Capítulo 5 ¿Por qué la velocidad de la luz es constante? — Teoría de la relatividad especial¶
Resumen de los capítulos anteriores: En Cap. 4, vimos las 3 crisis de la física clásica: la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y el avance del perihelio de Mercurio. En particular, la velocidad de la luz \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\) predicha por las ecuaciones de Maxwell no contiene información sobre "desde la perspectiva de quién", y quedó pendiente el misterio de que la velocidad de la luz es constante independientemente del observador.
Objetivo de este capítulo
- Repasaremos brevemente los resultados de la relatividad especial ya desarrollados en Relatividad General, e introduciremos las coordenadas del cono de luz \(x^\pm\), una herramienta específica de El Desafío de la Gravedad Cuántica
- Las coordenadas del cono de luz son el corazón de la cuantización en el cono de luz de Cap. 14
- Dado que la derivación detallada de las fórmulas se trató una sola vez en Relatividad General Cap. 3〜Relatividad General Cap. 4, en este capítulo nos limitaremos a confirmar los puntos clave y nos enfocaremos en las herramientas necesarias para la teoría de cuerdas
Cómo leer este capítulo
Se asume que ya has terminado Relatividad General Cap. 3〜Relatividad General Cap. 4, por lo que las secciones 5.1〜5.3 son una organización de contenido ya estudiado. El número de páginas es corto, pero la notación de índices y la definición del cuadrimomento se usan frecuentemente en capítulos posteriores, así que si hay algún punto en el que no te sientas seguro, vuelve a las referencias al final de cada sección. Las coordenadas del cono de luz (5.4) son las protagonistas de este capítulo.
%%{init: {"theme": "default", "themeCSS": ".edgePath .path, .flowchart-link { stroke-width: 2px !important; }"}}%%
flowchart TD
A["Relatividad General Capítulos 3〜4<br>ya desarrollados"] --> B["Puntos clave de la relatividad especial"]
B --> C["Transformación de Lorentz γ"]
B --> D["Métrica de Minkowski η_μν"]
B --> E["Cuadrimomento pᵘ<br>E² = |p|² + m²"]
B --> F["Estructura del cono de luz<br>temporal, espacial, nula"]
F --> G["<b>Coordenadas del cono de luz x±</b><br>(Contenido nuevo de este capítulo)"]
G --> H["Cuantización en el cono de luz de cuerdas<br>(Capítulo 14)"]
D --> I["Principio de equivalencia → Relatividad general<br>(Capítulo 6)"]Fig. 5.1: Posición del Cap. 5 y camino hacia las coordenadas del cono de luz
5.1 Revisión de la motivación — Einstein a los 16 años y el misterio de la velocidad de la luz¶
🟡 Lina: En Cap. 2, se derivó \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\) a partir de las ecuaciones de Maxwell. Y en Cap. 4, quedó como misterio el hecho de que esta \(c\) no contiene información sobre "velocidad medida por quién".
🔵 Kai: Es lo de cuando Einstein tenía 16 años y se preguntaba "si corriera a la misma velocidad que la luz, ¿la vería detenida?", ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. Como las ecuaciones de Maxwell no tienen solución para una "onda electromagnética estacionaria", Einstein concluyó que correr junto a la luz es imposible en sí mismo. Desde el experimento de Michelson-Morley de 1887 hasta los modernos experimentos con cavidades láser (isotropía a \(10^{-18}\)), el hecho de que la velocidad de la luz es constante independientemente del observador es extremadamente sólido.
⚪ Mei: Como vimos en Relatividad General Cap. 3, Einstein no "explicó" por qué es constante, sino que aceptó que "es constante" como punto de partida, ¿verdad?
🟡 Lina: Exacto. Lo estableció como axioma y persiguió qué se deduce lógicamente de ahí — eso es la teoría de la relatividad especial. Lo que sigue se trató en detalle en Relatividad General Cap. 3, así que aquí solo confirmemos los resultados.
✅ Verificación de comprensión: ¿Einstein "explicó" por qué la velocidad de la luz es constante, o tomó un enfoque diferente?
Respuesta
Einstein no explicó la razón por la que la velocidad de la luz es constante, sino que aceptó "la velocidad de la luz es constante independientemente del observador" como axioma (punto de partida). Perseguir qué se deduce lógicamente de ahí es la teoría de la relatividad especial.
📖 Conexión con Relatividad General: La base experimental de la invariancia de la velocidad de la luz, la idea de Einstein y los detalles del experimento de Michelson-Morley se trataron en Relatividad General Cap. 3. La lógica de cómo la invariancia de la velocidad de la luz "determina la forma de \(ds^2\)" se encuentra en Relatividad General Cap. 3.
5.2 Resumen de los puntos clave de la relatividad especial¶
🟡 Lina: Organicemos los resultados derivados en Relatividad General Cap. 3 como herramientas para usar en la teoría de cuerdas. Dejamos el proceso de derivación a las referencias, y aquí hacemos un "inventario" de qué podemos usar.
Dos postulados (Relatividad General Cap. 3)¶
- Principio de relatividad: Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales
- Principio de invariancia de la velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacío \(c\) es constante, independiente del movimiento de la fuente o del observador
Transformación de Lorentz (Relatividad General Cap. 3)¶
Transformación de coordenadas entre un sistema inercial \(S\) y un sistema \(S'\) que se mueve con velocidad \(v\) en la dirección \(x\) respecto a \(S\):
Donde el factor de Lorentz es
Fig. 5.2: Diagrama espacio-temporal de la transformación de Lorentz. Los ejes coordenados del sistema inercial \(S\) (negro) y los del sistema \(S'\) que se mueve a velocidad \(v\) (azul). Los ejes temporal y espacial de \(S'\) se inclinan simétricamente, mientras que la línea de mundo de la luz \(x = ct\) mantiene 45° en ambos sistemas.
Para \(v \ll c\), \(\gamma \approx 1\), y se recupera la transformación de Galileo. Para \(v \to c\), \(\gamma\) diverge — si miras Fig. 5.3「Dependencia del factor de Lorentz γ con la velocidad」, verás que para velocidades cotidianas es casi 1, pero se dispara abruptamente al acercarse a la velocidad de la luz. Geométricamente, usando la rapidez \(\varphi\) (\(\tanh\varphi = v/c\)), se puede escribir como una rotación hiperbólica en el plano \(t\)-\(x\) (detalles en Relatividad General Cap. 3).
