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Cap. 2 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Subida y bajada de índices

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Estrategia de resolución

Se calcula \(V_\mu = \eta_{\mu\nu} V^\nu\) para cada componente. Como \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1, -1, -1, -1)\) es una matriz diagonal, cada componente se obtiene simplemente multiplicando por el signo correspondiente.

Cálculo

\[ V_0 = \eta_{00} V^0 = (+1)(5) = 5 \]
\[ V_1 = \eta_{11} V^1 = (-1)(1) = -1 \]
\[ V_2 = \eta_{22} V^2 = (-1)(-2) = 2 \]
\[ V_3 = \eta_{33} V^3 = (-1)(3) = -3 \]

Respuesta final

\[ V_\mu = (5, -1, 2, -3) \]

Verificación

Comprobamos que al subir de nuevo los índices se recupera el vector original. De \(V^\mu = \eta^{\mu\nu} V_\nu\) se obtiene \(V^0 = (+1)(5) = 5\), \(V^1 = (-1)(-1) = 1\), \(V^2 = (-1)(2) = -2\), \(V^3 = (-1)(-3) = 3\). Esto coincide con el \(V^\mu = (5, 1, -2, 3)\) original. ✓

B-2. Producto escalar de cuadrivectores

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Estrategia de resolución

Calculamos el producto interno invariante de Lorentz mediante \(A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3\).

Cálculo

\[ A^\mu B_\mu = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 \]
\[ = (4)(2) - (1)(3) - (0)(1) - (-1)(0) \]
\[ = 8 - 3 - 0 - 0 = 5 \]

Respuesta final

\[ A^\mu B_\mu = 5 \]

Verificación

Como método alternativo, primero obtenemos \(B_\mu\) y luego realizamos la contracción. \(B_\mu = (2, -3, -1, 0)\).

\[ A^\mu B_\mu = A^0 B_0 + A^1 B_1 + A^2 B_2 + A^3 B_3 = (4)(2) + (1)(-3) + (0)(-1) + (-1)(0) = 8 - 3 + 0 + 0 = 5 \]

Coincide. ✓

B-3. Expansión de la convención de suma de Einstein

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Estrategia de resolución

Como \(\eta_{\mu\nu}\) es una matriz diagonal, todos los términos con \(\mu \neq \nu\) son cero. Solo quedan los 4 términos con \(\mu = \nu\).

Cálculo

\[ \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu = \sum_{\mu=0}^{3} \sum_{\nu=0}^{3} \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu \]

Dado que \(\eta_{\mu\nu} \neq 0\) solo cuando \(\mu = \nu\):

\[ = \eta_{00} A^0 B^0 + \eta_{11} A^1 B^1 + \eta_{22} A^2 B^2 + \eta_{33} A^3 B^3 \]

Respuesta final

\[ \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu = (+1) A^0 B^0 + (-1) A^1 B^1 + (-1) A^2 B^2 + (-1) A^3 B^3 = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 \]

Verificación

Esto es exactamente la fórmula del producto interno utilizada en D2, y coincide con \(A^\mu B_\mu\). ✓

B-4. Aplicación del boost de Lorentz

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Estrategia de resolución

Para \(v = 3/5\), calculamos el factor de Lorentz \(\gamma\) y sustituimos en las ecuaciones de transformación \(t' = \gamma(t - vx)\), \(x' = \gamma(x - vt)\).

Cálculo

\[ v^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]
\[ 1 - v^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{\sqrt{16/25}} = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4} \]

Sustituyendo \((t, x) = (5, 3)\):

\[ t' = \gamma(t - vx) = \frac{5}{4}\left(5 - \frac{3}{5} \cdot 3\right) = \frac{5}{4}\left(5 - \frac{9}{5}\right) = \frac{5}{4} \cdot \frac{25 - 9}{5} = \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{5} = \frac{16}{4} = 4 \]
\[ x' = \gamma(x - vt) = \frac{5}{4}\left(3 - \frac{3}{5} \cdot 5\right) = \frac{5}{4}\left(3 - 3\right) = \frac{5}{4} \cdot 0 = 0 \]

Respuesta final

\[ (t', x') = (4, 0) \]

Verificación

Comprobamos que el intervalo invariante se conserva.

  • Antes de la transformación: \(t^2 - x^2 = 25 - 9 = 16\)
  • Después de la transformación: \(t'^2 - x'^2 = 16 - 0 = 16\)

Coinciden. ✓

Interpretación física: El hecho de que \(x' = 0\) significa que el punto espacio-temporal original \((5, 3)\) se encuentra sobre el origen del sistema de referencia inercial boosteado. En efecto, \(x = vt = (3/5) \times 5 = 3\), lo que confirma que el punto está sobre la línea de mundo del origen del sistema boosteado.

B-5. Cálculo de la rapidez

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Estrategia de resolución

A partir de \(v = \tanh\beta\), calculamos \(\beta = \text{arctanh}(v) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\).

Cálculo

Sustituyendo \(v = 4/5\):

\[ \beta = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + 4/5}{1 - 4/5} = \frac{1}{2}\ln\frac{9/5}{1/5} = \frac{1}{2}\ln 9 = \frac{1}{2} \cdot 2\ln 3 = \ln 3 \]

Verificación de \(\cosh\beta\) y \(\sinh\beta\):

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 16/25}} = \frac{1}{\sqrt{9/25}} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3} \]
\[ \cosh\beta = \gamma = \frac{5}{3} \]
\[ \sinh\beta = \gamma v = \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{3} \]

Respuesta final

\[ \beta = \ln 3 \]
\[ \cosh\beta = \frac{5}{3}, \qquad \sinh\beta = \frac{4}{3} \]

Comprobación

\(\cosh^2\beta - \sinh^2\beta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} - \frac{16}{9} = \frac{9}{9} = 1\) ✓

\(\tanh\beta = \frac{\sinh\beta}{\cosh\beta} = \frac{4/3}{5/3} = \frac{4}{5} = v\) ✓

De \(e^\beta = e^{\ln 3} = 3\) se obtiene \(\cosh\beta = \frac{3 + 1/3}{2} = \frac{10/3}{2} = \frac{5}{3}\) ✓

B-6. Práctica de contracción de índices

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Estrategia de resolución

La delta de Kronecker cumple el papel de "reemplazar índices". El producto de tensores métricos se resuelve usando la relación de matriz inversa.

