Apéndice C Fundamentos de tensores y geometría diferencial¶
Resumen de capítulos anteriores: En Cap. 6 apareció la ecuación de Einstein \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\), y a partir de Cap. 13 se introdujo la métrica \(h_{ab}\) en la hoja de mundo de la cuerda. El sistema de "tensores", "índices arriba y abajo", "derivada covariante" y "curvatura" que aparece en estas ecuaciones se trata en detalle en los capítulos 4 a Relatividad General Cap. 8, capítulos 12 a 14 y Apéndice B de Relatividad General.
Objetivo de este capítulo
- Organizar como referencia las herramientas de tensores y geometría diferencial aprendidas en Relatividad General desde la perspectiva del "usuario", y tender un puente hacia el contexto propio de la teoría de cuerdas: la métrica bidimensional de la hoja de mundo \(h_{ab}\), la acción de Polyakov y la curvatura en un espacio-tiempo bidimensional
- Delegar los detalles del análisis tensorial general (transformaciones de coordenadas, derivación de los símbolos de Christoffel, variación de la ecuación de geodésicas, simetrías del tensor de Riemann, derivación de la ecuación de Einstein) a Relatividad General, evitando redundancias y concentrándonos en los elementos nuevamente necesarios para la teoría de cuerdas
🟡 Lina: Quienes ya hayan leído Relatividad General pueden simplemente repasar los puntos clave de este apéndice. Las partes específicas de la teoría de cuerdas son solo C.3 y C.4, así que pueden limitarse a leer esas secciones.
🔵 Kai: En Relatividad General hicimos un montón de cosas, ¿verdad? Los índices arriba y abajo, las derivadas en espacios curvos... recuerdo que había bastante material.
🟡 Lina: Así es. Tensor métrico, símbolos de Christoffel, geodésicas, tensor de Riemann, ecuación de Einstein... cubrimos todo eso. Aquí evitamos la redundancia y nos concentramos en la parte que se necesita de nuevo para la teoría de cuerdas: "la geometría de un espacio-tiempo bidimensional que es la hoja de mundo de la cuerda". Dos dimensiones son un poco especiales y muestran comportamientos distintos a los de la relatividad general.
C.1 Resumen de los puntos clave de Relatividad General¶
🟡 Lina: Voy a listar las herramientas que usamos en este apéndice. Todas las derivaciones detalladas, demostraciones y ejemplos de cálculo están en Relatividad General, así que consulten allí.
Fundamentos de tensores (Relatividad General capítulo 04, Apéndice B)¶
- Los vectores contravariantes \(A^\mu\) (índice arriba) y los vectores covariantes \(A_\mu\) (índice abajo) siguen reglas de transformación inversas bajo cambios de coordenadas:
- \(A'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}A^\nu\) (contravariante)
- \(B'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}B_\nu\) (covariante)
- Convenio de suma de Einstein: cuando el mismo índice aparece una vez arriba y una vez abajo, se suma sobre él
- Con el producto tensorial \(\otimes\) se construyen tensores de rango superior
- Escribir las leyes físicas como ecuaciones tensoriales les da una forma independiente del sistema de coordenadas (covarianza general)
Tensor métrico (Relatividad General capítulo 06, cap. 07)¶
- El elemento de línea del espacio-tiempo es \(ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu\)
- Métrica de Minkowski: \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\) (convención adoptada a lo largo de Relatividad General y El Desafío de la Gravedad Cuántica. En Teoría Cuántica de Campos se usa la convención opuesta \((+,-,-,-)\). Esta convención se confirmó también al introducir las coordenadas del cono de luz en Cap. 5)
- La métrica inversa \(g^{\mu\nu}\) satisface \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\)
- Subir y bajar índices: \(A_\mu = g_{\mu\nu}A^\nu\), \(A^\mu = g^{\mu\nu}A_\nu\)
- Ejemplos representativos: métrica de Schwarzschild (esféricamente simétrica, estática), métrica FRW (cosmología)
Derivada covariante y símbolos de Christoffel (Relatividad General capítulo 12)¶
- La derivada parcial ordinaria \(\partial_\mu V^\nu\) no es un tensor (aparecen términos extra bajo transformaciones de coordenadas)
- La derivada covariante \(\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\rho}V^\rho\) sí es un tensor
- Símbolos de Christoffel: a partir de la compatibilidad métrica \(\nabla_\alpha g_{\mu\nu} = 0\) y la ausencia de torsión
Se calculan mecánicamente a partir de las derivadas de primer orden de la métrica.
Transporte paralelo y geodésicas (Relatividad General capítulo 08, cap. 12)¶
- Transporte paralelo de un vector \(V^\mu\) a lo largo de una curva \(x^\mu(\lambda)\): \(\frac{dV^\mu}{d\lambda} + \Gamma^\mu_{\nu\rho}\frac{dx^\nu}{d\lambda}V^\rho = 0\)
- Ecuación de geodésicas (ecuación de movimiento de una partícula que sigue una trayectoria "recta"):
Se deriva del principio variacional (estacionariedad de la acción \(S = \frac{1}{2}\int d\lambda\, g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\)).
Tensor de curvatura (Relatividad General capítulo 13)¶
- Tensor de curvatura de Riemann (del conmutador de derivadas covariantes):
- Tensor de Ricci: \(R_{\mu\nu} = R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}\)
- Escalar de curvatura: \(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\)
- Significado geométrico: la desviación de orientación que sufre un vector transportado paralelamente a lo largo de un camino cerrado
Ecuación de Einstein (Relatividad General capítulo 14, Apéndice G)¶
- El lado izquierdo es la curvatura del espacio-tiempo (geometría pura), el lado derecho es la distribución de materia y energía (física)
- De las identidades de Bianchi se obtiene \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\), lo cual es consistente con la conservación de energía-momento \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\)
🟡 Lina: Todas las herramientas vistas hasta aquí se calculan partiendo de la métrica \(g_{\mu\nu}\): métrica → Christoffel → Riemann → Ricci → ecuación de Einstein, ese era el pipeline. Y este mismo pipeline se aplica directamente a la métrica de la hoja de mundo \(h_{ab}\).
⚪ Mei: Es decir, basta con reemplazar \(g_{\mu\nu}\) por \(h_{ab}\) y se puede usar el mismo procedimiento.
🟡 Lina: Exacto. Eso es lo que veremos concretamente en C.3 y C.4.
C.2 Mapa de problemas de práctica¶
🟡 Lina: Los problemas de práctica de este apéndice son para repasar y verificar el contenido de Relatividad General en el contexto de la teoría de cuerdas.
Tabla C.1: Temas y referencias de los problemas del Apéndice C
| Problema | Tema | Referencia |
|---|---|---|
| C.1–C.3 | Índices arriba y abajo, suma de Einstein | Relatividad General Relatividad General Cap. 4, Apéndice B |
| C.4–C.6 | Ejemplos concretos del tensor métrico (esfera, coordenadas polares, Schwarzschild) | Relatividad General Relatividad General Cap. 6, cap. 07 |
| C.7–C.9 | Símbolos de Christoffel, ecuación de geodésicas | Relatividad General Relatividad General Cap. 8, cap. 12 |
| C.10 | Ley de conservación del tensor de Einstein | Relatividad General Relatividad General Cap. 14, Apéndice G |
📝 Todos los problemas → Problemas del Apéndice C
C.3 Métrica bidimensional y hoja de mundo para la teoría de cuerdas¶
🟡 Lina: A partir de aquí viene la parte específica de la teoría de cuerdas. La hoja de mundo de la cuerda tiene una extensión bidimensional con un parámetro temporal \(\tau\) y un parámetro espacial \(\sigma\). Para medir "distancias" sobre la hoja de mundo se usa una métrica bidimensional \(h_{ab}(\tau, \sigma)\). Los índices \(a, b\) recorren las coordenadas de la hoja de mundo, con \(a, b \in \{0, 1\}\) donde \(\sigma^0 = \tau\), \(\sigma^1 = \sigma\). La medida de integración bidimensional se escribe como \(d^2\sigma \equiv d\sigma^0\,d\sigma^1 = d\tau\,d\sigma\) (aquí \(d^2\sigma\) es una abreviatura de "integración sobre las 2 coordenadas \(\sigma^a\)", no el cuadrado de \(\sigma\)). Noten que la letra \(\sigma\) se usa tanto para el "parámetro espacial" como para la "abreviatura del conjunto de coordenadas \(\sigma^a\)"; si lleva índice se refiere al conjunto de coordenadas, si no lo lleva es el parámetro espacial.
