Capítulo 2 Dualidad de la luz y la materia — Ondas de de Broglie y confirmación experimental¶
Resumen de lo anterior:
En Cap. 1, vimos las 3 crisis que enfrentó la física clásica: la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y la estabilidad atómica. Mediante la hipótesis cuántica de Planck \(E = h\nu\) y la hipótesis del cuanto de luz de Einstein, surgió la imagen revolucionaria de que la luz "es tanto onda como partícula al mismo tiempo". Se estableció que la energía del fotón es \(E = h\nu\). En este capítulo, primero confirmaremos que como el fotón es una partícula de masa cero se cumple \(E = pc\) y se deduce \(p = h/\lambda\), veremos que el momento del fotón fue confirmado experimentalmente mediante la dispersión Compton, y luego avanzaremos hacia la hipótesis de ondas de materia de de Broglie.
Objetivo de este capítulo
- Extender la "coexistencia de naturaleza corpuscular y ondulatoria" que comenzó con la luz a las partículas materiales
- Motivar la hipótesis de ondas de materia de de Broglie \(\lambda = h/p\), seguir la confirmación experimental mediante el experimento de Davisson-Germer y la difracción de electrones, y dejar claro que es necesaria una "descripción unificada de partícula y onda"
- Además, mostrar que la relación de de Broglie es la raíz del principio de incertidumbre, y que esto es la clave para explicar la estabilidad atómica
- Con esto, experimentar la necesidad de un nuevo marco que supere la dicotomía clásica de "¿onda o partícula?"
2.1 Dispersión Compton — ¿Es "real" el momento del fotón?¶
🟡 Lina: En el capítulo anterior, dedujimos la energía del fotón \(E = h\nu\) a partir de la hipótesis del cuanto de luz de Einstein. Aquí vamos a pensar sobre el momento del fotón. El fotón es una partícula de masa cero. La relación entre energía y momento para una partícula de masa cero es \(E = pc\) — esto lo confirmaremos más adelante sustituyendo \(m = 0\) en la fórmula de la relatividad especial \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\). Pero en realidad, combinando \(E = h\nu\) con la relación fundamental de las ondas \(c = \lambda\nu\) (velocidad de la luz = longitud de onda × frecuencia) se obtiene el mismo resultado. \(p = E/c = h\nu/c = h\nu/(\lambda\nu) = h/\lambda\). Es decir, el momento del fotón es \(p = h/\lambda\). Pero hay algo que quiero confirmar aquí. Si el fotón tiene momento, cuando choque con algo debería transferir momento, ¿verdad?
🔵 Kai: ¿Como cuando chocan bolas de billar?
🟡 Lina: Exacto, justo esa imagen. Si la luz realmente se comporta como una partícula con momento \(p = h/\lambda\), cuando se hace incidir luz sobre un electrón, debería dispersarse siguiendo las leyes de conservación de energía y momento. Quien confirmó esto experimentalmente fue Compton. Fue en 1923. Es decir, mientras el efecto fotoeléctrico mostró que "la energía del fotón es real", la dispersión Compton es el experimento que muestra que "el momento del fotón también es real".
⚪ Mei: Ya veo, la realidad de la energía y la realidad del momento fueron confirmadas por experimentos separados.
🟡 Lina: Exacto. Voy a explicar la configuración del experimento.
Configuración del experimento¶
🟡 Lina: Se inciden rayos X (luz de longitud de onda \(\lambda\)) sobre un electrón en reposo. Se mide la longitud de onda \(\lambda'\) de los rayos X después de la dispersión. Según la teoría clásica de ondas, la longitud de onda no debería cambiar antes y después de la dispersión — porque la onda simplemente hace oscilar al electrón, que reemite a la misma frecuencia.
🔵 Kai: Pero, ¿cambió en el experimento?
🟡 Lina: Cambió. Además, la cantidad del cambio de longitud de onda variaba sistemáticamente según el ángulo de dispersión \(\theta\) (el ángulo en que se desvían los rayos X). Esto se explica naturalmente si pensamos que "la luz colisionó con el electrón como una partícula". Mira Fig. 2.1「Diagrama esquemático de la dispersión Compton」.
Fig. 2.1: Diagrama esquemático de la dispersión Compton. Un fotón de longitud de onda \(\lambda\) colisiona con un electrón en reposo, generando un fotón dispersado (longitud de onda \(\lambda' > \lambda\)) y un electrón de retroceso. A partir de la conservación de energía y momento, se determina la relación entre el ángulo de dispersión \(\theta\) y el cambio de longitud de onda.
Deducción a partir de la conservación del momento¶
🟡 Lina: Pensemos en el fotón como una partícula con momento \(p = h/\lambda\) y escribamos la conservación de energía y momento. El momento del fotón incidente es \(\mathbf{p}\), el momento del fotón dispersado es \(\mathbf{p}'\), y el momento del electrón de retroceso es \(\mathbf{p}_e\). 🟡 Lina: Primero la conservación de energía. Aquí necesitamos usar un resultado de la relatividad especial. ¿Por qué? Porque la energía del fotón de rayos X puede ser no despreciable comparada con la energía en reposo del electrón \(m_e c^2 \approx 0.511\) MeV (decenas de keV, es decir, varios por ciento o más de la energía en reposo), por lo que el electrón de retroceso puede ser acelerado a velocidades considerables. Para partículas a tales velocidades, la fórmula \(E = \frac{1}{2}mv^2\) que se aprende en el instituto se vuelve imprecisa. Correctamente, según la relatividad especial, la energía de una partícula de masa \(m\) y momento \(p\) viene dada por
Esta es una fórmula derivada de la relatividad especial de Einstein, que expresa en una forma similar al teorema de Pitágoras que "incluso estando en reposo se tiene una energía \(mc^2\) correspondiente a la masa, y si está en movimiento se añade energía adicional correspondiente al momento \(p\)".
🔵 Kai: ¿Como el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa del triángulo rectángulo es la energía total, y los dos catetos son \(pc\) y \(mc^2\)?
🟡 Lina: Exacto, buena imagen. Si sustituyes masa cero (\(m = 0\)), obtienes \(E = pc\) — la relación fundamental que conecta la energía y el momento del fotón. Es decir, esta fórmula es una relación general que se cumple para todas las partículas, incluidos los fotones. Por cierto, cuando la velocidad de la partícula es suficientemente pequeña comparada con la de la luz (\(p \ll mc\)), \((pc)^2\) es pequeño comparado con \((mc^2)^2\), así que factorizando \(E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\) por \((mc^2)^2\) se puede escribir \(E = mc^2\sqrt{1 + (p/(mc))^2}\). Tomando \(x = (p/(mc))^2 \ll 1\) y usando la aproximación \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\), se obtiene \(E \approx mc^2\bigl(1 + \frac{1}{2}(p/(mc))^2\bigr) = mc^2 + \frac{p^2}{2m}\). A bajas velocidades \(p \approx mv\), así que sustituyendo esto se obtiene \(E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2\) (energía en reposo + energía cinética), que no contradice la física del instituto. La aproximación \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) (\(x \ll 1\)) que usamos aquí es la aproximación tangente. Viene de la idea de derivada que se aprende en matemáticas del instituto. La pendiente de \(f(x) = \sqrt{1+x}\) en \(x = 0\) es \(f'(0) = 1/2\), así que cuando \(x\) es pequeño se puede aproximar como una recta \(f(x) \approx f(0) + f'(0) \cdot x = 1 + x/2\) — la aproximación tangente. Por ejemplo, si \(x = 0.01\) entonces \(\sqrt{1.01} = 1.00499\ldots\), y \(1 + 0.01/2 = 1.005\) coinciden casi exactamente. Si \(x\) es suficientemente pequeño, los términos de orden superior (\(x^2\) y más) se pueden despreciar.
⚪ Mei: A altas velocidades se usa la fórmula relativista, y a bajas velocidades se reduce a la física del instituto — todo está conectado.
🟡 Lina: Exacto. El fotón tiene masa cero, así que \(E = pc\). Y como \(p = h/\lambda\), entonces \(E = hc/\lambda\) (esto da el mismo resultado combinando \(E = h\nu\) con la relación fundamental de ondas \(c = \lambda\nu\) (velocidad de la luz = longitud de onda × frecuencia)). El electrón tiene masa \(m_e\), así que usamos \(E_e^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2\). Además, la energía de un electrón en reposo (\(p = 0\)), sustituyendo \(p = 0\) en esta ecuación, da \(E = m_e c^2\). Esta es la famosa \(E = mc^2\) de Einstein, la consecuencia de la relatividad de que la masa misma posee energía.
🔵 Kai: Es extraño que tenga energía sin moverse...
🟡 Lina: Va contra la intuición cotidiana, pero en relatividad esto es correcto — la masa es una forma de energía. Es decir, un electrón en reposo "posee" una energía \(m_e c^2\). Por eso, en la energía total antes de la colisión debemos incluir no solo la energía del fotón incidente, sino también el \(m_e c^2\) del electrón en reposo. Escribamos las leyes de conservación.
