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Cap. 4 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Lectura de valores de la relación de conmutación a tiempos iguales

Usando la relación de conmutación a tiempos iguales

\[ [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

determina las siguientes cantidades.

(a) Cuando \(\mathbf{x} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{y} = (4, 5, 6)\), el valor de \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\).

(b) El valor de \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) integrado sobre todo el espacio respecto a \(\mathbf{y}\), es decir, determina

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] \]

(c) Expresa \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\) en términos de \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\).

Pista

(a) Cuando \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), la función delta de Dirac es cero. (b) Usa la propiedad fundamental de la función delta \(\int d^3y\, f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\). (c) Recuerda la antisimetría del conmutador \([A, B] = -[B, A]\).

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B-2. Cálculo de relaciones de conmutación de operadores de creación y aniquilación

Usando las relaciones de conmutación

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

calcula lo siguiente.

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

Pista

Usa repetidamente la identidad de conmutadores \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\). Es el mismo procedimiento que cuando en mecánica cuántica se calculan las relaciones de conmutación del operador número \(\hat{n} = a^\dagger a\) con \(a\) y \(a^\dagger\).

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B-3. Acción del operador de aniquilación sobre el vacío

Usando la definición del estado de vacío \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\) (para todo \(\mathbf{p}\)) y la definición del estado de una partícula \(|\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\), calcula lo siguiente.

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

Pista

(a) Descompón \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\) usando la relación de conmutación como \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle + [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] |0\rangle\). (b) Usa el resultado de (a), teniendo en cuenta que \(\langle 0 | \hat{a}_{\mathbf{p}}\) es \((\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle)^\dagger\).

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B-4. Verificación de la ortogonalidad de la transformada de Fourier

Ortogonalidad de la transformada de Fourier

\[ \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

Utilizando esta relación, calcula lo siguiente.

(a) Expresa \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) en términos de \(\delta^{(3)}\).

(b) Expresa \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\) en términos de \(\delta^{(3)}\).

(c) Calcula \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\), donde \(f(\mathbf{x})\) es una función suave arbitraria.

Pista

(a) Interpreta el exponente como \(e^{i(\mathbf{p}-(-\mathbf{q}))\cdot\mathbf{x}}\). (b) Combina los exponentes usando las leyes de los exponentes. (c) Primero considera el orden de integración en \(\mathbf{x}\) y en \(\mathbf{p}\), y utiliza la definición de la función delta.

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B-5. Cálculo explícito de \(\omega_{\mathbf{p}}\)

Utilizando la relación energía-momento

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

calcula \(\omega_{\mathbf{p}}\) en los siguientes casos (en unidades naturales \(\hbar = c = 1\)).

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\) (modo en reposo)

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\) (límite ultrarelativista). Aproxima \(\omega_{\mathbf{p}}\) al orden más bajo en \(|\mathbf{p}|\).

(d) \(m = 0\) (caso de masa nula)

Pista

(a) Simplemente sustituye \(|\mathbf{p}| = 0\). (c) Escribe \(\sqrt{p^2 + m^2} = |p|\sqrt{1 + m^2/p^2}\) y realiza un desarrollo de Taylor para \(m/|p| \ll 1\).

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B-6. Verificación de la hermiticidad del operador de campo

Dado el desarrollo en modos del campo escalar real

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

calcula el conjugado hermítico \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) y demuestra que se cumple \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})\).

Pista

Al tomar el conjugado hermítico se tiene \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \to \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \to e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) (ya que \(\mathbf{x}\) es real). En la expresión obtenida, realiza el cambio de variable de integración \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) y utiliza \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\).

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B-7. Derivación de la expansión en modos de la densidad de momento conjugado

A partir de la expansión en modos del campo (en la forma que incluye la dependencia temporal)

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

calcula la densidad de momento conjugado \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) y deriva la ecuación (4.12).

Pista

Utiliza \(\partial_0 e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t} = -i\omega_{\mathbf{p}}\, e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\) y \(\partial_0 e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t} = +i\omega_{\mathbf{p}}\, e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\) para realizar la derivada temporal. Compara con la expresión en \(t = 0\).

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B-8. Verificación de la correspondencia discreto→continuo

Cuando se coloca el sistema en una caja de volumen \(V = L^3\), el momento se discretiza como \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\) (\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)). Verifica las siguientes correspondencias.

(a) Demuestra que en el límite continuo \(L \to \infty\) se tiene \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\).