Métrica de la hoja de mundo y acción de Polyakov¶
🟡 Lina: La acción de Polyakov contiene explícitamente la métrica de la hoja de mundo:
Aquí \(T\) es la tensión de la cuerda (la \(T = \frac{1}{2\pi\alpha'}\) introducida en Cap. 13), \(h = \det(h_{ab})\) es el determinante de \(h_{ab}\) (para una matriz 2×2, \(h = h_{\tau\tau}h_{\sigma\sigma} - h_{\tau\sigma}^2\)), y \(h^{ab}\) es la métrica inversa de \(h_{ab}\). \(X^\mu(\tau, \sigma)\) es la función que indica dónde se encuentra cada punto de la cuerda en el espacio-tiempo, con \(\mu = 0, 1, \ldots, D-1\) recorriendo las coordenadas del espacio-tiempo. El subíndice \(\mu\) en \(\partial_b X_\mu\) indica que el índice se ha bajado con la métrica del espacio-tiempo, es decir, \(\partial_b X_\mu \equiv \eta_{\mu\nu}\partial_b X^\nu\) (en espacio-tiempo plano), y por el convenio de suma de Einstein, \(\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu = \eta_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu\) tiene el mismo significado.
🔵 Kai: Así que aparecen dos métricas: la métrica de la hoja de mundo \(h_{ab}\) y la métrica del espacio-tiempo \(\eta_{\mu\nu}\) (o en general \(g_{\mu\nu}\)).
🟡 Lina: Así es. Es importante no confundir esta estructura. \(h_{ab}\) es la métrica sobre la hoja de mundo, función de \(\tau, \sigma\). Por otro lado, \(g_{\mu\nu}(X)\) es la métrica del espacio-tiempo, la métrica del espacio-tiempo de fondo donde vive la cuerda. Cuando se trabaja en espacio-tiempo plano es \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\), pero si la cuerda se propaga en un espacio-tiempo curvo, \(g_{\mu\nu}(X)\) depende de las coordenadas.
Componentes de la métrica de la hoja de mundo¶
Al ser una matriz simétrica bidimensional, tiene 3 componentes independientes:
Aquí \(\det(h_{ab}) = h_{\tau\tau}h_{\sigma\sigma} - h_{\tau\sigma}^2\). Cuando la hoja de mundo tiene una dirección temporal \(\tau\) y una dirección espacial \(\sigma\), la estructura de signos de la métrica es \((-,+)\) (esto se llama lorentziano (Lorentzian)). En ese caso \(\det(h_{ab}) < 0\), por lo que \(\sqrt{-h}\) que aparece en la acción es un número real.
Transformación de Weyl y libertad de gauge¶
🟡 Lina: Una propiedad muy importante de la métrica bidimensional es la libertad bajo transformaciones de Weyl:
Es la operación de escalar toda la métrica con una función arbitraria \(\omega(\tau, \sigma)\). Lo sorprendente es que la acción de Polyakov es invariante bajo esta transformación.
🔵 Kai: ¿Invariante? Pero tanto \(\sqrt{-h}\) como \(h^{ab}\) cambian... ¿se cancelan mutuamente? ¿Por qué?
🟡 Lina: Exactamente. Verifiquémoslo explícitamente. Bajo \(h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}\), cada componente se multiplica por el mismo factor \(e^{2\omega}\). Cuando se multiplican todas las componentes de una matriz \(n \times n\) por el mismo valor \(c\), el determinante se multiplica por \(c^n\). Veamos por qué con el caso concreto \(2 \times 2\): \(\det\begin{pmatrix} ca & cb \\ cc & cd \end{pmatrix} = (ca)(cd) - (cb)(cc) = c^2(ad - bc) = c^2 \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) — cada término es un producto de 2 componentes, así que al multiplicar todas las componentes por \(c\), cada término se multiplica por \(c^2\). Para \(n \times n\) general, la misma lógica da \(c^n\) (el determinante tiene términos que son productos de \(n\) componentes, así que al multiplicar todas por \(c\), cada término se multiplica por \(c^n\)). Aquí \(c = e^{2\omega}\) es una función de las coordenadas \((\tau, \sigma)\), pero el cálculo del determinante se realiza independientemente en cada punto \((\tau, \sigma)\). Si nos fijamos en un solo punto, \(e^{2\omega}\) es simplemente una constante, así que la propiedad "al multiplicar todas las componentes por la misma constante, el determinante se multiplica por \(c^n\)" se aplica directamente. Como es \(2\times 2\): \(\det(e^{2\omega}h_{ab}) = (e^{2\omega})^2\det(h_{ab}) = e^{4\omega}\det(h_{ab})\). Por tanto \(\sqrt{-h} \to \sqrt{e^{4\omega}}\sqrt{-h} = e^{2\omega}\sqrt{-h}\). Y la métrica inversa debe mantener \(h^{ab}h_{bc} = \delta^a_c\), así que \(h^{ab} \to e^{-2\omega}h^{ab}\).
⚪ Mei: \(\sqrt{-h}\) se multiplica por \(e^{2\omega}\), \(h^{ab}\) se multiplica por \(e^{-2\omega}\) — al multiplicarlos se cancelan exactamente.
🟡 Lina: Así es. Como \(\partial_a X^\mu\) no depende de la métrica, no cambia. Juntando todo: \(e^{2\omega} \cdot e^{-2\omega} = 1\), y el producto total es invariante.
🔵 Kai: Ya veo, los exponentes son \(+2\omega\) y \(-2\omega\), que sumados dan cero, por eso se cancelan. Pero, ¿esto se cumple porque estamos en 2 dimensiones? En 3 dimensiones la transformación de \(\sqrt{-h}\) sería diferente, ¿no?
🟡 Lina: Buena observación. En 3 dimensiones tendríamos \(\sqrt{-h} \to e^{3\omega}\sqrt{-h}\), así que \(e^{3\omega} \cdot e^{-2\omega} = e^{\omega} \neq 1\) y no se cancelan. La invariancia de Weyl es una propiedad específica de 2 dimensiones. Esta simetría de Weyl es la base de la teoría de cuerdas y es el punto de partida de la teoría de campos conforme (Conformal Field Theory, CFT) que se trata en detalle en Cap. 14.
✅ Verificación de comprensión: Explica brevemente por qué la acción de Polyakov es invariante bajo la transformación de Weyl \(h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}\), a partir de las propiedades de transformación de \(\sqrt{-h}\) y \(h^{ab}\).
Respuesta
En 2 dimensiones \(\sqrt{-h} \to e^{2\omega}\sqrt{-h}\) (porque el determinante se multiplica por \(e^{4\omega}\)), y la métrica inversa se transforma como \(h^{ab} \to e^{-2\omega}h^{ab}\). Como \(\partial_a X^\mu\) no depende de la métrica, es invariante. Al multiplicar todo: \(e^{2\omega} \cdot e^{-2\omega} = 1\), y la acción completa resulta invariante.
