Prólogo Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Análisis dimensional en unidades naturales
- B-2. Producto escalar de cuadrivectores
- B-3. Umbral de producción de partículas
- B-4. Operación matricial del boost de Lorentz
- B-5. Cinemática de la creación de pares electrón-positrón
- B-6. Práctica de contracción de índices
- B-7. Sentido de escala
Intermedio
- M-1. Principio de incertidumbre y cambio en el número de partículas
- M-2. Vibración de una cuerda y "partículas"
- M-3. Falsabilidad y concordancia de precisión
- M-4. Análisis dimensional de la escala de Planck
Avanzado
Básico¶
B-1. Análisis dimensional en unidades naturales¶
En la teoría cuántica de campos se utiliza frecuentemente el sistema de unidades naturales \(\hbar = c = 1\). En este sistema de unidades, la dimensión de todas las magnitudes físicas puede expresarse como "potencias de masa" \([\text{mass}]^n\). Determina la dimensión de masa \(n\) para cada una de las siguientes magnitudes físicas.
(a) Energía \(E\)
(b) Longitud \(\ell\)
(c) Tiempo \(t\)
(d) Momento \(p\)
(e) Acción \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) (donde \(d^4x = dt\,d^3x\))
Pista
Si se establece \(\hbar = c = 1\), entonces \([E] = [\text{mass}]\), y a partir de \([\hbar] = [E][t] = 1\) se determina \([t]\). De \(c = [\ell]/[t] = 1\) se determina también \([\ell]\). La acción \(S\) tiene las unidades de \(\hbar\), por lo que \([S] = [\hbar] = ?\).
B-2. Producto escalar de cuadrivectores¶
Sea la métrica de Minkowski \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\) (convención "mostly minus"). Para el cuadrimomento \(p^\mu = (E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\), calcula lo siguiente.
(a) Escribe cada componente de \(p_\mu = \eta_{\mu\nu}\,p^\nu\).
(b) Expresa el invariante \(p^\mu p_\mu\) en términos de \(E\) y \(|\mathbf{p}|\).
(c) Verifica que la condición de capa de masa (on-shell condition) \(p^\mu p_\mu = m^2\) (en unidades naturales) corresponde a \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) en unidades convencionales.
Pista
Como \(p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\nu\), se tiene \(p_0 = +E\), \(p_i = -p^i\). El producto escalar es \(p^\mu p_\mu = E^2 - |\mathbf{p}|^2\). Para restaurar \(c = 1\) en el sistema de unidades naturales, rastrea las dimensiones con \(E \to E/c\), \(m \to mc\).
B-3. Umbral de producción de partículas¶
En unidades naturales (\(c = 1\)), consideramos el caso en que una partícula incidente (masa \(m\), energía cinética \(T\)) colisiona con una partícula blanco en reposo (masa \(M\)) para producir partículas con masa total \(m_1 + m_2 + \cdots + m_n\).
(a) Cuando la energía total de la partícula incidente se escribe como \(E = m + T\), expresa la masa invariante del sistema centro de masa \(\sqrt{s}\) en términos de \(E\), \(m\) y \(M\). Donde
(b) Considera la reacción mínima \(p + p \to p + p + H\) para producir un bosón de Higgs (masa \(m_H \approx 125\;\mathrm{GeV}\)) haciendo incidir un haz de protones sobre un protón blanco en reposo (masa \(m_p \approx 0.938\;\mathrm{GeV}\)). A partir de la condición de umbral \(\sqrt{s} = 2m_p + m_H\), determina la energía cinética mínima \(T_{\mathrm{thr}}\) necesaria para el protón incidente (valor numérico en unidades de GeV).
Pista
Como el blanco está en reposo, \(p_2^\mu = (M, \mathbf{0})\). Desarrolla \(s = (E + M)^2 - |\mathbf{p}_1|^2\) y utiliza \(E^2 - |\mathbf{p}_1|^2 = m^2\). En el umbral, todas las partículas se producen en reposo en el sistema centro de masa, por lo que \(\sqrt{s} = \sum m_{\text{final}}\).
B-4. Operación matricial del boost de Lorentz¶
La matriz de transformación del boost de Lorentz en la dirección \(x\) está dada por
donde \(\beta = v/c\), \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\).
