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Cap. 5 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Comparación entre la ecuación de Poisson y la ecuación de ondas

Desarrolla la ecuación de Poisson de Newton

\[ \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho \]

en coordenadas cartesianas tridimensionales \((x, y, z)\) y escribe \(\nabla^2 \Phi\) en términos de las derivadas parciales de \(\Phi\). Además, compárala con la ecuación de ondas que satisface el potencial electromagnético (electromagnetic potential)

\[ \left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

indica qué término falta en la ecuación de Poisson y explica su significado físico.

Pista

\(\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\). La diferencia con la ecuación de ondas radica en la presencia o ausencia del término con la derivada temporal.

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B-2. Aceleración de caída según la masa inercial y la masa gravitacional

Un objeto de masa \(m\) se encuentra en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\). Expresando la masa inercial (inertial mass) como \(m_I\) y la masa gravitacional (gravitational mass) como \(m_G\), expresa la aceleración de caída \(a\) de este objeto en términos de \(m_I\), \(m_G\) y \(g\).

Pista

Resuelve para \(a\) a partir de la ecuación de movimiento \(m_I a = m_G g\).

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B-3. Aproximación lineal del parámetro de Eötvös

Sean \(m_{A,I}\) la masa inercial de la sustancia A, \(m_{A,G}\) su masa gravitacional, \(m_{B,I}\) la masa inercial de la sustancia B y \(m_{B,G}\) su masa gravitacional. Para el parámetro de Eötvös (Eötvös parameter)

\[ \eta \equiv \frac{m_{A,G}/m_{A,I} - m_{B,G}/m_{B,I}}{(m_{A,G}/m_{A,I} + m_{B,G}/m_{B,I})/2} \]

sustituye \(m_{A,G}/m_{A,I} = 1 + \epsilon_A\), \(m_{B,G}/m_{B,I} = 1 + \epsilon_B\) (con \(|\epsilon_A|, |\epsilon_B| \ll 1\)) y aproxima \(\eta\) a primer orden en \(\epsilon_A\) y \(\epsilon_B\).

Pista

El denominador se puede aproximar como \(1 + (\epsilon_A + \epsilon_B)/2 \approx 1\).

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B-4. Velocidad y aceleración en la transformación a coordenadas de caída libre

Para la posición \(\bar{x}(t)\) de una partícula en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\), se aplica la transformación a coordenadas de caída libre

\[ \bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

Expresa la velocidad \(\dot{\bar{x}}' \equiv d\bar{x}'/dt'\) en términos de \(\dot{\bar{x}}\), \(\mathbf{g}\) y \(t\). Además, expresa la aceleración \(\ddot{\bar{x}}'\) en términos de \(\ddot{\bar{x}}\) y \(\mathbf{g}\).

Pista

Como \(t' = t\), se tiene \(d/dt' = d/dt\). Diferencia ambos lados de \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) con respecto a \(t\).

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B-5. Transformación de coordenadas en caída libre cuando \(m_I \neq m_G\)

Figura de referencia: Figura 4.1: Experimento mental del principio de equivalencia

En el cálculo que muestra que la gravedad desaparece en un sistema de referencia en caída libre, consideramos la ecuación de movimiento

\[ m_I \frac{d^2 \bar{x}}{dt^2} = m_G \,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

Cuando \(m_I \neq m_G\), aplica la transformación de coordenadas \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) y obtén la ecuación de movimiento transformada. Demuestra que el término gravitatorio no se cancela por completo.

Pista

Al sustituir \(\ddot{\bar{x}}' = \ddot{\bar{x}} - \mathbf{g}\), se obtiene \(m_I(\ddot{\bar{x}}' + \mathbf{g}) = m_G \mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}}\). Cuando \(m_I \neq m_G\), ¿qué término permanece?

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B-6. Tiempo de viaje de la luz y velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo

Se emite luz desde la cima de una torre (altura \(h\)) hacia el suelo. Desde el punto de vista de un observador en caída libre, expresa de forma aproximada el tiempo \(\Delta t\) que tarda la luz en alcanzar el suelo en términos de \(h\) y \(c\). Además, expresa la velocidad \(v\) que adquiere el dispositivo en el suelo respecto al sistema en caída libre durante ese intervalo, en términos de \(g\), \(h\) y \(c\).

Pista

El tiempo de viaje de la luz es \(\Delta t \approx h/c\). El dispositivo en el suelo se acelera con aceleración \(g\) respecto al sistema en caída libre.