(b) A partir de las relaciones de conmutación discretas \([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}}\), ¿qué relación de escalamiento entre \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\) es necesaria para que en el límite continuo se reproduzca \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)?

Pista

(a) Considera la suma discreta como una suma de Riemann. La separación entre momentos adyacentes es \(\Delta p = 2\pi/L\). (b) Utiliza la relación \(\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}} \to \frac{(2\pi)^3}{V}\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) y deduce una relación del tipo \(\hat{a}_{\mathbf{p}} = \sqrt{V/(2\pi)^3}\, \hat{a}_{\mathbf{n}}\).

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Intermedio

M-1. Derivación de las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación a partir de las relaciones de conmutación a tiempos iguales

Sustituye las expansiones en modos del campo (4.11) y (4.12) en la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\), y demuestra que las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

son necesarias.

Concretamente, deriva qué condiciones se imponen sobre \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\) para que se satisfaga \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\).

Pista

Al expandir \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\), aparecen términos que contienen \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\) y \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\). Utiliza la ortogonalidad de la transformada de Fourier para extraer la condición de que el conmutador sea cero para todo \(\mathbf{p}, \mathbf{q}\). También puedes usar la relación \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = ([\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}])^\dagger\).

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M-2. Expresión del Hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación

Sustituye las expansiones en modos (4.11), (4.12) en el Hamiltoniano del campo de Klein-Gordon

\[ H = \int d^3x\, \mathcal{H} = \int d^3x\, \left[\frac{1}{2}\hat{\pi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 + \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\right] \]

y reescríbelo en la siguiente forma:

\[ H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

Indica explícitamente en cada paso dónde se utilizan la ortogonalidad de la transformada de Fourier (4.15) y las relaciones de conmutación (4.13).

Pista

Escribe cada uno de los tres términos \(\hat{\pi}^2\), \((\nabla\hat{\phi})^2\) y \(m^2\hat{\phi}^2\) mediante la expansión en modos. Cuando \(\nabla\) actúa sobre \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) aparece un factor \(i\mathbf{p}\). Al realizar la integración en \(\mathbf{x}\) y usar la ortogonalidad de Fourier aparecen \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} \pm \mathbf{q})\), y los términos se separan en los de tipo \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{-\mathbf{p}}\) y los de tipo \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\). Verifica que los primeros se cancelan al sumar las contribuciones de los tres términos.

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M-3. Energía del punto cero y orden normal

(a) Explica qué problema físico causa el término \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) en el resultado del problema estándar S2. En particular, calcula la energía del vacío \(\langle 0 | H | 0 \rangle\) y demuestra que diverge.

(b) Se define el orden normal (normal ordering) \(:\!\hat{O}\!:\) como "la operación de reordenar todos los operadores de creación a la izquierda de los operadores de aniquilación". Para el Hamiltoniano con orden normal

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

demuestra que \(\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0\).

(c) El orden normal elimina el valor absoluto de la energía del punto cero, pero la diferencia de energías del punto cero es físicamente observable. Explica brevemente esta afirmación en el contexto del efecto Casimir.

Pista

(a) Usando \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\), se tiene que \(\langle 0 | \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} | 0 \rangle = 0\), pero el término \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) permanece. \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) corresponde al volumen de la caja \(V/(2\pi)^3\), y además la integral sobre \(\omega_{\mathbf{p}}\) diverge en el ultravioleta. (c) La presencia o ausencia de condiciones de contorno cambia los modos permitidos, y la diferencia de energías del punto cero se manifiesta como una fuerza finita.

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M-4. Cuantización del campo escalar complejo y partículas/antipartículas

Considera la densidad Lagrangiana del campo escalar complejo

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

(a) Tratando \(\phi\) y \(\phi^*\) como campos independientes, obtén las densidades de momento conjugado \(\pi_\phi\) y \(\pi_{\phi^*}\) de cada uno.

(b) La expansión en modos del campo escalar complejo se escribe usando dos tipos de operadores de creación y aniquilación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \(\hat{b}_{\mathbf{p}}, \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) como

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

Expresa \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) en términos de \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \(\hat{b}_{\mathbf{p}}\).

(c) Explica la diferencia física entre la partícula creada por \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y la partícula creada por \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\), desde el punto de vista del signo de la carga de Noether correspondiente a la simetría \(U(1)\) \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\) estudiada en Cap. 3.