Voy a definir los símbolos aquí. \(E_e\) y \(p_e\) son la energía y el momento del electrón de retroceso, y \(\phi\) es el ángulo de retroceso del electrón (el ángulo entre la dirección de incidencia y la dirección de dispersión del electrón). Confirma la disposición en Fig. 2.1「Diagrama esquemático de la dispersión Compton」.
Conservación de energía (el lado izquierdo es la suma de la energía del fotón incidente \(hc/\lambda\) y la energía en reposo del electrón \(m_e c^2\), el lado derecho es la suma de las energías del fotón dispersado y el electrón de retroceso):
Conservación del momento en la dirección \(x\) (tomando la dirección de incidencia como eje \(x\)):
Conservación del momento en la dirección \(y\) (disposición donde el fotón dispersado sale hacia el lado \(+y\) y el electrón de retroceso hacia el lado \(-y\)):
Para el electrón se cumple la relación relativista \(E_e^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2\).
Eliminando \(E_e\), \(p_e\), \(\phi\) (las cantidades relativas al electrón) de estas 3 ecuaciones, se obtiene una relación que solo involucra las longitudes de onda de los fotones incidente y dispersado y el ángulo de dispersión. Solo indicaré la estrategia: de la ecuación en \(y\) se obtiene \(p_e\sin\phi = (h/\lambda')\sin\theta\), reordenando la ecuación en \(x\) se obtiene \(p_e\cos\phi = h/\lambda - (h/\lambda')\cos\theta\), elevando al cuadrado ambas y sumando se usa \(\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1\) para eliminar \(\phi\) y obtener una ecuación solo en \(p_e^2\). Luego, de la conservación de energía se expresa \(E_e\) en términos de \(\lambda\), \(\lambda'\), y sustituyendo en la relación relativista \(E_e^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2\) se elimina también \(p_e\) — el cálculo es algo largo, pero el resultado tiene una forma elegante:
Los pasos detallados de la eliminación pueden verificarse en el problema de práctica (Problema B-2. En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda para un ángulo de dispersión).
Donde: - \(\lambda\): longitud de onda de los rayos X incidentes - \(\lambda'\): longitud de onda de los rayos X después de la dispersión - \(m_e\): masa del electrón (\(9.109 \times 10^{-31}\) kg) - \(\theta\): ángulo de dispersión (ángulo entre la dirección de incidencia y la dirección de dispersión) - \(h/(m_e c)\): constante llamada longitud de onda de Compton
🔵 Kai: ¿Cuánto vale \(h/(m_e c)\)?
🟡 Lina: Calculémoslo.
Aproximadamente 0.024 Å (ångström). Como la longitud de onda de los rayos X que usó Compton era del orden de 0.7 Å, es un cambio de varios por ciento, perfectamente medible.
⚪ Mei: Mirando la ecuación (2.1), si \(\theta = 0\) (dispersión hacia adelante) entonces \(\lambda' = \lambda\) y la longitud de onda no cambia. Si \(\theta = 180°\) (retrodispersión), el cambio de longitud de onda es máximo: \(2h/(m_e c)\).
🟡 Lina: Perfecto. Y los resultados experimentales de Compton coincidieron magníficamente con la predicción de la ecuación (2.1). En Fig. 2.2「Cambio de longitud de onda en la dispersión Compton \(\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)\) como función del ángulo de dispersión \(\theta\)」 se muestra la relación entre el cambio de longitud de onda y el ángulo de dispersión.
Fig. 2.2: Cambio de longitud de onda en la dispersión Compton \(\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)\) como función del ángulo de dispersión \(\theta\). Es cero para \(\theta = 0\) y alcanza el valor máximo \(2\lambda_C\) para \(\theta = 180°\). \(\lambda_C = h/(m_e c) \approx 0.0243\) Å es la longitud de onda de Compton.
Lo que demuestra la dispersión Compton¶
🟡 Lina: Lo que hace este experimento decisivamente importante es lo siguiente:
- El fotón colisiona con el electrón como una "partícula" con momento \(p = h/\lambda\)
- La energía y el momento se conservan antes y después de la colisión
- La teoría ondulatoria clásica (dispersión Thomson — modelo en que el electrón reemite a la misma frecuencia que la onda incidente) no puede explicar el cambio de longitud de onda
Es decir, el momento del fotón no es una "conveniencia de cálculo", sino una realidad física verificable experimentalmente.
🔵 Kai: Entonces ya no hay duda de que la luz es una partícula. Pero en los experimentos de interferencia se comporta como onda, ¿verdad? Si ambos resultados experimentales son correctos...
🟡 Lina: Así es, ambos son correctos. En experimentos de interferencia y difracción la luz se comporta definitivamente como onda, y en la dispersión Compton se comporta definitivamente como partícula. Parece contradictorio, pero ambos hechos experimentales son irrefutables. Por eso la luz no es "onda o partícula", sino algo que posee ambas propiedades. Aceptando esta situación, avancemos.
🔵 Kai: Onda y partícula a la vez... pero onda y partícula son cosas opuestas, ¿no? La onda se extiende, y la partícula está en un punto. ¿Cómo puede la misma cosa ser ambas?
🟡 Lina: Esa pregunta apunta justo al corazón del asunto. Todavía no puedo responder completamente, pero lo iremos aclarando gradualmente en la segunda mitad de este capítulo y en el siguiente. Por ahora, solo ten en mente que "no se puede captar con la elección binaria de onda o partícula".
🔵 Kai: Mmm, me quedo con la inquietud... pero seguiré adelante con esta incomodidad. Si "no es ni onda ni partícula", entonces ¿cómo se describe...?
🟡 Lina: La respuesta a esa pregunta es precisamente la "mecánica cuántica" que vamos a construir en los próximos capítulos. Comencemos en la siguiente sección aclarando "qué es lo que se comporta como onda".
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué la dispersión Compton no puede explicarse con la teoría ondulatoria clásica (dispersión Thomson)?
Respuesta
En la teoría ondulatoria clásica, el electrón reemite a la misma frecuencia que la onda incidente, por lo que la longitud de onda no cambia antes y después de la dispersión. Sin embargo, experimentalmente se observó un cambio de longitud de onda dependiente del ángulo de dispersión. Esto solo puede explicarse considerando que el fotón colisiona con el electrón como una partícula con momento \(p = h/\lambda\), siguiendo las leyes de conservación de energía y momento.
✅ Verificación de comprensión: En la dispersión Compton, cuando el ángulo de dispersión es \(\theta = 90°\), ¿cuánto vale el cambio de longitud de onda \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\)?
Respuesta
Sustituyendo \(\theta = 90°\) en la ecuación (2.1), como \(\cos 90° = 0\), se obtiene \(\Delta\lambda = h/(m_e c) \approx 2.43 \times 10^{-12}\) m. Esto es igual a la longitud de onda de Compton misma.
📝 Ejercicios:
- Cálculo del cambio de longitud de onda en la dispersión Compton → Problema B-2. En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda para un ángulo de dispersión
2.2 Hipótesis de ondas de materia de de Broglie — La idea inversa¶
🟡 Lina: Bien, hasta aquí hemos aprendido lo siguiente sobre la luz:
Tabla 2.1: Magnitudes físicas correspondientes a la naturaleza ondulatoria y corpuscular de la luz
| Propiedad de la luz | Magnitud física correspondiente |
|---|---|
| Naturaleza ondulatoria | Longitud de onda \(\lambda\), frecuencia \(\nu\) |
| Naturaleza corpuscular | Momento \(p\), energía \(E\) |
Y las relaciones que las conectan son:
🔵 Kai: Son las fórmulas que aparecieron en Cap. 1.
🟡 Lina: Así es. Aquí, en 1924, el físico francés de Broglie hizo una propuesta audaz en su tesis doctoral. Su pregunta fue:
"Se pensaba que la luz era una onda, pero resultó que también tiene propiedades de partícula. Entonces, al revés — ¿no será que las partículas materiales también tienen propiedades de onda?"
🔵 Kai: ¡Una idea inversa! Pero puedo entender que el fotón, que no tiene masa, se comporte como onda, pero ¿qué significa concretamente que un electrón o una pelota con masa "tenga longitud de onda"? ¿Qué es lo que está ondulando?
🟡 Lina: Muy buena pregunta. "Qué es lo que ondula" lo abordaremos en la segunda mitad de este capítulo (「¿Qué es lo que se "comporta como onda"?」). Por ahora, veamos primero qué hipótesis planteó de Broglie y luego pensemos en su significado.
🔵 Kai: Me intriga, pero... de acuerdo, ¡prométeme que volveremos a ello!
