Apéndice E　Fundamentos de análisis complejo¶

← Apéndice D　Fundamentos de teo…Appendix F　Cronología e índic… →

Resumen de lo anterior: En el capítulo Cap. 14 cuantizamos la hoja de mundo de la cuerda, en Cap. 15 vimos el marco de la teoría de supercuerdas. En la teoría de campos conformes de Cap. 16, la hoja de mundo se trata como un plano complejo, y las funciones holomorfas, la expansión de Laurent y el teorema de los residuos se convierten en el núcleo de los cálculos. En este apéndice construimos cuidadosamente esa base matemática partiendo de las matemáticas de bachillerato.

Objetivo de este apéndice

Comprender los fundamentos del análisis complejo necesarios para Cap. 16 (teoría de campos conformes), a través de ejemplos concretos y derivaciones
Comenzando con "¿por qué aparecen los números complejos en la física?", llegar hasta la condición de Cauchy-Riemann, la expansión de Laurent, el teorema de los residuos, la fórmula integral de Cauchy y las transformaciones de Möbius

🟡 Lina: Si en la teoría de campos conformes de Cap. 16 te confundiste con "$z$ y $\bar{z}$", "OPE" o "residuos", vuelve aquí. Empezamos desde el repaso de números complejos, así que conecta desde lo que aprendiste en bachillerato.

E.1　¿Por qué aparecen los números complejos en la física?¶

🔵 Kai: En bachillerato aprendí que "$i^2 = -1$", pero ¿por qué se necesitan en física? ¿No bastan los números reales?

🟡 Lina: Hay 3 razones.

Desde la mecánica cuántica¶

La ecuación de Schrödinger que vimos en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Cap. 7:

\[i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi\]

Aquí la unidad imaginaria $i$ aparece de forma esencial. La función de onda $\psi$ toma valores complejos, y la probabilidad se obtiene como $|\psi|^2$. Solo con números reales no se pueden describir los fenómenos de interferencia de la mecánica cuántica.

Desde la teoría de campos conformes¶

En la teoría de campos conformes de Cap. 16, la hoja de mundo bidimensional se trata como un plano complejo. En lugar de $(x, y)$ se usa $(z, \bar{z})$, y las transformaciones conformes se describen como "cambios de coordenadas mediante funciones holomorfas".

La fórmula de Euler — fuente del poder de los números complejos¶

🔵 Kai: $e^{i\theta}$ apareció en bachillerato, pero ¿por qué es tan importante?

🟡 Lina: Esta es la razón principal para usar números complejos. Te muestro la derivación de la fórmula de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

Partimos de la expansión de Taylor de la función exponencial (véase Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice A):

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\]

Sustituimos $x$ por $i\theta$:

\[e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots\]

Organizando las potencias de $i$: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, ...:

\[e^{i\theta} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)\]

La parte real del lado derecho es la expansión de Taylor de $\cos\theta$, y la parte imaginaria es la de $\sin\theta$. Por lo tanto:

\[\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}\]

🔵 Kai: ¡Oh, sale simplemente reordenando la expansión de Taylor! Pero, la expansión de Taylor de $e^x$ era para cuando $x$ es real, ¿no? ¿Se puede sustituir un número complejo como $i\theta$?

🟡 Lina: Buena pregunta. La serie de Taylor $\sum a_n x^n$, dependiendo del valor de $x$, a veces al sumar los términos la suma se mantiene finita (converge) y a veces crece sin límite (diverge). El "rango de $x$ donde la suma se mantiene finita" se llama radio de convergencia. Por ejemplo, $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ solo converge para $|x| < 1$ (si pones $x = 2$ obtienes $1 + 2 + 4 + \cdots$ que diverge). En cambio, $e^x = 1 + x + x^2/2! + \cdots$ converge sin importar cuán grande sea $x$ — es decir, tiene radio de convergencia infinito.

🔵 Kai: Ah, como $e^x$ tiene radio de convergencia infinito, se puede poner cualquier valor.

🟡 Lina: Así es. Lo importante aquí es que la definición del radio de convergencia en realidad se determina por $|x|$ (valor absoluto). Una serie que converge para $|x| < R$ converge siempre que $|x| < R$, ya sea $x$ real o complejo. En el caso de $e^x$, como $R = \infty$, al sustituir $x = i\theta$ tenemos $|i\theta| = |\theta|$ que es finito, así que la serie siempre converge. Es decir, aplicar la expansión de Taylor de $e^x$ definida para reales directamente al número complejo $x = i\theta$ da una serie que converge correctamente y produce un valor con sentido. Omito la demostración rigurosa, pero la fórmula de Euler resultante está completamente justificada matemáticamente.

🟡 Lina: Gracias a esto, podemos expresar las funciones trigonométricas mediante exponenciales:

\[\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\]

Si en lugar de escribir los fenómenos ondulatorios con $\sin$ o $\cos$ los escribimos con $e^{i\theta}$, la derivada se convierte en una multiplicación, lo que simplifica enormemente los cálculos. Por ejemplo:

\[\frac{d}{d\theta} e^{i\theta} = i e^{i\theta}\]

Ya no hay que preocuparse por los signos al derivar $\sin$ o $\cos$.

⚪ Mei: Como la forma no cambia al derivar, al resolver ecuaciones de onda escribiendo con exponenciales la visión de conjunto mejora mucho.

📝 Ejercicios:

Verificación de la fórmula de Euler → Problema B-2. Fórmula de Euler $e^{i\pi}+1=0$

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se expresa la fórmula de Euler $e^{i\theta}$ en términos de $\cos\theta$ y $\sin\theta$?

Respuesta

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

✅ Verificación de comprensión: En la teoría de campos conformes de Cap. 16, ¿con qué coordenadas se trata la hoja de mundo bidimensional?

Respuesta

En lugar de $(x, y)$, se trata con coordenadas complejas $(z, \bar{z})$.

E.2　Repaso de números complejos y el plano complejo¶

🟡 Lina: Vamos a confirmar las operaciones básicas con números complejos. Si ya las aprendiste en Mecánica Cuántica Mecánica Cuántica Apéndice A, puedes repasar rápidamente.

Definiciones básicas¶

Número complejo $z = x + iy$ ($x, y$ son reales, $i^2 = -1$).

Tabla E.1: Operaciones básicas y definiciones de números complejos

Operación	Definición	Ejemplo ($z = 3 + 4i$)
Parte real	$\text{Re}(z) = x$	3
Parte imaginaria	$\text{Im}(z) = y$	4
Conjugado complejo	$\bar{z} = x - iy$	$3 - 4i$
Valor absoluto	$	z
Argumento	$\arg(z) = \arctan(y/x)$	$\arctan(4/3) \approx 53°$

Relación importante:

\[z \bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 = |z|^2\]

Forma polar¶

🟡 Lina: La forma de representar un número complejo por "longitud y ángulo" se llama forma polar. Usando la fórmula de Euler:

\[z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad (r = |z|, \; \theta = \arg(z))\]

Como se muestra en Fig. E.1「Plano complejo y representación en forma polar」, $r$ es la distancia al origen y $\theta$ es el ángulo en sentido antihorario desde el eje real.

Fig. E.1: Plano complejo y representación en forma polar. Figura E_1: Representación del número complejo $z = x + iy = re^{i\theta}$ en el plano complejo. Se muestran el eje real (horizontal) y el eje imaginario (vertical), la distancia al origen $r = |z|$, y el argumento $\theta = \arg(z)$ medido desde el eje real.

Veamos por qué la multiplicación se simplifica. Si $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$:

\[z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 \, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\]

Es decir, los valores absolutos se multiplican, los argumentos se suman. Geométricamente es la composición de "rotación y dilatación".

Fig. E.2: Significado geométrico del producto de números complejos. Figura E_2: El producto de dos números complejos $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ es "producto de valores absolutos, suma de argumentos". Se visualiza como composición de rotación y dilatación.

🔵 Kai: ¿Y la división?

🟡 Lina: Queda así:

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\]

Los valores absolutos se dividen, los argumentos se restan.

📝 Ejercicios:

Forma polar y cálculo del producto de números complejos → Problema B-1. Valor absoluto y argumento de números complejos, Problema B-3. Producto en forma polar

Plano complejo¶

El número complejo $z = x + iy$ se representa como el punto $(x, y)$ en un plano bidimensional. El eje horizontal es la parte real (eje real), el eje vertical es la parte imaginaria (eje imaginario). $|z|$ es la distancia al origen, $\arg(z)$ es el ángulo en sentido antihorario desde el eje real.

Esfera de Riemann — adición del punto en el infinito¶

🟡 Lina: Voy a introducir un concepto importante para la teoría de campos conformes. Al plano complejo se le añade un "punto en el infinito" $z = \infty$, y al resultado se le llama esfera de Riemann $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$.

🔵 Kai: ¿El infinito es un "punto"?

🟡 Lina: La imagen geométrica es así (Fig. E.3「Proyección estereográfica y esfera de Riemann」). Se coloca una esfera unitaria tangente al plano complejo y se traza una línea recta desde el polo norte de la esfera hasta cada punto del plano. El punto donde esta línea interseca la esfera corresponde al punto del número complejo $z$ sobre la esfera. El polo norte mismo corresponde a $z = \infty$. Esto se llama proyección estereográfica (stereographic projection).

Fig. E.3: Proyección estereográfica y esfera de Riemann. Figura E_3: El punto $P$ donde la línea recta desde el polo norte $N$ hasta el punto $z$ del plano complejo interseca la esfera es el punto correspondiente a $z$ sobre la esfera. Cuando $|z| \to \infty$, $P \to N$ (polo norte).

Derivémoslo concretamente. Consideramos la recta que une el polo norte $N = (0, 0, 1)$ y un punto $P = (X, Y, Z)$ sobre la esfera. Como aprendiste con vectores en bachillerato, los puntos sobre la recta que pasa por $A$ y $B$ se expresan como $A + t(B - A)$ ($t$ es un parámetro real). Con $t = 0$ coincide con $A$, con $t = 1$ con $B$, y al variar $t$ se recorre la recta. Con $A = N = (0,0,1)$, $B = P = (X,Y,Z)$, los puntos sobre la recta son $(0,0,1) + t((X,Y,Z) - (0,0,1)) = (tX, tY, 1 + t(Z-1))$. La condición para que esta recta intersece el plano $Z = 0$ (plano complejo) es $1 + t(Z-1) = 0$, es decir $t = \frac{1}{1-Z}$. Las coordenadas de la intersección son $(x, y) = \left(\frac{X}{1-Z}, \frac{Y}{1-Z}\right)$, por lo que:

\[z = x + iy = \frac{X + iY}{1 - Z}\]

🔵 Kai: Cuando $Z$ se acerca a 1 (punto cercano al polo norte), el denominador se acerca a 0, así que $|z|$ crece cada vez más.

🟡 Lina: Exacto. Inversamente, para obtener $(X, Y, Z)$ a partir de $z$, usamos la condición de la esfera unitaria $X^2 + Y^2 + Z^2 = 1$ (es decir $X^2 + Y^2 = 1 - Z^2$) para obtener $|z|^2 = \frac{X^2 + Y^2}{(1-Z)^2} = \frac{1-Z^2}{(1-Z)^2} = \frac{(1-Z)(1+Z)}{(1-Z)^2} = \frac{1+Z}{1-Z}$, de donde $Z = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1}$. Análogamente:

\[X = \frac{z + \bar{z}}{|z|^2 + 1}, \quad Y = \frac{z - \bar{z}}{i(|z|^2 + 1)}, \quad Z = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1}\]

Cuando $|z| \to \infty$, $(X, Y, Z) \to (0, 0, 1)$ (polo norte).

⚪ Mei: Ya veo, sobre la esfera "el infinito" se convierte en un punto ordinario: el polo norte.

🟡 Lina: Así es. En Cap. 16, cuando se compactifica la hoja de mundo de la cuerda, esta esfera de Riemann aparece naturalmente. Al calcular amplitudes de dispersión de cuerdas, la topología de la hoja de mundo es una esfera.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se escribe la forma polar del número complejo $z = x + iy$?

Respuesta

$z = r e^{i\theta}$ ($r = |z|$, $\theta = \arg(z)$).

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuáles son el valor absoluto y el argumento del producto de dos números complejos $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ en forma polar?

Respuesta

El valor absoluto es $r_1 r_2$ (multiplicación), el argumento es $\theta_1 + \theta_2$ (suma).

✅ Verificación de comprensión: ¿Qué es la esfera de Riemann?

Respuesta

Es $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$, el plano complejo $\mathbb{C}$ al que se añade un punto en el infinito $\infty$. Se puede identificar con una esfera mediante la proyección estereográfica.

E.3　Coordenadas complejas $z, \bar{z}$ y derivadas¶

Representación en coordenadas complejas del plano 2D¶

🟡 Lina: Vamos a reescribir el plano bidimensional $(x, y)$ en coordenadas complejas.

\[z = x + iy, \qquad \bar{z} = x - iy\]

Resolviendo inversamente (de $z + \bar{z} = 2x$, $z - \bar{z} = 2iy$):

\[x = \frac{z + \bar{z}}{2}, \qquad y = \frac{z - \bar{z}}{2i}\]

Transformación de las derivadas parciales¶

🔵 Kai: ¿Cómo se transforman las derivadas parciales $\partial_x, \partial_y$ en $(x, y)$ a derivadas parciales en $(z, \bar{z})$?

