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Cap. 6 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Jacobiano de coordenadas polares en 2 dimensiones

Determina el determinante (jacobiano) \(\det J\) de la matriz jacobiana

\[ J^i{}_j = \frac{\partial x^i}{\partial u^j} \]

que transforma de coordenadas polares bidimensionales \((r, \theta)\) a coordenadas cartesianas \((x, y)\).

Pista

Calcula el determinante de \(J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\).

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B-2. Métrica inversa en coordenadas esféricas tridimensionales

A partir del elemento de línea en coordenadas esféricas tridimensionales \((r, \theta, \varphi)\)

\[ ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

obtén la matriz inversa \(g^{ij}\) del tensor métrico \(g_{ij}\) (la métrica inversa (inverse metric)).

Pista

Cuando \(g_{ij}\) es una matriz diagonal, cada componente diagonal de la matriz inversa es el recíproco de la componente diagonal correspondiente de la matriz original.

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B-3. Representación matricial de una métrica general bidimensional

En coordenadas bidimensionales \((u, v)\), la métrica está dada por

\[ ds^2 = (1 + u^2)\,du^2 + 2uv\,du\,dv + (1 + v^2)\,dv^2 \]

Escribe el tensor métrico \(g_{ij}\) en forma de matriz \(2 \times 2\).

Pista

Al expandir \(ds^2 = g_{ij}\,du^i\,du^j\), el coeficiente del término cruzado \(du\,dv\) es \(g_{12} + g_{21}\), y se utiliza la simetría del tensor métrico \(g_{12} = g_{21}\).

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B-4. Tensor métrico en un punto específico sobre la esfera

En la métrica de una esfera de radio \(a\)

\[ ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

escribe explícitamente las componentes del tensor métrico \(g_{ij}\) en el punto \((\theta, \varphi) = (\pi/3,\, 0)\).

Pista

Sustituye \(\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\).

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B-5. Matriz jacobiana de una transformación lineal de coordenadas

En dos dimensiones, la transformación de las coordenadas \((x^1, x^2) = (x, y)\) a \((u^1, u^2) = (u, v)\) está dada por

\[ x = u + v, \quad y = u - v \]

Obtén la matriz jacobiana \(\dfrac{\partial x^i}{\partial u^j}\).

Pista

Calcula mediante derivadas parciales cada una de las siguientes: \(\partial x/\partial u\), \(\partial x/\partial v\), \(\partial y/\partial u\), \(\partial y/\partial v\).

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B-6. Aplicación de la ley de transformación del tensor métrico

Para la transformación de coordenadas de Problema B-5. Matriz jacobiana de una transformación lineal de coordenadas, aplica la ley de transformación del tensor métrico

\[ g'_{kl} = \frac{\partial x^i}{\partial u^k}\frac{\partial x^j}{\partial u^l}\,g_{ij} \]

a la métrica en coordenadas cartesianas \(g_{ij} = \delta_{ij}\), y obtén el tensor métrico \(g'_{kl}\) en las nuevas coordenadas \((u, v)\). Escribe el resultado en forma matricial.

Pista

Utiliza la matriz jacobiana \(J\) obtenida en Problema B-5. Matriz jacobiana de una transformación lineal de coordenadas y calcula \(g' = J^T g\, J = J^T J\).

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B-7. Componentes cartesianas de los vectores base coordenados

Para el vector base coordenado (coordinate basis vector) \(\boldsymbol{e}_\theta\) en coordenadas polares bidimensionales, obtén las componentes cartesianas \((\boldsymbol{e}_\theta)^x\), \((\boldsymbol{e}_\theta)^y\) en el punto \(r = 3\), \(\theta = \pi/4\).

Pista

Sustituye \(r = 3\), \(\theta = \pi/4\) en \(\boldsymbol{e}_\theta = \dfrac{\partial x}{\partial \theta}\,\boldsymbol{e}_x + \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\,\boldsymbol{e}_y\).

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B-8. Determinante de la matriz jacobiana de la transformación inversa

En coordenadas polares bidimensionales, calcula el determinante \(\det \tilde{J}\) de la matriz jacobiana de la transformación inversa

\[ \tilde{J}^k{}_i = \frac{\partial u^k}{\partial x^i} \]

y verifica la relación con \(\det J\) obtenido en Problema B-1. Jacobiano de coordenadas polares en 2 dimensiones.

