\)

\[ \sigma = 2.232 \times 10^{-6} \times 3.894 \times 10^{8}\ \text{pb} \]
\[ \boxed{\sigma \approx 869\ \text{pb} \approx 0.87\ \text{nb}} \]

(c) Número esperado de eventos

El número de eventos viene dado por \(N = \sigma \cdot \mathcal{L} \cdot T\).

\(\mathcal{L} = 10^{33}\ \text{cm}^{-2}\text{s}^{-1}\), \(T = 1\ \text{día} = 86{,}400\ \text{s}\).

Primero convertimos \(\sigma\) a cm\(^2\):

\[ \sigma \approx 869\ \text{pb} = 869 \times 10^{-40}\ \text{m}^2 = 869 \times 10^{-36}\ \text{cm}^2 = 8.69 \times 10^{-34}\ \text{cm}^2 \]
\[ N = 8.69 \times 10^{-34} \times 10^{33} \times 86{,}400 \]
\[ = 8.69 \times 10^{-1} \times 86{,}400 \]
\[ = 0.869 \times 86{,}400 \approx 75{,}000 \]
\[ \boxed{N \approx 7.5 \times 10^4\ \text{eventos/día}} \]

Verificación

Comprobación del orden de magnitud: Se sabe experimentalmente que la sección eficaz de \(e^+e^- \to \mu^+\mu^-\) a \(\sqrt{s} = 10\) GeV es del orden de \(\sim 1\) nb, por lo que \(0.87\) nb es razonable. Una luminosidad de \(10^{33}\) cm\(^{-2}\)s\(^{-1}\) corresponde a un acelerador de la clase de las fábricas de B, y la estimación de varias decenas de miles de eventos por día es realista.

Avanzado

A-1. El problema de \(\gamma_5\) en regularización dimensional y la anomalía ABJ

→ Volver al problema

(a) Contradicción de \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\) en \(d\) dimensiones

Método 1: Usar primero \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\) (traza en \(d\) dimensiones).

Consideremos la siguiente cantidad:

\[ T \equiv \text{Tr}[\gamma_5\,\gamma^\alpha\gamma_\alpha\,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

Usando \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\):

\[ T = d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \tag{1} \]

Método 2: Mover \(\gamma^\alpha\) hacia la derecha y usar la relación de anticonmutación con \(\gamma_5\).

De \(\{\gamma_5, \gamma^\alpha\} = 0\) se tiene \(\gamma_5\gamma^\alpha = -\gamma^\alpha\gamma_5\). Por lo tanto:

\[ T = \text{Tr}[\gamma_5\,\gamma^\alpha\,\gamma_\alpha\,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

Movemos \(\gamma_5\) del extremo izquierdo a la derecha de \(\gamma^\alpha\):

\[ \gamma_5\,\gamma^\alpha = -\gamma^\alpha\,\gamma_5 \]
\[ T = -\text{Tr}[\gamma^\alpha\,\gamma_5\,\gamma_\alpha\,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

A continuación movemos \(\gamma_5\) a la derecha de \(\gamma_\alpha\):

\[ \gamma_5\,\gamma_\alpha = -\gamma_\alpha\,\gamma_5 \]
\[ T = (-1)^2\text{Tr}[\gamma^\alpha\gamma_\alpha\,\gamma_5\,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

De forma similar, movemos \(\gamma_5\) sucesivamente a la derecha de \(\gamma^\mu, \gamma^\nu, \gamma^\rho, \gamma^\sigma\). En cada paso aparece un factor \((-1)\). En total, con 4 anticonmutaciones:

\[ T = (-1)^{2+4}\text{Tr}[\gamma^\alpha\gamma_\alpha\,\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\,\gamma_5] \]

Mejor dicho, rehagámoslo con más cuidado.

Movemos \(\gamma_5\) a la derecha de la primera \(\gamma^\alpha\) (un factor \(-1\)), luego a la derecha de \(\gamma_\alpha\) (un factor \(-1\)), a la derecha de \(\gamma^\mu\) (\(-1\)), a la derecha de \(\gamma^\nu\) (\(-1\)), a la derecha de \(\gamma^\rho\) (\(-1\)), a la derecha de \(\gamma^\sigma\) (\(-1\)). En total 6 anticonmutaciones:

\[ T = (-1)^6\,\text{Tr}[\gamma^\alpha\gamma_\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_5] \]

Usando la propiedad cíclica de la traza \(\text{Tr}[AB\cdots Z] = \text{Tr}[ZAB\cdots]\):

\[ \text{Tr}[\gamma^\alpha\gamma_\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_5] = \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\alpha\gamma_\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = T \]

Por lo tanto, del método 2 se obtiene:

\[ T = (+1)\cdot T = T \]

Esto no produce contradicción. Se necesita un enfoque más elaborado.

