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Cap. 7 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Dimensión de masa del término de interacción

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Estrategia de resolución

En el sistema de unidades naturales en 4 dimensiones espacio-temporales, \([\mathcal{L}] = 4\) y \([\phi] = 1\). A partir de la condición de que la dimensión de masa del término de interacción \(\mathcal{L}_{\text{int}}\) sea 4, determinamos la dimensión de masa de la constante de acoplamiento.

Cálculo

De \([\text{constante de acoplamiento}] + n[\phi] = 4\) se obtiene \([\text{constante de acoplamiento}] = 4 - n\).

(a) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\phi^3\)：

\[ [g] + 3[\phi] = 4 \implies [g] = 4 - 3 = 1 \]

(b) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\,\phi^4\)：

\[ [\lambda] + 4[\phi] = 4 \implies [\lambda] = 4 - 4 = 0 \]

(c) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\kappa}{5!}\,\phi^5\)：

\[ [\kappa] + 5[\phi] = 4 \implies [\kappa] = 4 - 5 = -1 \]

(d) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\eta}{6!}\,\phi^6\)：

\[ [\eta] + 6[\phi] = 4 \implies [\eta] = 4 - 6 = -2 \]

Respuesta final

Término de interacción Dimensión de masa de la constante de acoplamiento Renormalizabilidad
\(g\,\phi^3\) \([g] = 1\) super-renormalizable
\(\frac{\lambda}{4!}\,\phi^4\) \([\lambda] = 0\) marginal (renormalizable)
\(\frac{\kappa}{5!}\,\phi^5\) \([\kappa] = -1\) no renormalizable
\(\frac{\eta}{6!}\,\phi^6\) \([\eta] = -2\) no renormalizable

Verificación

Las teorías con constantes de acoplamiento de dimensión de masa negativa presentan nuevas estructuras divergentes a medida que aumenta el orden de las correcciones a lazos, y no pueden renormalizarse con un número finito de contratérminos (no renormalizables). El hecho de que la teoría \(\phi^4\) con \([\lambda] = 0\) sea renormalizable es consistente con el resultado estándar de la teoría cuántica de campos en 4 dimensiones.

B-2. Derivada temporal de los operadores en la representación de interacción

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Estrategia de resolución

Se deriva \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,e^{-i\hat{H}_0 t}\) respecto a \(t\), aplicando la regla del producto para la derivada.

Cálculo detallado

Derivamos \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x})\) respecto a \(t\). Como se trata de un producto de tres factores, aplicamos la regla del producto:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{i\hat{H}_0 t}\right)\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,e^{-i\hat{H}_0 t} + e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,\frac{\partial}{\partial t}\left(e^{-i\hat{H}_0 t}\right) \]

(Dado que \(\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\) no depende del tiempo, el término intermedio no contribuye.)

Las derivadas de cada exponencial son:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{i\hat{H}_0 t}\right) = i\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t} \]
\[ \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{-i\hat{H}_0 t}\right) = -i\hat{H}_0\,e^{-i\hat{H}_0 t} \]

Sustituyendo:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I = i\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S\,e^{-i\hat{H}_0 t} + e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S\,(-i\hat{H}_0)\,e^{-i\hat{H}_0 t} \]

El primer término se reconoce como \(i\hat{H}_0\,\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x})\), y el segundo como \(-i\,\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x})\,\hat{H}_0\) (ya que \(\hat{H}_0 = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}_0 e^{-i\hat{H}_0 t}\) porque \(\hat{H}_0\) conmuta consigo mismo).

Por lo tanto:

\[ \frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I = i\hat{H}_0\,\hat{\phi}_I - i\,\hat{\phi}_I\,\hat{H}_0 = i[\hat{H}_0,\, \hat{\phi}_I] \]

Multiplicando ambos miembros por \(i\):

\[ \boxed{i\frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = [\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}),\, \hat{H}_0]} \]

Verificación

El conmutador del lado derecho es \([\hat{\phi}_I, \hat{H}_0] = \hat{\phi}_I \hat{H}_0 - \hat{H}_0 \hat{\phi}_I = -[\hat{H}_0, \hat{\phi}_I]\), de modo que \(i\frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I = -i[\hat{H}_0, \hat{\phi}_I] \cdot (-1) = [\hat{\phi}_I, \hat{H}_0]\). Confirmamos que los signos son consistentes. Además, este resultado corresponde a la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg \(i\frac{d}{dt}\hat{O}_H = [\hat{O}_H, \hat{H}]\) con la sustitución \(\hat{H} \to \hat{H}_0\), lo cual es consistente con la propiedad de que los operadores en la imagen de interacción evolucionan con el hamiltoniano libre.

B-3. Cálculo explícito del producto ordenado temporalmente

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(a) Caso \(x^0 > y^0\)

De la definición del producto ordenado temporalmente (7.14), se coloca a la izquierda el operador con tiempo posterior:

\[ T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)] = \hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y) \quad (x^0 > y^0) \]

(b) Caso \(x^0 < y^0\)

\[ T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)] = \hat{\phi}_I(y)\,\hat{\phi}_I(x) \quad (x^0 < y^0) \]

(c) Valor esperado en el vacío y propagador de Feynman

Descomponemos \(\hat{\phi}_I(x)\) en la parte de frecuencia positiva (que contiene operadores de aniquilación) y la parte de frecuencia negativa (que contiene operadores de creación):

\[ \hat{\phi}_I(x) = \hat{\phi}^{(+)}(x) + \hat{\phi}^{(-)}(x) \]

donde

\[ \hat{\phi}^{(+)}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\,\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{-ip\cdot x} \]
\[ \hat{\phi}^{(-)}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\,\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\,e^{+ip\cdot x} \]