Cálculo

Primera expresión:

\[ \delta^\mu{}_\nu A^\nu = A^\mu \]

Al sumar sobre \(\nu\), dado que \(\delta^\mu{}_\nu\) vale 1 solo cuando \(\nu = \mu\), en la suma solo sobrevive el término con \(\nu = \mu\), y el resultado es \(A^\mu\).

Segunda expresión:

\[ \eta_{\mu\nu} \eta^{\nu\rho} = \delta_\mu{}^\rho \]

\(\eta_{\mu\nu}\) y \(\eta^{\nu\rho}\) están en relación de matrices inversas entre sí (el producto matricial \(\eta \cdot \eta^{-1} = I\)). En el caso de la métrica de Minkowski, \(\eta^{-1} = \eta\), por lo que verificando explícitamente:

\[ \eta_{\mu\nu} \eta^{\nu\rho} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1) \cdot \text{diag}(+1,-1,-1,-1) = \text{diag}(+1,+1,+1,+1) = \delta_\mu{}^\rho \]

Respuesta final

\[ \delta^\mu{}_\nu A^\nu = A^\mu \]
\[ \eta_{\mu\nu} \eta^{\nu\rho} = \delta_\mu{}^\rho \]

Verificación

Comprobamos la segunda expresión con componentes concretas. Para el caso \(\mu = 1\), \(\rho = 1\):

\[ \eta_{1\nu} \eta^{\nu 1} = \eta_{10}\eta^{01} + \eta_{11}\eta^{11} + \eta_{12}\eta^{21} + \eta_{13}\eta^{31} = 0 + (-1)(-1) + 0 + 0 = 1 = \delta_1{}^1 \]

Para el caso \(\mu = 0\), \(\rho = 1\):

\[ \eta_{0\nu} \eta^{\nu 1} = \eta_{00}\eta^{01} + \eta_{01}\eta^{11} + \eta_{02}\eta^{21} + \eta_{03}\eta^{31} = (1)(0) + 0 + 0 + 0 = 0 = \delta_0{}^1 \]

✓

B-7. Representación en funciones hiperbólicas de la matriz de boost

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Estrategia de resolución

A partir de \(\beta = \ln 2\), calculamos \(\cosh\beta\) y \(\sinh\beta\), y luego realizamos el producto matriz-vector.

Cálculo

\[ e^\beta = e^{\ln 2} = 2, \qquad e^{-\beta} = \frac{1}{2} \]
\[ \cosh\beta = \frac{e^\beta + e^{-\beta}}{2} = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4} \]
\[ \sinh\beta = \frac{e^\beta - e^{-\beta}}{2} = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} \]

Para \(x^\mu = (3, 1, 0, 0)\):

\[ x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu \]
\[ x'^0 = \cosh\beta \cdot x^0 + (-\sinh\beta) \cdot x^1 = \frac{5}{4} \cdot 3 + \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot 1 = \frac{15}{4} - \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ x'^1 = (-\sinh\beta) \cdot x^0 + \cosh\beta \cdot x^1 = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot 3 + \frac{5}{4} \cdot 1 = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \]
\[ x'^2 = x^2 = 0, \qquad x'^3 = x^3 = 0 \]

Respuesta final

\[ x'^\mu = (3, -1, 0, 0) \]

Verificación

Conservación del intervalo invariante:

  • Antes de la transformación: \(\eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu = 3^2 - 1^2 - 0 - 0 = 9 - 1 = 8\)
  • Después de la transformación: \(\eta_{\mu\nu} x'^\mu x'^\nu = 3^2 - (-1)^2 - 0 - 0 = 9 - 1 = 8\)

Coinciden. ✓

B-8. Análisis dimensional en unidades naturales

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Estrategia de resolución

De \(c = 1\) se obtiene \([\text{longitud}] = [\text{tiempo}]\). De \(\hbar = 1\) se obtiene \([\text{energía}] \cdot [\text{tiempo}] = 1\) (adimensional). Por lo tanto \([\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1} = [\text{mass}]^{-1}\).

Cálculo

Consecuencia de \(c = 1\): \([L] = [T]\) (longitud y tiempo tienen la misma dimensión)

Consecuencia de \(\hbar = 1\): \([E][T] = 1\), por lo que \([T] = [E]^{-1}\)

De \(E = mc^2 = m\) (unidades naturales) se tiene \([E] = [M]\)

Combinando todo:

(a) Longitud: \([L] = [T] = [E]^{-1} = [M]^{-1}\)

\[ [\text{longitud}] = [\text{mass}]^{-1} \]

(b) Tiempo: \([T] = [E]^{-1} = [M]^{-1}\)

\[ [\text{tiempo}] = [\text{mass}]^{-1} \]

(c) Energía: \([E] = [M]\)

\[ [\text{energía}] = [\text{mass}]^{+1} \]

(d) Momento: De \(E^2 = p^2 + m^2\) se obtiene \([p] = [E] = [M]\)

\[ [\text{momento}] = [\text{mass}]^{+1} \]

(e) Fuerza: Fuerza = energía / longitud = \([M] / [M]^{-1} = [M]^2\)

\[ [\text{fuerza}] = [\text{mass}]^{+2} \]

Respuesta final

Magnitud física Dimensión en unidades naturales
(a) Longitud \([\text{mass}]^{-1}\)
(b) Tiempo \([\text{mass}]^{-1}\)
(c) Energía \([\text{mass}]^{+1}\)
(d) Momento \([\text{mass}]^{+1}\)
(e) Fuerza \([\text{mass}]^{+2}\)

Verificación

Comprobamos en el sistema SI. \([\hbar] = \text{J} \cdot \text{s} = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}\), \([c] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Longitud: \(\hbar c / E\) tiene dimensiones de longitud. \([\hbar c / E] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}}{\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} = \text{m}\). En unidades naturales, con \(\hbar = c = 1\), se tiene \([L] = [E]^{-1} = [M]^{-1}\). ✓

Fuerza: \([F] = [E]/[L] = [M]/[M]^{-1} = [M]^2\). En SI, \(\text{N} = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\). Con \(\hbar = c = 1\), la combinación SI correspondiente a \([M]^2\) es \(m^2 c^3/\hbar\), cuya dimensión es \(\text{kg}^2 \cdot \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-3} / (\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}) = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} = \text{N}\). ✓

Intermedio

M-1. Derivación de la condición sobre la matriz de transformación de Lorentz

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Estrategia de resolución

Se sustituye la transformación de Lorentz \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha x^\alpha\) en la condición de preservación del intervalo invariante \(\eta_{\mu\nu} x'^\mu x'^\nu = \eta_{\alpha\beta} x^\alpha x^\beta\), y se deduce la condición que debe cumplirse para todo \(x^\alpha\) arbitrario.

