Prólogo Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Cálculo de la energía de un fotón
- B-2. Relación entre amplitud de probabilidad y probabilidad
- B-3. Cálculo del término de interferencia
- B-4. Distribución de probabilidad de balas y electrones
- B-5. Forma polar de números complejos y fórmula de Euler
- B-6. Intensidad de ondas e interferencia
- B-7. Discretización de la energía — la metáfora de la escalera con números
- B-8. Superposición de amplitudes de probabilidad — ejemplo numérico
Intermedio
- M-1. Comparación entre probabilidad clásica y probabilidad cuántica
- M-2. Hipótesis del cuanto de luz y efecto fotoeléctrico
- M-3. Modelos en física y falsabilidad
- M-4. La dualidad de Einstein — fundador y crítico
- M-5. Interferencia de amplitudes de probabilidad — Análisis cuantitativo
Avanzado
Básico¶
B-1. Cálculo de la energía de un fotón¶
Según la hipótesis del cuanto de luz de Einstein, la energía de un fotón de frecuencia \(\nu\) viene dada por \(E = h\nu\). Tomando la constante de Planck como \(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}\), calcula la energía de un solo fotón para cada uno de los siguientes tipos de luz.
(a) Luz amarilla del sodio (frecuencia \(\nu = 5.09 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\))
(b) Láser rojo (longitud de onda \(\lambda = 633\ \mathrm{nm}\), usa la velocidad de la luz \(c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}\))
(c) Ondas de radio de telefonía móvil (frecuencia \(\nu = 2.0 \times 10^{9}\ \mathrm{Hz}\))
Pista
Sustituye directamente en \(E = h\nu\). En (b), convierte primero a frecuencia usando la relación \(\nu = c/\lambda\) y luego realiza el cálculo.
B-2. Relación entre amplitud de probabilidad y probabilidad¶
Dada la amplitud de probabilidad compleja \(\phi = 3 + 4i\), calcula lo siguiente.
(a) El conjugado complejo de \(\phi\), \(\phi^*\)
(b) \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\)
(c) Cuando la amplitud de probabilidad se escribe como \(\phi = A e^{i\theta}\) (\(A > 0\), \(\theta\) es real), expresa \(|\phi|^2\) en términos de \(A\) y \(\theta\).
Pista
(a) Sustituye \(i\) por \(-i\). (b) Desarrolla \((3-4i)(3+4i)\). (c) Utiliza que el conjugado complejo de \(e^{i\theta}\) es \(e^{-i\theta}\).
B-3. Cálculo del término de interferencia¶
Se dan dos amplitudes de probabilidad \(\phi_1 = e^{i\alpha}\) y \(\phi_2 = e^{i\beta}\) (donde \(\alpha\) y \(\beta\) son números reales).
(a) Desarrolla \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) y exprésalo en términos de \(\alpha\) y \(\beta\).
(b) Calcula \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\).
(c) Expresa el término de interferencia \(|\phi_1 + \phi_2|^2 - (|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2)\) utilizando la diferencia de fase \(\delta = \alpha - \beta\).
(d) Determina \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) para los casos \(\delta = 0\) (en fase) y \(\delta = \pi\) (en contrafase), respectivamente.
Pista
Desarrolla \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1^* + \phi_2^*)(\phi_1 + \phi_2)\) y demuestra que \(\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\cos(\alpha - \beta)\).
B-4. Distribución de probabilidad de balas y electrones¶
En el experimento de la doble rendija, la probabilidad (en el caso de balas) o el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad (en el caso de electrones), cuando solo la rendija 1 está abierta, se da en la posición \(x\) sobre la pantalla de la siguiente manera:
donde \(a > 0\).
(a) Evalúa la probabilidad compuesta para el caso de balas \(P_{12}^{\text{bala}}(x) = P_1(x) + P_2(x)\) en \(x = 0\).