Cuando \(x^0 > y^0\):

\[ \langle 0|T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]|0\rangle = \langle 0|\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)|0\rangle \]

Dado que \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\), los términos donde \(\hat{\phi}^{(+)}\) queda en el extremo derecho y \(\hat{\phi}^{(-)}\) en el extremo izquierdo se anulan. La contribución no nula es:

\[ \langle 0|\hat{\phi}^{(+)}(x)\,\hat{\phi}^{(-)}(y)|0\rangle \]

Sustituyendo la expansión en modos:

\[ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\,e^{-ip\cdot x} \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}}\,e^{+iq\cdot y}\,\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger|0\rangle \]

Usando \(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger|0\rangle = (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q})\):

\[ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\,e^{-ip\cdot(x-y)} \]

donde \(p\cdot(x-y) = \omega_{\mathbf{p}}(x^0 - y^0) - \mathbf{p}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{y})\), con \(p^0 = \omega_{\mathbf{p}}\).

\[ \boxed{\langle 0|T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]|0\rangle \Big|_{x^0 > y^0} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}\,e^{-i\omega_{\mathbf{p}}(x^0-y^0)+i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}} \]

Verificación

Esta expresión coincide con el resultado de evaluar la integral en \(p^0\) del propagador de Feynman mediante el teorema de los residuos en el caso \(x^0 > y^0\). En efecto, al realizar la integral en \(p^0\) de \(D_F(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\,\frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}\) recogiendo el polo en el semiplano inferior \(p^0 = \omega_{\mathbf{p}} - i\epsilon\), se obtiene la expresión anterior cuando \(x^0 > y^0\).

B-4. Estructura de operadores de \(\hat{\phi}^4\)

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Estrategia de resolución

\(\hat{a}^\dagger\) aumenta el número de partículas en \(+1\), y \(\hat{a}\) lo disminuye en \(-1\). El cambio en el número de partículas de cada término viene dado por \((\text{número de } \hat{a}^\dagger) - (\text{número de } \hat{a})\).

Respuesta final

(a) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\): \(4 - 0 = +4\) (crea 4 partículas)

(b) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\): \(3 - 1 = +2\) (aumenta el número de partículas en 2)

(c) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\): \(2 - 2 = 0\) (número de partículas invariante, dispersión 2→2)

(d) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\): \(1 - 3 = -2\) (reduce el número de partículas en 2)

(e) \(\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\): \(0 - 4 = -4\) (aniquila 4 partículas)

Verificación

Combinando todos los casos, el desarrollo de \(\hat{\phi}^4\) contiene términos que cambian el número de partículas en \(+4, +2, 0, -2, -4\). Esto corresponde a los términos del desarrollo binomial de \((\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^4\) con \(k\) operadores \(\hat{a}^\dagger\) y \(4-k\) operadores \(\hat{a}\) (\(k = 0, 1, 2, 3, 4\)), donde el cambio en el número de partículas \(2k - 4\) toma los valores \(-4, -2, 0, +2, +4\), lo cual es consistente.

B-5. Término de primer orden de la serie de Dyson

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Estrategia de resolución

Se sustituye \(\hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x})\) en el término de primer orden de la serie de Dyson y se agrupa como una integral en cuatro dimensiones.

Cálculo

\[ \hat{S}^{(1)} = (-i)\int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\,\hat{H}_I(t_1) = (-i)\int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\,\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t_1, \mathbf{x}) \]

Agrupando \(dt_1\,d^3x = d^4x\):

\[ \boxed{\hat{S}^{(1)} = \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4(x)} \]

Verificación del signo

De \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\) se obtiene \(\hat{H}' = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}} = +\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\phi^4\). Por lo tanto \(\hat{H}_I(t) = +\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4\). Entonces \(\hat{S}^{(1)} = (-i)\int dt\,\hat{H}_I = \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4\).

De forma alternativa, se puede escribir \(\hat{S}^{(1)} = i\int d^4x\,\mathcal{L}_{\text{int}}\):

\[ \hat{S}^{(1)} = i\int d^4x\,\left(-\frac{\lambda}{4!}\hat{\phi}_I^4\right) = \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4 \]

Ambas expresiones coinciden. Esta expresión es invariante Lorentz (tanto \(d^4x\) como \(\hat{\phi}_I^4(x)\) son escalares de Lorentz).

B-6. Simetría del producto ordenado temporalmente

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(a) Cuando \(t_1 > t_2 > t_3\)

El producto ordenado temporalmente coloca el operador de tiempo más tardío a la izquierda:

\[ T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)] = \hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3) \]

(ya está en orden temporal)

(b) Cuando \(t_3 > t_1 > t_2\)

El más tardío \(t_3\) a la izquierda, luego \(t_1\), y finalmente \(t_2\):

\[ T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)] = \hat{H}_I(t_3)\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2) \]

(c) Número de permutaciones

Las permutaciones de las relaciones de orden entre las tres variables temporales \(t_1, t_2, t_3\) son \(3! = 6\).