🟡 Lina: Te lo prometo. Bien, de Broglie supuso que las ecuaciones (2.3) y (2.4) se cumplen no solo para la luz sino para todas las partículas materiales. Es decir, a una partícula de masa \(m\) moviéndose con velocidad \(v\) le corresponde la siguiente longitud de onda:
Esto se llama longitud de onda de de Broglie. En general, la forma fundamental es \(\lambda = h/p\), donde se puede usar el momento relativista en \(p\). Sin embargo, aquí escribimos \(p = mv\) como aproximación para cuando la velocidad de la partícula es suficientemente pequeña comparada con la de la luz. En la dispersión Compton el electrón alcanza altas velocidades y se necesita el momento relativista, pero en los ejemplos que trataremos a continuación (electrones con voltajes de aceleración de unos cientos de voltios) \(p = mv\) es suficientemente preciso.
⚪ Mei: Solo es resolver la ecuación (2.4) para \(\lambda\). Pero extender a electrones y pelotas una relación que se cumplía para fotones es bastante audaz.
🟡 Lina: Exacto. Los miembros del tribunal de la época también quedaron desconcertados. El director de tesis de de Broglie, Langevin, envió la tesis a Einstein pidiendo su opinión. Einstein la valoró diciendo "esto ha levantado una punta del gran velo".
¿Por qué esta hipótesis es natural?¶
🟡 Lina: Voy a explicar con más detalle la motivación que llevó a de Broglie a esta hipótesis. Él dominaba la relatividad especial y razonó de la siguiente manera.
Las relaciones que se cumplen para el fotón: - Conecta energía \(E\) con frecuencia \(\nu\): \(E = h\nu\) - Conecta momento \(p\) con longitud de onda \(\lambda\): \(p = h/\lambda\)
Estas tienen una forma relativísticamente natural. En la relatividad especial, la energía y las 3 componentes del momento (\(p_x, p_y, p_z\)) forman un conjunto inseparable que se agrupa en una sola cantidad. Esto se llama cuadrimomento — el "4" viene de la dirección temporal (energía) + 3 direcciones espaciales (momento) = 4 componentes en total. De manera similar, la frecuencia \(\nu\) y las inversas de la longitud de onda (\(1/\lambda_x, 1/\lambda_y, 1/\lambda_z\)) también se agrupan como un conjunto (cuadrivector de onda). El punto clave es que, vistas juntas, \(E = h\nu\) y \(p = h/\lambda\) forman una única relación de proporcionalidad "cuadrimomento = \(h\) × cuadrivector de onda". Es decir, las relaciones que conectan las propiedades corpusculares y ondulatorias del fotón no son dos ecuaciones separadas dentro del marco de la relatividad, sino que se unifican como una sola relación natural. Y como los principios de la relatividad se aplican igualmente a todos los objetos y no solo a los fotones, no hay razón para limitar esta relación solo a los fotones — ese fue el punto de vista de de Broglie.
🔵 Kai: Honestamente, lo del cuadrimomento y cuadrivector de onda todavía no me queda claro... En resumen, ¿es que porque tiene una "forma elegante" relativísticamente, debería cumplirse también para la materia? Pero ¿se puede creer algo solo porque "es elegante"?
🟡 Lina: Sí. Lo de "4 componentes" significa "1 componente temporal + 3 componentes espaciales = 4 componentes agrupadas en un conjunto", y en relatividad, como no se puede tratar el tiempo y el espacio por separado, estos conjuntos surgen naturalmente. Pero los detalles puedes dejarlos pendientes hasta que estudies relatividad en serio. Lo que quiero que te lleves en esta etapa es solo un punto: \(E = h\nu\) y \(p = h/\lambda\) no son dos ecuaciones que casualmente están una junto a otra, sino que dentro de la relatividad se unifican en una sola relación natural. Es algo parecido a que "el campo eléctrico y el campo magnético parecen fenómenos separados, pero en realidad son dos caras de una misma cosa llamada campo electromagnético" — en el instituto se estudian el campo eléctrico y el magnético por separado, pero en la teoría de Maxwell se unifican en un solo "campo electromagnético". De Broglie creía en la "simetría de la naturaleza". Si la luz tiene naturaleza ondulatoria y corpuscular, la materia debería tener la misma simetría. En su momento era una hipótesis sin pruebas, pero pronto sería confirmada experimentalmente.
✅ Verificación de comprensión: Explica la motivación de de Broglie para llegar a la hipótesis de ondas de materia desde el punto de vista de la relatividad especial.
Respuesta
En la relatividad especial, la energía y el momento forman un conjunto como cuadrimomento, y la frecuencia y la inversa de la longitud de onda forman un conjunto como cuadrivector de onda. Las relaciones \(E = h\nu\) y \(p = h/\lambda\) que se cumplen para el fotón son una relación relativísticamente natural de proporcionalidad entre estos dos conjuntos. De Broglie pensó que esta simetría debería cumplirse también para las partículas materiales.
Notación con frecuencia angular y número de onda¶
🟡 Lina: En física, es más común usar la frecuencia angular \(\omega = 2\pi\nu\) (el cambio de fase por segundo medido en radianes) en lugar de la frecuencia \(\nu\), y el número de onda \(k = 2\pi/\lambda\) (el cambio de fase por unidad de longitud medido en radianes) en lugar de la longitud de onda \(\lambda\). Así, el \(2\pi\) deja de aparecer explícitamente en las fórmulas, y usando \(\hbar = h/(2\pi)\) se reescriben como:
Esta forma es más limpia, y en los capítulos siguientes usaremos mucho esta expresión.
🔵 Kai: ¿Cuál es el sentido de cambiar la notación a propósito? ¿No funciona igual con \(h\) y \(\nu\)?
🟡 Lina: Cuando escribes la ecuación de una onda, la fase siempre aparece como \(2\pi\nu t - 2\pi x/\lambda\) con \(2\pi\) incluido. Usando \(\omega\) y \(k\), la fase se escribe simplemente como \(\omega t - kx\). En adelante, cuando tratemos la ecuación de ondas, esta simplicidad será muy útil.
⚪ Mei: La relación entre \(h\) y \(\hbar\) es \(\hbar = h/(2\pi)\), así que numéricamente \(\hbar \approx 6.626 \times 10^{-34} / (2\pi) \approx 1.055 \times 10^{-34}\) J·s. Las ecuaciones (2.3)–(2.4) y las ecuaciones (2.6)–(2.7) son el mismo contenido, solo cambia la forma de manejar el factor \(2\pi\).
🟡 Lina: Exacto. A las ecuaciones (2.5)–(2.7) en conjunto a veces se les llama relaciones de Einstein-de Broglie.
✅ Verificación de comprensión: En la notación con \(\hbar\), \(E = \hbar\omega\), \(p = \hbar k\), ¿qué representan \(\omega\) y \(k\) respectivamente?
Respuesta
\(\omega = 2\pi\nu\) es la frecuencia angular, que mide el cambio de fase por segundo en radianes. \(k = 2\pi/\lambda\) es el número de onda, que mide el cambio de fase por unidad de longitud en radianes. Usando \(\hbar = h/(2\pi)\) en lugar de \(h\), el factor \(2\pi\) desaparece de las fórmulas y quedan en forma más limpia.
✅ Verificación de comprensión: Enuncia en una frase la esencia de la hipótesis de ondas de materia de de Broglie.
Respuesta
A toda partícula material con momento \(p\) le corresponde una onda de longitud de onda \(\lambda = h/p\). Es la extensión a partículas materiales como el electrón de la relación \(p = h/\lambda\) que se cumplía para los fotones.
2.3 Calculando la longitud de onda de materia — ¿Por qué no se observa en la vida cotidiana?¶
🟡 Lina: Usemos la fórmula de la longitud de onda de de Broglie \(\lambda = h/(mv)\) para calcular valores concretos. Primero recuerda lo pequeña que es \(h\).
Este valor es tremendamente pequeño. Por eso, si el denominador \(mv\) tiene un tamaño cotidiano, \(\lambda\) resulta inimaginablemente corta.
Ejemplo 1: Pelota de béisbol¶
🟡 Lina: La longitud de onda de de Broglie de una pelota de béisbol de masa \(m = 0.15\) kg y velocidad \(v = 40\) m/s es:
🔵 Kai: ¡¿\(10^{-34}\) m?! El tamaño del núcleo atómico es \(10^{-15}\) m, ¡así que es \(10^{19}\) veces más pequeña aún...!
🟡 Lina: Así es. No existe ningún método para detectar una longitud de onda así. Por eso la naturaleza ondulatoria no es observable en objetos cotidianos.
Ejemplo 2: Electrón¶
🟡 Lina: Ahora consideremos un electrón (masa \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg) acelerado por un voltaje de 100 V. Con unos 100 V, la velocidad del electrón es inferior a unos pocos por ciento de la velocidad de la luz, así que \(p = mv\) no relativista es suficientemente preciso. Cuando un electrón es acelerado por un voltaje \(V_{\mathrm{acc}}\), la energía cinética que adquiere es:
Donde \(e = 1.602 \times 10^{-19}\) C es la carga elemental. De aquí se obtiene la velocidad:
Esto es aproximadamente el 2% de la velocidad de la luz (\(3.0 \times 10^8\) m/s), así que \(p = mv\) no relativista es suficientemente preciso. Por lo tanto, la longitud de onda de de Broglie es:
⚪ Mei: \(1.23 \times 10^{-10}\) m... eso es 1.23 Å, ¡del mismo orden que la distancia interatómica!