Pista

(a) Calcula \(\pi_\phi = \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_0 \phi)\). Deriva tratando \(\phi\) y \(\phi^*\) como variables independientes. (b) Basta con tomar el conjugado hermítico de \(\hat{\phi}\). A diferencia del campo escalar real, ten en cuenta que \(\hat{\phi}^\dagger \neq \hat{\phi}\). (c) Al reescribir la carga de Noether \(Q = i\int d^3x\, (\phi^* \dot{\phi} - \dot{\phi}^* \phi)\) en términos de los operadores de creación y aniquilación, \(\hat{a}^\dagger \hat{a}\) y \(\hat{b}^\dagger \hat{b}\) aparecen con signos opuestos.

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Avanzado

A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión

Considera un campo escalar sin masa (\(m = 0\)) en un espacio unidimensional, con paredes perfectamente reflectantes (condiciones de contorno de Dirichlet: \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\)) colocadas en \(x = 0\) y \(x = L\).

(a) Demuestra que los modos de momento permitidos entre las paredes son \(p_n = n\pi/L\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)).

(b) La energía del punto cero entre las paredes se escribe formalmente como

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

Reemplaza esta suma divergente por un valor finito utilizando la regularización por función zeta (zeta function regularization). Concretamente, utiliza la continuación analítica de la función zeta de Riemann \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) evaluada en \(s = -1\): \(\zeta(-1) = -1/12\).

(c) A partir de la energía de Casimir obtenida, calcula la fuerza que actúa entre las paredes \(F = -dE/dL\) y determina si dicha fuerza es atractiva o repulsiva.

(d) (Consideración avanzada) En este cálculo se ha tratado la divergencia ultravioleta mediante regularización. Desde el punto de vista físico, argumenta por qué está justificado descartar la parte divergente y quedarse solo con la parte finita, desde la perspectiva de la "diferencia de energía del punto cero con y sin condiciones de contorno".

Pista

(a) A partir de las condiciones de contorno de Dirichlet, solo se permiten modos de la forma \(\sin(p_n x)\). (b) Sustituye \(\sum n\) por \(\sum n^{-s}\) y evalúa en \(s = -1\). (c) Deriva \(E(L) = -\pi/(24L)\) respecto a \(L\). (d) Considera la diferencia entre la energía del punto cero sin paredes (modos continuos) y con paredes (modos discretos), y argumenta que las partes divergentes se cancelan. Puedes verificarlo explícitamente introduciendo un corte exponencial \(e^{-\epsilon n}\).

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A-2. Invariancia de Lorentz de las relaciones de conmutación de campos y causalidad

En la cuantización canónica se otorga un tratamiento especial al tiempo al imponer relaciones de conmutación a tiempos iguales, pero la teoría resultante debe ser invariante de Lorentz. En este problema investigamos la estructura causal de las relaciones de conmutación de los campos.

(a) Demuestra que cuando el intervalo espacio-temporal entre dos puntos \(x - y\) es espacial (\((x - y)^2 < 0\)), se puede lograr \(x^0 = y^0\) (simultaneidad) mediante una transformación de Lorentz apropiada.

(b) Utilizando la relación de conmutación a tiempos iguales para el campo escalar real \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\), argumenta que para dos puntos separados espacialmente se cumple

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{for } (x-y)^2 < 0 \]

Explica por qué esta condición se denomina microcausalidad (microcausality).

(c) Demuestra que si se intenta cuantizar el campo de Klein-Gordon con estadística de Fermi (anticonmutadores) en lugar de estadística de Bose (conmutadores), la microcausalidad se viola.

(Pista: calcula el anticonmutador \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) y verifica que no se anula para dos puntos separados espacialmente.)

Este resultado ilustra un aspecto del teorema de espín-estadística (spin-statistics theorem): los campos de espín entero obedecen la estadística de Bose y los campos de espín semientero obedecen la estadística de Fermi.

Pista

(a) Para un intervalo espacial se tiene \(|\Delta \mathbf{x}| > |\Delta t|\), por lo que una transformación de Lorentz con velocidad de boost \(v = \Delta t / |\Delta \mathbf{x}| < 1\) permite hacer los eventos simultáneos. Consulta también la discusión sobre transformaciones de Lorentz en Cap. 2. (b) Si el intervalo es espacial, existe un sistema inercial en el que los eventos son simultáneos, y allí el conmutador es cero. El conmutador de un campo escalar invariante de Lorentz no depende del sistema de referencia. (c) Al usar anticonmutadores, la contribución de \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]_+\) a \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) permanece y no se anula incluso para separación espacial.

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