Apéndice A Ejercicios¶
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Índice
Básico
- B-1. Multiplicación de números complejos
- B-2. División de números complejos
- B-3. Valor absoluto y conjugado complejo
- B-4. Conversión a forma polar
- B-5. Potencias de \(i\)
- B-6. Reglas de cálculo del conjugado complejo
- B-7. Cálculo de términos de la expansión de Maclaurin
- B-8. Cálculo de \(e^{i\theta}\)
- B-9. Forma polar y reescritura con la fórmula de Euler
- B-10. Cálculo de \(|e^{i\theta}|\)
Intermedio
- M-1. Demostración general de la regla del producto de conjugados complejos
- M-2. Demostración del teorema de de Moivre
- M-3. Derivación de la fórmula de división en forma polar
- M-4. Representación exponencial de \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\)
- M-5. Condiciones para que un número complejo sea real
Avanzado
Básico¶
B-1. Multiplicación de números complejos¶
Expresa los siguientes productos en la forma \(a + bi\).
(a) \((2 + 3i)(4 - i)\)
(b) \((1 + i)^3\)
(c) \((-2 + i)(3 + 2i)\)
Pista
Simplemente expande normalmente y sustituye \(i^2 = -1\). No es necesario memorizar ninguna fórmula. Para (b), conviene calcular primero \((1+i)^2\) y luego multiplicar una vez más por \((1+i)\).
B-2. División de números complejos¶
Simplifica los siguientes cocientes en la forma \(a + bi\).
(a) \(\dfrac{2 + i}{1 + 3i}\)
(b) \(\dfrac{5}{2 - i}\)
(c) \(\dfrac{1 + 2i}{3 - 4i}\)
Pista
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador para convertir el denominador en un número real. Utiliza el método de la ecuación (A.6). Por ejemplo, en (a) multiplica por el conjugado complejo de \(1 + 3i\), que es \(1 - 3i\).
B-3. Valor absoluto y conjugado complejo¶
Para cada uno de los siguientes números complejos, encuentra el conjugado complejo \(z^*\) y el valor absoluto \(|z|\).
(a) \(z = 5 - 12i\)
(b) \(z = -3i\)
(c) \(z = -2 + 2i\)
(d) \(z = 7\) (número real)
Pista
Cuando \(z = a + bi\), se tiene \(z^* = a - bi\), \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). El caso (b) corresponde a \(a = 0\), y el caso (d) a \(b = 0\). Es conveniente verificar usando \(|z|^2 = z z^*\) (ecuación (A.15)).
B-4. Conversión a forma polar¶
Expresa los siguientes números complejos en forma polar \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Da el argumento \(\theta\) en el rango \(-\pi < \theta \leq \pi\).
(a) \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\)
(b) \(z = -2\)
(c) \(z = -1 - i\)
(d) \(z = 3i\)
Pista
Primero calcula \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Luego determina \(\theta\) a partir de \(\tan\theta = b/a\) y la información del cuadrante. (b) es un punto en la dirección negativa del eje real, y (d) es un punto en la dirección positiva del eje imaginario.
B-5. Potencias de \(i\)¶
Calcula los siguientes valores.
(a) \(i^5\)
(b) \(i^{13}\)
(c) \(i^{-1}\)
(d) \(i^{100}\)
Pista
Las potencias de \(i\) son cíclicas con período 4: \(i^0 = 1,\; i^1 = i,\; i^2 = -1,\; i^3 = -i,\; i^4 = 1,\;\ldots\). El resultado se determina por el resto de dividir el exponente entre 4. Para (c), puedes racionalizar \(i^{-1} = 1/i\) multiplicando numerador y denominador por \(i\), o bien considerar que \(i^{-1} = i^3\).
B-6. Reglas de cálculo del conjugado complejo¶
Sea \(z_1 = 2 + i\), \(z_2 = 1 - 3i\). Verifica lo siguiente mediante cálculo directo.
(a) Confirma que se cumple \((z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\) calculando el lado izquierdo y el lado derecho por separado.
(b) Confirma que se cumple \((z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^*\).
Pista
(a) Primero calcula \(z_1 z_2\) y toma el conjugado complejo del resultado (lado izquierdo). Luego multiplica \(z_1^* = 2 - i\) y \(z_2^* = 1 + 3i\) (lado derecho). Si ambos coinciden, está correcto.
