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Cap. 1 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Estimación de la masa de Neptuno

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Problema: A partir del radio orbital de Urano \(r_U\), el radio orbital de Neptuno \(r_N\) y la desviación observada en la aceleración \(\delta a\), expresa la masa de Neptuno \(M_N\).

Solución:

La aceleración gravitacional que Neptuno ejerce sobre Urano, a partir de la gravitación universal de Newton, es:

\(\delta a = \frac{GM_N}{(r_N - r_U)^2}\)

Aquí, por simplicidad, se ha aproximado que Urano y Neptuno se encuentran del mismo lado, con una distancia de \(|r_N - r_U|\). Resolviendo para \(M_N\):

\(\boxed{M_N = \frac{\delta a \cdot (r_N - r_U)^2}{G}}\)

Nota: Los cálculos reales de Le Verrier y Adams fueron mucho más complejos que esto, teniendo en cuenta la elipticidad de las órbitas y la variación temporal de las posiciones relativas de los planetas. Este problema es una simplificación de la idea esencial.

B-2. Por qué T-V y no T+V

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(a) Caso \(L = T - V\) (Lagrangiano correcto):

\(L = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy\)

Cada derivada parcial:

\(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m\dot{y}, \qquad \frac{\partial L}{\partial y} = -mg\)

Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0\):

\(\frac{d}{dt}(m\dot{y}) - (-mg) = 0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot{y} + mg = 0\)

\(\boxed{m\ddot{y} = -mg}\)

Esta es la ecuación de movimiento de Newton, que expresa correctamente que "la gravedad actúa hacia abajo (dirección \(-y\)) y la pelota acelera hacia abajo".

(b) Caso \(L' = T + V\) (Lagrangiano incorrecto):

\(L' = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy\)

Cada derivada parcial:

\(\frac{\partial L'}{\partial \dot{y}} = m\dot{y}, \qquad \frac{\partial L'}{\partial y} = +mg\)

Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange:

\(\frac{d}{dt}(m\dot{y}) - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot{y} - mg = 0\)

\(\boxed{m\ddot{y} = +mg \quad(\text{no físico})}\)

Esto significa que "la gravedad actúa hacia arriba y la pelota acelera hacia arriba", lo cual contradice la experiencia.

Significado físico: La forma del Lagrangiano no es una "ley natural" sino una "hipótesis". La forma \(L = T - V\) se justifica únicamente a posteriori porque "si la asumimos y aplicamos la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos la ecuación de movimiento de Newton". Es decir, incluso en el formalismo lagrangiano, la forma correcta se selecciona en última instancia por su consistencia con el experimento. Esto es coherente con la postura del prólogo de que "todos los modelos en física son hipótesis".

Verificación: Si lanzamos hacia arriba con velocidad inicial \(\dot{y}(0) = v_0\), en (a) obtenemos \(y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2\) (movimiento parabólico que alcanza un punto máximo y luego cae), mientras que en (b) obtenemos \(y(t) = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2\) (solución no física que asciende acelerando indefinidamente); solo (a) concuerda con el experimento.

Intermedio

M-1. Derivación de la tercera ley de Kepler

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Problema: Usando la gravitación universal \(F = GMm/r^2\) y la condición de movimiento circular \(F = mv^2/r\), deriva \(T^2 \propto r^3\).

Solución:

Para un planeta (masa \(m\)) en órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

\(G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\)

Cancelando \(m\) en ambos lados y resolviendo para \(v\):

\(v^2 = \frac{GM}{r}\)

Como el período del movimiento circular es \(T = 2\pi r / v\):

\(T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \cdot \frac{1}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\)

Elevando ambos lados al cuadrado:

\(\boxed{T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3}\)

Como \(G\) y \(M\) (la masa del Sol) son constantes, queda demostrado que \(T^2 \propto r^3\). Esta es la tercera ley de Kepler.

Punto clave: A partir del modelo de Newton, se determina específicamente incluso la constante de proporcionalidad \(4\pi^2/(GM)\). La ley de Kepler solo encontró empíricamente la relación "\(T^2 \propto r^3\)", pero el modelo de Newton predice incluso el valor de la constante de proporcionalidad. Esta es la diferencia entre "describir" y "explicar".

M-2. Cálculo del potencial gravitatorio

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Problema: Resuelve \(\nabla^2 \Phi = 0\) en la región \(r \neq 0\) bajo la hipótesis de simetría esférica y deduce \(\Phi = -GM/r\).

Solución:

Por simetría esférica, supongamos \(\Phi = \Phi(r)\). El laplaciano en coordenadas esféricas es:

\(\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\)

En la región \(r \neq 0\) se tiene \(\rho = 0\), por lo que \(\nabla^2 \Phi = 0\):

\(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right) = 0\)

Como \(r^2 \neq 0\), el contenido del paréntesis es una constante:

\(r^2 \frac{d\Phi}{dr} = C_1\)

\(\frac{d\Phi}{dr} = \frac{C_1}{r^2}\)

Integrando:

\(\Phi = -\frac{C_1}{r} + C_2\)

Imponiendo la condición de contorno de que \(\Phi \to 0\) cuando \(r \to \infty\) (el potencial se anula en el infinito), se obtiene \(C_2 = 0\).

A continuación, determinamos \(C_1\). Como hay una masa \(M\) en el origen, integramos la ecuación de Poisson sobre una esfera que contenga el origen (usando el teorema de Gauss):

\(\int \nabla^2 \Phi \, dV = 4\pi G \int \rho \, dV = 4\pi G M\)

Aplicando el teorema de Gauss al lado izquierdo:

\(\oint \nabla\Phi \cdot d\mathbf{S} = \oint \frac{d\Phi}{dr} \cdot r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \frac{C_1}{r^2} \cdot 4\pi r^2 = 4\pi C_1\)

Por lo tanto \(4\pi C_1 = 4\pi GM\), es decir, \(C_1 = GM\).

\(\boxed{\Phi = -\frac{GM}{r}}\)

Verificación: Calculando la fuerza a partir de este \(\Phi\): \(F = -m \frac{d\Phi}{dr} = -m \cdot \frac{GM}{r^2}\) (negativo en la dirección atractiva). Se obtiene \(|F| = GMm/r^2\), lo cual coincide con la ley de gravitación universal de Newton.