El término de tercer orden de la serie de Dyson tiene originalmente la integral

\[ (-i)^3\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\int_{t_0}^{t_2}dt_3\,\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3) \]

que es una integral solo sobre la región con orden temporal (\(t_3 \le t_2 \le t_1\)). Si se utiliza el producto ordenado temporalmente, se puede extender la región de integración a todo el cubo \([t_0, t]^3\), y dado que las 6 permutaciones contribuyen de igual manera, se divide por \(1/3!\):

\[ \hat{U}_I^{(3)} = \frac{(-i)^3}{3!}\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t}dt_2\int_{t_0}^{t}dt_3\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)] \]

B-7. Descomposición de \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\)

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(a) Condición que debe satisfacer \(\hat{T}\)

Sustituimos \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\) en \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\):

\[ \hat{S}^\dagger = \mathbb{1} - i\hat{T}^\dagger \]
\[ \hat{S}^\dagger\hat{S} = (\mathbb{1} - i\hat{T}^\dagger)(\mathbb{1} + i\hat{T}) = \mathbb{1} + i\hat{T} - i\hat{T}^\dagger + \hat{T}^\dagger\hat{T} = \mathbb{1} \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{i(\hat{T} - \hat{T}^\dagger) + \hat{T}^\dagger\hat{T} = 0} \]

O equivalentemente:

\[ -i(\hat{T} - \hat{T}^\dagger) = \hat{T}^\dagger\hat{T} \]

Esta es la versión operatorial del teorema óptico (optical theorem). Si tomamos el elemento de matriz para un estado específico \(|i\rangle\) e insertamos la relación de completitud \(\sum_f |f\rangle\langle f| = \mathbb{1}\) en el lado derecho:

\[ -i(\langle i|\hat{T}|i\rangle - \langle i|\hat{T}^\dagger|i\rangle) = \sum_f |\langle f|\hat{T}|i\rangle|^2 \]

El lado izquierdo es dos veces la parte imaginaria de la amplitud de dispersión hacia adelante, y el lado derecho es proporcional a la sección eficaz total de dispersión.

(b) Valor al orden más bajo

Dado que \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\) con \(\hat{T} = O(\lambda)\), cuando \(|i\rangle = |f\rangle\):

\[ \langle i|\hat{S}|i\rangle = \langle i|\mathbb{1}|i\rangle + i\langle i|\hat{T}|i\rangle = 1 + O(\lambda) \]
\[ \boxed{\langle i|\hat{S}|i\rangle\Big|_{\lambda^0} = 1} \]

Verificación

Esto es consistente con el requisito físico de que "si no hay interacción, no ocurre dispersión y el estado permanece inalterado".

B-8. Transformación de imagen del Hamiltoniano de interacción

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Estrategia de resolución

Se inserta el operador identidad en \(e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\) para obtener \(\hat{\phi}_I^4\).

Desarrollo del cálculo

\[ \hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{H}'\,e^{-i\hat{H}_0 t} = e^{i\hat{H}_0 t}\left(\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})\right)e^{-i\hat{H}_0 t} \]
\[ = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,e^{-i\hat{H}_0 t} \]

Se inserta \(e^{-i\hat{H}_0 t}e^{i\hat{H}_0 t} = \mathbb{1}\) tres veces entre cada par de \(\hat{\phi}_S\):

\[ = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\underbrace{e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}}_{\hat{\phi}_I(t,\mathbf{x})}\underbrace{e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}}_{\hat{\phi}_I(t,\mathbf{x})}\underbrace{e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}}_{\hat{\phi}_I(t,\mathbf{x})}\underbrace{e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}}_{\hat{\phi}_I(t,\mathbf{x})} \]
\[ \boxed{\hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x})} \]

Verificación

Solo se ha utilizado cuatro veces la definición \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\), por lo que el resultado es trivialmente correcto. Además, cuando \(\lambda = 0\) se tiene \(\hat{H}_I = 0\), lo cual es consistente con el hecho de que el estado no evoluciona en ausencia de interacción.

Intermedio

M-1. Derivación de la ecuación de movimiento de los estados en la imagen de interacción

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(a) Derivada temporal de \(|\psi_I(t)\rangle\)

\[ |\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S \]

Derivamos respecto a \(t\):

\[ i\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = i\frac{d}{dt}\left(e^{i\hat{H}_0 t}\right)|\psi(t)\rangle_S + e^{i\hat{H}_0 t}\left(i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle_S\right) \]

Primer término:

\[ i \cdot i\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S = -\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S \]

Sustituimos en el segundo término la ecuación de Schrödinger \(i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle_S = (\hat{H}_0 + \hat{H}')|\psi(t)\rangle_S\):

\[ e^{i\hat{H}_0 t}(\hat{H}_0 + \hat{H}')|\psi(t)\rangle_S \]

Combinando:

\[ i\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = -\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S + e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}_0|\psi(t)\rangle_S + e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'|\psi(t)\rangle_S \]

(b) Cancelación de los términos con \(\hat{H}_0\)

Observando el primer y segundo término:

\[ -\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S + e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}_0|\psi(t)\rangle_S \]

Como \(\hat{H}_0\) conmuta con \(e^{i\hat{H}_0 t}\) (\([\hat{H}_0, e^{i\hat{H}_0 t}] = 0\)):

\[ -\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S + \hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S = 0 \]

El término que queda es:

\[ i\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'|\psi(t)\rangle_S \]

Aquí sustituimos \(|\psi(t)\rangle_S = e^{-i\hat{H}_0 t}|\psi_I(t)\rangle\):

\[ i\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'\,e^{-i\hat{H}_0 t}|\psi_I(t)\rangle = \hat{H}_I(t)|\psi_I(t)\rangle \]
\[ \boxed{i\frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle = \hat{H}_I(t)|\psi_I(t)\rangle} \]

Aquí \(\hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t}\) aparece de forma natural.

(c) Caso \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\)

Si \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\), entonces:

\[ \hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t} = \hat{H}' \]

(Como \(\hat{H}'\) conmuta con \(\hat{H}_0\), es invariante bajo la transformación unitaria)

En este caso \(\hat{H}_I(t)\) se convierte en un operador constante \(\hat{H}'\) independiente del tiempo.