Desarrollo del cálculo

Paso 1: Preservación del intervalo invariante

Intervalo invariante después de la transformación:

\[ \eta_{\mu\nu} x'^\mu x'^\nu = \eta_{\mu\nu} (\Lambda^\mu{}_\alpha x^\alpha)(\Lambda^\nu{}_\beta x^\beta) = \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta\, x^\alpha x^\beta \]

Esto debe ser igual al intervalo invariante antes de la transformación \(\eta_{\alpha\beta} x^\alpha x^\beta\):

\[ \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta\, x^\alpha x^\beta = \eta_{\alpha\beta}\, x^\alpha x^\beta \]

Para que esto se cumpla para todo \(x^\alpha\) arbitrario, los coeficientes de \(x^\alpha x^\beta\) deben ser iguales:

\[ \boxed{\eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}} \tag{*} \]

Paso 2: Representación matricial

Reescribimos la ecuación \((*)\) en lenguaje matricial. Observando que \((\Lambda^T)_{\alpha}{}^{\mu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\), el lado izquierdo corresponde a la componente \((\alpha, \beta)\) del producto matricial \(\Lambda^T \eta \Lambda\). Por lo tanto:

\[ \Lambda^T \eta \Lambda = \eta \]

Paso 3: Derivación de \(\det\Lambda = \pm 1\)

Tomamos el determinante de ambos lados:

\[ \det(\Lambda^T \eta \Lambda) = \det(\eta) \]

Desarrollamos el lado izquierdo:

\[ \det(\Lambda^T) \cdot \det(\eta) \cdot \det(\Lambda) = \det(\eta) \]

Como \(\det(\Lambda^T) = \det(\Lambda)\):

\[ (\det\Lambda)^2 \cdot \det(\eta) = \det(\eta) \]

Dividiendo ambos lados por \(\det(\eta) = -1 \neq 0\):

\[ (\det\Lambda)^2 = 1 \]
\[ \boxed{\det\Lambda = \pm 1} \]

Respuesta final

La condición de la transformación de Lorentz es \(\eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}\) (en representación matricial \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\)), y de esto se deduce que \(\det\Lambda = \pm 1\).

Verificación

Comprobamos con la matriz del boost en la dirección \(x\):

\[ \Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v \\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix} \]

(Se omiten las componentes \(y, z\) y se considera el caso \(2 \times 2\))

\[ \det\Lambda = \gamma^2 - \gamma^2 v^2 = \gamma^2(1 - v^2) = \frac{1}{1-v^2}(1-v^2) = 1 \]

✓

Calculamos \(\Lambda^T \eta \Lambda\) (parte \(2 \times 2\)):

\[ \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v \\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v \\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma v \\ -\gamma v & -\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v \\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} \gamma^2 - \gamma^2 v^2 & -\gamma^2 v + \gamma^2 v \\ -\gamma^2 v + \gamma^2 v & \gamma^2 v^2 - \gamma^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \eta \]

✓

M-2. Aditividad de la rapidez

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Estrategia de resolución

Calculamos el producto de las matrices de boost con rapideces \(\beta_1\) y \(\beta_2\), y utilizamos los teoremas de adición de funciones hiperbólicas para demostrar que la rapidez del boost compuesto es \(\beta_1 + \beta_2\).

Detalles del cálculo

Paso 1: Producto de las matrices de boost

Matriz de boost en la dirección \(x\) (escribimos solo la parte \(2 \times 2\), ya que las componentes \(y, z\) permanecen invariantes):

\[ \Lambda(\beta) = \begin{pmatrix} \cosh\beta & -\sinh\beta \\ -\sinh\beta & \cosh\beta \end{pmatrix} \]

Composición de dos boosts:

\[ \Lambda(\beta_2)\Lambda(\beta_1) = \begin{pmatrix} \cosh\beta_2 & -\sinh\beta_2 \\ -\sinh\beta_2 & \cosh\beta_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh\beta_1 & -\sinh\beta_1 \\ -\sinh\beta_1 & \cosh\beta_1 \end{pmatrix} \]

Componente \((0,0)\):

\[ \cosh\beta_2 \cosh\beta_1 + (-\sinh\beta_2)(-\sinh\beta_1) = \cosh\beta_2 \cosh\beta_1 + \sinh\beta_2 \sinh\beta_1 = \cosh(\beta_1 + \beta_2) \]

Componente \((0,1)\):

\[ \cosh\beta_2(-\sinh\beta_1) + (-\sinh\beta_2)\cosh\beta_1 = -(\sinh\beta_1 \cosh\beta_2 + \cosh\beta_1 \sinh\beta_2) = -\sinh(\beta_1 + \beta_2) \]

Componente \((1,0)\):

\[ (-\sinh\beta_2)\cosh\beta_1 + \cosh\beta_2(-\sinh\beta_1) = -(\sinh\beta_2 \cosh\beta_1 + \cosh\beta_2 \sinh\beta_1) = -\sinh(\beta_1 + \beta_2) \]

Componente \((1,1)\):

\[ (-\sinh\beta_2)(-\sinh\beta_1) + \cosh\beta_2 \cosh\beta_1 = \sinh\beta_1 \sinh\beta_2 + \cosh\beta_1 \cosh\beta_2 = \cosh(\beta_1 + \beta_2) \]

Por lo tanto:

\[ \Lambda(\beta_2)\Lambda(\beta_1) = \begin{pmatrix} \cosh(\beta_1+\beta_2) & -\sinh(\beta_1+\beta_2) \\ -\sinh(\beta_1+\beta_2) & \cosh(\beta_1+\beta_2) \end{pmatrix} = \Lambda(\beta_1 + \beta_2) \]

Queda demostrada la aditividad de la rapidez.