🟡 Lina: Usamos la regla de la cadena (chain rule). Considerando $f$ como función de $(z, \bar{z})$:

\[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\frac{\partial \bar{z}}{\partial x}\]

De $z = x + iy$ se tiene $\frac{\partial z}{\partial x} = 1$, y de $\bar{z} = x - iy$ se tiene $\frac{\partial \bar{z}}{\partial x} = 1$. Por lo tanto:

\[\partial_x = \partial_z + \partial_{\bar{z}} \tag{E.1}\]

Análogamente para $y$:

\[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\frac{\partial \bar{z}}{\partial y}\]

$\frac{\partial z}{\partial y} = i$, $\frac{\partial \bar{z}}{\partial y} = -i$, así que:

\[\partial_y = i\partial_z - i\partial_{\bar{z}} \tag{E.2}\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones (E.1) y (E.2) para $\partial_z$ y $\partial_{\bar{z}}$. Calculando (E.1) + (E.2)$/i$:

\[\partial_x + \frac{\partial_y}{i} = \partial_z + \partial_{\bar{z}} + \partial_z - \partial_{\bar{z}} = 2\partial_z\]

Como $\frac{1}{i} = -i$:

\[\partial_x - i\partial_y = 2\partial_z\]

\[\boxed{\partial_z \equiv \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)} \tag{E.3}\]

Análogamente, (E.1) $-$ (E.2)$/i$:

\[\partial_x + i\partial_y = 2\partial_{\bar{z}}\]

\[\boxed{\partial_{\bar{z}} \equiv \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)} \tag{E.4}\]

⚪ Mei: Vamos a verificar. $\partial_z z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)(x + iy) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$ ✓

$\partial_z \bar{z} = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)(x - iy) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0$ ✓

$\partial_{\bar{z}} z = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)(x + iy) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0$ ✓

$\partial_{\bar{z}} \bar{z} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)(x - iy) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$ ✓

🟡 Lina: Perfecto. Hemos confirmado que $z$ y $\bar{z}$ se comportan formalmente como variables independientes.

Laplaciano en 2D¶

🟡 Lina: Reescribamos el laplaciano bidimensional $\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2$ en coordenadas complejas.

De las ecuaciones (E.1) y (E.2):

\[\partial_x^2 = (\partial_z + \partial_{\bar{z}})^2 = \partial_z^2 + 2\partial_z\partial_{\bar{z}} + \partial_{\bar{z}}^2\]

\[\partial_y^2 = (i\partial_z - i\partial_{\bar{z}})^2 = -\partial_z^2 + 2\partial_z\partial_{\bar{z}} - \partial_{\bar{z}}^2\]

Sumando:

\[\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2 = 4\partial_z\partial_{\bar{z}}\]

\[\boxed{\nabla^2 = 4\frac{\partial^2}{\partial z \partial \bar{z}}} \tag{E.5}\]

🔵 Kai: ¡El laplaciano se factoriza como producto de $\partial_z$ y $\partial_{\bar{z}}$! Es una forma muy elegante, pero... para ser más concreto, $\nabla^2 \phi = 0$ es lo mismo que $\partial_z \partial_{\bar{z}} \phi = 0$, ¿verdad? ¿Qué forma tienen las soluciones de esta ecuación? Que "el producto sea 0" no significa que "uno de los factores sea 0", ¿no?

🟡 Lina: Buena pregunta. Esto se piensa en dos etapas. La ecuación $\partial_z \partial_{\bar{z}} \phi = 0$ se lee con "$\partial_z$ afuera, $\partial_{\bar{z}}$ adentro". Primero llamamos $h$ al conjunto $\partial_{\bar{z}} \phi$. Entonces la ecuación se convierte en $\partial_z h = 0$. Esto significa que "$h$ no depende de $z$", así que $h$ es función solo de $\bar{z}$: $h = h(\bar{z})$. Luego, integrando $\partial_{\bar{z}} \phi = h(\bar{z})$ respecto a $\bar{z}$ obtenemos $\phi = g(\bar{z}) + f(z)$. $g(\bar{z})$ es la primitiva de $h(\bar{z})$, y $f(z)$ es una función solo de $z$ que juega el papel de constante de integración.

🔵 Kai: Ah, ya entiendo. Es como en los reales donde al integrar $\frac{d}{dx}F(x) = h(x)$ obtienes $F(x) = \int h\,dx + C$ con una constante $C$, pero aquí en vez de "constante" aparece "función arbitraria de $z$ solamente, $f(z)$". Es decir, al integrar respecto a $\bar{z}$, $z$ se trata como "constante", así que la constante de integración se convierte en una función arbitraria de $z$.

🟡 Lina: Exacto. Es decir, la solución general de la ecuación de Laplace bidimensional es $\phi = f(z) + g(\bar{z})$, y se separa completamente en parte holomorfa y parte antiholomorfa. Esto es muy importante en Cap. 16, y es la esencia de por qué los cálculos en teoría de campos conformes se dividen en modos izquierdos y derechos.

⚪ Mei: Ya veo, matemáticamente "el laplaciano se factoriza como $\partial_z \partial_{\bar{z}}$" corresponde físicamente a "la parte holomorfa y la parte antiholomorfa se separan completamente". Lo que dijo la profesora Lina sobre "la esencia de por qué los cálculos en la teoría de campos conformes se dividen en modos izquierdos y derechos" es precisamente esta factorización.

📝 Ejercicios:

Verificación de las derivadas parciales en coordenadas complejas → Problema B-6. $\partial_z(z^2) = 2z$

¿Por qué se tratan $z$ y $\bar{z}$ como independientes?¶

🔵 Kai: Espera un momento. $\bar{z}$ está determinado por el conjugado complejo de $z$, ¿verdad? Y aun así, ¿se pueden tratar como variables independientes? Los grados de libertad sustanciales son 2, $(x, y)$, pero si tratamos $(z, \bar{z})$ también como 2 variables, parece que los grados de libertad aumentan.

🟡 Lina: Buena pregunta. Te pongo una analogía. Es como especificar una posición en un mapa usando "distancia en dirección noreste" y "distancia en dirección noroeste" en vez de "latitud y longitud". Ambos tienen la misma información, pero eligiendo coordenadas que se ajusten a la simetría del problema, los cálculos se simplifican.

🔵 Kai: Hmm, pero eso es simplemente "cambiar el punto de vista", no que realmente aumenten las variables independientes, ¿verdad? Si $\bar{z}$ está determinado por $z$, ¿qué operación física es "fijar $\bar{z}$ y mover solo $z$" en la derivada parcial?

🟡 Lina: Tienes razón, $\bar{z}$ es el conjugado complejo de $z$, así que al fijar $z$ también se fija $\bar{z}$ — físicamente no son independientes. Pero como herramienta de cálculo, aunque definamos derivadas parciales tratando $z$ y $\bar{z}$ como "variables separadas", no surge contradicción. Su legitimidad se manifiesta en las verificaciones de arriba: $\partial_z \bar{z} = 0$, $\partial_{\bar{z}} z = 0$. Como se cumple la regla de diferenciación "$z$ se mueve sin que $\bar{z}$ cambie", pueden tratarse en los cálculos igual que variables independientes. Al final, cuando se obtienen cantidades físicas, se restaura la relación $\bar{z} = z^*$.

En la teoría de campos conformes de Cap. 16, la parte que depende de $z$ (parte holomorfa) y la parte que depende de $\bar{z}$ (parte antiholomorfa) se separan y cada una se puede analizar independientemente. Esta es una de las razones por las que los cálculos en teoría de campos conformes son tan poderosos.

Elemento de línea y elemento de área en 2D¶

🟡 Lina: Como lo usaremos más adelante, escribamos también la métrica en coordenadas complejas.

El elemento de línea en coordenadas reales es $ds^2 = dx^2 + dy^2$. Sustituyendo $dx = \frac{1}{2}(dz + d\bar{z})$, $dy = \frac{1}{2i}(dz - d\bar{z})$:

\[ds^2 = dx^2 + dy^2 = \frac{1}{4}(dz + d\bar{z})^2 + \frac{1}{(2i)^2}(dz - d\bar{z})^2\]

Como $(2i)^2 = 4i^2 = -4$, entonces $\frac{1}{(2i)^2} = -\frac{1}{4}$. Por lo tanto:

\[ds^2 = \frac{1}{4}(dz + d\bar{z})^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)(dz - d\bar{z})^2 = \frac{1}{4}(dz + d\bar{z})^2 - \frac{1}{4}(dz - d\bar{z})^2\]

Expandiendo (aquí los productos son el producto simétrico del tensor métrico $dz\,d\bar{z} = d\bar{z}\,dz$, diferente del producto exterior antisimétrico $dz \wedge d\bar{z} = -d\bar{z} \wedge dz$ que aparecerá después):

\[= \frac{1}{4}(dz^2 + 2dz\,d\bar{z} + d\bar{z}^2) - \frac{1}{4}(dz^2 - 2dz\,d\bar{z} + d\bar{z}^2)\]

\[= \frac{1}{4} \cdot 4 \, dz\,d\bar{z} = dz\,d\bar{z}\]

\[\boxed{ds^2 = dz\,d\bar{z}} \tag{E.6}\]

⚪ Mei: Los términos $dz^2$ y $d\bar{z}^2$ se cancelan limpiamente y solo queda el término cruzado.

🟡 Lina: También escribamos el elemento de área en coordenadas complejas:

\[d^2z \equiv dx\,dy = \frac{i}{2} dz \wedge d\bar{z} \tag{E.7}\]

Aquí $d^2z$ no es "$dz$ al cuadrado" sino una notación abreviada para "elemento de área bidimensional". El 2 como superíndice indica la dimensión (en 3 dimensiones sería $d^3x = dx\,dy\,dz$). El producto exterior $\wedge$ en el lado derecho explicita que al intercambiar el orden de $dz$ y $d\bar{z}$ cambia el signo. En la práctica, piénsalo como "$dx\,dy$ reescrito en coordenadas complejas".

🔵 Kai: ¿Qué es $\wedge$? ¿Es diferente de la multiplicación normal?

🟡 Lina: $\wedge$ (producto exterior o wedge product) es "un producto que crea elementos de área orientados". La razón por la que se necesita en vez de la multiplicación ordinaria es que queremos rastrear correctamente el signo (orientación) del área al hacer cambios de coordenadas. Con la multiplicación ordinaria $dx \cdot dy$ no se distingue "si $x$ va primero o $y$ va primero", pero el producto exterior mantiene la información de orientación gracias a su antisimetría $A \wedge B = -B \wedge A$.

¿Por qué es antisimétrico? Porque el área tiene "orientación". Por ejemplo, si avanzas 1 en la dirección $x$ y luego 1 en la dirección $y$, formas un cuadrado unitario en sentido antihorario, pero si avanzas primero en $y$ y luego en $x$, es en sentido horario. El producto exterior distingue esta "diferencia de giro" con el signo. Es decir, $dx \wedge dy = -dy \wedge dx$.

En la integral de área ordinaria $\int dx\,dy$, el $dx\,dy$ que se usa es en realidad $dx \wedge dy$ (elemento de área orientado con sentido antihorario como positivo). En situaciones donde no importa la orientación se escribe simplemente $dx\,dy$, pero al rastrear signos en cambios de coordenadas la notación del producto exterior es conveniente. En este apéndice, salvo indicación contraria, usamos $dx\,dy$ y $dx \wedge dy$ con el mismo significado.

🔵 Kai: Si es antisimétrico, ¿qué pasa con $A \wedge A$?

🟡 Lina: De la antisimetría $A \wedge B = -B \wedge A$, poniendo $B = A$ obtienes $A \wedge A = -A \wedge A$. Sumando $A \wedge A$ a ambos lados: $2(A \wedge A) = 0$. Por lo tanto $A \wedge A = 0$. El producto exterior de algo consigo mismo siempre es 0.

⚪ Mei: Ya veo, por eso $dz \wedge dz = 0$, $d\bar{z} \wedge d\bar{z} = 0$, y al expandir todos los "iguales consigo mismos" desaparecen.

🟡 Lina: Exacto. Entonces calculemos el elemento de área. Sustituyendo $dx = \frac{1}{2}(dz + d\bar{z})$, $dy = \frac{1}{2i}(dz - d\bar{z})$:

\[dx \wedge dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2i}(dz + d\bar{z}) \wedge (dz - d\bar{z}) = \frac{1}{4i}(dz \wedge dz - dz \wedge d\bar{z} + d\bar{z} \wedge dz - d\bar{z} \wedge d\bar{z})\]

Por la antisimetría, $dz \wedge dz = 0$, $d\bar{z} \wedge d\bar{z} = 0$, $d\bar{z} \wedge dz = -dz \wedge d\bar{z}$, así que:

\[dx \wedge dy = \frac{1}{4i}(-2\, dz \wedge d\bar{z}) = -\frac{1}{2i}\, dz \wedge d\bar{z} = \frac{i}{2}\, dz \wedge d\bar{z}\]

(Última igualdad: se usó $-\frac{1}{2i} = -\frac{1}{2i}\cdot\frac{i}{i} = -\frac{i}{2i^2} = -\frac{i}{-2} = \frac{i}{2}$.)

🔵 Kai: ¡Coincide exactamente con la ecuación (E.7)! Sale simplemente calculando mecánicamente siguiendo las reglas del producto exterior.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se expresa la derivada parcial $\partial_z$ en términos de $\partial_x$ y $\partial_y$?

Respuesta

$\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)$.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se escribe el laplaciano bidimensional $\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2$ en coordenadas complejas?

Respuesta

$\nabla^2 = 4\partial_z\partial_{\bar{z}}$.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la ventaja de tratar $z$ y $\bar{z}$ formalmente como variables independientes en la teoría de campos conformes?

Respuesta

La parte holomorfa que depende de $z$ y la parte antiholomorfa que depende de $\bar{z}$ se separan, y cada una se puede analizar independientemente, lo que simplifica los cálculos.

E.4　Funciones holomorfas y la condición de Cauchy-Riemann¶

Definición¶

🟡 Lina: Que una función compleja $f(z, \bar{z})$ sea holomorfa significa que no depende de $\bar{z}$:

\[\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \tag{E.8}\]

Es decir, $f$ es función solo de $z$: $f = f(z)$.