🟡 Lina: Ese es el punto clave. Para que ocurra difracción, se necesita una "red" del mismo tamaño que la longitud de onda. La distancia interatómica en cristales es de unos pocos Å, así que coincide justo con la longitud de onda de de Broglie del electrón. En Fig. 2.3「Comparación de la longitud de onda de de Broglie \(\lambda = h/p\) (escala logarítmica)」 puedes comparar las longitudes de onda de distintas partículas — se ve de un vistazo lo pequeño que es el \(10^{-34}\) m de la pelota de béisbol. Por cierto, si se aumenta el voltaje de aceleración, la longitud de onda se hace aún más corta. Un microscopio óptico no puede resolver detalles más finos que la longitud de onda de la luz visible (cientos de nm), pero si se aceleran electrones con decenas de miles de voltios, la longitud de onda baja a menos de 0.01 nm, y se pueden "ver" estructuras a nivel atómico — este es el principio de la alta resolución del microscopio electrónico.
Fig. 2.3: Comparación de la longitud de onda de de Broglie \(\lambda = h/p\) (escala logarítmica). La longitud de onda de una pelota de béisbol es \(10^{-34}\) m, indetectable. Los electrones acelerados tienen longitud de onda del mismo orden que la distancia interatómica (Å), observable como difracción cristalina. Los electrones de alta energía tienen longitudes de onda aún más cortas, constituyendo el principio de alta resolución del microscopio electrónico.
🔵 Kai: ¡Entonces si se lanzan electrones contra un cristal, podría ocurrir difracción! ...Pero los electrones son partículas, ¿no? ¿Realmente ocurre que una partícula se difracte?
🟡 Lina: Eso es lo que confirmaron experimentalmente Davisson y Germer. La conclusión es: sí, realmente ocurre.
✅ Verificación de comprensión: Explica por qué las longitudes de onda de de Broglie de una pelota de béisbol y de un electrón acelerado son tan diferentes, basándote en la ecuación \(\lambda = h/(mv)\).
Respuesta
Como la constante de Planck \(h \approx 6.6 \times 10^{-34}\) J·s es extremadamente pequeña, cuando el momento \(mv\) en el denominador tiene un tamaño cotidiano (pelota de béisbol: \(mv \sim 6\) kg·m/s), la longitud de onda es \(10^{-34}\) m, demasiado corta para ser detectada. En cambio, el electrón tiene una masa de \(10^{-30}\) kg, extremadamente pequeña, así que incluso a velocidades moderadas su momento es pequeño y la longitud de onda resulta del orden de la distancia interatómica (Å), observable como difracción.
Fórmula práctica: voltaje de aceleración y longitud de onda de de Broglie¶
🟡 Lina: Para el caso del electrón, combinando las ecuaciones (2.9) y (2.10) se obtiene una fórmula práctica. Como \(p = m_e v = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}\):
Mirando la forma de la ecuación (2.11), se ve que \(\lambda\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) es una constante. Concretamente, sustituyendo \(V_{\mathrm{acc}} = 1\) V:
Así que \(\lambda\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) es constante, y sustituyendo los valores numéricos:
🔵 Kai: ¡Oh, con solo introducir el voltaje ya sale la longitud de onda! Qué práctico.
🟡 Lina: El uso de esta fórmula es sencillo. \(V_{\mathrm{acc}} / \mathrm{V}\) significa "el valor numérico del voltaje de aceleración medido en voltios (un número sin unidades)" — al dividir una magnitud física por su unidad, queda solo el valor numérico. Por ejemplo, si \(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V entonces \(V_{\mathrm{acc}} / \mathrm{V} = 150\ \mathrm{V} / \mathrm{V} = 150\), así que se sustituye directamente 150 dentro de la raíz: \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{150} \approx 0.100\) nm = 1.00 Å. En la ecuación (2.10) escribimos en unidades SI (m), pero a escala atómica es más cómodo usar nm o Å, así que aquí lo expresamos en nm (\(1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{Å}\)).
⚪ Mei: Es muy práctico poder obtener la longitud de onda con solo introducir el voltaje de aceleración.
✅ Verificación de comprensión: Calcula la longitud de onda de de Broglie de un electrón acelerado con 54 V usando la ecuación (2.12).
Respuesta
\(\lambda \approx 1.226/\sqrt{54} \approx 1.226/7.35 \approx 0.167\) nm \(= 1.67\) Å.
📝 Ejercicios:
- Cálculo de la longitud de onda de de Broglie de diversas partículas → Problema B-3. Un protón de masa kg se mueve a una velocidad de m/s. Calcula la longitud de onda de de Broglie
2.4 Experimento de Davisson-Germer — Evidencia decisiva de la naturaleza ondulatoria del electrón¶
🟡 Lina: En 1927, en los Laboratorios Bell de Estados Unidos, Davisson y Germer realizaron un experimento decisivo. Curiosamente, este experimento no fue diseñado originalmente con el propósito de confirmar las ondas de de Broglie.
🔵 Kai: ¿Eh, fue por casualidad?
🟡 Lina: En parte sí. Estaban disparando electrones sobre una superficie de níquel y estudiando el patrón de dispersión. Un día, se rompió el vacío del aparato experimental y la superficie de níquel se oxidó. La restauraron calentándola a alta temperatura, y el níquel se transformó en un monocristal. Un monocristal es un estado donde los átomos están dispuestos en un único patrón regular — es decir, una estructura que funciona como red de difracción. Originalmente era policristalino — es decir, pequeños granos cristalinos orientados en direcciones aleatorias — por lo que las condiciones de difracción no se cumplían.
⚪ Mei: Ya veo, al convertirse en monocristal empezó a funcionar como red por primera vez.
🟡 Lina: Exacto. Cuando retomaron el experimento tras la restauración, apareció un pico donde la intensidad de dispersión aumentaba bruscamente a un ángulo específico. Era exactamente un patrón de difracción.
Detalles del experimento¶
🟡 Lina: Voy a explicar concretamente la configuración del experimento.
- Se aceleran electrones con un voltaje \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V
- Se dirige el haz de electrones a la superficie de un monocristal de níquel
- Se mide la intensidad de los electrones dispersados variando el ángulo de dispersión \(\phi\)
Resultado: se observó un fuerte pico de dispersión en la dirección del ángulo de dispersión \(\phi = 50°\).
🔵 Kai: ¿Por qué \(50°\)?
🟡 Lina: Se conoce la distancia entre los átomos de la superficie del cristal de níquel: \(d = 2.15\) Å. Consideramos la fila de átomos en la superficie como una red de difracción. Consideremos el caso en que el haz de electrones incide perpendicular a la superficie del cristal. Para la onda dispersada que sale en la dirección del ángulo de dispersión \(\phi\) (ángulo entre la dirección de incidencia y la dirección de dispersión), pensemos en la diferencia de camino óptico desde átomos adyacentes.
Fig. 2.4: Diagrama esquemático del aparato del experimento de Davisson-Germer. Un haz de electrones acelerados con 54 V incide sobre un monocristal de níquel (distancia interatómica superficial \(d = 2.15\) Å), y se observa un fuerte pico de dispersión a \(\phi = 50°\). A partir de la distancia interatómica superficial \(d\) y el ángulo de dispersión \(\phi\), se puede obtener la longitud de onda usando la condición de difracción.
Míralo siguiendo Fig. 2.4「Diagrama esquemático del aparato del experimento de Davisson-Germer」. Consideremos dos átomos A y B separados una distancia \(d\) en la superficie. Como el haz incidente es perpendicular a la superficie, el frente de onda llega a A y B simultáneamente (la diferencia de camino del lado incidente es cero). Ahora pensemos en la onda que sale en la dirección del ángulo de dispersión \(\phi\). Esta es exactamente la misma situación que la red de difracción de la física del instituto — solo hay que calcular la diferencia de camino de las ondas que salen en la misma dirección desde fuentes de dispersión adyacentes (aquí, los átomos).
🔵 Kai: ¿Ah, es como si las rendijas de la red de difracción se reemplazaran por átomos?