Fig. 5.3: Dependencia del factor de Lorentz γ con la velocidad. \(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) diverge cuando \(v \to c\). Para velocidades cotidianas, \(\gamma \approx 1\).
Consecuencias físicas (Relatividad General Cap. 3)¶
Tabla 5.1: Principales consecuencias físicas de la transformación de Lorentz
| Fenómeno | Fórmula | Significado |
|---|---|---|
| Relatividad de la simultaneidad | \(\Delta t' = -\gamma(v/c^2)\Delta x\) (cuando \(\Delta t = 0\)) | Dos eventos simultáneos y separados en \(S\) no son simultáneos en \(S'\) |
| Dilatación del tiempo | \(\Delta t = \gamma\,\Delta t'\) | Un reloj en movimiento avanza más lentamente |
| Contracción de la longitud | \(L = L_0/\gamma\) | Una barra en movimiento se ve contraída en la dirección del movimiento |
Fig. 5.4: Dilatación del tiempo. El tiempo propio \(\Delta t'\) marcado por un reloj en el sistema en movimiento \(S'\) se estira a \(\Delta t = \gamma\,\Delta t' > \Delta t'\) cuando se observa desde el sistema en reposo \(S\). Cuanto más se acerca la velocidad a la de la luz, más pronunciada es la dilatación.
Fig. 5.5: Contracción de la longitud. Una barra de longitud propia \(L_0\) se observa contraída a \(L = L_0/\gamma < L_0\) cuando se mueve a velocidad \(v\). La contracción ocurre solo en la dirección del movimiento.
🔵 Kai: "Si desde \(S\) el reloj de \(S'\) se atrasa, entonces desde \(S'\) el reloj de \(S\) también debería atrasarse" — es la paradoja de los gemelos, ¿no? Si ambos dicen "el otro se atrasa", al final ¿quién es más joven?
🟡 Lina: Se resuelve con que el que viajó en el cohete es más joven. El lado que experimenta aceleración cambia de sistema inercial, por lo que la simetría entre los dos se rompe. Los detalles están en la sección Dive Deep de Relatividad General Cap. 3. La vida media de los muones y la corrección del tiempo del GPS también se trataron ahí.
🔵 Kai: La simetría se rompe en el momento de la aceleración... Entonces, ¿la diferencia de edad depende de "la magnitud de la aceleración" y del "tiempo que se está acelerando"?
🟡 Lina: Exacto. La diferencia de tiempo propio se determina por la integral sobre toda la trayectoria. Incluso con el mismo punto de partida y llegada, la diferencia de edad varía entre una ruta con aceleración intensa y una ruta suave. El cálculo cuantitativo se trata en la sección Dive Deep de Relatividad General Cap. 3, así que si te interesa, échale un vistazo.
🔵 Kai: "Integral sobre toda la trayectoria" quiere decir que se suman todas las formas de aceleración y se comparan, ¿verdad?
⚪ Mei: Es decir, "ambos son equivalentes" solo se aplica mientras ambos están en sistemas inerciales. En el momento en que uno acelera, la situación se vuelve asimétrica.
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué en la paradoja de los gemelos se concluye que "el que viajó en el cohete es más joven"?
Respuesta
El que viajó en el cohete experimenta aceleración (desaceleración, cambio de dirección) y cambia de sistema inercial. Esto rompe la simetría de la situación entre los dos, por lo que el lado que experimentó la aceleración tiene un tiempo transcurrido menor y permanece más joven.
5.3 Herramientas del espacio-tiempo de Minkowski (las que se usan en teoría de cuerdas)¶
🟡 Lina: En la teoría de cuerdas, trataremos espacio-tiempos con más dimensiones que solo 4 (por qué aumentan las dimensiones se aclarará a partir de Cap. 14). Primero, como caso más simple, tomamos el espacio-tiempo de fondo donde se mueve la cuerda como un espacio-tiempo plano de Minkowski en \(D\) dimensiones. Dado que incluso en un espacio-tiempo curvado, la vecindad de cada punto se aproxima por el espacio-tiempo de Minkowski (teorema de planitud local, ver Relatividad General Cap. 7), las herramientas que preparamos aquí se seguirán usando hasta el final. En esta sección escribimos las fórmulas concretas en 4 dimensiones (\(D = 4\)), pero la generalización a \(D\) dimensiones es sencilla — solo aumentan las coordenadas a \(x^0, x^1, \ldots, x^{D-1}\), y en coordenadas del cono de luz las componentes transversales se convierten en \(D - 2\) componentes: \(x^2, x^3, \ldots, x^{D-1}\). Enumero los puntos clave.
Sistema de unidades y convención de signos
A partir de esta sección usaremos como base el sistema de unidades naturales con \(c = 1\) (ver Relatividad General Cap. 4). Medimos el tiempo y el espacio en las mismas unidades, y no escribimos \(c\) explícitamente en las fórmulas. En teoría de cuerdas, a menudo se toma adicionalmente \(\hbar = \alpha' = 1\), pero lo introduciremos cuando sea necesario. Cuando se necesiten valores numéricos en unidades SI, se recupera \(c\) mediante análisis dimensional.
La convención de signos es la misma que en Relatividad General: \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\) (mostly plus). En Teoría Cuántica de Campos se usó \((+,-,-,-)\) (mostly minus), pero como los libros de texto estándar de teoría de cuerdas (Zwiebach, Polchinski, etc.) adoptan mostly plus, unificamos con esta convención en este texto.
Coordenadas e índices (Relatividad General Cap. 4)¶
Convención de suma de Einstein: Cuando el mismo índice aparece arriba y abajo, se suma. \(A^\mu B_\mu \equiv \sum_\mu A^\mu B_\mu\).
Métrica de Minkowski (Relatividad General Cap. 4)¶
Es un invariante que tiene las mismas componentes en todos los sistemas inerciales. Restaurando \(c\): \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\).
