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Cap. 5 Soluciones

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Índice

Básico

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Básico

B-1. Comparación entre la ecuación de Poisson y la ecuación de ondas

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Problema:

Desarrolla la ecuación de Poisson de Newton

\[ \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho \]

en coordenadas cartesianas tridimensionales \((x, y, z)\) y escribe \(\nabla^2 \Phi\) en términos de las derivadas parciales de \(\Phi\). Además, compárala con la ecuación de ondas que satisface el potencial electromagnético (electromagnetic potential)

\[ \left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

indica qué término falta en la ecuación de Poisson y explica su significado físico.

Estrategia de resolución: Expandir la ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas y compararla con la ecuación de onda del potencial electromagnético.

Expansión de la ecuación de Poisson:

\[ \nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 4\pi G \rho \]

Comparación con la ecuación de onda:

La ecuación de onda del potencial electromagnético es:

\[ \left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

Es decir,

\[ -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

Lo que falta en la ecuación de Poisson es el término de la derivada temporal de segundo orden \(\displaystyle -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}\).

Significado físico:

El término de derivada temporal en la ecuación de onda garantiza que los cambios en el campo se propaguen a una velocidad finita \(c\). Gracias a este término, los cambios en la fuente \(\rho_e\) se transmiten como ondas a la velocidad de la luz \(c\).

Por otro lado, como la ecuación de Poisson no contiene derivadas temporales, cuando la fuente \(\rho\) cambia, el potencial gravitatorio \(\Phi\) debe cambiar instantáneamente en todo el espacio. Esto implica una acción a distancia instantánea, lo cual contradice el principio de la relatividad especial que establece que "la información no puede propagarse más rápido que la luz".

B-2. Aceleración de caída según la masa inercial y la masa gravitacional

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Problema:

Un objeto de masa \(m\) se encuentra en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\). Expresando la masa inercial (inertial mass) como \(m_I\) y la masa gravitacional (gravitational mass) como \(m_G\), expresa la aceleración de caída \(a\) de este objeto en términos de \(m_I\), \(m_G\) y \(g\).

Estrategia de resolución: Resolver la ecuación de movimiento \(m_I a = m_G g\) para \(a\).

\[ m_I a = m_G g \]
\[ \boxed{a = \frac{m_G}{m_I}\,g} \]

Verificación: Cuando \(m_I = m_G\), se obtiene \(a = g\), lo cual es consistente con la ley de caída libre de Galileo. Las dimensiones también son correctas: \([a] = \text{m/s}^2\).

B-3. Aproximación lineal del parámetro de Eötvös

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Problema:

Sean \(m_{A,I}\) la masa inercial de la sustancia A, \(m_{A,G}\) su masa gravitacional, \(m_{B,I}\) la masa inercial de la sustancia B y \(m_{B,G}\) su masa gravitacional. Para el parámetro de Eötvös (Eötvös parameter)

\[ \eta \equiv \frac{m_{A,G}/m_{A,I} - m_{B,G}/m_{B,I}}{(m_{A,G}/m_{A,I} + m_{B,G}/m_{B,I})/2} \]

sustituye \(m_{A,G}/m_{A,I} = 1 + \epsilon_A\), \(m_{B,G}/m_{B,I} = 1 + \epsilon_B\) (con \(|\epsilon_A|, |\epsilon_B| \ll 1\)) y aproxima \(\eta\) a primer orden en \(\epsilon_A\) y \(\epsilon_B\).

Estrategia de resolución: Se sustituye \(m_{A,G}/m_{A,I} = 1 + \epsilon_A\), \(m_{B,G}/m_{B,I} = 1 + \epsilon_B\) en el parámetro de Eötvös y se aproxima a primer orden en \(\epsilon\).

Cálculo:

Numerador:

\[ (1 + \epsilon_A) - (1 + \epsilon_B) = \epsilon_A - \epsilon_B \]

Denominador:

\[ \frac{(1 + \epsilon_A) + (1 + \epsilon_B)}{2} = \frac{2 + \epsilon_A + \epsilon_B}{2} = 1 + \frac{\epsilon_A + \epsilon_B}{2} \]

Como \(|\epsilon_A|, |\epsilon_B| \ll 1\), el denominador \(\approx 1\).

Por lo tanto,

\[ \boxed{\eta \approx \epsilon_A - \epsilon_B} \]

Verificación: Cuando \(\epsilon_A = \epsilon_B\), se obtiene \(\eta = 0\), lo cual es físicamente correcto, ya que si las razones \(m_G/m_I\) de ambas sustancias son iguales, el parámetro de Eötvös debe ser cero.

B-4. Velocidad y aceleración en la transformación a coordenadas de caída libre

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Problema:

Para la posición \(\bar{x}(t)\) de una partícula en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\), se aplica la transformación a coordenadas de caída libre

\[ \bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

Expresa la velocidad \(\dot{\bar{x}}' \equiv d\bar{x}'/dt'\) en términos de \(\dot{\bar{x}}\), \(\mathbf{g}\) y \(t\). Además, expresa la aceleración \(\ddot{\bar{x}}'\) en términos de \(\ddot{\bar{x}}\) y \(\mathbf{g}\).

Estrategia de resolución: Como \(t' = t\), se tiene \(d/dt' = d/dt\). Se deriva respecto al tiempo la transformación de coordenadas \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\).

Velocidad:

\[ \dot{\bar{x}}' = \frac{d\bar{x}'}{dt'} = \frac{d}{dt}\left(\bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\right) = \dot{\bar{x}} - \mathbf{g}\,t \]
\[ \boxed{\dot{\bar{x}}' = \dot{\bar{x}} - \mathbf{g}\,t} \]

Aceleración:

\[ \ddot{\bar{x}}' = \frac{d}{dt}\left(\dot{\bar{x}} - \mathbf{g}\,t\right) = \ddot{\bar{x}} - \mathbf{g} \]
\[ \boxed{\ddot{\bar{x}}' = \ddot{\bar{x}} - \mathbf{g}} \]

Verificación: Para una partícula en caída libre (\(\ddot{\bar{x}} = \mathbf{g}\)), se obtiene \(\ddot{\bar{x}}' = \mathbf{g} - \mathbf{g} = 0\), es decir, en las coordenadas de caída libre la aceleración es nula. Esto es consistente con el principio de equivalencia.

B-5. Transformación de coordenadas en caída libre cuando \(m_I \neq m_G\)

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Problema:

Figura de referencia: Figura 4.1: Experimento mental del principio de equivalencia

En el cálculo que muestra que la gravedad desaparece en un sistema de referencia en caída libre, consideramos la ecuación de movimiento

\[ m_I \frac{d^2 \bar{x}}{dt^2} = m_G \,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

Cuando \(m_I \neq m_G\), aplica la transformación de coordenadas \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) y obtén la ecuación de movimiento transformada. Demuestra que el término gravitatorio no se cancela por completo.

Estrategia de resolución: Se aplica una transformación de coordenadas en el caso \(m_I \neq m_G\) y se muestra que el término gravitatorio permanece.