Paso 2: Derivación de la regla de composición de velocidades

Sean \(v_1 = \tanh\beta_1\), \(v_2 = \tanh\beta_2\). La velocidad de la transformación compuesta es:

\[ v = \tanh(\beta_1 + \beta_2) \]

Aplicamos el teorema de adición de \(\tanh\):

\[ v = \tanh(\beta_1 + \beta_2) = \frac{\tanh\beta_1 + \tanh\beta_2}{1 + \tanh\beta_1 \tanh\beta_2} \]
\[ \boxed{v = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2}} \]

Respuesta final

Mediante el producto de matrices de boost se demuestra que \(\Lambda(\beta_2)\Lambda(\beta_1) = \Lambda(\beta_1 + \beta_2)\), es decir, la rapidez es aditiva. A partir de esto se deriva la regla relativista de composición de velocidades \(v = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2}\).

Verificación

Caso especial 1: Cuando \(v_1 = v_2 = 0\), se obtiene \(v = 0\). ✓

Caso especial 2: Cuando \(v_2 = 1\) (velocidad de la luz), \(v = \frac{v_1 + 1}{1 + v_1} = 1\). Cualquier velocidad sumada a la de la luz da la velocidad de la luz. ✓

Caso especial 3: Cuando \(v_1, v_2 \ll 1\), se tiene \(v \approx v_1 + v_2\) (límite de la transformación de Galilei). ✓

Caso especial 4: Cuando \(v_1 = v_2 = 3/5\), se obtiene \(v = \frac{6/5}{1 + 9/25} = \frac{6/5}{34/25} = \frac{6}{5} \cdot \frac{25}{34} = \frac{150}{170} = \frac{15}{17} < 1\). No se supera la velocidad de la luz. ✓

M-3. Cuadrimomento y condición de capa de masa

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(a) Derivación de la condición de capa de masa

Estrategia de resolución: Calcular \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu\) e igualarlo a \(m^2\).

Cálculo:

\[ p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = (p^0)^2 - (p^1)^2 - (p^2)^2 - (p^3)^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2 \]

La condición de capa de masa \(p^\mu p_\mu = m^2\) es:

\[ E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2 \]
\[ \boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

Esta es la relación relativista energía-momento en unidades naturales (\(c = 1\)).

(b) Partículas sin masa

Sustituyendo \(m = 0\):

\[ E^2 = |\mathbf{p}|^2 \]
\[ \boxed{E = |\mathbf{p}|} \]

Para partículas sin masa (como el fotón), la energía y la magnitud del momento son iguales. El cuadrimomento satisface \(p^\mu p_\mu = 0\) y se encuentra sobre el cono de luz (vector nulo, vector de tipo luz).

(c) Derivación de \(E = \gamma m\), \(p_x = \gamma m v\) mediante un boost

Cálculo:

El cuadrimomento es un cuadrivector, por lo que obedece la misma ley de transformación de Lorentz que las coordenadas:

\[ p'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu p^\nu \]

En el sistema en reposo, \(p^\mu_{\text{rest}} = (m, 0, 0, 0)\) (\(E = m\), \(\mathbf{p} = 0\)).

Aplicamos un boost en la dirección \(x\) con velocidad \(v\) (transformando al sistema donde la partícula se mueve con velocidad \(v\)). Aquí consideramos la transformación inversa (del sistema en reposo al sistema en movimiento). Es decir, transformamos al sistema donde la partícula se observa moviéndose con velocidad \(v\):

\[ E = \gamma(E_{\text{rest}} + v \cdot 0) = \gamma m \]
\[ p_x = \gamma(0 + v \cdot E_{\text{rest}}) = \gamma m v \]

Más precisamente, consideramos la transformación del sistema en reposo de la partícula \(S'\) al sistema del laboratorio \(S\). En \(S'\), \(p'^\mu = (m, 0, 0, 0)\). Como \(S'\) se mueve con velocidad \(v\) respecto a \(S\), el boost de \(S\) a \(S'\) es con velocidad \(v\). La transformación inversa (de \(S'\) a \(S\)) es con velocidad \(-v\):

\[ p^0 = \gamma(p'^0 - (-v)p'^1) = \gamma(m + 0) = \gamma m \]
\[ p^1 = \gamma(p'^1 - (-v)p'^0) = \gamma(0 + vm) = \gamma mv \]

Respuesta final

\[ \boxed{E = \gamma m, \qquad p_x = \gamma m v} \]

Verificación

Comprobamos la condición de capa de masa:

\[ E^2 - p_x^2 = \gamma^2 m^2 - \gamma^2 m^2 v^2 = \gamma^2 m^2(1 - v^2) = \frac{m^2}{1-v^2}(1-v^2) = m^2 \]

✓

Límite no relativista \(v \ll 1\): con \(\gamma \approx 1 + v^2/2\) se obtiene \(E \approx m + \frac{1}{2}mv^2\) (energía en reposo + energía cinética), \(p_x \approx mv\) (momento clásico). ✓

M-4. Estructura de grupo de las transformaciones de Lorentz

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Estrategia de resolución

Se verifican uno por uno los 4 axiomas de grupo utilizando la condición de Lorentz \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\).

Detalles del cálculo

(i) Clausura

Supongamos que \(\Lambda_1\) y \(\Lambda_2\) son ambas transformaciones de Lorentz, es decir, satisfacen \(\Lambda_1^T \eta \Lambda_1 = \eta\) y \(\Lambda_2^T \eta \Lambda_2 = \eta\). Para la transformación compuesta \(\Lambda_3 = \Lambda_1 \Lambda_2\):

\[ \Lambda_3^T \eta \Lambda_3 = (\Lambda_1 \Lambda_2)^T \eta (\Lambda_1 \Lambda_2) = \Lambda_2^T \Lambda_1^T \eta \Lambda_1 \Lambda_2 \]

Sustituyendo \(\Lambda_1^T \eta \Lambda_1 = \eta\):

\[ = \Lambda_2^T \eta \Lambda_2 = \eta \]

Por lo tanto, \(\Lambda_3 = \Lambda_1 \Lambda_2\) también es una transformación de Lorentz. ✓

(ii) Asociatividad

Dado que las transformaciones de Lorentz se representan mediante productos de matrices, la asociatividad del producto matricial se aplica directamente:

\[ (\Lambda_1 \Lambda_2)\Lambda_3 = \Lambda_1(\Lambda_2 \Lambda_3) \]

✓

(iii) Existencia del elemento identidad

Para la transformación identidad \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu\) (es decir, la matriz identidad \(I\)):

\[ I^T \eta I = \eta \]

Esto se cumple trivialmente. Por lo tanto, la matriz identidad satisface la condición de transformación de Lorentz. ✓

(iv) Existencia del elemento inverso

Dado que \(\det\Lambda = \pm 1 \neq 0\), \(\Lambda\) es una matriz regular y existe su inversa \(\Lambda^{-1}\).