Cuadrimomento y relación energía-momento (Relatividad General Cap. 4)¶
Cuadrimomento de una partícula (\(U^\mu\) es la cuadrivelocidad, ver Relatividad General Cap. 4):
De la norma invariante \(p^\mu p_\mu = -m^2\), la relación energía-momento es
(El signo menos en \(-m^2\) se debe a que \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -E^2 + |\vec{p}|^2\), donde el término de energía lleva un signo menos por \(\eta_{00} = -1\). Para una partícula en reposo \(\vec{p} = 0\), se tiene \(p^\mu p_\mu = -E^2 = -m^2\), lo cual es consistente.)
- En reposo: \(E = m\) (restaurando unidades SI: \(E = mc^2\))
- Límite de baja velocidad: \(E \approx m + \frac{1}{2}m v^2\) (restaurando SI: \(E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2\), el cálculo de la expansión en Relatividad General Cap. 4)
- Masa cero: \(E = |\vec{p}|\), se mueve necesariamente a la velocidad de la luz
🔵 Kai: Es impresionante que solo por estar en reposo ya se tenga energía \(m\).
🟡 Lina: Si representamos esta relación en una gráfica, se obtiene una hipérbola (Fig. 5.6「Representación geométrica de la relación energía-momento \(E^2 = p^2 + m^2\)」). El conjunto de puntos que satisfacen \(E^2 - |\vec{p}|^2 = m^2\) dibuja una hipérbola. Como la partícula siempre está sobre esta curva, se la llama capa de masa (mass shell), en el sentido de "la cáscara sobre la que está la partícula". La luz con masa cero está sobre la recta \(E = |p|\), y las partículas con masa están sobre la hipérbola.
Fig. 5.6: Representación geométrica de la relación energía-momento \(E^2 = p^2 + m^2\). La partícula se encuentra sobre la capa de masa (hipérbola), y la luz con \(m = 0\) coincide con la recta \(E = |p|\). A bajas velocidades se reduce a la aproximación parabólica (energía cinética de la mecánica de Newton).
✅ Verificación de comprensión: En \(E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2\) (con \(c=1\)), ¿cuál es la energía cuando la partícula está en reposo (\(\vec{p}=0\))?
Respuesta
\(E = m\) (en el sistema de unidades naturales con \(c=1\)). Restaurando unidades SI se obtiene \(E = mc^2\). Esta es la famosa relación de equivalencia entre masa y energía.
Fig. 5.7: Relación triangular energía-momento. \(E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2\) (con \(c = 1\)) se puede visualizar como el teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo. Tomando la energía en reposo \(m\) como base y el momento \(|\vec{p}|\) como altura, la hipotenusa corresponde a la energía total \(E\).
🔵 Kai: La propiedad de masa cero y velocidad de la luz, la volveremos a usar cuando aparezca el gravitón en la teoría de cuerdas (Cap. 15), ¿verdad? Pero \(E = \sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\) tiene una raíz cuadrada, así que parece difícil de manejar al cuantizar, ¿no?
🟡 Lina: Exactamente ese es el problema. En la siguiente sección, introduciremos coordenadas — las coordenadas del cono de luz — en las que esta relación energía-momento se resuelve como una ecuación lineal. Gracias a eso, \(p^-\) queda determinado unívocamente por las otras componentes, y la cuantización de la cuerda se simplifica drásticamente.
🔵 Kai: Con raíz cuadrada quiere decir que \(E = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\) y hay una solución negativa también, ¿verdad? ¿Qué significa energía negativa?
🟡 Lina: Buena pregunta. Matemáticamente, existe la solución \(p^0 = -\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\). La interpretación física se entiende como antipartículas en la teoría cuántica de campos (Teoría Cuántica de Campos), pero por ahora solo recuerda la inconveniencia matemática de que "al tomar la raíz cuadrada aparecen 2 soluciones con \(\pm\)". El punto clave es que en coordenadas del cono de luz este \(\pm\) desaparece.
📖 Retorno a temas ya estudiados: La distinción entre vectores contravariantes y covariantes, subir y bajar índices \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\), la contracción de tensores y el rango se tratan en Relatividad General Cap. 4. Cuando en el capítulo 13 en adelante tratemos tensores sobre la hoja de mundo de la cuerda, heredaremos naturalmente la notación de allí.
5.4 Estructura del cono de luz y coordenadas del cono de luz — Protagonistas de la teoría de cuerdas¶
🟡 Lina: A partir de aquí viene el contenido original de este capítulo. Las coordenadas del cono de luz son la herramienta clave para separar de la manera más rápida "qué grados de libertad son físicos" en la cuantización de la cuerda (Cap. 14). Primero repasemos brevemente la estructura del cono de luz (causalidad) como preparación, y luego definamos las coordenadas del cono de luz.
Repaso de la estructura del cono de luz (causalidad)¶
🟡 Lina: Según el signo de \(ds^2\) entre dos eventos, la relación causal se clasifica en 3 tipos.
Tabla 5.2: Clasificación causal según el signo del intervalo entre eventos
| Signo de \(ds^2\) | Nombre | Significado físico |
|---|---|---|
| \(ds^2 < 0\) | Temporal (timelike) | Se pueden conectar con una señal sublumínica. Existe relación causal |
| \(ds^2 = 0\) | Nulo (null / lightlike) | Se pueden conectar con luz. Sobre el cono de luz |
| \(ds^2 > 0\) | Espacial (spacelike) | No se pueden conectar ni con luz. Sin relación causal |
Fig. 5.8: Estructura del cono de luz y causalidad. El cono de luz visto desde un evento en el origen. El espacio-tiempo se divide en la región temporal (futuro y pasado) y la región espacial (causalmente desconectada).
La superficie \(ds^2 = 0\) forma el cono de luz (light cone) y divide el espacio-tiempo en regiones: pasado, futuro y causalmente desconectada (Fig. 5.8「Estructura del cono de luz y causalidad」). Los detalles se encuentran en la sección "Las 3 clasificaciones del intervalo espacio-temporal" de Relatividad General Cap. 3.
Definición de las coordenadas del cono de luz¶
🟡 Lina: Combinamos la coordenada temporal \(x^0\) con una de las coordenadas espaciales \(x^1\) para definir nuevas coordenadas:
Las coordenadas restantes \(x^2, x^3\) quedan sin cambio.
🔵 Kai: ¿Por qué se llaman coordenadas del "cono de luz"?