La ecuación de movimiento original:

\[ m_I \frac{d^2 \bar{x}}{dt^2} = m_G\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

Sustituyendo el resultado \(\ddot{\bar{x}} = \ddot{\bar{x}}' + \mathbf{g}\) de Problema B-4. Velocidad y aceleración en la transformación a coordenadas de caída libre,

\[ m_I\left(\ddot{\bar{x}}' + \mathbf{g}\right) = m_G\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

Expandiendo y reordenando,

\[ m_I\,\ddot{\bar{x}}' + m_I\,\mathbf{g} = m_G\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]
\[ m_I\,\ddot{\bar{x}}' = (m_G - m_I)\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]
\[ \boxed{\ddot{\bar{x}}' = \left(\frac{m_G}{m_I} - 1\right)\mathbf{g} + \frac{\bar{F}_{\text{ext}}}{m_I}} \]

Cuando \(m_I \neq m_G\), se tiene \(\left(\dfrac{m_G}{m_I} - 1\right)\mathbf{g} \neq 0\), y el término gravitatorio no se cancela completamente.

Además, si el cociente \(m_G/m_I\) varía según el tipo de partícula, la aceleración gravitatoria residual \(\left(\frac{m_G}{m_I} - 1\right)\mathbf{g}\) es diferente para cada partícula, por lo que es imposible eliminar simultáneamente la gravedad para todas las partículas mediante una única transformación de coordenadas.

Verificación: Cuando \(m_G = m_I\), se obtiene \(\ddot{\bar{x}}' = \bar{F}_{\text{ext}}/m_I\), y el término gravitatorio se cancela completamente. Esto coincide con el resultado del texto principal.

B-6. Tiempo de viaje de la luz y velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo

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Problema:

Se emite luz desde la cima de una torre (altura \(h\)) hacia el suelo. Desde el punto de vista de un observador en caída libre, expresa de forma aproximada el tiempo \(\Delta t\) que tarda la luz en alcanzar el suelo en términos de \(h\) y \(c\). Además, expresa la velocidad \(v\) que adquiere el dispositivo en el suelo respecto al sistema en caída libre durante ese intervalo, en términos de \(g\), \(h\) y \(c\).

Estrategia de resolución: Calcular el tiempo de viaje de la luz y, durante ese intervalo, determinar la velocidad que adquiere el dispositivo en el suelo respecto al sistema en caída libre.

Tiempo de viaje de la luz:

La luz recorre la altura \(h\) a velocidad \(c\), por lo que:

\[ \boxed{\Delta t \approx \frac{h}{c}} \]

Velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo:

Visto desde el sistema en caída libre, el dispositivo en el suelo se acelera hacia arriba con aceleración \(g\). La velocidad que adquiere durante el tiempo \(\Delta t\) es:

\[ v = g \cdot \Delta t = g \cdot \frac{h}{c} \]
\[ \boxed{v = \frac{gh}{c}} \]

Verificación: Comprobamos las dimensiones. \([g \cdot h / c] = (\text{m/s}^2)(\text{m})/(\text{m/s}) = \text{m/s}\). Las dimensiones corresponden a una velocidad, lo cual es correcto. Además, cuando \(h = 0\) se obtiene \(v = 0\), lo cual también es razonable.

B-7. Frecuencia de la luz vista desde el efecto Doppler

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Problema:

Como aproximación no relativista del efecto Doppler de la relatividad especial (special relativity), la frecuencia \(\nu\) recibida por un observador que se acerca a la fuente de luz con velocidad \(v\) (\(v \ll c\)) viene dada por

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' \]

(donde \(\nu'\) es la frecuencia de la fuente de luz). Sustituye el resultado de Problema B-6. Tiempo de viaje de la luz y velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo y expresa la frecuencia de la luz \(\nu\) recibida en el suelo en términos de \(\nu'\), \(g\), \(h\) y \(c\).

Estrategia de resolución: Sustituir el resultado de Problema B-6. Tiempo de viaje de la luz y velocidad adquirida por el dispositivo en el suelo en la aproximación no relativista del efecto Doppler.

El aparato en el suelo se acerca a la fuente de luz (la cima de la torre) con velocidad \(v = gh/c\), por lo que:

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' = \left(1 + \frac{gh/c}{c}\right)\nu' \]
\[ \boxed{\nu \approx \left(1 + \frac{gh}{c^2}\right)\nu'} \]

Verificación: Cuando \(h = 0\), se tiene \(\nu = \nu'\) y no hay cambio de frecuencia. Cuando \(h > 0\), se tiene \(\nu > \nu'\), lo que significa que la luz que viaja desde la cima hacia el suelo experimenta un corrimiento al azul. Esto es consistente con el hecho de que cuando la luz cae hacia una región de menor potencial gravitatorio, su energía aumenta (la frecuencia se incrementa).

B-8. Fórmula del corrimiento al rojo gravitacional en forma de potencial

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Problema:

La fórmula del corrimiento al rojo gravitacional (gravitational redshift)

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{g h}{c^2} \]

representa el cambio de frecuencia cuando se envía luz desde el suelo hasta la cima. Utilizando el potencial gravitatorio (gravitational potential) general \(\Phi\), entre dos lugares con una diferencia de potencial \(\Delta\Phi\) se puede escribir

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

Verifica que las dos fórmulas anteriores son consistentes cuando se considera un campo gravitatorio uniforme con \(\Phi = gh\) (tomando el suelo como referencia).

Estrategia de resolución: Confirmamos que las dos fórmulas coinciden al establecer \(\Phi = gh\) (tomando el suelo como referencia) en un campo gravitatorio uniforme.

Consideremos el caso de enviar luz desde el suelo hasta la cima. Definimos el potencial gravitatorio en el suelo como \(\Phi_{\text{bottom}} = 0\) y el potencial gravitatorio en la cima como \(\Phi_{\text{top}} = gh\).

La diferencia de potencial es:

\[ \Delta\Phi = \Phi_{\text{top}} - \Phi_{\text{bottom}} = gh - 0 = gh \]

Sustituyendo en la fórmula general:

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{\Delta\Phi}{c^2} = -\frac{gh}{c^2} \]

Esto coincide exactamente con la fórmula del corrimiento al rojo gravitacional:

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2} \]

\(\square\)

Verificación: Confirmamos el significado físico. \(\Delta\nu < 0\) significa que la frecuencia de la luz disminuye (se desplaza al rojo) cuando se mueve hacia un lugar de mayor potencial, lo cual es consistente con el resultado de Problema B-7. Frecuencia de la luz vista desde el efecto Doppler (la luz que va de la cima al suelo experimenta un corrimiento al azul).

Intermedio

M-1. Experimento de caída libre en un ascensor con diferentes sustancias

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Problema:

Supón que la masa inercial \(m_I\) y la masa gravitatoria \(m_G\) toman valores diferentes según la sustancia. Explica qué se observaría si, dentro de un ascensor en caída libre, se sueltan simultáneamente de la mano una bola de hierro y una bola de aluminio. Indica también por qué esto implicaría una violación del principio de equivalencia.

