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Apéndice D Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. \(\Gamma^r_{\ tt}\) de Schwarzschild

$$\Gamma^\mu{}{\nu\sigma} = \frac{1}{2}g^{\mu\alpha}\left(\partial\nu g_{\alpha\sigma} + \partial_\sigma g_{\alpha\nu} - \partial_\alpha g_{\nu\sigma}\right) $$ Usando esta expresión, deriva \(\Gamma^r{}_{tt}\). En el proceso, escribe explícitamente \(g^{rr}\) y \(\partial_r g_{tt}\).

Pista

En una métrica diagonal se cumple \(g^{rr} = 1/g_{rr}\), y en el cálculo de \(\Gamma^r{}_{tt}\) solo contribuye \(\alpha = r\) en la suma sobre el índice \(\alpha\). Calcula primero \(\partial_r g_{tt}\).

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B-2. \(\Gamma^r_{\ rr}\) de Schwarzschild

Pista

Para derivar \(g_{rr} = (1-2M/r)^{-1}\) respecto a \(r\) se necesita la regla de la cadena (derivada de una función compuesta). Se obtiene \(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\).

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B-3. \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\) en coordenadas esféricas de Minkowski

$$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2 $$ A partir de esta métrica, calcula \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\) siguiendo la definición.

Pista

La clave es la derivada respecto a \(\theta\) de \(g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta\). Usa \(g^{\theta\theta} = 1/r^2\).

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B-4. \(\Gamma^r_{\ tr}\) de FRW

$$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\left[dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2\right] $$ A partir de esta métrica, calcula \(\Gamma^r{}_{tr}\) usando la definición y verifica que resulta \(\dot{a}/a\).

Pista

Como \(g_{rr} = a^2(t)\), se tiene \(\partial_t g_{rr} = 2a\dot{a}\). Calcula \(\Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_t g_{rr}\).

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B-5. \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\) de FRW

Pista

Calcula la derivada temporal de \(g_{\theta\theta} = a^2(t)r^2\) y, teniendo en cuenta que \(g^{tt} = -1\), evalúa \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = -\frac{1}{2}g^{tt}\,\partial_t g_{\theta\theta}\).

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B-6. Verificación de la base ortonormal de Schwarzschild

Pista

Calcula \(g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = g_{\alpha\beta}\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\beta\). Las únicas componentes no nulas corresponden a \(\alpha = \beta = r\).

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B-7. Verificación de los símbolos de Christoffel para simetría esférica general

Pista

Definiendo \(\nu = \ln(1-2M/r)\), calcula \(\nu' = d\nu/dr\) y sustituye utilizando \(e^{\nu-\lambda} = (1-2M/r)^2\).

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B-8. Aplicación de las simetrías del tensor de Riemann

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\beta\alpha\gamma\delta}, \quad R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\alpha\beta\delta\gamma}, \quad R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta} $$ Usando estas relaciones, obtén la componente en base ortonormal del espaciotiempo de Schwarzschild \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\) a partir de \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\).

Pista

Si aplicas dos veces la antisimetría en el primer y segundo par de índices, o si usas la simetría de intercambio entre el par delantero y el par trasero, se obtiene en un solo paso.

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B-9. \(R_{tt} = 0\) de Schwarzschild

Pista

Desarrolla \(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}} = R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} + R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} + R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} + R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\). En la base ortonormal se usa \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) para subir y bajar índices.

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B-10. Curvatura escalar de FRW

Pista

Calcula \(G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\). La traza de \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) da \(G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = R - 2R = -R\).

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Intermedio

M-1. Límite newtoniano de la geodésica de Schwarzschild

$$\frac{d^2 r}{d\tau^2} + \Gamma^r{}{tt}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{}}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{}\right)^2 = 0 $$ Sustituye en esta ecuación los símbolos de Christoffel del formulario. Además, toma el límite de baja velocidad (}\left(\frac{d\varphi}{d\tau\(dr/d\tau \approx 0\), \(d\theta/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)) y campo gravitatorio débil (\(r \gg 2M\), \(dt/d\tau \approx 1\)), y deriva la ecuación de movimiento de Newton \(d^2r/dt^2 \approx -M/r^2\).

Pista

En el límite de baja velocidad y campo gravitatorio débil, \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\), y los términos que contienen los demás símbolos de Christoffel son despreciables. Utiliza también \(d\tau \approx dt\).