🟡 Lina: Consideremos la luz que parte del origen y se propaga solo en la dirección \(x^1\): con \(dx^2 = dx^3 = 0\), de \(ds^2 = 0\) obtenemos \(-(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = 0\), es decir \(dx^0 = \pm dx^1\). La luz que se propaga en la dirección positiva satisface \(dx^0 = dx^1\), y al integrar se obtiene \(x^0 = x^1 + C\) (\(C\) es una constante). Partiendo del origen, \(C = 0\) y \(x^1 = x^0\) (en unidades naturales con \(c = 1\)). En ese caso:
La luz en dirección opuesta tiene \(x^1 = -x^0\) y \(x^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 + x^1) = 0\). Es decir, a lo largo de la línea de mundo de la luz que parte del origen, \(x^+\) o \(x^-\) toma un valor constante (0).
⚪ Mei: En el caso de partir del origen es 0, pero ¿se puede decir lo mismo para luz que parte de otro punto?
🟡 Lina: Buena verificación. La luz que se propaga en la dirección \(x^1\) siempre satisface \(dx^0 = \pm dx^1\), así que \(dx^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 - dx^1) = 0\) (dirección positiva) o \(dx^+ = 0\) (dirección opuesta). Es decir, a lo largo de la línea de mundo de la luz, \(x^+\) o \(x^-\) es constante (el valor constante no tiene por qué ser 0, pero no cambia). Por cierto, como vimos en Fig. 5.8「Estructura del cono de luz y causalidad」, el cono de luz tiene literalmente forma de "cono" — si dibujamos en un diagrama espacio-temporal cómo la luz se expande en todas las direcciones desde el origen, forma la superficie de un cono. A cada recta que se puede trazar desde el vértice del cono a lo largo de su superficie se le llama generatriz.
🔵 Kai: ¿Generatriz? Me suena... ¿es la línea recta que forma la superficie del cono?
🟡 Lina: Sí. Una generatriz es una línea recta que constituye la superficie de un cono — una línea que se puede trazar recto desde el vértice a lo largo de la superficie. Imagina que colocas una regla desde la punta de un cono de helado hacia el borde. El cono de luz también es un tipo de cono, así que las rectas trazadas desde el vértice (el evento en el origen) en la dirección en que se propaga la luz son las generatrices del cono de luz. Como son coordenadas a lo largo de las generatrices del cono de luz, se llaman "coordenadas del cono de luz". Si lo ves en la figura (Fig. 5.9「Significado geométrico de las coordenadas del cono de luz」), queda claro — tiene la forma de las coordenadas \((x^0, x^1)\) habituales rotadas 45 grados, y las líneas de mundo de la luz coinciden exactamente con los nuevos ejes coordenados.
🔵 Kai: Una regla apoyada en la superficie del cono... ya veo, es como el "esqueleto" del cono. Las trayectorias de la luz corresponden a cada una de esas piezas del esqueleto. Entonces, ¿el eje \(x^+\) y el eje \(x^-\) son dos de esas piezas del esqueleto elegidas en las direcciones positiva y negativa de \(x^1\)?
🟡 Lina: Exacto. El cono de luz tiene generatrices en todas las direcciones, pero al enfocarnos en la dirección \(x^1\) y elegir 2 de ellas, las tomamos como nuevos ejes coordenados — eso son las coordenadas del cono de luz.
Fig. 5.9: Significado geométrico de las coordenadas del cono de luz. Sistema de coordenadas con las coordenadas \((x^0, x^1)\) habituales rotadas 45 grados. Las líneas de mundo de la luz coinciden con los ejes coordenados.
🔵 Kai: Ah, mirando Fig. 5.9「Significado geométrico de las coordenadas del cono de luz」, efectivamente los ejes \(x^+\) y \(x^-\) están alineados con la dirección de la luz.
🔵 Kai: ¿Por qué tiene el coeficiente \(1/\sqrt{2}\)? ¿No funciona con \(x^+ = x^0 + x^1\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. Si definiéramos sin \(1/\sqrt{2}\): \(\tilde{x}^+ = x^0 + x^1\), \(\tilde{x}^- = x^0 - x^1\), entonces \(d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^- = (dx^0)^2 - (dx^1)^2\), por lo que \(ds^2 = -d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\). Si escribimos \(ds^2 = \tilde{\eta}_{\mu\nu}\,d\tilde{x}^\mu d\tilde{x}^\nu\), con la convención de suma de Einstein se suma sobre todas las combinaciones de \(\mu\) y \(\nu\).
🔵 Kai: "Todas las combinaciones", ¿cómo se expande concretamente?
🟡 Lina: Por ejemplo, las coordenadas son \((\tilde{x}^+, \tilde{x}^-, \tilde{x}^2, \tilde{x}^3)\), 4 en total, así que \(\mu\) toma los valores \(+, -, 2, 3\) y \(\nu\) también \(+, -, 2, 3\), dando \(4 \times 4 = 16\) términos en total. Entre ellos, los que involucran \(+\) y \(-\) son 2: el término con \(\mu = +, \nu = -\) y el término con \(\mu = -, \nu = +\).
🔵 Kai: Aparecen 2 porque \(\mu\) y \(\nu\) recorren sus valores independientemente.
🟡 Lina: Así es. Es decir, aparecen los 2 términos \(\tilde{\eta}_{+-}d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^- + \tilde{\eta}_{-+}d\tilde{x}^- d\tilde{x}^+\). El tensor métrico es simétrico (\(\tilde{\eta}_{+-} = \tilde{\eta}_{-+}\)), y \(d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^-\) y \(d\tilde{x}^- d\tilde{x}^+\) son lo mismo (al ser simplemente productos de números, el orden es intercambiable), así que sumados dan \(2\tilde{\eta}_{+-}\,d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^-\). Esto debe ser igual a \(-d\tilde{x}^+ d\tilde{x}^-\), así que \(2\tilde{\eta}_{+-} = -1\), es decir \(\tilde{\eta}_{+-} = -1/2\).
🔵 Kai: \(-1/2\) es ciertamente un valor incómodo. ¿Qué pasa si ponemos el \(1/\sqrt{2}\)?