(b) En el caso de electrones, cuando las amplitudes de probabilidad se dan como \(\phi_1(x) = e^{-(x-a)^2/2}\), \(\phi_2(x) = e^{-(x+a)^2/2}\) (aquí consideramos el caso real), evalúa \(P_{12}^{\text{electrón}}(x) = |\phi_1(x) + \phi_2(x)|^2\) en \(x = 0\).
(c) Compara los resultados de (a) y (b), y responde cuál es mayor, \(P_{12}^{\text{electrón}}(0)\) o \(P_{12}^{\text{bala}}(0)\).
Pista
Sustituyendo \(x = 0\) se obtiene \(P_1(0) = P_2(0) = e^{-a^2}\). En (b) calcula \((\phi_1(0) + \phi_2(0))^2\) y compáralo con \(P_1(0) + P_2(0)\) de (a).
B-5. Forma polar de números complejos y fórmula de Euler¶
Utilizando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), calcula lo siguiente.
(a) \(e^{i\pi}\)
(b) \(e^{i\pi/2}\)
(c) La parte real y la parte imaginaria de \(e^{i\pi/4}\)
(d) Determina \(|e^{i\theta}|^2\) independientemente de \(\theta\).
Pista
Sustituye el valor de \(\theta\) en la fórmula de Euler. En (d), calcula \(|e^{i\theta}|^2 = e^{-i\theta} \cdot e^{i\theta}\).
B-6. Intensidad de ondas e interferencia¶
Siguiendo la notación del texto, supongamos que las alturas de dos ondas están dadas por
donde \(A > 0\) y \(\delta\) es la diferencia de fase.
(a) Utilizando la fórmula de suma a producto, reescribe \(h_1 + h_2\) en forma de producto.
(b) Determina la amplitud de \(h_1 + h_2\) cuando \(\delta = 0\).
(c) Calcula \(h_1 + h_2\) cuando \(\delta = \pi\).
Pista
Usa \(\cos P + \cos Q = 2\cos\!\left(\frac{P+Q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{P-Q}{2}\right)\).
B-7. Discretización de la energía — la metáfora de la escalera con números¶
En el texto se menciona que "la energía del átomo es discreta, como los peldaños de una escalera". Los niveles de energía del átomo de hidrógeno están dados por
(esto se derivará en Cap. 16). Calcula lo siguiente.
(a) Determina la energía del estado fundamental (\(n = 1\)) y del primer estado excitado (\(n = 2\)), respectivamente.
(b) Calcula la energía del fotón emitido cuando se produce una transición de \(n = 2\) a \(n = 1\): \(\Delta E = E_2 - E_1\).
(c) Usando \(E = h\nu\), determina la frecuencia \(\nu\) de este fotón (utiliza \(1\ \mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\)).
(d) ¿Esta luz se encuentra dentro del rango de la luz visible (frecuencia de \(4.3 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) a \(7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\))?
Pista
(b) Al calcular \(\Delta E = E_2 - E_1\) se obtiene un valor positivo (la energía del fotón emitido). (c) Con \(\nu = \Delta E / h\), convierte \(\Delta E\) a unidades de J (julios) antes de realizar el cálculo.
B-8. Superposición de amplitudes de probabilidad — ejemplo numérico¶
En un sistema de 2 estados, supongamos que la amplitud de probabilidad de estar en el estado \(|1\rangle\) es \(\phi_1 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), y la amplitud de probabilidad de estar en el estado \(|2\rangle\) es \(\phi_2 = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\, e^{i\pi/3}\).
(a) Calcula la probabilidad \(P_1 = |\phi_1|^2\) de observar el estado \(|1\rangle\).
(b) Calcula la probabilidad \(P_2 = |\phi_2|^2\) de observar el estado \(|2\rangle\).
(c) Verifica que se cumple \(P_1 + P_2 = 1\) (condición de normalización).
(d) Encuentra la parte real y la parte imaginaria de \(\phi_2\).
Pista
Utiliza que \(|c\, e^{i\theta}|^2 = |c|^2\). En (d), sustituye \(e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)\).
Intermedio¶
M-1. Comparación entre probabilidad clásica y probabilidad cuántica¶
Basándote en la comparación al estilo de Feynman entre balas, ondas y electrones descrita en el texto, responde a lo siguiente.