Estrategia de resolución: Analizar qué ocurre dentro de un ascensor en caída libre cuando la razón \(m_I/m_G\) difiere según el material.

Cálculo:

La ecuación de movimiento de cada bola en el sistema de referencia inercial en tierra es:

\[ m_{I,\text{Fe}}\,\ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Fe}} = m_{G,\text{Fe}}\,\boldsymbol{g}, \qquad m_{I,\text{Al}}\,\ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Al}} = m_{G,\text{Al}}\,\boldsymbol{g} \]

La aceleración de cada bola es:

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Fe}} = \frac{m_{G,\text{Fe}}}{m_{I,\text{Fe}}}\,\boldsymbol{g}, \qquad \ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Al}} = \frac{m_{G,\text{Al}}}{m_{I,\text{Al}}}\,\boldsymbol{g} \]

El ascensor está en caída libre, pero el propio ascensor se acelera según una razón \(m_G/m_I\) específica. Sea la aceleración del ascensor \(\ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{elev}} = (m_{G}/m_{I})_{\text{elev}}\,\boldsymbol{g}\).

La aceleración relativa de cada bola vista por un observador dentro del ascensor es:

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Fe}} = \left(\frac{m_{G,\text{Fe}}}{m_{I,\text{Fe}}} - \left(\frac{m_G}{m_I}\right)_{\text{elev}}\right)\boldsymbol{g} \]
\[ \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Al}} = \left(\frac{m_{G,\text{Al}}}{m_{I,\text{Al}}} - \left(\frac{m_G}{m_I}\right)_{\text{elev}}\right)\boldsymbol{g} \]

Fenómeno observado:

Si el valor de \(m_G/m_I\) es diferente para el hierro y el aluminio (\(m_{G,\text{Fe}}/m_{I,\text{Fe}} \neq m_{G,\text{Al}}/m_{I,\text{Al}}\)), la aceleración relativa entre las dos bolas es:

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Fe}} - \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Al}} = \left(\frac{m_{G,\text{Fe}}}{m_{I,\text{Fe}}} - \frac{m_{G,\text{Al}}}{m_{I,\text{Al}}}\right)\boldsymbol{g} \neq \boldsymbol{0} \]

Por lo tanto, la bola de hierro y la bola de aluminio soltadas simultáneamente se mueven con aceleraciones diferentes dentro del ascensor. Se observa que una bola cae (o asciende) relativamente respecto a la otra.

Relación con la violación del principio de equivalencia:

El principio de equivalencia (principio de equivalencia débil) afirma que "un sistema en caída libre es localmente equivalente a un sistema inercial". En un sistema inercial no existe gravedad, por lo que una bola soltada de la mano debe permanecer en reposo (si no hay fuerzas externas).

Sin embargo, si \(m_G/m_I\) difiere según el material, el hecho de que las bolas se muevan relativamente dentro del ascensor en caída libre significa que el observador dentro del ascensor puede detectar la presencia de la gravedad. Es decir, el sistema en caída libre deja de ser equivalente a un sistema inercial, y el principio de equivalencia se viola.

\[ \boxed{\text{Las bolas de hierro y aluminio se mueven con aceleraciones diferentes, y la gravedad se vuelve detectable en el sistema en caída libre (violación del principio de equivalencia).}} \]

Verificación:

Si \(m_{G}/m_{I}\) es igual para todos los materiales (\(m_{G,\text{Fe}}/m_{I,\text{Fe}} = m_{G,\text{Al}}/m_{I,\text{Al}}\)), la aceleración relativa es cero y ambas bolas permanecen en reposo — se cumple el principio de equivalencia. Esto es consistente con los resultados de Problema B-5. Transformación de coordenadas en caída libre cuando \(m_I \neq m_G\) y Problema M-2. Principio de equivalencia en sistemas de múltiples partículas. ✓

M-2. Principio de equivalencia en sistemas de múltiples partículas

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Problema:

\(N\) partículas se encuentran en un campo gravitatorio uniforme \(\mathbf{g}\), y entre ellas actúan fuerzas no gravitatorias \(\bar{F}\). Cuando la masa inercial y la masa gravitatoria son iguales (\(m_I = m_G = m\)), demuestra que al aplicar la transformación a coordenadas de caída libre

\[ \bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

el término gravitatorio desaparece simultáneamente de las ecuaciones de movimiento de todas las partículas. Además, explica por qué este argumento falla en el caso \(m_{I} \neq m_{G}\).

Estrategia de resolución: Se aplica la transformación a coordenadas de caída libre a un sistema de \(N\) partículas y se demuestra que, en el caso \(m_I = m_G\), la gravedad desaparece para todas las partículas. A continuación, se discute la falla cuando \(m_I \neq m_G\).

Caso \(m_I = m_G\):

La ecuación de movimiento de la \(i\)-ésima partícula (\(i = 1, 2, \ldots, N\)) es:

\[ m_i \frac{d^2 \bar{x}_i}{dt^2} = m_i\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

Aquí \(m_i\) es la masa inercial de la \(i\)-ésima partícula, y usando \(m_I = m_G\) la masa gravitatoria también es \(m_i\). \(\bar{F}_{ij}\) es la fuerza no gravitatoria ejercida por la partícula \(j\) sobre la partícula \(i\).

Se aplica la transformación a coordenadas de caída libre:

\[ \bar{x}_i' = \bar{x}_i - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

Del resultado de Problema B-4. Velocidad y aceleración en la transformación a coordenadas de caída libre,

\[ \frac{d^2 \bar{x}_i'}{dt'^2} = \frac{d^2 \bar{x}_i}{dt^2} - \mathbf{g} \]

es decir, \(\ddot{\bar{x}}_i = \ddot{\bar{x}}_i' + \mathbf{g}\). Sustituyendo en la ecuación de movimiento:

\[ m_i\left(\ddot{\bar{x}}_i' + \mathbf{g}\right) = m_i\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

Expandiendo el lado izquierdo:

\[ m_i\,\ddot{\bar{x}}_i' + m_i\,\mathbf{g} = m_i\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

Los términos \(m_i\,\mathbf{g}\) se cancelan en ambos lados:

\[ m_i\,\ddot{\bar{x}}_i' = \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

Verificamos el argumento de las fuerzas. Como \(\bar{x}_i - \bar{x}_j = \left(\bar{x}_i' + \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\right) - \left(\bar{x}_j' + \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\right) = \bar{x}_i' - \bar{x}_j'\), se obtiene:

\[ \boxed{m_i\,\ddot{\bar{x}}_i' = \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i' - \bar{x}_j')} \]

Esta es exactamente la misma forma que la ecuación de movimiento en un espacio sin gravedad. Este resultado no depende del índice de partícula \(i\); el término gravitatorio desaparece simultáneamente para todas las partículas. Esto se debe a que la transformación de coordenadas \(\frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) es común a todas las partículas y a que \(m_G/m_I = 1\) se cumple para todas ellas. \(\square\)

Falla cuando \(m_I \neq m_G\):