Razón física: Cuando se cumple \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\), \(\hat{H}_0\) y \(\hat{H}'\) son simultáneamente diagonalizables. Por lo tanto, los autoestados del hamiltoniano total \(\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'\) se pueden escribir en la misma base que los autoestados de \(\hat{H}_0\), y los autovalores de energía son simplemente aditivos: \(E_n = E_n^{(0)} + E_n'\). Como se puede obtener la solución exacta, la expansión perturbativa es innecesaria.

Sin embargo, en teoría cuántica de campos, \(\hat{H}_{\text{int}}\) contiene términos de tercer orden o superior en los campos y cambia el número de partículas, por lo que en general \([\hat{H}_0, \hat{H}'] \neq 0\), y la teoría de perturbaciones es necesaria.

M-2. Término de segundo orden de la serie de Dyson y producto ordenado temporalmente

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(a) Intercambio de variables

El término original de segundo orden es:

\[ \hat{U}_I^{(2)} = (-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\,\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2) \]

La región de integración es el triángulo \(\mathcal{R}_1: t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\) en el plano \((t_1, t_2)\).

Aquí intercambiamos las variables de integración \(t_1 \leftrightarrow t_2\) (simplemente intercambiamos los nombres de las variables mudas):

\[ (-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_2\int_{t_0}^{t_2}dt_1\,\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1) \]

La región de integración es \(\mathcal{R}_2: t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\), y en esta región \(t_2 > t_1\), por lo que \(\hat{H}_I(t_2)\) es posterior en el tiempo, es decir, \(\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\) está en orden temporal.

(b) Combinación de las dos contribuciones

En la integral original (región \(\mathcal{R}_1\)), como \(t_1 > t_2\):

\[ \hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2) = T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] \quad \text{en } \mathcal{R}_1 \]

En la integral tras el intercambio (región \(\mathcal{R}_2\)), como \(t_2 > t_1\):

\[ \hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1) = T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] \quad \text{en } \mathcal{R}_2 \]

Los dos triángulos \(\mathcal{R}_1 \cup \mathcal{R}_2\) cubren todo el cuadrado \([t_0, t]^2\) (la diagonal \(t_1 = t_2\) tiene medida cero y puede ignorarse).

La integral original es solo sobre \(\mathcal{R}_1\) y es igual a la integral tras el intercambio (si restauramos los nombres de las variables mudas obtenemos la misma expresión). Por lo tanto:

\[ \hat{U}_I^{(2)} = (-i)^2\int_{\mathcal{R}_1}dt_1\,dt_2\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] \]

Como las contribuciones de \(\mathcal{R}_1\) y \(\mathcal{R}_2\) son iguales:

\[ 2\,\hat{U}_I^{(2)} = (-i)^2\int_{\mathcal{R}_1 \cup \mathcal{R}_2}dt_1\,dt_2\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] = (-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t}dt_2\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{\hat{U}_I^{(2)} = \frac{(-i)^2}{2!}\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t}dt_2\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)]} \]

(c) Generalización al orden \(n\)

El término de orden \(n\) es originalmente:

\[ (-i)^n\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n\,\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\cdots\hat{H}_I(t_n) \]

es decir, una integral sobre la región con orden temporal \(t_n \le \cdots \le t_2 \le t_1\).

Existen \(n!\) permutaciones de las \(n\) variables temporales, y al usar el producto de orden temporal \(T\), el orden correcto de los operadores queda garantizado automáticamente para cualquier permutación. Al unir las \(n!\) regiones triangulares se obtiene el hipercubo completo \([t_0, t]^n\), y como la contribución de cada región es igual:

\[ \boxed{\hat{U}_I(t, t_0) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!}\int_{t_0}^{t}dt_1\cdots\int_{t_0}^{t}dt_n\,T[\hat{H}_I(t_1)\cdots\hat{H}_I(t_n)]} \]

Esta es la serie de Dyson. Tomando \(t_0 \to -\infty\), \(t \to +\infty\) se obtiene el operador S: \(\hat{S} = T\exp\left(-i\int_{-\infty}^{+\infty}dt\,\hat{H}_I(t)\right)\).

M-3. Amplitud de dispersión 2→2 en la teoría \(\phi^4\) (orden más bajo)

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(a) Extracción del término "2 aniquilaciones · 2 creaciones" de \(\hat{\phi}_I^4(x)\)

Escribimos \(\hat{\phi}_I(x) = \hat{\phi}^{(+)}(x) + \hat{\phi}^{(-)}(x)\). Al expandir \(\hat{\phi}_I^4(x)\), aparecen términos con \(k\) factores de \(\hat{\phi}^{(+)}\) y \(4-k\) factores de \(\hat{\phi}^{(-)}\) (\(k = 0, 1, 2, 3, 4\)).

El estado inicial \(|i\rangle = |\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\) es un estado de 2 partículas, y el estado final \(|f\rangle = |\mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4\rangle\) también es un estado de 2 partículas. Para que el elemento de matriz \(\langle f|\hat{\phi}_I^4|i\rangle\) sea no nulo, \(\hat{\phi}_I^4\) debe aniquilar las 2 partículas del estado inicial (2 factores de \(\hat{\phi}^{(+)}\)) y crear las 2 partículas del estado final (2 factores de \(\hat{\phi}^{(-)}\)).

Por lo tanto, el término necesario es \(k = 2\) (2 partes de aniquilación, 2 partes de creación):

\[ \hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(x) \quad \text{y sus permutaciones} \]

Las combinaciones de cuáles 2 de los 4 campos son \(\hat{\phi}^{(+)}\) y cuáles 2 son \(\hat{\phi}^{(-)}\) dan \(\binom{4}{2} = 6\) posibilidades.