Pista

A partir de \(J \tilde{J} = I\) (matriz identidad), utiliza la relación entre determinantes \(\det J \cdot \det \tilde{J} = 1\).

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Intermedio

M-1. Transformación de coordenadas \((u, v)\) y tensor métrico

Figura de referencia: Figura 5.1: Coordenadas cartesianas y polares

En un plano bidimensional, considera la transformación de coordenadas \(u = x + y\), \(v = x - y\).

(a) Obtén la matriz jacobiana \(\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\).

(b) Obtén el tensor métrico \(g'_{ij}\) en este sistema de coordenadas, utilizando la ley de transformación.

(c) Reescribe \(ds^2 = dx^2 + dy^2\) en estas coordenadas y verifica que coincide con el resultado de (b).

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M-2. Derivación del elemento de línea en coordenadas esféricas

Deriva el elemento de línea en coordenadas esféricas tridimensionales \((r, \theta, \varphi)\)

\[ ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

a partir del elemento de línea en coordenadas cartesianas \(ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\) y la transformación de coordenadas

\[ x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta \]

Expresa los diferenciales totales \(dx\), \(dy\), \(dz\) en términos de \((dr, d\theta, d\varphi)\), y muestra todo el proceso de sustitución y simplificación.

Pista

Después de obtener los diferenciales totales de \(dx\), \(dy\) y \(dz\), expande \(dx^2 + dy^2 + dz^2\). Verifica mediante identidades trigonométricas que todos los términos cruzados (\(dr\,d\theta\), etc.) se cancelan.

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M-3. Tensor métrico en coordenadas parabólicas

Las coordenadas parabólicas (parabolic coordinates) bidimensionales \((\sigma, \tau)\) se definen mediante

\[ x = \sigma\tau, \quad y = \frac{1}{2}(\tau^2 - \sigma^2) \]

(a) Encuentra la matriz jacobiana \(\dfrac{\partial x^i}{\partial u^j}\) (donde \((u^1, u^2) = (\sigma, \tau)\)).

(b) Utilizando la ley de transformación del tensor métrico, deduce el tensor métrico \(g'_{kl}\) en coordenadas parabólicas y expresa el elemento de línea \(ds^2\) en términos de \((\sigma, \tau)\).

Pista

Calcula \(g' = J^T J\). Verifica que el resultado se factoriza con un factor común \((\sigma^2 + \tau^2)\).

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M-4. Demostración de la simetría del tensor métrico

Figura de referencia: Figura 5.2: Métrica de la esfera

La ley de transformación del tensor métrico es

\[ g'_{kl}(u) = \frac{\partial x^i}{\partial u^k}\frac{\partial x^j}{\partial u^l}\,g_{ij}(x) \]

A partir de esta expresión, demuestra que el tensor métrico es un tensor simétrico, es decir, que \(g'_{kl} = g'_{lk}\), suponiendo la simetría en el sistema de coordenadas original \(g_{ij} = g_{ji}\).

Pista

En el lado derecho de la ley de transformación, intercambia los índices \(i\) y \(j\), y utiliza \(g_{ij} = g_{ji}\) junto con el cambio de nombre de los índices de sumación.

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M-5. Métrica de la superficie cilíndrica y planitud

Cuando se describe la superficie de un cilindro de radio \(a\) mediante las coordenadas \((\varphi, z)\) (donde \(\varphi\) es el ángulo en la dirección circunferencial y \(z\) es la altura), el elemento de línea es

\[ ds^2 = a^2\,d\varphi^2 + dz^2 \]

(a) Escribe el tensor métrico \(g_{ij}\) en forma matricial.

(b) Las componentes del tensor métrico de la superficie cilíndrica son constantes que no dependen de las coordenadas. Contrasta este hecho con que las componentes del tensor métrico de la esfera dependen de \(\theta\), y discute, basándote en el contenido de este capítulo, si la afirmación "componentes del tensor métrico constantes ⇒ el espacio es plano" es correcta o no.

Pista

Recuerda que una superficie cilíndrica se puede construir enrollando una hoja de papel. Como al enrollar el papel este no se estira ni se comprime, la geometría intrínseca es plana.

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M-6. Geometría de un "círculo" sobre una superficie esférica

Considera un "círculo" (\(\theta = \theta_0\) = constante) centrado en el polo norte (\(\theta = 0\)) sobre una superficie esférica de radio \(a\).