(a) Calcula \(\gamma\) cuando \(\beta = 3/5\).
(b) Aplica este boost al cuadrimomento \(p^\mu = (5m,\, 3m,\, 0,\, 0)\) y obtén \(p'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, p^\nu\).
(c) Verifica mediante cálculo directo que se cumple \(p'^\mu p'_\mu = p^\mu p_\mu\) (conservación del invariante de Lorentz).
Pista
Si \(\beta = 3/5\), entonces \(\beta^2 = 9/25\), \(1 - \beta^2 = 16/25\), \(\gamma = 5/4\). Calcula el producto de la matriz por el vector componente a componente.
B-5. Cinemática de la creación de pares electrón-positrón¶
Considera la reacción \(\gamma + N \to N + e^- + e^+\), en la que un fotón (\(m_\gamma = 0\)) produce un par electrón-positrón (\(e^-e^+\)) en la proximidad de un núcleo atómico en reposo (masa \(M \gg m_e\)).
(a) Siendo \(E_\gamma\) la energía del fotón, expresa la masa invariante \(\sqrt{s}\) del sistema en función de \(E_\gamma\) y \(M\).
(b) A partir de la condición de umbral para la creación de pares \(\sqrt{s} = M + 2m_e\), determina la energía mínima del fotón \(E_\gamma^{\min}\) necesaria. Simplifica la respuesta usando la aproximación \(M \gg m_e\).
(c) Con \(m_e = 0.511\;\mathrm{MeV}\), calcula el valor numérico de \(E_\gamma^{\min}\) en unidades de MeV (en el límite \(M \to \infty\)).
Pista
El cuadrimomento del fotón es \(k^\mu = (E_\gamma, E_\gamma, 0, 0)\) (dado que su masa es cero, \(|\mathbf{k}| = E_\gamma\)). Desarrolla \(s = (k + P_N)^\mu(k + P_N)_\mu\). Para \(M \gg m_e\) se tiene \(E_\gamma^{\min} \approx 2m_e + 2m_e^2/M \approx 2m_e\).
B-6. Práctica de contracción de índices¶
En el espacio-tiempo de Minkowski de 4 dimensiones, realiza las siguientes contracciones de índices.
(a) \(\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}\)
(b) \(\partial_\mu x^\mu\) (donde \(x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3)\))
(c) Escribe explícitamente \(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \phi \equiv \Box\phi\) en términos de derivadas parciales respecto a \((x^0, x^1, x^2, x^3)\) (\(\Box\) es el operador de d'Alembert).
Pista
(a) $\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = $ dimensión del espacio-tiempo. (b) Usa \(\partial_\mu x^\nu = \delta^\nu_\mu\). (c) \(\eta^{00} = +1\), \(\eta^{ii} = -1\).
B-7. Sentido de escala¶
En el texto se mencionó que "la teoría cuántica de campos puede describir fenómenos que difieren en más de 40 órdenes de magnitud en escala, desde el momento magnético de un solo electrón hasta la estructura del universo entero". Estima los siguientes escalas de energía en unidades de eV y ordénalas de mayor a menor.
(a) Energía en reposo del electrón \(m_e c^2\)
(b) Energía en reposo del bosón de Higgs \(m_H c^2 \approx 125\;\mathrm{GeV}\)
(c) Energía típica de un fotón del CMB (radiación cósmica de fondo de microondas) (estimada como \(E \sim k_B T\) a partir de la temperatura \(T \approx 2.725\;\mathrm{K}\). \(k_B \approx 8.617 \times 10^{-5}\;\mathrm{eV/K}\))
(d) Energía de colisión en el centro de masa del LHC \(\sqrt{s} = 13\;\mathrm{TeV}\)
Pista
\(1\;\mathrm{GeV} = 10^9\;\mathrm{eV}\), \(1\;\mathrm{TeV} = 10^{12}\;\mathrm{eV}\), \(m_e c^2 \approx 0.511\;\mathrm{MeV} = 5.11 \times 10^5\;\mathrm{eV}\). El CMB es del orden de \(\sim 10^{-4}\;\mathrm{eV}\).