Gauge conforme¶
🟡 Lina: Como vimos antes, hay 3 componentes independientes. Por otro lado, con transformaciones de coordenadas \(\tau \to \tau'(\tau, \sigma)\), \(\sigma \to \sigma'(\tau, \sigma)\) podemos usar 2 funciones arbitrarias para fijar 2 componentes de la métrica en la forma deseada. Además, con la transformación de Weyl podemos fijar la componente restante. En total \(3 - 2 - 1 = 0\), así que podemos fijar completamente la métrica en forma plana:
Esto se llama gauge conforme (conformal gauge). Aquí \(\eta_{ab}\) es la métrica de Minkowski bidimensional (\(a, b \in \{\tau, \sigma\}\)), la versión bidimensional de la \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\) tetradimensional que apareció en C.1. En este gauge, la acción de Polyakov se convierte en
\(\eta^{ab}\) es la inversa de \(\eta_{ab}\), pero la inversa de una matriz diagonal es la que tiene los recíprocos de cada elemento diagonal (\((- 1)^{-1} = -1\), \((+1)^{-1} = +1\)), así que \(\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\), la misma forma que la original. Aplicando el convenio de suma de Einstein sobre \(a, b\): \(\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu = \sum_{a}\sum_{b}\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu\). Como \(\eta^{ab}\) es diagonal, las componentes fuera de la diagonal \(\eta^{\tau\sigma} = \eta^{\sigma\tau} = 0\) se anulan y solo sobreviven las diagonales: \(\eta^{\tau\tau}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu + \eta^{\sigma\sigma}\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X_\mu = (-1)\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu + (+1)\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X_\mu\).
🔵 Kai: Solo quedan las componentes diagonales, y después solo hay que sustituir los signos.
🟡 Lina: Exacto. Combinando con el \(-T/2\) del frente: \(S_P = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\,[(-1)\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu + (+1)\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X_\mu]\). Como \((-T/2) \times (-1) = +T/2\) y \((-T/2) \times (+1) = -T/2\):
⚪ Mei: Al final, al fijar el gauge conforme desaparecen tanto \(\sqrt{-h}\) como \(h^{ab}\), y solo queda la diferencia entre derivadas en \(\tau\) y en \(\sigma\) — una forma muy limpia.
⚠️ No confundir las dos métricas: aquí \(\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu = \eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu = -(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2 + \cdots + (\partial_\tau X^{D-1})^2\), y por el signo de la métrica del espacio-tiempo \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,\ldots,+1)\), la contribución de la componente temporal \(X^0\) es negativa. Por tanto \(\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu\) no es necesariamente positivo. La \(\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\) que apareció justo antes es la métrica de la hoja de mundo (índices \(a, b\)), mientras que la \(\eta_{\mu\nu}\) aquí (índices \(\mu, \nu\)) es la métrica del espacio-tiempo — viven en espacios diferentes, así que no las confundan.
🔵 Kai: Esta forma me resulta familiar. El cuadrado de la derivada en la dirección \(\tau\) menos el cuadrado de la derivada en la dirección \(\sigma\)... ¿es como la versión en forma de acción de la ecuación de ondas?
🟡 Lina: Buena intuición. De hecho, tiene una estructura similar a "energía cinética \(-\) energía potencial" que era el lagrangiano en mecánica: la derivada en \(\tau\) se lee como "parte de energía cinética" y la derivada en \(\sigma\) como "parte de potencial". Derivemos la ecuación de movimiento a partir de aquí. En mecánica, estacionarizábamos la acción \(S = \int dt\,L\) para obtener la ecuación de movimiento \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\). En teoría de campos, en lugar de "la posición de la partícula \(q(t)\)" tenemos "el campo \(X^\mu(\tau, \sigma)\)", y las variables independientes pasan de 1 (\(t\)) a 2 (\((\tau, \sigma)\)). La acción se escribe como \(S = \int d\tau\,d\sigma\,\mathcal{L}\), y a \(\mathcal{L}\) se le llama densidad lagrangiana.
🔵 Kai: ¿En qué se diferencia del lagrangiano \(L\) de mecánica?
🟡 Lina: En mecánica teníamos \(S = \int dt\,L\), una integral solo sobre el tiempo. En teoría de campos también se integra en la dirección espacial, así que \(S = \int d\tau\,d\sigma\,\mathcal{L}\). \(\mathcal{L}\) es una "densidad" definida en cada punto \((\tau, \sigma)\).
⚪ Mei: Es decir, mientras \(L\) era "uno solo para todo el sistema", \(\mathcal{L}\) "existe en cada punto" — solo al integrar se obtiene la acción total.
🟡 Lina: Exacto. En mecánica, desplazábamos ligeramente \(q(t)\) a \(q(t) + \delta q(t)\) y obteníamos la ecuación de movimiento de la condición de que la variación de la acción fuera cero. En teoría de campos hacemos lo mismo: desplazamos ligeramente \(X^\mu(\tau, \sigma)\) a \(X^\mu + \delta X^\mu\) y exigimos \(\delta S = 0\). En mecánica usábamos integración por partes para mover \(\frac{d}{dt}\) sobre \(\delta q\), pero ahora hay 2 variables independientes \(\tau\) y \(\sigma\), así que se necesita integración por partes en cada dirección. Como resultado, se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange donde el \(\frac{d}{dt}\) de mecánica se reemplaza por \(\sum_a \partial_a\) (\(a = \tau, \sigma\)):
(se suma sobre \(a = \tau, \sigma\). En mecánica se pasaba \(\frac{d}{dt}(\cdots)\) que multiplicaba a \(\delta q\) mediante una integración por partes, pero ahora con 2 variables independientes \(\tau\) y \(\sigma\), se pasan por separado \(\partial_\tau(\cdots)\) y \(\partial_\sigma(\cdots)\) que multiplican a \(\delta X^\mu\) — por eso aparece \(\sum_a \partial_a\). Para los detalles de la derivación, consulten también el capítulo de principios variacionales de Relatividad General.)
⚪ Mei: Comparando con la versión mecánica \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}\) que escribió la profesora Lina antes, \(\frac{d}{dt}\) se reemplaza por \(\sum_a \partial_a\) y \(L\) por \(\mathcal{L}\).
🔵 Kai: Ah, pero déjame confirmar algo. En mecánica, derivar respecto a \(q\) y derivar respecto a \(\dot{q}\) eran cosas distintas, ¿verdad? ¿En teoría de campos, derivar respecto a \(X^\mu\) y derivar respecto a \(\partial_a X^\mu\) son cosas distintas? \(\partial_a X^\mu\) es la derivada de \(X^\mu\), ¿se puede tratar como una variable independiente?
🟡 Lina: Buena pregunta. En mecánica también tratábamos \(q\) y \(\dot{q}\) como independientes: "la posición y la velocidad en un instante \(t\) dado". En teoría de campos es igual — \(X^\mu\) y \(\partial_a X^\mu\) se consideran variables independientes como "el valor del campo y su gradiente en un punto \((\tau, \sigma)\) dado". En el marco del cálculo variacional, cuando desplazamos \(X^\mu\) ligeramente, \(\partial_a X^\mu\) también cambia en consecuencia, pero en la etapa de derivar la ecuación de Euler-Lagrange se toman formalmente como independientes para calcular las derivadas parciales — y el resultado da la ecuación de movimiento correcta.
🔵 Kai: Entiendo, es la misma regla de "tratar formalmente como independientes" que en mecánica. Entonces, ¿qué pasa cuando aplicamos esta fórmula a nuestra acción?