Si denotamos la masa inercial de la \(i\)-ésima partícula como \(m_{i,I}\) y su masa gravitatoria como \(m_{i,G}\), la ecuación de movimiento es:

\[ m_{i,I}\,\ddot{\bar{x}}_i = m_{i,G}\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij} \]

Aplicando la misma transformación de coordenadas:

\[ m_{i,I}\left(\ddot{\bar{x}}_i' + \mathbf{g}\right) = m_{i,G}\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij} \]
\[ m_{i,I}\,\ddot{\bar{x}}_i' = (m_{i,G} - m_{i,I})\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij} \]

La aceleración gravitatoria residual es:

\[ \ddot{\bar{x}}_i'|_{\text{grav}} = \left(\frac{m_{i,G}}{m_{i,I}} - 1\right)\mathbf{g} \]

Este término residual depende de la razón \(m_{i,G}/m_{i,I}\). Si \(m_{i,G}/m_{i,I}\) difiere según el tipo de partícula, aparece una aceleración gravitatoria residual distinta para cada partícula. Una única transformación de coordenadas no puede eliminar simultáneamente la gravedad para todas las partículas, y el principio de equivalencia falla.

Si hipotéticamente \(m_{i,G}/m_{i,I} = \alpha\) (una constante común a todas las partículas), se podría eliminar la gravedad modificando la transformación de coordenadas a \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\alpha\,\mathbf{g}\,t^2\), pero si \(\alpha\) difiere de una partícula a otra, este método tampoco funciona.

Verificación: Cuando \(m_{i,G} = m_{i,I}\), el término residual es cero, lo cual es consistente con el resultado de la primera parte.

M-3. Fuerza de marea y localidad del principio de equivalencia

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Problema:

Responde a las siguientes preguntas sobre la fuerza de marea (tidal force).

(a) La aceleración gravitatoria a una distancia \(r\) del centro de la Tierra es \(g(r) = GM/r^2\). En un sistema en caída libre situado a una distancia \(r_0\) del centro de la Tierra, expresa la diferencia de aceleración gravitatoria (aceleración de marea) \(\delta g\) en un punto separado una distancia infinitesimal \(\delta r\) de \(r_0\), en términos de \(G\), \(M\), \(r_0\) y \(\delta r\).

(b) Explica cuantitativamente, utilizando el resultado de (a), qué significa que el principio de equivalencia sea válido únicamente en una "región suficientemente pequeña".

(a) Derivación de la aceleración de marea:

La aceleración gravitatoria a una distancia \(r\) del centro de la Tierra es:

\[ g(r) = \frac{GM}{r^2} \]

Realizamos una expansión de Taylor de la aceleración gravitatoria en un punto separado una distancia infinitesimal \(\delta r\) de \(r_0\):

\[ g(r_0 + \delta r) = \frac{GM}{(r_0 + \delta r)^2} = \frac{GM}{r_0^2}\left(1 + \frac{\delta r}{r_0}\right)^{-2} \]

Usando \((1 + x)^{-2} \approx 1 - 2x\) para \(|\delta r| \ll r_0\):

\[ g(r_0 + \delta r) \approx \frac{GM}{r_0^2}\left(1 - \frac{2\,\delta r}{r_0}\right) \]

La aceleración de marea (diferencia de aceleraciones gravitatorias) es:

\[ \delta g = g(r_0 + \delta r) - g(r_0) \approx \frac{GM}{r_0^2}\left(-\frac{2\,\delta r}{r_0}\right) = -\frac{2GM}{r_0^3}\,\delta r \]
\[ \boxed{\delta g = -\frac{2GM}{r_0^3}\,\delta r} \]

El signo negativo significa que para \(\delta r > 0\) (puntos más lejanos que \(r_0\)) la aceleración gravitatoria es más débil. Es decir, visto desde un sistema en caída libre, un objeto en un punto más alejado que \(r_0\) se acelera en la dirección que se aleja de \(r_0\), y un objeto en un punto más cercano que \(r_0\) se acelera en la dirección que se aproxima a \(r_0\) (efecto de estiramiento en la dirección radial).

Verificación: Comprobemos las dimensiones. \([GM/r_0^3 \cdot \delta r] = (\text{m}^3/\text{s}^2)/\text{m}^3 \cdot \text{m} = \text{m/s}^2\). Las dimensiones de aceleración son correctas. Además, es razonable que \(\delta g \to 0\) cuando \(\delta r \to 0\).

(b) Explicación cuantitativa de que el principio de equivalencia solo es válido en una "región suficientemente pequeña":

El principio de equivalencia afirma que la gravedad desaparece en un sistema de referencia en caída libre. Sin embargo, como se mostró en (a), en un punto separado una distancia \(\delta r\) del punto de referencia de caída libre \(r_0\), persiste una aceleración de marea

\[ |\delta g| = \frac{2GM}{r_0^3}\,|\delta r| \]

Esta aceleración de marea no puede eliminarse mediante la caída libre (ya que se origina en la no uniformidad del campo gravitatorio).

Para que el principio de equivalencia sea válido como buena aproximación, la aceleración de marea debe ser suficientemente pequeña en comparación con la precisión de medición \(a_{\min}\) (o la escala de aceleración típica \(a_{\text{typ}}\) del fenómeno físico de interés):

\[ \frac{2GM}{r_0^3}\,|\delta r| \ll a_{\text{typ}} \]

Escribiendo esto como una restricción sobre \(\delta r\):

\[ |\delta r| \ll \frac{a_{\text{typ}}\,r_0^3}{2GM} \]

Por ejemplo, en la superficie terrestre (\(r_0 = R \approx 6.4 \times 10^6\;\text{m}\), \(g = GM/R^2 \approx 9.8\;\text{m/s}^2\)), si queremos que la aceleración de marea sea menor que \(10^{-6}\) veces \(g\):

\[ \frac{2GM}{R^3}\,|\delta r| < 10^{-6} g = 10^{-6}\frac{GM}{R^2} \]
\[ |\delta r| < \frac{10^{-6} R}{2} \approx 3.2\;\text{m} \]

Es decir, en la superficie terrestre, dentro de un rango de unos pocos metros, el principio de equivalencia se cumple con una precisión de \(10^{-6}\). Por otro lado, en lugares donde el campo gravitatorio varía abruptamente (por ejemplo, cerca de un agujero negro donde \(r_0\) es pequeño), \(r_0^3\) se hace pequeño, por lo que la región donde el principio de equivalencia es válido se reduce aún más.

M-4. Derivación del corrimiento al rojo gravitacional a partir del principio de equivalencia

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Problema:

Utilizando el principio de equivalencia (equivalence principle), deriva la fórmula del corrimiento al rojo gravitacional

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2} \]

Sigue los pasos indicados a continuación.

(a) Establece un observador que comienza a caer libremente en el instante en que se emite luz desde la cima de una torre, y explica mediante el principio de equivalencia por qué este observador se encuentra en un sistema inercial.

(b) Determina el tiempo \(\Delta t\) que tarda la luz en llegar al suelo y la velocidad \(v\) que el aparato en el suelo adquiere respecto al sistema en caída libre durante ese intervalo.

