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Cap. 2 Soluciones

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Índice

Básico

Intermedio

Avanzado

Básico

B-1. En la dispersión Compton, suponiendo que la longitud de onda de los rayos X incidentes es nm. Ángulo de dispersión (retro

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Dispersión Compton: longitud de onda dispersada en retrodispersión (\(\theta = 180°\))

Estrategia de resolución

Se sustituye \(\theta = 180°\) en la fórmula de dispersión Compton \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\).

Cálculo

\[\cos 180° = -1\]
\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - (-1)) = 2 \times \frac{h}{m_e c} = 2 \times 2.43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[\lambda' = \lambda + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 0.0711 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]
\[= 71.1 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} + 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 75.96 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]

Respuesta final

\[\boxed{\lambda' \approx 0.0760\ \mathrm{nm}}\]

Verificación

El cambio en la longitud de onda \(\Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12}\) m es el doble de la longitud de onda Compton, lo cual corresponde al cambio máximo de longitud de onda en la retrodispersión. Respecto a la longitud de onda original de \(71.1\) pm, representa un cambio de aproximadamente 6.8%, un valor perfectamente medible en experimentos con rayos X. Resultado razonable.

B-2. En la ecuación de dispersión Compton (2.1), determina el cambio de longitud de onda para un ángulo de dispersión

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Dispersión Compton: cambio de longitud de onda para \(\theta = 60°\)

Cálculo

\[\cos 60° = 0.5\]
\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0.5) = 2.43 \times 10^{-12} \times 0.5\]

Respuesta final

\[\boxed{\Delta\lambda = 1.22 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 1.22\ \mathrm{pm}}\]

Verificación

\(\theta = 60°\) es un valor intermedio entre \(\theta = 90°\) (\(\Delta\lambda = \lambda_C\)) y \(\theta = 0°\) (\(\Delta\lambda = 0\)). \(\Delta\lambda = \lambda_C / 2\) es la mitad de la longitud de onda de Compton, lo cual es razonable.

B-3. Un protón de masa kg se mueve a una velocidad de m/s. Calcula la longitud de onda de de Broglie

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Longitud de onda de de Broglie del protón

Cálculo

\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4}\]

Denominador:

\[mv = 1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^4 = 5.01 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]
\[\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-23}} = 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]

Respuesta final

\[\boxed{\lambda \approx 1.32 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.132\ \mathrm{\AA}}\]

Verificación

Comprobación dimensional: \([h]/([m][v]) = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\). ✓ El valor es menor que la distancia interatómica (unos pocos Å), y dado que el protón es más pesado que el electrón, es razonable que su longitud de onda sea más corta.

B-4. Longitud de onda de de Broglie de un electrón acelerado con un voltaje V, mediante la fórmula simplificada

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Longitud de onda de de Broglie del electrón con un voltaje de aceleración de 200 V

Cálculo

\[\sqrt{200} = \sqrt{4 \times 50} = 2\sqrt{50} = 2 \times 7.071 = 14.14\]
\[\lambda \approx \frac{1.226}{14.14}\ \mathrm{nm} = 0.0867\ \mathrm{nm}\]

Conversión a unidades de Å:

\[\lambda = 0.0867\ \mathrm{nm} \times 10\ \mathrm{\AA/nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}\]

Respuesta final

\[\boxed{\lambda \approx 0.0867\ \mathrm{nm} = 0.867\ \mathrm{\AA}}\]

Verificación

Para \(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V se tiene \(\lambda \approx 1.00\) Å (según el texto). Como \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V es mayor que 150 V, la longitud de onda debería ser menor. \(1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.100\) nm = 1.00 Å. Para 200 V se obtiene 0.867 Å < 1.00 Å. ✓

B-5. Electrón (masa kg) acelerado por un voltaje de aceleración V, velocidad del electrón mediante la ecuación (2.9)

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Velocidad de un electrón acelerado con un voltaje de aceleración de 54 V

Cálculo

\[v = \sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}\]

Numerador:

\[2eV_{\mathrm{acc}} = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 54 = 1.730 \times 10^{-17}\ \mathrm{J}\]
\[\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} = \frac{1.730 \times 10^{-17}}{9.109 \times 10^{-31}} = 1.899 \times 10^{13}\ \mathrm{m^2/s^2}\]
\[v = \sqrt{1.899 \times 10^{13}} = 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}\]

Respuesta final

\[\boxed{v \approx 4.36 \times 10^6\ \mathrm{m/s}}\]

