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Cap. 2 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Clasificación del rango tensorial de magnitudes físicas

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Problema:

Para las siguientes magnitudes físicas, indica el rango como tensor (rango 0, rango 1 o rango 2).

(a) Temperatura \(T\) (b) Fuerza \(\vec{F}\) (c) Masa \(m\) (d) Velocidad \(\vec{v}\) (e) Intervalo espacio-temporal \(ds^2\) (f) Tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) (g) Tensor de energía-momento \(T_{\mu\nu}\) (h) Cuadrivelocidad \(U^\mu\)

Solución:

Cantidad Rango
(a) Temperatura \(T\) Rango 0 (escalar)
(b) Fuerza \(\vec{F}\) Rango 1 (vector)
(c) Masa \(m\) Rango 0 (escalar)
(d) Velocidad \(\vec{v}\) Rango 1 (vector)
(e) Intervalo espacio-temporal \(ds^2\) Rango 0 (escalar)
(f) Tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) Rango 2
(g) Tensor energía-momento \(T_{\mu\nu}\) Rango 2
(h) Cuadrivelocidad \(U^\mu\) Rango 1

Punto clave: El rango se determina por el número de índices. Con 0 índices se trata de un invariante (su valor no cambia bajo transformaciones de coordenadas), con 1 índice es una cantidad de tipo vectorial, y con 2 índices es una cantidad de tipo matricial.

B-2. Limitaciones de la ecuación de movimiento de Newton

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Problema:

La ecuación de movimiento de Newton \(\vec{F} = m\vec{a}\) es invariante bajo rotaciones espaciales y traslaciones. Sin embargo, no satisface completamente el requisito exigido por la relatividad general de que "las ecuaciones deben tener la misma forma en todos los sistemas de coordenadas". Indica y explica dos aspectos en los que resulta insuficiente.

Respuesta:

Puntos en los que \(\vec{F} = m\vec{a}\) de Newton resulta insuficiente:

  1. Es un vector tridimensional solo en el espacio. En la relatividad especial, el tiempo y el espacio se mezclan (transformación de Lorentz), por lo que si no se reescribe en forma de "cuadrivector" de 4 dimensiones que incluya la componente temporal, la forma de la ecuación no se preserva bajo transformaciones entre sistemas inerciales.

  2. Trata la gravedad como una "fuerza". La gravedad de Newton \(F = -GMm/r^2\) es una acción a distancia que se transmite instantáneamente; aunque se reescriba en forma de cuadrivector, el problema de la "propagación instantánea de la gravedad" persiste. En el marco de Einstein, al describir la gravedad no como una "fuerza" sino como "curvatura del espaciotiempo", este problema se resuelve de manera fundamental.

B-3. Los dos pilares de correspondencia entre Newton y Einstein

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Problema:

El modelo gravitatorio de Einstein se compone de dos pilares: la ecuación que determina el movimiento de las partículas y la ecuación que determina la forma del espacio-tiempo. Establece la correspondencia con el modelo gravitatorio de Newton e indica el nombre y el papel de cada ecuación.

Newton Einstein
Movimiento de partículas ？ ？
Ecuación de campo ？ ？

Respuesta:

Newton Einstein
Movimiento de partículas \(\vec{F} = m\vec{a}\) (ecuación de movimiento) \(\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau} = 0\) (ecuación geodésica)
Ecuación de campo \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) (ecuación de Poisson) \(G_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) (ecuación de Einstein)

Roles:

  • Movimiento de partículas: Determina cómo se mueve una partícula dentro de un espaciotiempo dado (en el caso de Newton, el potencial \(\Phi\); en el caso de Einstein, la métrica \(g_{\mu\nu}\) y los \(\Gamma\) que se derivan de ella).
  • Ecuación de campo: Determina cómo la materia (la densidad de masa \(\rho\) o el tensor energía-momento \(T_{\mu\nu}\)) genera el espaciotiempo (\(\Phi\) o \(g_{\mu\nu}\)).

Intermedio

M-1. Comprensión de la ecuación geodésica

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Problema:

Ecuación geodésica

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

Responde a las siguientes preguntas sobre esta ecuación.

(a) ¿Qué significa físicamente que el lado derecho de esta ecuación sea cero? Explica la correspondencia con el lado derecho en \(\vec{F} = m\vec{a}\) de Newton.

(b) ¿A partir de qué se determinan los coeficientes de conexión \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)?

(c) Cuando una partícula cargada se mueve en un campo electromagnético, ¿qué ocurre con el lado derecho de esta ecuación? En ese caso, ¿puede llamarse geodésica a la trayectoria de la partícula?

Solución:

(a) Significado de que el lado derecho sea cero:

Lado derecho igual a cero = no actúa ninguna fuerza sobre la partícula. La "fuerza" que aparece en el lado derecho de \(\vec{F} = m\vec{a}\) de Newton no existe en la ecuación geodésica de Einstein.

