Capítulo 4 Cuantización del campo escalar — Las partículas nacen del campo¶
Resumen de los capítulos anteriores:
En Cap. 3, aprendimos el formalismo lagrangiano de los campos clásicos y las ecuaciones de Euler-Lagrange, y confirmamos mediante el teorema de Noether que las simetrías continuas generan cantidades conservadas. Vimos que a partir de la densidad lagrangiana del campo escalar real se deriva la ecuación de Klein-Gordon, y que la densidad hamiltoniana describe la distribución espacial de la energía.
Objetivos de este capítulo
- Aplicar la «cuantización canónica» al campo clásico de Klein-Gordon y extraer los operadores de creación y aniquilación a partir de la expansión de Fourier del campo
- Demostrar matemáticamente que, como resultado, las excitaciones del campo aparecen naturalmente como «partículas»
- Además, comprender el mecanismo por el cual las antipartículas emergen automáticamente de la cuantización del campo escalar complejo, y confirmar el efecto Casimir como consecuencia física de la energía del punto cero
4.1 Qué es la cuantización canónica — Extender el método de la mecánica cuántica a los campos¶
🟡 Lina: Bien, por fin entramos al corazón de la teoría cuántica de campos. Hasta Cap. 3, hemos preparado el formalismo lagrangiano del campo clásico. Hoy vamos a «cuantizar» ese campo clásico — es decir, promover el campo a operador y extraer partículas cuánticas del campo. He resumido todo el flujo en Fig. 4.1「Flujo de la cuantización canónica: del campo clásico a las partículas」, así que primero echemos un vistazo al mapa general. Partimos del lagrangiano, obtenemos el momento conjugado y el hamiltoniano, imponemos las relaciones de conmutación a tiempos iguales, e introducimos los operadores de creación y aniquilación mediante la expansión de Fourier — en estos 4 pasos, las excitaciones del campo aparecen como partículas.
Fig. 4.1: Flujo de la cuantización canónica: del campo clásico a las partículas. Lagrangiano → momento conjugado y hamiltoniano → relaciones de conmutación a tiempos iguales → expansión de Fourier y operadores de creación/aniquilación: en estos 4 pasos, las excitaciones del campo aparecen como partículas.
🔵 Kai: ¿«Cuantizar» significa hacer lo mismo que en mecánica cuántica cuando se impone \([\hat{x}, \hat{p}] = i\), pero ahora para campos?
🟡 Lina: Exactamente. En mecánica cuántica, promovimos las coordenadas clásicas \(q\) y el momento \(p\) a operadores \(\hat{q}\), \(\hat{p}\) e impusimos la relación de conmutación \([\hat{q}, \hat{p}] = i\), ¿verdad? En teoría de campos hacemos exactamente lo mismo. La diferencia es que en mecánica cuántica los grados de libertad se distinguían con un índice discreto \(i\) como «el primer resorte, el segundo resorte, ...», pero en teoría de campos cada punto del espacio \(\mathbf{x}\) posee un grado de libertad independiente — es decir, la coordenada continua \(\mathbf{x}\) se convierte en la etiqueta de los grados de libertad. En otras palabras, en teoría de campos tratamos con infinitos grados de libertad.
⚪ Mei: El índice discreto \(i\) se reemplaza por la coordenada espacial continua \(\mathbf{x}\). Una extensión de finito a infinito.
🟡 Lina: Así es. A este procedimiento lo llamamos cuantización canónica (canonical quantization). Déjame mostrarte primero el flujo general.
Tabla 4.1: Pasos de la cuantización canónica
| Paso | Qué se hace |
|---|---|
| Paso I | Escribir la densidad lagrangiana clásica \(\mathcal{L}\) |
| Paso II | Obtener la densidad de momento conjugado \(\pi(x)\) y la densidad hamiltoniana \(\mathcal{H}\) |
| Paso III | Promover el campo y la densidad de momento a operadores e imponer las relaciones de conmutación a tiempos iguales |
| Paso IV | Expandir el campo en Fourier e introducir los operadores de creación y aniquilación |
Los Pasos I y II ya los hicimos en Cap. 3, así que hoy empezamos desde el Paso III.
🔵 Kai: Entonces podemos usar los resultados de Cap. 3. A ver, obtuvimos la densidad de momento conjugado y la densidad hamiltoniana a partir de la densidad lagrangiana, ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. Repasemos. La densidad lagrangiana es
La densidad de momento conjugado es
🔵 Kai: Que el momento conjugado sea simplemente la derivada temporal del campo se debe a la simplicidad del campo escalar real, ¿verdad?
🟡 Lina: Así es. La densidad hamiltoniana es
Ahora pasemos al Paso III.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué se hace en el Paso III de la cuantización canónica? Describe las similitudes y diferencias con la cuantización canónica de la mecánica cuántica.