Derivación de la condición de Cauchy-Riemann¶

🔵 Kai: ¿Qué pasa si separamos esto en parte real e imaginaria?

🟡 Lina: Escribimos $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ y expandimos $\partial_{\bar{z}} f = 0$.

Usando la definición de la ecuación (E.4), $\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)$:

\[\partial_{\bar{z}} f = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)(u + iv)\]

Expandiendo:

\[= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} + i\frac{\partial u}{\partial y} + i^2\frac{\partial v}{\partial y}\right)\]

Usando $i^2 = -1$ y reorganizando:

\[= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right) + \frac{i}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right)\]

Para que esto sea 0, la parte real y la parte imaginaria deben ser cada una 0:

\[\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = 0\]

\[\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

Reorganizando:

\[\boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}} \tag{E.9}\]

Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

⚪ Mei: La parte real y la parte imaginaria de una función holomorfa no son independientes, sino que están vinculadas por esta relación.

🟡 Lina: Así es. Además hay una consecuencia importante. Derivando la primera ecuación de Cauchy-Riemann respecto a $x$ y la segunda respecto a $y$:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}\]

Usando que las derivadas parciales mixtas de $v$ son iguales ($\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}$) y sumando:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Es decir, la parte real $u$ de una función holomorfa satisface la ecuación de Laplace (función armónica). Análogamente, la parte imaginaria $v$ también es armónica.

🔵 Kai: ¿Eh, solo por ser holomorfa automáticamente satisface la ecuación de Laplace? Qué restricción tan fuerte...

Verificación con ejemplos concretos¶

🟡 Lina: Verifiquemos la condición de Cauchy-Riemann con varias funciones.

Ejemplo 1: $f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$

Con $u = x^2 - y^2$, $v = 2xy$:

\[\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \quad \checkmark\]

\[\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -2y \quad \checkmark\]

Ejemplo 2: $f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$

Con $u = e^x \cos y$, $v = e^x \sin y$:

\[\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y \quad \checkmark\]

\[\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y, \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -e^x \sin y \quad \checkmark\]

Ejemplo 3 (no holomorfa): $f(z) = |z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2$

Con $u = x^2 + y^2$, $v = 0$:

\[\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0\]

$2x \neq 0$ (en general), así que no satisface la condición de Cauchy-Riemann. Es natural, ya que depende de $\bar{z}$.

Tabla E.2: Determinación de la holomorfia de funciones representativas

Función	¿Holomorfa?	Razón
$f(z) = z^n$	✓	No depende de $\bar{z}$
$f(z) = e^z$	✓	Satisface las ecuaciones de CR
$f(z) = 1/z$	✓ ($z \neq 0$)	Tiene singularidad en $z = 0$
$f(z) =	z	^2 = z\bar{z}$
$f(z) = \bar{z}$	✗	$\partial_{\bar{z}}\bar{z} = 1 \neq 0$
> 📝 Ejercicios:
>
> - Verificación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann → Problema B-4. Cauchy-Riemann: verificación con $z^2$, [Problema B-5. Cauchy-Riemann: $	z	^2$ no las satisface](../problems/appendix_e.md#string-appe-cr-fails-mod-z-squared)

Funciones holomorfas como aplicaciones conformes¶

🟡 Lina: Las funciones holomorfas tienen una propiedad geométrica muy importante. Cuando $w = f(z)$ es holomorfa y $f'(z_0) \neq 0$, esta aplicación preserva los ángulos (es conforme).

🔵 Kai: ¿Qué significa preservar los ángulos?

🟡 Lina: Cuando dos curvas que pasan por el punto $z_0$ se cruzan con un ángulo $\alpha$, las dos curvas transformadas por $f$ también se cruzan con el mismo ángulo $\alpha$.

Te lo demuestro. Consideramos una curva $z(t)$ que pasa por $z_0$; la curva transformada es $w(t) = f(z(t))$. El vector tangente es:

\[\frac{dw}{dt} = f'(z) \frac{dz}{dt}\]

Escribiendo $f'(z_0) = |f'(z_0)| e^{i\phi}$ en forma polar, el argumento del vector tangente es:

\[\arg\left(\frac{dw}{dt}\right) = \phi + \arg\left(\frac{dz}{dt}\right)\]

Es decir, todas las direcciones rotan uniformemente un ángulo $\phi$. El ángulo entre dos curvas no cambia.

⚪ Mei: Resumiendo la explicación de la profesora Lina, como todas las direcciones rotan el mismo ángulo, el ángulo entre curvas se conserva.

🟡 Lina: Esta es la razón por la que en Cap. 16 las transformaciones conformes se describen mediante funciones holomorfas. "Conforme" = "preserva ángulos" = "holomorfa".

Fig. E.4: Aplicación conforme mediante función holomorfa. Figura E_4: La función holomorfa $w = f(z)$ preserva los ángulos. Dos curvas que se cruzan con ángulo $\alpha$ en el plano $z$ también se cruzan con el mismo ángulo $\alpha$ en el plano $w$.

📝 Ejercicios:

Ejemplo concreto de aplicación conforme → Problema A-1. Transformación conforme $w = 1/z$

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la condición para que una función compleja $f(z, \bar{z})$ sea holomorfa, expresada con derivadas parciales?

Respuesta

$\partial_{\bar{z}} f = 0$ (que $f$ no dependa de $\bar{z}$).

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se escriben las condiciones de Cauchy-Riemann en términos de la parte real e imaginaria $f = u + iv$?

Respuesta

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$.

✅ Verificación de comprensión: ¿Qué propiedad geométrica tiene la aplicación dada por una función holomorfa $w = f(z)$ ($f'(z_0) \neq 0$)?

Respuesta

Es una aplicación que preserva ángulos (aplicación conforme).

E.5　Aplicaciones conformes y transformaciones conformes¶

Transformación de Möbius¶

🟡 Lina: La clase más importante de transformaciones conformes es la transformación de Möbius (transformación lineal fraccionaria):

\[\boxed{w = \frac{az + b}{cz + d}, \qquad ad - bc \neq 0} \tag{E.10}\]

donde $a, b, c, d$ son constantes complejas.

🔵 Kai: ¿Por qué se necesita $ad - bc \neq 0$?

🟡 Lina: Si $ad - bc = 0$, $w$ se convierte en constante (la aplicación degenera). Compruébalo. Cuando $ad = bc$ se tiene $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, así que:

\[w = \frac{az + b}{cz + d} = \frac{a(z + b/a)}{c(z + d/c)} = \frac{a}{c} \cdot \frac{z + b/a}{z + b/a} = \frac{a}{c}\]

(Se usó $b/a = d/c$). Una aplicación constante pierde información, así que se excluye.

Derivada de la transformación de Möbius y conformidad¶

Calculamos la derivada de $w = f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$:

\[f'(z) = \frac{a(cz+d) - c(az+b)}{(cz+d)^2} = \frac{acz + ad - acz - bc}{(cz+d)^2} = \frac{ad - bc}{(cz+d)^2}\]

Cuando $ad - bc \neq 0$ y $cz + d \neq 0$, se tiene $f'(z) \neq 0$, confirmando que es una aplicación conforme.

Transformación de Möbius y matrices¶

🟡 Lina: La transformación de Möbius corresponde a una matriz $2 \times 2$:

\[w = \frac{az+b}{cz+d} \quad \longleftrightarrow \quad M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]

La composición de dos transformaciones de Möbius corresponde al producto de matrices. Verifiquémoslo.

Aplicando $w_1 = \frac{a_1 z + b_1}{c_1 z + d_1}$ seguido de $w_2 = \frac{a_2 w + b_2}{c_2 w + d_2}$:

\[w_2 = \frac{a_2 \cdot \frac{a_1 z + b_1}{c_1 z + d_1} + b_2}{c_2 \cdot \frac{a_1 z + b_1}{c_1 z + d_1} + d_2}\]

Multiplicando numerador y denominador por $(c_1 z + d_1)$:

\[= \frac{a_2(a_1 z + b_1) + b_2(c_1 z + d_1)}{c_2(a_1 z + b_1) + d_2(c_1 z + d_1)} = \frac{(a_2 a_1 + b_2 c_1)z + (a_2 b_1 + b_2 d_1)}{(c_2 a_1 + d_2 c_1)z + (c_2 b_1 + d_2 d_1)}\]

Esto es la transformación de Möbius correspondiente al producto de matrices:

\[M_2 M_1 = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 a_1 + b_2 c_1 & a_2 b_1 + b_2 d_1 \\ c_2 a_1 + d_2 c_1 & c_2 b_1 + d_2 d_1 \end{pmatrix}\]

🔵 Kai: Si la composición es el producto de matrices, ¿también existe la transformación inversa? Como las matrices tienen inversa.

🟡 Lina: Buena observación. La transformación inversa corresponde a la matriz inversa, y la transformación que no hace nada (identidad) corresponde a la matriz identidad.

⚪ Mei: Es decir, el conjunto de todas las transformaciones de Möbius es cerrado bajo el producto de matrices. Al componerlas, el resultado sigue siendo una transformación de Möbius.

🔵 Kai: Cerrado bajo composición, existe la inversa, existe la identidad... parece que todo está completo. ¿Es casualidad?

🟡 Lina: No es casualidad. A una estructura así — "cerrada bajo composición, con inverso y elemento identidad" — en matemáticas se le llama grupo (lo tratamos en detalle en Apéndice D). Estrictamente también se necesita la "asociatividad" — es decir $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ (agrupar tres transformaciones en cualquier orden da el mismo resultado) — pero como el producto de matrices es asociativo, se cumple automáticamente.

🟡 Lina: Además, las matrices $M$ y $\lambda M$ ($\lambda \neq 0$) dan la misma transformación de Möbius (el $\lambda$ aparece en numerador y denominador y se cancela). Así que se puede normalizar a $\det M = ad - bc = 1$. El conjunto de todas las matrices $2\times 2$ complejas que satisfacen esta condición se escribe $\text{SL}(2, \mathbb{C})$ (SL es la abreviatura de Special Linear, el grupo lineal especial con "determinante = 1").

🔵 Kai: Si multiplicar por $\lambda$ da la misma transformación, ¿se puede fijar el determinante en 1?

🟡 Lina: Eligiendo $\lambda = 1/\sqrt{\det M}$ se obtiene $\det(\lambda M) = \lambda^2 \det M = 1$. Sin embargo, queda la libertad del signo de $\lambda$. Es decir, las matrices $M$ y $-M$ dan la misma transformación de Möbius (los signos en numerador y denominador se cancelan). Por lo tanto, el grupo que identifica $\pm I$ ($I$ es la matriz identidad) es:

\[\text{Grupo de transformaciones de Möbius} \cong \text{SL}(2, \mathbb{C}) / \{\pm I\} = \text{PSL}(2, \mathbb{C})\]

(PSL es la abreviatura de Projective Special Linear. "Proyectivo" significa "considerar como idénticos los múltiplos por constantes globales", que aquí corresponde a "identificar $M$ y $-M$ como la misma transformación". No hace falta memorizar el nombre — lo importante es la estructura "grupo de transformaciones de Möbius ≅ $\text{SL}(2, \mathbb{C})/\{\pm I\}$".)

Casos especiales de la transformación de Möbius¶

🟡 Lina: Toda transformación de Möbius se puede escribir como composición de 3 tipos de operaciones básicas:

Traslación: $w = z + b$ ($a=1, c=0, d=1$)
Rotación y dilatación: $w = az$ ($b=0, c=0, d=1$)
Inversión: $w = 1/z$ ($a=0, b=1, c=1, d=0$)

🔵 Kai: ¿Con solo 3 tipos de operaciones se pueden construir todas las transformaciones de Möbius?

🟡 Lina: Sí. Una transformación de Möbius general con $c \neq 0$ se descompone separando el numerador $az + b$ en un múltiplo constante de $cz + d$ más un resto (si $c = 0$ entonces $w = (a/d)z + b/d$ que es simplemente rotación/dilatación + traslación):

\[\frac{az+b}{cz+d} = \frac{a}{c} + \frac{b - ad/c}{cz+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cz+d)} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \cdot \frac{1}{z + d/c}\]

(Primera igualdad: se descompuso el numerador como $az + b = \frac{a}{c}(cz+d) + (b - \frac{ad}{c})$. Verificación: $\frac{a}{c}(cz+d) = az + \frac{ad}{c}$, así que el resto es $az + b - az - \frac{ad}{c} = b - \frac{ad}{c}$ ✓. Segunda igualdad: se usó $b - ad/c = (bc - ad)/c$.)

Leyendo esta forma final como secuencia de operaciones sobre $z$:

Primero trasladar $z$ en $d/c$: $z \mapsto z + d/c$
Inversión: $z + d/c \mapsto \frac{1}{z + d/c}$
Rotación-dilatación (multiplicar por el coeficiente $\frac{bc-ad}{c^2}$): $\frac{1}{z+d/c} \mapsto \frac{bc-ad}{c^2} \cdot \frac{1}{z+d/c}$
Finalmente trasladar en $a/c$: $\mapsto \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \cdot \frac{1}{z+d/c}$

Es decir, toda transformación de Möbius se escribe como composición de "traslación → inversión → rotación-dilatación → traslación". (Nótese que $bc - ad = -(ad - bc) \neq 0$ así que el coeficiente del paso 3 no es cero. Solo cambia el signo, y la condición de no degeneración $ad - bc \neq 0$ es la que actúa.)

⚪ Mei: Es decir, por complicada que parezca una transformación de Möbius, si la descomponemos en las 3 operaciones básicas, su contenido se hace visible.

Conexión con la teoría de cuerdas¶

🟡 Lina: Como aprenderás en Cap. 16, las transformaciones conformes globales sobre la hoja de mundo de la cuerda se describen mediante transformaciones de Möbius ($\text{SL}(2, \mathbb{C})$). Al calcular amplitudes de dispersión de cuerdas, se puede usar la libertad de las transformaciones de Möbius para fijar las posiciones de 3 operadores de vértice. Esto es lo que se llama "fijación de gauge $\text{SL}(2, \mathbb{C})$".

