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Apéndice D Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Cálculo del momento canónico a partir del Lagrangiano

Para los siguientes Lagrangianos, obtén el momento canónico \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\).

(a)

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}k q^2 \]

(b)

\[ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) \]

Obtén \(p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\) y \(p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\) respectivamente.

(c)

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + e\dot{q}A(q) - e\phi(q) \]

donde \(A(q)\) es el potencial vectorial (vector potential), \(\phi(q)\) es el potencial escalar (scalar potential) y \(e\) es la carga eléctrica.

Pista

Aplica directamente la definición de momento canónico (D.12) \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\). Al derivar parcialmente respecto a \(\dot{q}\), trata \(q\) como una constante. En (c), ten en cuenta que \(A(q)\) no depende de \(\dot{q}\).

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B-2. Construcción del Hamiltoniano mediante la transformada de Legendre

Para cada Lagrangiano del Drill D1, obtén el Hamiltoniano \(H(q, p) = p\dot{q} - L\) como función de \(q\) y \(p\). Para ello, despeja \(\dot{q}\) invirtiendo la definición de \(p\) y elimínalo.

(a) Para el caso D1(a)

(b) Para el caso D1(b) (obtén \(H(r, \theta, p_r, p_\theta)\))

(c) Para el caso D1(c)

Pista

Despeja \(\dot{q}\) a partir de \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) obtenido en D1, y sustitúyelo en \(H = p\dot{q} - L\). En (b), ten en cuenta que \(H = p_r\dot{r} + p_\theta\dot{\theta} - L\).

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B-3. Aplicación de las ecuaciones canónicas de Hamilton

Para el Hamiltoniano del oscilador armónico unidimensional

\[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 \]

escribe las ecuaciones canónicas de Hamilton (D.21), obtén \(\dot{q}\) y \(\dot{p}\). Además, diferenciando con respecto al tiempo la expresión de \(\dot{q}\) y combinándola con la expresión de \(\dot{p}\), deriva la ecuación diferencial de segundo orden para \(q\) y confirma que coincide con la ecuación de movimiento del oscilador armónico \(m\ddot{q} = -m\omega^2 q\).

Pista

Calcula respectivamente \(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\) y \(\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}\). Al derivar con respecto al tiempo \(\dot{q} = p/m\) se obtiene \(\ddot{q} = \dot{p}/m\), por lo que sustituyes \(\dot{p}\).

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B-4. Aplicación directa de la ecuación de Euler-Lagrange

Para los siguientes lagrangianos, escribe la ecuación de Euler-Lagrange (D.9) y obtén las ecuaciones de movimiento.

(a) Partícula libre: \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2\)

(b) Partícula en un campo gravitatorio: \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - mgq\) (\(g\) es la aceleración gravitatoria)

(c) Potencial unidimensional general: \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\)

Pista

Calcula respectivamente \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) y \(\frac{\partial L}{\partial q}\), y sustituye en \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\). En (b), ten en cuenta que \(\frac{\partial}{\partial q}(mgq) = mg\).

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B-5. Verificación directa de la conservación de la energía

Para el hamiltoniano del oscilador armónico unidimensional (el mismo que en D3), desarrolla \(\frac{dH}{dt}\) mediante la regla de la cadena, sustituye las ecuaciones canónicas de Hamilton y demuestra que \(\frac{dH}{dt} = 0\). Reproduce con tus propias manos el cálculo de la ecuación (D.25) del texto.

Pista

Escribe \(\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}\) y sustituye \(\dot{q}\), \(\dot{p}\) así como \(\frac{\partial H}{\partial q}\), \(\frac{\partial H}{\partial p}\) obtenidos en D3.

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B-6. Cálculo concreto de la acción

Considera el caso de una partícula libre (\(V = 0\)) que en el instante \(t_1 = 0\) se encuentra en la posición \(q_A = 0\) y en el instante \(t_2 = T\) alcanza la posición \(q_B = d\). Suponiendo como trayectoria el movimiento rectilíneo uniforme \(q(t) = \frac{d}{T}t\), calcula la acción

\[ S[q] = \int_0^T \frac{1}{2}m\dot{q}^2\, dt \]
Pista

En el movimiento rectilíneo uniforme, \(\dot{q} = d/T\) es una constante. La integral de una constante se puede realizar fácilmente.