Respuesta
En el Paso III, se promueven el campo clásico \(\phi(x)\) y la densidad de momento conjugado \(\pi(x)\) a operadores, y se imponen las relaciones de conmutación a tiempos iguales. Es el mismo espíritu que cuando en mecánica cuántica se impone \([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\,\delta_{ij}\), pero como la etiqueta de los grados de libertad no es un índice discreto \(i\) sino una coordenada espacial continua \(\mathbf{x}\), la delta de Kronecker se reemplaza por la función delta de Dirac \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
4.2 Relaciones de conmutación a tiempos iguales — Convertir el campo en operador¶
🟡 Lina: Ahora vamos a promover el campo clásico \(\phi(x)\) y la densidad de momento conjugado \(\pi(x)\) a operadores. Como aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 5, un operador es un objeto matemático que actúa sobre un vector de estado y devuelve otro vector de estado, y en general, si se intercambia el orden de multiplicación el resultado cambia (no conmutan). Lo importante aquí es que el operador de campo \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) tiene un operador en cada punto \(\mathbf{x}\) del espacio. En mecánica cuántica teníamos un número finito de operadores \(\hat{q}_1, \hat{q}_2, \ldots\), pero en teoría de campos hay operadores «pegados» a cada punto del espacio.
🔵 Kai: Un operador colocado en cada punto del espacio... es una cantidad enorme.
🟡 Lina: Sí, un continuo infinito. Con el mismo espíritu con que en mecánica cuántica se impone
en teoría de campos imponemos las relaciones de conmutación a tiempos iguales (equal-time commutation relations).
🔵 Kai: La \(\delta_{ij}\) de mecánica cuántica se ha reemplazado por \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\). Pero, ¿por qué aparece la función delta de Dirac?
🟡 Lina: Buena pregunta. En mecánica cuántica los grados de libertad eran discretos, así que para expresar «si es el mismo grado de libertad da 1, si son diferentes da 0» bastaba con la delta de Kronecker \(\delta_{ij}\). Pero en teoría de campos, cada punto \(\mathbf{x}\) del espacio posee un grado de libertad independiente. Para expresar «si es el mismo punto es no trivial, si son puntos diferentes es cero» con etiquetas continuas, se necesita la función delta de Dirac \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
⚪ Mei: Si resumo la explicación de Lina en una tabla, queda así:
Tabla 4.2: Correspondencia entre mecánica cuántica y teoría cuántica de campos
| Mecánica cuántica (grados de libertad finitos) | Teoría cuántica de campos (grados de libertad infinitos) |
|---|---|
| Índice \(i = 1, 2, \ldots, n\) | Coordenada espacial \(\mathbf{x}\) |
| \(\hat{q}_i(t)\) | \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) |
| \(\hat{p}_i(t)\) | \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x})\) |
| \(\delta_{ij}\) | \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) |
🟡 Lina: Buen resumen. Añadiría una línea más: la suma sobre grados de libertad discretos \(\sum_i\) se reemplaza, para grados de libertad continuos, por la integral espacial \(\int d^3x\). Es el mismo espíritu que la correspondencia de la función delta.
⚪ Mei: Ya veo, \(\sum_i \to \int d^3x\) también forma parte de la correspondencia. Y la ecuación (4.4) se llama relación de conmutación «a tiempos iguales», lo que significa que solo se cumple al mismo tiempo \(t\), ¿verdad?
🟡 Lina: Exacto. La ecuación (4.4) se cumple solo al mismo tiempo \(t\). Por eso se llama relación de conmutación «a tiempos iguales». Las relaciones de conmutación del campo a tiempos diferentes se determinan por separado a través de la evolución temporal.
🔵 Kai: Se supone que la relatividad trata al tiempo y al espacio en igualdad de condiciones, pero aquí estamos tratando al tiempo de manera especial, ¿no?
🟡 Lina: Observación aguda. En la cuantización canónica, como necesitamos usar el hamiltoniano, es necesario elegir una dirección temporal, por lo que la invariancia de Lorentz se oscurece temporalmente. Pero tranquilo — la teoría que se obtiene al final es perfectamente invariante Lorentz. Es como cuando se dibuja un mapa de la Tierra: para desplegar una esfera en un plano hay que «cortar» por algún sitio, pero la Tierra misma sigue siendo una esfera — la situación es similar. Solo estamos eligiendo la dirección temporal durante el cálculo, pero las leyes físicas no dependen de la orientación en el espaciotiempo. Concretamente, esto se verificará en Cap. 6 cuando calculemos las relaciones de conmutación del campo a tiempos diferentes (la función de propagación invariante Lorentz).
🔵 Kai: La metáfora del mapa es muy clara. Solo estamos eligiendo el tiempo como «herramienta» de cálculo, y los resultados físicos no dependen de esa elección. Me resulta un poco incómodo, pero sigamos adelante.
✅ Verificación de comprensión: En la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\), ¿cuál es el valor del conmutador cuando \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\)? ¿Cuál es su significado físico?
Respuesta
Cuando \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\), \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = 0\), por lo que el conmutador es cero. Esto significa que el campo y la densidad de momento en puntos espaciales diferentes son grados de libertad independientes entre sí y pueden tener valores determinados simultáneamente. Esto refleja la «localidad de la teoría de campos» — las cantidades físicas en puntos alejados no interfieren entre sí.