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la condición para que la transformación de Möbius $w = \frac{az+b}{cz+d}$ sea no degenerada?

Respuesta

$ad - bc \neq 0$.

📝 Ejercicios:

Composición de transformaciones de Möbius → Problema M-3. Composición de transformaciones de Möbius

✅ Verificación de comprensión: La composición de dos transformaciones de Möbius, ¿a qué operación de las matrices correspondientes equivale?

Respuesta

Corresponde al producto de matrices.

E.6　Expansión de Taylor y expansión de Laurent¶

Expansión de Taylor¶

🟡 Lina: Una función holomorfa se puede expandir en serie de Taylor en la región donde es holomorfa:

\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n, \qquad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \tag{E.11}\]

El rango donde esta serie converge es el interior de un círculo centrado en $z_0$. El radio de ese círculo (radio de convergencia) está determinado por la distancia desde $z_0$ hasta la singularidad más cercana. Intuitivamente, la función es "suave" hasta llegar a la singularidad y se puede representar por la serie, pero al alcanzar la singularidad la función diverge y la serie también falla.

Necesidad de la expansión de Laurent¶

🔵 Kai: ¿Qué pasa con funciones que tienen singularidades? $1/z$ diverge en $z = 0$, así que no se puede expandir en Taylor, ¿verdad?

🟡 Lina: Así es. Para funciones con singularidades se necesita la expansión de Laurent, que incluye también potencias negativas:

\[\boxed{f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n} \tag{E.12}\]

Coeficientes de la expansión de Laurent¶

🟡 Lina: ¿Cómo se determinan los coeficientes $a_n$? Voy a derivarlo.

Fig. E.5: Región anular de convergencia de la expansión de Laurent. Figura E_5: La expansión de Laurent converge en la región anular (anillo) $R_1 < |z - z_0| < R_2$ que rodea la singularidad $z_0$. La parte holomorfa converge dentro del círculo exterior, y la parte principal converge fuera del círculo interior.

Supongamos que $f$ es holomorfa en la región anular entre dos círculos concéntricos $C_1$ (radio $R_1$) y $C_2$ (radio $R_2 > R_1$) centrados en $z_0$.

La fórmula para los coeficientes de Laurent se deriva de la fórmula integral de Cauchy de E.7「Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos」 (la idea es: se multiplica la expansión de Laurent por $(w-z_0)^{-n-1}$ sobre $C$ y se integra término a término. Aparecen integrales de la forma $\oint_C (w-z_0)^{m-n-1}dw$, que son $2\pi i$ solo cuando $m = n$ y 0 en los demás casos, así que solo sobrevive el término $a_n$).

🔵 Kai: "Solo es no nulo cuando $m = n$", ¿es el mismo mecanismo que en la expansión de Fourier, donde al integrar el producto $e^{im\theta}$ y $e^{-in\theta}$ solo queda cuando $m = n$?

🟡 Lina: ¡Exactamente! Confirmemos esta "ortogonalidad" concretamente. Parametrizando $w = z_0 + re^{i\theta}$ ($0 \leq \theta \leq 2\pi$), se tiene $dw = ire^{i\theta}d\theta$, $(w-z_0)^k = r^k e^{ik\theta}$, así que:

\[\oint_C (w-z_0)^k\,dw = \int_0^{2\pi} r^k e^{ik\theta}\cdot ir e^{i\theta}\,d\theta = ir^{k+1}\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\,d\theta\]

Cuando $k+1 \neq 0$ (es decir $k \neq -1$), $e^{i(k+1)\theta} = \cos((k+1)\theta) + i\sin((k+1)\theta)$, así que $\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}d\theta = \int_0^{2\pi}\cos((k+1)\theta)\,d\theta + i\int_0^{2\pi}\sin((k+1)\theta)\,d\theta$. Tanto el $\cos$ como el $\sin$ contienen un número entero de períodos completos, así que las partes positivas y negativas se cancelan y ambas integrales son 0. Cuando $k = -1$, $e^{i \cdot 0 \cdot \theta} = 1$, así que $\int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi$. El resultado es $i r^0 \cdot 2\pi = 2\pi i$.

Es decir: $\oint_C (w-z_0)^k\,dw = \begin{cases} 2\pi i & (k = -1) \\ 0 & (k \neq -1) \end{cases}$

⚪ Mei: Esta es la "ortogonalidad" en versión compleja. Que solo sobreviva $k = -1$ corresponde a la $\delta_{mn}$ de Fourier.

🟡 Lina: Esto tiene la misma estructura que la ortogonalidad de las funciones trigonométricas ($\int_0^{2\pi} \cos(m\theta)\cos(n\theta)\,d\theta$ es no nula solo cuando $m = n$), y en las series de Fourier se generaliza como la "ortogonalidad" de que $\int_0^{2\pi} e^{ik\theta} e^{-il\theta} d\theta$ es no nula solo cuando $k = l$. Aquí enunciamos el resultado primero y nos familiarizamos con su uso. Sobre un círculo $C$ de radio $r$ ($R_1 < r < R_2$) centrado en $z_0$:

\[a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{(w - z_0)^{n+1}} dw \tag{E.13}\]

⚪ Mei: ¿Para $n \geq 0$ esto es consistente con el coeficiente de Taylor $a_n = f^{(n)}(z_0)/n!$?

🟡 Lina: Buena pregunta. Si $f$ es holomorfa en $z_0$, la fórmula integral de Cauchy que demostraremos más adelante da:

\[f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw\]

así que efectivamente $a_n = f^{(n)}(z_0)/n!$.

Estructura de la expansión de Laurent¶

La parte con $n \geq 0$: parte holomorfa (parte analítica)

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]

La parte con $n < 0$: parte principal (principal part)

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z - z_0)^{-n} = \frac{a_{-1}}{z-z_0} + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \cdots\]

La parte principal describe la estructura de la singularidad.

Clasificación de singularidades¶

Tabla E.3: Clasificación de singularidades de funciones complejas

Tipo	Condición	Ejemplo
Singularidad evitable	No hay parte principal ($a_n = 0$ para todo $n < 0$)	$\frac{\sin z}{z}$ en $z = 0$
Polo de orden $N$	$a_{-N} \neq 0$, $a_n = 0$ para $n < -N$	$\frac{1}{z^N}$ en $z = 0$
Singularidad esencial	La parte principal es infinita	$e^{1/z}$ en $z = 0$

Ejemplo concreto 1: singularidad evitable¶

$f(z) = \frac{\sin z}{z}$. Expansión de Taylor de $\sin z$:

\[\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots\]

Dividiendo por $z$:

\[\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \cdots\]

¡No hay potencias negativas! Si se define $f(0) = 1$, la función es holomorfa también en $z = 0$. Por eso se llama "evitable".

Ejemplo concreto 2: polo¶

Expansión de Laurent de $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ alrededor de $z = 0$.

Descomposición en fracciones parciales:

\[\frac{1}{z(z-1)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z-1}\]

Multiplicando ambos lados por $z(z-1)$:

\[1 = A(z-1) + Bz\]

$z = 0$: $1 = -A$ → $A = -1$

$z = 1$: $1 = B$ → $B = 1$

\[f(z) = -\frac{1}{z} + \frac{1}{z-1}\]

En $0 < |z| < 1$ (región anular alrededor de $z = 0$), expandimos $\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z}$ en serie geométrica:

\[\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z} = -(1 + z + z^2 + z^3 + \cdots)\]

Por lo tanto:

\[f(z) = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - z^3 - \cdots\]

$z = 0$ es un polo de orden 1. La parte principal es solo $-1/z$. $a_{-1} = -1$.

Ejemplo concreto 3: singularidad esencial¶

$f(z) = e^{1/z}$. Usando la expansión de Taylor de $e^w$ con $w = 1/z$:

\[e^{1/z} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! \, z^n}\]

Las potencias negativas continúan infinitamente → singularidad esencial.

🔵 Kai: ¿En qué se diferencia una singularidad esencial de un polo?

🟡 Lina: En un polo, $|f(z)| \to \infty$ ($z \to z_0$), pero en una singularidad esencial los valores de $f$ se aproximan a todos los valores complejos en las cercanías de $z_0$ (gran teorema de Picard). El comportamiento es extremadamente complejo.

Fig. E.6: Clasificación de polos y singularidades esenciales. Figura E_6: Izquierda: polo de orden 1, $1/z$ ($|f| \to \infty$ con divergencia controlada). Centro: polo de orden 2, $1/z^2$. Derecha: singularidad esencial $e^{1/z}$ (los valores oscilan violentamente cuando $z \to 0$).

Relación con la expansión en modos¶

🟡 Lina: En la cuantización de la cuerda de Cap. 14, el campo $X^\mu(\sigma, \tau)$ se expandió en modos (véase Cap. 14):

\[X^\mu = x^\mu + \alpha' p^\mu \ln|z|^2 + i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}} \sum_{n \neq 0} \frac{\alpha_n^\mu}{n} z^{-n} + \cdots\]

Esto es esencialmente una expansión de Laurent. Cada modo $\alpha_n^\mu$ corresponde a un coeficiente de Laurent $a_n$.

🔵 Kai: ¡Ah, la expansión en modos de la cuerda era una expansión de Laurent! Los $\alpha_n$ son literalmente los $a_n$.

🟡 Lina: Exacto. En la teoría de campos conformes de Cap. 16, los coeficientes de la expansión de Laurent de un campo se convierten en operadores de modo, y sus relaciones de conmutación determinan la estructura algebraica.

📝 Ejercicios:

Expansión de Laurent y clasificación de singularidades → Problema B-8. Desarrollo de Laurent y residuo de $1/z^2$, Problema B-9. Desarrollo de Laurent de $e^{1/z}$

✅ Verificación de comprensión: En la expansión de Laurent, ¿cómo se llama la parte de los términos con $n < 0$ (potencias negativas)?

Respuesta

Se llama parte principal (principal part). Es la parte que describe la estructura de la singularidad.

✅ Verificación de comprensión: ¿Qué condición sobre los coeficientes de la expansión de Laurent debe cumplirse para que $z = z_0$ sea un polo de orden $N$?

Respuesta

$a_{-N} \neq 0$ y $a_n = 0$ para todo $n < -N$ (la parte principal termina en el término $(z-z_0)^{-N}$).

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la relación entre la expansión en modos de la teoría de cuerdas y la expansión de Laurent?

Respuesta

Cada coeficiente de la expansión de Laurent del campo corresponde a un operador de modo $\alpha_n^\mu$.

E.7　Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos¶

Teorema integral de Cauchy (punto de partida)¶

🟡 Lina: Empecemos con el teorema fundamental. Si $f(z)$ es holomorfa en el interior de una curva cerrada $C$:

\[\oint_C f(z) \, dz = 0 \tag{E.14}\]

🔵 Kai: ¿Por qué la integral es 0 si la función es holomorfa?

🟡 Lina: Te doy una explicación intuitiva. Descomponemos la integral compleja en parte real e imaginaria:

\[\oint_C f(z)\,dz = \oint_C (u + iv)(dx + i\,dy) = \oint_C (u\,dx - v\,dy) + i\oint_C (v\,dx + u\,dy)\]

Usamos el teorema de Green (teorema de Stokes en 2D) que aprendimos en Relatividad General Relatividad General Apéndice A:

\[\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy\]

Este teorema es la relación "integral de línea a lo largo de una curva cerrada (lado izquierdo) = integral de superficie del interior (lado derecho)".

El lado izquierdo es una integral de línea a lo largo de la curva cerrada $C$. Es la misma idea que en física de bachillerato cuando calculas "el trabajo que una fuerza $\vec{F}$ realiza sobre un objeto a lo largo de un camino: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$": $\oint_C (P\,dx + Q\,dy)$ es la operación de "sumar $P \cdot dx + Q \cdot dy$ en cada punto de la curva".

El lado derecho es la integral de superficie sobre la región $D$ encerrada por $C$. El significado físico del teorema de Green es: "la integral de línea a lo largo de una curva cerrada (izquierda) = la suma de las contribuciones microscópicas del interior (derecha)". En una analogía con el flujo de agua, la intensidad del flujo que recorre todo el perímetro exterior es igual a la suma de todos los vórtices del interior. (Intuitivamente, si se divide $D$ en pequeños rectángulos, las contribuciones de los lados compartidos entre vecinos se cancelan y solo quedan los lados del perímetro exterior. La demostración rigurosa está en Relatividad General Relatividad General Apéndice A.)

⚪ Mei: "Los lados vecinos se cancelan" significa que los lados compartidos de los pequeños cuadrados adyacentes se recorren en sentidos opuestos y se anulan, ¿verdad? Solo quedan los lados del perímetro exterior.

🟡 Lina: Exacto. Ahora usemos el teorema de Green para demostrar el teorema integral de Cauchy. Aplicando a la integral de la parte real ($P = u$, $Q = -v$):

\[\oint_C (u\,dx - v\,dy) = \oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \iint_D \left(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right) dx\,dy\]

Por la condición de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$:

\[= \iint_D \left(-\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) dx\,dy = 0\]

La parte imaginaria también es 0 de forma análoga. Por lo tanto $\oint_C f(z)\,dz = 0$.

🔵 Kai: Ya veo... si la función no es holomorfa, la condición de Cauchy-Riemann no se cumple, esta cancelación no ocurre y la integral no es cero.

🟡 Lina: Exacto. La cancelación ocurre gracias a la condición de Cauchy-Riemann: es el privilegio de las funciones holomorfas.

Derivación de la fórmula integral de Cauchy¶

🟡 Lina: A continuación, cuando $f(z)$ es holomorfa en el interior de $C$ y $z$ es un punto interior a $C$:

\[\boxed{f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{w - z} \, dw} \tag{E.15}\]

Voy a derivar esto.