Verificación

\(v/c = 4.36 \times 10^6 / 3.0 \times 10^8 \approx 0.015\). La aproximación no relativista es válida. En el texto, cuando \(V_{\mathrm{acc}} = 100\) V, \(v \approx 5.93 \times 10^6\) m/s. Como \(v \propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\), se tiene \(v(54\mathrm{V})/v(100\mathrm{V}) = \sqrt{54/100} = 0.735\). \(5.93 \times 10^6 \times 0.735 = 4.36 \times 10^6\). ✓

B-6. Condición de Bragg: longitud de onda de la onda difractada cuando la distancia interplanar es Å, el ángulo de incidencia y el orden son dados

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Obtener la longitud de onda a partir de la condición de Bragg

Cálculo

\[\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n} = \frac{2 \times 0.91 \times \sin 65°}{1}\]
\[\sin 65° \approx 0.906\]
\[\lambda = 2 \times 0.91 \times 0.906 = 1.649\ \mathrm{\AA}\]

Respuesta final

\[\boxed{\lambda \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]

Verificación

Este valor es del mismo orden que la longitud de onda de los electrones obtenida en el experimento de Davisson-Germer (\(\sim 1.65\) Å), y se encuentra dentro del rango observable por difracción cristalina. También se cumple que \(\lambda < 2d = 1.82\) Å, lo cual satisface el requisito de la condición de Bragg. ✓

B-7. Obtener la longitud de onda de de Broglie de un neutrón (masa en kg) con energía cinética en eV. Donde J

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Longitud de onda de de Broglie de un neutrón con energía cinética de 1.0 eV

Cálculo

Conversión de la energía cinética a J:

\[K = 1.0\ \mathrm{eV} = 1.0 \times 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\]

Momento:

\[p = \sqrt{2m_n K} = \sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19}}\]
\[= \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{53.67 \times 10^{-47}} = 7.326 \times 10^{-23.5}\]

Calculemos con más cuidado:

\[2m_n K = 2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} = 5.367 \times 10^{-46}\ \mathrm{kg^2 \cdot m^2/s^2}\]
\[p = \sqrt{5.367 \times 10^{-46}} = \sqrt{5.367} \times 10^{-23} = 2.317 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\]

Longitud de onda de de Broglie:

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.317 \times 10^{-23}} = 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}\]

Respuesta final

\[\boxed{\lambda \approx 2.86 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.286\ \mathrm{\AA}}\]

Verificación

Un neutrón de 1 eV tiene mayor energía que un «neutrón térmico» (\(\sim 0.025\) eV), por lo que su longitud de onda debe ser más corta. La longitud de onda de los neutrones térmicos es \(\sim 1.8\) Å. Como \(\lambda \propto 1/\sqrt{K}\), se tiene \(\lambda(1\mathrm{eV})/\lambda(0.025\mathrm{eV}) = \sqrt{0.025/1} = 0.158\). \(1.8 \times 0.158 \approx 0.28\) Å. ✓

B-8. Expresión de las relaciones de de Broglie usando la frecuencia angular y el número de onda

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Número de onda \(k\) correspondiente a un electrón con longitud de onda de 2.0 Å

Cálculo

\[\lambda = 2.0\ \mathrm{\AA} = 2.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}\]
\[k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2.0 \times 10^{-10}} = \frac{6.283}{2.0 \times 10^{-10}} = 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}\]

Respuesta final

\[\boxed{k \approx 3.14 \times 10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}}\]

Verificación

\(p = \hbar k = 1.055 \times 10^{-34} \times 3.14 \times 10^{10} = 3.31 \times 10^{-24}\) kg·m/s. \(\lambda = h/p = 6.626 \times 10^{-34} / 3.31 \times 10^{-24} = 2.0 \times 10^{-10}\) m = 2.0 Å. ✓

Intermedio

M-1. Derivación de la relación entre voltaje de aceleración y longitud de onda de de Broglie

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Derivación de la relación entre el voltaje de aceleración y la longitud de onda de de Broglie

(a) Expresar el momento \(p\) en función de \(m_e\), \(e\) y \(V_{\mathrm{acc}}\)

Por conservación de la energía, la energía cinética de un electrón acelerado desde el reposo mediante un voltaje de aceleración \(V_{\mathrm{acc}}\) es:

\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

Usando el momento \(p = m_e v\), se tiene \(\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{p^2}{2m_e}\), por lo que:

\[\frac{p^2}{2m_e} = eV_{\mathrm{acc}}\]
\[\boxed{p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