Demostremos que \(\Lambda^{-1}\) satisface la condición de Lorentz. Partimos de \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\). Tomando la inversa de ambos lados:

\[ (\Lambda^T \eta \Lambda)^{-1} = \eta^{-1} \]
\[ \Lambda^{-1} \eta^{-1} (\Lambda^T)^{-1} = \eta^{-1} \]

Usando \(\eta^{-1} = \eta\) (la métrica de Minkowski es su propia inversa) y \((\Lambda^T)^{-1} = (\Lambda^{-1})^T\):

\[ \Lambda^{-1} \eta (\Lambda^{-1})^T = \eta \]

Tomando la transpuesta:

\[ (\Lambda^{-1})^T \eta \Lambda^{-1} = \eta \]

(ya que \(\eta\) es una matriz simétrica, \(\eta^T = \eta\))

Esto demuestra que \(\Lambda^{-1}\) satisface la condición de Lorentz. ✓

Sobre el grupo de Lorentz propio ortocrono \(SO^+(1,3)\):

Las transformaciones de Lorentz se clasifican en 4 componentes conexas según los valores de \(\det\Lambda\) y \(\Lambda^0{}_0\):

\(\det\Lambda = +1\) \(\det\Lambda = -1\)
\(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) Propio ortocrono \(SO^+(1,3)\) Incluye inversión espacial
\(\Lambda^0{}_0 \leq -1\) Incluye inversión temporal Incluye inversión espacio-temporal

La condición \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) se deriva del hecho de que la componente \((0,0)\) de la condición de Lorentz \((\Lambda^0{}_0)^2 - \sum_i (\Lambda^i{}_0)^2 = 1\) implica \(|\Lambda^0{}_0| \geq 1\).

\(SO^+(1,3)\) es la componente conexa que contiene la transformación identidad y consiste únicamente en transformaciones que pueden conectarse continuamente con la identidad. Concretamente: - 3 rotaciones espaciales (rotaciones en los planos \(xy\), \(yz\), \(zx\), 3 parámetros) - 3 boosts (direcciones \(x\), \(y\), \(z\), 3 parámetros)

Es un grupo continuo con un total de 6 parámetros. La inversión espacial \(P\) (\(\det P = -1\), \(P^0{}_0 = +1\)) y la inversión temporal \(T\) (\(\det T = -1\), \(T^0{}_0 = -1\)) son transformaciones discretas que no pueden conectarse con la identidad mediante deformaciones continuas, y no están incluidas en \(SO^+(1,3)\).

Verificación

Comprobación del número de parámetros: el número de componentes independientes de un tensor antisimétrico \(\omega_{\mu\nu}\) de \(4 \times 4\) es \(\frac{4 \times 3}{2} = 6\). Esto coincide con 3 rotaciones + 3 boosts = 6 parámetros. ✓

Avanzado

A-1. Reglas de transformación de tensores contravariantes y covariantes, y aplicación al tensor de campo electromagnético

→ Volver al problema

(a) Ley de transformación de un tensor contravariante de rango 2

Explicación:

La ley de transformación de un 4-vector es \(V'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu\). Considerando el producto tensorial \(A^\mu B^\nu\) de dos 4-vectores \(A^\mu\) y \(B^\nu\), su ley de transformación es:

\[ A'^\mu B'^\nu = (\Lambda^\mu{}_\alpha A^\alpha)(\Lambda^\nu{}_\beta B^\beta) = \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta A^\alpha B^\beta \]

Un tensor contravariante general de rango 2, \(T^{\mu\nu}\), no necesariamente puede escribirse en la forma de un producto tensorial \(A^\mu B^\nu\), pero sí puede expresarse como una combinación lineal de productos tensoriales. Por lo tanto, la ley de transformación de un tensor contravariante de rango 2 se define como:

\[ \boxed{T'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta T^{\alpha\beta}} \]

La transformación de Lorentz actúa independientemente sobre cada índice. Esta es también la definición de "un tensor es una cantidad que se transforma según esta regla bajo transformaciones de Lorentz".

(b) Boost del tensor electromagnético

Estrategia de resolución: Para un boost en la dirección \(x\), calculamos \(F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta F^{\alpha\beta}\) para componentes específicas.

Componentes no nulas de la matriz de boost:

\[ \Lambda^0{}_0 = \gamma, \quad \Lambda^0{}_1 = -\gamma v, \quad \Lambda^1{}_0 = -\gamma v, \quad \Lambda^1{}_1 = \gamma, \quad \Lambda^2{}_2 = 1, \quad \Lambda^3{}_3 = 1 \]

Cálculo de \(E_y'\) (componente \(F'^{02}\)):

\[ F'^{02} = \Lambda^0{}_\alpha \Lambda^2{}_\beta F^{\alpha\beta} \]

Como \(\Lambda^2{}_\beta = \delta^2{}_\beta\) (solo es no nulo para \(\beta = 2\)):

\[ F'^{02} = \Lambda^0{}_\alpha F^{\alpha 2} \]

\(\Lambda^0{}_\alpha\) solo es no nulo para \(\alpha = 0, 1\):

\[ F'^{02} = \Lambda^0{}_0 F^{02} + \Lambda^0{}_1 F^{12} \]

Sustituyendo \(F^{02} = -E_y\), \(F^{12} = -B_z\):

\[ F'^{02} = \gamma(-E_y) + (-\gamma v)(-B_z) = -\gamma E_y + \gamma v B_z = -\gamma(E_y - vB_z) \]

Como \(F'^{02} = -E_y'\):

\[ \boxed{E_y' = \gamma(E_y - vB_z)} \]

Cálculo de \(B_z'\) (componente \(F'^{12}\)):

\[ F'^{12} = \Lambda^1{}_\alpha \Lambda^2{}_\beta F^{\alpha\beta} = \Lambda^1{}_\alpha F^{\alpha 2} \]

\(\Lambda^1{}_\alpha\) solo es no nulo para \(\alpha = 0, 1\):

\[ F'^{12} = \Lambda^1{}_0 F^{02} + \Lambda^1{}_1 F^{12} \]
\[ = (-\gamma v)(-E_y) + \gamma(-B_z) = \gamma v E_y - \gamma B_z = -\gamma(B_z - vE_y) \]

Como \(F'^{12} = -B_z'\):

\[ \boxed{B_z' = \gamma(B_z - vE_y)} \]

Complemento: transformación de las demás componentes

Mediante cálculos análogos, la ley de transformación completa es:

\[ E_x' = E_x, \qquad B_x' = B_x \]
\[ E_y' = \gamma(E_y - vB_z), \qquad B_y' = \gamma(B_y + vE_z) \]
\[ E_z' = \gamma(E_z + vB_y), \qquad B_z' = \gamma(B_z - vE_y) \]

Las componentes en la dirección del boost (\(x\)) son invariantes, mientras que las componentes perpendiculares del campo eléctrico y magnético se mezclan.