Enfoque correcto: Consideremos la siguiente cantidad, sin colocar \(\gamma^\alpha\) entre \(\gamma_5\) y \(\gamma_\alpha\):

\[ T' \equiv \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

\(0 = \text{Tr}[\gamma_5\{\gamma^\alpha, \gamma_\alpha\}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\)... esto también es trivial.

Tomemos un enfoque diferente. Consideremos la siguiente identidad:

\[ \gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma_\alpha = (2-d)\gamma^\mu \quad \text{(identidad en $d$ dimensiones)} \]

Usándola, calculamos:

\[ \text{Tr}[\gamma_5\,\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\alpha] \]

de dos maneras distintas.

Método A: Mover \(\gamma_\alpha\) a la izquierda y usar \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\).

Llevamos \(\gamma_\alpha\) al extremo izquierdo mediante la propiedad cíclica de la traza:

\[ \text{Tr}[\gamma_5\,\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\alpha] = \text{Tr}[\gamma_\alpha\gamma_5\,\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

Si suponemos \(\{\gamma_5, \gamma_\alpha\} = 0\), entonces \(\gamma_\alpha\gamma_5 = -\gamma_5\gamma_\alpha\):

\[ = -\text{Tr}[\gamma_5\gamma_\alpha\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = -d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

Método B: Usar repetidamente las fórmulas de contracción \(\gamma^\alpha\cdots\gamma_\alpha\).

\[ \gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\alpha \]

Aplicando repetidamente las fórmulas de contracción en \(d\) dimensiones:

\[ \gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma_\alpha = (2-d)\gamma^\mu \]
\[ \gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\alpha = 4\eta^{\mu\nu} - (4-d)\gamma^\mu\gamma^\nu \]
\[ \gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\alpha = -2\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu + (4-d)\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho \]
\[ \gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\alpha = 2(\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu + \gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) - (4-d)\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma \]

Para \(d = 4\) el último término se anula y \(\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\alpha = 2(\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu + \gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)\).

Sustituyendo el resultado del método B en la traza:

\[ \text{Tr}[\gamma_5\,\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\alpha] = 2\,\text{Tr}[\gamma_5(\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu + \gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)] - (4-d)\,\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

En cuatro dimensiones \(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\), y \(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu] = -4i\epsilon^{\sigma\rho\nu\mu} = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) (por la antisimetría total del tensor de Levi-Civita, un número par de intercambios no cambia el signo... de hecho \(\epsilon^{\sigma\rho\nu\mu}\) se obtiene de \(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) mediante 4 intercambios adyacentes, por lo que es \(+\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)).

Por lo tanto, el resultado del método B para \(d = 4\) es:

\[ = 2 \times 2 \times \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = 4\,\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]

(El término en \((4-d)\) se anula para \(d = 4\).)

Comparación entre los métodos A y B:

Método A: \(-d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\)

Método B: \(4\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] - (4-d)\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\)

\(= (4 - 4 + d)\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\)

Igualando:

\[ -d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] \]
\[ \Rightarrow\quad 2d\;\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = 0 \]

Como \(d \neq 0\):

\[ \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = 0 \]

Sin embargo, en cuatro dimensiones \(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \neq 0\).

\[ \boxed{\text{Contradicción}} \]

Es decir, si se supone \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\) para todo \(\mu\) en \(d\) dimensiones, se exige que las trazas que involucran \(\gamma_5\) sean cero, lo cual contradice el resultado conocido en cuatro dimensiones.