B-7. Cálculo de términos de la expansión de Maclaurin¶
Escribe la expansión de Maclaurin de \(e^x\) (ecuación (A.25)) hasta el término de quinto orden, sustituye \(x = 2\) y obtén el valor aproximado de \(e^2\) hasta la segunda cifra decimal. (Referencia: \(e^2 \approx 7.389\))
Pista
$\(e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}\)$ Sustituye \(x = 2\). Utiliza \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\).
B-8. Cálculo de \(e^{i\theta}\)¶
Usando la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), expresa los siguientes valores en la forma \(a + bi\).
(a) \(e^{i\pi/4}\)
(b) \(e^{i\pi/2}\)
(c) \(e^{i\pi}\)
(d) \(e^{-i\pi/3}\)
Pista
Solo tienes que sustituir los valores de \(\cos\) y \(\sin\). Para (d), usa \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\) (sustituyendo \(\theta\) por \(-\theta\) en la ecuación (A.28)).
B-9. Forma polar y reescritura con la fórmula de Euler¶
Expresa los siguientes números complejos en la forma \(re^{i\theta}\) (forma polar usando la fórmula de Euler).
(a) \(z = 1 + i\)
(b) \(z = -\sqrt{3} + i\)
(c) \(z = -5i\)
Pista
Determina \(r\) y \(\theta\) siguiendo el mismo procedimiento que en D4, y escribe \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\).
B-10. Cálculo de \(|e^{i\theta}|\)¶
Demuestra que \(|e^{i\theta}| = 1\) para cualquier número real \(\theta\), utilizando la relación \(|z|^2 = zz^*\) de la ecuación (A.15).
Pista
Cuando \(z = e^{i\theta}\), se tiene \(z^* = e^{-i\theta}\). Calcula \(zz^* = e^{i\theta} e^{-i\theta}\) usando las leyes de los exponentes.
Intermedio¶
M-1. Demostración general de la regla del producto de conjugados complejos¶
Para cualesquiera números complejos \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) (donde \(a, b, c, d\) son reales), demuestra que
utilizando la definición de multiplicación de la ecuación (A.5) y la definición de conjugado complejo (ecuación (A.12)).
Pista
Lado izquierdo: primero calcula \(z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\) y toma el conjugado complejo. Lado derecho: expande \(z_1^* z_2^* = (a - bi)(c - di)\). Compara ambos resultados.
M-2. Demostración del teorema de de Moivre¶
Utilizando la fórmula de Euler, demuestra que para cualquier entero \(n\) se cumple
Además, para el caso \(n = 2\), deriva las fórmulas del ángulo doble de \(\cos 2\theta\) y \(\sin 2\theta\) comparando las partes real e imaginaria.
Pista
Calcula la \(n\)-ésima potencia de \(e^{i\theta}\) usando las leyes de los exponentes y aplica nuevamente la fórmula de Euler. Para \(n=2\), expande el lado izquierdo como \((e^{i\theta})^2 = (\cos\theta + i\sin\theta)^2\) y compara las partes real e imaginaria con el lado derecho \(\cos 2\theta + i\sin 2\theta\).
M-3. Derivación de la fórmula de división en forma polar¶
Para dos números complejos \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) (\(r_2 \neq 0\)), demuestra que se cumple:
Utilizando este resultado, explica por qué "la división de números complejos consiste en dividir los módulos y restar los argumentos".
Pista
Simplifica \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}}\) usando la ley de exponentes \(e^{i\alpha}/e^{i\beta} = e^{i(\alpha - \beta)}\). Esta ley de exponentes en sí misma puede demostrarse multiplicando por \(e^{-i\beta}\).
M-4. Representación exponencial de \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\)¶
Resolviendo como sistema de ecuaciones la fórmula de Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) y su conjugado complejo \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\), demuestra que:
Además, compara este resultado con la estructura de las ecuaciones (A.13) y (A.14), y verifica que la relación entre \(e^{i\theta}\) y \(e^{-i\theta}\) es una relación de conjugación compleja.
Pista
Considera las dos expresiones \(e^{i\theta}\) y \(e^{-i\theta}\) como un sistema de ecuaciones y resuélvelo para \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\). La ecuación (A.13) es \(\operatorname{Re}(z) = (z + z^*)/2\), y si hacemos \(z = e^{i\theta}\), entonces \(z^* = e^{-i\theta}\), por lo tanto...
M-5. Condiciones para que un número complejo sea real¶
Demuestra que la condición necesaria y suficiente para que un número complejo \(z\) sea real es \(z = z^*\). De manera análoga, demuestra que la condición necesaria y suficiente para que \(z\) sea imaginario puro es \(z = -z^*\) (con \(z \neq 0\)).