🟡 Lina: Hagámoslo. La densidad lagrangiana es \(\mathcal{L} = \frac{T}{2}(\partial_\tau X^\nu \partial_\tau X_\nu - \partial_\sigma X^\nu \partial_\sigma X_\nu)\). Primero, \(X^\mu\) en sí no aparece directamente en \(\mathcal{L}\) (solo aparecen sus derivadas \(\partial_a X^\mu\)), así que \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^\mu} = 0\). Ahora calculemos la derivada respecto a \(\partial_\tau X^\mu\). Derivemos \(\partial_\tau X^\nu \partial_\tau X_\nu = \eta_{\rho\lambda}\partial_\tau X^\rho \partial_\tau X^\lambda\) respecto a \(\partial_\tau X^\mu\). Esto tiene la forma \(\eta_{\rho\lambda} \cdot (\partial_\tau X^\rho) \cdot (\partial_\tau X^\lambda)\), donde \(\partial_\tau X^\mu\) aparece en 2 lugares: en \(\partial_\tau X^\rho\) cuando \(\rho = \mu\), y en \(\partial_\tau X^\lambda\) cuando \(\lambda = \mu\). Siguiendo la regla del producto (\((fg)' = f'g + fg'\)), del término \(\rho = \mu\) sale \(\eta_{\mu\lambda}\partial_\tau X^\lambda\), y del término \(\lambda = \mu\) sale \(\eta_{\rho\mu}\partial_\tau X^\rho\). Como \(\eta\) es simétrica (\(\eta_{\mu\lambda} = \eta_{\lambda\mu}\)) y los nombres de los índices mudos se pueden renombrar libremente, las dos contribuciones son iguales, y juntas dan \(2\eta_{\mu\lambda}\partial_\tau X^\lambda = 2\partial_\tau X_\mu\). Multiplicando por \(T/2\): \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\tau X^\mu)} = T\,\partial_\tau X_\mu\).
🔵 Kai: ¿La parte de \(\sigma\) se hace de la misma forma? ¿Solo cambia el signo?
🟡 Lina: Así es. La parte de \(\sigma\) en \(\mathcal{L}\) es \(-\frac{T}{2}\partial_\sigma X^\nu \partial_\sigma X_\nu\), y con exactamente el mismo procedimiento, al derivar \(\partial_\sigma X^\nu \partial_\sigma X_\nu\) respecto a \(\partial_\sigma X^\mu\) se obtiene \(2\partial_\sigma X_\mu\). Multiplicando por el coeficiente \(-T/2\): \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\sigma X^\mu)} = -\frac{T}{2} \times 2\partial_\sigma X_\mu = -T\,\partial_\sigma X_\mu\). Como \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^\mu} = 0\), la ecuación de Euler-Lagrange se simplifica a \(\sum_a \partial_a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_a X^\mu)} = 0\). Sustituyendo: \(\partial_\tau(T\,\partial_\tau X_\mu) + \partial_\sigma(-T\,\partial_\sigma X_\mu) = 0\), es decir, \(T(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X_\mu = 0\). En espacio-tiempo plano \(\eta_{\mu\nu}\) es constante, así que subir el índice da la misma ecuación, y se obtiene la ecuación de ondas bidimensional \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0\) que vimos en Apéndice A.3.
✅ Verificación de comprensión: La métrica bidimensional de la hoja de mundo tiene 3 componentes independientes, pero puede fijarse completamente a \(h_{ab} = \eta_{ab}\) en el gauge conforme. ¿Por qué? ¿Qué simetrías se utilizan?
Respuesta
Con transformaciones de coordenadas (difeomorfismos) se usan 2 funciones arbitrarias para fijar 2 componentes, y con la transformación de Weyl se fija la componente restante. En total \(3 - 2 - 1 = 0\), las componentes independientes se agotan y la métrica se puede fijar completamente en \(\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\).
🔵 Kai: Los pasos del cálculo fueron muchos, pero entiendo que al final se reduce a la simple ecuación de ondas \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0\). Pero lo que me preocupa es que al fijar el gauge, descartamos toda la información de \(h_{ab}\), ¿verdad? ¿No nos estamos dejando alguna condición?
🟡 Lina: Buena observación. De hecho, las ecuaciones de movimiento de \(h_{ab}\) antes de fijar el gauge quedan como condiciones de ligadura. Estas son las condiciones de Virasoro, que se tratan en detalle en Cap. 14.
⚪ Mei: Es decir, la ecuación de ondas sola no es suficiente, y solo las soluciones que satisfacen condiciones adicionales son físicamente admisibles.
🔵 Kai: ¿Las condiciones de ligadura, concretamente qué forma tienen? ¿Qué tipo de soluciones de la ecuación de ondas son "no permitidas"?
🟡 Lina: Buena pregunta. La forma concreta se deriva en el capítulo 14, pero intuitivamente la imagen es que "se impone una restricción sobre la distribución de energía y momento". Se ponen restricciones sobre cuánta energía se puede asignar a cada modo de vibración de la cuerda. Espéralo con ganas.
🔵 Kai: Restricciones por modo de vibración... pero sinceramente, cuando me dicen "se impone una restricción sobre la distribución de energía", no acabo de entender qué significa eso. ¿Tengo que esperar a que salgan las fórmulas concretas en el capítulo 14?
🟡 Lina: Sí, la forma concreta se deriva en el capítulo 14, así que por ahora es solo un adelanto. Pero déjame darte una analogía: parece que se puede distribuir libremente la energía entre cada modo de vibración de la cuerda, pero en realidad debe cumplirse una condición como "la energía de la onda que viaja hacia la izquierda" debe ser igual a "la energía de la onda que viaja hacia la derecha". Esto se llama condición de emparejamiento de niveles (level matching), y es parte de las condiciones de Virasoro. Y como consecuencia aún más sorprendente: cuando se investiga la condición para que las ligaduras de Virasoro se cumplan consistentemente a nivel cuántico, resulta que la dimensión del espacio-tiempo donde vive la cuerda queda fijada a un valor específico — la dimensión crítica.
🔵 Kai: ¿Eh? ¿La condición sobre las vibraciones de la cuerda determina la dimensión del espacio-tiempo? ¿Por qué un asunto de vibraciones afecta a la dimensión?
🟡 Lina: En mecánica cuántica, la suma total de probabilidades siempre debe ser 1, ¿verdad? Pues bien, cuando se cuantiza la cuerda, si la dimensión del espacio-tiempo no tiene un valor específico, la suma de probabilidades se desvía de 1, o aparecen estados con probabilidad negativa que no desaparecen — surgen comportamientos patológicos que no se permiten físicamente. La condición para evitarlo es la que fija la dimensión — los detalles en el capítulo 14.
C.4 Particularidades de la curvatura en espacio-tiempo bidimensional¶
🟡 Lina: El espacio-tiempo bidimensional posee propiedades especiales comparado con el tetradimensional. Esto es importante para la teoría de cuerdas.
En 2 dimensiones el tensor de Einstein es idénticamente cero¶
🟡 Lina: En 4 dimensiones, el tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes, el tensor de Ricci tiene 10, y la ecuación de Einstein \(G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}\) es una ecuación no trivial. Sin embargo, en 2 dimensiones las componentes independientes son muchas menos.
🔵 Kai: ¿Por qué en 2 dimensiones hay menos componentes independientes?
🟡 Lina: Los índices del tensor de Riemann \(R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\) toman cada uno valores del número de dimensiones \(n\), así que cuanto menor es la dimensión, menos combinaciones hay. Además, el tensor de Riemann tiene simetrías como "antisimetría en pares de índices", "simetría de intercambio entre pares" y "primera identidad de Bianchi" (ver capítulo 13 de Relatividad General), que generan relaciones entre componentes — por ejemplo, la antisimetría \(R_{abcd} = -R_{bacd}\) significa que "al intercambiar \(ab\) cambia el signo", así que \(R_{0101}\) y \(R_{1001}\) no son independientes: si se conoce uno, el otro queda determinado. Teniendo en cuenta todas estas relaciones, el número de componentes independientes se reduce a \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}\) (derivación en capítulo 13 de Relatividad General). Para \(n = 4\): \(\frac{16 \times 15}{12} = 20\); para \(n = 2\): \(\frac{4 \times 3}{12} = 1\).
🔵 Kai: ¡Solo 1! ¿Eso significa que apenas hay información de curvatura?
🟡 Lina: Así es. Verificándolo concretamente en 2 dimensiones: los índices \(a, b\) solo pueden tomar los valores 0 o 1, así que por la antisimetría \(R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc}\), los pares \(ab\) y \(cd\) solo tienen 1 posibilidad cada uno: \((01)\), y la única componente independiente es \(R_{0101}\) — coincide con la fórmula. Con solo 1 componente, el tensor de Riemann queda completamente determinado por el escalar de curvatura \(R\) solamente.
