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Cap. 1 Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Estimación de la masa de Neptuno

Considera el problema de estimar la masa de un planeta desconocido (Neptuno) a partir de la desviación en la órbita de Urano. Siendo \(r_U\) el radio orbital de Urano, \(r_N\) el radio orbital de Neptuno y \(\delta a\) la desviación observada en la aceleración, expresa la masa de Neptuno \(M_N\) en términos de \(\delta a\), \(r_U\), \(r_N\) y \(G\).

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B-2. Por qué T-V y no T+V

Considera el movimiento de una pelota de masa \(m\) lanzada verticalmente hacia arriba. Sea \(y(t)\) la altura, con \(T = \frac{1}{2}m\dot{y}^2\) y \(V = mgy\).

(a) Tomando el lagrangiano como \(L = T - V\), aplica la ecuación de Euler-Lagrange \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0\) y verifica que se obtiene la ecuación de movimiento de Newton \(m\ddot{y} = -mg\).

(b) En su lugar, toma \(L' = T + V = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy\) y aplica la misma ecuación de Euler-Lagrange. Verifica que se obtiene el resultado no físico \(m\ddot{y} = +mg\) (¡la gravedad apunta hacia arriba!).

Punto clave

Si se usa \(T + V\), se obtiene el resultado contradictorio con la experiencia de que «la pelota acelera hacia arriba». La razón por la que debe ser \(T - V\) es que «de otro modo no concuerda con el experimento» — es decir, la forma del lagrangiano es una hipótesis que se verifica experimentalmente.

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Intermedio

M-1. Derivación de la tercera ley de Kepler

Utilizando la gravitación universal \(F = GMm/r^2\) y la condición de movimiento circular \(F = mv^2/r\), deriva la tercera ley de Kepler \(T^2 \propto r^3\) para el caso de una órbita circular.

Pista

El período del movimiento circular es \(T = 2\pi r / v\).

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M-2. Cálculo del potencial gravitatorio

Cuando una partícula puntual de masa \(M\) se encuentra en el origen, resuelve la ecuación de Poisson \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho\) bajo la suposición de simetría esférica y deduce \(\Phi = -GM/r\).

Pista

El laplaciano en coordenadas esféricas es \(\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\) (en la región \(r \neq 0\) donde \(\rho = 0\)).

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