(b) Derivación de la longitud de onda de de Broglie

Sustituyendo el resultado de (a) en la relación de de Broglie \(\lambda = h/p\):

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}}\]

(c) Verificación de la fórmula simplificada mediante sustitución numérica

Calculamos la parte constante:

\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19}}}\]

El contenido del denominador:

\[2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.919 \times 10^{-49}\]
\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = \sqrt{2.919} \times 10^{-24.5} = 1.709 \times 10^{-24.5}\]

Aquí, como \(10^{-24.5} = 10^{-25} \times \sqrt{10} = 3.162 \times 10^{-25}\):

\[\sqrt{2.919 \times 10^{-49}} = 1.709 \times 3.162 \times 10^{-25} = 5.403 \times 10^{-25}\]
\[\frac{h}{\sqrt{2m_e e}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.403 \times 10^{-25}} = 1.226 \times 10^{-9}\ \mathrm{m \cdot V^{1/2}}\]

Por lo tanto:

\[\lambda = \frac{1.226 \times 10^{-9}}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{m} = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}}\]

Verificación

Para \(V_{\mathrm{acc}} = 150\) V se obtiene \(\lambda = 1.226/\sqrt{150} = 1.226/12.25 = 0.1001\) nm = 1.00 Å. Coincide con el ejemplo del texto. ✓

M-2. Cálculo de reproducción del experimento de Davisson-Germer

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Reproducción del cálculo del experimento de Davisson-Germer

(a) Cálculo de la longitud de onda de de Broglie

Utilizando la ecuación (2.12):

\[\lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{1.226}{\sqrt{54}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{7.348}\ \mathrm{nm} = 0.1668\ \mathrm{nm} = 1.668\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\ \mathrm{\AA}}\]

(b) Longitud de onda obtenida a partir de la condición de difracción

Sustituyendo \(d = 2.15\) Å, \(\phi = 50°\), \(n = 1\) en la condición de difracción \(d\sin\phi = n\lambda\):

\[\lambda_{\mathrm{exp}} = d\sin\phi = 2.15 \times \sin 50° = 2.15 \times 0.766 = 1.647\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\ \mathrm{\AA}}\]

(c) Comparación y discusión

Diferencia entre ambos valores:

\[\frac{|\lambda_{\mathrm{dB}} - \lambda_{\mathrm{exp}}|}{\lambda_{\mathrm{dB}}} \times 100\% = \frac{|1.67 - 1.65|}{1.67} \times 100\% \approx 1.2\%\]

La longitud de onda predicha por la hipótesis de de Broglie \(\lambda_{\mathrm{dB}} \approx 1.67\) Å y la longitud de onda medida a partir del experimento de difracción \(\lambda_{\mathrm{exp}} \approx 1.65\) Å coinciden con una diferencia de aproximadamente el 1%. Esta diferencia se encuentra dentro del rango de precisión experimental (errores en la lectura del ángulo, incertidumbre en la distancia interplanar, etc.), por lo que se puede concluir que la hipótesis de ondas de materia de de Broglie \(\lambda = h/p\) fue confirmada experimentalmente.

Verificación

Como posible causa de la pequeña diferencia, se puede considerar el efecto de refracción debido al potencial interno cuando los electrones penetran en el interior del cristal (corrección del voltaje de aceleración). En un análisis preciso real, al incluir esta corrección se obtiene una concordancia aún mejor.

M-3. Análisis estructural de la fórmula de la dispersión Compton

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Análisis estructural de la fórmula de la dispersión Compton

(a) Rango de valores posibles de \(\Delta\lambda\)

\[\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

En el rango \(0 \le \theta \le 180°\), \(\cos\theta\) varía de \(+1\) a \(-1\), por lo que \((1 - \cos\theta)\) varía de \(0\) a \(2\).

\[\boxed{0 \le \Delta\lambda \le \frac{2h}{m_e c} = 4.86 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}}\]
  • \(\theta = 0°\) (dispersión hacia adelante): \(\Delta\lambda = 0\) (sin cambio de longitud de onda)
  • \(\theta = 90°\): \(\Delta\lambda = h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m
  • \(\theta = 180°\) (retrodispersión): \(\Delta\lambda = 2h/(m_e c) = 4.86 \times 10^{-12}\) m (máximo)