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M-2. FRW y ecuaciones de Friedmann · ley de conservación

$$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) = 0 $$ Deduce esta ecuación.

Pista

Deriva temporalmente la primera ecuación de Friedmann y elimina \(\ddot{a}\) usando la segunda ecuación de Friedmann.

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M-3. Escalar de Kretschmann de Schwarzschild

Calcula $$K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}\,R^{\alpha\beta\gamma\delta} $$ Observa que en una base ortonormal \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\mu}}\eta^{\hat{\beta}\hat{\nu}}\eta^{\hat{\gamma}\hat{\rho}}\eta^{\hat{\delta}\hat{\sigma}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}\hat{\rho}\hat{\sigma}}\). Utiliza las simetrías del tensor de Riemann para enumerar las contribuciones de las componentes independientes. Verifica que el resultado es \(K = 48M^2/r^6\).

Pista

Las componentes independientes no nulas son las 6 siguientes: \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\), \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\), \(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\), \(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\), \(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\), \(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\). Ten cuidado con los factores de multiplicidad debidos a las simetrías cuando cada componente contribuye a \(K\).

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M-4. Derivación de la función de masa

$$e^{-\lambda} = 1 - \frac{2m(r)}{r} $$ Se define mediante la expresión anterior. Reescribe \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho\) como una relación entre \(m(r)\) y \(\rho\), y deriva

\[\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho \]

Explica el significado físico de esta ecuación.

Pista

Es más conciso obtener \(\lambda' e^{-\lambda}\) diferenciando directamente respecto a \(r\) a partir de \(e^{-\lambda} = 1 - 2m/r\). Sustituye en \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) y simplifica.

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Avanzado

A-1. Órbita circular de Schwarzschild y fuerzas de marea

(a) Usando la ecuación de geodésicas y los símbolos de Christoffel del formulario, demuestra que la velocidad angular \(\Omega = d\varphi/dt\) de una órbita circular satisface

$$\Omega^2 = \frac{M}{r^3} $$ (versión relativista general de la tercera ley de Kepler).

(b) Evalúa la fuerza de marea que experimenta un observador en órbita circular, utilizando las componentes del tensor de Riemann en una base ortonormal. Concretamente, expresa la magnitud de la aceleración relativa que sufren dos partículas libres separadas una distancia \(\delta r\) en la dirección radial, en términos de \(M\), \(r\) y \(\delta r\).

(c) Calcula la razón entre la fuerza de marea en la órbita circular estable más interna (ISCO: Innermost Stable Circular Orbit) \(r = 6M\) y la fuerza de marea en el horizonte de eventos \(r = 2M\).

Pista

(a) Para una órbita circular se tiene \(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\); sustituye \(\Gamma^r{}_{tt}\) y \(\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\) en la componente \(r\) de la ecuación de geodésicas. (b) Usa la ecuación de desviación geodésica \(D^2\xi^{\hat{\alpha}}/d\tau^2 = -R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}u^{\hat{\beta}}u^{\hat{\gamma}}\xi^{\hat{\delta}}\). (c) Sustituye cada valor de \(r\) en las componentes de Riemann y calcula la razón.

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A-2. de Sitter y la constante cosmológica

$$G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} $$ se puede escribir así.

(a) Utilizando las componentes del tensor de Einstein FRW del formulario, deriva las ecuaciones de Friedmann modificadas que incluyen \(\Lambda\):

\[H^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2} $$ $$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3} \]

(b) En el caso sin materia ni curvatura espacial (\(\rho = p = 0\), \(k = 0\)), demuestra que \(a(t) \propto e^{Ht}\) (espacio-tiempo de de Sitter) y expresa \(H\) en función de \(\Lambda\).

(c) Confirma que el tensor de Riemann del espacio-tiempo de de Sitter toma la forma de un espacio máximamente simétrico \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\), obteniendo el tensor de Ricci y la curvatura escalar a partir de las componentes del tensor de Einstein FRW, y comparando con la forma general del tensor de Riemann de un espacio máximamente simétrico en 4 dimensiones.

Pista

(a) Ten en cuenta que \(\Lambda\,\eta_{\hat{t}\hat{t}} = -\Lambda\). (b) Verifica la solución constante \(H^2 = \Lambda/3\). (c) En un espacio máximamente simétrico se cumple \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{n(n-1)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})\) (donde \(n\) es la dimensión), y se utiliza la curvatura escalar del espacio-tiempo de de Sitter \(R = 4\Lambda\).

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