🟡 Lina: Exacto. A y B están separados una distancia \(d\) a lo largo de la superficie, y la dirección de dispersión está inclinada un ángulo \(\phi\) respecto a la normal. Recuerda la red de difracción de la física del instituto — cuando luz incide perpendicularmente en rendijas con separación \(d\), la diferencia de camino en la dirección del ángulo \(\phi\) era \(d\sin\phi\). Aquí la esencia es la misma. Concretamente, traza líneas paralelas a la dirección de dispersión desde A y B (en Fig. 2.4「Diagrama esquemático del aparato del experimento de Davisson-Germer」, confirma el triángulo que muestra la diferencia de camino entre las ondas dispersadas desde los dos átomos). El "desfase" entre estas dos líneas paralelas es la diferencia de camino. Bajando una perpendicular desde B a la recta en la dirección de dispersión que pasa por A, se forma un triángulo rectángulo. La hipotenusa de este triángulo es la distancia entre A y B, \(d\) (la separación a lo largo de la superficie). Comprobemos la relación angular. La superficie es perpendicular a la normal, así que la dirección AB a lo largo de la superficie y la normal forman un ángulo recto. La dirección de dispersión está inclinada un ángulo \(\phi\) respecto a la normal, así que el ángulo entre la dirección AB (a lo largo de la superficie) y la dirección de dispersión es \(90° - \phi\). En el triángulo rectángulo con hipotenusa \(d\) y un ángulo \((90° - \phi)\), la diferencia de camino (el cateto opuesto a ese ángulo) es \(d\sin\phi\) (usamos \(\sin\phi = \cos(90° - \phi)\)). Como la onda incidente llega perpendicularmente, la diferencia de camino del lado incidente es cero, y solo contribuye la diferencia de camino en la dirección de dispersión. La red de difracción del instituto es de tipo "transmisión" donde la luz atraviesa las rendijas, pero aquí es de tipo "reflexión" donde los átomos de la superficie son las fuentes de dispersión — pero el cálculo de la diferencia de camino es exactamente la misma geometría. Cuando esta diferencia de camino es un múltiplo entero de la longitud de onda, ocurre interferencia constructiva:
Esta tiene la misma forma que la ecuación de la red de difracción que se estudia en el instituto. Pero ten cuidado — en la red de difracción del instituto a menudo se mide el ángulo desde la normal al plano de la red, pero aquí \(\phi\) se mide como el ángulo entre la dirección de incidencia y la dirección de dispersión. Como la incidencia es en la dirección de la normal, el ángulo desde la normal y el ángulo desde la dirección de incidencia coinciden. La condición de Bragg (2.15) que aparecerá después trata la reflexión por "capas" del cristal y la definición del ángulo es diferente, así que no las confundas.
⚪ Mei: Incluso con la misma \(d\sin\phi = n\lambda\), la definición del ángulo difiere según el experimento, hay que tener cuidado.
🟡 Lina: Sustituyendo \(n = 1\), \(\phi = 50°\):
⚪ Mei: Con la ecuación (2.12) para \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V obtuvimos \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{54} \approx 1.67\) Å. ¡Casi coincide exactamente con el valor experimental de \(1.65\) Å!
🔵 Kai: ¡Vaya, coinciden casi perfectamente...!
🟡 Lina: Así es. La longitud de onda predicha por la ecuación (2.11) de de Broglie y la longitud de onda medida por el experimento de difracción coinciden magníficamente. Esta fue la primera confirmación experimental de la hipótesis de de Broglie.
Lo que demuestra este experimento¶
🟡 Lina: Resumamos la importancia del experimento de Davisson-Germer.
- El electrón efectivamente se comporta como onda y se difracta en la red cristalina
- La longitud de onda obtenida de la difracción coincide con la predicción de de Broglie \(\lambda = h/p\)
- La hipótesis de que "las partículas materiales tienen naturaleza ondulatoria" fue confirmada experimentalmente
🔵 Kai: Es simétrico con la confirmación de que la luz tiene naturaleza corpuscular mediante la dispersión Compton. Ahora, al revés, se ha confirmado que las partículas tienen naturaleza ondulatoria.
🟡 Lina: Buena síntesis. Veámoslo en una tabla que muestra la simetría.
Tabla 2.2: Simetría de los principales experimentos que demostraron naturaleza ondulatoria y corpuscular
| Experimento | Lo que demostró |
|---|---|
| Efecto fotoeléctrico (1905) | La luz tiene naturaleza corpuscular (\(E = h\nu\)) |
| Dispersión Compton (1923) | El fotón tiene momento (\(p = h/\lambda\)) |
| Davisson-Germer (1927) | El electrón tiene naturaleza ondulatoria (\(\lambda = h/p\)) |
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de Davisson-Germer, si se aumenta el voltaje de aceleración de 54 V a 100 V, ¿qué ocurre con el ángulo del pico de difracción? (¿Aumenta? ¿Disminuye?)
Respuesta
Al aumentar el voltaje de aceleración, el momento \(p\) aumenta y la longitud de onda de de Broglie \(\lambda = h/p\) disminuye. En la ecuación (2.13), al disminuir \(\lambda\), \(\sin\phi\) también disminuye, por lo que el ángulo del pico de difracción \(\phi\) disminuye.
📝 Ejercicios:
- Reproducción del cálculo del experimento de Davisson-Germer → Problema M-2. Cálculo de reproducción del experimento de Davisson-Germer
2.5 Difracción de electrones — Experimento de G. P. Thomson y condición de Bragg¶
🟡 Lina: Casi simultáneamente al experimento de Davisson-Germer (1928), el británico G. P. Thomson confirmó la naturaleza ondulatoria del electrón por otro método.
🔵 Kai: Thomson... ¿tiene relación con J. J. Thomson, quien descubrió el electrón?
🟡 Lina: Buena pregunta. G. P. Thomson era el hijo de J. J. Thomson. El padre descubrió el electrón como "partícula", y el hijo demostró la "naturaleza ondulatoria" del electrón. Un hermoso episodio de la historia de la física.
Método del experimento¶
🟡 Lina: El experimento de G. P. Thomson adoptó un enfoque diferente al de Davisson-Germer.
- Se pasa un haz de electrones de alta velocidad (acelerados con decenas de miles de voltios) a través de una lámina metálica delgada (oro o aluminio)
- Se detectan los electrones que atraviesan la lámina con una placa fotográfica
- En la placa fotográfica aparece un patrón de anillos concéntricos (anillos de difracción)
🔵 Kai: ¿Por qué aparecen anillos?
🟡 Lina: La lámina metálica es policristalina — es decir, pequeños granos cristalinos orientados en direcciones aleatorias. Solo los granos cristalinos que satisfacen la condición de difracción (que explicaré enseguida como "condición de Bragg") contribuyen a la difracción, pero como las orientaciones de los granos son aleatorias, la luz difractada se extiende en forma de cono alrededor de la dirección de incidencia. Al cortarlo con un plano, se obtiene un círculo (anillo). Es decir, el patrón de difracción cambia según si el cristal es mono o policristalino.
⚪ Mei: Ya veo, en Davisson-Germer era monocristal así que aparece un pico a un ángulo específico, y aquí es policristal así que aparecen anillos.
🟡 Lina: Exacto. Es decir, la estructura del cristal determina la forma del patrón. En Fig. 2.5「Diagrama esquemático del experimento de difracción de electrones de G」 se muestra un diagrama esquemático. De hecho, el patrón de anillos de difracción de electrones era idéntico al patrón de difracción de rayos X. Si la longitud de onda es la misma, ya sean rayos X o electrones, se obtiene el mismo patrón de difracción — evidencia clara de que el electrón se comporta como onda.
Fig. 2.5: Diagrama esquemático del experimento de difracción de electrones de G. P. Thomson. Un haz de electrones de alta energía atraviesa una lámina metálica policristalina, formando anillos de difracción concéntricos en la placa fotográfica. Los granos cristalinos con orientaciones aleatorias dentro del policristal satisfacen la condición de Bragg, por lo que la luz difractada se extiende en forma de cono y produce un patrón de anillos.
Repaso de la condición de Bragg¶
🟡 Lina: Aquí vamos a repasar la condición básica de difracción por un cristal. Un cristal es una estructura donde los átomos están dispuestos regularmente, con capas de átomos apiladas a intervalos constantes \(d\). Cuando una onda se refleja en cada capa, la condición para que las ondas reflejadas por capas adyacentes interfieran constructivamente es:
Donde: - \(d\): distancia entre planos cristalinos - \(\theta\): ángulo entre el plano cristalino y la dirección de incidencia (ángulo rasante, glancing angle. Cuando la incidencia es casi "rasante" al plano, \(\theta\) es pequeño, y cuando se acerca a perpendicular al plano, \(\theta\) es grande. En la física del instituto el "ángulo de incidencia" se mide desde la normal, pero el \(\theta\) de Bragg se mide desde el plano — es decir, si llamamos \(\alpha\) al ángulo de incidencia del instituto, la relación es \(\theta = 90° - \alpha\). Además, el \(\phi\) del experimento de Davisson-Germer era "el ángulo entre la dirección de incidencia y la dirección de dispersión", así que la definición del ángulo es diferente) - \(n\): entero positivo (orden de difracción) - \(\lambda\): longitud de onda
Esto se llama condición de Bragg.
🔵 Kai: ¿Por qué \(2d\sin\theta\)?
🟡 Lina: Voy a explicarlo con un dibujo. Mira Fig. 2.6「Explicación geométrica de la condición de Bragg」. Considera dos planos cristalinos adyacentes. Comparando la trayectoria de la onda incidente que se refleja en el plano superior con la que llega hasta el plano inferior y se refleja allí, la onda que pasa por el plano inferior recorre un camino extra de \(2d\sin\theta\). Cuando esta diferencia de camino extra es un múltiplo entero de la longitud de onda, las dos ondas reflejadas están en fase y se refuerzan mutuamente.
