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Cap. 6 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

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Básico

B-1. Lado izquierdo y derecho de la ecuación de Einstein

Sobre la ecuación de Einstein \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\):

(a) Describe en una oración el significado físico del lado izquierdo (tensor de Einstein \(G_{\mu\nu}\)) y del lado derecho (tensor de energía-momento \(T_{\mu\nu}\)), respectivamente.

(b) En el vacío, cuando \(T_{\mu\nu} = 0\), demuestra que la ecuación de Einstein se reduce a \(R_{\mu\nu} = 0\) (el punto clave es tomar la traza de ambos lados).

(c) La métrica de Schwarzschild es una solución de \(R_{\mu\nu} = 0\). ¿Qué significa esto físicamente?

Pista

(b) Contrayendo ambos lados con \(g^{\mu\nu}\) se obtiene \(R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T\) (donde \(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\)). Si \(T_{\mu\nu} = 0\), entonces \(R = 0\), y sustituyendo de vuelta en la ecuación original se obtiene \(R_{\mu\nu} = 0\). (c) Se trata de la estructura del espacio-tiempo en el exterior de una estrella (vacío). La energía-momento de la estrella misma existe únicamente en \(r < R_{\text{estrella}}\).

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Intermedio

M-1. Acción conveniente y condiciones de ligadura

La "acción conveniente" de una partícula de masa \(m\)

\[ S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}(x)\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

Demuestra que, bajo la condición de ligadura \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\), se obtiene la ecuación de la geodésica

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

(a) Escribe la ecuación de Euler-Lagrange respecto a \(x^\sigma\) y simplifícala usando la simetría de \(g_{\mu\nu}\) y la renombración de índices mudos.

(b) Multiplica ambos lados por la métrica inversa \(g^{\sigma\mu}\) para despejar \(\ddot{x}^\mu\) y obtén la definición de los símbolos de Christoffel \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\).

(c) Argumenta que la condición de ligadura \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) se conserva automáticamente durante la evolución temporal (se satisface si se elige \(\tau\) como el tiempo propio).

Pista

(b) La definición de los símbolos de Christoffel es \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha\lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\). Consulta la derivación en el texto y Relatividad General Cap. 8. (c) A partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange se puede demostrar que \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) es una cantidad conservada en \(\tau\).

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M-2. De la acción conveniente a la acción de cuerdas

La acción conveniente de la partícula \(S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) se generaliza naturalmente a la acción de Polyakov en teoría de cuerdas:

\[ S_{\text{P}} = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}\,\partial_a X^\mu\,\partial_b X^\nu\,g_{\mu\nu}(X) \]

Organiza las siguientes correspondencias.

(a) Establece la correspondencia entre los símbolos que describen la diferencia entre la "línea de mundo" (1 dimensión) de la partícula y la "hoja de mundo" (2 dimensiones) de la cuerda (\(\tau \leftrightarrow \sigma^a\), \(\dot{x}^\mu \leftrightarrow \partial_a X^\mu\), etc.).

(b) Discute, a partir de la ecuación de movimiento (variación) de \(h_{ab}\), cuál es la "condición de ligadura" en teoría de cuerdas que corresponde a la condición de ligadura de la partícula \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\).

(c) Enumera 3 puntos de estructura común entre la acción de la partícula y la acción de la cuerda (el papel de la métrica \(g_{\mu\nu}(X)\), la invariancia bajo reparametrización, la ventaja de eliminar la raíz cuadrada).

Pista

(a) Partícula: \(\tau\) es un solo parámetro, la línea de mundo es \(x^\mu(\tau)\). Cuerda: \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\) son 2 parámetros, la hoja de mundo es \(X^\mu(\tau, \sigma)\). (b) Al variar \(h_{ab}\) aparece el tensor de energía-momento \(T_{ab} = 0\). Esta es la condición de ligadura (versión clásica de las ligaduras de Virasoro). Los detalles se tratan en Cap. 13.

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M-3. Retraso del reloj en un campo gravitatorio débil

En un espacio-tiempo con campo gravitatorio débil \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\), la relación entre el tiempo propio \(d\tau\) marcado por un reloj en reposo y el tiempo coordenado \(dt\) es

\[ d\tau = dt\sqrt{-g_{00}} = dt\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \]

(a) Demuestra que en la aproximación \(|\Phi|/c^2 \ll 1\) se cumple \(d\tau/dt \approx 1 + \Phi/c^2\).

(b) Calcula la razón entre los tiempos propios del reloj de un satélite GPS (a una altitud \(h \approx 20000\) km sobre la superficie terrestre, con potencial gravitatorio \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\)) y el de un reloj en la superficie terrestre, y estima la desviación por día (en microsegundos) (\(M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\) kg, \(R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m).

(c) Estima el efecto que una desviación temporal de 1 microsegundo por día tiene en la determinación de posición, en unidades de \(c \cdot 10^{-6}\) s. Explica por qué es necesaria la corrección para la precisión de posicionamiento del GPS.

Pista

(a) Usa \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\). (b) Calcula la diferencia entre \(\Phi\) en la superficie y \(\Phi\) en el satélite. \(\Phi_{\text{satélite}} - \Phi_{\text{superficie}} > 0\) (el satélite tiene un potencial gravitatorio mayor, es decir, menor en valor absoluto). (c) La distancia que recorre la luz en 1 microsegundo es aproximadamente 300 m. Es decir, sin corrección se acumula un error de varios cientos de metros por día, y de varios kilómetros en pocos días.

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Avanzado

A-1. Singularidades y la necesidad de la gravedad cuántica

Consideremos \(r \to 0\) en la métrica de Schwarzschild.

(a) Usando el invariante de curvatura \(K = R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6)\), estima el valor de \(r\) para el cual \(K\) se vuelve del orden de la escala de Planck \(1/\ell_P^4\) (\(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3} \approx 1.6 \times 10^{-35}\) m, \(M\) es la masa solar).

(b) A partir del valor de \(r\) obtenido en (a), evalúa el tamaño de la región donde se alcanza la escala de Planck para un agujero negro de masa solar, y confirma que la "región donde se necesita gravedad cuántica" se encuentra muy por dentro del radio de Schwarzschild \(r_s \approx 3\) km.

(c) Discute brevemente cómo la existencia de singularidades se relaciona con la falsabilidad de la relatividad general (desde la postura de que "los modelos son hipótesis").

Pista

(a) Resuelve \(48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\) para \(r\). (b) Para un agujero negro de masa solar, la región donde se necesita gravedad cuántica satisface \(r \ll r_s\). (c) La relatividad general predice su propia ruptura — esto es evidencia de que "los modelos son provisionales".

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