(b) Longitud de onda Compton del protón

\[\frac{h}{m_p c} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.673 \times 10^{-27} \times 2.998 \times 10^8}\]
\[= \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.015 \times 10^{-19}} = 1.321 \times 10^{-15}\ \mathrm{m}\]
\[\boxed{\frac{h}{m_p c} \approx 1.32 \times 10^{-15}\ \mathrm{m} = 1.32\ \mathrm{fm}}\]

Razón con la longitud de onda Compton del electrón:

\[\frac{h/(m_e c)}{h/(m_p c)} = \frac{m_p}{m_e} = \frac{1.673 \times 10^{-27}}{9.109 \times 10^{-31}} \approx 1836\]

La longitud de onda Compton del protón es aproximadamente \(1/1836\) veces la del electrón; comparada con el caso del electrón (\(2.43\) pm), es unas 1840 veces menor (\(1.32\) fm).

(c) Explicación de que "cuanto más ligera es la partícula, mayor es el cambio de longitud de onda"

El cambio de longitud de onda en la dispersión Compton es:

\[\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\]

Aquí, \(h/(mc)\) es inversamente proporcional a la masa \(m\) de la partícula contra la cual se dispersa. Por lo tanto:

  • Cuando la dispersión ocurre con una partícula de masa pequeña (electrón): la longitud de onda Compton es grande y el cambio de longitud de onda también es grande
  • Cuando la dispersión ocurre con una partícula de masa grande (protón): la longitud de onda Compton es pequeña y el cambio de longitud de onda también es pequeño

Físicamente, cuanto más ligera es la partícula, más momento recibe del fotón y mayor es su retroceso, por lo que la energía que pierde el fotón (= el aumento de longitud de onda) es mayor. Por el contrario, para una partícula muy pesada (\(m \to \infty\)), \(\Delta\lambda \to 0\), recuperándose la dispersión Thomson clásica (sin cambio de longitud de onda).

Verificación

El límite \(\Delta\lambda \to 0\) cuando \(m \to \infty\) es consistente con la intuición clásica de que una pelota lanzada contra una pared pesada rebota con prácticamente la misma velocidad (sin cambio de energía). ✓

M-4. Análisis de la difracción de electrones mediante la condición de Bragg

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Análisis de difracción de electrones simulando el experimento de G. P. Thomson

(a) Longitud de onda de de Broglie del electrón

\[\lambda = \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{\sqrt{10000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{100}\ \mathrm{nm} = 0.01226\ \mathrm{nm}\]
\[\boxed{\lambda = 0.1226\ \mathrm{\AA}}\]

(b) Ángulo de difracción \(\theta\) para \(n = 1\)

A partir de la condición de Bragg \(2d\sin\theta = n\lambda\):

\[\sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} = \frac{1 \times 0.1226}{2 \times 2.34} = \frac{0.1226}{4.68} = 0.02620\]
\[\theta = \arcsin(0.02620) \approx 1.50°\]

Como \(\sin\theta \approx 0.0262\) es suficientemente pequeño, también se puede usar la aproximación de ángulo pequeño \(\sin\theta \approx \theta\) (en radianes): \(\theta \approx 0.0262\) rad \(= 1.50°\).

\[\boxed{\theta \approx 1.50°}\]

(c) Caso en que el voltaje de aceleración es 20,000 V

Explicación cualitativa: Como \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\), al duplicar el voltaje de aceleración la longitud de onda se reduce por un factor de \(1/\sqrt{2}\). Por la condición de Bragg \(\sin\theta = \lambda/(2d)\), \(\sin\theta\) también se reduce por un factor de \(1/\sqrt{2}\), por lo que el ángulo de difracción disminuye.

Cálculo concreto:

\[\lambda' = \frac{1.226}{\sqrt{20000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{141.4}\ \mathrm{nm} = 0.008671\ \mathrm{nm} = 0.08671\ \mathrm{\AA}\]
\[\sin\theta' = \frac{0.08671}{2 \times 2.34} = \frac{0.08671}{4.68} = 0.01853\]
\[\theta' = \arcsin(0.01853) \approx 1.06°\]
\[\boxed{\theta' \approx 1.06°}\]

Verificación: \(\theta'/\theta = 1.06°/1.50° = 0.707 = 1/\sqrt{2}\) (en el rango donde se cumple la aproximación de ángulo pequeño, \(\theta \propto \lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\)). ✓

Comprobación

Es físicamente razonable que electrones de mayor energía tengan longitudes de onda más cortas y ángulos de difracción más pequeños. En el experimento de G. P. Thomson se utilizaron voltajes de aceleración de decenas de miles de voltios y se observaron anillos de difracción a ángulos pequeños, lo cual es consistente con estos resultados calculados.