(c) Aplica la aproximación no relativista del efecto Doppler para derivar el cambio de frecuencia cuando se envía luz desde el suelo hacia la cima.

(a) Explicación de por qué el observador en caída libre se encuentra en un sistema inercial:

Supongamos que en el instante en que la luz es emitida desde la cima de la torre, un observador que estaba en reposo en ese punto comienza a caer libremente.

Según el principio de equivalencia, un sistema en caída libre es localmente equivalente a un sistema inercial. Esto se debe a que el efecto de un campo gravitatorio uniforme puede eliminarse mediante la transformación de coordenadas que corresponde a la caída libre (como se confirmó en Problema B-4. Velocidad y aceleración en la transformación a coordenadas de caída libre y Problema B-5. Transformación de coordenadas en caída libre cuando \(m_I \neq m_G\), cuando \(m_I = m_G\), la transformación de coordenadas \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) elimina el término gravitatorio de la ecuación de movimiento).

Por lo tanto, en el sistema de este observador en caída libre se puede aplicar directamente la relatividad especial: la luz se propaga en línea recta a velocidad \(c\), y se pueden utilizar sin modificación los resultados de la relatividad especial como el efecto Doppler.

(b) Tiempo de tránsito y velocidad adquirida:

Desde el punto de vista del observador en caída libre, la luz viaja a velocidad \(c\) desde la cima de la torre hacia el suelo. El tiempo que tarda la luz en recorrer la altura \(h\) es:

\[ \Delta t \approx \frac{h}{c} \]

(En la aproximación \(gh/c^2 \ll 1\), las correcciones de orden superior debidas a la gravedad son despreciables.)

Desde el punto de vista del observador en caída libre, el detector en el suelo se acelera hacia arriba con aceleración \(g\) (dado que en el sistema en caída libre la gravedad desaparece, el suelo parece acelerarse hacia el observador). La velocidad que adquiere el detector en el suelo durante el tiempo \(\Delta t\) es:

\[ v = g \cdot \Delta t = \frac{gh}{c} \]

(c) Derivación del corrimiento al rojo gravitacional:

Luz desde la cima hacia el suelo (corrimiento al azul):

Desde el sistema en caída libre, el detector en el suelo se acerca a la fuente (la cima) con velocidad \(v = gh/c\). Aplicando la aproximación no relativista (\(v \ll c\)) del efecto Doppler de la relatividad especial, la frecuencia recibida en el suelo \(\nu\) es:

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' = \left(1 + \frac{gh}{c^2}\right)\nu' \]

donde \(\nu'\) es la frecuencia de la luz emitida en la cima. Como \(\nu > \nu'\), la luz que viaja de la cima al suelo experimenta un corrimiento al azul.

Luz desde el suelo hacia la cima (corrimiento al rojo):

Inversamente, consideremos el caso de enviar luz desde el suelo hacia la cima. De manera análoga, se establece un observador que comienza a caer libremente en el suelo en el instante de la emisión. Desde el punto de vista de este observador, el detector en la cima se aleja de la fuente (el suelo) con velocidad \(v = gh/c\). Por el efecto Doppler:

\[ \nu_{\text{top}} \approx \left(1 - \frac{v}{c}\right)\nu_{\text{bottom}} = \left(1 - \frac{gh}{c^2}\right)\nu_{\text{bottom}} \]

El cambio relativo en la frecuencia es:

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} = \frac{\nu_{\text{top}} - \nu_{\text{bottom}}}{\nu_{\text{bottom}}} \approx -\frac{gh}{c^2} \]
\[ \boxed{\frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2}} \]

Esta es la fórmula del corrimiento al rojo gravitacional. Cuando la luz se desplaza hacia una región de mayor potencial gravitatorio, su frecuencia disminuye (corrimiento al rojo), y cuando se desplaza hacia una región de menor potencial, su frecuencia aumenta (corrimiento al azul).

Verificación: Comprobemos las dimensiones. \([gh/c^2] = (\text{m/s}^2)(\text{m})/(\text{m/s})^2 = \text{adimensional}\). Dado que se trata de un cociente de frecuencias, debe ser adimensional, lo cual es consistente. Además, cuando \(h \to 0\) se obtiene \(\Delta\nu/\nu \to 0\), lo que confirma que si no hay diferencia de altura no hay cambio en la frecuencia, resultado razonable.

M-5. Desfase de relojes en el Tokyo Skytree

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Problema:

Estima el desfase de relojes por día entre la cima del Tokyo Skytree, a una altura de \(h = 450\) m, y el suelo. Usa \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\) y \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

Estrategia de resolución: Utilizar la fórmula del corrimiento al rojo gravitacional para estimar el desfase del reloj por día debido a una diferencia de altura \(h\).

Cálculo:

La diferencia de tiempo propio debida al corrimiento al rojo gravitacional, según el resultado de Problema A-1. Corrección de la métrica deducida del corrimiento al rojo gravitacional (a), es:

\[ \frac{d\tau_{\text{top}} - d\tau_{\text{bottom}}}{dt} \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

En la aproximación de campo gravitatorio uniforme (\(h \ll R_\oplus\)), la diferencia de potencial es:

\[ \Delta\Phi = gh \]

donde \(g = 9.8\;\text{m/s}^2\), \(h = 450\;\text{m}\), \(c = 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

Desfase temporal relativo (adimensional):

\[ \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{gh}{c^2} = \frac{9.8 \times 450}{(3.0 \times 10^8)^2} = \frac{4410}{9.0 \times 10^{16}} = 4.90 \times 10^{-14} \]

Desfase del reloj por día:

1 día \(= 86400\;\text{s}\), por lo tanto:

\[ \Delta\tau = \frac{gh}{c^2} \times 86400 = 4.90 \times 10^{-14} \times 86400 = 4.23 \times 10^{-9}\;\text{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau \approx 4.2\;\text{ns/día}（\approx 4.2 \times 10^{-9}\;\text{s/día}）} \]

El reloj en la cima adelanta aproximadamente 4,2 nanosegundos por día respecto al reloj en el suelo. Esto corresponde al hecho de que, dado que el potencial gravitatorio es mayor en la cima (la gravedad es más débil), el tiempo fluye más rápido debido al efecto del corrimiento al rojo gravitacional de la relatividad general.

Verificación:

Comprobación dimensional: \([gh/c^2] = (\text{m/s}^2)(\text{m})/(\text{m/s})^2 = \text{adimensional}\). Correcto. ✓

Comparación con experimentos: En 2012, el grupo de Hidetoshi Katori de la Universidad de Tokio midió experimentalmente el corrimiento al rojo gravitacional entre el nivel del suelo y el mirador (aproximadamente 450 m de altura) del Tokyo Skytree utilizando relojes de red óptica, obteniendo resultados consistentes con las predicciones de la relatividad general. Nuestro cálculo de \(\sim 4\;\text{ns/día}\) es coherente con la precisión de este experimento (detectable con relojes de red óptica de nivel \(10^{-18}\)). ✓

Límite \(h = 0\): Se obtiene \(\Delta\tau = 0\), lo cual es razonable ya que si no hay diferencia de altura no hay desfase entre los relojes. ✓

M-6. Cambio de interpretación entre la mecánica newtoniana y la relatividad general

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Problema:

En la mecánica newtoniana se interpreta que "el observador en reposo sobre el suelo se encuentra en un sistema inercial, y sobre la manzana que cae actúa una fuerza llamada gravedad". Explica cómo cambia esta interpretación en la relatividad general, utilizando todos los siguientes términos: caída libre, movimiento inercial, geodésica (geodesic), curvatura del espacio-tiempo (curvature).