(a) Explica la razón física por la cual se cumple \(P_{12} = P_1 + P_2\) en el experimento de doble rendija con balas, basándote en el hecho de que "la bala pasa por una u otra de las rendijas".
(b) En el experimento de doble rendija con electrones, a pesar de que los electrones se detectan uno a uno como partículas, al acumular un gran número de electrones aparece un patrón de interferencia. Explica este hecho utilizando la estructura matemática de la amplitud de probabilidad
En particular, indica explícitamente la causa por la cual \(P_{12} \neq P_1 + P_2\).
(c) Supón que las amplitudes de probabilidad estuvieran restringidas a números reales en lugar de complejos. ¿Aparecería aun así un término de interferencia? Discute qué restricciones surgen respecto al signo del término de interferencia en comparación con el caso complejo.
Pista
(b) Expande \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1\) y muestra que los dos últimos términos son los términos de interferencia. (c) En el caso real se tiene \(\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\phi_1\phi_2\), y considera que la diferencia de fase \(\delta\) solo puede tomar los valores \(0\) o \(\pi\).
M-2. Hipótesis del cuanto de luz y efecto fotoeléctrico¶
Basándote en la hipótesis del cuanto de luz de Einstein \(E = h\nu\), responde las siguientes preguntas.
(a) Sea \(W\) la función de trabajo (work function) de un metal. Cuando se irradia luz de frecuencia \(\nu\), expresa la energía cinética máxima \(K_{\max}\) de los electrones emitidos en términos de \(h\), \(\nu\) y \(W\).
(b) En el efecto fotoeléctrico, si la frecuencia de la luz es menor que cierto valor \(\nu_0\), no se emiten electrones sin importar cuánto se aumente la intensidad de la luz. Expresa esta frecuencia umbral \(\nu_0\) en términos de \(W\) y \(h\).
(c) Según la teoría ondulatoria clásica (electromagnetismo de Maxwell), al aumentar la intensidad de la luz debería ser posible proporcionar suficiente energía a los electrones. A pesar de ello, el hecho experimental de que no se emiten electrones por debajo de la frecuencia umbral contradice cierta premisa de la teoría clásica. Explica con qué premisa entra en contradicción.
(d) Se irradia luz de longitud de onda \(\lambda = 400\ \mathrm{nm}\) sobre un metal con función de trabajo \(W = 2.3\ \mathrm{eV}\). Calcula la energía cinética máxima \(K_{\max}\) de los electrones emitidos en unidades de eV.
Pista
(a) A partir de la conservación de la energía, deduce \(h\nu = W + K_{\max}\). (b) Considera la condición \(K_{\max} = 0\). (d) Primero calcula la energía del fotón mediante \(E = hc/\lambda\).
M-3. Modelos en física y falsabilidad¶
Basándote en la postura filosófica sobre la ciencia expuesta en Introducción — Antes de los 4 viajes al inicio del sitio (los modelos son hipótesis; las ecuaciones son herramientas para la falsabilidad), responde a las siguientes preguntas.
(a) ¿Qué significa que la mecánica de Newton sea una "hipótesis"? Menciona y explica un ámbito en el que la mecánica newtoniana tuvo éxito y otro en el que fracasó.
(b) En el texto se afirma que la mecánica cuántica "no ha tenido ni un solo ejemplo de predicción errónea en más de 100 años". A pesar de ello, explica la razón por la que se la sigue llamando "hipótesis", haciendo referencia a su relación con la relatividad general.
(c) ¿Qué es la "falsabilidad (falsifiability)"? Explica por qué la afirmación "mañana el tiempo será soleado, lluvioso o nublado" no es falsable.
Pista
(a) Contrasta el movimiento de los cuerpos celestes (éxito) con la escala atómica (fracaso). (b) Haz referencia al problema de la gravedad cuántica. (c) Una afirmación que no entra en contradicción con ningún resultado observacional posible no es falsable.