4.3 Imagen intuitiva — «Las partículas son excitaciones del campo»¶
🟡 Lina: Antes de entrar en los cálculos con fórmulas, quiero compartir una imagen intuitiva de lo que estamos tratando de realizar. La idea central de la teoría cuántica de campos se puede resumir en una frase — las partículas son excitaciones del campo.
🔵 Kai: ¿«Excitación» significa que recibe energía y pasa a un estado más alto?
🟡 Lina: Exactamente. Imagina una lámina de goma. El estado en que la lámina está quieta y estirada plana es el «vacío». Si tocas la lámina con el dedo y un punto vibra, eso es «una partícula». Si otro punto vibra simultáneamente en otro lugar, son «dos partículas». Es decir, las partículas no son «cosas» que existen independientemente, sino que son estados del campo mismo. Las partículas aparecen como «fluctuaciones locales donde el campo ondula sobre un fondo tranquilo».
⚪ Mei: Es decir, la identidad de las partículas son vibraciones locales del campo, y la lámina tranquila de fondo corresponde al vacío.
🟡 Lina: Exactamente. Lo hermoso de esta imagen es:
Tabla 4.3: Imagen de la lámina de goma: partículas como excitaciones del campo
| Fenómeno | Imagen de la lámina de goma |
|---|---|
| Vacío | La lámina está en reposo |
| 1 partícula | Un punto está vibrando |
| 2 partículas | Dos puntos están vibrando |
| Creación de partícula | Comienza una nueva vibración |
| Aniquilación de partícula | La vibración se detiene y vuelve al reposo |
| Por qué partículas idénticas son indistinguibles | Porque todas las vibraciones son ondulaciones de la misma lámina |
🔵 Kai: ¡Los procesos donde cambia el número de partículas se describen naturalmente como la lámina que pasa de reposo a vibración y de vibración a reposo! En mecánica cuántica el número de partículas estaba fijo, pero en la imagen de campo, la creación y aniquilación entran de forma natural.
🟡 Lina: Así es. Y la mayor motivación para necesitar la teoría cuántica de campos — la no conservación del número de partículas (ver Capítulo 1) — en esta imagen está incorporada desde el diseño mismo. El fotón es una excitación del campo electromagnético, el electrón es una excitación del campo electrónico, el quark es una excitación del campo de quarks — en el universo hay varios campos, y las partículas aparecen como ondulaciones de esos campos. Esta es la visión del mundo de la teoría cuántica de campos.
✅ Verificación de comprensión: En la imagen de «las partículas son excitaciones del campo», ¿cómo se entienden la creación y aniquilación de partículas?
Respuesta
Que comience una nueva vibración sobre el estado tranquilo del campo (vacío) corresponde a la «creación de una partícula», y que la vibración se detenga y vuelva al reposo corresponde a la «aniquilación de una partícula». Como las partículas no son «cosas» que existen independientemente sino estados del campo mismo, el cambio en el número de partículas se describe naturalmente como un cambio en el estado de vibración del campo.
🟡 Lina: Y hay otro punto de vista importante. En mecánica cuántica, las partículas se asumían desde el principio — es decir, el «punto que vibra» era el punto de partida. Pero en teoría cuántica de campos, «la lámina misma» es el punto de partida, y las vibraciones (= partículas) surgen como resultado de la cuantización. Las partículas se derivan de un objeto más fundamental, el campo — esto hace que el marco sea más fundamental. Podemos decir que el punto de partida se ha profundizado un nivel.
⚪ Mei: Es decir, en mecánica cuántica escribíamos la función de onda presuponiendo que «hay partículas», pero en teoría cuántica de campos solo presuponemos que «hay un campo», y tanto la existencia de partículas como el cambio en su número se derivan todo de ahí. Al reducir las premisas en un nivel, el poder explicativo aumenta.
🟡 Lina: Exacto. Lo que haremos en las siguientes secciones es realizar esta imagen intuitiva rigurosamente con fórmulas. Concretamente:
- Expandir el campo \(\phi(x)\) en Fourier para descomponerlo en «infinitos modos de vibración independientes»
- Cuantizar cada modo como un oscilador armónico y obtener los operadores de creación y aniquilación
- El operador de creación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) «añade una vibración» = crea 1 partícula
- Construir el espacio de Fock que incluye los estados de múltiples partículas
En la metáfora de la lámina de goma, el procedimiento consiste en «descomponer las ondas que recorren la lámina en superposición de ondas sinusoidales, y cuantizar cada onda». Vamos a realizarlo con fórmulas.
4.4 Expansión de Fourier y descomposición en osciladores armónicos¶
🟡 Lina: Ahora pongamos manos a la obra. Primero expandimos el campo en Fourier.
🔵 Kai: La expansión de Fourier es representar algo como superposición de ondas, ¿verdad? ¿Por qué eso facilita el cálculo?
🟡 Lina: Pregunta que va al grano. Recuerda la ecuación de Klein-Gordon.