Interpretación de la mecánica newtoniana:

En la mecánica newtoniana, un observador en reposo sobre el suelo se considera en un sistema de referencia inercial. La manzana recibe una "fuerza" llamada gravedad, se acelera y cae hacia el suelo. El movimiento de la manzana es el resultado de la acción de la fuerza \(F = mg\), mientras que la persona de pie sobre el suelo se encuentra en un estado natural sin recibir fuerzas (más precisamente, la gravedad y la fuerza normal están en equilibrio).

Interpretación de la relatividad general:

En la relatividad general, esta interpretación se invierte fundamentalmente.

  1. La caída libre es el movimiento inercial: La manzana en caída se mueve sin recibir fuerzas externas. Esta es la versión de la relatividad general del "movimiento inercial" de la mecánica newtoniana (en el que un objeto sin fuerzas se mueve en línea recta a velocidad constante). La manzana sigue la geodésica (geodesic), que es la trayectoria más natural dentro de la curvatura (curvature) del espacio-tiempo curvo. Una geodésica es la trayectoria "más recta posible" en un espacio-tiempo curvo, y corresponde a la línea de universo de un objeto en caída libre.

  2. Es la persona de pie sobre el suelo quien está acelerando: El observador en reposo sobre el suelo recibe la fuerza normal del suelo y se desvía de la geodésica. Es decir, en el sentido de la relatividad general, quien está acelerando es la persona de pie sobre el suelo. Si llevas un acelerómetro (por ejemplo, una balanza de resorte), la persona de pie sobre el suelo detectará una aceleración de \(g\), mientras que la manzana en caída libre indicará aceleración cero.

  3. La gravedad no es una fuerza sino una propiedad del espacio-tiempo: La gravedad no es una "fuerza" como la fuerza electromagnética, sino una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo producida por la masa y la energía. Los objetos simplemente siguen geodésicas en el espacio-tiempo curvo; no están "siendo atraídos por la gravedad". Debido a que el espacio-tiempo alrededor de la Tierra está curvado, la geodésica de un objeto en caída libre resulta ser una trayectoria dirigida hacia la Tierra.

En resumen, mientras que en la mecánica newtoniana "la fuerza de gravedad atrae a la manzana", en la relatividad general se interpreta que "la manzana simplemente realiza un movimiento inercial siguiendo una geodésica del espacio-tiempo curvo, y es la persona de pie sobre el suelo quien está acelerando".

Avanzado

A-1. Corrección de la métrica deducida del corrimiento al rojo gravitacional

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Problema:

Combinando el principio de equivalencia con los conocimientos de relatividad especial, discute lo siguiente.

Un objeto de masa en reposo \(m\) es elevado desde una posición con potencial gravitatorio \(\Phi_1\) hasta una posición con potencial \(\Phi_2\) (\(\Phi_2 > \Phi_1\)).

(a) A partir del resultado del corrimiento al rojo gravitacional, explica por qué la relación entre el tiempo propio (proper time) \(d\tau\) de un reloj situado en una posición con potencial \(\Phi\) y el tiempo coordenado \(dt\) en el infinito (\(\Phi = 0\)) puede escribirse como

\[ d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) dt \]

(en la aproximación \(|\Phi|/c^2 \ll 1\)).

(b) Utilizando este resultado, expresa cómo se modifica la métrica de Minkowski \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) en presencia de un campo gravitatorio débil, en términos del cambio en la componente \(g_{00}\).

(c) El resultado de (b) constituye el primer indicio de que «el espaciotiempo en presencia de un campo gravitatorio no es un espaciotiempo de Minkowski», es decir, de que el espaciotiempo está curvado. Discute cómo este argumento entra en contradicción con el concepto de sistema de Lorentz de Cap. 3, y por qué la extensión hacia la relatividad general resulta inevitable.

(a) Relación entre tiempo propio y tiempo coordenado:

Usando el resultado del corrimiento al rojo gravitacional, derivamos la relación entre el tiempo propio de un reloj situado en un potencial \(\Phi\) y el tiempo coordenado en el infinito.

A partir de la fórmula general del corrimiento al rojo gravitacional derivada en Problema B-8. Fórmula del corrimiento al rojo gravitacional en forma de potencial, cuando la luz emitida desde una posición con potencial \(\Phi_{\text{emit}}\) se observa en una posición con potencial \(\Phi_{\text{obs}}\),

\[ \frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{emit}}} \approx 1 - \frac{\Phi_{\text{obs}} - \Phi_{\text{emit}}}{c^2} \]

En el caso de enviar luz desde una posición con potencial \(\Phi\) (\(\Phi < 0\)) hacia el infinito (\(\Phi = 0\)), tomando \(\Phi_{\text{emit}} = \Phi\), \(\Phi_{\text{obs}} = 0\),

\[ \frac{\nu_\infty}{\nu(\Phi)} \approx 1 - \frac{0 - \Phi}{c^2} = 1 + \frac{\Phi}{c^2} \]

Como \(\Phi < 0\), se tiene \(\nu_\infty < \nu(\Phi)\), lo cual representa correctamente el corrimiento al rojo (la luz emitida desde una región con potencial gravitacional profundo tiene una frecuencia menor en el infinito).

Es decir,

\[ \nu_\infty \approx \nu(\Phi)\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) \]

A continuación, usamos la relación entre frecuencia y tiempo propio. La frecuencia es proporcional al inverso del tiempo propio (\(\nu \propto 1/d\tau\)). Si \(d\tau\) es el tiempo propio de una oscilación del reloj situado en el potencial \(\Phi\), y \(dt\) es el intervalo de tiempo coordenado en el infinito correspondiente a la misma oscilación, entonces

\[ \nu(\Phi) = \frac{1}{d\tau}, \qquad \nu_\infty = \frac{1}{dt} \]

Sustituyendo en la relación del corrimiento al rojo anterior,

\[ \frac{1}{dt} \approx \frac{1}{d\tau}\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) \]

Resolviendo para \(d\tau\),

\[ d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)dt \]
\[ \boxed{d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)dt} \]

Significado físico: Cuando \(\Phi < 0\) (región con potencial gravitacional bajo), se tiene \(d\tau < dt\), lo que significa que un reloj situado en una región profunda del campo gravitacional avanza más lentamente en comparación con un reloj en el infinito. Esto es la dilatación temporal gravitacional.