M-4. La dualidad de Einstein — fundador y crítico¶
Basándote en la sección "Einstein y la mecánica cuántica" del texto, responde a las siguientes preguntas.
(a) Explica las razones por las que Einstein puede ser considerado "uno de los fundadores" de la teoría cuántica, separando en dos partes el contenido físico de la hipótesis del cuanto de luz de 1905 y la predicción de la emisión estimulada de 1917.
(b) Explica la razón por la que Einstein se convirtió en "crítico" de la mecánica cuántica, considerando el significado de la frase "Dios no juega a los dados".
(c) Explica la relación entre la paradoja EPR (1935) y el teorema de Bell (1964) en aproximadamente 200 caracteres, utilizando todas las siguientes palabras clave: incompletitud, variables ocultas, desigualdad, experimento.
Pista
(c) Einstein sostuvo la "incompletitud" de la mecánica cuántica y supuso la existencia de "variables ocultas" cuyos valores estarían determinados antes de la medición. Bell formuló una "desigualdad" derivada de dicha suposición, y los "experimentos" la violaron, negando así la posición de Einstein. Resume este desarrollo.
M-5. Interferencia de amplitudes de probabilidad — Análisis cuantitativo¶
En el experimento de la doble rendija, las amplitudes de probabilidad provenientes de las dos aberturas en la posición \(x\) sobre la pantalla están dadas por
donde \(A > 0\) es una constante real, \(k\) es el número de onda, y \(r_1(x)\) y \(r_2(x)\) son las distancias desde la abertura 1 y la abertura 2, respectivamente, hasta la posición \(x\) en la pantalla.
(a) Calcula la probabilidad compuesta \(P_{12}(x) = |\phi_1(x) + \phi_2(x)|^2\) y exprésala en términos de \(\Delta r(x) = r_1(x) - r_2(x)\) (diferencia de camino).
(b) Expresa la condición para que \(P_{12}(x)\) tome su valor máximo en términos de \(\Delta r\) y \(k\). Además, obtén el valor de \(P_{12}\) en ese caso.
(c) Encuentra la condición para que \(P_{12}(x)\) tome su valor mínimo \(0\).
(d) Usando la longitud de onda \(\lambda = 2\pi/k\), reescribe las condiciones de (b) y (c) en términos de \(\Delta r\) y \(\lambda\).
Pista
(a) Factoriza como \(\phi_1 + \phi_2 = A e^{ikr_1}(1 + e^{ik(r_2 - r_1)})\) y calcula \(|\cdot|^2\). Simplifica hasta obtener una expresión que contenga \(\cos\).
Avanzado¶
A-1. Carácter indispensable de las amplitudes de probabilidad complejas¶
En el texto se afirma que "las amplitudes de probabilidad deben ser números complejos. Solo con números reales no se pueden reproducir las predicciones de la mecánica cuántica". Examina esta afirmación siguiendo los pasos indicados a continuación.
(a) Considera un sistema de 2 estados. Sean \(\phi_1\), \(\phi_2\) las amplitudes de probabilidad para los estados \(|1\rangle\) y \(|2\rangle\), satisfaciendo la condición de normalización \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\). Si \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son ambos reales, indica la condición geométrica que satisface \((|\phi_1|, |\phi_2|)\).
(b) Si \(\phi_1\), \(\phi_2\) son complejos, se pueden escribir como \(\phi_1 = |\phi_1| e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = |\phi_2| e^{i\beta}\). Responde cuántos grados de libertad (número de parámetros reales independientes) se ganan respecto al caso real. Ten en cuenta que la fase global (un factor de fase \(e^{i\gamma}\) común a \(\phi_1\) y \(\phi_2\)) no es físicamente observable.
(c) En el patrón de interferencia del experimento de la doble rendija, la diferencia de fase \(\delta(x)\) varía continuamente según la posición \(x\) en la pantalla, y \(P_{12}(x)\) es una función suave que contiene \(\cos\delta(x)\). Si las amplitudes de probabilidad estuvieran restringidas a ser reales, la diferencia de fase solo podría tomar los dos valores \(0\) o \(\pi\). Discute qué restricciones se impondrían al patrón de interferencia en ese caso, contrastándolo con las franjas de interferencia suaves que se observan experimentalmente.