Avanzado

A-1. Derivación de la fórmula de la dispersión Compton

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Derivación de la fórmula de la dispersión Compton

(a) Conservación de la energía

La energía del fotón incidente es \(hc/\lambda\), y la energía del fotón dispersado es \(hc/\lambda'\). Como el electrón está inicialmente en reposo, su energía inicial es únicamente la energía en reposo \(m_e c^2\). La energía del electrón después de la dispersión es \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\).

Conservación de la energía:

\[\boxed{\frac{hc}{\lambda} + m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}} \tag{A1.1}\]

(b) Conservación del momento

Tomamos la dirección de incidencia como el eje \(x\) y la dirección perpendicular como el eje \(y\). El momento del fotón incidente es \(h/\lambda\) (dirección \(x\)). El fotón dispersado se propaga en la dirección del ángulo \(\theta\), y el electrón de retroceso se propaga en la dirección del ángulo \(\varphi\).

Componente \(x\):

\[\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\theta + p_e\cos\varphi \tag{A1.2}\]

Componente \(y\):

\[0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta - p_e\sin\varphi \tag{A1.3}\]

(c) Eliminación de \(\varphi\) y obtención de \(p_e^2\)

Reordenando la ecuación (A1.2):

\[p_e\cos\varphi = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta \tag{A1.4}\]

Reordenando la ecuación (A1.3):

\[p_e\sin\varphi = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta \tag{A1.5}\]

Elevamos al cuadrado (A1.4) y (A1.5) y las sumamos (utilizando \(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\)):

\[p_e^2 = \left(\frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\sin\theta\right)^2\]

Expandiendo:

\[p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2\cos^2\theta}{\lambda'^2} + \frac{h^2\sin^2\theta}{\lambda'^2}\]
\[= \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{h^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{\lambda'^2}\]
\[\boxed{p_e^2 = \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda'^2} - \frac{2h^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}} \tag{A1.6}\]

(d) Obtención de \(p_e^2 c^2\) a partir de la conservación de la energía y derivación de la fórmula de Compton

Reordenamos la ecuación (A1.1) dejando la energía del electrón de retroceso en el lado izquierdo:

\[\sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\]

Elevamos ambos lados al cuadrado:

\[(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} + m_e c^2\right)^2\]

Expandimos el lado derecho. Definiendo \(A = hc/\lambda - hc/\lambda'\) y \(B = m_e c^2\):

\[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]
\[p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)m_e c^2 + m_e^2 c^4\]

\(m_e^2 c^4\) se cancela en ambos lados:

\[p_e^2 c^2 = \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 + 2m_e c^2\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)\]

Expandimos \(A^2\) en el lado izquierdo:

\[\left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'}\right)^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\]

Por lo tanto:

\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) \tag{A1.7}\]

Por otro lado, multiplicando (A1.6) por \(c^2\):

\[p_e^2 c^2 = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right) \tag{A1.8}\]

Igualando (A1.7) y (A1.8):

\[h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\right)\]

Cancelamos \(h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}\right)\) en ambos lados:

\[-\frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'} + 2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'}\]

Reordenando:

\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2h^2c^2\cos\theta}{\lambda\lambda'} + \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}\]
\[2m_e c^3 h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{2h^2c^2}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

Dividimos ambos lados por \(2hc^2\):

\[m_e c\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

Transformamos el lado izquierdo:

\[\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'}\]

Sustituyendo:

\[m_e c \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda\lambda'} = \frac{h}{\lambda\lambda'}(1 - \cos\theta)\]

Multiplicamos ambos lados por \(\lambda\lambda'\):

\[m_e c(\lambda' - \lambda) = h(1 - \cos\theta)\]
\[\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)}\]

Verificación

  • Caso \(\theta = 0\): \(\lambda' - \lambda = 0\). En la dispersión hacia adelante no hay cambio de longitud de onda. Como el fotón apenas roza, es físicamente razonable. ✓
  • Análisis dimensional: \([h/(m_e c)] = \mathrm{J \cdot s}/(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}) = \mathrm{kg \cdot m^2/s}/(\mathrm{kg \cdot m/s}) = \mathrm{m}\). Dimensiones de longitud de onda. ✓
  • Caso \(\theta = 180°\): \(\Delta\lambda = 2h/(m_e c)\). Cambio máximo de longitud de onda. En la retrodispersión el fotón transfiere la máxima energía al electrón, lo cual es razonable. ✓