Verificación: Para \(\Phi = 0\) (infinito), se obtiene \(d\tau = dt\), y el tiempo coordenado coincide con el tiempo propio. Que \(d\tau < dt\) para \(\Phi < 0\) es consistente con los resultados del experimento de Pound-Rebka, que muestran que los relojes en un campo gravitacional se retrasan.

(b) Corrección a la métrica en campo gravitacional débil:

Para la línea de universo de una partícula en reposo, \(dx = dy = dz = 0\), por lo que en la métrica de Minkowski \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\),

\[ ds^2 = g_{00}\,c^2\,dt^2 \quad (\text{partícula en reposo, suponiendo componentes espaciales sin modificar}) \]

Por otro lado, la relación con el tiempo propio \(d\tau\) a lo largo de la línea de universo es \(ds^2 = -c^2 d\tau^2\), de modo que

\[ -c^2 d\tau^2 = g_{00}\,c^2\,dt^2 \quad \Longrightarrow \quad d\tau^2 = -g_{00}\,dt^2 \]

(Aquí se usa la convención de signos de la métrica \((-,+,+,+)\).)

Sustituyendo el resultado de (a), \(d\tau \approx (1 + \Phi/c^2)\,dt\),

\[ d\tau^2 \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)^2 dt^2 \approx \left(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\right)dt^2 \]

(Despreciando términos de segundo orden en \(|\Phi|/c^2 \ll 1\).)

Comparando con \(d\tau^2 = -g_{00}\,dt^2\),

\[ -g_{00} \approx 1 + \frac{2\Phi}{c^2} \]
\[ \boxed{g_{00} \approx -\left(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\right)} \]

Por lo tanto, la métrica en presencia de un campo gravitacional débil es

\[ ds^2 \approx -\left(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\right)c^2\,dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

Verificación: Para \(\Phi = 0\) (sin campo gravitacional), se obtiene \(g_{00} = -1\), recuperando la métrica de Minkowski. Las dimensiones también son correctas, ya que \([\Phi/c^2]\) es adimensional.

(c) Contradicción con el concepto de sistema de Lorentz e inevitabilidad de la extensión hacia la relatividad general:

El resultado de (b) muestra que, en un espacio-tiempo donde existe un campo gravitacional, la componente de la métrica \(g_{00}\) depende de la posición:

\[ g_{00}(x, y, z) \approx -\left(1 + \frac{2\Phi(x, y, z)}{c^2}\right) \]

Esto contradice fundamentalmente el concepto de sistema de Lorentz (sistema inercial) de los capítulos 3 y 4 en los siguientes aspectos:

  1. Ruptura de la métrica de Minkowski: En la relatividad especial estudiada en Cap. 4, la métrica en un sistema inercial viene dada por la matriz constante \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, +1, +1, +1)\). Sin embargo, en el resultado de (b), \(g_{00}\) es una función de las coordenadas espaciales y la métrica no tiene forma de Minkowski. Esto significa que el espacio-tiempo con campo gravitacional no es un espacio-tiempo de Minkowski.

  2. Inexistencia de un sistema inercial global: En relatividad especial, existe un sistema inercial (sistema de Lorentz) que cubre todo el espacio-tiempo, y en él las leyes de la física adoptan una forma covariante de Lorentz. Sin embargo, el principio de equivalencia garantiza la existencia de sistemas inerciales solo localmente. En la vecindad de cualquier punto del espacio-tiempo se puede recuperar la métrica de Minkowski eligiendo un sistema de coordenadas en caída libre, pero en general no existe un único sistema de coordenadas que haga la métrica de Minkowski en todo el espacio-tiempo. Esto es análogo a cómo una superficie curva puede aproximarse localmente por un plano, pero no puede desplegarse globalmente en un plano.

  3. Inevitabilidad de la curvatura del espacio-tiempo: Que \(g_{00}\) dependa de la posición significa que el tensor métrico tiene una estructura no trivial, lo cual corresponde matemáticamente a que el espacio-tiempo está curvado. Dado que el corrimiento al rojo gravitacional — un fenómeno verificado experimentalmente — exige la dependencia posicional de la métrica, para describir la gravedad es necesario un marco que vaya más allá del espacio-tiempo de Minkowski, es decir, la geometría del espacio-tiempo curvo.

  4. El camino señalado por el principio de equivalencia: El principio de equivalencia garantiza que "localmente se cumple la relatividad especial". En el lenguaje de la geometría diferencial, esto corresponde a que "el espacio tangente en cada punto de una variedad curva es un espacio de Minkowski". Es decir, la física que incluye la gravedad debe formularse sobre un "espacio-tiempo localmente plano pero globalmente curvo", lo cual es precisamente el marco de la geometría de Riemann.

Por las razones expuestas, para describir la física que incluye la gravedad es inevitable abandonar el marco de la relatividad especial (espacio-tiempo de Minkowski global + transformaciones de Lorentz) y pasar a la relatividad general, que formula las leyes de la física sobre un espacio-tiempo curvo general. El principio de equivalencia desempeña el papel de puente como punto de partida de esta extensión, garantizando que "localmente se cumple la relatividad especial".

A-2. Correcciones relativistas de los satélites GPS

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Problema:

Un observador A se encuentra de pie en la superficie de la Tierra (masa \(M\), radio \(R\)), y un observador B viaja en un satélite que orbita en movimiento circular uniforme a una altura \(H\) sobre la superficie.

(a) Debido al efecto del corrimiento al rojo gravitacional, ¿cuánto más rápido avanza el reloj de B respecto al reloj de A por cada segundo? Utilizando la diferencia de potencial

\[ \Delta\Phi = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+H}\right) = \frac{gR^2 H}{R(R+H)} \]

encuentra la razón \(\Delta\tau_{\text{grav}}/\Delta t\). (Nota: en el caso \(H \ll R\) se reduce a \(\Delta\Phi \approx gH\), pero para los satélites GPS se tiene \(H \approx 3.2R\), por lo que esta aproximación no es válida.)

(b) Debido al efecto de la dilatación del tiempo (time dilation) de la relatividad especial estudiado en Cap. 3, ¿cuánto más lento avanza el reloj del satélite que se mueve con velocidad orbital \(v = \sqrt{gR^2/(R+H)} \approx \sqrt{g(R+H)}\) respecto a A? Suponiendo \(v \ll c\), encuentra la razón \(\Delta\tau_{\text{SR}}/\Delta t\).