🟡 Lina: Con la definición que incluye \(1/\sqrt{2}\) — lo derivaremos justo a continuación — resulta \(ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + \cdots\). Escribamos las componentes de la métrica en coordenadas del cono de luz como \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\). Aunque es la misma métrica de Minkowski, al cambiar las coordenadas cambian los valores numéricos de las componentes, así que ponemos un acento circunflejo (\(\hat{}\)) para distinguirlas de \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\) en coordenadas habituales. Haciendo la misma expansión que antes, los términos que involucran \(+\) y \(-\) en \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu\) dan \(2\hat{\eta}_{+-}\,dx^+dx^-\). Igualando a \(-2\,dx^+dx^-\), obtenemos \(2\hat{\eta}_{+-} = -2\), es decir \(\hat{\eta}_{+-} = -1\) exactamente.
⚪ Mei: En resumen: sin \(1/\sqrt{2}\) da \(\tilde{\eta}_{+-} = -1/2\), un valor incómodo; con \(1/\sqrt{2}\) da \(\hat{\eta}_{+-} = -1\), un valor limpio.
🟡 Lina: Exacto. Como las componentes de la métrica quedan solo con \(\pm 1\) o \(0\), subir y bajar índices se vuelve más sencillo. Escribiré la forma completa de la matriz enseguida. Ahora derivemos \(ds^2 = -2\,dx^+dx^-\) explícitamente.
Intervalo espacio-temporal en coordenadas del cono de luz¶
🟡 Lina: Reescribamos \(ds^2\) en coordenadas del cono de luz. El punto de partida es la métrica de Minkowski en coordenadas habituales:
Queremos reemplazar la parte \(-(dx^0)^2 + (dx^1)^2\) por coordenadas del cono de luz. De la definición:
Calculando el producto:
Es decir, \((dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+ dx^-\). Lo que aparece en \(ds^2\) es \(-(dx^0)^2 + (dx^1)^2\) con signo opuesto, así que multiplicando ambos lados por \(-1\):
Sustituyendo en \(ds^2\):
(Aquí \((dx^2)^2\) significa "el cuadrado de la variación infinitesimal \(dx^2\) de la coordenada \(x^2\)". El 2 como superíndice es la etiqueta de la coordenada, no un exponente, así que aunque es confuso, léelo como \((dx^2)^2 = (dx^2) \times (dx^2)\). Lo mismo para \((dx^3)^2\).)
🔵 Kai: Eh, en la fórmula original \((dx^0)^2\) y \((dx^1)^2\) aparecían por separado, pero en coordenadas del cono de luz se convierten en un producto de \(dx^+\) y \(dx^-\). ¿En qué se diferencia intuitivamente una suma de cuadrados de un producto?
🟡 Lina: Buena duda. Con una suma de cuadrados, cada dirección contribuye independientemente, pero con un producto, si uno de los dos es cero, todo el término se anula. Es decir, si una de las coordenadas no cambia, ese término desaparece por completo. Por ejemplo, si nos movemos solo en la dirección \(x^+\) (\(dx^- = 0\), \(dx^2 = dx^3 = 0\)), entonces \(ds^2 = -2\,dx^+\cdot 0 + 0 + 0 = 0\). Como \(ds^2 = 0\) es la condición de la luz, esto es consistente con lo que dijimos antes de que la línea de mundo de la luz está sobre el eje \(x^+\).
🔵 Kai: Ah, claro. En coordenadas habituales, para encontrar la condición \(ds^2 = 0\) hay que calcular "\(-(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = 0\) por lo tanto \(dx^0 = \pm dx^1\)", pero en coordenadas del cono de luz basta con decir "\(dx^-\) es cero" de un solo golpe.
⚪ Mei: Así es, precisamente por la estructura de producto es que la correspondencia "una coordenada es constante = luz" se ve directamente.
🟡 Lina: Aunque ya lo usé antes en la discusión del \(1/\sqrt{2}\), lo organizo formalmente aquí. Lo importante que debo decir primero es que el espacio-tiempo físico es el mismo espacio-tiempo de Minkowski — lo que cambió es solo la forma de tomar las coordenadas. Pero al cambiar las coordenadas, cambian los "valores numéricos de las componentes" del tensor métrico (igual que al cambiar la forma de dibujar un mapa cambian los espaciamientos entre meridianos y paralelos). Para evitar confusiones, escribiremos las componentes expresadas en coordenadas del cono de luz como \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\) (el acento circunflejo es una marca de "expresión en coordenadas del cono de luz", no una métrica diferente). Solo las distinguimos porque los valores numéricos difieren de \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\) en coordenadas habituales. Aquí hay una observación — en coordenadas del cono de luz las coordenadas son \((x^+, x^-, x^2, x^3)\), así que los valores que toma el índice \(\mu\) ya no son \(0, 1, 2, 3\) sino \(+, -, 2, 3\). Lo hemos estado usando implícitamente desde que definimos \(x^+, x^-\), pero lo explico aquí. Solo cambia el símbolo; el papel de "etiquetas que distinguen 4 direcciones" es el mismo.
🔵 Kai: Ya veo, solo cambian las etiquetas de los índices de números a \(+, -\), pero la esencia de que hay 4 direcciones es la misma.
🟡 Lina: Así es. Tomando el orden de filas y columnas como \(+, -, 2, 3\):
Verifica la posición de cada componente en la matriz de la izquierda. Por ejemplo, la fila 1, columna 2 es \(\hat{\eta}_{+-}\), y mirando la matriz de la derecha, su valor es \(-1\). Las componentes diagonales \(\hat{\eta}_{++}\) y \(\hat{\eta}_{--}\) son cero, y quedan las componentes fuera de la diagonal \(\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1\). En la métrica de Minkowski, donde "solo el tiempo lleva signo menos y el espacio lleva más", aquí se ha agrupado todo en la combinación de \(+\) y \(-\).
⚪ Mei: Lo que estaba en la diagonal como \(-1\) se movió fuera de la diagonal. Es una forma poco familiar, pero es cierto que las componentes son solo \(0, \pm 1\), lo cual es limpio.
🟡 Lina: La métrica inversa (la matriz que se usa para subir índices) \(\hat{\eta}^{\mu\nu}\) se determina de modo que \(\hat{\eta}^{\mu\alpha}\hat{\eta}_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\). En este caso, los valores numéricos de las componentes coinciden con los de \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\): \(\hat{\eta}^{+-} = \hat{\eta}^{-+} = -1\), \(\hat{\eta}^{22} = \hat{\eta}^{33} = +1\), el resto 0. La razón por la que coinciden es que al multiplicar la matriz anterior por sí misma se obtiene la matriz identidad (es su propia inversa). La verificación la dejo como ejercicio.