Concretamente, en 2 dimensiones el tensor de Riemann se escribe como
(\(R_{abcd}\) es la forma con todos los índices abajo, definida como \(R_{abcd} = g_{a\rho}R^\rho{}_{bcd}\) bajando el índice superior \(\rho\) con la métrica \(g_{a\rho}\) — el mismo procedimiento de "subir y bajar índices" de C.1). A partir de aquí calculemos el tensor de Ricci. La definición de C.1 \(R_{\mu\nu} = R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}\) escrita con los índices de la hoja de mundo queda \(R_{ab} = R^c{}_{acb}\) (reemplazando \(\alpha \to c\), \(\mu \to a\), \(\nu \to b\): el primer índice superior y el tercer índice inferior son ambos \(c\) y se contraen). La fórmula \(R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc})\) es para el tensor de Riemann con todos los índices abajo, así que primero reescribamos \(R^c{}_{acb}\) en forma con todos los índices abajo. La relación con el tensor de Riemann con todos los índices abajo se define como \(R_{eacb} = g_{e\rho}R^\rho{}_{acb}\) (\(\rho\) es un índice mudo). Multiplicando ambos lados por \(g^{ce}\) y contrayendo sobre \(e\): el lado izquierdo queda \(g^{ce}R_{eacb} = g^{ce}g_{e\rho}R^\rho{}_{acb}\). Usando la definición de métrica inversa de C.1 \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) — esta es una identidad que se cumple "sin importar qué letras se usen para los índices". Como \(\mu, \alpha, \nu\) son meras etiquetas, reemplazando \(\mu\) por \(c\), \(\alpha\) por \(e\), \(\nu\) por \(\rho\) se obtiene la misma relación. Es decir, se obtiene \(g^{ce}g_{e\rho} = \delta^c_\rho\). Por tanto \(g^{ce}g_{e\rho}R^\rho{}_{acb} = \delta^c_\rho R^\rho{}_{acb} = R^c{}_{acb}\) (\(\delta^c_\rho\) es 1 solo cuando \(\rho = c\) y 0 en los demás casos, así que en la suma solo sobrevive el término \(\rho = c\)). Por lo tanto \(R^c{}_{acb} = g^{ce}R_{eacb}\).
⚪ Mei: Es la operación de subir el índice multiplicando por la métrica inversa. Ahora solo falta aplicar la fórmula a \(R_{eacb}\).
🟡 Lina: Queremos aplicar la fórmula a \(R_{eacb}\). Hagamos corresponder las posiciones de los índices del lado izquierdo de la fórmula con los de \(R_{eacb}\). Los índices \((a,b,c,d)\) de la fórmula \(R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc})\) son meras etiquetas para "el 1.°, 2.°, 3.° y 4.° slot". Lo que queremos es "conocer la forma concreta de \(R_{eacb}\)" — para ello asignamos los índices de \(R_{eacb}\) a cada slot del lado izquierdo de la fórmula. En el 1.er slot ponemos \(e\), en el 2.° \(a\), en el 3.° \(c\), en el 4.° \(b\):
Correspondencia entre los slots de la fórmula \(R_{abcd}\) y los índices actuales
| Slot de la fórmula | 1.° | 2.° | 3.° | 4.° |
|---|---|---|---|---|
| Índice que insertamos | \(e\) | \(a\) | \(c\) | \(b\) |
Miremos el lado derecho de la fórmula. \(g_{ac}g_{bd}\) es "\(g\) con el 1.er y 3.er índice" × "\(g\) con el 2.° y 4.° índice"; \(g_{ad}g_{bc}\) es "\(g\) con el 1.er y 4.° índice" × "\(g\) con el 2.° y 3.er índice". Sustituyendo los índices según la tabla:
- 1.er término \(g_{ac}g_{bd}\): 1.°→\(e\), 3.°→\(c\) da \(g_{ec}\); 2.°→\(a\), 4.°→\(b\) da \(g_{ab}\). En conjunto: \(g_{ec}g_{ab}\)
- 2.° término \(g_{ad}g_{bc}\): 1.°→\(e\), 4.°→\(b\) da \(g_{eb}\); 2.°→\(a\), 3.°→\(c\) da \(g_{ac}\). En conjunto: \(g_{eb}g_{ac}\)
Por tanto
🔵 Kai: Basta con sustituir según la tabla de forma mecánica. ¿Ahora multiplicamos por \(g^{ce}\) y contraemos para obtener el tensor de Ricci?
🟡 Lina: Exactamente.
1.er término: \(g^{ce}g_{ec} = \delta^c_c\) (de la definición de métrica inversa \(g^{c\alpha}g_{\alpha c} = \delta^c_c\)). Aquí \(\delta^c_c\) se suma sobre \(c\) por el convenio de Einstein: \(\delta^c_c = \delta^0_0 + \delta^1_1 = 1 + 1 = 2\) (en 2 dimensiones los índices solo toman los valores 0 y 1). Así que el 1.er término completo es \(\frac{R}{2} \cdot 2 \cdot g_{ab}\). 2.° término: \(g^{ce}g_{eb} = \delta^c_b\), así que \(g^{ce}g_{eb}g_{ac} = \delta^c_b g_{ac} = g_{ab}\); el 2.° término completo es \(\frac{R}{2} \cdot g_{ab}\).
Resumiendo:
⚠️ Punto donde es fácil equivocarse: si se hace la correspondencia de índices \((a,b,c,d) \to (e,a,c,b)\) de forma intuitiva sin cuidado, pueden aparecer términos como \(g^{ce}g_{ea}g_{cb}\) que llevan al resultado erróneo "\(R_{ab} = 0\)?". El punto clave es hacer corresponder exactamente los 4 índices de \(R_{eacb}\) con el lado izquierdo \(R_{abcd}\) de la fórmula. En particular, que el 1.er término dé \(g^{ce}g_{ec} = n\) (número de dimensiones) es la clave en 2 dimensiones.
🔵 Kai: La reidentificación de índices es bastante complicada... Pero en resumen, ¿lo que pasa es que en 2 dimensiones \(g^{ce}g_{ec} = 2\) es lo que importa, y al final se llega a la relación de proporcionalidad \(R_{ab} = \frac{R}{2}g_{ab}\)?
🟡 Lina: Exacto. En 4 dimensiones tendríamos \(g^{ce}g_{ec} = 4\) y el resultado cambiaría, así que \(R_{ab} = \frac{R}{2}g_{ab}\) es una identidad exclusiva de 2 dimensiones.
Con esto obtenemos el resultado correcto. Bajo la convención adoptada en este Relatividad General, \(R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\) (1.er índice arriba) y \(R_{\mu\nu} = R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}\), las identidades en 2 dimensiones son:
- Tensor de Ricci: \(R_{ab} = \frac{1}{2}g_{ab}R\) (identidad)
- Tensor de Einstein: \(G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R = \frac{1}{2}g_{ab}R - \frac{1}{2}g_{ab}R \equiv 0\) (siempre cero)
⚪ Mei: Como \(R_{ab}\) y \(\frac{1}{2}g_{ab}R\) son exactamente iguales, al restarlos no queda nada — se cancelan limpiamente.
(La demostración de la fórmula de partida \(R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc})\) se puede consultar en los problemas del capítulo 13 de Relatividad General.)
🔵 Kai: ¿En 2 dimensiones el lado izquierdo de la ecuación de Einstein es siempre cero? Entonces, ¿qué pasa si intentamos construir una teoría de gravedad en 2 dimensiones?