A-2. Longitud de onda de de Broglie del electrón relativista y aplicación al microscopio electrónico

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Longitud de onda de de Broglie del electrón relativista y aplicación a la microscopía electrónica

(a) Derivación del momento relativista

Relación energía-momento relativista:

\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

Cuando un electrón es acelerado por un voltaje de aceleración \(V_{\mathrm{acc}}\), la energía total es:

\[E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\]

Sustituyendo y resolviendo para \(p\):

\[(m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]
\[(pc)^2 = (m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\]

Expandiendo el lado derecho:

\[(m_e c^2)^2 + 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[p^2 c^2 = 2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\]
\[\boxed{p = \frac{1}{c}\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]

(b) Longitud de onda de de Broglie relativista

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2}}\]

Factorizando \(2m_e eV_{\mathrm{acc}}\) del denominador:

\[p^2 = \frac{1}{c^2}\left[2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\right] = 2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)\]
\[p = \sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}\]

Por lo tanto:

\[\boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}}\]

En el límite no relativista (\(eV_{\mathrm{acc}} \ll m_e c^2\)), el término de corrección dentro del paréntesis se puede despreciar, recuperando \(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}\). ✓

(c) Cálculo numérico para \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV

Longitud de onda no relativista:

\[\lambda_{\mathrm{NR}} = \frac{1.226}{\sqrt{200{,}000}}\ \mathrm{nm} = \frac{1.226}{447.2}\ \mathrm{nm} = 2.742 \times 10^{-3}\ \mathrm{nm} = 0.02742\ \mathrm{\AA}\]

Factor de corrección relativista:

\[eV_{\mathrm{acc}} = 200\ \mathrm{keV},\quad m_e c^2 = 511\ \mathrm{keV}\]
\[\frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = \frac{200}{2 \times 511} = \frac{200}{1022} = 0.1957\]
\[1 + \frac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2} = 1.1957\]

Longitud de onda relativista:

\[\lambda_{\mathrm{rel}} = \frac{\lambda_{\mathrm{NR}}}{\sqrt{1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}}} = \frac{0.02742}{\sqrt{1.1957}}\ \mathrm{\AA} = \frac{0.02742}{1.0935}\ \mathrm{\AA} = 0.02508\ \mathrm{\AA}\]
\[\boxed{\lambda_{\mathrm{NR}} \approx 0.0274\ \mathrm{\AA},\quad \lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA}}\]

Diferencia porcentual:

\[\frac{\lambda_{\mathrm{NR}} - \lambda_{\mathrm{rel}}}{\lambda_{\mathrm{rel}}} \times 100\% = \frac{0.0274 - 0.0251}{0.0251} \times 100\% \approx 9.2\%\]

La fórmula no relativista sobreestima el valor correcto relativista en aproximadamente 9%. Para un voltaje de aceleración de 200 kV, la corrección relativista no es despreciable.

(d) Posibilidad de observar estructuras a nivel atómico

La longitud de onda de de Broglie de los electrones utilizados en un microscopio electrónico con \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV es:

\[\lambda_{\mathrm{rel}} \approx 0.0251\ \mathrm{\AA} = 2.51 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}\]

Dado que el tamaño de las estructuras a nivel atómico es \(\sim 1\) Å \(= 10^{-10}\) m, la longitud de onda del electrón es aproximadamente 40 veces más corta.

Puesto que la resolución limitada por difracción es del orden de la longitud de onda utilizada, desde el punto de vista de la longitud de onda es posible resolver suficientemente las estructuras a nivel atómico. En los microscopios electrónicos reales, la resolución es inferior al límite teórico debido a las aberraciones de las lentes, entre otros factores, pero con las técnicas modernas de corrección de aberraciones se ha logrado resolución atómica (\(\sim 1\) Å o menor).

\[\boxed{\text{La longitud de onda } 0.025\ \mathrm{\AA} \ll 1\ \mathrm{\AA} \text{, por lo que la observación a nivel atómico es en principio plenamente posible.}}\]

Verificación

  • Confirmación del límite no relativista: \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2) = 0.196\) no es despreciable, lo cual es consistente con la necesidad de la corrección relativista.
  • Límite \(V_{\mathrm{acc}} \to 0\): El factor de corrección \(\to 1\), recuperando la fórmula no relativista. ✓
  • Orden de magnitud de la longitud de onda: Que la longitud de onda de un microscopio electrónico a 200 kV sea \(\sim 0.025\) Å coincide con los valores de los libros de texto de microscopía electrónica. ✓