Cuadrimomento en coordenadas del cono de luz¶
🟡 Lina: En coordenadas del cono de luz, las componentes del cuadrimomento también son
(Fig. 5.10「Descomposición del momento en coordenadas del cono de luz」). En el plano habitual \((p^0, p^1)\), los ejes \(p^+\) y \(p^-\) corresponden a las direcciones de las generatrices del cono de luz — es decir, direcciones inclinadas 45 grados. La hipérbola en la figura es la capa de masa, y la partícula siempre está sobre ella. Vista en coordenadas del cono de luz, al fijar el valor de \(p^+\), el punto sobre la hipérbola queda determinado unívocamente — es decir, \(p^-\) queda determinado como variable dependiente.
Fig. 5.10: Descomposición del momento en coordenadas del cono de luz. Se muestran los ejes \(p^+\) y \(p^-\) superpuestos al plano habitual \((p^0, p^1)\). Para una partícula sobre la capa de masa (hipérbola), \(p^-\) queda determinado unívocamente por \(p^+\) y el momento transversal.
🟡 Lina: Ahora escribamos \(p^\mu p_\mu = -m^2\) en coordenadas del cono de luz. Lo que hacemos es exactamente el mismo álgebra que cuando mostramos \((dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+dx^-\) para \(ds^2\). En coordenadas habituales, como bajamos índices con \(p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\nu\) (ver Relatividad General Cap. 4), teníamos \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2\). En coordenadas del cono de luz funciona el mismo mecanismo: se calcula como \(p^\mu p_\mu = \hat{\eta}_{\mu\nu}\,p^\mu p^\nu\) usando las componentes del tensor métrico (por ejemplo, \(p_+ = \hat{\eta}_{+-}p^- + \hat{\eta}_{++}p^+ = -p^-\) así es como bajan los índices, pero ahora es más rápido sustituir directamente las componentes de \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\)). Aquí, de la definición de \(p^+\) y \(p^-\):
por lo tanto \((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2\,p^+ p^-\). Sustituyendo: \(-(p^0)^2 + (p^1)^2 = -2\,p^+ p^-\), así que
🔵 Kai: Es exactamente la misma estructura que con \(ds^2\). Solo se reemplazan las variaciones infinitesimales de coordenadas \(dx^\mu\) por momentos \(p^\mu\).
🟡 Lina: Exacto. (Si expandimos la doble suma, las componentes de \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\) que no son cero son solo \(\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1\) y \(\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = +1\), así que sobreviven 4 términos: \(\hat{\eta}_{+-}p^+p^- + \hat{\eta}_{-+}p^-p^+ + \hat{\eta}_{22}p^2 p^2 + \hat{\eta}_{33}p^3 p^3\). Como \(p^+, p^-, p^2, p^3\) son simplemente números (no operadores), se puede intercambiar el orden del producto, \(p^-p^+ = p^+p^-\). Por lo tanto \(= (-1)p^+p^- + (-1)p^+p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -2p^+p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\). Las componentes diagonales \(\hat{\eta}_{++} = \hat{\eta}_{--} = 0\) hacen que los demás términos sean cero.)
Aquí \((p^2)^2\) significa "el cuadrado de \(p^2\) (la segunda componente del momento)". Como el 2 del índice y el 2 del exponente son confusos, a veces se usa un índice latino mayúsculo como \((p^I)^2\) (\(I = 2, 3\)). \(p^2\) y \(p^3\) son las componentes en las direcciones que no se tocaron al definir las coordenadas del cono de luz — transversales (perpendicular) a los ejes \(x^+, x^-\) — por eso las agrupamos como momento transversal \(\vec{p}_\perp = (p^2, p^3)\). Así, \((p^2)^2 + (p^3)^2 = |\vec{p}_\perp|^2\). Usaremos esta notación en capítulos posteriores.
🔵 Kai: Efectivamente es confuso... Por un momento no sé si \(p^2\) es "\(p\) al cuadrado" o "la segunda componente". La notación \(\vec{p}_\perp\) me da más tranquilidad.
🟡 Lina: Sí. Cuando sea ambiguo, usaré \(\vec{p}_\perp\), así que no te preocupes. Ahora, resolvamos esto para \(p^-\). De \(-2p^+p^- + |\vec{p}_\perp|^2 = -m^2\), reorganizando: \(2p^+p^- = |\vec{p}_\perp|^2 + m^2\), dividiendo ambos lados por \(2p^+\):
(Donde \(|\vec{p}_\perp|^2 = (p^2)^2 + (p^3)^2\).)
🔵 Kai: ¡Se puede resolver! \(p^-\) queda determinado por las otras componentes (\(p^+, p^2, p^3\) y la masa). Eso significa que se pierde un grado de libertad independiente — en coordenadas habituales necesitábamos una raíz cuadrada para obtener \(E\), pero aquí sale con una sola división. Pero espere — si \(p^+\) es cero, el denominador es cero y diverge, ¿verdad? ¿Qué significa eso?
🟡 Lina: Buen ojo. Como \(p^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(E + p^1)\), para una partícula con masa que elige la solución de energía positiva (\(E > 0\)), se cumple \(E > |p^1|\). Siguiendo el razonamiento detalladamente: \(|\vec{p}|^2 = (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2\), y como \((p^2)^2\) y \((p^3)^2\) son no negativos, \(|\vec{p}|^2 \geq (p^1)^2\). Por lo tanto \(E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2 \geq (p^1)^2 + m^2 > (p^1)^2\). Como elegimos la solución de energía positiva \(E > 0\), tomando la raíz cuadrada positiva de ambos lados: \(E = \sqrt{E^2} > \sqrt{(p^1)^2} = |p^1|\) (para números positivos \(a, b\), si \(a^2 > b^2\) entonces \(a > b\); aplicado a \(a = E > 0\) y \(b = |p^1| \geq 0\)). Que \(E > |p^1|\) significa \(E > -p^1\) (incluso si \(p^1\) es negativo), por lo que \(E + p^1 > 0\), es decir, siempre \(p^+ > 0\).
