Cap. 1 Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Sustitución de una solución de onda plana en la ecuación de Klein-Gordon y derivación de la relación de dispersión
- B-2. Cálculo de la densidad de probabilidad para la solución de energía negativa
- B-3. Relaciones de anticonmutación de la condición (1.12) de la ecuación de Dirac
- B-4. Demostración de la identidad de la ecuación de continuidad
- B-5. Cálculo de la longitud de onda de Compton
- B-6. Dimensión de masa en el sistema de unidades naturales
- B-7. Escala temporal de la creación de pares a partir de la relación de incertidumbre
- B-8. Operador de d'Alembert y forma covariante de la ecuación de Klein-Gordon
Intermedio
- M-1. Covarianza de Lorentz de la densidad de corriente de probabilidad de la ecuación de Klein-Gordon
- M-2. No negatividad de la densidad de probabilidad de la ecuación de Dirac
- M-3. Longitud de onda de Compton y localización de la posición
- M-4. Solución general del campo de Klein-Gordon y modos de frecuencia positiva y negativa
Avanzado
Básico¶
B-1. Sustitución de una solución de onda plana en la ecuación de Klein-Gordon y derivación de la relación de dispersión¶
Sustituye la solución de onda plana \(\phi(\mathbf{x}, t) = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - Et)}\) en esta ecuación y deriva la relación de dispersión \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\). Muestra explícitamente el cálculo de cada derivada.
Pista
Al calcular \(\partial^2 \phi / \partial t^2\) se obtiene \((-iE)^2 \phi = -E^2 \phi\). Para \(\nabla^2 \phi\), considera de manera análoga el cuadrado de \((i\mathbf{p})\).
B-2. Cálculo de la densidad de probabilidad para la solución de energía negativa¶
Sustituye en esta expresión la solución de energía negativa \(\phi = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + |E|t)}\) (donde \(E = -|E|\), \(|E| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)) y expresa \(\rho\) en términos de \(|A|^2\), \(|E|\) y \(m\). Verifica que se obtiene \(\rho < 0\).
Pista
Al sustituir \(E = -|E|\), la derivada temporal de la onda plana resulta \(\partial\phi/\partial t = i|E|\,\phi\). Sigue el mismo procedimiento que en la derivación de la ecuación (1.10), prestando atención al signo de \(E\).
B-3. Relaciones de anticonmutación de la condición (1.12) de la ecuación de Dirac¶
Usando estas relaciones, demuestra lo siguiente:
(a) \((\alpha^1)^2 = 1\)
(b) \(\alpha^1 \beta = -\beta \alpha^1\)
(c) Los valores propios de \(\alpha^i\) son únicamente \(\pm 1\) (pista: utiliza \((\alpha^i)^2 = 1\))
Pista
(a) En \(\{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}\), toma \(i = j\). (c) Si \(A^2 = 1\) y \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\), entonces \(A^2 \mathbf{v} = \lambda^2 \mathbf{v} = \mathbf{v}\), de donde \(\lambda^2 = 1\).
B-4. Demostración de la identidad de la ecuación de continuidad¶
Pista
Deriva el lado derecho con respecto al tiempo y expándelo. Utiliza relaciones como \(\frac{\partial}{\partial t}(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}) = \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\) y encuentra los términos que se cancelan.
B-5. Cálculo de la longitud de onda de Compton¶
- \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\) J·s
- \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg
- \(c = 2.998 \times 10^{8}\) m/s
Además, calcula la longitud de onda de Compton del protón (\(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg) y compárala con el caso del electrón.
Pista
Solo tienes que sustituir los valores numéricos en \(\lambda_C = \hbar/(mc)\). La longitud de onda de Compton del protón debería ser aproximadamente \(m_e/m_p \approx 1/1836\) veces la del electrón.
B-6. Dimensión de masa en el sistema de unidades naturales¶
(a) Tiempo \(t\)
(b) Longitud \(x\)
(c) Masa \(m\)
(d) El campo \(\phi(\mathbf{x}, t)\) de la ecuación de Klein-Gordon (en 3+1 dimensiones, utilizando el hecho de que la acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) con densidad lagrangiana \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) es adimensional)
Pista
Con \(\hbar = c = 1\) se tiene \([E] = [p] = [m] = 1\) (dimensión de masa 1), \([x] = [t] = -1\) (dimensión de masa \(-1\)). Como la acción \(S\) tiene \([\hbar] = 0\) (adimensional), determina \([\mathcal{L}]\) a partir de \([d^4x] + [\mathcal{L}] = 0\), y luego obtén \([\phi]\).