(b) Cálculo del factor combinatorio y resultado

Sustituimos la expansión en modos. El operador \(\hat{a}_{\mathbf{k}}\) dentro de \(\hat{\phi}^{(+)}(x)\) aniquila el estado inicial usando las relaciones de conmutación con \(\hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger\) o \(\hat{a}_{\mathbf{p}_2}^\dagger\). De manera similar, \(\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger\) dentro de \(\hat{\phi}^{(-)}(x)\) se corresponde con \(\hat{a}_{\mathbf{p}_3}^\dagger\) o \(\hat{a}_{\mathbf{p}_4}^\dagger\) del estado final.

Conteo del factor combinatorio:

  1. Cuáles 2 de los 4 campos proporcionan operadores de aniquilación: \(\binom{4}{2} = 6\) posibilidades
  2. De los 2 operadores de aniquilación seleccionados, cuál aniquila \(\mathbf{p}_1\) y cuál aniquila \(\mathbf{p}_2\): \(2! = 2\) posibilidades
  3. De los 2 operadores de creación restantes, cuál crea \(\mathbf{p}_3\) y cuál crea \(\mathbf{p}_4\): \(2! = 2\) posibilidades

Total: \(6 \times 2 \times 2 = 24 = 4!\) posibilidades

Esto se cancela exactamente con el factor \(\frac{1}{4!}\).

Calculamos explícitamente. Cuando \(\hat{\phi}^{(+)}(x)\) aniquila \(\mathbf{p}_1\):

\[ \hat{a}_{\mathbf{k}}|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle \to (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{p}_1)|\mathbf{p}_2\rangle + (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{p}_2)|\mathbf{p}_1\rangle \]

Reuniendo todas las contribuciones, la integración en \(x\) produce la función delta de conservación del momento:

\[ \int d^4x\,e^{i(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\cdot x} = (2\pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4) \]

Finalmente:

\[ \langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = \frac{-i\lambda}{4!} \times 4! \times \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_1}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_2}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_3}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_4}}} \times (2\pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4) \]
\[ \boxed{\langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = -i\lambda\,(2\pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\,\prod_{j=1}^{4}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_j}}}} \]

(c) Amplitud de dispersión invariante \(\mathcal{M}\)

La descomposición estándar del elemento de matriz S es:

\[ \langle f|\hat{S}|i\rangle = \langle f|i\rangle + i(2\pi)^4\delta^4(p_f - p_i)\,\prod_{\text{external}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\,\mathcal{M} \]

(La convención para los factores de líneas externas varía según el libro de texto; aquí adoptamos la forma que incluye \(1/\sqrt{2\omega}\) como factor de línea externa)

Suponiendo \(\langle f|i\rangle = 0\) (asumimos \(|i\rangle \neq |f\rangle\)) y comparando:

\[ i\mathcal{M} \times i(2\pi)^4\delta^4(\cdots)\prod\frac{1}{\sqrt{2\omega}} = -i\lambda\,(2\pi)^4\delta^4(\cdots)\prod\frac{1}{\sqrt{2\omega}} \]

Aquí organizamos las convenciones. Si definimos \(\langle f|i\hat{T}|i\rangle = i\mathcal{M}\,(2\pi)^4\delta^4(p_i - p_f)\prod\frac{1}{\sqrt{2\omega}}\), entonces:

\[ i\mathcal{M} = -i\lambda \]
\[ \boxed{\mathcal{M} = -\lambda} \]

Verificación

  • Análisis dimensional: \(\lambda\) es adimensional, por lo que \(\mathcal{M}\) también es adimensional. Para una dispersión 2→2 en 4 dimensiones, \([\mathcal{M}] = 0\) es correcto.
  • Conservación del momento: Aparece \((2\pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\), lo que garantiza la conservación del cuadrimomento.
  • Cancelación del \(4!\): El factor \(1/4!\) de \(\phi^4\) y las 24 combinaciones se cancelan exactamente, y el resultado es simplemente \(-\lambda\). Esto es consistente con la regla de Feynman para el vértice \(\phi^4\) (factor de vértice \(-i\lambda\)).

M-4. Orden normal y teorema de Wick (caso de dos campos)

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(a) Definición del orden normal

El orden normal (normal ordering) \(:\hat{O}:\) es la operación de reordenar el producto de operadores colocando todos los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger\) (es decir, \(\hat{\phi}^{(-)}\)) a la izquierda de los operadores de aniquilación \(\hat{a}\) (es decir, \(\hat{\phi}^{(+)}\)). En el caso de bosones, no hay cambio de signo asociado al reordenamiento.

Concretamente:

\[ :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): \;= \;:\!(\hat{\phi}^{(+)}(x) + \hat{\phi}^{(-)}(x))(\hat{\phi}^{(+)}(y) + \hat{\phi}^{(-)}(y))\!: \]

Expandiendo y aplicando el orden normal:

\[ :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): \;= \;\hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y) + \hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(y) + \hat{\phi}^{(-)}(y)\hat{\phi}^{(+)}(x) + \hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(y) \]

Nota: en los términos \(\hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(y)\) y \(\hat{\phi}^{(-)}(y)\hat{\phi}^{(+)}(x)\), la parte de creación ya está a la izquierda y la parte de aniquilación a la derecha.