El integrando $g(w) = \frac{f(w)}{w-z}$ tiene un polo de orden 1 en $w = z$. Tomamos un pequeño círculo $C_\epsilon$ (radio $\epsilon$) centrado en $z$ dentro de $C$.

$g(w)$ es holomorfa en la región entre $C$ y $C_\epsilon$ (porque excluimos $w = z$).

Aquí explico la aplicación del teorema integral de Cauchy a la región anular. El teorema integral de Cauchy dice "la integral a lo largo de la frontera de una región holomorfa es 0". La frontera de la región anular consta de dos curvas: la exterior $C$ y la interior $C_\epsilon$. Sin embargo, la orientación correcta como "frontera" es aquella que deja la región a la izquierda. La exterior $C$ va en sentido antihorario, y la interior $C_\epsilon$ va en sentido horario. Si unificamos $C_\epsilon$ a sentido antihorario, el signo se invierte, así que el teorema integral de Cauchy da:

\[\oint_C g(w)\,dw - \oint_{C_\epsilon} g(w)\,dw = 0\]

(Aquí $\oint_{C_\epsilon}$ es en sentido antihorario.)

Por lo tanto:

\[\oint_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw = \oint_{C_\epsilon} \frac{f(w)}{w-z}\,dw\]

🔵 Kai: La integral sobre el círculo exterior es igual a la integral sobre el pequeño círculo interior. Al "evitar" la singularidad creando la región anular, allí la función es holomorfa y se puede usar el teorema integral.

🟡 Lina: Exacto. Parametrizando sobre $C_\epsilon$ con $w = z + \epsilon e^{i\theta}$ ($0 \leq \theta \leq 2\pi$), se tiene $dw = i\epsilon e^{i\theta} d\theta$, $w - z = \epsilon e^{i\theta}$:

\[\oint_{C_\epsilon} \frac{f(w)}{w-z}\,dw = \int_0^{2\pi} \frac{f(z + \epsilon e^{i\theta})}{\epsilon e^{i\theta}} \cdot i\epsilon e^{i\theta}\,d\theta = i\int_0^{2\pi} f(z + \epsilon e^{i\theta})\,d\theta\]

Tomando el límite $\epsilon \to 0$, por la continuidad de $f$, $f(z + \epsilon e^{i\theta}) \to f(z)$:

\[= i \int_0^{2\pi} f(z)\,d\theta = 2\pi i \, f(z)\]

Por lo tanto:

\[\oint_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw = 2\pi i \, f(z)\]

Dividiendo ambos lados por $2\pi i$ obtenemos la ecuación (E.15).

🔵 Kai: Impresionante. ¿Significa que el valor de una función holomorfa está completamente determinado solo por los valores en la frontera? Con una función real suave, uno podría mantener los mismos valores en la circunferencia y cambiarla libremente en el interior. ¿Por qué con funciones complejas eso no es posible?

🟡 Lina: Buena pregunta. Las funciones reales solo tienen como condición la "suavidad", pero las funciones holomorfas tienen la restricción adicional de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esta restricción es muy fuerte y limita enormemente los grados de libertad de la función. Esta es la "rigidez" de las funciones holomorfas. Los valores interiores están determinados unívocamente por los datos de la frontera. En física, esto se convierte en la base de la continuación analítica de amplitudes de dispersión y las relaciones de dispersión.

Fórmula para derivadas de orden superior¶

🟡 Lina: Derivando la fórmula integral de Cauchy respecto a $z$, se obtiene la fórmula para la derivada de orden $n$:

\[f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw \tag{E.16}\]

Esto se obtiene derivando ambos lados de la ecuación (E.15) $n$ veces respecto a $z$ ($\partial/\partial z$ se puede meter dentro de $\oint$):

\[\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{w-z} = \frac{1}{(w-z)^2}, \quad \frac{\partial^2}{\partial z^2} \frac{1}{w-z} = \frac{2}{(w-z)^3}, \quad \ldots\]

En general $\frac{\partial^n}{\partial z^n} \frac{1}{w-z} = \frac{n!}{(w-z)^{n+1}}$.

Definición de residuo¶

🟡 Lina: Al coeficiente de $(z-z_0)^{-1}$ en la expansión de Laurent se le llama residuo (residue):

\[\text{Res}_{z=z_0} f(z) = a_{-1} \tag{E.17}\]

Poniendo $n = -1$ en la ecuación (E.13):

\[a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(w)\,dw\]

Es decir:

\[\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \, a_{-1} = 2\pi i \, \text{Res}_{z=z_0} f(z) \tag{E.18}\]

($C$ es un pequeño círculo que rodea solo a $z_0$)

🔵 Kai: ¡De todos los términos de la expansión de Laurent, solo el término $(z-z_0)^{-1}$ contribuye a la integral de contorno! Se conecta con el cálculo de ortogonalidad de antes donde solo sobrevivía $k = -1$.

Derivación del teorema de los residuos¶

🟡 Lina: Consideremos el caso en que hay varias singularidades $z_1, z_2, \ldots, z_N$ dentro de la curva cerrada $C$. Observa la situación de Fig. E.7「Significado geométrico del teorema de los residuos」, donde cada singularidad está rodeada por un pequeño círculo.

Fig. E.7: Significado geométrico del teorema de los residuos. Figura E_7: Cada singularidad $z_k$ dentro de la curva cerrada $C$ se rodea con un pequeño círculo $C_k$. La integral sobre $C$ es igual a la suma de las integrales sobre cada $C_k$ (= $2\pi i \times$ residuo).

Tomamos un pequeño círculo $C_k$ alrededor de cada singularidad $z_k$. $f$ es holomorfa en la región interior a $C$ de la que se excluyen todos los interiores de $C_k$. Aplicando el teorema integral de Cauchy a esta región:

\[\oint_C f(z)\,dz - \sum_{k=1}^{N} \oint_{C_k} f(z)\,dz = 0\]

Por la ecuación (E.18), cada $\oint_{C_k} f(z)\,dz = 2\pi i \, \text{Res}_{z=z_k} f(z)$, así que:

\[\boxed{\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{N} \text{Res}_{z=z_k} f(z)} \tag{E.19}\]

Este es el teorema de los residuos.

⚪ Mei: Es decir, sin conocer el comportamiento global del integrando, la integral sobre una curva cerrada se determina completamente solo con la información local de las singularidades (los residuos).

Métodos de cálculo de residuos¶

🟡 Lina: Resumo los métodos para calcular residuos en la práctica.

Caso de polo simple (orden 1): Cuando $f(z)$ tiene un polo de orden 1 en $z = z_0$:

\[\text{Res}_{z=z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \tag{E.20}\]

Derivación: $f(z) = \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$ así que $(z-z_0)f(z) = a_{-1} + a_0(z-z_0) + \cdots$. Cuando $z \to z_0$, queda $a_{-1}$.

Caso de polo de orden $N$: Cuando $f(z)$ tiene un polo de orden $N$ en $z = z_0$:

\[\text{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{(N-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}} \left[(z-z_0)^N f(z)\right] \tag{E.21}\]

Derivación: $(z-z_0)^N f(z) = a_{-N} + a_{-N+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{N-1} + \cdots$

Al derivar $(N-1)$ veces, sobrevive $(N-1)! \, a_{-1}$ del término $(z-z_0)^{N-1}$.

Caso $f(z) = p(z)/q(z)$ donde $q$ tiene un cero simple:

\[\text{Res}_{z=z_0} \frac{p(z)}{q(z)} = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)} \tag{E.22}\]

Derivación: $q(z) \approx q'(z_0)(z-z_0)$ ($z \to z_0$) así que $(z-z_0)f(z) \approx \frac{p(z_0)(z-z_0)}{q'(z_0)(z-z_0)} = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}$.

Ejemplos de cálculo¶

Ejemplo 1: Residuo de $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ en $z = 0$.

$z = 0$ es polo de orden 1. Usando la ecuación (E.20):

\[\text{Res}_{z=0} \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-1} = \frac{1}{-1} = -1\]

Ejemplo 2: Residuo de $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ en $z = 1$.

\[\text{Res}_{z=1} \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = 1\]

Ejemplo 3: Calcular $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z(z-1)} dz$.

Dentro de $|z| = 2$ están tanto $z = 0$ como $z = 1$. Por el teorema de los residuos:

\[\oint_{|z|=2} \frac{dz}{z(z-1)} = 2\pi i \left[\text{Res}_{z=0} + \text{Res}_{z=1}\right] = 2\pi i(-1 + 1) = 0\]

🔵 Kai: ¡Los residuos $-1$ y $+1$ se cancelan y dan 0!

Ejemplo 4: Residuo de $f(z) = \frac{e^z}{z^2}$ en $z = 0$.

$z = 0$ es polo de orden 2. Con la ecuación (E.21), $N = 2$:

\[\text{Res}_{z=0} = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left[z^2 \cdot \frac{e^z}{z^2}\right] = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} e^z = \lim_{z \to 0} e^z = 1\]

Solución alternativa: $e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \cdots$ así que $\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \cdots$. $a_{-1} = 1$.

⚪ Mei: Es tranquilizador que ambos métodos den la misma respuesta. Leer directamente la expansión de Laurent quizás sea incluso más seguro.

📝 Ejercicios:

Cálculo de residuos → Problema B-7. Residuo de $1/(z-1)$, Problema M-2. Residuos de $z/[(z-1)(z-2)]$

Integral de contorno mediante el teorema de los residuos → Problema M-1. Teorema de los residuos: dos polos

El poder del teorema de los residuos — aplicación a integrales reales¶

🔵 Kai: ¿El teorema de los residuos solo se usa para integrales complejas?

🟡 Lina: En realidad también se puede usar para integrales reales. Veamos un ejemplo famoso.

\[I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}\]

$f(z) = \frac{1}{1+z^2} = \frac{1}{(z+i)(z-i)}$ tiene polos simples en $z = \pm i$.

Tomamos como contorno de integración un gran semicírculo $C_R$ en el semiplano superior (el eje real $[-R, R]$ + un arco semicircular de radio $R$) (Fig. E.8「Contorno de integración para integral real mediante el teorema de los residuos」).

Fig. E.8: Contorno de integración para integral real mediante el teorema de los residuos. Figura E_8: Contorno de integración para calcular la integral sobre el eje real $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$: curva cerrada formada por el eje real $[-R, R]$ y el arco semicircular en el semiplano superior. Solo contribuye el polo $z = i$ del semiplano superior.

Cuando $R \to \infty$, la integral sobre el arco semicircular tiende a 0 ($|f| \sim 1/R^2$ y la longitud del arco es $\pi R$, así que $\sim \pi/R \to 0$).

El único polo en el semiplano superior es $z = i$:

\[\text{Res}_{z=i} \frac{1}{(z+i)(z-i)} = \lim_{z \to i} (z-i) \cdot \frac{1}{(z+i)(z-i)} = \frac{1}{2i}\]

Por el teorema de los residuos:

\[I = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi\]

⚪ Mei: Como la variación de $\arctan x$ de $-\infty$ a $\infty$ es $\pi$, ¡efectivamente coincide!

Uso en la teoría de campos conformes¶

🟡 Lina: En la OPE (expansión del producto de operadores) de Cap. 16, el comportamiento singular cuando dos operadores se acercan se describe mediante la expansión de Laurent:

\[A(z) B(w) \sim \sum_{n=1}^{N} \frac{C_n(w)}{(z - w)^n} + (\text{términos regulares})\]

En particular, el coeficiente de $(z-w)^{-1}$ (el residuo) corresponde a las relaciones de conmutación. La relación con la expansión en modos es:

\[A(z) = \sum_n A_n z^{-n-h_A}\]

($h_A$ es la dimensión conforme de $A$). Para extraer el modo $A_n$ se usa la integral de contorno:

\[A_n = \oint \frac{dz}{2\pi i} z^{n+h_A-1} A(z)\]

Esto es exactamente la fórmula de los coeficientes de Laurent (E.13).

🔵 Kai: Extraer los modos es una integral de contorno. La fórmula de los coeficientes de Laurent se conecta directamente con la física.

🟡 Lina: Además, las relaciones de conmutación entre modos de dos operadores son:

\[[A_m, B_n] = \oint_0 \frac{dw}{2\pi i} w^{n+h_B-1} \oint_w \frac{dz}{2\pi i} z^{m+h_A-1} A(z)B(w)\]

donde $\oint_w$ es la integral de contorno que rodea $w$. Sustituyendo la OPE y aplicando el teorema de los residuos, se calculan las relaciones de conmutación. Este es el corazón de la derivación del álgebra de Virasoro en Cap. 16.

✅ Verificación de comprensión: ¿A qué coeficiente de la expansión de Laurent corresponde el residuo (residue)?

Respuesta

Al coeficiente $a_{-1}$ del término $(z - z_0)^{-1}$.

✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué se dice que la fórmula del teorema de los residuos $\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \text{Res}_{z=z_k} f(z)$ tiene una "propiedad sorprendente"?

Respuesta

Porque la integral sobre una curva cerrada se puede calcular conociendo solo la información local de las singularidades (los residuos), sin necesidad de conocer el comportamiento global del integrando.

✅ Verificación de comprensión: ¿Qué significa físicamente la fórmula integral de Cauchy $f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(w)}{w-z}dw$?

Respuesta

Los valores interiores de una función holomorfa están completamente determinados solo por los datos en la frontera (rigidez de las funciones holomorfas).

E.8　Función de Green del campo libre en 2D¶

🟡 Lina: En Cap. 16 16.4「Expansión del producto de operadores (OPE)」, la función de dos puntos del bosón libre $\langle X(z,\bar{z})\, X(w,\bar{w})\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2$ apareció de forma abrupta. Aquí derivamos esta fórmula — "por qué es una función logarítmica" — usando solo las herramientas preparadas en E.3「Coordenadas complejas $z, \bar{z}$ y derivadas」 y E.7「Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos」. No entraremos en los detalles de la integral de camino, pero si lo reducimos al hecho de que "la función de Green fundamental del laplaciano en 2D es el logaritmo", el resto se puede seguir con cálculos.