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B-7. Frecuencia de la luz vista desde el efecto Doppler

Como aproximación no relativista del efecto Doppler de la relatividad especial (special relativity), la frecuencia \(\nu\) recibida por un observador que se acerca a la fuente de luz con velocidad \(v\) (\(v \ll c\)) viene dada por

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' \]

(donde \(\nu'\) es la frecuencia de la fuente de luz). Sustituye el resultado de Problema B-6. Tiempo de viaje de la luz y velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo y expresa la frecuencia de la luz \(\nu\) recibida en el suelo en términos de \(\nu'\), \(g\), \(h\) y \(c\).

Pista

Sustituye directamente \(v = gh/c\) obtenido en Problema B-6. Tiempo de viaje de la luz y velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo.

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B-8. Fórmula del corrimiento al rojo gravitacional en forma de potencial

La fórmula del corrimiento al rojo gravitacional (gravitational redshift)

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{g h}{c^2} \]

representa el cambio de frecuencia cuando se envía luz desde el suelo hasta la cima. Utilizando el potencial gravitatorio (gravitational potential) general \(\Phi\), entre dos lugares con una diferencia de potencial \(\Delta\Phi\) se puede escribir

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

Verifica que las dos fórmulas anteriores son consistentes cuando se considera un campo gravitatorio uniforme con \(\Phi = gh\) (tomando el suelo como referencia).

Pista

Sustituye \(\Delta\Phi = \Phi_{\text{top}} - \Phi_{\text{bottom}} = gh - 0 = gh\).

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Intermedio

M-1. Experimento de caída libre en un ascensor con diferentes sustancias

Supón que la masa inercial \(m_I\) y la masa gravitatoria \(m_G\) toman valores diferentes según la sustancia. Explica qué se observaría si, dentro de un ascensor en caída libre, se sueltan simultáneamente de la mano una bola de hierro y una bola de aluminio. Indica también por qué esto implicaría una violación del principio de equivalencia.

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M-2. Principio de equivalencia en sistemas de múltiples partículas

\(N\) partículas se encuentran en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\), y entre ellas actúan fuerzas no gravitatorias \(\bar{F}\). Cuando la masa inercial y la masa gravitatoria son iguales (\(m_I = m_G = m\)), demuestra que al aplicar la transformación a coordenadas de caída libre

\[ \bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

el término gravitatorio desaparece simultáneamente de las ecuaciones de movimiento de todas las partículas. Además, explica por qué este argumento falla en el caso \(m_{I} \neq m_{G}\).

Pista

Escribe la ecuación de movimiento de la \(i\)-ésima partícula y verifica la condición para que el término gravitatorio se cancele tras la transformación de coordenadas. ¿Qué ocurre si la razón \(m_G/m_I\) es diferente para cada partícula?

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M-3. Fuerza de marea y localidad del principio de equivalencia

Responde a las siguientes preguntas sobre la fuerza de marea (tidal force).

(a) La aceleración gravitatoria a una distancia \(r\) del centro de la Tierra es \(g(r) = GM/r^2\). En un sistema en caída libre situado a una distancia \(r_0\) del centro de la Tierra, expresa la diferencia de aceleración gravitatoria (aceleración de marea) \(\delta g\) en un punto separado una distancia infinitesimal \(\delta r\) de \(r_0\), en términos de \(G\), \(M\), \(r_0\) y \(\delta r\).

(b) Explica cuantitativamente, utilizando el resultado de (a), qué significa que el principio de equivalencia sea válido únicamente en una "región suficientemente pequeña".

Pista

(a) Desarrolla \(g(r_0 + \delta r)\) en serie de Taylor respecto a \(\delta r\). (b) Expresa la condición de que la aceleración de marea sea despreciable como una restricción sobre \(\delta r\).

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M-4. Derivación del corrimiento al rojo gravitacional a partir del principio de equivalencia

Utilizando el principio de equivalencia (equivalence principle), deriva la fórmula del corrimiento al rojo gravitacional

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2} \]

Sigue los pasos indicados a continuación.

(a) Establece un observador que comienza a caer libremente en el instante en que se emite luz desde la cima de una torre, y explica mediante el principio de equivalencia por qué este observador se encuentra en un sistema inercial.

(b) Determina el tiempo \(\Delta t\) que tarda la luz en llegar al suelo y la velocidad \(v\) que el aparato en el suelo adquiere respecto al sistema en caída libre durante ese intervalo.

(c) Aplica la aproximación no relativista del efecto Doppler para derivar el cambio de frecuencia cuando se envía luz desde el suelo hacia la cima.

Pista

Reformula el experimento mental del ascensor presentado en el texto, sustituyéndolo por la configuración de la torre y la luz. El punto clave es que en el sistema en caída libre se puede aplicar la relatividad especial.