Pista
Escribe \(z = a + bi\) y considera qué se deduce de \(z = z^*\), es decir, \(a + bi = a - bi\). Para el caso imaginario puro, parte de \(z = -z^*\), es decir, \(a + bi = -(a - bi) = -a + bi\).
Avanzado¶
A-1. Raíces \(n\)-ésimas de un número complejo y el polígono regular de \(n\) lados¶
Encuentra todas las soluciones de la ecuación \(z^n = 1\) (donde \(n\) es un entero positivo).
(a) Escribiendo \(z = re^{i\theta}\), demuestra que a partir de la condición \(|z| = 1\) y la condición sobre el argumento, las \(n\) soluciones son
(b) Explica por qué al representar estas \(n\) soluciones en el plano complejo, los puntos corresponden a los vértices de un polígono regular de \(n\) lados inscrito en el círculo unitario.
(c) Demuestra, utilizando la fórmula de la serie geométrica, que la suma de las \(n\) raíces \(n\)-ésimas de la unidad satisface
(d) En mecánica cuántica aparece la misma estructura en la transformada discreta de Fourier. Para el caso \(n = 4\), encuentra explícitamente las 4 soluciones y verifica que son \(\{1, i, -1, -i\}\).
Pista
(a) De \(z^n = r^n e^{in\theta} = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}\) se obtiene \(r^n = 1\) y \(n\theta = 2\pi k\) (con \(k\) entero). Como \(r > 0\), se tiene \(r = 1\). Considerando la periodicidad de \(2\pi\) en el argumento, los valores \(k = 0, 1, \ldots, n-1\) proporcionan soluciones distintas.
(c) \(\sum_{k=0}^{n-1} (e^{2\pi i/n})^k\) es una serie geométrica con primer término \(1\) y razón \(\omega = e^{2\pi i/n}\). Usa la fórmula \(\frac{1 - \omega^n}{1 - \omega}\) y ten en cuenta que \(\omega^n = e^{2\pi i} = 1\).
A-2. Puente hacia la mecánica cuántica: interferencia de amplitudes complejas¶
En mecánica cuántica, la "amplitud de probabilidad" de que una partícula llegue a un punto determinado se expresa como un número complejo. Cuando existen dos caminos (camino 1 y camino 2), si las amplitudes de cada camino son \(\phi_1 = r_1 e^{i\alpha}\) y \(\phi_2 = r_2 e^{i\beta}\), la amplitud total es \(\phi = \phi_1 + \phi_2\), y la probabilidad de detección viene dada por \(P = |\phi|^2\).
(a) Desarrolla \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\) y demuestra que:
(b) Si las amplitudes de probabilidad solo pudieran tomar valores reales (es decir, \(\alpha, \beta\) solo pueden ser \(0\) o \(\pi\)), muestra que los valores que puede tomar el término de interferencia \(2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta)\) se limitan a \(\pm 2r_1 r_2\). Por otro lado, explica que cuando \(\alpha - \beta\) puede variar de forma continua, el término de interferencia cambia continuamente desde \(-2r_1 r_2\) hasta \(+2r_1 r_2\), y discute una de las razones por las que "los números complejos son esencialmente necesarios".
(c) En particular, cuando \(r_1 = r_2 = r\), muestra que para \(\alpha - \beta = \pi\) (diferencia de fase \(\pi\)) se obtiene \(P = 0\). Esto corresponde a que las dos ondas se cancelan completamente (destructive interference; interferencia destructiva). Describe en 2 o 3 oraciones cómo este resultado difiere de la intuición clásica de que "la probabilidad siempre es positiva".
Pista
(a) Usa \(|\phi|^2 = \phi \phi^*\). Como \(\phi = \phi_1 + \phi_2\), entonces \(\phi^* = \phi_1^* + \phi_2^*\). Al desarrollar aparece \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\). Escribe los dos últimos términos (términos cruzados) como \(r_1 r_2 e^{i(\alpha-\beta)} + r_1 r_2 e^{-i(\alpha-\beta)}\) y usa la representación del \(\cos\) de S4.
(c) Lleva la expresión a la forma \(P = 2r^2(1 + \cos(\alpha - \beta))\) y sustituye \(\alpha - \beta = \pi\). En probabilidad clásica, al sumar las probabilidades de cada camino se obtiene \(P_{\text{classical}} = r_1^2 + r_2^2 > 0\), y la cancelación no ocurre.
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