⚪ Mei: Diferencia de camino = múltiplo entero de la longitud de onda → las crestas coinciden con las crestas → interferencia constructiva. Es la misma idea que la condición de interferencia de la física del instituto.
Fig. 2.6: Explicación geométrica de la condición de Bragg. La diferencia de camino entre ondas reflejadas por dos capas con separación entre planos \(d\) es \(2d\sin\theta\). Cuando esta diferencia de camino es un múltiplo entero de la longitud de onda \(n\lambda\), las ondas reflejadas se refuerzan y aparece un pico de difracción.
🟡 Lina: Exacto. La condición de Bragg se cumple para cualquier onda — rayos X, electrones o neutrones. Por lo tanto, que los electrones se difracten siguiendo la condición de Bragg es evidencia directa de que se comportan como ondas. Aquí voy a comparar el experimento de Davisson-Germer con el de G. P. Thomson.
Tabla 2.3: Comparación entre el experimento de Davisson-Germer y el de G. P. Thomson
| Aspecto | Davisson-Germer (1927) | G. P. Thomson (1928) |
|---|---|---|
| Energía de los electrones | Baja energía (del orden de 54 V) | Alta energía (decenas de miles de V) |
| Muestra | Monocristal de níquel (reflexión superficial) | Lámina metálica delgada (transmisión) |
| Condición de difracción | Fórmula de red superficial \(d\sin\phi = n\lambda\) | Condición de Bragg \(2d\sin\theta = n\lambda\) |
| Patrón | Pico a ángulo específico | Anillos concéntricos |
| Cristalinidad de la muestra | Monocristal | Policristal |
✅ Verificación de comprensión: En el experimento de difracción de electrones de G. P. Thomson, ¿por qué el patrón de difracción tiene forma de anillos concéntricos?
Respuesta
La lámina metálica es policristalina, con pequeños granos cristalinos orientados en direcciones aleatorias. Como existen granos cristalinos que satisfacen la condición de Bragg en diversas orientaciones, la luz difractada se extiende en forma de cono alrededor de la dirección de incidencia. Al cortarla con un plano (placa fotográfica), se observa como un patrón de anillos concéntricos.
Difracción de neutrones — Confirmación adicional¶
🟡 Lina: No solo con electrones, sino también con neutrones se ha confirmado el mismo fenómeno. A partir de 1936, se demostró que cuando se hacen incidir neutrones procedentes de un reactor nuclear sobre un cristal, también se obtiene un patrón de difracción que sigue la condición de Bragg.
🔵 Kai: ¿Los neutrones no tienen carga eléctrica, verdad? ¿Aun así tienen naturaleza ondulatoria?
🟡 Lina: Sí. La relación de de Broglie \(\lambda = h/p\) se cumple independientemente de si hay carga o no. Siempre que haya masa y velocidad, la longitud de onda queda determinada. De hecho, la difracción de neutrones se utiliza ampliamente en el estudio de estructuras cristalinas. Precisamente porque no tienen carga, pueden penetrar profundamente en la materia, lo cual es una ventaja.
⚪ Mei: Es decir, las ondas de materia no se limitan al electrón, sino que se cumplen universalmente para todas las partículas materiales.
🟡 Lina: Exacto. Se ha confirmado la difracción con protones, átomos e incluso moléculas. En 1999 se logró el experimento de difracción del fullereno (\(\mathrm{C}_{60}\), una molécula formada por 60 átomos de carbono). La hipótesis de de Broglie ha sido verificada en un rango muy amplio.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué propiedad de la relación de de Broglie \(\lambda = h/p\) demuestra el hecho de que también se cumple para neutrones, que no tienen carga eléctrica?
Respuesta
La relación de de Broglie determina la longitud de onda independientemente de si hay carga o no, solo con la masa y la velocidad (momento). Es decir, las ondas de materia no son una propiedad electromagnética, sino una propiedad universalmente inherente a todas las partículas materiales.
✅ Verificación de comprensión: En la condición de Bragg \(2d\sin\theta = n\lambda\), cuando \(d = 2.0\) Å, \(\theta = 30°\), \(n = 1\), ¿cuál es la longitud de onda de la onda difractada?
Respuesta
\(\lambda = 2d\sin\theta / n = 2 \times 2.0 \times \sin 30° / 1 = 2 \times 2.0 \times 0.5 = 2.0\) Å.
📝 Ejercicios:
- Cálculo de difracción de electrones usando la condición de Bragg → Problema M-4. Análisis de la difracción de electrones mediante la condición de Bragg
2.6 La esencia de la dualidad onda-partícula — La materia no es ni onda ni partícula¶
🟡 Lina: Resumiendo lo visto hasta aquí:
Tabla 2.4: Evidencias de la dualidad onda-partícula de la luz y la materia
| Objeto | Evidencia de naturaleza ondulatoria | Evidencia de naturaleza corpuscular |
|---|---|---|
| Luz | Interferencia y difracción (experimento de Young, etc.) | Efecto fotoeléctrico, dispersión Compton |
| Electrón | Davisson-Germer, G. P. Thomson | Se detecta como partícula (trazas, etc.) |
🔵 Kai: Tanto la luz como el electrón son "onda y partícula a la vez", ¿verdad? Pero... ¿qué significa eso exactamente? Onda y partícula son cosas completamente diferentes.
🟡 Lina: Muy buena pregunta. De hecho, este es el punto más importante. La respuesta es:
Los electrones y los fotones no son "ondas" ni "partículas". Son "algo" que obedece ciertas reglas matemáticas, y según cómo se realice el experimento, se manifiestan propiedades ondulatorias o propiedades corpusculares.
⚪ Mei: ¿Es decir que la pregunta misma "¿onda o partícula?" es inadecuada?
🟡 Lina: Así es. "Onda" y "partícula" son conceptos prestados de la física clásica que no pueden describir completamente la existencia del mundo microscópico. El electrón no es "una pequeña bola de billar" ni "una onda en la superficie del agua". Se necesita un nuevo marco matemático.
🔵 Kai: ¿Cuáles son esas "reglas matemáticas"?
🟡 Lina: Eso es precisamente lo que iremos construyendo gradualmente en los próximos capítulos. Primero en el siguiente capítulo analizaremos en detalle el experimento de la doble rendija y formalizaremos el concepto de "amplitud de probabilidad". De ahí en adelante, las reglas de la amplitud de probabilidad (Cap. 4), sistemas de dos estados (capítulos 5–6), y finalmente llegaremos a la función de onda y la ecuación de Schrödinger (Cap. 7).
¿Qué es lo que se "comporta como onda"?¶
🟡 Lina: Aquí voy a aclarar un malentendido frecuente. Al escuchar que "el electrón se extiende como una onda", podrías imaginar "algo como una nube tenue del electrón extendida por el espacio". Pero no es así.
🔵 Kai: ¿No es así?
🟡 Lina: Cuando detectas un electrón con un detector, siempre se detecta en un punto, como un electrón entero. Nunca ocurre que "la mitad del electrón está aquí y la otra mitad está allá".
🔵 Kai: Entonces, ¿qué es lo que se comporta como onda?
🟡 Lina: Lo que se comporta como onda es "la amplitud de probabilidad de encontrar el electrón ahí". Esto se llama amplitud de probabilidad. La amplitud de probabilidad interfiere, se difracta y puede superponerse — es decir, tiene propiedades de onda. Pero cuando se detecta, aparece como una partícula en un punto con una probabilidad proporcional al cuadrado de la magnitud de la amplitud de probabilidad (más precisamente, "el cuadrado del valor absoluto" — lo definiremos con más detalle en los próximos capítulos).
🔵 Kai: "Onda de probabilidad"... ¿Que la probabilidad interfiere significa que las probabilidades se cancelan entre sí en vez de sumarse?
🟡 Lina: Exactamente. No es la probabilidad misma la que se suma, sino la "amplitud de probabilidad", por lo que también puede haber cancelación (interferencia destructiva). Pero los detalles los veremos concretamente en el próximo capítulo a través del experimento de la doble rendija. Por ahora, recuerda solo lo siguiente:
- Las partículas materiales tienen naturaleza ondulatoria (hecho experimental)
- La naturaleza ondulatoria se describe como una onda de "amplitud de probabilidad"
- La detección siempre ocurre "como partícula en un punto"
- Se necesita un nuevo marco que describa todo esto de manera unificada
✅ Verificación de comprensión: En la naturaleza ondulatoria del electrón, ¿qué es lo que "se comporta como onda"? ¿Es el electrón mismo el que se extiende por el espacio?