B-7. Escala temporal de la creación de pares a partir de la relación de incertidumbre¶
(a) Estima el tiempo máximo \(\Delta t\) durante el cual un par electrón-positrón (energía en reposo \(2m_e c^2 \approx 1.022\) MeV) puede ser creado virtualmente.
(b) Calcula la distancia que la luz recorre durante ese tiempo y compárala con la longitud de onda de Compton.
Pista
(a) \(\Delta t \sim \hbar / \Delta E = \hbar / (2m_e c^2)\). (b) \(c \cdot \Delta t = \hbar/(2m_e c) = \lambda_C / 2\).
B-8. Operador de d'Alembert y forma covariante de la ecuación de Klein-Gordon¶
Usando esta definición, verifica que la ecuación (1.1) puede escribirse como \((\Box + m^2)\phi = 0\). Para ello, utiliza el tensor métrico \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\) y desarrolla \(\partial_\mu \partial^\mu\) en componentes.
Pista
Como \(\partial_\mu = (\partial/\partial t, \partial/\partial x^1, \partial/\partial x^2, \partial/\partial x^3)\) y \(\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu = (\partial/\partial t, -\partial/\partial x^1, -\partial/\partial x^2, -\partial/\partial x^3)\), se tiene \(\partial_\mu \partial^\mu = (\partial/\partial t)^2 - (\nabla)^2\).
Intermedio¶
M-1. Covarianza de Lorentz de la densidad de corriente de probabilidad de la ecuación de Klein-Gordon¶
Demuestra que \(\rho\) y \(\mathbf{j}\), definidos en las ecuaciones (1.6) y (1.7) del texto, pueden escribirse de forma unificada como la cuadricorriente
En concreto:
(a) Verifica que \(j^0 = \rho\) (ecuación (1.6)).
(b) Verifica que \(j^k\) (\(k = 1, 2, 3\)) coincide con cada componente de \(\mathbf{j}\) de la ecuación (1.7) (presta atención al signo de la métrica).
(c) Demuestra que la ecuación de continuidad (1.5) puede escribirse como \(\partial_\mu j^\mu = 0\), y argumenta por qué esta es una condición escalar de Lorentz.
Pista
Usando la métrica \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\), se tiene \(\partial^0 = \partial/\partial t\) pero \(\partial^k = -\partial/\partial x^k\). En (b), presta atención al manejo de los signos. En (c), indica que \(\partial_\mu j^\mu = 0\) no cambia de forma bajo transformaciones de Lorentz (es una ecuación escalar).
M-2. No negatividad de la densidad de probabilidad de la ecuación de Dirac¶
Partiendo de la ecuación de Dirac (1.11) y su conjugado hermítico, demuestra que la densidad de probabilidad \(\rho = \psi^\dagger \psi\) y la densidad de corriente de probabilidad \(\mathbf{j} = \psi^\dagger \boldsymbol{\alpha} \psi\) satisfacen la ecuación de continuidad
Muestra explícitamente cada paso de la derivación.
Pista
De la ecuación (1.11) se obtiene \(i\partial_t \psi = H_D \psi\) (con \(H_D = -i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m\)). El conjugado hermítico es \(-i\partial_t \psi^\dagger = \psi^\dagger H_D^\dagger\). Utiliza el hecho de que \(H_D\) es hermítico (las matrices \(\alpha^i\) y \(\beta\) son hermíticas) y calcula \(\partial_t(\psi^\dagger\psi)\).
M-3. Longitud de onda de Compton y localización de la posición¶
Considera un experimento mental en el que una partícula escalar de masa \(m\) se confina en una caja unidimensional de ancho \(L\).
(a) A partir del principio de incertidumbre, estima la incertidumbre en el momento de la partícula dentro de la caja \(\Delta p \sim \hbar/L\) y obtén la incertidumbre correspondiente en la energía relativista \(\Delta E\) (discute tanto el límite \(\Delta p \gg mc\) como el límite \(\Delta p \ll mc\)).
(b) A partir de la condición \(\Delta E \geq 2mc^2\), expresa el valor crítico del ancho de la caja \(L\) en términos de la longitud de onda de Compton \(\lambda_C = \hbar/(mc)\).
(c) Explica por qué este resultado es consistente con la discusión del texto que afirma que «la descripción de una sola partícula deja de ser válida en escalas de distancia menores que la longitud de onda de Compton».
Pista
(a) La energía relativista es \(E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\), pero en el caso \(\Delta p \gg mc\) se tiene \(\Delta E \approx c\,\Delta p\). (b) Resolviendo \(c \cdot \hbar / L \geq 2mc^2\) se obtiene \(L \lesssim \lambda_C / 2\).