(b) Prescripción de 't Hooft–Veltman

En la prescripción de 't Hooft–Veltman (HV), las matrices \(\gamma^\mu\) en \(d\) dimensiones se descomponen en dos partes:

\[ \gamma^\mu = \hat{\gamma}^\mu + \tilde{\gamma}^\mu \]
  • \(\hat{\gamma}^\mu\): componentes del subespacio de 4 dimensiones (\(\mu = 0, 1, 2, 3\))
  • \(\tilde{\gamma}^\mu\): componentes de las \((d-4)\) dimensiones restantes

\(\gamma_5\) se define únicamente a partir de las matrices \(\gamma\) de 4 dimensiones:

\[ \gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \]

Las relaciones de (anti)conmutación son:

\[ \{\gamma_5, \hat{\gamma}^\mu\} = 0, \qquad [\gamma_5, \tilde{\gamma}^\mu] = 0 \]

Es decir, \(\gamma_5\) anticonmuta con las componentes de 4 dimensiones \(\hat{\gamma}^\mu\), pero conmuta con las componentes de \((d-4)\) dimensiones \(\tilde{\gamma}^\mu\).

Efecto sobre el diagrama triangular (vértice AVV):

En el diagrama triangular se calcula un diagrama a un lazo con un vértice axial-vector (A) y dos vértices vectoriales (V). En el vértice axial aparece \(\gamma^\mu\gamma_5\).

En la prescripción HV, dado que la componente de \((d-4)\) dimensiones \(\tilde{k}\) del momento del lazo \(k\) conmuta con \(\gamma_5\), surgen términos adicionales que difieren del cálculo ingenuo en 4 dimensiones. Concretamente:

  • Las contribuciones provenientes solo de las componentes de 4 dimensiones pueden ajustarse para satisfacer la identidad de Ward de la corriente vectorial.
  • Sin embargo, las contribuciones de las componentes de \((d-4)\) dimensiones dejan un residuo finito en el límite \(\epsilon = (4-d)/2 \to 0\).

Este residuo finito muestra que la simetría axial se rompe por el procedimiento de regularización y constituye el origen de la anomalía.

(c) Consecuencias físicas de la anomalía ABJ

A nivel clásico, para fermiones sin masa la corriente axial \(j_5^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\gamma_5\psi\) se conserva:

\[ \partial_\mu j_5^\mu = 0 \quad \text{(a nivel clásico)} \]

Sin embargo, al calcular las correcciones cuánticas (diagrama triangular), debido al problema de \(\gamma_5\) descrito anteriormente, no es posible mantener simultáneamente la conservación de la corriente vectorial y la de la corriente axial independientemente de la regularización empleada.

Si por exigencia física se prioriza la invariancia gauge de la QED (conservación de la corriente vectorial), entonces la ley de conservación de la corriente axial se viola a nivel cuántico:

\[ \partial_\mu j_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2}\,F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu} \]

donde \(\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\) es el tensor dual de la intensidad de campo.

Consecuencias físicas:

  1. Desintegración \(\pi^0 \to \gamma\gamma\): Sin la anomalía de la corriente axial, la tasa de desintegración del pión neutro en dos fotones debería ser cero; sin embargo, la anomalía predice una tasa finita que concuerda con precisión con el experimento.

  2. Condiciones de cancelación de anomalías: Para que las anomalías gauge se cancelen en el Modelo Estándar, ciertas combinaciones de las cargas de los fermiones deben anularse. Esto impone fuertes restricciones sobre la estructura generacional de quarks y leptones.

  3. No renormalización de la anomalía (teorema de Adler–Bardeen): La anomalía ABJ se determina exactamente a un lazo y no recibe correcciones de lazos superiores. Esto refleja la naturaleza topológica de la anomalía.

Verificación

Otra perspectiva de la contradicción en (a): El hecho de que en \(d\) dimensiones se exija \(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = 0\) significa que el tensor \(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) no puede extenderse de forma natural a \(d\) dimensiones. \(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) es esencialmente un objeto de 4 dimensiones, lo cual es consistente con el hecho de que \(\gamma_5\) es un concepto intrínsecamente cuatridimensional.