⚪ Mei: Mientras haya masa, con energía positiva \(p^+\) siempre es positivo — no hay que preocuparse de que el denominador sea cero.
🟡 Lina: Así es. \(p^+ = 0\) corresponde al caso de una partícula de masa cero que se mueve exactamente a la velocidad de la luz en la dirección negativa de \(x^1\) (\(E = |p^1|\) y \(p^1 < 0\) da \(E + p^1 = 0\)). En la cuantización en el cono de luz, se adopta la convención de tratar solo partículas con \(p^+ > 0\), evitando este problema. En coordenadas habituales, de \(p^\mu p_\mu = -(p^0)^2 + |\vec{p}|^2 = -m^2\) se obtiene \(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\) con una ambigüedad de signo \(\pm\) (\(p^0 > 0\) es la solución de energía positiva = partícula normal, \(p^0 < 0\) es la solución de energía negativa). Sin embargo, en coordenadas del cono de luz, \(p^-\) queda determinado unívocamente por una ecuación lineal.
⚪ Mei: La ambigüedad de signo desaparece.
🟡 Lina: Exacto. Esta es la razón por la que en la cuantización en el cono de luz de Cap. 14 se pueden seleccionar desde el principio solo los estados físicos.
🟡 Lina: Resumo en una tabla la comparación entre coordenadas habituales y coordenadas del cono de luz.
Tabla 5.3: Comparación entre coordenadas habituales y coordenadas del cono de luz
| Concepto | Coordenadas habituales \((x^0, x^1, x^2, x^3)\) | Coordenadas del cono de luz \((x^+, x^-, x^2, x^3)\) |
|---|---|---|
| Definición | \(x^0 = t\), \(x^1 = x\) | \(x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}\) |
| Métrica \(ds^2\) | \(-(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\) | \(-2\,dx^+dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\) |
| Tensor métrico | \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\) | \(\hat{\eta}_{+-} = -1\), \(\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = +1\), el resto 0 |
| Energía-momento | $E = \pm\sqrt{ | \vec{p} |
| Ambigüedad de signo | \(\pm\) presente (soluciones de energía positiva y negativa) | No hay (si se fija \(p^+\) positivo, es unívoco) |
| Línea de mundo de la luz | \(x^1 = \pm x^0\) (pendiente \(\pm 1\)) | \(x^+ = \text{const}\) o \(x^- = \text{const}\) |
Adelanto de las ventajas en teoría de cuerdas¶
🔵 Kai: Al final, ¿qué ganamos usando coordenadas del cono de luz? Si nos tomamos la molestia de cambiar de coordenadas, debe haber un beneficio que lo justifique, ¿no?
🟡 Lina: Lo usaremos en serio en Cap. 14 (cuantización de la cuerda), pero como adelanto menciono 3 puntos. Por ahora basta con captar la idea general.
- \(p^-\) se convierte en variable dependiente: Como vimos arriba. Se reducen los grados de libertad.
- Es fácil eliminar los grados de libertad redundantes: Una partícula puntual moviéndose en el espacio-tiempo traza una trayectoria unidimensional = línea de mundo, ¿verdad? Del mismo modo, una cuerda unidimensional al moverse traza una superficie bidimensional — a esto se le llama hoja de mundo. Esta hoja de mundo tiene una "libertad en la elección de coordenadas" que no afecta la física — igual que cambiar la forma de dibujar un mapa no cambia el terreno, la física no cambia sin importar cómo se tomen las coordenadas sobre la hoja de mundo. Sin embargo, para calcular hay que elegir coordenadas concretas, y la información irrelevante para la física de "qué coordenadas elegimos" se introduce en las ecuaciones. Entonces, entre las soluciones de las ecuaciones se cuelan en masa "estados que son físicamente iguales, solo difieren en la elección de coordenadas", y no se puede distinguir cuáles son los verdaderos grados de libertad físicos. Al usar coordenadas del cono de luz, hay una elección natural (light-cone gauge) que alinea el parámetro \(\tau\) que representa la "dirección temporal" sobre la hoja de mundo con \(x^+\), y se puede fijar esa redundancia de golpe. Como resultado, solo quedan como grados de libertad físicos las vibraciones transversales \(x^2, x^3, \ldots\).
🔵 Kai: La hoja de mundo es la "superficie de la trayectoria" de la cuerda al moverse, ¿verdad? Así como un punto al moverse traza una línea, una línea al moverse traza una superficie. La analogía del mapa es clara, pero ¿el significado concreto de "light-cone gauge" puedo esperar hasta Cap. 14?
🟡 Lina: Sí, por ahora solo recuerda la conclusión de que "usando coordenadas del cono de luz se pueden eliminar los grados de libertad redundantes". El procedimiento concreto lo haremos paso a paso en Cap. 14.
- Se obtiene directamente el espectro físico: En los métodos habituales, durante el cálculo aparecen estados no físicos con "probabilidad negativa" que luego hay que eliminar. En coordenadas del cono de luz, tales estados se excluyen desde el principio.
⚪ Mei: Reducir grados de libertad y además excluir estados no físicos — es bastante poderoso.
🟡 Lina: Pero hay un precio. La covariancia de Lorentz se pierde explícitamente (porque estamos dando un trato especial a \(x^+\)). Pero como los resultados físicos no dependen del sistema de coordenadas, no hay problema — esta es la propiedad básica de la relatividad de que "calculando en coordenadas específicas se obtienen resultados generales".
🔵 Kai: Pero la covariancia de Lorentz significa que "las leyes de la física tienen la misma forma en cualquier sistema inercial", ¿no? Si la perdemos explícitamente, ¿de verdad no pasa nada? ¿No hay peligro de pasar algo por alto durante el camino?
🟡 Lina: Buena preocupación. En efecto, en la cuantización en el cono de luz es necesario verificar al final que "la simetría de Lorentz realmente se preserva". La condición para que esa verificación tenga éxito determina la dimensión del espacio-tiempo como \(D = 26\) (cuerda bosónica) o \(D = 10\) (supercuerda) — esto es un resultado importante que veremos en Cap. 14. Así que viene en paquete con el paso de "confirmar al final la covariancia que se había ocultado".
⚪ Mei: Se oculta la covariancia a cambio de facilitar el cálculo, y al hacer la verificación final de la covariancia se determina hasta la dimensión del espacio-tiempo.