(c) Invariante de Lorentz \(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\)

Cálculo:

Primero bajamos los índices mediante \(F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}\). Teniendo en cuenta los signos de \(\eta\):

  • \(F_{0i} = \eta_{00}\eta_{ii}F^{0i} = (+1)(-1)F^{0i} = -F^{0i}\)
  • \(F_{ij} = \eta_{ii}\eta_{jj}F^{ij} = (-1)(-1)F^{ij} = F^{ij}\)

Por lo tanto:

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

Calculamos la contracción:

\[ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = \sum_{\mu,\nu} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \]

Términos con \(\mu = 0\) (solo \(\nu = 1, 2, 3\) son no nulos; por la antisimetría se incluyen tanto \(\mu < \nu\) como \(\mu > \nu\)):

\[ F^{0\nu}F_{0\nu} + F^{\nu 0}F_{\nu 0} = 2\sum_{i=1}^{3} F^{0i}F_{0i} \]
\[ = 2[(-E_x)(E_x) + (-E_y)(E_y) + (-E_z)(E_z)] = -2(E_x^2 + E_y^2 + E_z^2) = -2\mathbf{E}^2 \]

Componentes espaciales (\(\mu, \nu = 1, 2, 3\)):

\[ \sum_{i,j=1}^{3} F^{ij}F_{ij} = 2[(F^{12})^2 + (F^{13})^2 + (F^{23})^2] \cdot (\text{verificar signos}) \]

Concretamente: \(F^{12} = -B_z\), \(F_{12} = -B_z\), por lo que \(F^{12}F_{12} = B_z^2\). Análogamente, \(F^{13}F_{13} = B_y^2\), \(F^{23}F_{23} = B_x^2\).

Por la antisimetría \(F^{ij}F_{ij} = F^{ji}F_{ji}\), así que contando todas las combinaciones con \(i \neq j\):

\[ \sum_{i,j} F^{ij}F_{ij} = 2(B_x^2 + B_y^2 + B_z^2) = 2\mathbf{B}^2 \]

Total:

\[ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = -2\mathbf{E}^2 + 2\mathbf{B}^2 \]
\[ \boxed{F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2)} \]

Significado físico:

Este invariante tiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales. - Si \(\mathbf{B}^2 > \mathbf{E}^2\), esta desigualdad se cumple en cualquier sistema inercial (existe un sistema donde el campo eléctrico puede anularse). - Si \(\mathbf{E}^2 > \mathbf{B}^2\), esta desigualdad se cumple en cualquier sistema inercial (existe un sistema donde el campo magnético puede anularse). - Para ondas electromagnéticas \(|\mathbf{E}| = |\mathbf{B}|\), por lo que el invariante es cero.

Otro invariante de Lorentz independiente es \(\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma} \propto \mathbf{E} \cdot \mathbf{B}\).

Verificación

Confirmamos que el invariante se conserva usando los resultados de (b):

\[ B_z'^2 - E_y'^2 = \gamma^2(B_z - vE_y)^2 - \gamma^2(E_y - vB_z)^2 \]
\[ = \gamma^2[(B_z^2 - 2vB_zE_y + v^2E_y^2) - (E_y^2 - 2vE_yB_z + v^2B_z^2)] \]
\[ = \gamma^2[B_z^2(1 - v^2) - E_y^2(1 - v^2)] = \gamma^2(1-v^2)(B_z^2 - E_y^2) = B_z^2 - E_y^2 \]

✓ El invariante se conserva.

A-2. Generadores del grupo de Lorentz y álgebra de Lie

→ Volver al problema

(a) Antisimetría de \(\omega_{\mu\nu}\)

Cálculo:

Sustituimos la transformación de Lorentz infinitesimal \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) en la condición de Lorentz \(\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}\):

\[ \eta_{\mu\nu}(\delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha)(\delta^\nu{}_\beta + \omega^\nu{}_\beta) = \eta_{\alpha\beta} \]

Expandiendo y despreciando términos de orden 2 o superior en \(\omega\):

\[ \eta_{\mu\nu}\delta^\mu{}_\alpha \delta^\nu{}_\beta + \eta_{\mu\nu}\omega^\mu{}_\alpha \delta^\nu{}_\beta + \eta_{\mu\nu}\delta^\mu{}_\alpha \omega^\nu{}_\beta + O(\omega^2) = \eta_{\alpha\beta} \]
\[ \eta_{\alpha\beta} + \eta_{\mu\beta}\omega^\mu{}_\alpha + \eta_{\alpha\nu}\omega^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta} \]

\(\eta_{\alpha\beta}\) se cancela en ambos lados:

\[ \eta_{\mu\beta}\omega^\mu{}_\alpha + \eta_{\alpha\nu}\omega^\nu{}_\beta = 0 \]

Definiendo \(\omega_{\beta\alpha} \equiv \eta_{\mu\beta}\omega^\mu{}_\alpha\) (bajando el índice):

\[ \omega_{\beta\alpha} + \omega_{\alpha\beta} = 0 \]
\[ \boxed{\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}} \]

Número de parámetros independientes: El número de componentes independientes de un tensor antisimétrico \(4 \times 4\) es \(\frac{4(4-1)}{2} = 6\).