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B-7. Práctica de cálculo de variaciones

Considera la acción de una partícula libre (misma configuración que D6), y una trayectoria \(q(t) = q_0(t) + \delta q(t)\) obtenida al añadir una pequeña desviación \(\delta q(t) = \epsilon \sin\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\) (donde \(\epsilon\) es un parámetro infinitesimal) a la trayectoria de movimiento rectilíneo uniforme \(q_0(t) = \frac{d}{T}t\).

(a) Verifica que \(\delta q(t)\) satisface las condiciones de frontera \(\delta q(0) = \delta q(T) = 0\).

(b) Calcula \(S[q_0 + \delta q]\) hasta segundo orden en \(\epsilon\) y verifica que \(S[q_0 + \delta q] - S[q_0]\) no tiene términos de primer orden en \(\epsilon\).

Pista

Sustituye \(\dot{q} = \dot{q}_0 + \epsilon\frac{\pi}{T}\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\) en \(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\) y desarrolla. Es útil usar \(\int_0^T \cos^2\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)dt = T/2\). El hecho de que el término de primer orden en \(\epsilon\) se anule es el significado de "estacionario".

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B-8. Cálculo de corchetes de Poisson

Los corchetes de Poisson, introducidos en la sección D.6 del texto (fuera del extracto del texto, pero cuya definición se muestra a continuación), se definen como:

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \sum_j \left(\frac{\partial A}{\partial q_j}\frac{\partial B}{\partial p_j} - \frac{\partial A}{\partial p_j}\frac{\partial B}{\partial q_j}\right) \]

Calcula lo siguiente para el caso de un grado de libertad.

(a) \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(b) \(\{q, q\}_{\mathrm{PB}}\) y \(\{p, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(c) \(\{q^2, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(d) \(\{q, p^2\}_{\mathrm{PB}}\)

Pista

Sustituye \(A\) y \(B\) en la definición y calcula las derivadas parciales. Por ejemplo, en (a) se toma \(A = q\), \(B = p\) y se usa \(\frac{\partial q}{\partial q} = 1\), \(\frac{\partial q}{\partial p} = 0\), etc.

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Intermedio

M-1. Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en coordenadas polares bidimensionales

Considera el caso de una partícula de masa \(m\) que se mueve en un plano bidimensional bajo un potencial de fuerza central \(V(r)\). El lagrangiano en coordenadas polares \((r, \theta)\) es

\[ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) \]

(a) Deriva la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(r\) y explica su significado físico (ecuación de movimiento en la dirección radial).

(b) Deriva la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(\theta\) y explica por qué \(\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0\) implica la conservación del momento angular.

(c) Compara estos resultados con la expresión en coordenadas polares de las ecuaciones de movimiento de Newton y describe las ventajas del formalismo lagrangiano.

Pista

(a) Calcula \(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}\), \(\frac{\partial L}{\partial r} = mr\dot{\theta}^2 - V'(r)\). (b) Observa que \(L\) no depende explícitamente de \(\theta\) — ¿qué implica la ecuación de Euler-Lagrange cuando \(\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\)? (c) Compara con el hecho de que en el formalismo newtoniano es necesario introducir por separado las componentes de la aceleración en coordenadas polares (términos de fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis).

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M-2. Transformada inversa de Legendre

Verifica que la transformada de Legendre "conserva la información" siguiendo los pasos indicados a continuación.

(a) Partiendo de un Hamiltoniano de un grado de libertad \(H(q, p)\), describe el procedimiento para obtener \(p = p(q, \dot{q})\) resolviendo inversamente la ecuación \(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\) respecto a \(p\).

(b) Define la transformada de Legendre inversa \(L(q, \dot{q}) = p\dot{q} - H(q, p)\) (donde \(p\) se expresa en términos de \(q, \dot{q}\)), y partiendo del Hamiltoniano del oscilador armónico unidimensional \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\), recupera \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\).