(c) Para el caso de un satélite GPS (\(H \approx 20{,}200\;\text{km}\)), compara las magnitudes de los efectos (a) y (b), y determina cuál es el dominante. Utiliza según sea necesario \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\), \(R \approx 6{,}370\;\text{km}\), \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

(a) Diferencia en la marcha del reloj debida al corrimiento al rojo gravitacional:

La diferencia de potencial entre la superficie terrestre (potencial \(\Phi_A = -GM/R\)) y el satélite a altura \(H\) (potencial \(\Phi_B = -GM/(R+H)\)) es:

\[ \Delta\Phi = \Phi_B - \Phi_A = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+H}\right) = \frac{gR^2 H}{R(R+H)} = \frac{gRH}{R+H} \]

Del resultado de Problema A-1. Corrección de la métrica deducida del corrimiento al rojo gravitacional (a), la relación entre el tiempo propio y el tiempo coordenado en cada posición es:

\[ d\tau_A \approx \left(1 + \frac{\Phi_A}{c^2}\right)dt \]
\[ d\tau_B \approx \left(1 + \frac{\Phi_B}{c^2}\right)dt = \left(1 + \frac{\Phi_A + \Delta\Phi}{c^2}\right)dt \]

Cuánto más rápido avanza el reloj en B respecto al reloj en A por cada segundo es:

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{grav}}}{\Delta t} = \frac{d\tau_B - d\tau_A}{dt} = \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{gRH}{c^2(R+H)} \]
\[ \boxed{\frac{\Delta\tau_{\text{grav}}}{\Delta t} \approx +\frac{gRH}{c^2(R+H)}} \]

Como el valor es positivo, el reloj del satélite en la posición más alta avanza más rápido que el reloj en la superficie.

(b) Efecto de la dilatación temporal de la relatividad especial:

La velocidad orbital del satélite se obtiene de la condición de órbita circular (aceleración centrípeta = aceleración gravitatoria):

\[ \frac{v^2}{R+H} = \frac{GM}{(R+H)^2} = \frac{gR^2}{(R+H)^2} \]
\[ v^2 = \frac{gR^2}{R+H} \]

Debido a la dilatación temporal de la relatividad especial, el tiempo propio de un reloj que se mueve con velocidad \(v\) es:

\[ d\tau_B^{\text{SR}} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\,dt \approx \left(1 - \frac{v^2}{2c^2}\right)dt \]

La diferencia respecto al reloj en la superficie es:

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{SR}}}{\Delta t} = \frac{d\tau_B^{\text{SR}} - dt}{dt} \approx -\frac{v^2}{2c^2} = -\frac{gR^2}{2c^2(R+H)} \]
\[ \boxed{\frac{\Delta\tau_{\text{SR}}}{\Delta t} \approx -\frac{gR^2}{2c^2(R+H)}} \]

Como el valor es negativo, el reloj del satélite en movimiento avanza más lento que el reloj en la superficie.

(Nota: estrictamente, el observador en la superficie también se mueve debido a la rotación terrestre, pero como la velocidad de rotación en la superficie es suficientemente pequeña comparada con la velocidad orbital del satélite, aquí se aproxima al observador en la superficie como estacionario.)

(c) Comparación numérica para el satélite GPS:

Valores dados: \(H = 20{,}200\;\text{km} = 2.02 \times 10^7\;\text{m}\), \(g = 9.8\;\text{m/s}^2\), \(R = 6{,}370\;\text{km} = 6.37 \times 10^6\;\text{m}\), \(c = 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

Efecto del corrimiento al rojo gravitacional:

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{grav}}}{\Delta t} = \frac{gRH}{c^2(R+H)} = \frac{9.8 \times 6.37 \times 10^6 \times 2.02 \times 10^7}{(3.0 \times 10^8)^2 \times 2.657 \times 10^7} \]

Numerador: \(9.8 \times 6.37 \times 10^6 \times 2.02 \times 10^7 = 9.8 \times 1.287 \times 10^{14} = 1.261 \times 10^{15}\)

Denominador: \(9.0 \times 10^{16} \times 2.657 \times 10^7 = 2.391 \times 10^{24}\)

\[ = \frac{1.261 \times 10^{15}}{2.391 \times 10^{24}} = 5.27 \times 10^{-10} \]

Diferencia temporal por día: \(5.27 \times 10^{-10} \times 86{,}400\;\text{s} \approx 45.5\;\mu\text{s}\) (el reloj del satélite avanza más rápido).

Efecto de la dilatación temporal de la relatividad especial:

\[ v^2 = \frac{gR^2}{R+H} = \frac{9.8 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.37 \times 10^6 + 2.02 \times 10^7} \]
\[ = \frac{9.8 \times 4.058 \times 10^{13}}{2.657 \times 10^7} = \frac{3.977 \times 10^{14}}{2.657 \times 10^7} = 1.497 \times 10^7\;\text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ \frac{\Delta\tau_{\text{SR}}}{\Delta t} = -\frac{v^2}{2c^2} = -\frac{1.497 \times 10^7}{2 \times 9.0 \times 10^{16}} = -\frac{1.497 \times 10^7}{1.8 \times 10^{17}} = -8.3 \times 10^{-11} \]

(Verificación: \(v = \sqrt{1.497 \times 10^7} \approx 3.87 \times 10^3\;\text{m/s} \approx 3.9\;\text{km/s}\). Es un valor razonable para la velocidad orbital de un satélite GPS. ✓)

Diferencia temporal por día: \(-8.3 \times 10^{-11} \times 86{,}400\;\text{s} \approx -7.2\;\mu\text{s}\) (el reloj del satélite avanza más lento).

Comparación:

Efecto \(\Delta\tau/\Delta t\) Diferencia temporal por día
Corrimiento al rojo gravitacional \(+5.3 \times 10^{-10}\) \(\approx +45.5\;\mu\text{s}\) (avanza más rápido)
Dilatación temporal de la relatividad especial \(-8.3 \times 10^{-11}\) \(\approx -7.2\;\mu\text{s}\) (avanza más lento)
Total \(+4.4 \times 10^{-10}\) \(\approx +38.3\;\mu\text{s}\) (avanza más rápido)

(Nota: si se usa la aproximación \(H \ll R\) con \(\Delta\Phi \approx gH\), el efecto gravitacional se sobreestima en \(+190\;\mu\text{s}/\text{día}\). Como para los satélites GPS \(H \approx 3.2R\), es necesario usar la diferencia de potencial exacta \(\Delta\Phi = gRH/(R+H)\).)

Conclusión: El efecto del corrimiento al rojo gravitacional es dominante, y el reloj del satélite GPS avanza más rápido que el reloj en la superficie. Si no se realiza esta corrección, se acumularían grandes errores en la precisión de posicionamiento de señales que se propagan a la velocidad de la luz \(c\). Para que el GPS funcione correctamente, es indispensable corregir los relojes teniendo en cuenta tanto el efecto de la relatividad general (corrimiento al rojo gravitacional) como el de la relatividad especial (dilatación temporal).

Verificación: - Que los signos del efecto gravitacional y del efecto de velocidad sean opuestos es físicamente correcto (los relojes en posiciones más altas avanzan más rápido, y los relojes en movimiento avanzan más lento). - Que el efecto total sea positivo (el reloj del satélite es más rápido) es consistente con el hecho de que en la operación real del GPS los relojes de los satélites se configuran ligeramente más lentos antes del lanzamiento para sincronizarlos con los de la superficie. - Cuando \(H = 0\), el efecto gravitacional es cero y \(v^2 = gR\), quedando solo el efecto de velocidad. Cuando \(v = 0\), el efecto de velocidad es cero y solo queda el efecto gravitacional. Ambos son límites razonables.