(b) Demostración de que la contracción es un número c

Definición de la contracción:

\[ \underbrace{\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)} = T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] - :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): \]

Caso \(x^0 > y^0\):

\[ T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] = \hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y) = (\hat{\phi}^{(+)}(x) + \hat{\phi}^{(-)}(x))(\hat{\phi}^{(+)}(y) + \hat{\phi}^{(-)}(y)) \]

Expandiendo:

\[ = \hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(y) + \hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y) + \hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(+)}(y) + \hat{\phi}^{(-)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y) \]

Tomando la diferencia con el orden normal:

\[ T[\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)] - :\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y): = \hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y) - \hat{\phi}^{(-)}(y)\hat{\phi}^{(+)}(x) \]
\[ = [\hat{\phi}^{(+)}(x),\, \hat{\phi}^{(-)}(y)] \]

Calculamos este conmutador:

\[ [\hat{\phi}^{(+)}(x),\, \hat{\phi}^{(-)}(y)] = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}e^{-ip\cdot x}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{q}}}}e^{iq\cdot y}\,[\hat{a}_{\mathbf{p}},\,\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] \]
\[ = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}e^{-ip\cdot(x-y)} \]

Esto es un número c (una función que no contiene operadores).

De manera análoga, en el caso \(x^0 < y^0\) aparece \([\hat{\phi}^{(+)}(y),\, \hat{\phi}^{(-)}(x)]\), que también es un número c.

Como se mostró en D3(c), cuando \(x^0 > y^0\):

\[ [\hat{\phi}^{(+)}(x),\, \hat{\phi}^{(-)}(y)] = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}}e^{-ip\cdot(x-y)} = \langle 0|T[\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)]|0\rangle = D_F(x-y) \]

(ya que el valor esperado en el vacío del orden normal es \(\langle 0|:\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y):|0\rangle = 0\))

Por lo tanto:

\[ \boxed{\underbrace{\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)} = D_F(x-y)} \]

(c) Teorema de Wick para dos campos

Despejando del resultado de (b) se obtiene inmediatamente:

\[ \boxed{T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] = :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): \;+\; D_F(x-y)} \]

Este es el teorema de Wick para dos campos.

Verificación

Tomamos el valor esperado en el vacío de ambos lados:

  • Lado izquierdo: \(\langle 0|T[\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)]|0\rangle = D_F(x-y)\)
  • Lado derecho: \(\langle 0|:\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y):|0\rangle + D_F(x-y) = 0 + D_F(x-y)\)

Coinciden. ✓

M-5. Unitariedad de la matriz S y conservación de la probabilidad

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(a) Demostración de \(\hat{U}_I^\dagger(t, t_0) = \hat{U}_I(t_0, t)\)

\(\hat{U}_I(t, t_0)\) satisface la ecuación diferencial (7.9):

\[ i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I(t, t_0) = \hat{H}_I(t)\,\hat{U}_I(t, t_0), \quad \hat{U}_I(t_0, t_0) = \mathbb{1} \]

Tomando el adjunto (usando \(\hat{H}_I^\dagger = \hat{H}_I\)):

\[ -i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I^\dagger(t, t_0) = \hat{U}_I^\dagger(t, t_0)\,\hat{H}_I(t) \]

Por otro lado, consideremos la ecuación que satisface \(\hat{U}_I(t_0, t)\). Como \(\hat{U}_I(t_0, t)\) es la evolución temporal "de \(t\) a \(t_0\)", la ecuación diferencial respecto a \(t\) es:

\[ i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I(t_0, t) = -\hat{U}_I(t_0, t)\,\hat{H}_I(t) \]

(El signo se invierte porque en \(\hat{U}_I(t_0, t)\), \(t\) funciona no como "tiempo de partida" sino como "el inverso del tiempo de llegada". Formalmente, se puede derivar diferenciando \(\hat{U}_I(t, t_0)\hat{U}_I(t_0, t) = \mathbb{1}\) respecto a \(t\).)

Reordenando:

\[ -i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I(t_0, t) = \hat{U}_I(t_0, t)\,\hat{H}_I(t) \]

Esta es la misma ecuación que satisface \(\hat{U}_I^\dagger(t, t_0)\), y las condiciones iniciales también coinciden: \(\hat{U}_I^\dagger(t_0, t_0) = \mathbb{1} = \hat{U}_I(t_0, t_0)\). Por la unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales:

\[ \boxed{\hat{U}_I^\dagger(t, t_0) = \hat{U}_I(t_0, t)} \]

(b) Demostración de la unitariedad

En la propiedad de grupo del operador de evolución temporal \(\hat{U}_I(t, t_1)\hat{U}_I(t_1, t_0) = \hat{U}_I(t, t_0)\), haciendo \(t = t_0\):

\[ \hat{U}_I(t_0, t_1)\hat{U}_I(t_1, t_0) = \hat{U}_I(t_0, t_0) = \mathbb{1} \]

Sustituyendo el resultado de (a), \(\hat{U}_I(t_0, t_1) = \hat{U}_I^\dagger(t_1, t_0)\):

\[ \hat{U}_I^\dagger(t_1, t_0)\hat{U}_I(t_1, t_0) = \mathbb{1} \]

Tomando el límite \(t_1 \to +\infty\), \(t_0 \to -\infty\):

\[ \boxed{\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}} \]

De manera análoga, a partir de \(\hat{U}_I(t_1, t_0)\hat{U}_I(t_0, t_1) = \mathbb{1}\) se obtiene también \(\hat{S}\hat{S}^\dagger = \mathbb{1}\).

(c) Significado físico de la conservación de la probabilidad

La unitariedad implica la conservación de la probabilidad. Muestra que la suma de las probabilidades de transición desde un estado inicial \(|i\rangle\) hacia todos los posibles estados finales \(|f\rangle\) es igual a 1.