(c) Demuestra que, en general, aplicar la transformada de Legendre dos veces devuelve la función original (demostración de la propiedad de involución).

Pista

(a) \(\dot{q} = \partial H/\partial p\) es una ecuación implícita para \(p\). (b) A partir de \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\), se obtiene \(\dot{q} = p/m\), por lo tanto se sustituye \(p = m\dot{q}\). (c) Plantea \(L \xrightarrow{\text{Legendre}} H \xrightarrow{\text{Legendre}} L'\) y demuestra que \(L' = L\). Regresa a la definición de \(\frac{\partial H}{\partial p}\) y calcula.

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M-3. Órbitas del oscilador armónico en el espacio de fases

Consideremos las ecuaciones canónicas de Hamilton para el oscilador armónico unidimensional:

\[ \dot{q} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -m\omega^2 q \]

(a) Resuelve este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas y expresa la solución general \(q(t)\), \(p(t)\) en términos de las condiciones iniciales \(q(0) = q_0\), \(p(0) = p_0\).

(b) Elimina \(t\) de las soluciones y demuestra que la órbita en el espacio de fases (phase space) \((q, p)\) es una elipse de la forma

\[ \frac{q^2}{q_0^2 + p_0^2/(m\omega)^2} + \frac{p^2}{(m\omega)^2 q_0^2 + p_0^2} = 1 \]

(puedes reorganizar la expresión utilizando apropiadamente la energía \(E\)).

(c) Reescribe la ecuación de la elipse utilizando la energía \(E = H(q_0, p_0)\) como

\[ \frac{m\omega^2 q^2}{2E} + \frac{p^2}{2mE} = 1 \]

y expresa las longitudes del semieje mayor y del semieje menor de la elipse en términos de \(E\), \(m\) y \(\omega\).

Pista

(a) De \(\ddot{q} = \dot{p}/m = -\omega^2 q\) se obtiene \(q(t) = q_0\cos\omega t + \frac{p_0}{m\omega}\sin\omega t\). Se calcula \(p(t) = m\dot{q}(t)\). (b) Utiliza la identidad \(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t = 1\). (c) Sustituye \(E = \frac{p_0^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q_0^2\).

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M-4. Corchetes de Poisson y ecuaciones de movimiento de Hamilton

Demuestra que la evolución temporal de cualquier variable dinámica \(A(q, p, t)\) puede escribirse mediante los corchetes de Poisson como

\[ \frac{dA}{dt} = \{A, H\}_{\mathrm{PB}} + \frac{\partial A}{\partial t} \]

Además, sustituye \(A = q_j\) y \(A = p_j\) y verifica que se reproducen las ecuaciones canónicas de Hamilton (D.21).

Pista

Sustituye las ecuaciones canónicas de Hamilton en \(\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial A}{\partial p_j}\dot{p}_j + \frac{\partial A}{\partial t}\). Compara con la definición de los corchetes de Poisson.

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M-5. Cuantización canónica: verificación de las relaciones de conmutación

En la receta de la cuantización canónica, se reemplazan los corchetes de Poisson clásicos por relaciones de conmutación de la siguiente manera:

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}] \]

(a) A partir de \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\) (resultado de D8(a)), deriva la relación de conmutación canónica \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\).

(b) Para el hamiltoniano del oscilador armónico unidimensional \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{q}^2\), aplica la ecuación de movimiento de Heisenberg

\[ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}] \]

a \(\hat{A} = \hat{q}\) y \(\hat{A} = \hat{p}\), y muestra que se obtienen las versiones operatoriales de las ecuaciones canónicas de Hamilton:

\[ \frac{d\hat{q}}{dt} = \frac{\hat{p}}{m}, \qquad \frac{d\hat{p}}{dt} = -m\omega^2\hat{q} \]
Pista

(a) Aplica directamente la regla de sustitución a \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\). (b) Usa la fórmula de conmutadores \([\hat{q}, \hat{p}^2] = [\hat{q}, \hat{p}]\hat{p} + \hat{p}[\hat{q}, \hat{p}] = 2i\hbar\hat{p}\). De manera análoga, calcula también \([\hat{p}, \hat{q}^2]\).