Respuesta
Lo que se comporta como onda es "la amplitud de probabilidad de encontrar el electrón ahí" (amplitud de probabilidad), no el electrón mismo extendiéndose tenuemente por el espacio. Cuando se detecta un electrón, siempre se encuentra como una sola partícula entera en un punto. La amplitud de probabilidad tiene propiedades de onda como interferencia y difracción, y el cuadrado de su valor absoluto da la probabilidad de detección.
✅ Verificación de comprensión: Explica por qué la expresión "el electrón es una onda" es inexacta.
Respuesta
Cuando se detecta un electrón, siempre se encuentra como una sola partícula entera en un punto. Lo que "se comporta como onda" no es el electrón mismo, sino la amplitud de probabilidad de encontrarlo (amplitud de probabilidad). El electrón no es ni "onda" ni "partícula", sino un nuevo tipo de entidad que obedece las reglas de la amplitud de probabilidad.
2.7 Anticipo del principio de incertidumbre — Lo que significa la longitud de onda de de Broglie¶
🟡 Lina: La relación de de Broglie \(\lambda = h/p\) tiene una implicación profunda más. Echemos un vistazo rápido al final.
🔵 Kai: ¿Todavía hay más?
🟡 Lina: Las ondas tienen una propiedad fundamental: cuanto más definida está la longitud de onda, más extendida está la onda en el espacio. Inversamente, cuanto más localizada está la onda en una región estrecha, más indefinida se vuelve la longitud de onda.
🔵 Kai: ¿Eh, por qué? ...Ah, pero es verdad que una onda sinusoidal perfecta continúa con la misma forma indefinidamente — como \(\sin(kx)\), sigue oscilando con la misma amplitud sin importar cuán lejos llegue \(x\). Así no se puede determinar "dónde está la onda"... Pero al revés, cuando queremos confinar una onda en una región pequeña, ¿por qué se necesitan "diversas longitudes de onda"?
🟡 Lina: Buena pregunta. Pensemos en un ejemplo cotidiano. En la física del instituto aprendiste los "batidos", ¿verdad? Cuando se hacen sonar simultáneamente dos diapasones con frecuencias ligeramente diferentes, el sonido se hace más fuerte y más débil alternadamente. Eso ocurre porque dos ondas se superponen y en ciertos instantes se refuerzan y en otros se cancelan.
🔵 Kai: ¿Ah, lo mismo ocurre en el espacio?
🟡 Lina: Exacto. Los batidos son un fenómeno donde la amplitud varía en la "dirección temporal", pero la misma matemática funciona en la "dirección espacial". Imagina concretamente: dos ondas con longitudes de onda ligeramente diferentes — por ejemplo una onda de 10 cm de longitud de onda y otra de 11 cm — superpuestas en el espacio. En ciertos lugares las crestas coinciden y la amplitud es grande, y en otros las crestas y los valles se cancelan y la amplitud es pequeña. Es exactamente lo mismo que cuando en los batidos el sonido se hace fuerte y débil, pero ocurriendo a lo largo de la posición en el espacio.
🔵 Kai: ¡Ah, batidos en versión espacial! Con solo mezclar dos longitudes de onda ya aparece una distribución donde "aquí la amplitud es grande, allí es pequeña". Pero los batidos se repiten periódicamente, ¿verdad? ¿Se puede concentrar en un solo lugar solo con eso?
🟡 Lina: Buena observación. De hecho, con solo dos longitudes de onda, la alternancia fuerte-débil se repite periódicamente, como los batidos — es decir, no se puede concentrar en "un solo lugar". Pero si se van añadiendo 3, 4... tipos de longitudes de onda, se puede lograr que en un lugar particular todas las ondas alineen sus crestas y se refuercen, mientras que en todos los demás lugares las fases queden desordenadas y se cancelen mutuamente.
⚪ Mei: Cuantos más tipos de longitud de onda hay, más eficiente es la "cancelación" y más nítida se vuelve la localización.
🟡 Lina: Así es. La razón es que ondas con longitudes de onda ligeramente diferentes tienen desfases que varían de manera distinta según la posición, así que en todas partes excepto "el lugar donde todas coinciden", alguna onda tiene cresta cuando otra tiene valle, y se cancelan mutuamente. Cuantos más tipos de longitud de onda haya, más eficiente es la "cancelación" y más estrecha se hace la región donde se concentra la amplitud. Es decir, para crear una onda que esté contenida solo en una región estrecha, se necesita superponer muchas ondas de diferentes longitudes — la longitud de onda deja de estar bien definida. Esta es una propiedad matemática de las ondas que se cumple independientemente de la mecánica cuántica. Una onda localizada no puede representarse con una sola longitud de onda, por lo que la longitud de onda se vuelve indefinida. Además, cuanto más estrecha es la región de confinamiento, más componentes de longitud de onda se necesitan.
🔵 Kai: Solo con las propiedades de las ondas ya queda determinada la relación "localización ↔ indefinición de la longitud de onda". Es anterior a la mecánica cuántica...
🟡 Lina: Exacto. Y ahora recuerda la relación de de Broglie \(p = h/\lambda = \hbar k\). La indefinición de la longitud de onda se traduce directamente en indefinición del momento. Es decir:
- Posición definida en una región estrecha → onda localizada → longitud de onda (= momento) indefinida
- Momento definido → longitud de onda constante → onda extendida → posición indefinida
Confirmemos esto visualmente. Mira Fig. 2.7「Relación entre localización del paquete de ondas y longitud de onda (momento)」. A la izquierda hay un "paquete de ondas estrecho" — muchas longitudes de onda superpuestas para concentrarse en un lugar — donde la posición está definida pero hay muchas componentes de longitud de onda mezcladas (= momento indefinido). A la derecha hay un "paquete de ondas amplio" — casi una onda sinusoidal de una sola longitud de onda — donde el momento está definido pero no se sabe dónde está la onda (= posición indefinida). Compara izquierda y derecha.
Fig. 2.7: Relación entre localización del paquete de ondas y longitud de onda (momento). Izquierda: un paquete de ondas estrecho requiere superponer muchas componentes de longitud de onda, por lo que el momento es indefinido. Derecha: un paquete de ondas amplio se aproxima a una sola longitud de onda, el momento está definido pero la posición es indefinida. Este es el significado intuitivo de la relación de incertidumbre de Heisenberg \(\Delta x\cdot\Delta p\geq\hbar/2\).
🔵 Kai: ¡La posición y el momento no se pueden determinar simultáneamente con precisión...! Pero, ¿no será simplemente que la precisión del instrumento de medida es insuficiente? ¿No se podrían medir ambos con precisión con un aparato mejor?
🟡 Lina: Esa duda es natural, pero la respuesta es "no". Esto no es una limitación de la tecnología de medición, sino una propiedad fundamental de la naturaleza. Mientras la relación de de Broglie \(p = \hbar k\) sea correcta, por las propiedades matemáticas de las ondas, la determinación simultánea de posición y momento es imposible en principio. Cuantitativamente, esto se expresa como el principio de incertidumbre de Heisenberg:
La derivación rigurosa de esta desigualdad la haremos en Cap. 8.
⚪ Mei: La fórmula de la longitud de onda de de Broglie es la semilla del principio de incertidumbre.
Relación con la estabilidad atómica¶
🟡 Lina: En Cap. 1 planteamos la pregunta "¿por qué el electrón no cae al núcleo atómico?". Usando el principio de incertidumbre, se puede dar una respuesta intuitiva.
Si el electrón está confinado cerca del núcleo (en una región de radio \(a\)), la incertidumbre de posición es \(\Delta x \sim a\). Del principio de incertidumbre \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2\), la incertidumbre del momento es al menos:
(Aquí estamos haciendo una estimación de orden de magnitud, así que no nos preocupamos por factores numéricos como \(1/2\) y procedemos con \(\Delta p \sim \hbar/a\). "\(\sim\)" significa "del mismo orden de magnitud", ignorando diferencias de un factor 2 o \(1/2\). Lo importante es si el orden del tamaño atómico que obtenemos es correcto.)
🔵 Kai: Entiendo que hay incertidumbre en el momento, pero ¿por qué eso se traduce en energía cinética? ¿No es solo que es incierto, sin que realmente tenga energía?
🟡 Lina: Buena pregunta. Hay un punto importante aquí. Si el electrón está confinado en una región de radio \(a\), el valor medio del momento es cero (no hay sesgo hacia ninguna dirección) — imagina una pelota rebotando dentro de una caja. Va hacia la derecha y hacia la izquierda, así que la velocidad media es cero, pero la rapidez (magnitud de la velocidad) no es cero.
🔵 Kai: ¡Ah, claro! ¡Aunque la media sea cero, realmente se está moviendo, así que hay energía cinética!
🟡 Lina: Exacto. La energía cinética es \(p^2/(2m_e)\), así que si la "magnitud" del momento no es cero, la energía tampoco lo es. Para usar una analogía con las notas de un examen, imagina una clase con una persona que tiene +50 puntos y otra con −50 puntos. La media es \((50 + (-50))/2 = 0\), pero la media del cuadrado de las puntuaciones es \((50^2 + (-50)^2)/2 = 2500\), que no es cero.