A-2. Relación entre parámetros de Feynman y la representación de Mellin–Barnes

→ Volver al problema

(a) Demostración de la representación de Mellin–Barnes

Identidad a demostrar:

\[ \frac{1}{(A + B)^n} = \frac{1}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\;\Gamma(-s)\Gamma(n+s)\;\frac{A^s}{B^{n+s}} \]

Demostración: Evaluamos la integral en \(s\) del lado derecho como la suma de residuos en los polos \(s = k\) (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)) de \(\Gamma(-s)\). \(\Gamma(-s)\) tiene un polo simple en \(s = k\), cuyo residuo es:

\[ \text{Res}_{s=k}\,\Gamma(-s) = \frac{(-1)^k}{k!} \]

(Esto se deduce del hecho de que \(\Gamma(z)\) tiene un polo en \(z = -k\) con \(\text{Res} = (-1)^k/k!\). El polo de \(\Gamma(-s)\) en \(s = k\) corresponde al polo de \(\Gamma(z)\) en \(z = -k\).)

Cerrando el contorno de integración hacia la derecha (suponiendo \(|A/B| < 1\), es decir, \(|A| < |B|\)), recogemos los polos en \(s = k\) (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)):

\[ \frac{1}{2\pi i}\int ds\;\Gamma(-s)\Gamma(n+s)\frac{A^s}{B^{n+s}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\;\Gamma(n+k)\;\frac{A^k}{B^{n+k}} \]

Usando \(\Gamma(n+k) = (n+k-1)!\) (cuando \(n\) es un entero positivo) y dividiendo por \(\Gamma(n) = (n-1)!\):

\[ \frac{1}{\Gamma(n)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\;\frac{\Gamma(n+k)}{\Gamma(n)}\;\frac{A^k}{B^{n+k}} \cdot \Gamma(n) \]

Simplificando:

\[ = \frac{1}{\Gamma(n)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\;\Gamma(n+k)\;\frac{A^k}{B^{n+k}} \]

Usando que \(\frac{\Gamma(n+k)}{\Gamma(n)\,k!} = \binom{n+k-1}{k}\):

\[ = \frac{1}{B^n}\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}\left(-\frac{A}{B}\right)^k \]

Por el teorema del binomio generalizado \((1+z)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}(-z)^k\) (\(|z| < 1\)):

\[ = \frac{1}{B^n}\left(1 + \frac{A}{B}\right)^{-n} = \frac{1}{(A+B)^n} \]

\(\square\)

Mediante continuación analítica, la restricción \(|A/B| < 1\) puede eliminarse, y la identidad es válida para \(A, B\) generales.

(b) Representación de Mellin–Barnes de la integral a un lazo

Punto de partida: La integral tras introducir los parámetros de Feynman (análogamente a S1):

\[ I(p^2) = \int_0^1 dx\int \frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^2} \]

donde \(\ell = k - (1-x)p\), \(\Delta = xm_1^2 + (1-x)m_2^2 - x(1-x)p^2\).

Tras la rotación de Wick, aplicando la fórmula de S3:

\[ I(p^2) = \frac{i}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(2-d/2)}{\Gamma(2)}\int_0^1 dx\;\frac{1}{\Delta^{2-d/2}} \]
\[ = \frac{i}{(4\pi)^{d/2}}\;\Gamma(2-d/2)\int_0^1 dx\;\frac{1}{\Delta^{2-d/2}} \]

donde \(\Delta = xm_1^2 + (1-x)m_2^2 - x(1-x)p^2\).

Aplicación de la representación de Mellin–Barnes:

Separamos \(\Delta\) en dos términos. Por ejemplo:

\[ \Delta = [xm_1^2 + (1-x)m_2^2] - x(1-x)p^2 \equiv C - D \]

donde \(C = xm_1^2 + (1-x)m_2^2\), \(D = x(1-x)p^2\).

Alternativamente, una descomposición más útil consiste en separar \(m_1^2\) y \(m_2^2\). Se descompone la potencia de \(\Delta\) mediante Mellin–Barnes dentro de la integral sobre el parámetro de Feynman.

Para \(\Delta^{-(2-d/2)}\), con \(\Delta = C + D'\) (\(C, D'\) siendo una descomposición adecuada de \(\Delta\)), aplicamos la fórmula de (a):

\[ \frac{1}{\Delta^{2-d/2}} = \frac{1}{\Gamma(2-d/2)}\;\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\;\Gamma(-s)\Gamma(2-d/2+s)\;\frac{C^s}{D'^{2-d/2+s}} \]

Sustituyendo esto en la integral en \(x\), la integral en \(x\) se reduce a una función beta, y finalmente solo queda la integral de Mellin–Barnes en \(s\).