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Avanzado

A-1. Cuantización canónica de una partícula cargada en un campo electromagnético

El Lagrangiano de una partícula cargada (carga \(e\), masa \(m\)) en un campo electromagnético viene dado por

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) - e\phi(\mathbf{r}, t) \]

donde \(\mathbf{A}\) es el potencial vectorial y \(\phi\) es el potencial escalar.

(a) Obtén el momento canónico \(\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\) y muestra que difiere del momento mecánico usual \(m\dot{\mathbf{r}}\).

(b) Deriva el Hamiltoniano \(H(\mathbf{r}, \mathbf{p})\) y muestra que

\[ H = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} + e\phi \]

(c) Aplica la receta de cuantización canónica \(\mathbf{r} \to \hat{\mathbf{r}}\), \(\mathbf{p} \to \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\) y escribe la ecuación de Schrödinger en un campo electromagnético

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla - e\mathbf{A})^2\Psi + e\phi\,\Psi \]

(d) Bajo la transformación de gauge \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi\), \(\phi \to \phi - \frac{\partial\chi}{\partial t}\), muestra que la función de onda se transforma como \(\Psi \to \Psi' = e^{ie\chi/\hbar}\Psi\), y verifica que las magnitudes físicas observables (como la densidad de probabilidad \(|\Psi|^2\)) son invariantes de gauge.

Pista

(a) Ten en cuenta que \(\frac{\partial}{\partial \dot{r}_i}\left(e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\right) = eA_i\). (b) En \(H = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{r}} - L\) sustituye \(\dot{\mathbf{r}} = (\mathbf{p} - e\mathbf{A})/m\). (c) Reemplaza \(\hat{\mathbf{p}}\) por su representación en posición \(-i\hbar\nabla\). (d) Sustituye \(\Psi' = e^{ie\chi/\hbar}\Psi\) en la ecuación de Schrödinger y, al calcular \(\nabla\Psi'\), usa \(\nabla(e^{ie\chi/\hbar}) = \frac{ie}{\hbar}(\nabla\chi)e^{ie\chi/\hbar}\).

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A-2. Teorema de Noether: de las simetrías a las leyes de conservación

Cuando el lagrangiano \(L(q_j, \dot{q}_j)\) es invariante (\(\delta L = 0\)) bajo la transformación infinitesimal \(q_j \to q_j + \epsilon\, \eta_j(q, \dot{q}, t)\) (donde \(\epsilon\) es un parámetro infinitesimal), demuestra lo siguiente.

(a) A partir de la condición de variación nula de la acción \(\delta S = 0\), deduce que la cantidad conservada (carga de Noether)

\[ Q = \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\,\eta_j \]

satisface \(\frac{dQ}{dt} = 0\).

(b) Para \(L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(r)\) (donde \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)), demuestra que a partir de la invariancia bajo rotaciones alrededor del eje \(z\) (\(x \to x - \epsilon y\), \(y \to y + \epsilon x\), \(z \to z\)) se conserva la componente \(z\) del momento angular \(L_z = m(x\dot{y} - y\dot{x})\).

(c) Cuando el lagrangiano es invariante bajo traslaciones temporales \(t \to t + \epsilon\) (es decir, \(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)), demuestra que la cantidad conservada correspondiente es la energía (hamiltoniano) \(H = \sum_j p_j\dot{q}_j - L\).

Pista

(a) Sustituye las ecuaciones de Euler-Lagrange en \(\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_j}\epsilon\eta_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\epsilon\dot{\eta}_j = 0\) y agrupa en la forma \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\eta_j\right)\). (b) Sustituye \(\eta_x = -y\), \(\eta_y = x\), \(\eta_z = 0\) en el resultado de (a). (c) En el caso de traslación temporal es necesario considerar también la variación de los extremos. Puedes calcular tomando \(\delta q_j = \dot{q}_j\epsilon\), o bien reescribir \(\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j\) usando las ecuaciones de Euler-Lagrange.

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