Escribiéndola en componentes:
Aquí transformamos el campo con Fourier solo en la dirección espacial. El objetivo es «descomponer la ecuación en derivadas parciales en ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuaciones solo en el tiempo) para cada modo». La derivada espacial \(\nabla^2\) se reemplaza por un factor algebraico bajo la transformada de Fourier, pero queremos dejar la derivada temporal \(\ddot{\phi}\) intacta — por eso transformamos solo el espacio y dejamos el tiempo como está.
⚪ Mei: Transformamos con Fourier para «desenredar» la ecuación en derivadas parciales en ecuaciones diferenciales ordinarias independientes para cada modo.
🟡 Lina: Así es. La transformada de Fourier consiste en representar el campo como «superposición de ondas planas \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) de diversas longitudes de onda».
\(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\) es el coeficiente de Fourier que representa «con cuánta amplitud está contenida la onda plana correspondiente al momento \(\mathbf{p}\)», y es una función del tiempo. La derivada espacial \(\nabla^2\) se reemplaza por el factor algebraico \(-|\mathbf{p}|^2\) bajo la transformada de Fourier, pero queremos dejar la derivada temporal \(\ddot{\phi}\) intacta — así cada modo se convierte en una «ecuación diferencial solo en el tiempo», tratable como un oscilador armónico. Llamamos «momento» a la variable \(\mathbf{p}\) de la transformada de Fourier por la relación de de Broglie \(p = \hbar k\) de la mecánica cuántica. En unidades naturales (\(\hbar = 1\)), el número de onda \(k\) y el momento \(p\) tienen el mismo valor numérico, así que podemos llamar directamente momento a la variable de la transformada de Fourier. El \((2\pi)^{3/2}\) en el denominador es un factor de normalización. Es una convención para garantizar que «si transformas y luego transformas inversamente, recuperas lo original»; la transformada inversa es
Estamos usando la convención donde \((2\pi)^{3/2}\) entra por igual en la transformada (4.8) y la inversa (4.8').
🔵 Kai: ¿Por qué esta normalización es consistente?
🟡 Lina: Hagámoslo explícitamente. Sustituimos la expresión de la transformada inversa en \(\phi(t, \mathbf{x})\) de la ecuación (4.8) para eliminar \(\tilde{\phi}\). Entonces, delante de la integral en \(\mathbf{x}'\) aparece \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \times \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} = \frac{1}{(2\pi)^3}\). La integral restante en \(\mathbf{x}'\) es
Esta es la versión tridimensional de la ecuación (C.30) de @chapter:qm/appendix_c. Como aparece la función delta, la integral en \(\mathbf{q}\) se fija en \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\) y se recupera el \(\tilde{\phi}(\mathbf{p})\) original. En resumen, al ir y volver (transformada → inversa) aparece \((2\pi)^3\) en el denominador, que coincide exactamente con el \((2\pi)^3\) de la representación integral de la función delta, por lo que se recupera la función original — eso es todo. Algunos libros de texto agrupan el \((2\pi)^3\) en un solo lado, pero los resultados físicos no se ven afectados.
🔵 Kai: El coeficiente de Fourier \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\) es en general un número complejo, ¿verdad? Pero \(\phi\) es un campo escalar real, así que debería ser real... ¿no hay contradicción?
🟡 Lina: Buena pregunta. En el caso del campo escalar real se impone la condición \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}, t) = \tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)^*\), de modo que \(\phi(t, \mathbf{x})\) en su conjunto es real (esto será importante cuando hagamos la expansión en modos más adelante). Para ver brevemente por qué esta condición garantiza la realidad: tomando el complejo conjugado de la ecuación (4.8) obtenemos \(\phi^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \tilde{\phi}(\mathbf{p})^*\), y haciendo el cambio \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) queda \(\phi^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \tilde{\phi}(-\mathbf{p})^*\). Para que \(\phi = \phi^*\) se cumpla, se necesita \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}) = \tilde{\phi}(-\mathbf{p})^*\) — es decir, la condición de realidad y la condición sobre los coeficientes de Fourier son equivalentes. Sustituyendo esto en la ecuación (4.7)—
⚪ Mei: La condición de realidad impone una condición sobre los coeficientes de Fourier. Veamos qué pasa con la ecuación en derivadas parciales.
🟡 Lina: Cuando \(\nabla^2\) actúa sobre \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) da \(-|\mathbf{p}|^2\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) (comprobación: \(\frac{\partial}{\partial x}e^{i p_x x} = i p_x\, e^{i p_x x}\), así que al derivar dos veces sale \((i p_x)^2 = -p_x^2\). Lo mismo para las direcciones \(y\) y \(z\), sumando: \(\nabla^2 e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} = -(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} = -|\mathbf{p}|^2\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)), al sustituir la ecuación (4.8) en la ecuación (4.7):
Como \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) es linealmente independiente para diferentes \(\mathbf{p}\), el contenido del corchete debe ser cero para todo \(\mathbf{p}\). (Esta es la misma lógica que «si \(a\sin x + b\sin 2x + \cdots = 0\) para todo \(x\), entonces \(a = b = \cdots = 0\)» de la unicidad de las series de Fourier. Concretamente, si multiplicamos ambos lados por \(e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\) e integramos sobre \(\mathbf{x}\), por ortogonalidad solo sobrevive el término \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\), demostrando que el contenido del corchete es cero.) Por lo tanto, para cada \(\mathbf{p}\):
⚪ Mei: Cada modo de momento satisface una ecuación diferencial independiente. Y además es una ecuación diferencial solo en \(t\).
