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Cap. 3 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Cálculo de la eficiencia de Carnot

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Problema:

Calcula la eficiencia máxima de un ciclo de Carnot con una fuente de alta temperatura \(T_{\text{hot}} = 500\) K y una fuente de baja temperatura \(T_{\text{cold}} = 300\) K. Además, calcula la eficiencia cuando la fuente de baja temperatura se reduce a \(T_{\text{cold}} = 200\) K y compara ambos resultados.

Solución:

\(\eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\)

Para \(T_{\text{hot}} = 500\) K, \(T_{\text{cold}} = 300\) K: \(\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = \boxed{0.4 = 40\%}\)

Si se reduce a \(T_{\text{cold}} = 200\) K: \(\eta = 1 - \frac{200}{500} = 1 - 0.4 = \boxed{0.6 = 60\%}\)

Punto clave: Al disminuir la temperatura del foco frío, la eficiencia aumenta. Sin embargo, a menos que \(T_{\text{cold}} = 0\) K (cero absoluto), la eficiencia nunca alcanza el 100%. Esto no es una limitación técnica, sino una restricción fundamental impuesta por la segunda ley de la termodinámica.

Intermedio

M-1. Entropía de una moneda

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Problema:

Cuando se lanzan \(N\) monedas, el número de microestados \(\Omega\) en los que "exactamente la mitad son cara" está dado por el coeficiente binomial \(\binom{N}{N/2}\). Calcula \(\Omega\) para los casos \(N = 4\) y \(N = 100\), y verifica cómo, a medida que \(N\) aumenta, los estados con "exactamente la mitad cara" se vuelven abrumadoramente numerosos.

Solución:

Para \(N = 4\): \(\Omega = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)

El número total de estados es \(2^4 = 16\), por lo que la probabilidad de que "exactamente la mitad sean cara" es \(6/16 = 37.5\%\).

Para \(N = 100\), usamos la aproximación de Stirling \(\ln N! \approx N\ln N - N\):

\(\ln \binom{100}{50} = \ln 100! - 2\ln 50!\) \(\approx (100\ln 100 - 100) - 2(50\ln 50 - 50)\) \(= 100\ln 100 - 100\ln 50 - 100 + 100\) \(= 100(\ln 100 - \ln 50) = 100\ln 2 \approx 69.3\)

\(\boxed{\Omega \approx e^{69.3} \approx 10^{30}}\)

El número total de estados es \(2^{100} \approx 10^{30.1}\). Es decir, los estados con "exactamente la mitad cara" ocupan una fracción considerable del total. A medida que \(N\) crece, los estados con "aproximadamente la mitad cara" se vuelven abrumadoramente mayoritarios.

M-2. Definición estadístico-mecánica de la temperatura

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Problema:

Cuando dos sistemas (con energías \(E_1\), \(E_2\), y energía total \(E = E_1 + E_2\) constante) se encuentran en equilibrio térmico, deduce a partir de la condición de que la entropía total \(S_{\text{total}} = S_1(E_1) + S_2(E_2)\) sea máxima que \(\frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\), es decir, \(T_1 = T_2\).

Solución:

Maximizamos la entropía total \(S_{\text{total}} = S_1(E_1) + S_2(E - E_1)\) respecto a \(E_1\).

\(\frac{dS_{\text{total}}}{dE_1} = \frac{\partial S_1}{\partial E_1} + \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\frac{dE_2}{dE_1} = 0\)

Como \(E_2 = E - E_1\), se tiene \(dE_2/dE_1 = -1\):

\(\frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\)

Usando la definición de temperatura \(1/T = \partial S / \partial E\):

\(\boxed{\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_2} \quad \Rightarrow \quad T_1 = T_2}\)

Punto clave: La condición de equilibrio térmico es "la entropía total es máxima". Esto es equivalente a "las temperaturas son iguales". La definición de temperatura en mecánica estadística es consistente con la experiencia cotidiana de que "en el equilibrio térmico las temperaturas son iguales".