🔵 Kai: Es decir, es como una estructura de "pagar al final la cuenta por habernos facilitado las cosas", y de ese pago sale inversamente la dimensión... Pero dicho al revés, si la dimensión no fuera 26 o 10, ¿la simetría de Lorentz se rompería? ¿Eso se puede verificar experimentalmente?
🟡 Lina: Buena pregunta. Cómo se manifiestan experimentalmente las dimensiones extra se trata en Cap. 16. Por ahora, recuerda que "las coordenadas del cono de luz son el primer paso para sacrificar covariancia a cambio de calculabilidad". En la teoría de cuerdas, este tipo de compromiso ocurre frecuentemente.
🔵 Kai: Entonces, a la inversa, ¿existe un método de cuantización que preserve la covariancia? Me pregunto qué se hace más difícil en ese caso...
🟡 Lina: Sí existe — se llama cuantización covariante. En ese método, durante el cálculo aparecen estados no físicos con probabilidad negativa, y hay que tomarse el trabajo de eliminarlos después. Con cualquiera de los dos métodos se llega a las mismas conclusiones físicas, pero la cuantización en el cono de luz es más transparente en el sentido de que "desde el principio solo se tratan los grados de libertad físicos". Lo compararemos en detalle en Cap. 14.
🔵 Kai: Probabilidad negativa... que aparezcan cosas físicamente imposibles durante el cálculo es incómodo. Si con la cuantización en el cono de luz eso no aparece desde el principio, me quedo más tranquilo. Pero "excluir desde el principio" significa que hay que juzgar al inicio si es correcto excluirlas — ¿no hay peligro de tirar estados físicamente importantes si nos equivocamos en ese juicio?
🟡 Lina: Esa preocupación es razonable. Los grados de libertad que se mantienen en la cuantización en el cono de luz son los que quedan después de fijar completamente la simetría de gauge (la libertad de transformaciones de coordenadas sobre la hoja de mundo), por lo que no se descartan estados físicos. Y al final, la verificación de la simetría de Lorentz confirma que "realmente no se pasó nada por alto" — la condición \(D = 26\) que mencioné es exactamente esa verificación. Lo haremos concretamente en Cap. 14.
📝 Ejercicios:
- Producto escalar en coordenadas del cono de luz, expresión de \(p^-\), transformación de Lorentz en coordenadas del cono de luz → Problemas
✅ Verificación de comprensión: Escribe la definición de las coordenadas del cono de luz \(x^+, x^-\).
Respuesta
\(x^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 + x^1)\), \(x^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 - x^1)\). En el sistema de unidades naturales con \(c = 1\), \(x^0 = t\), \(x^1 = x\), y las coordenadas restantes \(x^2, x^3\) quedan sin cambio.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se escribe \(ds^2\) en coordenadas del cono de luz?
Respuesta
\(ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\).
✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo queda determinado \(p^-\) de una partícula de masa \(m\) en función de \(p^+\) y los momentos transversales \(p^2, p^3\)?
Respuesta
Escribiendo \(p^\mu p_\mu = -m^2\) en coordenadas del cono de luz: \(-2p^+p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -m^2\). Resolviendo: \(p^- = \dfrac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2p^+}\).
5.5 La pregunta pendiente — Hacia la aceleración y la gravedad¶
🟡 Lina: La relatividad especial describe la física entre sistemas inerciales — observadores en movimiento rectilíneo uniforme. Pero, ¿qué pasa con un observador que está acelerando o un observador en un campo gravitatorio?
🔵 Kai: ¿La aceleración y la gravedad están relacionadas?
🟡 Lina: Buena intuición. Cuando un ascensor está acelerando, la persona dentro siente que la gravedad se ha intensificado. Al revés, dentro de un ascensor en caída libre se experimenta ingravidez. La aceleración y la gravedad no se pueden distinguir — esto es el principio de equivalencia. Es el punto de partida del próximo capítulo.
🟡 Lina: La métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu}\) describe un "espacio-tiempo plano". Pero cuando hay gravedad, el espacio-tiempo se curva — entonces la métrica se generaliza a \(g_{\mu\nu}(x)\) que varía de un lugar a otro. En la teoría de cuerdas también aparece \(g_{\mu\nu}\) como la métrica del espacio-tiempo de fondo donde se mueve la cuerda (al espacio-tiempo de fondo se le llama "target space" (espacio objetivo), pero se introduce formalmente en Cap. 13). La \(\eta_{\mu\nu}\) de la relatividad especial es el punto de partida de todo.
⚪ Mei: Es decir, \(\eta_{\mu\nu}\) es el caso especial de \(g_{\mu\nu}(x)\) donde "es igual en todas partes".
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es el principio de equivalencia?
Respuesta
Es el principio de que la aceleración y la gravedad son localmente indistinguibles. Por ejemplo, dentro de un ascensor acelerando se siente como si la gravedad se intensificara, y dentro de un ascensor en caída libre se experimenta ingravidez.
Adelanto del próximo capítulo¶
Cap. 6「Capítulo 6 ¿Cuál es la naturaleza de la gravedad? — Teoría de la relatividad general」 — Partiendo del principio de equivalencia, daremos una visión general de los puntos clave de la relatividad general de Einstein: "la gravedad es la curvatura del espacio-tiempo". Los detalles de la derivación y los cálculos se delegan a Relatividad General; en este capítulo organizaremos de forma compacta las herramientas en la forma que se usa en teoría de cuerdas — tensor métrico, geodésicas, ecuaciones de Einstein — y aclararemos la estructura por la cual la "forma conveniente" de la acción de una partícula se extiende directamente a la acción de la cuerda (Cap. 13).
Referencias¶
- Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.2: "Special Relativity and Extra Dimensions" — Coordenadas del cono de luz (uso en teoría de cuerdas)
- Relatividad General Cap. 3 Relatividad especial — Transformación de Lorentz y consecuencias físicas — Invariancia de la velocidad de la luz, derivación de la transformación de Lorentz
- Relatividad General Cap. 4 Matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski — Métrica, cuadrivectores, tensores — Notación de índices, cuadrimomento, expansión en el límite de baja velocidad
- Teoría Cuántica de Campos Cap. 2 Repaso de relatividad especial e invariancia de Lorentz — Invariancia de Lorentz en teoría de campos
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.