Equivalencia con la representación de parámetros de Feynman: Si se evalúa la integral de Mellin–Barnes como una suma de residuos, cada residuo corresponde a un término de la expansión en \(x\) de la integral con parámetros de Feynman. Recíprocamente, partiendo de la representación de parámetros de Feynman y separando los términos en \(\Delta\) mediante Mellin–Barnes, se obtiene el mismo resultado. Ambas son representaciones diferentes de la misma integral y son equivalentes.

(c) Expansión asintótica (\(m_1 = 0\), \(m_2 = m\), \(p^2 = -Q^2\), \(Q^2 \gg m^2\))

Configuración: \(m_1 = 0\), \(m_2 = m\), \(p^2 = -Q^2\).

\[ \Delta = (1-x)m^2 + x(1-x)Q^2 \]

Resultado tras realizar la integral en \(\ell_E\) después de la integración con parámetros de Feynman:

\[ I = \frac{i}{(4\pi)^{d/2}}\;\Gamma(2-d/2)\int_0^1 dx\;\frac{1}{[(1-x)m^2 + x(1-x)Q^2]^{2-d/2}} \]

Se puede factorizar como \(\Delta = (1-x)[m^2 + xQ^2]\).

Separación mediante Mellin–Barnes:

Separamos \(m^2\) y \(xQ^2\) dentro de \(\Delta^{-(2-d/2)}\) usando Mellin–Barnes. Con \(n = 2 - d/2\), \(A = m^2\), \(B = xQ^2\):

\[ \frac{1}{(m^2 + xQ^2)^n} = \frac{1}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{2\pi i}\int ds\;\Gamma(-s)\Gamma(n+s)\;\frac{(m^2)^s}{(xQ^2)^{n+s}} \]

Sustituyendo esto en la integral en \(x\) e incluyendo el factor \((1-x)^{-n}\), realizamos la integral en \(x\). La integral en \(x\) se convierte en una función beta:

\[ \int_0^1 dx\;(1-x)^{-n}\;x^{-(n+s)} = B(1-n, 1-n-s) = \frac{\Gamma(1-n)\Gamma(1-n-s)}{\Gamma(2-2n-s)} \]

(Las condiciones de convergencia se tratan mediante continuación analítica.)

Expansión asintótica para \(Q^2 \gg m^2\):

Cerrando el contorno de Mellin–Barnes hacia la derecha, recogemos los residuos en los polos \(s = 0, 1, 2, \ldots\) de \(\Gamma(-s)\). Debido al factor \((m^2)^s/(Q^2)^{n+s}\), en el límite \(m^2/Q^2 \to 0\) los residuos de \(s\) bajos son dominantes.

Residuo en \(s = 0\):

\[ \text{Res}_{s=0}\,\Gamma(-s) = -1 \]

(\(\Gamma(-s)\) tiene un polo en \(s = 0\) que corresponde al de \(\Gamma(z)\) en \(z = 0\). La expansión de Laurent de \(\Gamma(z)\) en \(z = 0\) es \(\Gamma(z) = 1/z - \gamma_E + \cdots\), así que \(\text{Res}_{z=0}\Gamma(z) = 1\). El residuo de \(\Gamma(-s)\) en \(s = 0\) es \(-\text{Res}_{z=0}\Gamma(z) = -1\).)

Más precisamente: recalculemos el residuo exacto. \(\Gamma(z)\) tiene polos simples en \(z = -n\) (\(n = 0, 1, 2, \ldots\)) con:

\[ \text{Res}_{z=-n}\,\Gamma(z) = \frac{(-1)^n}{n!} \]

El polo de \(\Gamma(-s)\) en \(s = k\) corresponde a \(-s = -k\), es decir, \(z = -k\). El residuo en \(s\) es:

\[ \lim_{s \to k}(s-k)\Gamma(-s) = \lim_{z \to -k}(-z-k)\Gamma(z) \cdot \frac{ds}{ds} \]

Como \(z = -s\), tenemos \(dz = -ds\). \((s-k) = -(z-(-k)) = -(z+k)\).

\[ \lim_{s \to k}(s-k)\Gamma(-s) = \lim_{z \to -k}(-(z+k))\Gamma(z) \cdot 1 = -\text{Res}_{z=-k}\Gamma(z) = -\frac{(-1)^k}{k!} = \frac{(-1)^{k+1}}{k!} \]

Por tanto, para \(s = 0\): \(\text{Res} = \frac{(-1)^1}{0!} = -1\)

Para \(s = 1\): \(\text{Res} = \frac{(-1)^2}{1!} = 1\)

Con \(d = 4 - 2\epsilon\), tenemos \(n = 2 - d/2 = \epsilon\).