🟡 Lina: En 2 dimensiones, la acción de Einstein-Hilbert \(S = \int d^2\sigma\sqrt{-h}\,R\) se convierte en una cantidad topológica — es decir, una cantidad cuyo valor no cambia al deformar continuamente la superficie. Este resultado se conoce como el teorema de Gauss-Bonnet. Para superficies bidimensionales sin frontera, el teorema de Gauss-Bonnet se demuestra originalmente para métricas euclidianas (con signatura \((+,+)\)). Para aplicarlo a la métrica lorentziana \((-,+)\) de la hoja de mundo, se usa una operación llamada rotación de Wick. El objetivo es "cambiar el signo negativo en la dirección temporal a positivo para obtener \((+,+)\)" — para ello se reemplaza formalmente la coordenada temporal como \(\tau = -i\tau_E\) (\(i\) es la unidad imaginaria, \(i^2 = -1\)). Viendo cuánto cambia \(\tau\) cuando \(\tau_E\) cambia un poco: como \(-i\) es constante, \(d\tau = -i\,d\tau_E\) (igual que si \(y = cx\) entonces \(dy = c\,dx\)). Calculando la parte temporal del elemento de línea: \(-d\tau^2 = -(-i\,d\tau_E)^2\). Como \((-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1\): \(-(-i\,d\tau_E)^2 = -((-1)\,d\tau_E^2) = +d\tau_E^2\), y el signo se invierte; la signatura de la métrica pasa de \((-,+)\) a \((+,+)\) — justo lo que queríamos (los detalles se tratan en Cap. 14).
🔵 Kai: Espere un momento. ¿Hacer el tiempo imaginario... eso está permitido? ¿Qué ocurre físicamente?
🟡 Lina: Buena pregunta. No es que el "tiempo imaginario" tenga una realidad física. Déjame explicar primero la motivación: el teorema de Gauss-Bonnet — "la integral de la curvatura queda determinada solo por la topología" — es un teorema poderoso que está demostrado para métricas con signatura \((+,+)\) (euclidianas). Nuestra métrica de la hoja de mundo es \((-,+)\) (lorentziana), así que no podemos aplicar directamente el teorema. Por eso usamos el truco matemático de la rotación de Wick: cambiamos temporalmente la signatura a \((+,+)\), aplicamos el teorema, y nos traemos solo la conclusión. El resultado del cálculo (que el número de Euler es un entero) es un hecho geométrico que no depende de la signatura, así que esta operación de "ir y volver" está justificada.
⚪ Mei: Es decir, es la técnica de "trasladarse temporalmente a un mundo donde el teorema se puede aplicar y obtener el resultado".
🟡 Lina: Exacto. Concretamente, escribamos la métrica euclidiana obtenida por rotación de Wick como \(g_{ab}^{(E)}\). En ese caso el determinante es positivo, así que en lugar de \(\sqrt{-h}\) escribimos \(\sqrt{g^{(E)}}\). Escribiendo como \(R^{(E)}\) el escalar de curvatura calculado a partir de esta métrica euclidiana \(g_{ab}^{(E)}\), por el teorema de Gauss-Bonnet:
Este es un teorema sorprendente que dice: "si sumamos la curvatura total de la superficie, el resultado es un entero que depende solo de la forma (topología) de la superficie". El número de Euler \(\chi\) es un entero determinado exclusivamente por la forma (topología) de la superficie, que depende de cuántas "asas" tiene. La imagen de un asa es como el asa de una taza de café: si a una esfera (la superficie de un globo) le añadimos 1 asa, obtenemos la forma de un donut (toro). Si llamamos \(\mathfrak{g}\) al número de asas (género, genus. Se escribe en letra fraktur para distinguirlo del determinante de la métrica \(g\)), entonces \(\chi = 2 - 2\mathfrak{g}\). Para la esfera (sin asas, \(\mathfrak{g} = 0\)): \(\chi = 2\); para el toro (1 asa, \(\mathfrak{g} = 1\)): \(\chi = 0\); para el doble donut (2 asas, \(\mathfrak{g} = 2\)): \(\chi = -2\).
🔵 Kai: Vaya, así que al sumar toda la curvatura se obtiene un entero. ¿Que el valor dependa solo de la forma de la superficie significa que no depende de cómo la dobles o la estires?
🟡 Lina: Exactamente. El \(1/(4\pi)\) delante de la fórmula es una constante de normalización elegida para que el lado izquierdo dé exactamente \(2\) para la esfera (\(\chi = 2\)). Intuitivamente, la esfera se curva hacia afuera en todas partes, así que el total de curvatura es positivo; una superficie con forma de silla tiene curvatura negativa — al sumar todo, el total no cambia sin importar cómo deformemos la superficie (mientras no abramos ni cerremos agujeros). Lo importante es que \(\chi\) no cambia sin importar cómo cambiemos la métrica. Recuerda que las ecuaciones de movimiento se obtienen "derivando la acción respecto a la variable e igualando a cero" (en mecánica, \(\delta S/\delta q = 0\)). En teoría de la gravedad, la variable es la métrica \(h_{ab}\), así que la ecuación de movimiento tiene la forma \(\delta S/\delta h_{ab} = 0\). Pero si el valor de la acción depende solo de la topología (\(\chi\)) y no depende en absoluto de la forma concreta de la métrica, entonces la acción no cambia sin importar cómo variemos la métrica — es decir, \(\delta S/\delta h_{ab}\) es cero para cualquier \(h_{ab}\). Esto es lo mismo que la "ecuación \(0 = 0\)", que no impone ninguna restricción sobre \(h_{ab}\). Por eso una teoría ingenua de gravedad bidimensional no tiene grados de libertad dinámicos.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué consecuencia tiene para el papel físico de la métrica de la hoja de mundo \(h_{ab}\) en la teoría de cuerdas el hecho de que el tensor de Einstein \(G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R\) sea idénticamente cero en 2 dimensiones?
Respuesta
Como el tensor de Einstein es idénticamente cero, la acción de Einstein-Hilbert bidimensional se convierte en una cantidad topológica (número de Euler) y no produce ecuaciones de movimiento dinámicas a partir de la variación de \(h_{ab}\). Por tanto, \(h_{ab}\) no es un grado de libertad físico sino solo una libertad de gauge (redundancia de la descripción), que puede eliminarse completamente mediante transformaciones de Weyl y de coordenadas.
🔵 Kai: El número de Euler, ¿se determina por el número de agujeros del donut? ¿Cuantos más agujeros, menor el número de Euler?
🟡 Lina: Es más preciso decir "asas" que "agujeros". Como expliqué antes, cuantas más asas \(\mathfrak{g}\), menor es \(\chi = 2 - 2\mathfrak{g}\). En teoría de cuerdas, las interacciones entre cuerdas se interpretan como "cambios en la topología de la hoja de mundo", así que este número de Euler se convierte en el parámetro de la expansión perturbativa — esto aparecerá a partir del capítulo 14.
🔵 Kai: ¿"La topología cambia" significa que cuando una cuerda se divide o se fusiona, la hoja de mundo gana asas?
🟡 Lina: Así es. El proceso en que una cuerda se divide en dos, visto desde la hoja de mundo, tiene forma de pantalón — se le llama "diagrama de pantalón". Cuando se incluyen correcciones de bucle, se añaden asas y \(\mathfrak{g}\) aumenta. Cuanto mayor es \(\mathfrak{g}\), menor es la contribución, así que el número de Euler controla el orden de la expansión perturbativa. Los detalles en el capítulo 14.
⚪ Mei: Resumiendo: la acción de Einstein-Hilbert bidimensional solo da la cantidad topológica \(\chi = 2 - 2\mathfrak{g}\), y no genera ecuaciones de movimiento que restrinjan la forma de la métrica \(h_{ab}\) — por tanto \(h_{ab}\) no es un grado de libertad dinámico.
🔵 Kai: Pero espere un momento. Si \(h_{ab}\) no es un grado de libertad dinámico, ¿por qué aparece en la acción de Polyakov? ¿No es contradictorio que esté en la acción pero no tenga significado físico?
🟡 Lina: Exacto. En la acción de Polyakov, \(h_{ab}\) parece una variable dinámica, pero en realidad es solo una libertad de gauge — es decir, una redundancia de la descripción. Como puede eliminarse completamente con transformaciones de Weyl y difeomorfismos, los únicos grados de libertad físicos son \(X^\mu\) (la posición de la cuerda en el espacio-tiempo).