Intermedio¶
M-1. Principio de incertidumbre y cambio en el número de partículas¶
Combinando la relación de incertidumbre entre energía y tiempo aprendida en mecánica cuántica
con la equivalencia masa-energía de la relatividad especial \(E = mc^2\), discute lo siguiente.
(a) Cuando se intenta localizar una partícula de masa \(m\) en una región espacial menor que \(\Delta x\), a partir de la incertidumbre en el momento \(\Delta p \gtrsim \hbar / \Delta x\), deduce la condición para que la energía cinética de la partícula supere \(mc^2\). Expresa esta escala de longitud crítica \(\Delta x_c\) en términos de \(m\), \(\hbar\), \(c\) (indicando explícitamente la relación con la longitud de onda de Compton \(\lambda_C\)).
(b) Discute que en la región \(\Delta x < \lambda_C\), dado que la incertidumbre en la energía supera \(mc^2\), pueden generarse nuevos pares partícula-antipartícula mediante \(E = mc^2\). Explica por qué esto implica la ruptura de la "mecánica cuántica de una partícula con número de partículas fijo".
(c) Calcula numéricamente la longitud de onda de Compton del electrón \(\lambda_C = \hbar/(m_e c)\) (en unidades de fm) y verifica que es del mismo orden que el tamaño del núcleo atómico (\(\sim\) unos pocos fm). Discute que en física atómica (escala \(\sim 0.1\;\mathrm{nm}\)) se puede ignorar el cambio en el número de partículas, pero en física nuclear y de partículas elementales no es posible ignorarlo.
Pista
(a) A partir de \(\Delta p \sim \hbar/\Delta x\), la condición para que la energía cinética \(\sim (\Delta p)^2/(2m)\) supere \(mc^2\), o de forma más directa en el régimen relativista \(c\Delta p \sim mc^2\). (b) Discute que la energía de la creación virtual de pares entra dentro del rango de la incertidumbre. (c) \(\hbar c \approx 197\;\mathrm{MeV \cdot fm}\), \(m_e c^2 \approx 0.511\;\mathrm{MeV}\).
M-2. Vibración de una cuerda y "partículas"¶
La vibración transversal \(\phi(x, t)\) de una cuerda infinitamente larga (densidad lineal \(\mu\), tensión \(T\)) obedece la ecuación de ondas
(a) Definiendo \(v = \sqrt{T/\mu}\), reescribe esta ecuación en la forma \(\Box\phi = 0\) (ecuación de d'Alembert en 1+1 dimensiones).
(b) Escribe la solución general de una cuerda de longitud \(L\) (con ambos extremos fijos) como una serie de Fourier y determina la frecuencia \(\omega_n\) de cada modo \(n\).
(c) Recordando la cuantización del oscilador armónico que aprendiste en mecánica cuántica, la energía de cada modo \(n\) es
Si se interpreta \(N_n\) como "el número de partículas presentes en el modo \(n\)", esto es precisamente el prototipo de la teoría cuántica de campos. Utilizando esta analogía, reformula en términos de la vibración de una cuerda la explicación de Lina en el texto principal de que "los modos de vibración del campo son partículas".
Pista
(a) \(\partial_t^2 \phi - v^2 \partial_x^2 \phi = 0\). (b) \(\phi(x,t) = \sum_n q_n(t)\sin(n\pi x/L)\) y entonces \(\omega_n = n\pi v/L\). (c) "La cuerda en su conjunto" corresponde al campo, y "los cuantos de energía de cada modo de vibración" corresponden a las partículas.
M-3. Falsabilidad y concordancia de precisión¶
En el texto, Lina afirma que "la teoría cuántica de campos no es una verdad sino un modelo" y cita el ejemplo de cómo el modelo gravitatorio de Newton fue obligado a ser revisado por la precesión del perihelio de Mercurio.
(a) El valor teórico QED del momento magnético anómalo del electrón \(a_e = (g-2)/2\) se calcula actualmente como una expansión en potencias de \(\alpha\) (constante de estructura fina (fine-structure constant)) de la forma
Calcula el valor numérico del término de orden más bajo \(\alpha/(2\pi)\) con 4 cifras significativas, usando \(\alpha \approx 1/137.036\).