(d) Basándote en las consideraciones anteriores, explica en aproximadamente 200 caracteres "el significado físico de que las amplitudes de probabilidad sean complejas en la mecánica cuántica".
Pista
(a) \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\) corresponde a puntos sobre la circunferencia unitaria. En el caso real, el único grado de libertad es el signo de \(\phi\) mismo. (b) La fase relativa \(\alpha - \beta\), excluyendo la fase global, constituye un nuevo grado de libertad. (c) El término de interferencia real solo puede tomar los dos valores \(\pm 2|\phi_1||\phi_2|\), y no puede generar un patrón de franjas suave.
A-2. De la hipótesis del cuanto de luz a la emisión estimulada — La cadena lógica de Einstein¶
Einstein propuso la hipótesis del cuanto de luz \(E = h\nu\) en 1905 y predijo la emisión estimulada en 1917. Estos dos logros no son independientes, sino que están conectados lógicamente. Sigue las preguntas a continuación para trazar esa cadena.
(a) Considera un sistema atómico de dos niveles en equilibrio térmico a temperatura \(T\). La razón de las poblaciones de los niveles de energía \(E_1\) (estado fundamental) y \(E_2\) (estado excitado, \(E_2 > E_1\)) sigue la distribución de Boltzmann:
donde \(k_B\) es la constante de Boltzmann. ¿A qué valor se aproxima \(N_2/N_1\) cuando \(T \to \infty\)? ¿Y cuando \(T \to 0\)? Explica el significado físico.
(b) Cuando los átomos y la luz (de frecuencia \(\nu = (E_2 - E_1)/h\)) coexisten en equilibrio térmico, los átomos repiten procesos de absorción de luz con transición \(E_1 \to E_2\) y de emisión de luz con transición \(E_2 \to E_1\). Existen dos tipos de emisión:
- Emisión espontánea (spontaneous emission): un átomo en estado excitado emite un fotón espontáneamente. La tasa de transición por unidad de tiempo es \(A \cdot N_2\) (\(A\) es una constante).
- Emisión estimulada (stimulated emission): la emisión de un fotón es inducida por un fotón externo. La tasa de transición por unidad de tiempo es \(B \cdot \rho(\nu) \cdot N_2\) (\(B\) es una constante, \(\rho(\nu)\) es la densidad de energía de la luz).
La tasa de absorción es \(B' \cdot \rho(\nu) \cdot N_1\). A partir de la condición de que en equilibrio térmico la tasa de absorción es igual a la tasa de emisión:
expresa \(\rho(\nu)\) en función de \(A\), \(B\), \(B'\), \(E_2 - E_1\) y \(k_B T\).
(c) La fórmula de radiación de cuerpo negro de Planck (que estudiarás en detalle en Cap. 1) es:
Comparando el resultado de (b) con esta expresión, demuestra que \(B' = B\) y expresa el valor de \(A/B\) en función de \(h\), \(\nu\) y \(c\).
(d) Si la emisión estimulada no existiera (\(B = 0\)), ¿qué forma tendría \(\rho(\nu)\) a partir de la condición de equilibrio de (b)? Demuestra que esto contradice la fórmula de Planck y explica que "la emisión estimulada es lógicamente necesaria como exigencia del equilibrio térmico".
Pista
(b) Resuelve la ecuación de la condición de equilibrio para \(\rho(\nu)\). Sustituye la distribución de Boltzmann en \(N_2/N_1\) del apartado (a). (c) Comparando el resultado de (b) con la fórmula de Planck en el límite \(T \to \infty\) se obtiene \(B' = B\). Después, compara a temperatura finita para obtener \(A/B\). (d) Si \(B = 0\), entonces \(\rho(\nu) \propto e^{-h\nu/(k_BT)}\), y falta el factor \(\nu^3\).
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