Correspondencia física: - \(\omega_{12}, \omega_{23}, \omega_{31}\): 3 rotaciones espaciales (planos \(xy\), \(yz\), \(zx\)) - \(\omega_{01}, \omega_{02}, \omega_{03}\): 3 boosts (direcciones \(x\), \(y\), \(z\))

(b) Verificación de la representación cuadrivectorial de los generadores

Expresión de la transformación finita:

Aplicando repetidamente la transformación infinitesimal \(\Lambda = I - \frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\), la transformación finita se expresa mediante la función exponencial:

\[ \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right) \]

donde \(M^{\mu\nu}\) son los generadores del grupo de Lorentz, con \(M^{\mu\nu} = -M^{\nu\mu}\) (antisimétricos).

Verificación del boost en la dirección \(x\):

Consideramos el caso \(\omega_{01} = -\omega_{10} = \beta\) (el resto cero).

La transformación infinitesimal es:

\[ \Lambda^\alpha{}_\gamma = \delta^\alpha{}_\gamma - \frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}(M^{\mu\nu})^\alpha{}_\gamma \]

Los únicos \(\omega_{\mu\nu}\) no nulos son \(\omega_{01} = \beta\), \(\omega_{10} = -\beta\). Usando la antisimetría de \(M^{\mu\nu}\):

\[ \frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu} = \frac{1}{2}(\omega_{01}M^{01} + \omega_{10}M^{10}) = \frac{1}{2}(\beta M^{01} + (-\beta)(-M^{01})) = \beta M^{01} \]

Por lo tanto, la transformación infinitesimal es:

\[ \Lambda^\alpha{}_\gamma = \delta^\alpha{}_\gamma - i\beta(M^{01})^\alpha{}_\gamma \]

Sustituimos la representación cuadrivectorial del generador:

\[ (M^{01})^\alpha{}_\gamma = i(\eta^{0\alpha}\delta^1{}_\gamma - \eta^{1\alpha}\delta^0{}_\gamma) \]

Calculamos cada componente:

  • \((M^{01})^0{}_0 = i(\eta^{00}\delta^1{}_0 - \eta^{10}\delta^0{}_0) = i(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = 0\)
  • \((M^{01})^0{}_1 = i(\eta^{00}\delta^1{}_1 - \eta^{10}\delta^0{}_1) = i(1 \cdot 1 - 0) = i\)
  • \((M^{01})^1{}_0 = i(\eta^{01}\delta^1{}_0 - \eta^{11}\delta^0{}_0) = i(0 - (-1) \cdot 1) = i\)
  • \((M^{01})^1{}_1 = i(\eta^{01}\delta^1{}_1 - \eta^{11}\delta^0{}_1) = i(0 - 0) = 0\)
  • Las demás componentes (\(\alpha = 2, 3\) o \(\gamma = 2, 3\)) son todas cero

Representación matricial:

\[ (M^{01})^\alpha{}_\gamma = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Transformación infinitesimal:

\[ \Lambda^\alpha{}_\gamma = \delta^\alpha{}_\gamma - i\beta \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \beta & 0 & 0 \\ \beta & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + O(\beta^2) \]

donde hemos usado \(-i \cdot i = 1\).

Por otro lado, expandiendo la matriz de boost a primer orden en \(\beta\):

\[ \Lambda = \begin{pmatrix} \cosh\beta & -\sinh\beta & 0 & 0 \\ -\sinh\beta & \cosh\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 & -\beta & 0 & 0 \\ -\beta & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Sobre la discrepancia de signo: En el cálculo anterior, \(\Lambda^0{}_1 = +\beta\) obtenido difiere en signo de \(\Lambda^0{}_1 = -\beta\) de la matriz de boost. Esto se debe a la convención de signo en la definición de \(\omega_{01}\). En efecto, si tomamos el parámetro del boost como \(\omega_{01} = -\beta\) (\(\omega_{01}\) es \(-\beta\) para un "boost con velocidad \(v = \tanh\beta\)"):

\[ \Lambda^\alpha{}_\gamma = \delta^\alpha{}_\gamma + \beta \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\beta & 0 & 0 \\ -\beta & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Esto coincide con la expansión a primer orden de la matriz de boost. ✓

Alternativamente, existen textos que usan la convención \(\Lambda = \exp\left(+\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)\). Aquí verificamos directamente la transformación finita:

\[ \Lambda = \exp(-i\beta M^{01}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i\beta)^n}{n!}(M^{01})^n \]

Calculamos \((M^{01})^2\):

\[ (M^{01})^2 = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Centrándonos en el bloque \(2\times 2\) de \((-i)^2(M^{01})^2 = (-1)(-1)\text{diag}(1,1,0,0)\), el bloque \(2\times 2\) de \(-iM^{01}\) es:

\[ -iM^{01}\big|_{2\times 2} = -i\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \equiv K \]

Como \(K^2 = I\):

\[ e^{-i\beta M^{01}}\big|_{2\times 2} = e^{\beta K} = \cosh\beta \cdot I + \sinh\beta \cdot K = \begin{pmatrix} \cosh\beta & \sinh\beta \\ \sinh\beta & \cosh\beta \end{pmatrix} \]

Esto da \(\Lambda^0{}_1 = +\sinh\beta\), que difiere en signo de la convención del texto \(\Lambda^0{}_1 = -\sinh\beta\). Esto significa que debemos tomar \(\omega_{01} = -\beta\). Es decir, para un boost en la dirección \(x\) con velocidad \(v\), establecemos \(\omega_{01} = -\beta\) (\(\beta = \text{arctanh}\, v\)):

\[ \Lambda = \exp\left(\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)\bigg|_{\omega_{01}=-\beta} = \exp(i\beta M^{01}) \quad \text{bloque } 2\times 2 \]
\[ = e^{-\beta K} = \cosh\beta \cdot I - \sinh\beta \cdot K = \begin{pmatrix} \cosh\beta & -\sinh\beta \\ -\sinh\beta & \cosh\beta \end{pmatrix} \]

Esto coincide con la matriz de boost del texto. ✓

(c) Verificación de las relaciones de conmutación del álgebra de Lie

Cálculo de \([M^{01}, M^{02}]\):

Primero obtenemos \((M^{02})^\alpha{}_\gamma\):

\[ (M^{02})^\alpha{}_\gamma = i(\eta^{0\alpha}\delta^2{}_\gamma - \eta^{2\alpha}\delta^0{}_\gamma) \]

Componentes no nulas: - \((M^{02})^0{}_2 = i(\eta^{00}\delta^2{}_2) = i\) - \((M^{02})^2{}_0 = i(-\eta^{22}\delta^0{}_0) = i(-(-1))(1) = i\)

Representación matricial:

\[ M^{01} = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M^{02} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Producto \(M^{01}M^{02}\):

\[ (M^{01}M^{02})^\alpha{}_\gamma = (M^{01})^\alpha{}_\delta (M^{02})^\delta{}_\gamma \]

Buscando las contribuciones no nulas:

  • \(\alpha = 0\): \((M^{01})^0{}_\delta\) es no nulo solo para \(\delta = 1\) (valor \(i\)). \((M^{02})^1{}_\gamma = 0\) (todo cero). Por lo tanto \((M^{01}M^{02})^0{}_\gamma = 0\).