(a) Obtén la circunferencia \(C\) de este círculo utilizando la métrica de la esfera \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\).

(b) Determina la distancia \(r\) sobre la superficie esférica desde el polo norte hasta este círculo (la distancia a lo largo de un meridiano con \(\varphi\) constante).

(c) Calcula \(C/(2\pi r)\) y verifica que cuando \(\theta_0\) aumenta, este cociente se vuelve menor que 1. Esto es una manifestación de que la esfera posee curvatura positiva.

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M-7. Derivación de \(g'_{33}\) mediante la ley de transformación del tensor métrico

Utilizando la ley de transformación del tensor métrico

\[ g'_{kl}(u) = \frac{\partial x^i}{\partial u^k}\frac{\partial x^j}{\partial u^l}\,g_{ij}(x) \]

deriva la componente métrica \(g'_{33} = r^2\sin^2\theta\) de las coordenadas esféricas tridimensionales a partir de la métrica en coordenadas cartesianas \(g_{ij} = \delta_{ij}\). (Pista: utiliza \(\dfrac{\partial x}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\), \(\dfrac{\partial y}{\partial \varphi} = r\sin\theta\cos\varphi\), \(\dfrac{\partial z}{\partial \varphi} = 0\).)

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Avanzado

A-1. Tensor métrico en coordenadas curvilíneas generales

Sobre un plano bidimensional, consideremos unas "coordenadas curvilíneas generales" \((u^1, u^2)\) definidas por:

\[ x = f(u^1, u^2), \quad y = g(u^1, u^2) \]

donde \(f\) y \(g\) son funciones suficientemente suaves y la matriz jacobiana es regular.

(a) Expresa el tensor métrico \(g_{ij}\) en estas coordenadas en términos de las derivadas parciales de \(f\) y \(g\).

(b) Escribe la condición, en términos de las derivadas parciales de \(f\) y \(g\), para que los vectores base coordenados \(\boldsymbol{e}_1\) y \(\boldsymbol{e}_2\) sean ortogonales (\(g_{12} = 0\)).

(c) Para las coordenadas polares y las coordenadas parabólicas (véase Problema M-3. Tensor métrico en coordenadas parabólicas), verifica si la condición de ortogonalidad de (b) se satisface en cada caso.

Pista

Parte de \(g_{ij} = \dfrac{\partial x}{\partial u^i}\dfrac{\partial x}{\partial u^j} + \dfrac{\partial y}{\partial u^i}\dfrac{\partial y}{\partial u^j}\) y, en (b), escribe \(g_{12} = 0\) como ecuación de condición. En (c), sustituye las derivadas parciales concretas.

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A-2. Coordenadas de Rindler

Figura de referencia: Figura 2.1: Conos de luz y diagramas espacio-temporales (Capítulos 3–4)

Para el elemento de línea del espacio-tiempo de Minkowski

\[ ds^2 = -c^2\,dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

se introducen las coordenadas de Rindler \((\eta, \xi)\) mediante

\[ ct = \xi\sinh\eta, \quad x = \xi\cosh\eta \]

(las direcciones \(y\), \(z\) no se transforman).

(a) Calcula las componentes de la matriz jacobiana: \(\dfrac{\partial(ct)}{\partial \eta}\), \(\dfrac{\partial(ct)}{\partial \xi}\), \(\dfrac{\partial x}{\partial \eta}\), \(\dfrac{\partial x}{\partial \xi}\).

(b) Utilizando la ley de transformación del tensor métrico, demuestra que el elemento de línea en coordenadas de Rindler es

\[ ds^2 = -\xi^2\,d\eta^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2 \]

(c) La componente \(g_{\eta\eta} = -\xi^2\) de este tensor métrico depende de \(\xi\). Discute el significado físico de esto y cómo se relaciona con la discusión del principio de equivalencia (equivalence principle) en Cap. 5: "en un campo gravitatorio uniforme, el transcurso del tiempo varía según la posición".

Pista

Utiliza la identidad \(\cosh^2\eta - \sinh^2\eta = 1\). Para (c), recuerda que las coordenadas de Rindler corresponden al sistema de referencia de un observador en movimiento uniformemente acelerado, y considera la relación entre la componente \(g_{00}\) y el tiempo propio.

→ Ver solución