E.8.1　Acción del campo libre y ecuación de la función de Green¶

🟡 Lina: La acción del bosón libre bidimensional $X(z, \bar{z})$ es, según Cap. 13:

\[ S = \frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\; \partial X\, \bar\partial X \]

Aquí omitimos el índice espacio-temporal $\mu$ y escribimos solo para una componente. La extensión a $D$ campos $X^\mu$ se hace en 「E.8.5　Extensión a $D$ campos」.

Aquí $d^2z$ es un símbolo que representa el elemento de área (el superíndice 2 no significa "$dz$ al cuadrado" sino "bidimensional"), y en este apéndice definimos $d^2z \equiv dx\,dy$. Como mostramos en la ecuación (E.7) de E.3「Coordenadas complejas $z, \bar{z}$ y derivadas」, en coordenadas complejas esto se escribe como $d^2z = dx\,dy = \frac{i}{2}dz \wedge d\bar{z}$. Es decir, $d^2z$ es simplemente el elemento de área en coordenadas reales $dx\,dy$.

(⚠️ Nota: en otros libros de texto (por ejemplo Polchinski) existe la convención de definir el elemento de área como $d^2z_{\text{Pol}} = 2dx\,dy$. En ese caso cambia el coeficiente delante de la acción, pero el contenido físico es el mismo. Al leer otra bibliografía, verifica la definición del elemento de área.)

También abreviamos $\partial \equiv \partial_z$, $\bar\partial \equiv \partial_{\bar{z}}$. La ecuación de movimiento clásica es $\partial \bar\partial X = 0$ (según E.3「Coordenadas complejas $z, \bar{z}$ y derivadas」, como $\nabla^2 = 4\partial\bar\partial$, esto es lo mismo que $\nabla^2 X = 0$).

🔵 Kai: Ya veo, la ecuación de movimiento es la ecuación de Laplace misma. Se conecta con lo que dijiste antes de que la solución se separa en $f(z) + g(\bar{z})$.

🟡 Lina: En la teoría cuántica, la función de dos puntos $G(z, w) = \langle X(z,\bar{z})\, X(w,\bar{w})\rangle$ calculada mediante la integral de camino satisface la siguiente ecuación. Identifiquemos el operador diferencial que determina la forma de la ecuación a partir de la variación de la acción. Primero confirmemos el coeficiente del operador diferencial. Variamos la acción $S = \frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\, \partial X\, \bar\partial X$ respecto a $X$. Tomando la variación a primer orden con $X \to X + \delta X$: $\delta S = \frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\,(\partial(\delta X)\,\bar\partial X + \partial X\,\bar\partial(\delta X))$. Integramos por partes cada término. Recuerda la integración por partes unidimensional $\int_a^b u\,v'\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$. En la integral de superficie bidimensional se puede hacer lo mismo — si se fija $\bar{z}$ y se mira solo la dirección $z$, es lo mismo que la integración por partes unidimensional.

🔵 Kai: Es decir, ¿"transferir" el $\partial$ de $\partial(\delta X)$ al $\bar\partial X$ vecino? Con la misma idea que en una dimensión $\int u'v\,dx = -\int uv'\,dx$ (ignorando términos de frontera).

🟡 Lina: Exacto. En el primer término $\int d^2z\, (\partial(\delta X))\, \bar\partial X$, movemos $\partial$ del lado de $\delta X$ al lado de $\bar\partial X$ por integración por partes. El signo se invierte:

\[\int d^2z\, (\partial(\delta X))\, \bar\partial X = -\int d^2z\, \delta X\, \partial\bar\partial X + (\text{términos de frontera})\]

Aquí consideramos un plano infinitamente extenso, y asumimos que $X$ decrece suficientemente rápido en el infinito, así que los términos de frontera se anulan (en el caso de una hoja de mundo cerrada, también se anulan porque no hay frontera). En el segundo término $\int d^2z\, \partial X\, (\bar\partial(\delta X))$, ahora movemos $\bar\partial$ del lado de $\delta X$ al lado de $\partial X$. Integrando por partes de la misma manera, el signo se invierte y obtenemos $-\int d^2z\, (\bar\partial\partial X)\, \delta X$ ($\bar\partial$ actúa sobre $\partial X$ dando $\bar\partial\partial X$). Como $\partial\bar\partial = \bar\partial\partial$ (intercambio del orden de derivadas parciales mixtas), ambos términos dan $-\frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\,(\partial\bar\partial X)\,\delta X$, y sumados:

\[\delta S = -\frac{1}{\pi\alpha'}\int d^2z\,(\partial\bar\partial X)\,\delta X\]

⚪ Mei: Ya veo, del primer término sale $\partial\bar\partial X$ y del segundo también sale lo mismo, así que el coeficiente se duplica y $1/(2\pi\alpha')$ se convierte en $1/(\pi\alpha')$.

🟡 Lina: Así es. Como $\delta S = 0$ debe cumplirse para todo $\delta X$, se obtiene la ecuación de movimiento $-\frac{1}{\pi\alpha'}\partial\bar\partial X = 0$. Es decir, el operador diferencial es $-\frac{1}{\pi\alpha'}\partial\bar\partial$.

La función de Green se define como la "inversa" de este operador diferencial:

\[ \boxed{-\frac{1}{\pi\alpha'}\partial_z\partial_{\bar{z}} G(z, w) = \delta^{(2)}(z-w)} \]

Es decir:

\[\partial_z\partial_{\bar{z}} G = -\pi\alpha'\, \delta^{(2)}(z-w) \qquad (\star)\]

Aquí $\delta^{(2)}(z-w) = \delta(x-x')\delta(y-y')$ está normalizada como $\int d^2z\, \delta^{(2)}(z-w) = 1$ ($d^2z = dx\,dy$, convención de este apéndice). (En la bibliografía con la convención de Polchinski $d^2z_{\text{Pol}} = 2dx\,dy$, la normalización de la función delta también se ajusta a $\int d^2z_{\text{Pol}}\, \delta_{\text{Pol}}^{(2)} = 1$, así que $\delta_{\text{Pol}}^{(2)} = \frac{1}{2}\delta^{(2)}$, y el coeficiente del lado derecho de la ecuación cambia. La forma final de la función de Green es la misma.)

🔵 Kai: ¿Qué es $\delta^{(2)}$ en el lado derecho? Clásicamente era $\nabla^2 X = 0$, ¿por qué aparece una función delta en el lado derecho? Además, $\delta^{(2)}$ no es una función ordinaria, ¿verdad?

🟡 Lina: Buena pregunta. Primero explico qué es $\delta^{(2)}(z-w)$. Es la versión bidimensional de la función delta de Dirac, que en coordenadas reales se escribe $\delta(x-x')\delta(y-y')$. No es una función ordinaria sino un "objeto generalizado" definido por la propiedad $\int d^2z\; \delta^{(2)}(z-w) f(z) = f(w)$. Es decir, un "filtro" que solo recoge el valor en el punto $w$.

🔵 Kai: "Solo recoge el valor en el punto $w$" significa que es cero excepto en $z = w$, ¿no? Pero si integras una función que es cero, ¿no debería dar cero?

🟡 Lina: Ahí es donde difiere de una función ordinaria. La función delta tiene "un pico infinitamente agudo" en $z = w$: su anchura es cero pero su altura es infinita, ajustada para que el área (valor de la integral) sea exactamente 1. Por ejemplo, piensa en un rectángulo de anchura $\epsilon$ y altura $1/\epsilon$. El área siempre es 1, pero cuando $\epsilon \to 0$ se convierte en una "aguja" de anchura cero y altura infinita. Esta es la imagen intuitiva de la función delta. Estrictamente no es una función ordinaria sino un objeto matemático llamado "distribución", que solo tiene sentido dentro de una integral.

🔵 Kai: Ya veo, "una aguja de área 1". Entonces, ¿por qué aparece eso en el lado derecho de la ecuación de la función de Green?

🟡 Lina: Piénsalo intuitivamente así. La función de Green $G(z, w)$ representa "la influencia que una fuente puntual colocada en $w$ ejerce en el punto $z$". Es la misma estructura que cuando en electromagnetismo buscas el potencial de una carga puntual: en $\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon_0$ aparece la función delta de la carga puntual en el lado derecho. En la teoría cuántica, la función de dos puntos juega el papel de esta "función de respuesta a una fuente puntual".

Más concretamente, la ecuación "$\mathcal{O}\, G = \delta$" ($\mathcal{O}$ es un operador diferencial) significa "al aplicar $\mathcal{O}$ a $G$, se obtiene una respuesta concentrada solo en el punto $w$". Es la misma estructura que en un sistema de ecuaciones lineales $Ax = b$ de bachillerato con solución $x = A^{-1}b$: $\mathcal{O}$ es la "matriz $A$", $G$ es la "matriz inversa $A^{-1}$", y $\delta$ es la "matriz identidad $I$". Es decir, $A A^{-1} = I$ y $\mathcal{O} G = \delta$ tienen la misma estructura: "al multiplicar un operador por su inverso se obtiene la identidad". El $\delta^{(2)}$ del lado derecho se deriva de la técnica de la integral de camino (véase el funcional generador en Teoría Cuántica de Campos Teoría Cuántica de Campos Cap. 11). Aquí aceptamos la regla "la inversa del operador diferencial $\mathcal{O}$ se define por $\mathcal{O}G = \delta$" y avanzamos. Es exactamente la misma idea que en electromagnetismo cuando se obtiene el potencial de una carga puntual a partir de $\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0$: se coloca una fuente puntual (función delta) en el lado derecho y se busca la respuesta.

🔵 Kai: Así que $G$ es "la inversa del operador diferencial". Pero la inversa de una matriz se puede calcular porque el tamaño de la matriz es finito, ¿no? Un operador diferencial es como "una matriz de dimensión infinita" — ¿está garantizado que existe la inversa?

🟡 Lina: Pregunta aguda. En general no está garantizado que exista la inversa — si no se especifican condiciones de frontera, la solución puede no ser única. Aquí, al imponer la condición "plano infinitamente extenso, sin divergir demasiado en el infinito", la solución se determina unívocamente (salvo una constante aditiva). Omito la demostración rigurosa de existencia, pero como vamos a construir la solución explícitamente a continuación, "¿existe la inversa?" se confirma con "¿se encuentra la solución?".

La solución de $(\star)$ — la "función de Green fundamental del laplaciano en 2D" — al encontrarla, determina $G$.

E.8.2　Fórmula clave: $\partial_{\bar{z}} (1/(z-w))$ es una función delta¶

🟡 Lina: La fórmula esencial de esta sección es:

\[ \boxed{\partial_{\bar{z}}\, \frac{1}{z-w} = \pi\, \delta^{(2)}(z-w)} \qquad (\star\star) \]

A primera vista parece extraña, pero la demuestro a continuación.

Primero, es 0 para $z \neq w$:

Para $z \neq w$, $1/(z-w)$ es una función holomorfa de $z$. Como vimos en E.4「Funciones holomorfas y la condición de Cauchy-Riemann」, una función holomorfa se anula bajo $\partial_{\bar{z}}$:

\[ \partial_{\bar{z}}\, \frac{1}{z-w} = 0 \qquad (z \neq w) \]

Por lo tanto, el lado izquierdo tiene una contribución de "singularidad" concentrada solo en $z = w$. Recuerda las propiedades de la función $\delta$ que expliqué antes: "es cero para $z \neq w$ pero al integrar sobre una región que contiene $z = w$ devuelve un valor finito". El único objeto que satisface ambas propiedades simultáneamente es la función $\delta$ (ser cero para $z \neq w$ pero tener integral finita — imposible para una función ordinaria, pero exactamente el comportamiento de la función $\delta$). A continuación integramos y confirmamos que ese valor finito es $\pi$. Es decir, la forma $\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = (\text{constante}) \times \delta^{(2)}(z-w)$ está confirmada, y solo falta determinar la constante.

🔵 Kai: Entiendo, es cero para $z \neq w$ pero al integrar no da cero — justo la característica de la función delta. Solo falta confirmar el coeficiente.

🟡 Lina: A continuación confirmamos que al integrar en las cercanías de $z = w$ se obtiene un valor no nulo.

Integramos el lado izquierdo de $(\star\star)$ sobre un pequeño disco $D$ (radio $\epsilon$) centrado en $z = w$. Si el resultado es $\pi$, entonces $(\star\star)$ es correcta ($\int d^2z\; \pi\delta^{(2)}(z-w) = \pi$).

Lo que necesitamos aquí es la versión compleja del teorema de Green. Es simplemente el teorema de Green $\oint(P\,dx + Q\,dy) = \iint_D(\partial_x Q - \partial_y P)\,dx\,dy$ que usamos al derivar el teorema integral de Cauchy en E.7「Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos」, reescrito en coordenadas complejas $(z, \bar{z})$. El resultado es:

\[ \int_D d^2z\; \partial_{\bar{z}} f(z, \bar{z}) = \frac{1}{2i}\oint_{\partial D} f\, dz \]

🔵 Kai: Me pregunto cómo sale el $\frac{1}{2i}$.

🟡 Lina: Derivémoslo. Lo más directo es usar el teorema de Green.