En el marco de Einstein, la gravedad no es una fuerza, sino que está absorbida en la geometría del espacio-tiempo. El segundo término del lado izquierdo, \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) (coeficientes de conexión), se encarga del efecto de la curvatura del espacio-tiempo, por lo que la "fuerza" debida a la gravedad desaparece de la ecuación. Por tanto, "geodésica" significa "línea de mundo de una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza aparte de la gravedad" = "línea de mundo de una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza".

(b) Determinación de los coeficientes de conexión:

Los coeficientes de conexión \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) se determinan a partir de las derivadas de primer orden del tensor métrico \(g_{\mu\nu}\). Concretamente:

\[ \Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \left( \partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta} \right) \]

Esto se estudia en detalle a partir de Cap. 6.

(c) Partícula cargada en un campo electromagnético:

En un campo electromagnético, la partícula experimenta la fuerza electromagnética, por lo que esta aparece en el lado derecho:

\[ m\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = qF^{\mu}{}_{\nu}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

Una ecuación con fuerza en el lado derecho no se llama "ecuación geodésica", sino simplemente "ecuación de movimiento". Una partícula cuya trayectoria es desviada por una fuerza ya no sigue una geodésica.

M-2. Coeficiente de la ecuación de Einstein

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Problema:

Responde a las siguientes preguntas sobre la ecuación de Einstein \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\).

(a) Explica la diferencia entre \(G_{\mu\nu}\) (tensor de Einstein) en el lado izquierdo y \(G\) (constante de gravitación universal) en el lado derecho.

(b) ¿Cómo se determina el coeficiente \(8\pi G/c^4\)?

(c) En el límite de campo gravitatorio débil y velocidades bajas, ¿a qué ecuación de Newton se reduce esta ecuación?

Solución:

(a) Diferencia entre \(G_{\mu\nu}\) y \(G\):

  • \(G_{\mu\nu}\) se denomina tensor de Einstein, un tensor de rango 2 (con 2 índices). Es una cantidad que representa la curvatura del espacio-tiempo y se construye a partir de las derivadas segundas del tensor métrico \(g_{\mu\nu}\).
  • \(G\) es la constante de gravitación universal de Newton (una constante escalar sin índices). \(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\).

El uso del mismo símbolo \(G\) es una coincidencia histórica. Se distinguen por la presencia o ausencia de índices.

(b) Determinación del coeficiente \(8\pi G/c^4\):

Este coeficiente no es un número elegido libremente por Einstein, sino que se determina para que sea consistente con la ecuación de Poisson de Newton \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\). A partir de la condición de que la ecuación de Einstein se reduzca a la ecuación de Poisson en el límite de gravedad débil y velocidades bajas, el coeficiente debe ser necesariamente \(8\pi G/c^4\). El factor \(4\pi\) proviene del área de la superficie de una esfera, y el \(8\pi\) aparece por un factor 2 que surge de la estructura tensorial. Los detalles se tratan en Cap. 13.

(c) Límite de gravedad débil:

En el límite de gravedad débil y velocidades bajas, la ecuación de Einstein se reduce a la ecuación de Poisson de Newton \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\). En este caso, la componente temporal de la métrica \(g_{00}\) se relaciona con el potencial gravitatorio \(\Phi\) mediante \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\).

Avanzado

A-1. Cantidades derivadas del tensor métrico

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Problema:

Los coeficientes de conexión \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) y el tensor de Einstein \(G_{\mu\nu}\) son ambos cantidades construidas a partir del tensor métrico \(g_{\mu\nu}\). Responde de qué orden de derivadas de la métrica se construye cada uno, y qué determina físicamente cada cantidad.

Respuesta:

Número de derivadas a partir del tensor métrico \(g_{\mu\nu}\) y su significado físico:

Cantidad Derivadas de la métrica Significado físico
Coeficientes de conexión \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) 1.ª derivada Determinan la trayectoria de las partículas a través de la ecuación geodésica
Tensor de Einstein \(G_{\mu\nu}\) 2.ª derivada Representa la curvatura del espaciotiempo en sí (se construye a partir del tensor de Riemann)

Esquema:

g_{μν} (métrica)
  ├─ 1.ª derivada → Γ^μ_{αβ} (conexión) → Ecuación geodésica → Trayectoria de partículas
  └─ 2.ª derivada → R^μ_{ναβ} (Riemann) → R_{μν} (Ricci) → G_{μν} (Einstein) → Curvatura del espaciotiempo

\(\Gamma\) es la cantidad que se necesita para determinar "cómo se mueve una partícula en este espaciotiempo". \(G_{\mu\nu}\) es la cantidad que diagnostica "cuánto está curvado este espaciotiempo" (por ejemplo, para determinar singularidades en el interior de un agujero negro). En ambos casos el punto de partida es la métrica \(g_{\mu\nu}\), y es precisamente esta métrica la protagonista que se determina mediante la ecuación de Einstein.