🔵 Kai: ¡Esto tiene la forma \(\ddot{X} + \omega^2 X = 0\)! ¡Es la ecuación de movimiento del oscilador armónico que hemos trabajado exhaustivamente en mecánica cuántica!
🟡 Lina: ¡Exacto! Aquí está el corazón de la teoría cuántica de campos. Al transformar con Fourier el campo de Klein-Gordon, se descompone en una colección infinita de osciladores armónicos independientes etiquetados por el momento \(\mathbf{p}\). La frecuencia angular de cada oscilador es
que es exactamente la relación energía-momento relativista \(E = \sqrt{p^2 + m^2}\).
⚪ Mei: Es decir, la cuantización del campo se reduce a «cuantizar infinitos osciladores armónicos».
🟡 Lina: Exacto. Y como la cuantización del oscilador armónico ya la conocemos de Mecánica Cuántica Cap. 12, podemos usar directamente los operadores de creación y aniquilación. Traduzcamos ese método al lenguaje de campos. He resumido la imagen general en Fig. 4.2「Descomposición en modos de Fourier del campo de Klein-Gordon」, échale un vistazo.
Fig. 4.2: Descomposición en modos de Fourier del campo de Klein-Gordon. Al expandir en Fourier el campo de Klein-Gordon, cada modo de momento se convierte en un oscilador armónico independiente. La frecuencia \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\) es la relación energía-momento relativista misma.
✅ Verificación de comprensión: Cuando se transforma con Fourier en la dirección espacial el campo de Klein-Gordon, ¿en qué forma de ecuación se descompone la ecuación en derivadas parciales? ¿Por qué es esto importante?
Respuesta
Se descompone en ecuaciones diferenciales ordinarias independientes \(\ddot{\tilde{\phi}} + \omega_{\mathbf{p}}^2 \tilde{\phi} = 0\) para cada modo de momento \(\mathbf{p}\). Esta tiene la misma forma que la ecuación de movimiento del oscilador armónico, por lo que se puede aplicar directamente el método de operadores de creación y aniquilación establecido en mecánica cuántica, lo que hace posible ejecutar sistemáticamente la cuantización del campo.
✅ Verificación de comprensión: Cuando se transforma con Fourier el campo de Klein-Gordon, ¿cómo se expresa la frecuencia \(\omega_{\mathbf{p}}\) de cada modo? ¿A qué relación corresponde?
Respuesta
\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\). Esto corresponde a la relación energía-momento relativista \(E^2 = p^2 + m^2\) (unidades naturales). Es decir, la frecuencia de cada modo de Fourier da la energía de la partícula correspondiente a ese modo.
4.5 Introducción de los operadores de creación y aniquilación — Expansión en modos del campo¶
Del repaso del oscilador armónico a la teoría de campos¶
🟡 Lina: ¿Recuerdas cómo se definían los operadores de creación y aniquilación en el oscilador armónico de mecánica cuántica?
🔵 Kai: Sí. Si no recuerdo mal, para el hamiltoniano \(\hat{H} = \frac{1}{2}\hat{p}^2 + \frac{1}{2}\omega^2 \hat{q}^2\) (en unidades naturales \(\hbar = 1\), con masa del oscilador \(m = 1\)), se definen el operador de aniquilación y el de creación como
y se cumple la relación de conmutación \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\).
🟡 Lina: Correcto. Permíteme complementar por qué esta fórmula se puede usar directamente en teoría de campos. Mirando la ecuación (4.9), cada modo de Fourier \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\) satisface \(\ddot{\tilde{\phi}} + \omega_{\mathbf{p}}^2 \tilde{\phi} = 0\). El momento conjugado es \(\tilde{\pi} = \dot{\tilde{\phi}}\). Si ponemos el sistema en una caja finita (volumen \(V\)) y discretizamos el momento, el lado derecho \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) de la relación de conmutación a tiempos iguales (4.4) se reemplaza por \(V^{-1}\sum_{\mathbf{p}} e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\). Al transformar con Fourier, la relación de conmutación de cada modo se convierte en \([\tilde{\phi}_{\mathbf{p}}, \tilde{\pi}_{\mathbf{q}}] = i\,\delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\) — es decir, es cero entre modos diferentes e \(i\) para el mismo modo. Esto significa que cada modo tiene la misma estructura que un oscilador armónico independiente de «masa 1, frecuencia angular \(\omega_{\mathbf{p}}\)». Por eso la fórmula anterior se aplica directamente (en el límite continuo \(\delta_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\) vuelve a ser \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\), pero la definición de los operadores tiene la misma forma que en el caso discreto).
