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Apéndice D Ejercicios

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Índice

Básico

Intermedio

Básico

B-1. Grupo aditivo de los enteros

Verifica que la adición de los enteros \((\mathbb{Z}, +)\) satisface las cuatro condiciones de grupo.

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B-2. Grupo multiplicativo de los reales positivos

Verifica que el conjunto de todos los números reales positivos con la multiplicación \((\mathbb{R}^+, \times)\) forma un grupo. ¿Cuáles son el elemento neutro y el inverso?

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B-3. La multiplicación de enteros no forma un grupo

Demuestra que el conjunto de todos los enteros \(\mathbb{Z}\) con la multiplicación usual \(\times\) como operación, \((\mathbb{Z}, \times)\), no forma un grupo, verificando uno por uno los axiomas de grupo (cerradura, asociatividad, elemento neutro e inverso).

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B-4. Condiciones de grupo de \(U(1)\)

Verifica que los elementos \(e^{i\theta}\) de \(U(1)\) satisfacen las condiciones de grupo.

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B-5. Rotación 3D alrededor del eje \(z\)

La matriz de rotación alrededor del eje \(z\) en el espacio tridimensional viene dada por

\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\\sin\theta & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

Demuestra que se cumple \(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2) = R_z(\theta_1 + \theta_2)\) calculando explícitamente el producto de matrices.

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B-6. Relación de conmutación de las matrices de Pauli \([\sigma_1, \sigma_2]\)

Para las matrices de Pauli \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\), verifica que \([\sigma_1, \sigma_2] = 2i\sigma_3\) calculando explícitamente el producto de matrices.

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B-7. Relaciones de conmutación de las matrices de Pauli (todas las combinaciones)

Calcula también \([\sigma_2, \sigma_3]\) y \([\sigma_3, \sigma_1]\), y verifica que \([\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) se cumple para todas las combinaciones.

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B-8. Antisimetría del conmutador

Demuestra a partir de la definición que \([A, B] = -[B, A]\) (antisimetría del conmutador).

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B-9. Autovalores y autovectores del espín 1/2

El estado de una partícula de espín \(1/2\) se representa mediante un vector de dos componentes \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\). Encuentra los autovalores y autovectores de \(\sigma_3\) y confirma que corresponden a "espín hacia arriba" y "espín hacia abajo".

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Intermedio

M-1. Representación exponencial de elementos de \(SU(2)\)

Calcula explícitamente la matriz \(2 \times 2\) \(U = e^{i\theta\sigma_3/2}\) (usando \(e^{iA} = I + iA + (iA)^2/2! + \cdots\). Como \(\sigma_3\) es una matriz diagonal, es sencillo). Verifica que \(U^\dagger U = I\) y \(\det U = 1\).

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M-2. Identidad de Jacobi (verificación con matrices de Pauli)

Utilizando las matrices de Pauli \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\), verifica mediante cálculo explícito que la identidad de Jacobi

\[ [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 \]

se cumple para el caso \(A = \sigma_1,\; B = \sigma_2,\; C = \sigma_3\).

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M-3. Número de parámetros de \(SU(N)\)

Demuestra que el número de parámetros de \(SU(N)\) es \(N^2 - 1\), usando el argumento de que "al número de parámetros \(N^2\) de una matriz unitaria \(N \times N\) se le resta 1 por la condición \(\det = 1\)". Verifica los casos \(N = 2, 3\).

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