(b) Este valor se compara con \(a_e \approx 0.00116\). Después de confirmar que solo el término de orden más bajo ya explica la mayor parte del valor experimental, argumenta en aproximadamente 200 caracteres por qué "calcular términos de orden superior y compararlos con el experimento" es importante en la metodología científica, desde el punto de vista de la falsabilidad (falsifiability).
(c) Supongamos que en el futuro el valor teórico y el valor experimental de \(a_e\) discrepan en la decimoquinta cifra decimal. ¿Significa esto que la teoría cuántica de campos (QED) está "equivocada"? Argumenta basándote en la postura de filosofía de la ciencia presentada en el texto.
Pista
(a) \(\alpha/(2\pi) = 1/(2\pi \times 137.036)\). (b) Los términos de orden superior son sensibles a efectos de nueva física (partículas desconocidas, etc.). Si hay concordancia, aumenta la confiabilidad del modelo; si hay discrepancia, se requiere una modificación del modelo (o el descubrimiento de nueva física). (c) Debe interpretarse como que "se ha encontrado el límite del rango de aplicabilidad del modelo", y no que el modelo sea completamente "erróneo". De manera análoga a cómo la mecánica de Newton sigue siendo válida en escalas cotidianas.
M-4. Análisis dimensional de la escala de Planck¶
Deriva la masa de Planck \(M_P\), la longitud de Planck \(\ell_P\) y el tiempo de Planck \(t_P\), construidos a partir de la constante gravitacional \(G\), la constante de Planck \(\hbar\) y la velocidad de la luz \(c\), mediante análisis dimensional.
(a) Demuestra que \(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\) a partir del análisis dimensional de \([G]\), \([\hbar]\) y \([c]\).
(b) Expresa \(\ell_P\) y \(t_P\) en términos de \(G\), \(\hbar\) y \(c\).
(c) Usando \(G \approx 6.674 \times 10^{-11}\;\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\), \(\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) y \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\), calcula los valores numéricos de \(M_P\), \(\ell_P\) y \(t_P\) en unidades del SI.
(d) Convierte \(M_P c^2\) a unidades de GeV y compáralo con la energía en el centro de masa del LHC de \(13\;\mathrm{TeV}\). Describe en aproximadamente 100 caracteres la relación entre la enormidad de esta escala y la afirmación del texto de que «la teoría cuántica de campos colapsa cuando se intenta incorporar la gravedad».
Pista
\([G] = \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\), \([\hbar] = \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}\), \([c] = \mathrm{m\,s^{-1}}\). Propón \(M_P = G^a \hbar^b c^d\) y determina \(a, b, d\) a partir de \([M_P] = \mathrm{kg}\). \(1\;\mathrm{GeV} \approx 1.602 \times 10^{-10}\;\mathrm{J}\).
Avanzado¶
A-1. Indistinguibilidad de partículas idénticas (consecuencia en la teoría cuántica de campos)¶
En el texto, Lina afirmó que "todos los electrones son perfectamente idénticos porque son el mismo tipo de vibración del mismo campo". En la mecánica cuántica, la indistinguibilidad de partículas idénticas se impone como un axioma, pero en la teoría cuántica de campos se deriva como un teorema. A través de la siguiente discusión, revive este cambio de visión del mundo.
(a) Recuerda la mecánica cuántica (contenido aprendido en los capítulos 16–17) y describe brevemente cómo se justificaba, dentro del marco de la mecánica cuántica, que la función de onda de dos bosones idénticos debe ser simétrica bajo intercambio (señala que esto se imponía como un axioma).
(b) En la teoría cuántica de campos, los estados de dos partículas se definen mediante los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}}\) que aparecen en la expansión de Fourier del campo escalar \(\hat{\phi}(x)\):
Demuestra que, a partir de la relación de conmutación del campo bosónico \([\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}] = 0\), se cumple automáticamente que \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle\).
(c) De manera análoga, a partir de la relación de anticonmutación de los operadores de creación fermiónicos del campo de Dirac \(\{\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}, \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\} = 0\), demuestra que el estado de dos fermiones es antisimétrico bajo intercambio, y que cuando \(\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_2\), \(s_1 = s_2\), el estado se anula (principio de exclusión de Pauli).