🔵 Kai: ¡Ah, es verdad! ¡Aunque la media sea cero, la media de los cuadrados no es cero!
🟡 Lina: Del mismo modo, aunque la media del momento sea cero, si hay una dispersión \(\Delta p\), "la media de \(p^2\)" es del orden de \((\Delta p)^2\). En física existe la convención de representar la media con corchetes angulares \(\langle \cdot \rangle\) — por ejemplo \(\langle p \rangle\) es "el valor medio de \(p\)", \(\langle p^2 \rangle\) es "el valor medio de \(p^2\)". \(\Delta p\) es la anchura de la dispersión (la desviación estándar en estadística). En general se cumple "media de los cuadrados = cuadrado de la media + cuadrado de la dispersión", es decir \(\langle p^2 \rangle = \langle p \rangle^2 + (\Delta p)^2\).
🔵 Kai: ¿De dónde viene esa fórmula?
🟡 Lina: ¿En estadística del instituto aprendiste que "varianza = media de (cada dato − media)\(^2\)"? Eso se escribe como \(V = \langle (X - \mu)^2 \rangle\). Expandiendo el paréntesis: \(\langle X^2 - 2\mu X + \mu^2 \rangle = \langle X^2 \rangle - 2\mu\langle X \rangle + \mu^2\), y como \(\langle X \rangle = \mu\), entonces \(V = \langle X^2 \rangle - \mu^2\). Despejando: \(\langle X^2 \rangle = \mu^2 + V\) — es decir, "media de los cuadrados = cuadrado de la media + cuadrado de la dispersión".
🔵 Kai: ¡Ah, comprobando con el ejemplo del examen de antes... media \(\mu = 0\), dispersión \(\Delta X = 50\), así que \(\langle X^2 \rangle = 0 + 50^2 = 2500\). Calculando directamente: \((50^2 + 50^2)/2 = 2500\), ¡coincide!
🟡 Lina: Exacto. Así que si \(\langle p \rangle = 0\), entonces \(\langle p^2 \rangle = (\Delta p)^2\). La energía cinética es \(T = p^2/(2m_e)\), así que su media es \(\langle T \rangle = \langle p^2 \rangle/(2m_e) = (\Delta p)^2/(2m_e)\).
⚪ Mei: La dispersión se convierte directamente en fuente de energía cinética.
🟡 Lina: Síntesis perfecta. Sustituyendo \(\Delta p \sim \hbar/a\):
Por otro lado, la energía potencial debida a la atracción de Coulomb es (usando \(V = kq_1 q_2/r\) del instituto con \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0)\), carga del núcleo \(q_1 = +e\), carga del electrón \(q_2 = -e\)):
La energía total \(E = T + V\) como función de \(a\):
🔵 Kai: Si se hace \(a\) más pequeño, la energía potencial baja pero la energía cinética sube como \(1/a^2\)... ¡si se hace demasiado pequeño, la energía aumenta en vez de disminuir! ¿Eso significa que "no puede caer"?
🟡 Lina: Exacto. Mira el gráfico en Fig. 2.8「Estabilidad atómica por el principio de incertidumbre」. En la región de \(a\) pequeño, la energía cinética diverge como \(1/a^2\), y en la región de \(a\) grande, la ganancia de energía potencial disminuye. Por la competencia entre estas dos, la energía total tiene un mínimo.
Fig. 2.8: Estabilidad atómica por el principio de incertidumbre. Al disminuir el radio de confinamiento \(a\), la energía cinética \(T \sim \hbar^2/(2m_e a^2)\) aumenta rápidamente, y al aumentarlo, la ganancia de energía potencial disminuye. El punto mínimo de la energía total \(E = T + V\) da el radio de Bohr \(a_0\).
🟡 Lina: Minimicemos \(E(a)\). La derivada de \(a^{-2}\) respecto a \(a\) es \(-2a^{-3}\), y la derivada de \(a^{-1}\) es \(-a^{-2}\) (solo usamos la derivada de funciones potenciales \((a^n)' = na^{n-1}\)). Calculemos \(dE/da = 0\). La derivada del primer término es \(\frac{\hbar^2}{2m_e} \times (-2a^{-3}) = -\frac{\hbar^2}{m_e a^3}\); derivando el segundo término \(-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot a^{-1}\): \(-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \times (-1)\cdot a^{-2} = +\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\) (menos por menos = más):
🔵 Kai: Igualando a cero y despejando \(a\).
🟡 Lina: Exacto. Reorganizando:
Multiplicando ambos lados por \(a^3\):
Por lo tanto:
⚪ Mei: Es sorprendente que solo con una estimación de orden de magnitud se obtenga el tamaño del átomo de hidrógeno.
🟡 Lina: Este es el valor llamado radio de Bohr, que es la referencia del tamaño del átomo de hidrógeno. Gracias al principio de incertidumbre, el electrón no puede caer al núcleo — si intenta hacerlo, la energía cinética diverge. Esta no es una derivación rigurosa sino solo una "estimación", pero da la respuesta en el orden correcto. El cálculo riguroso lo haremos en Cap. 16 (átomo de hidrógeno).
✅ Verificación de comprensión: Según el principio de incertidumbre, ¿cómo se comporta la energía cinética cuando se confina un electrón en una región de radio \(a\)?
Respuesta
La energía cinética aumenta inversamente proporcional a \(a^2\) como \(T \sim \hbar^2/(2m_e a^2)\). Cuanto más pequeño se hace \(a\), más rápidamente crece la energía cinética, por lo que es imposible confinar al electrón en una región infinitamente pequeña.
2.8 Resumen del capítulo¶
🟡 Lina: Resumamos el contenido de hoy.
Relaciones de Einstein-de Broglie¶
Para todas las partículas materiales se cumplen las siguientes relaciones:
Confirmación experimental¶
Tabla 2.5: Confirmación experimental de las relaciones de Einstein–de Broglie
| Experimento | Año | Lo que confirmó |
|---|---|---|
| Dispersión Compton | 1923 | Momento del fotón \(p = h/\lambda\) |
| Davisson-Germer | 1927 | Longitud de onda de de Broglie del electrón \(\lambda = h/p\) |
| G. P. Thomson | 1928 | Anillos de difracción de electrones |
| Difracción de neutrones | 1936– | Naturaleza ondulatoria del neutrón |
| Difracción de \(\mathrm{C}_{60}\) | 1999 | Naturaleza ondulatoria de moléculas grandes |
Mensaje central¶
- Las partículas materiales tienen naturaleza ondulatoria — esto es un hecho experimental
- La naturaleza ondulatoria se describe como una onda de amplitud de probabilidad — no es la partícula misma la que "se extiende"
- La detección siempre ocurre como partícula en un punto — el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad da la probabilidad de detección
- La relación de de Broglie es la raíz del principio de incertidumbre — mediante \(p = \hbar k\), la localización de la onda y la definición del momento entran en compromiso
- Se necesita un nuevo marco matemático — una descripción que supere la dicotomía "onda o partícula"
Anticipo del próximo capítulo¶
🟡 Lina: En el próximo capítulo analizaremos en detalle el escenario más dramático de la dualidad onda-partícula — el experimento de la doble rendija. ¿Qué ocurre cuando se envían electrones uno por uno a través de las rendijas? ¿Cómo interfiere la "amplitud de probabilidad"? Y ¿cómo cambia el resultado la observación?
🔵 Kai: Es lo que se anticipó al final de Cap. 1: "el colapso del determinismo y el realismo".
🟡 Lina: Exacto. El experimento de la doble rendija es aquel del que Feynman dijo "todo el misterio de la mecánica cuántica se concentra aquí". Ahora que tenemos el concepto de longitud de onda de de Broglie, por fin podemos adentrarnos en su esencia.
⚪ Mei: Qué significa que la amplitud de probabilidad interfiera — ese es el tema del próximo capítulo.
Problemas de práctica¶
📝 Ejercicios:
- Cálculo del cambio de longitud de onda en la dispersión Compton → Problema B-2. En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda para un ángulo de dispersión
- Cálculo de la longitud de onda de de Broglie de diversas partículas → Problema B-3. Un protón de masa kg se mueve a una velocidad de m/s. Calcula la longitud de onda de de Broglie
- Reproducción del cálculo del experimento de Davisson-Germer → Problema M-2. Cálculo de reproducción del experimento de Davisson-Germer
- Cálculo de difracción de electrones usando la condición de Bragg → Problema M-4. Análisis de la difracción de electrones mediante la condición de Bragg
Referencias¶
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch. 1–2（discusión intuitiva de la dualidad onda-partícula y el principio de incertidumbre）
- 広江克彦『趣味で量子力学』Ch. 2–3（explicación detallada de las ondas de de Broglie y la dualidad onda-partícula）
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Ch. 1（introducción de las relaciones de de Broglie y la interpretación estadística）
- C. Rovelli, Reality Is Not What It Seems, Ch. 6（contexto histórico de la hipótesis del cuanto de luz y las ondas de materia）
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