Como $dz = dx + i\,dy$, $f\,dz = f(dx + i\,dy) = f\,dx + (if)\,dy$. Comparando con el teorema de Green $\oint_{\partial D}(P\,dx + Q\,dy) = \iint_D (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx\, dy$, identificamos $P = f$, $Q = if$. Por lo tanto:

\[\oint_{\partial D} f\, dz = \iint_D \left(\frac{\partial(if)}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) dx\, dy = \iint_D \left(i\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) dx\, dy\]

Reescribamos $i\partial_x f - \partial_y f$ del lado derecho en términos de $\partial_{\bar{z}}$. De la ecuación (E.4), $\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)$, así que $2i\partial_{\bar{z}} = i(\partial_x + i\partial_y) = i\partial_x + i^2\partial_y = i\partial_x - \partial_y$.

⚪ Mei: Ya veo, usando $2i\partial_{\bar{z}} = i\partial_x - \partial_y$ que acaba de mostrar la profesora Lina, el integrando se agrupa limpiamente como $2i\partial_{\bar{z}} f$.

🟡 Lina: Exacto. Usando esto:

\[\oint_{\partial D} f\, dz = \iint_D 2i\, \partial_{\bar{z}} f\; dx\, dy = 2i \int_D \partial_{\bar{z}} f\, d^2z\]

Dividiendo ambos lados por $2i$:

\[\int_D d^2z\; \partial_{\bar{z}} f = \frac{1}{2i}\oint_{\partial D} f\, dz\]

🔵 Kai: Ya veo, $\frac{1}{2i}$ es el coeficiente que aparece al reescribir el lado derecho del teorema de Green con $\partial_{\bar{z}}$.

Sustituyendo $f = 1/(z-w)$:

Tomamos $\partial D$ como el círculo de radio $\epsilon$ centrado en $w$. Nota: $1/(z-w)$ es singular en $z = w$, pero al aplicar el teorema de Green, la región $D$ es "el disco de radio $\epsilon$ centrado en $w$", y en su frontera $\partial D$ se tiene $|z - w| = \epsilon \neq 0$, así que $f$ es suave allí. La singularidad en $z = w$ del interior es precisamente lo que esta integral está "detectando" — la integral de superficie del lado izquierdo recoge la contribución de $z = w$.

\[ \int_D dx\,dy\; \partial_{\bar{z}}\frac{1}{z-w} = \frac{1}{2i}\oint_{\lvert z-w\rvert=\epsilon} \frac{dz}{z-w} \]

El lado derecho es la forma básica de la fórmula integral de Cauchy que calculamos en E.7「Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos」:

\[ \oint_{\lvert z-w\rvert=\epsilon} \frac{dz}{z-w} = 2\pi i \]

Por lo tanto:

\[ \int_D dx\,dy\; \partial_{\bar{z}}\frac{1}{z-w} = \frac{1}{2i}\cdot 2\pi i = \pi \]

Por más que se reduzca el radio $\epsilon$, el resultado sigue siendo $\pi$. Mientras tanto, el integrando es cero para $z \neq w$. Es decir, "una singularidad de intensidad $\pi$ concentrada en $z = w$" = "$\pi\, \delta^{(2)}(z-w)$" es la interpretación completa.

Con esto queda demostrada la fórmula $(\star\star)$:

\[ \partial_{\bar{z}}\, \frac{1}{z-w} = \pi\, \delta^{(2)}(z-w) \]

⚪ Mei: Es magistral que la fórmula integral de Cauchy reaparezca aquí. Las herramientas preparadas en §E.7 encajan perfectamente.

🟡 Lina: Por cierto, esto tiene esencialmente la misma estructura que la fórmula tridimensional $\nabla^2 (1/r) = -4\pi\delta^{(3)}(\vec{r})$ que vimos en Relatividad General Relatividad General Apéndice A. Aquella era la función de Green del laplaciano en 3D, y esta es la versión 2D.

🔵 Kai: ¡Ah, es la misma estructura que la historia del potencial de la carga puntual! Solo cambia la dimensión.

E.8.3　Derivación de la función de Green logarítmica¶

🟡 Lina: Usando $(\star\star)$, construimos la solución de $(\star)$.

La fórmula $(\star\star)$ muestra que "al aplicar $\partial_{\bar{z}}$ a $1/(z-w)$ sale una función delta". Es decir, $1/(z-w)$ es la función que "retrocede una etapa" la "operación inversa de $\partial_{\bar{z}}$". Si retrocedemos una etapa más, la de $\partial_z$, se completa la función de Green. Entonces:

🔵 Kai: "Retroceder una etapa más" significa buscar la función original cuya derivada respecto a $z$ da $1/(z-w)$, ¿no? En reales $\frac{d}{dx}\ln x = 1/x$, así que $\ln(z-w)$ sería el candidato... ¿funciona igual con complejos?

🟡 Lina: ¡Exacto! Igual que en reales $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x$, se cumple $\partial_z \ln(z-w) = 1/(z-w)$. Es decir, más que "integrar", es más preciso pensar "encontrar la función cuya derivada da $1/(z-w)$".

🔵 Kai: ¿Derivar el logaritmo complejo también da $1/z$? ¿Igual que con reales?

🟡 Lina: Verifiquémoslo. El método más directo: derivamos ambos lados de $e^{\ln z} = z$ respecto a $z$, obteniendo $e^{\ln z} \cdot \frac{d(\ln z)}{dz} = 1$. Como $e^{\ln z} = z$, $\frac{d(\ln z)}{dz} = 1/z$ ✓.

(Verificación alternativa: escribiendo $\ln z = \ln r + i\theta$ y calculando $\partial_z$ también sale $1/z$. Usando $\partial_z \bar{z} = 0$ se puede confirmar, así que si te interesa, inténtalo como ejercicio.)

Sin embargo, al extender $\ln z$ a los complejos se necesita un poco de cuidado. El argumento $\theta$ tiene una libertad de múltiplos enteros de $2\pi$ ($e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2\pi)}$), así que $\ln z$ puede tomar infinitos valores para un solo $z$ — esto se llama "función multivaluada". En la práctica se fija un rango del argumento (por ejemplo $-\pi < \theta \leq \pi$) y se elige un solo valor. A esta elección se le llama "elegir una rama". Sea cual sea la rama elegida, al derivar se cumple $\frac{d}{dz}\ln z = 1/z$, y no afecta los cálculos siguientes. Por lo tanto:

\[ \partial_z\partial_{\bar{z}} \ln(z-w) = \partial_{\bar{z}}\, \frac{1}{z-w} = \pi\, \delta^{(2)}(z-w) \qquad (\star\star\star) \]

Es decir, $\partial_z \ln(z-w) = 1/(z-w)$ "deshace" la primera etapa de derivación, y $\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = \pi\delta^{(2)}$ "deshace" la segunda. En dos etapas hemos construido la inversa de $\partial_z\partial_{\bar{z}}$ — es decir, la función de Green.

🔵 Kai: ¡Ya veo, se usan dos fórmulas en secuencia para "deshacer" el operador diferencial en 2 etapas! Pero espera, $\ln(z-w)$ es función solo de $z$, ¿verdad? ¿Dónde quedó la información de la dirección $\bar{z}$? ¿No debería haber algo como $\ln|z-w|^2$ que contenga ambas?

🟡 Lina: Buena observación. En realidad $\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\overline{z-w})$ es más simétrico y más fácil de manejar. (Esta igualdad viene de $|z-w|^2 = (z-w)(\overline{z-w})$ y la propiedad del logaritmo $\ln(AB) = \ln A + \ln B$. Puede que te preocupe la multivaluación del logaritmo complejo, pero al tomar derivadas parciales $\partial_z$ o $\partial_{\bar{z}}$ la parte constante de la multivaluación desaparece, así que no afecta los cálculos siguientes.) El segundo término es análogo:

(Nótese que $\partial_z\partial_{\bar{z}} = \partial_{\bar{z}}\partial_z$ siempre se cumple para funciones suaves (intercambio del orden de derivadas parciales mixtas). La singularidad en $z = w$ se verificó individualmente arriba como función delta. A continuación calculamos en el orden de aplicar primero $\partial_{\bar{z}}$ y luego $\partial_z$.)

$\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}$, así que $\ln(\overline{z-w}) = \ln(\bar{z} - \bar{w})$ es función solo de $\bar{z}$ (no depende de $z$, función antiholomorfa). Primero apliquemos $\partial_{\bar{z}}$ interior. Para una función $g(\bar{z})$ que solo depende de $\bar{z}$, se cumple $\partial_{\bar{z}} g(\bar{z}) = \frac{dg}{d\bar{z}}$ (verificación: aplicando $\partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)$ a $g(\bar{z}) = g(x - iy)$, por la regla de la cadena $\frac{1}{2}(g' \cdot 1 + i \cdot g' \cdot (-i)) = \frac{1}{2}(g' + g') = g'$ ✓). Por lo tanto $\partial_{\bar{z}} \ln(\bar{z} - \bar{w}) = \frac{1}{\bar{z} - \bar{w}} = \frac{1}{\overline{z-w}}$.

Ahora aplicamos $\partial_z$ exterior. Para $z \neq w$, $\frac{1}{\overline{z-w}}$ es función solo de $\bar{z}$ así que se anula bajo $\partial_z$, pero en $z = w$ tiene singularidad y aparece una función delta.

Intuitivamente piénsalo así. La fórmula $(\star\star)$ decía "$1/(z-w)$ es función holomorfa de $z$ para $z \neq w$ así que se anula bajo $\partial_{\bar{z}}$, pero la singularidad $z = w$ es la excepción y produce una función delta". Ahora tenemos "$1/(\overline{z-w})$ es función solo de $\bar{z}$ para $z \neq w$ así que se anula bajo $\partial_z$, pero la singularidad $z = w$ es la excepción" — la misma estructura con los roles de $z$ y $\bar{z}$ intercambiados. Sin embargo, decir "misma estructura, mismo resultado" no es suficiente, así que a continuación verificamos explícitamente usando la versión en $\bar{z}$ del teorema de Stokes. Lo que queremos mostrar es:

\[ \partial_z\partial_{\bar{z}} \ln(\overline{z-w}) = \partial_z\, \frac{1}{\overline{z-w}} = \pi\, \delta^{(2)}(z-w) \]

⚪ Mei: Es un cálculo de "versión espejo" intercambiando los roles de $z$ y $\bar{z}$.

🟡 Lina: Igual que para $(\star\star)$, integramos sobre un pequeño disco $D$ (centro $w$, radio $\epsilon$) para verificar. La versión en $\bar{z}$ del teorema de Stokes en coordenadas complejas es:

\[\int_D d^2z\; \partial_z g = -\frac{1}{2i}\oint_{\partial D} g\, d\bar{z}\]

La derivación es con la misma técnica que la versión en $z$; confirmemos paso a paso. Como $d\bar{z} = dx - i\,dy$, $g\,d\bar{z} = g\,dx + (-ig)\,dy$. En el teorema de Green $\oint(P\,dx + Q\,dy) = \iint_D(\partial_x Q - \partial_y P)\,dx\,dy$ ponemos $P = g$, $Q = -ig$; el lado izquierdo es $\oint_{\partial D} g\,d\bar{z}$ ✓. El integrando del lado derecho es:

\[\partial_x(-ig) - \partial_y(g) = -i\partial_x g - \partial_y g\]

De la ecuación (E.3), $\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)$ así que $-2i\partial_z = -2i \cdot \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y) = -i\partial_x + i^2\partial_y = -i\partial_x - \partial_y$ ✓. Por lo tanto:

\[\oint_{\partial D} g\,d\bar{z} = \iint_D (-2i\,\partial_z g)\,dx\,dy = -2i \int_D \partial_z g\, d^2z\]

Dividiendo ambos lados por $-2i$:

\[\int_D d^2z\; \partial_z g = -\frac{1}{2i}\oint_{\partial D} g\, d\bar{z}\]

Sustituyendo $g = 1/\overline{z-w}$. Sobre $\partial D$ parametrizamos $z = w + \epsilon e^{i\theta}$ ($0 \leq \theta \leq 2\pi$, sentido antihorario); tomando el conjugado complejo $\bar{z} = \bar{w} + \epsilon e^{-i\theta}$, $d\bar{z} = -i\epsilon e^{-i\theta}d\theta$, $\overline{z-w} = \epsilon e^{-i\theta}$, así que:

\[\oint_{\partial D} \frac{d\bar{z}}{\overline{z-w}} = \int_0^{2\pi}\frac{-i\epsilon e^{-i\theta}}{\epsilon e^{-i\theta}}d\theta = -2\pi i\]

Por lo tanto $\int_D d^2z\; \partial_z \frac{1}{\overline{z-w}} = -\frac{1}{2i}\cdot(-2\pi i) = \pi$, y el resultado es el mismo $\pi\delta^{(2)}(z-w)$.

🔵 Kai: Tanto en la versión $z$ como en la versión $\bar{z}$ sale el mismo $\pi$. Es natural por la simetría, pero confirmar con el cálculo da tranquilidad.

🟡 Lina: Como $\ln|z-w|^2 = \ln(z-w) + \ln(\overline{z-w})$, distribuyendo $\partial_z\partial_{\bar{z}}$ a cada término y sumando (la derivada es un operador lineal así que se distribuye sobre la suma):

\[ \partial_z\partial_{\bar{z}} \ln\lvert z-w\rvert^2 = \underbrace{\partial_z\partial_{\bar{z}} \ln(z-w)}_{= \pi\delta^{(2)}(z-w)} + \underbrace{\partial_z\partial_{\bar{z}} \ln(\overline{z-w})}_{= \pi\delta^{(2)}(z-w)} \]

\[ \boxed{\partial_z\partial_{\bar{z}} \ln\lvert z-w\rvert^2 = 2\pi\, \delta^{(2)}(z-w)} \]

E.8.4　Obtención de la función de dos puntos¶

🟡 Lina: La ecuación de la función de Green $(\star)$:

\[ \partial_z\partial_{\bar{z}} G(z,w) = -\pi\alpha'\, \delta^{(2)}(z-w) \]

y la fórmula que acabamos de derivar:

\[ \partial_z\partial_{\bar{z}}\left[-\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2\right] = -\frac{\alpha'}{2}\cdot 2\pi\, \delta^{(2)}(z-w) = -\pi\alpha'\, \delta^{(2)}(z-w) \]

al comparar, coinciden incluso en los coeficientes. Por lo tanto:

\[ \boxed{G(z, w) = \langle X(z,\bar{z})\, X(w,\bar{w})\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\ln\lvert z-w\rvert^2} \]

🔵 Kai: ¡Por fin salió! La fórmula que era abrupta en Cap. 16 se deriva naturalmente solo tomando la inversa del laplaciano.