Simetría conforme de dimensión infinita¶
🟡 Lina: Incluso después de fijar el gauge conforme, la libertad de gauge no desaparece completamente. La simetría que queda es la transformación conforme.
🔵 Kai: Antes dijiste "\(3 - 2 - 1 = 0\) se puede fijar completamente", ¿no? ¿Cómo es que todavía queda simetría?
🟡 Lina: Buena pregunta. El argumento anterior decía que "localmente" se puede poner la métrica como \(\eta_{ab}\). Pero entre las transformaciones de coordenadas existen unas que cambian las coordenadas manteniendo la forma \(\eta_{ab}\) — es decir, transformaciones de coordenadas que no destruyen la condición \(h_{ab} = \eta_{ab}\). A esto se le llama "simetría de gauge residual". Veámoslo concretamente. Para resolver la ecuación de ondas \((\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X = 0\), introducimos las variables \(\sigma^+ = \tau + \sigma\), \(\sigma^- = \tau - \sigma\) (ya introducidas en Apéndice A.3). Aquí repasemos brevemente la factorización, que usaremos más adelante. Poniendo \(\sigma^+ = \tau + \sigma\), \(\sigma^- = \tau - \sigma\), por la regla de la cadena: \(\partial_\tau f = \frac{\partial f}{\partial \sigma^+}\frac{\partial \sigma^+}{\partial \tau} + \frac{\partial f}{\partial \sigma^-}\frac{\partial \sigma^-}{\partial \tau} = \partial_+ f \cdot 1 + \partial_- f \cdot 1\), así que \(\partial_\tau = \partial_+ + \partial_-\). Análogamente, \(\frac{\partial \sigma^+}{\partial \sigma} = 1\), \(\frac{\partial \sigma^-}{\partial \sigma} = -1\), así que \(\partial_\sigma = \partial_+ - \partial_-\). Por tanto \(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2 = (\partial_+ + \partial_-)^2 - (\partial_+ - \partial_-)^2\). Desarrollando: \((\partial_+ + \partial_-)^2 = \partial_+^2 + 2\partial_+\partial_- + \partial_-^2\), \((\partial_+ - \partial_-)^2 = \partial_+^2 - 2\partial_+\partial_- + \partial_-^2\); al restar, \(\partial_+^2\) y \(\partial_-^2\) se cancelan y queda \(4\partial_+\partial_-\). La ecuación de ondas se convierte en \(4\partial_+\partial_- X = 0\), y como \(4 \neq 0\) se puede dividir para obtener \(\partial_+\partial_- X = 0\).
⚪ Mei: La ecuación diferencial parcial de segundo orden se factoriza como \(\partial_+\partial_- X = 0\), y la solución es una superposición de ondas independientes izquierda y derecha: \(X = f(\sigma^+) + g(\sigma^-)\).
🟡 Lina: Exactamente. A este tipo de "conjunto de variables en las que la ecuación de ondas se factoriza de la forma más simple" se les llama coordenadas características (characteristic coordinates) (término de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, donde "características" se refiere a las direcciones específicas en las que se propagan las ondas — corresponde al hecho de que las soluciones de la ecuación de ondas se propagan independientemente en la dirección \(\sigma^+\) y en la dirección \(\sigma^-\)). En teoría de cuerdas les damos el nombre de coordenadas del cono de luz de la hoja de mundo (en resumen, \(\sigma^\pm = \tau \pm \sigma\)). Es la misma idea de las coordenadas del cono de luz del espacio-tiempo \(x^\pm = (t \pm x)/\sqrt{2}\) introducidas en Cap. 5, aplicada a la hoja de mundo. Pero hay que tener cuidado: las coordenadas del cono de luz del espacio-tiempo son coordenadas en el espacio-tiempo \(D\)-dimensional con índices \(\mu\), mientras que las coordenadas del cono de luz de la hoja de mundo son coordenadas en la hoja de mundo bidimensional con índices \(a\) — viven en espacios diferentes.
En estas coordenadas, el elemento de línea del gauge conforme toma la forma \(ds^2 = -d\sigma^+ d\sigma^-\). Verifiquémoslo. En gauge conforme \(h_{ab} = \eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1, +1)\), así que el elemento de línea es \(ds^2 = h_{ab}\,d\sigma^a d\sigma^b = -d\tau^2 + d\sigma^2\). Por otro lado, \(d\sigma^+ = d\tau + d\sigma\), \(d\sigma^- = d\tau - d\sigma\), así que \(d\sigma^+ d\sigma^- = (d\tau + d\sigma)(d\tau - d\sigma) = d\tau^2 - d\sigma^2\). Por tanto \(-d\sigma^+ d\sigma^- = -d\tau^2 + d\sigma^2 = ds^2\). (Nota: las componentes del tensor métrico son \(h_{+-} = h_{-+} = -\frac{1}{2}\). Esto se debe a que en la suma doble \(ds^2 = h_{ab}\,d\sigma^a d\sigma^b\) donde \(a, b\) toman los valores \(+, -\), contribuyen ambos términos \((a,b) = (+,-)\) y \((a,b) = (-,+)\). Como el producto de infinitesimales no depende del orden \(d\sigma^+ d\sigma^- = d\sigma^- d\sigma^+\), los dos términos se agrupan como \(ds^2 = (h_{+-} + h_{-+})\,d\sigma^+ d\sigma^- = 2h_{+-}\,d\sigma^+ d\sigma^-\) (en la última igualdad se usó \(h_{+-} = h_{-+}\) (simetría de la métrica)). Para que coincida con \(ds^2 = -d\sigma^+ d\sigma^-\) se necesita \(2h_{+-} = -1\), es decir, \(h_{+-} = -\frac{1}{2}\).) Lo importante aquí es que al reparametrizar independientemente \(\sigma^+ \to f(\sigma^+)\), \(\sigma^- \to g(\sigma^-)\), las variaciones infinitesimales en las nuevas coordenadas son \(d\tilde\sigma^+ = f'(\sigma^+)\,d\sigma^+\), \(d\tilde\sigma^- = g'(\sigma^-)\,d\sigma^-\) (derivada de la composición). La métrica en las nuevas coordenadas \(\tilde\sigma^\pm = (f(\sigma^+), g(\sigma^-))\) mantiene la misma forma \(ds^2 = -d\tilde\sigma^+ d\tilde\sigma^-\) — desde el punto de vista de las nuevas coordenadas, nada ha cambiado.
🔵 Kai: Desde las nuevas coordenadas se ve la misma forma... ¿pero qué pasa visto desde las coordenadas originales?
🟡 Lina: Piénsalo así. Primero confirmemos una distinción importante. Una transformación de coordenadas simplemente redescribe el mismo objeto geométrico en otras coordenadas, así que el valor del elemento de línea \(ds^2\) en sí no cambia — los valores numéricos de las componentes cambian, pero la "distancia" física es la misma. En cambio, una transformación de Weyl escala la propia métrica, y el valor del elemento de línea cambia. Las dos son cosas originalmente distintas.
🔵 Kai: ¿La transformación de coordenadas es solo "cambiar cómo se dibuja el mapa" sin que el terreno cambie, y la transformación de Weyl es "inflar o encoger el terreno mismo"?