🔵 Kai: Entiendo, como cada modo de Fourier tiene la misma relación de conmutación que un oscilador armónico independiente, se pueden usar directamente las fórmulas de mecánica cuántica.
🟡 Lina: Exacto. Y resolviendo inversamente:
y el hamiltoniano queda \(\hat{H} = \omega\left(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right)\). Verifícalo — expandiendo \(\hat{a}^\dagger \hat{a} = \left(\sqrt{\frac{\omega}{2}}\hat{q} - \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\hat{p}\right)\left(\sqrt{\frac{\omega}{2}}\hat{q} + \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\hat{p}\right)\), además de los términos \(\hat{q}\hat{q}\) y \(\hat{p}\hat{p}\), aparecen los términos cruzados \(\hat{q}\hat{p}\) y \(\hat{p}\hat{q}\). Concretamente \(\frac{\omega}{2}\hat{q}^2 + \frac{1}{2\omega}\hat{p}^2 + \frac{i}{2}(\hat{q}\hat{p} - \hat{p}\hat{q})\), donde el último paréntesis es el conmutador \([\hat{q}, \hat{p}] = i\). Sustituyendo: \(\frac{\omega}{2}\hat{q}^2 + \frac{1}{2\omega}\hat{p}^2 - \frac{1}{2}\). Como \(\hat{H} = \frac{1}{2}\hat{p}^2 + \frac{1}{2}\omega^2\hat{q}^2\), tenemos \(\frac{\omega}{2}\hat{q}^2 + \frac{1}{2\omega}\hat{p}^2 = \frac{1}{\omega}\hat{H}\), y finalmente \(\hat{a}^\dagger \hat{a} = \frac{1}{\omega}\hat{H} - \frac{1}{2}\), de donde \(\hat{H} = \omega(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2})\). Esto se vio en detalle en Mecánica Cuántica Cap. 9, así que aquí solo usamos el resultado.
⚪ Mei: Expresar \(q\) como la suma de \(a\) y \(a^\dagger\). Esta forma se usará en la expansión en modos del campo, ¿verdad?
🟡 Lina: Exactamente. Esta forma de la transformación inversa — expresar \(q\) en términos de \(a\) y \(a^\dagger\) — se conecta directamente con la forma que usaremos en la expansión en modos del campo. El campo de Klein-Gordon actual es, para cada momento \(\mathbf{p}\), un oscilador armónico con frecuencia angular \(\omega_{\mathbf{p}}\). Así que para cada modo introducimos un operador de aniquilación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y un operador de creación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\).
Concretamente, como el coeficiente de Fourier \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\) de la ecuación (4.8) corresponde a la «coordenada» de un oscilador armónico con frecuencia angular \(\omega_{\mathbf{p}}\), queremos escribirlo con la correspondencia \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\) que Kai repasó. En el oscilador armónico expresamos \(q\) en términos de \(a\) y \(a^\dagger\). Del mismo modo, asignando un operador de aniquilación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) a cada modo \(\mathbf{p}\):
¿Por qué aparece \(\hat{a}_{-\mathbf{p}}^\dagger\)? Para satisfacer la condición de campo escalar real. Clásicamente la condición de realidad era \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}) = \tilde{\phi}(\mathbf{p})^*\) (complejo conjugado). Después de cuantizar y convertir en operadores, el complejo conjugado \(*\) se reemplaza por el conjugado hermítico \(\dagger\). ¿Por qué? Porque clásicamente «\(\phi\) es real» significa \(\phi = \phi^*\), pero en el mundo de operadores, «\(\hat{\phi}\) es real (= devuelve valores de medición reales como observable)» significa \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^\dagger\) — es decir, hermiticidad. Como aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 8, los valores propios de un operador hermítico son siempre reales. Compruébalo: si en esta fórmula hacemos \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\), obtenemos \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}) = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}(\hat{a}_{-\mathbf{p}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger)\). Por otro lado, el conjugado hermítico de la fórmula original es \(\tilde{\phi}(\mathbf{p})^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger + \hat{a}_{-\mathbf{p}})\). Efectivamente se cumple \(\tilde{\phi}(-\mathbf{p}) = \tilde{\phi}(\mathbf{p})^\dagger\).
🔵 Kai: Ya veo, la condición de realidad se traduce en hermiticidad, y eso determina la necesidad de \(\hat{a}_{-\mathbf{p}}^\dagger\).