Insertando la relación de completitud \(\sum_f |f\rangle\langle f| = \mathbb{1}\):

\[ \sum_f |\langle f|\hat{S}|i\rangle|^2 = \sum_f \langle i|\hat{S}^\dagger|f\rangle\langle f|\hat{S}|i\rangle = \langle i|\hat{S}^\dagger\left(\sum_f|f\rangle\langle f|\right)\hat{S}|i\rangle \]
\[ = \langle i|\hat{S}^\dagger\hat{S}|i\rangle = \langle i|\mathbb{1}|i\rangle = 1 \]
\[ \boxed{\sum_f |\langle f|\hat{S}|i\rangle|^2 = 1} \]

Esto es precisamente el requisito de conservación de la probabilidad: "las partículas necesariamente van a algún lugar" — las partículas no pueden desaparecer después de la dispersión.

Avanzado

A-1. Extensión a la teoría de Yukawa y aplicación del teorema de Wick

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(a) Dimensión de masa de la constante de acoplamiento \(g\)

En el espacio-tiempo de 4 dimensiones, \([\mathcal{L}] = 4\), \([\psi] = 3/2\), \([\phi] = 1\).

\[ [\mathcal{L}_{\text{int}}] = [g] + [\bar{\psi}] + [\psi] + [\phi] = 4 \]
\[ [g] + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 4 \]
\[ \boxed{[g] = 4 - 4 = 0} \]

\(g\) es adimensional, y la teoría de Yukawa es renormalizable.

(b) Término de primer orden de la matriz S

A partir de \(\hat{H}' = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}} = g\int d^3x\,\hat{\bar{\psi}}\hat{\psi}\hat{\phi}\):

\[ \hat{S}^{(1)} = (-i)\int_{-\infty}^{+\infty}dt\,\hat{H}_I(t) = (-i)\int d^4x\,g\,\hat{\bar{\psi}}_I(x)\hat{\psi}_I(x)\hat{\phi}_I(x) \]
\[ \boxed{\hat{S}^{(1)} = -ig\int d^4x\,\hat{\bar{\psi}}_I(x)\hat{\psi}_I(x)\hat{\phi}_I(x)} \]

(c) Orden más bajo de la dispersión fermión-fermión

Analicemos la estructura de operadores de \(\hat{S}^{(1)}\). \(\hat{\bar{\psi}} \sim \hat{b}^\dagger + \hat{d}\) (creación de fermión o aniquilación de antifermión), \(\hat{\psi} \sim \hat{b} + \hat{d}^\dagger\) (aniquilación de fermión o creación de antifermión), \(\hat{\phi} \sim \hat{a} + \hat{a}^\dagger\) (creación o aniquilación de partícula escalar).

Cada vértice de \(\hat{S}^{(1)}\): - Aniquila 1 fermión y crea 1 fermión - Crea o aniquila 1 partícula escalar

En el proceso \(\psi + \psi \to \psi + \psi\), el estado inicial tiene 2 fermiones, el estado final tiene 2 fermiones, y no hay partículas escalares en las líneas externas. \(\hat{S}^{(1)}\) tiene un solo vértice y solo puede aniquilar 1 fermión, por lo que no puede procesar los 2 fermiones del estado inicial.

Por lo tanto, la contribución de orden más bajo aparece a partir de \(\hat{S}^{(2)}\) (segundo orden en \(g^2\)). Con dos vértices, cada vértice puede aniquilar y crear un fermión, y los dos vértices se conectan mediante una línea interna del campo escalar (propagador).

(d) Contracción del campo escalar y potencial de Yukawa

Aplicando el teorema de Wick a \(\hat{S}^{(2)}\):

\[ \hat{S}^{(2)} = \frac{(-ig)^2}{2!}\int d^4x\,d^4y\,T[\hat{\bar{\psi}}(x)\hat{\psi}(x)\hat{\phi}(x)\,\hat{\bar{\psi}}(y)\hat{\psi}(y)\hat{\phi}(y)] \]

En la dispersión fermión-fermión, como no hay partículas escalares en las líneas externas, \(\hat{\phi}(x)\) y \(\hat{\phi}(y)\) se contraen entre sí:

\[ \underbrace{\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)} = D_F(x-y) = \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\,\frac{i}{k^2 - m_\phi^2 + i\epsilon} \]

Interpretación física: Esta contracción representa el proceso en el que una partícula escalar se crea "virtualmente" en el punto espacio-temporal \(x\), se propaga hasta \(y\) y se aniquila (o viceversa). Esto es precisamente la mediación de la fuerza mediante el intercambio de una partícula escalar.

Tomando el límite no relativista en el espacio de momentos (\(|\mathbf{k}|^2 \ll m_\phi^2\), \(k^0 \approx 0\)), el propagador escalar se convierte en:

\[ \frac{i}{k^2 - m_\phi^2} \approx \frac{-i}{|\mathbf{k}|^2 + m_\phi^2} \]

Realizando la transformada de Fourier al espacio de coordenadas:

\[ V(r) \propto -\frac{g^2}{4\pi}\frac{e^{-m_\phi r}}{r} \]

Este es el potencial de Yukawa. Recordando la relación entre la amplitud de dispersión y el potencial en la aproximación de Born de la mecánica cuántica Cap. 13, se puede ver que el "intercambio de partículas" en la teoría cuántica de campos reproduce el potencial de tipo Yukawa en el límite no relativista. La masa de la partícula escalar \(m_\phi\) determina el alcance de la fuerza \(\sim 1/m_\phi\).

Verificación

  • Para \(m_\phi \to 0\), se reduce a \(V(r) \propto -g^2/(4\pi r)\) (tipo Coulomb).
  • Para \(m_\phi \to \infty\), \(V(r) \to 0\) (una partícula mediadora pesada solo transmite fuerzas de corto alcance).
  • Como \([g] = 0\), entonces \([g^2/r] = 1\) (dimensión de energía). La dimensión del potencial es correcta.

