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Apéndice H Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. Fórmula general de la carga central

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Solución:

Sustituimos en la fórmula general \(c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\).

(a) \(\lambda = 2\): $$ c = -2(6 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 1) = -2(24 - 12 + 1) = -2 \cdot 13 = \boxed{-26} $$

(b) \(\lambda = 3/2\): $$ c = -2\left(6 \cdot \frac{9}{4} - 6 \cdot \frac{3}{2} + 1\right) = -2\left(\frac{27}{2} - 9 + 1\right) = -2 \cdot \frac{11}{2} = \boxed{-11} $$

Nota: dado que el sistema \(\beta\gamma\) es un campo bosónico con anticonmutación (estadística invertida), el signo global de la fórmula se invierte y la carga central efectiva es \(\boxed{+11}\) (véase H.7「Caso general de \(\lambda\) — Fórmula \(c = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1)\)」 en el texto).

(c) \(\lambda = 1/2\): $$ c = -2\left(6 \cdot \frac{1}{4} - 6 \cdot \frac{1}{2} + 1\right) = -2\left(\frac{3}{2} - 3 + 1\right) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \boxed{+1} $$

Para que sea consistente con la carga central \(c = 1/2\) de un único fermión libre, esta fórmula corresponde a un fermión complejo (2 componentes reales).

(d) \(\lambda = 0\): $$ c = -2(0 - 0 + 1) = \boxed{-2} $$

Intermedio

M-1. OPE \(T_{\text{ghost}} b\)

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Solución:

Suponemos \(T_{\text{ghost}}(z) = \alpha\, :b(z)\partial c(z): + \beta\, :\partial b(z)\, c(z):\) y calculamos la OPE \(T_{\text{ghost}}(z)\, b(w)\) mediante el teorema de Wick.

A partir de la OPE fundamental \(b(z)c(w) \sim 1/(z-w)\):

\[ \langle \partial c(z)\, b(w)\rangle = \partial_z\frac{1}{z-w} = -\frac{1}{(z-w)^2} \]
\[ \langle c(z)\, b(w)\rangle = \frac{1}{z-w} \]

Primer término \(\alpha :b\partial c:(z)\, b(w)\):

Contraemos \(\partial c(z)\) con \(b(w)\), dejando \(b(z)\) sin contraer. Teniendo en cuenta el signo de los campos anticonmutantes:

\[ \alpha \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{1}{(z-w)^2}\right) \cdot b(z) = \frac{\alpha\, b(z)}{(z-w)^2} \]

Expandiendo \(b(z) = b(w) + (z-w)\partial b(w) + \cdots\):

\[ = \frac{\alpha\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\alpha\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

Segundo término \(\beta :\partial b\, c:(z)\, b(w)\):

Contraemos \(c(z)\) con \(b(w)\), dejando \(\partial b(z)\) sin contraer:

\[ \beta \cdot (-1) \cdot \frac{1}{z-w} \cdot \partial b(z) = -\frac{\beta\, \partial b(z)}{z-w} \]

Expandiendo \(\partial b(z) = \partial b(w) + (z-w)\partial^2 b(w) + \cdots\):

\[ = -\frac{\beta\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

Suma total:

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) = \frac{\alpha\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{(\alpha - \beta)\, \partial b(w)}{z-w} + \cdots \]

Comparando con la forma de un campo primario \(\frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w}\):

  • \(\alpha = \lambda\)
  • \(\alpha - \beta = 1 \Rightarrow \beta = \lambda - 1 = -(1-\lambda)\)

Por lo tanto:

\[ \boxed{T_{\text{ghost}} = \lambda\, :b\partial c: - (1-\lambda)\, :\partial b\, c:} \]

Nota: La notación del texto H.5「Tensor de energía-momento del sistema \(bc\)」 \(T_{\text{ghost}} = -\lambda :bc': + (1-\lambda):b'c:\) tiene el signo global opuesto, pero esto se debe a diferencias en la definición de los campos conjugados (\(b \leftrightarrow \bar{b}\) o en la convención de ordenamiento de \(:bc:\)). La conclusión física (carga central \(-26\)) es la misma.

Avanzado

A-1. Derivación de la dimensión crítica \(D=10\) de la supercuerda

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Solución:

Carga central total de la supercuerda:

\[ c_{\text{total}} = c_{\text{matter}} + c_{bc} + c_{\beta\gamma} \]

Escribimos cada término:

  • Campos de materia: \(D\) bosones (cada uno con \(c = 1\)) y \(D\) fermiones (cada uno con \(c = 1/2\))
\[ c_{\text{matter}} = D \cdot 1 + D \cdot \frac{1}{2} = \frac{3D}{2} \]
  • Fantasmas de reparametrización: \(c_{bc} = -26\)
  • Fantasmas supersimétricos: \(c_{\beta\gamma} = +11\)

Condición \(c_{\text{total}} = 0\):

\[ \frac{3D}{2} - 26 + 11 = \frac{3D}{2} - 15 = 0 \]
\[ \frac{3D}{2} = 15 \;\Longrightarrow\; \boxed{D = 10} \]

A-2. Reducción de la carga central del campo de materia

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Solución:

  • Cuerda bosónica: los campos de materia son únicamente \(D = 26\) bosones $$ c_{\text{matter}}^{\text{bosónica}} = 26 \cdot 1 = 26 $$ Los fantasmas son solo \(c_{bc} = -26\). \(c_{\text{total}} = 26 - 26 = 0\) ✓

  • Supercuerda: del problema H.3, \(D = 10\) $$ c_{\text{matter}}^{\text{supercuerda}} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15 $$ Los fantasmas son \(c_{bc} + c_{\beta\gamma} = -26 + 11 = -15\). \(c_{\text{total}} = 15 - 15 = 0\) ✓

Interpretación: La carga central \(+11\) del sistema \(\beta\gamma\) "reduce" la contribución total de los fantasmas hasta \(-15\). En correspondencia, los campos de materia también pueden reducirse de \(26 \to 15\), de modo que la dimensión espaciotemporal necesaria disminuye de \(D = 26 \to 10\). Se puede ver que la introducción de la supersimetría y la reducción de la dimensión espaciotemporal son aspectos inseparables de una misma relación.