🟡 Lina: Ahora sustituyo esto en la ecuación (4.8) y lo organizo. El término con \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) viene multiplicado por \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) directamente. Para el término con \(\hat{a}_{-\mathbf{p}}^\dagger\), hacemos el cambio de variable \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) en la integral (el rango de integración va de \(-\infty\) a \(+\infty\) así que no cambia), y aparece \(e^{i(-\mathbf{p})\cdot\mathbf{x}} = e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), mientras que el operador se convierte en \(\hat{a}_{-(-\mathbf{p})}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\). Así obtenemos la expansión en modos del operador de campo. Primero escribo la forma en el instante \(t = 0\) (la evolución temporal la incluiré enseguida). Los coeficientes de Fourier \(\tilde{\phi}(\mathbf{p}, t)\) de la ecuación (4.8) son funciones del tiempo, pero lo que hemos expresado en términos de \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) es su valor en \(t = 0\). El argumento aparece como \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) con solo la coordenada espacial porque hemos fijado \(t = 0\).
🔵 Kai: Déjame verificar algo. Cuando más adelante calculemos el momento conjugado \(\hat{\pi} = \dot{\hat{\phi}}\), ¿qué pasa con el factor \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. Al derivar \(\hat{\phi}\) respecto al tiempo, de \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\) sale \(-i\omega_{\mathbf{p}}\) y de \(e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\) sale \(+i\omega_{\mathbf{p}}\). Así que el coeficiente de \(\hat{\pi}\) es \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \times (-i\omega_{\mathbf{p}}) = (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}}\). Es la misma estructura que cuando en el oscilador armónico calculamos \(p = \dot{q}\): derivando \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a\,e^{-i\omega t} + a^\dagger e^{i\omega t})\) obteníamos \(p = (-i)\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a\,e^{-i\omega t} - a^\dagger e^{i\omega t})\).
🔵 Kai: Un momento. ¿Por qué aparecen ambos, \(\hat{a}\) y \(\hat{a}^\dagger\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. El campo escalar real \(\hat{\phi}\) debe ser un operador hermítico (Hermitian). Es decir, debe cumplirse \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\). Si tomamos el conjugado hermítico de la ecuación (4.11), \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \to \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) y \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \to e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\). Además, haciendo el cambio de variable \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) (el rango de integración es todo el espacio así que no cambia, y \(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\)), los términos con \(\hat{a}\) y \(\hat{a}^\dagger\) se intercambian, y efectivamente \(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\) se cumple. Si solo estuviera \(\hat{a}\), la hermiticidad se rompería.
⚪ Mei: Es la misma estructura que cuando en el oscilador armónico escribimos \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\). Como \(q\) es hermítico, se necesitan tanto \(a\) como \(a^\dagger\).
🟡 Lina: Así es. Organicemos el significado de cada elemento en la ecuación (4.11).
Tabla 4.4: Significado de cada símbolo en la expansión en modos del operador de campo
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) | Operador que aniquila una partícula con momento \(\mathbf{p}\) |
| \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) | Operador que crea una partícula con momento \(\mathbf{p}\) |
| $\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{ | \mathbf{p} |
| \(1/\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}\) | Factor de normalización de cada modo (proviene de \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\) del oscilador armónico. Eligiendo esta forma, la medida de integración \(d^3p/(2\omega_{\mathbf{p}})\) resulta invariante bajo transformaciones de Lorentz) |
| \((2\pi)^{3/2}\) | Factor de normalización de la transformada de Fourier |
✅ Verificación de comprensión: ¿Por qué la expansión en modos del operador \(\hat{\phi}\) del campo escalar real contiene tanto \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) como \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)?
Respuesta
El campo escalar real debe ser un operador hermítico (\(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\)). Al tomar el conjugado hermítico, \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) se intercambian, por lo que si no se incluyen ambos términos, la hermiticidad no se cumple. Es la misma razón por la que en el oscilador armónico el operador de coordenada \(q = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a + a^\dagger)\) necesita tanto \(a\) como \(a^\dagger\).
Expansión en modos de la densidad de momento conjugado¶
🟡 Lina: La ecuación (4.11) es la expansión del operador de campo en \(t = 0\) (aún no hemos incluido la dependencia temporal). En la teoría cuántica de campos normalmente se usa la representación de Heisenberg — los operadores evolucionan en el tiempo y los vectores de estado están fijos. ¿Por qué? Porque en teoría cuántica de campos queremos tratar el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones, y la representación de Heisenberg, donde el operador de campo \(\hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) se comporta como función del espaciotiempo, es la más natural.
🔵 Kai: En la representación de Schrödinger, el vector de estado evoluciona en el tiempo, así que el operador sería solo una función del espacio como \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\). Entonces no se podría tratar el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones.