(d) Basándote en lo anterior, argumenta en aproximadamente 300 caracteres la afirmación "la indistinguibilidad de partículas idénticas y la relación espín-estadística no son axiomas sino consecuencias en la teoría cuántica de campos", haciendo referencia a la diferencia de visión del mundo entre la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.
Pista
(b) \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2} = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1} + [\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}]\). Como la relación de conmutación es cero, el lado izquierdo es igual al primer término del lado derecho. (c) De la relación de anticonmutación \(\{A, B\} = AB + BA = 0\) se obtiene \(AB = -BA\). Cuando \(A = B\), de \(A^2 = -A^2\) se deduce \(A^2 = 0\). (d) Enfatiza que lo que en la mecánica cuántica se imponía de manera ad hoc como "postulado de simetrización" se deriva naturalmente de la estructura de la cuantización de campos (relaciones de conmutación vs. anticonmutación).
A-2. Análisis dimensional de la constante de acoplamiento gravitatoria y no renormalizabilidad¶
En el texto se mencionó que «cuando se intenta incorporar la gravedad en la teoría cuántica de campos, los cálculos divergen al infinito y se vuelven incontrolables». El núcleo de este problema reside en que la constante de acoplamiento gravitatoria posee una dimensión de masa negativa. A través de la siguiente discusión, percibe el «indicio» de la no renormalizabilidad únicamente a partir del análisis dimensional.
(a) La constante de acoplamiento de la QED (la carga \(e\)) es adimensional en unidades naturales. Para verificarlo, determina la dimensión de masa de cada factor en la densidad lagrangiana de interacción de la QED
y demuestra que \([e] = [\text{mass}]^0\). Considera que en 4 dimensiones espacio-temporales \([\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4\), el campo fermiónico \([\psi] = [\text{mass}]^{3/2}\) y el campo de gauge \([A_\mu] = [\text{mass}]^1\).
(b) La acción de Einstein-Hilbert de la relatividad general (véase Cap. 6) es
Determina la dimensión de masa de \([G]\) en unidades naturales, dado que \([S] = [\text{mass}]^0\), \([d^4x] = [\text{mass}]^{-4}\) y el escalar de Ricci \([R] = [\text{mass}]^2\). Además, obtén la dimensión de masa de la constante de acoplamiento gravitatoria \(\kappa = \sqrt{32\pi G}\).
(c) Como resultado general de la teoría cuántica de campos, cuando la dimensión de masa de una constante de acoplamiento \(g\) es \([g] = [\text{mass}]^\delta\): - \(\delta > 0\): superrenormalizable (super-renormalizable) - \(\delta = 0\): renormalizable (renormalizable) - \(\delta < 0\): no renormalizable (non-renormalizable)
(los detalles se estudiarán en Cap. 16). Clasifica la QED y la gravedad según esta clasificación.
(d) En una teoría no renormalizable, con cada orden de bucle aparecen nuevos tipos de divergencias que no pueden absorberse con un número finito de parámetros. Combinando esto con la explicación de Rina en el texto sobre cómo la teoría de cuerdas suaviza las divergencias al reemplazar «partículas puntuales» por «cuerdas con extensión finita», argumenta en aproximadamente 300 caracteres «por qué la cuantización de la gravedad requiere un marco que vaya más allá de la teoría cuántica de campos».
Pista
(a) \([\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\, A_\mu] = [3/2 + 3/2 + 1] = [\text{mass}]^4\), por lo que para que la dimensión de \(\mathcal{L}_{\mathrm{int}}\) sea consistente se necesita \([e] = 0\). (b) De \([G^{-1}] \cdot [\text{mass}]^{-4} \cdot [\text{mass}]^2 = [\text{mass}]^0\) se obtiene \([G^{-1}] = [\text{mass}]^2\), es decir, \([G] = [\text{mass}]^{-2}\). (c) \([\kappa] = [G]^{1/2} = [\text{mass}]^{-1}\). (d) \(\delta < 0\) significa que el acoplamiento se fortalece a altas energías, y en cada orden de la expansión perturbativa aparecen nuevos tipos de divergencias. Con un número finito de contratérminos (counterterms) resulta imposible controlarlas.
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