M-4. Solución general del campo de Klein-Gordon y modos de frecuencia positiva y negativa¶
Escribimos la solución general de la ecuación de Klein-Gordon mediante una expansión de Fourier como
donde \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} > 0\).
(a) Verifica mediante sustitución directa que este \(\phi\) satisface la ecuación de Klein-Gordon.
(b) En el caso de que \(\phi\) sea un campo escalar real (\(\phi = \phi^*\)), ¿qué relación se cumple entre \(a(\mathbf{p})\) y \(b(\mathbf{p})\)?
(c) En el caso de que \(\phi\) sea un campo escalar complejo, indica que \(a(\mathbf{p})\) y \(b(\mathbf{p})\) son independientes, y discute la relación con el argumento del texto principal de que este último corresponde a "antipartículas".
Pista
(a) Al aplicar \(\Box + m^2\) a cada modo de Fourier, se obtiene \((-\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2) = 0\). (b) Compara la condición \(\phi^* = \phi\) componente a componente de Fourier.
Avanzado¶
A-1. Causalidad y función de propagación de Klein-Gordon¶
Para el campo libre de Klein-Gordon, definimos la función de Green retardada (función de propagación) \(G_R(x - y)\) mediante
(a) Obtén la representación de Fourier de \(G_R\). Explicita el tratamiento de los polos (prescripción \(i\varepsilon\)) y muestra, mediante una discusión del contorno de integración en el plano complejo de \(p^0\), cómo se realiza la condición de contorno retardada (\(G_R = 0\) para \(x^0 < y^0\)).
(b) Demuestra (o argumenta) que \(G_R(x - y) = 0\) para intervalos de tipo espacial \((x - y)^2 < 0\), y explica por qué esto constituye una expresión de la causalidad.
(c) A la luz de este resultado, discute cómo se puede justificar matemáticamente la afirmación del texto de que «las fuerzas se transmiten a velocidades iguales o menores que la de la luz mediante el intercambio de partículas virtuales».
Pista
(a) Mediante la transformada de Fourier se tiene \((\Box + m^2) \to (-p^2 + m^2)\), de modo que \(\tilde{G}_R(p) = 1/(p^2 - m^2)\). La condición retardada se implementa colocando ambos polos por debajo del eje real (\(p^0 \to p^0 + i\varepsilon\)). (b) Para intervalos de tipo espacial, el signo de \(x^0 - y^0\) puede invertirse mediante una transformación de Lorentz; utiliza el factor \(\theta(x^0 - y^0)\) de \(G_R\).
A-2. Equivalencia entre el mar de Dirac y la teoría cuántica de campos¶
En el texto se señaló que la imagen del mar de Dirac no puede aplicarse a bosones. Profundicemos en este problema.
(a) Muestra que, en la imagen del mar de Dirac, la energía del estado de vacío diverge formalmente como \(E_{\text{vac}} = -\sum_{\mathbf{p}, s} \omega_{\mathbf{p}}\) (todos los estados de energía negativa están ocupados). Aquí la suma se extiende sobre todos los momentos \(\mathbf{p}\) y espines \(s\).
(b) En el marco de la teoría cuántica de campos (segunda cuantización), las antipartículas se describen no como "agujeros en el mar", sino como "excitaciones de energía positiva creadas por operadores de creación de antipartículas". Demuestra que estas dos imágenes dan los mismos resultados para las magnitudes físicas observables (diferencias de energía, diferencias de carga) considerando un proceso físico concreto (por ejemplo: creación de un par electrón-positrón).
(c) Explica claramente, desde el punto de vista del principio de exclusión de Pauli, por qué la imagen del mar de Dirac no puede construirse para un campo escalar (espín 0, estadística de Bose). Además, describe cómo se evita este problema en la teoría cuántica de campos.
Pista
(a) Como se ocupan todos los estados de energía negativa \(E = -\omega_{\mathbf{p}}\), la energía es \(\sum_{\mathbf{p},s}(-\omega_{\mathbf{p}})\). (b) Compara el costo energético de crear un "agujero" en el mar de Dirac \(+\omega_{\mathbf{p}}\) con la energía de crear una antipartícula en la teoría cuántica de campos \(+\omega_{\mathbf{p}}\). (c) Los bosones pueden ocupar un mismo estado en número arbitrario, por lo que es imposible "llenarlos todos". En la teoría cuántica de campos, la estadística se incorpora automáticamente mediante la elección de relaciones de conmutación (bosones) o anticonmutación (fermiones).
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