A-2. Hipótesis adiabática y teorema de Gell-Mann–Low

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(a) Verificación de \(\hat{H}_I(t) \to 0\) mediante el encendido adiabático

\[ \hat{H}_I(t)\,e^{-\epsilon|t|} \]

Cuando \(t \to +\infty\): \(e^{-\epsilon|t|} = e^{-\epsilon t} \to 0\) (\(\epsilon > 0\))

Cuando \(t \to -\infty\): \(e^{-\epsilon|t|} = e^{+\epsilon t} \to 0\) (\(\epsilon > 0\), como \(t < 0\) se tiene \(\epsilon t \to -\infty\))

Por lo tanto:

\[ \boxed{\lim_{t \to \pm\infty}\hat{H}_I(t)\,e^{-\epsilon|t|} = 0} \]

En el pasado y futuro remotos, la interacción se desvanece adiabáticamente y el sistema se comporta como una teoría libre.

(b) Teorema de Gell-Mann–Low

Estructura del argumento:

Bajo el encendido adiabático, el estado en \(t = -\infty\) es el vacío de la teoría libre \(|0\rangle\) (ya que la interacción está apagada). Al evolucionar hasta \(t = 0\) con el operador de evolución temporal \(\hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)\):

\[ \hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)|0\rangle \]

Este estado es el resultado de la deformación continua de \(|0\rangle\) durante el proceso en el que la interacción se "enciende" adiabáticamente. Por el teorema adiabático (generalización de la aproximación adiabática de la mecánica cuántica), si el sistema cambia suficientemente lento, el estado fundamental permanece en el estado fundamental. Por lo tanto, en el límite \(\epsilon \to 0^+\), este estado coincide (salvo un factor de fase) con el vacío de la teoría con interacción \(|\Omega\rangle\).

Sin embargo, \(\hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)|0\rangle\) en general no está normalizado y posee una fase indeterminada. El denominador \(\langle 0|\hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)|0\rangle\) cumple la función de corregir esto:

\[ |\Omega\rangle = \lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{\hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)|0\rangle}{\langle 0|\hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)|0\rangle} \]

Papel del denominador:

  1. Normalización: Normaliza a 1 la norma de \(\hat{U}_I^\epsilon(0, -\infty)|0\rangle\).
  2. Eliminación de la fase: Elimina la fase relativa entre \(|0\rangle\) y \(|\Omega\rangle\) (la parte \(e^{i\alpha}\) de \(\langle 0|\Omega\rangle = |\langle 0|\Omega\rangle|e^{i\alpha}\)), adoptando la convención de que \(\langle 0|\Omega\rangle\) sea real y positivo.
  3. Absorción del desplazamiento de energía: El denominador cancela la fase \(e^{-i(E_\Omega - E_0)T}\) (\(T\) es el intervalo temporal) asociada al desplazamiento de la energía del vacío \(E_\Omega - E_0\) debido a la interacción.

(c) Cancelación de las burbujas de vacío

Una burbuja de vacío (vacuum bubble) es un diagrama de Feynman sin líneas externas, es decir, un diagrama de lazos cerrados que no está conectado con partículas externas.

Al expandir la serie de Dyson, en cada orden de los elementos de matriz S \(\langle f|\hat{S}|i\rangle\) aparecen tanto "diagramas conexos que describen el proceso de dispersión físico" como "burbujas de vacío asociadas a ellos".

Teorema de cúmulos conexos (linked-cluster theorem):

Los elementos de matriz S se factorizan de la siguiente manera:

\[ \langle f|\hat{S}|i\rangle = \langle f|\hat{S}|i\rangle_{\text{connected}} \times \langle 0|\hat{S}|0\rangle \]

Aquí \(\langle 0|\hat{S}|0\rangle\) es la suma total de las contribuciones de todos los diagramas de burbujas de vacío, que se factoriza exponencialmente:

\[ \langle 0|\hat{S}|0\rangle = \exp\left(\sum_{\text{connected vacuum bubbles}}\right) \]

Por otro lado, el denominador del teorema de Gell-Mann–Low es:

\[ \langle 0|\hat{U}_I(+\infty, -\infty)|0\rangle = \langle 0|\hat{S}|0\rangle \]

Por lo tanto, al calcular amplitudes de dispersión físicas:

\[ \frac{\langle f|\hat{S}|i\rangle}{\langle 0|\hat{S}|0\rangle} = \langle f|\hat{S}|i\rangle_{\text{connected}} \]

Es decir, las contribuciones de las burbujas de vacío se cancelan exactamente con el denominador, y solo los diagramas conexos contribuyen a las amplitudes de dispersión físicas.

Más precisamente, en el caso de las funciones de correlación:

\[ \langle \Omega|T[\hat{\phi}(x_1)\cdots\hat{\phi}(x_n)]|\Omega\rangle = \frac{\langle 0|T[\hat{\phi}_I(x_1)\cdots\hat{\phi}_I(x_n)\hat{S}]|0\rangle}{\langle 0|\hat{S}|0\rangle} \]

Los diagramas no conexos (parte conexa × burbujas de vacío) que aparecen en la expansión de Wick del numerador se cancelan con \(\langle 0|\hat{S}|0\rangle\) del denominador, y finalmente solo quedan los diagramas conexos.

Verificación

  • Cuando \(\lambda = 0\) (teoría libre), \(|\Omega\rangle = |0\rangle\), \(\langle 0|\hat{S}|0\rangle = 1\), y todo se cumple trivialmente.
  • La cancelación de las burbujas de vacío es consistente con el requisito físico de que las cantidades observables (secciones eficaces y tasas de decaimiento) no dependan de la energía del vacío.
  • Este teorema se cumple a todos los órdenes en teoría de perturbaciones y proporciona la justificación teórica de la prescripción práctica en las reglas de Feynman de que "basta calcular solo los diagramas conexos".