🟡 Lina: Buena analogía. Exacto. Ahora, la pregunta aquí es "¿cuáles son las transformaciones que preservan la forma del gauge conforme \(h_{ab} = \eta_{ab}\)?". En las coordenadas originales \(\sigma^\pm\), las componentes de la métrica eran \(h_{+-} = -1/2\). Al pasar a las nuevas coordenadas \(\tilde\sigma^\pm\), en las nuevas coordenadas también se tiene \(\tilde h_{+-} = -1/2\) (desde el punto de vista de quien usa las nuevas coordenadas, sigue en gauge conforme). Sin embargo, desde la perspectiva de quien sigue usando las coordenadas originales \(\sigma^\pm\) y expresa el elemento de línea de las nuevas coordenadas en términos de los diferenciales originales: \(d\tilde\sigma^+ = f'(\sigma^+)\,d\sigma^+\), \(d\tilde\sigma^- = g'(\sigma^-)\,d\sigma^-\), así que \(ds^2 = -d\tilde\sigma^+ d\tilde\sigma^- = -f'(\sigma^+)\,g'(\sigma^-)\,d\sigma^+ d\sigma^-\). Leyendo esto como componentes de la métrica en las coordenadas originales \(\sigma^\pm\): \(h_{+-}^{\text{new}} = -f'g'/2\), que difiere del \(h_{+-} = -1/2\) original (aquí \(h_{+-}^{\text{new}}\) son las componentes de la métrica retrotraída por la transformación de coordenadas). Es decir, desde el punto de vista de quien usa las coordenadas originales, "las componentes de la métrica han cambiado". Pero para devolver lo multiplicado por \(f'g'\) a su valor original basta dividir por \(f'g'\), así que eligiendo una transformación de Weyl \(h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}\) con \(e^{2\omega} = 1/(f'g')\): \(h_{+-} \to e^{2\omega} \cdot (-f'g'/2) = (1/(f'g')) \cdot (-f'g'/2) = -1/2\), y las componentes en la representación de coordenadas originales vuelven a \(h_{+-} = -1/2\). Es decir, la combinación "transformación de coordenadas + transformación de Weyl adecuada" es la operación que preserva la forma del gauge conforme \(ds^2 = -d\sigma^+ d\sigma^-\) en las coordenadas originales — esta es la simetría que permanece tras fijar el gauge conforme.
⚪ Mei: Es decir, quien usa las nuevas coordenadas piensa "sigo en gauge conforme", pero quien usa las coordenadas originales ve que las componentes de la métrica se han multiplicado por \(f'g'\) — ahí es donde entra la transformación de Weyl.
🟡 Lina: Exacto. Escribiendo solo la parte de la transformación de coordenadas:
\(f, g\) son funciones arbitrarias, y a cada una se le asocia automáticamente una transformación de Weyl con \(e^{2\omega} = 1/(f'g')\). En 2 dimensiones, este par "transformación de coordenadas + transformación de Weyl" constituye una simetría con infinitos parámetros. Es decir, \(f\) y \(g\) — dos funciones arbitrarias — juegan el papel de parámetros, y como una sola función contiene infinitos grados de libertad (su valor en cada punto), la simetría tiene infinitos parámetros. Para comparar: en el espacio-tiempo tetradimensional, si reunimos todas las "transformaciones que preservan ángulos" (transformaciones conformes), los parámetros suman solo 15, formando un grupo de dimensión finita (4 traslaciones + 6 transformaciones de Lorentz + 1 dilatación + 4 transformaciones conformes especiales — los detalles no importan ahora). El punto es que son "finitos". En 2 dimensiones esto se amplía a dimensión infinita — esta es la fuente del poder de la teoría de campos conforme.
⚪ Mei: Una simetría con infinitos parámetros... comparada con las 15 dimensiones del caso tetradimensional, es un salto abismal. ¿Eso significa que impone restricciones mucho más fuertes a la teoría?
🟡 Lina: Así es. De hecho, cuando hay una simetría de dimensión infinita, a veces la teoría cuántica de campos se puede resolver completamente. Esta es una de las claves que hace posible la cuantización de la teoría de cuerdas. Cuando tratemos la teoría de campos conforme y el álgebra de Virasoro en los capítulos 14 a Cap. 15, esta simetría de dimensión infinita jugará un papel decisivo.
✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la diferencia decisiva entre la simetría conforme bidimensional y la tetradimensional? Y, ¿por qué es importante para la teoría de cuerdas?
Respuesta
El grupo conforme tetradimensional es de dimensión 15 (finita), pero en 2 dimensiones se pueden reparametrizar independientemente las coordenadas del cono de luz \(\sigma^+, \sigma^-\) con funciones arbitrarias \(f(\sigma^+), g(\sigma^-)\), lo que amplía la simetría a dimensión infinita. Esta simetría de dimensión infinita impone restricciones muy fuertes a la teoría, y en algunos casos permite resolver completamente la teoría cuántica de campos. Esta es una de las claves que hace posible la cuantización de la teoría de cuerdas.
Resumen: Cómo se usan las herramientas en la teoría de cuerdas¶
🟡 Lina: Resumamos los puntos esenciales de este apéndice.
Tabla C.2: Herramientas de la relatividad general y su papel en la teoría de cuerdas
| Tema | Referencia | Papel en la teoría de cuerdas |
|---|---|---|
| Fundamentos de tensores | Relatividad General cap. 04, Apéndice B | Manejo del vector espacio-temporal \(X^\mu\) y del tensor de la hoja de mundo \(h_{ab}\) |
| Tensor métrico | Relatividad General cap. 06, cap. 07 | Estructura de dos capas: métrica de la hoja de mundo \(h_{ab}\) y métrica del espacio-tiempo de fondo \(g_{\mu\nu}\) |
| Derivada covariante, Christoffel | Relatividad General cap. 08, cap. 12 | Necesaria cuando la cuerda se propaga en un espacio-tiempo de fondo curvo |
| Riemann, Ricci, Einstein | Relatividad General cap. 13, cap. 14 | En 2 dimensiones el tensor de Einstein es idénticamente cero |
| Particularidades de 2 dimensiones | Este apéndice C.3, C.4 | Simetría de Weyl, gauge conforme, simetría conforme de dimensión infinita |
⚪ Mei: Resumiendo: la esencia es aplicar las herramientas de la relatividad general a la "hoja de mundo de la cuerda", pero 2 dimensiones son especiales — hay una simetría adicional llamada transformación de Weyl, y el tensor de Einstein es idénticamente cero. Estos dos puntos son los que importan.
🟡 Lina: Exacto. Y estos dos puntos simplifican enormemente el tratamiento de la hoja de mundo en la teoría de cuerdas.
🔵 Kai: Precisamente porque es bidimensional se puede eliminar completamente la métrica, y solo la posición de la cuerda \(X^\mu\) constituye la física — "tener pocas dimensiones" se convierte en una ventaja. Pero al revés, ¿qué pasa si en lugar de una cuerda unidimensional tuviéramos un objeto extendido bidimensionalmente, como una lámina? Su trayectoria tendría más dimensiones, ¿verdad? ¿Entonces esta propiedad especial ya no se podría usar?
🟡 Lina: Así es. A esos objetos extendidos bidimensionalmente se les llama membranas (membrane). La trayectoria de una membrana — que se llama volumen de mundo (worldvolume) — tiene 3 o más dimensiones. Allí la transformación de Weyl ya no puede eliminar completamente la métrica, así que la simplificación que funciona para cuerdas deja de ser posible. Esta es precisamente una de las razones por las que la teoría de membranas no es tan manejable como la teoría de cuerdas.
Avance del próximo capítulo¶
En Apéndice D presentaremos los fundamentos de la "teoría de grupos", que trata sistemáticamente las simetrías que subyacen a las leyes de la física. Desde grupos continuos como el grupo de rotaciones y el grupo de Lorentz, hasta los grupos de gauge que desempeñan un papel central en la teoría de cuerdas — construiremos el esqueleto matemático que explica por qué las simetrías gobiernan las leyes de conservación y la clasificación de partículas.
Referencias¶
- Relatividad General capítulos 4, 6–8, 12–14, Apéndice B — Exposición autocontenida de tensores, métrica, derivada covariante, tensor de curvatura y ecuación de Einstein (hub común a las 4 partes)
- David Tong, Lectures on String Theory, Cap. 2 — Acción de Polyakov, métrica de la hoja de mundo, gauge conforme
- Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Cap. 6–13 — Cuerda relativista, acción de Nambu-Goto, acción de Polyakov, invariancia conforme
- Joseph Polchinski, String Theory Vol. 1, Cap. 1–2 — Teoría clásica de cuerdas, geometría de la hoja de mundo (nivel avanzado)
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.