⚪ Mei: Además, lo que se usó en el camino fue la fórmula de Euler, las condiciones de Cauchy-Riemann, la fórmula integral de Cauchy — todo lo que preparamos en orden en este apéndice.

🔵 Kai: Comparando con la fórmula tridimensional $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^{(3)}$ que mencioné antes, en 3D la función de Green es $1/r$ y en 2D es $\ln r$. ¿Por qué cambia la forma al cambiar la dimensión?

🟡 Lina: Buena comparación. En general, la función de Green del laplaciano en $d$ dimensiones es $r^{2-d}$ para $d \geq 3$ y $\ln r$ para $d = 2$. Esto se determina por la ley de Gauss (el flujo sobre una esfera es constante). Al bajar la dimensión la forma de la función de Green cambia, pero la estructura de "inversa del laplaciano" es común. Y esta función de Green logarítmica es el punto de partida de todos los cálculos de OPE en Cap. 16.

E.8.5　Extensión a $D$ campos¶

🟡 Lina: En la teoría de cuerdas hay $D$ coordenadas espacio-temporales $X^\mu$ ($\mu = 0, 1, \ldots, D-1$), y cada una se comporta como un campo libre independiente. Como campos con distintos índices no se mezclan:

\[ \langle X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \eta^{\mu\nu}\, \ln\lvert z-w\rvert^2 \]

Aquí $\eta^{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski (Relatividad General Relatividad General Cap. 4). Esta es exactamente la fórmula que se escribió de forma "abrupta" al inicio de Cap. 16 16.4「Expansión del producto de operadores (OPE)」.

E.8.6　Cálculo directo de la OPE entre $\partial X$¶

🟡 Lina: Lo que realmente se usa en Cap. 16 es la OPE entre $\partial X$. Derivamos $G(z,w) = -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln\lvert z-w\rvert^2$ respecto a $z$ y $w$ respectivamente. El orden de la derivada y el valor esperado se puede intercambiar (derivar el integrando de la integral de camino y luego integrar da lo mismo que integrar y luego derivar — esto se cumple cuando se satisfacen las condiciones de intercambio de integral y derivada. Aquí lo aceptamos), así que $\partial_z \langle X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle = \langle \partial X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle$.

Primero respecto a $z$:

\[ \langle \partial X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle = \partial_z \langle X^\mu(z)\, X^\nu(w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\, \partial_z \ln\lvert z-w\rvert^2 = -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\cdot \frac{1}{z-w} \]

(De $\ln\lvert z-w\rvert^2 = \ln(z-w) + \ln(\overline{z-w})$, para $z \neq w$ la parte antiholomorfa $\ln(\overline{z-w})$ se anula bajo $\partial_z$, así que solo contribuye la parte holomorfa. Como vimos en E.8.3, en $z = w$ surge un término de contacto tipo función delta, pero en la OPE nos enfocamos en la estructura singular para $z \neq w$, así que los términos de contacto se ignoran.)

Luego respecto a $w$:

\[ \partial_w\, \frac{1}{z-w} = \frac{1}{(z-w)^2} \]

Por lo tanto:

\[ \boxed{\langle \partial X^\mu(z)\, \partial X^\nu(w)\rangle = -\frac{\alpha'}{2}\, \frac{\eta^{\mu\nu}}{(z-w)^2}} \]

Este es el "valor fundamental de contracción" de todos los cálculos de OPE en Cap. 16. Una vez derivado, lo que queda es contar combinaciones con el teorema de Wick.

🔵 Kai: Derivar el logaritmo dos veces da $1/(z-w)^2$ — qué elegante. Así que este era el punto de partida de aquella OPE.

📝 Ejercicios:

Calcular el término cruzado $\langle \partial X^\mu(z)\, \bar\partial X^\nu(w)\rangle$ entre $\partial X$ y $\bar\partial X$ → Problema A-2. Términos cruzados de $\partial X$ y $\bar\partial X$

✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué aparece la función delta en el lado derecho de la fórmula $\partial_{\bar{z}}(1/(z-w)) = \pi\delta^{(2)}(z-w)$?

Respuesta

Para $z \neq w$, $1/(z-w)$ es función holomorfa así que se anula bajo $\partial_{\bar{z}}$, pero en $z = w$ tiene singularidad. Al integrar sobre un pequeño disco, la fórmula integral de Cauchy da un valor finito $\pi$, por lo que se interpreta como la "singularidad concentrada en $z = w$" = función delta.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cuál es la razón físico-matemática de que la función de dos puntos del bosón libre sea una función logarítmica?

Respuesta

Porque la función de Green fundamental del laplaciano bidimensional es la función logarítmica. Es la misma estructura que la función de Green fundamental del laplaciano tridimensional que es $1/r$ (potencial de Coulomb); al bajar la dimensión se convierte en logaritmo.

✅ Verificación de comprensión: ¿Cómo se expresa la parte singular (coeficiente de $(z-w)^{-2}$) de la OPE de $\partial X^\mu(z)\, \partial X^\nu(w)$?

Respuesta

$-\frac{\alpha'}{2}\,\eta^{\mu\nu}$. Al derivar dos veces la función de dos puntos respecto a $z, w$, el logaritmo se deriva dos veces dando la forma $1/(z-w)^2$.

E.9　Problemas de práctica¶

📝 Ejercicios:

Forma polar y cálculo del producto de números complejos → Problema B-1. Valor absoluto y argumento de números complejos

Verificación de la fórmula de Euler → Problema B-2. Fórmula de Euler $e^{i\pi}+1=0$

Producto y cociente de números complejos en forma polar → Problema B-3. Producto en forma polar

Verificación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann → Problema B-4. Cauchy-Riemann: verificación con $z^2$

Determinación de función no holomorfa → Problema B-5. Cauchy-Riemann: $|z|^2$ no las satisface

Verificación de las derivadas parciales en coordenadas complejas → Problema B-6. $\partial_z(z^2) = 2z$

Cálculo de residuos (polo simple) → Problema B-7. Residuo de $1/(z-1)$

Expansión de Laurent y clasificación de singularidades → Problema B-8. Desarrollo de Laurent y residuo de $1/z^2$

Integral de contorno mediante el teorema de los residuos → Problema M-1. Teorema de los residuos: dos polos

Residuo de un polo de orden superior → Problema M-2. Residuos de $z/[(z-1)(z-2)]$

Expansión de Laurent de una singularidad esencial → Problema B-9. Desarrollo de Laurent de $e^{1/z}$

Ejemplo concreto de aplicación conforme ($w = z^2$) → Problema A-1. Transformación conforme $w = 1/z$

Composición de transformaciones de Möbius → Problema M-3. Composición de transformaciones de Möbius

Cálculo del término cruzado entre $\partial X$ y $\bar\partial X$ → Problema A-2. Términos cruzados de $\partial X$ y $\bar\partial X$

Avance del siguiente capítulo¶

En Apéndice F repasaremos la historia de la teoría de cuerdas en formato de línea temporal y resumiremos como índice las figuras clave de cada época. Al ver de un vistazo "cuándo y por quién" fueron propuestos los modelos y conceptos que aparecieron en el texto principal, el flujo del desarrollo de la física se verá de forma tridimensional.

Referencias¶

David Tong, Lectures on String Theory, Ch.4: "Introducing Conformal Field Theory" — Transformaciones conformes en coordenadas complejas, OPE
Elias Kiritsis, String Theory in a Nutshell, Ch.4: "Conformal Field Theory" — Aplicaciones físicas de funciones holomorfas y aplicaciones conformes
Volker Schomerus, A Primer on String Theory, Ch.13: "Introduction to Conformal Field Theory" — Significado físico de la expansión de Laurent y los residuos
杉浦光夫, 『解析入門 II』, 東京大学出版会 — Introducción rigurosa al análisis complejo
Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill — Libro de texto estándar de análisis complejo

← Apéndice D　Fundamentos de teo…Appendix F　Cronología e índic… →

Feedback on this page

Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.

Operación	Definición	Ejemplo (\(z = 3 + 4i\))
Parte real	\(\text{Re}(z) = x\)	3
Parte imaginaria	\(\text{Im}(z) = y\)	4
Conjugado complejo	\(\bar{z} = x - iy\)	\(3 - 4i\)
Valor absoluto	$	z
Argumento	\(\arg(z) = \arctan(y/x)\)	\(\arctan(4/3) \approx 53°\)

Función	¿Holomorfa?	Razón
\(f(z) = z^n\)	✓	No depende de \(\bar{z}\)
\(f(z) = e^z\)	✓	Satisface las ecuaciones de CR
\(f(z) = 1/z\)	✓ (\(z \neq 0\))	Tiene singularidad en \(z = 0\)
$f(z) =	z	^2 = z\bar{z}$
\(f(z) = \bar{z}\)	✗	\(\partial_{\bar{z}}\bar{z} = 1 \neq 0\)
> 📝 Ejercicios:
>
> - Verificación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann → Problema B-4. Cauchy-Riemann: verificación con \(z^2\), [Problema B-5. Cauchy-Riemann: $	z	^2$ no las satisface](../problems/appendix_e.md#string-appe-cr-fails-mod-z-squared)

Tipo	Condición	Ejemplo
Singularidad evitable	No hay parte principal (\(a_n = 0\) para todo \(n < 0\))	\(\frac{\sin z}{z}\) en \(z = 0\)
Polo de orden \(N\)	\(a_{-N} \neq 0\), \(a_n = 0\) para \(n < -N\)	\(\frac{1}{z^N}\) en \(z = 0\)
Singularidad esencial	La parte principal es infinita	\(e^{1/z}\) en \(z = 0\)

Apéndice E Fundamentos de análisis complejo¶

E.1 ¿Por qué aparecen los números complejos en la física?¶

Desde la mecánica cuántica¶

Desde la teoría de campos conformes¶

La fórmula de Euler — fuente del poder de los números complejos¶

E.2 Repaso de números complejos y el plano complejo¶

Definiciones básicas¶

Forma polar¶

Plano complejo¶

Esfera de Riemann — adición del punto en el infinito¶

E.3 Coordenadas complejas \(z, \bar{z}\) y derivadas¶

Representación en coordenadas complejas del plano 2D¶

Transformación de las derivadas parciales¶

Laplaciano en 2D¶

¿Por qué se tratan \(z\) y \(\bar{z}\) como independientes?¶

Elemento de línea y elemento de área en 2D¶

E.4 Funciones holomorfas y la condición de Cauchy-Riemann¶

Definición¶

Derivación de la condición de Cauchy-Riemann¶

Verificación con ejemplos concretos¶

Funciones holomorfas como aplicaciones conformes¶

E.5 Aplicaciones conformes y transformaciones conformes¶

Transformación de Möbius¶

Derivada de la transformación de Möbius y conformidad¶

Transformación de Möbius y matrices¶

Casos especiales de la transformación de Möbius¶

Conexión con la teoría de cuerdas¶

E.6 Expansión de Taylor y expansión de Laurent¶

Expansión de Taylor¶

Necesidad de la expansión de Laurent¶

Coeficientes de la expansión de Laurent¶

Estructura de la expansión de Laurent¶

Clasificación de singularidades¶

Ejemplo concreto 1: singularidad evitable¶

Ejemplo concreto 2: polo¶

Ejemplo concreto 3: singularidad esencial¶

Relación con la expansión en modos¶

E.7 Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos¶

Teorema integral de Cauchy (punto de partida)¶

Derivación de la fórmula integral de Cauchy¶

Fórmula para derivadas de orden superior¶

Definición de residuo¶

Derivación del teorema de los residuos¶

Métodos de cálculo de residuos¶

Ejemplos de cálculo¶

El poder del teorema de los residuos — aplicación a integrales reales¶

Uso en la teoría de campos conformes¶

E.8 Función de Green del campo libre en 2D¶

E.8.1 Acción del campo libre y ecuación de la función de Green¶

E.8.2 Fórmula clave: \(\partial_{\bar{z}} (1/(z-w))\) es una función delta¶

E.8.3 Derivación de la función de Green logarítmica¶

E.8.4 Obtención de la función de dos puntos¶

E.8.5 Extensión a \(D\) campos¶

E.8.6 Cálculo directo de la OPE entre \(\partial X\)¶

E.9 Problemas de práctica¶

Avance del siguiente capítulo¶

Referencias¶

Feedback on this page

Apéndice E　Fundamentos de análisis complejo¶

E.1　¿Por qué aparecen los números complejos en la física?¶

E.2　Repaso de números complejos y el plano complejo¶

E.3　Coordenadas complejas \(z, \bar{z}\) y derivadas¶

E.4　Funciones holomorfas y la condición de Cauchy-Riemann¶

E.5　Aplicaciones conformes y transformaciones conformes¶

E.6　Expansión de Taylor y expansión de Laurent¶

E.7　Fórmula integral de Cauchy y teorema de los residuos¶

E.8　Función de Green del campo libre en 2D¶

E.8.1　Acción del campo libre y ecuación de la función de Green¶

E.8.2　Fórmula clave: \(\partial_{\bar{z}} (1/(z-w))\) es una función delta¶

E.8.3　Derivación de la función de Green logarítmica¶

E.8.4　Obtención de la función de dos puntos¶

E.8.5　Extensión a \(D\) campos¶

E.8.6　Cálculo directo de la OPE entre \(\partial X\)¶

E.9　Problemas de práctica¶