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M-5. Desfase de relojes en el Tokyo Skytree

Estima el desfase de relojes por día entre la cima del Tokyo Skytree, a una altura de \(h = 450\) m, y el suelo. Usa \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\) y \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

Pista

Usa \(\Delta\nu/\nu \approx gh/c^2\) y, tomando 1 día = 86400 segundos, expresa el desfase en nanosegundos.

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M-6. Cambio de interpretación entre la mecánica newtoniana y la relatividad general

En la mecánica newtoniana se interpreta que "el observador en reposo sobre el suelo se encuentra en un sistema inercial, y sobre la manzana que cae actúa una fuerza llamada gravedad". Explica cómo cambia esta interpretación en la relatividad general, utilizando todos los siguientes términos: caída libre, movimiento inercial, geodésica (geodesic), curvatura del espacio-tiempo (curvature).

Pista

En la relatividad general, "moverse sin recibir fuerzas = seguir una geodésica = estar en caída libre", y es la persona que está de pie sobre el suelo la que se encuentra acelerada.

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Avanzado

A-1. Corrección de la métrica deducida del corrimiento al rojo gravitacional

Combinando el principio de equivalencia con los conocimientos de relatividad especial, discute lo siguiente.

Un objeto de masa en reposo \(m\) es elevado desde una posición con potencial gravitatorio \(\Phi_1\) hasta una posición con potencial \(\Phi_2\) (\(\Phi_2 > \Phi_1\)).

(a) A partir del resultado del corrimiento al rojo gravitacional, explica por qué la relación entre el tiempo propio (proper time) \(d\tau\) de un reloj situado en una posición con potencial \(\Phi\) y el tiempo coordenado \(dt\) en el infinito (\(\Phi = 0\)) puede escribirse como

\[ d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) dt \]

(en la aproximación \(|\Phi|/c^2 \ll 1\)).

(b) Utilizando este resultado, expresa cómo se modifica la métrica de Minkowski \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) en presencia de un campo gravitatorio débil, en términos del cambio en la componente \(g_{00}\).

(c) El resultado de (b) constituye el primer indicio de que «el espaciotiempo en presencia de un campo gravitatorio no es un espaciotiempo de Minkowski», es decir, de que el espaciotiempo está curvado. Discute cómo este argumento entra en contradicción con el concepto de sistema de Lorentz de Cap. 3, y por qué la extensión hacia la relatividad general resulta inevitable.

Pista

(a) La razón de frecuencias corresponde a la razón inversa de los tiempos propios. (b) Para la línea de mundo de una partícula en reposo se tiene \(dx = dy = dz = 0\), de modo que \(ds^2 = -c^2 d\tau^2\). (c) Que \(g_{00}\) dependa de la posición significa que la métrica no tiene forma de Minkowski.

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A-2. Correcciones relativistas de los satélites GPS

Un observador A se encuentra de pie en la superficie de la Tierra (masa \(M\), radio \(R\)), y un observador B viaja en un satélite que orbita en movimiento circular uniforme a una altura \(H\) sobre la superficie.

(a) Debido al efecto del corrimiento al rojo gravitacional, ¿cuánto más rápido avanza el reloj de B respecto al reloj de A por cada segundo? Utilizando la diferencia de potencial

\[ \Delta\Phi = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+H}\right) = \frac{gR^2 H}{R(R+H)} \]

encuentra la razón \(\Delta\tau_{\text{grav}}/\Delta t\). (Nota: en el caso \(H \ll R\) se reduce a \(\Delta\Phi \approx gH\), pero para los satélites GPS se tiene \(H \approx 3.2R\), por lo que esta aproximación no es válida.)

(b) Debido al efecto de la dilatación del tiempo (time dilation) de la relatividad especial estudiado en Cap. 3, ¿cuánto más lento avanza el reloj del satélite que se mueve con velocidad orbital \(v = \sqrt{gR^2/(R+H)} \approx \sqrt{g(R+H)}\) respecto a A? Suponiendo \(v \ll c\), encuentra la razón \(\Delta\tau_{\text{SR}}/\Delta t\).

(c) Para el caso de un satélite GPS (\(H \approx 20{,}200\;\text{km}\)), compara las magnitudes de los efectos (a) y (b), y determina cuál es el dominante. Utiliza según sea necesario \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\), \(R \approx 6{,}370\;\text{km}\), \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

Pista

(a) \(\Delta\tau_{\text{grav}}/\Delta t \approx \Delta\Phi/c^2 = gRH/[c^2(R+H)]\). (b) La dilatación del tiempo de la relatividad especial es \(\Delta\tau_{\text{SR}}/\Delta t \approx -v^2/(2c^2)\). (c) Sustituye los valores numéricos y compara. Presta atención a los signos: el efecto gravitacional adelanta el reloj, mientras que el efecto de la velocidad lo atrasa.

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