  • \(\alpha = 1\): \((M^{01})^1{}_\delta\) es no nulo solo para \(\delta = 0\) (valor \(i\)). \((M^{02})^0{}_\gamma\) es no nulo solo para \(\gamma = 2\) (valor \(i\)). Por lo tanto \((M^{01}M^{02})^1{}_2 = i \cdot i = -1\).

  • \(\alpha = 2\): \((M^{01})^2{}_\delta = 0\). Por lo tanto \((M^{01}M^{02})^2{}_\gamma = 0\).

\[ M^{01}M^{02} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Producto \(M^{02}M^{01}\):

  • \(\alpha = 0\): \((M^{02})^0{}_\delta\) es no nulo solo para \(\delta = 2\) (valor \(i\)). \((M^{01})^2{}_\gamma = 0\). Por lo tanto \((M^{02}M^{01})^0{}_\gamma = 0\).

  • \(\alpha = 1\): \((M^{02})^1{}_\delta = 0\). Por lo tanto \((M^{02}M^{01})^1{}_\gamma = 0\).

  • \(\alpha = 2\): \((M^{02})^2{}_\delta\) es no nulo solo para \(\delta = 0\) (valor \(i\)). \((M^{01})^0{}_\gamma\) es no nulo solo para \(\gamma = 1\) (valor \(i\)). Por lo tanto \((M^{02}M^{01})^2{}_1 = i \cdot i = -1\).

\[ M^{02}M^{01} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Conmutador:

\[ [M^{01}, M^{02}] = M^{01}M^{02} - M^{02}M^{01} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Predicción a partir de las relaciones de conmutación del álgebra de Lie:

\[ [M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = i(\eta^{\nu\rho}M^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho}M^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma}M^{\mu\rho} + \eta^{\mu\sigma}M^{\nu\rho}) \]

Sustituyendo \(\mu = 0, \nu = 1, \rho = 0, \sigma = 2\):

\[ [M^{01}, M^{02}] = i(\eta^{10}M^{02} - \eta^{00}M^{12} - \eta^{12}M^{00} + \eta^{02}M^{10}) \]

Evaluando cada término: - \(\eta^{10} = 0\) - \(\eta^{00} = 1\) - \(\eta^{12} = 0\) - \(\eta^{02} = 0\) - \(M^{00} = 0\) (por antisimetría)

Por lo tanto:

\[ [M^{01}, M^{02}] = i(0 - 1 \cdot M^{12} - 0 + 0) = -iM^{12} \]

Calculamos \(M^{12}\):

\[ (M^{12})^\alpha{}_\gamma = i(\eta^{1\alpha}\delta^2{}_\gamma - \eta^{2\alpha}\delta^1{}_\gamma) \]

Componentes no nulas: - \((M^{12})^1{}_2 = i\eta^{11}\delta^2{}_2 = i(-1)(1) = -i\) - \((M^{12})^2{}_1 = i(-\eta^{22})\delta^1{}_1 = i(-(-1))(1) = i\)

\[ M^{12} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Por lo tanto:

\[ -iM^{12} = -i\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Esto coincide completamente con el \([M^{01}, M^{02}]\) calculado directamente. ✓

Interpretación física: \(M^{01}\) es el generador de boosts en la dirección \(x\), \(M^{02}\) es el generador de boosts en la dirección \(y\), y \(M^{12}\) es el generador de rotaciones en el plano \(xy\). La relación de conmutación \([M^{01}, M^{02}] = -iM^{12}\) significa que "al realizar alternadamente un boost en la dirección \(x\) y un boost en la dirección \(y\), se produce una rotación en el plano \(xy\)" (origen de la precesión de Thomas).

Importancia para la teoría cuántica de campos:

El álgebra de Lie del grupo de Lorentz determina cómo se comportan los campos bajo transformaciones de Lorentz. Diferentes representaciones corresponden a campos de diferente espín:

  • Campo escalar (espín 0): representación trivial. \(M^{\mu\nu} = 0\) (el campo mismo no se transforma, solo cambia su dependencia en las coordenadas).
  • Campo vectorial (espín 1): representación 4-dimensional. Se usa directamente \((M^{\mu\nu})^\alpha{}_\beta\) calculado anteriormente. El campo electromagnético \(A^\mu\) pertenece a esta representación.
  • Campo espinorial (espín 1/2): representación 2-dimensional (espinor de Weyl) o 4-dimensional (espinor de Dirac). Los generadores se dan por \(\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]\). El campo del electrón pertenece a esta representación.

En la teoría cuántica de campos, se exige que el lagrangiano sea invariante de Lorentz. Esto restringe las leyes de transformación de los campos (es decir, a qué representación del grupo de Lorentz pertenecen) y la manera de combinarlos (construcción de escalares de Lorentz). Por lo tanto, la estructura del álgebra de Lie del grupo de Lorentz constituye el punto de partida que determina las formas permitidas de interacción.

Verificación

Comprobación dimensional: Los 6 generadores corresponden a 3 rotaciones + 3 boosts = 6 parámetros. Esto coincide también con el número de componentes independientes de una matriz antisimétrica \(4 \times 4\): \(\frac{4 \times 3}{2} = 6\). ✓

Comprobación de hermiticidad: El generador de rotaciones \(M^{12}\) es:

\[ (M^{12})^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = M^{12} \]

Es hermítico (las rotaciones generan transformaciones unitarias). En cambio, el generador de boosts \(M^{01}\) es:

\[ (M^{01})^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = -M^{01} \]

No es hermítico (los boosts son transformaciones no unitarias). Esto refleja el hecho de que el grupo de Lorentz es un grupo no compacto, y físicamente corresponde a que la rapidez del boost puede tomar valores hasta infinito. ✓