Contribución de \(s = 0\):

\[ \frac{(-1)}{\Gamma(\epsilon)}\;\Gamma(\epsilon)\;\frac{(m^2)^0}{(Q^2)^{\epsilon}} \cdot \frac{\Gamma(1-\epsilon)\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(2-2\epsilon)} \cdot \frac{1}{(1-x)^{...}} \]

El cálculo se vuelve complejo, por lo que es más ilustrativo obtener directamente los primeros 2 términos para \(d = 4\) (\(\epsilon = 0\)).

Expansión asintótica directa:

Tras la regularización con \(d = 4\), centrándonos en la parte finita en el límite \(\epsilon \to 0\):

\[ I \sim \frac{i}{16\pi^2}\int_0^1 dx\;\ln\frac{\mu^2}{(1-x)[m^2 + xQ^2]} \]

Cuando \(Q^2 \gg m^2\), para la mayor parte del intervalo de \(x\) de 0 a 1 se cumple \(xQ^2 \gg m^2\), por lo que:

\[ \ln\frac{\mu^2}{(1-x)xQ^2}\left[1 + O\!\left(\frac{m^2}{xQ^2}\right)\right] \]

En el cálculo de residuos de Mellin–Barnes, el residuo en \(s = 0\) da el término dominante y el residuo en \(s = 1\) da el término subdominante.

Resultado de los primeros 2 términos:

\[ I(Q^2) = \frac{i}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(\epsilon)}{(Q^2)^\epsilon}\left[\frac{\Gamma^2(1-\epsilon)}{\Gamma(2-2\epsilon)} - \epsilon\;\frac{m^2}{Q^2}\;\frac{\Gamma^2(1-\epsilon)\Gamma(1+\epsilon)}{\Gamma(2-\epsilon)} + O\!\left(\frac{m^4}{Q^4}\right)\right] \]

En el límite \(\epsilon \to 0\):

\[ \frac{\Gamma^2(1-\epsilon)}{\Gamma(2-2\epsilon)} \to \frac{1}{1} = 1 \]

El segundo término, dado que \(\epsilon \cdot \Gamma(\epsilon) = 1 + O(\epsilon)\), deja una contribución finita:

\[ -\frac{m^2}{Q^2}\;\frac{\Gamma^2(1)\Gamma(1)}{\Gamma(2)} = -\frac{m^2}{Q^2} \]

Resultado final

Los primeros 2 términos de la expansión asintótica para \(Q^2 \gg m^2\):

\[ \boxed{I(Q^2) = \frac{i}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(\epsilon)}{(Q^2)^\epsilon}\left[1 - \frac{m^2}{Q^2} + O\!\left(\frac{m^4}{Q^4}\right)\right]} \]

Para \(d = 4\) (\(\epsilon \to 0\)), \(\Gamma(\epsilon) = 1/\epsilon - \gamma_E + O(\epsilon)\), y el polo \(1/\epsilon\) representa la divergencia ultravioleta. En la parte finita aparecen logaritmos \(\ln(Q^2/\mu^2)\) y correcciones en potencias de \(m^2/Q^2\).

Verificación

Límite \(m = 0\): Si hacemos \(m = 0\), entonces \(\Delta = x(1-x)Q^2\), y la integral en \(x\) es:

\[ \int_0^1 dx\;[x(1-x)]^{-\epsilon} = \frac{\Gamma^2(1-\epsilon)}{\Gamma(2-2\epsilon)} \]

Esto coincide con el primer término del resultado anterior.

Análisis dimensional: \([I] = d - 4 = -2\epsilon\). En el lado derecho, \((Q^2)^{-\epsilon}\) tiene dimensión \(-2\epsilon\), lo cual es consistente.

Comparación con la representación de parámetros de Feynman: En el caso \(m = 0\), la integral con parámetros de Feynman puede realizarse analíticamente, dando \(\Gamma^2(1-\epsilon)/\Gamma(2-2\epsilon)\). Se confirma que coincide con el residuo en \(s = 0\) de Mellin–Barnes.