🟡 Lina: Exacto. Como aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 13, en la representación de Heisenberg la dependencia temporal de los operadores viene dada por \(e^{iHt} \hat{O} e^{-iHt}\). En el caso del campo libre, cada modo de Fourier es un oscilador armónico con frecuencia angular \(\omega_{\mathbf{p}}\), así que — por la misma razón que en mecánica cuántica del oscilador armónico \(a(t) = a(0)\,e^{-i\omega t}\) — a \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) le corresponde \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\) y a \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) le corresponde \(e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\). Concretamente, como el hamiltoniano es \(\omega(a^\dagger a + 1/2)\), se cumple el conmutador \([H, a] = -\omega a\) (usando \([a^\dagger a, a] = a^\dagger [a, a] + [a^\dagger, a]\,a = 0 + (-1)\,a = -a\)). Este conmutador significa que «al aplicar \(H\) sobre \(a\), sale \(-\omega\) veces \(a\)», y usando la fórmula del exponencial de operadores: \(e^{iHt} a\, e^{-iHt} = a + (it)[H, a] + \frac{(it)^2}{2!}[H, [H, a]] + \cdots = a(1 + (-i\omega t) + \frac{(-i\omega t)^2}{2!} + \cdots) = a\, e^{-i\omega t}\). Es decir, como \([H, a] = -\omega a\) se usa repetidamente, cada término del desarrollo de Taylor genera \((-i\omega t)^n/n!\), que se resume en una exponencial.
🔵 Kai: Entiendo, por eso la evolución temporal de cada modo es \(e^{\pm i\omega_{\mathbf{p}} t}\).
🟡 Lina: Sí, lo mismo ocurre en cada modo. (Este resultado se confirmará nuevamente cuando expandamos el hamiltoniano en modos, a partir de la ecuación (4.24).) La forma completa incluyendo la evolución temporal es:
⚪ Mei: Es la ecuación (4.11) de \(t = 0\) con los factores temporales \(e^{\mp i\omega_{\mathbf{p}} t}\) añadidos. Usando el producto interno cuadrivectorial \(p \cdot x\) se podría escribir más compactamente.
🟡 Lina: Exacto. (Más adelante, cuando introduzcamos la notación del producto interno cuadrivectorial, \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} = e^{-ip\cdot x}\) se escribirá de forma compacta.) En lo que sigue, cuando se necesite la forma completa con dependencia temporal, consultad la ecuación (4.11a). La densidad de momento conjugado \(\hat{\pi} = \dot{\hat{\phi}}\) se obtiene derivando respecto al tiempo.
La verificación de las relaciones de conmutación a tiempos iguales se cumple para cualquier tiempo simultáneo \(t\), pero los factores \(e^{\pm i\omega_{\mathbf{p}} t}\) se cancelan al tomar el conmutador de \(\hat{\phi}\) y \(\hat{\pi}\), así que el resultado no depende de \(t\) (concretamente, el término \(\hat{a}\) de \(\hat{\phi}\) lleva \(e^{-i\omega t}\) y el término \(\hat{a}^\dagger\) de \(\hat{\pi}\) lleva \(e^{+i\omega t}\), así que al multiplicar: \(e^{-i\omega t} \cdot e^{+i\omega t} = 1\) y los factores temporales desaparecen). Para mayor claridad en el cálculo, escribamos en \(t = 0\). En \(t = 0\) la ecuación (4.11a) se reduce a (4.11), y poniendo los factores temporales \(e^{\pm i\omega_{\mathbf{p}} t}\) igual a 1 en la ecuación (4.12):
(el primo \('\) en el número de ecuación significa «versión de la ecuación (4.12) en \(t = 0\)»). En la verificación de las relaciones de conmutación que sigue usaremos esta forma en \(t = 0\).
🔵 Kai: Delante de \(\hat{a}\) hay un signo más, y delante de \(\hat{a}^\dagger\) un signo menos. Es la misma estructura que \(p = -i\sqrt{\omega/2}(a - a^\dagger)\) del oscilador armónico.
Relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación¶
🟡 Lina: Este es el punto clave. A partir de las relaciones de conmutación a tiempos iguales del campo (4.4)–(4.6), se derivan las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación. El resultado es:
🔵 Kai: ¡El \([a, a^\dagger] = 1\) de mecánica cuántica se ha reemplazado por \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)! Esto también es la correspondencia discreto → continuo.
🟡 Lina: Exacto. Verifiquémoslo. Sustituimos las ecuaciones (4.11) y (4.12') (la forma en \(t = 0\)) en la relación de conmutación a tiempos iguales (4.4). El cálculo es un poco largo, pero la esencia es usar la ortogonalidad de la transformada de Fourier:
(El factor de normalización \((2\pi)^{3/2}\) de la ecuación (4.8), al multiplicarse dos veces, da \((2\pi)^3\) en el denominador, por lo que la ecuación (4.15) se usa directamente.) Veámoslo en detalle. Calculemos \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\). Sustituyendo las ecuaciones (4.11) y (4.12):
Examinemos la expansión con cuidado. Al calcular el conmutador de \(\hat{\phi}\) y \(\hat{\pi}\), como \([\hat{a}, \hat{a}] = 0\) y \([\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger] = 0\), solo sobreviven los términos cruzados \(\hat{a}\)-\(\hat{a}^\dagger\) — es decir, las combinaciones de la parte \(\hat{a}\) de \(\hat{\phi}\) con la parte \(\hat{a}^\dagger\) de \(\hat{\pi}\), o viceversa.
🔵 Kai: Como los conmutadores entre operadores del mismo tipo son cero, solo sobreviven los términos donde \(\hat{a}\) y \(\hat{a}^\dagger\) se «cruzan».
🟡 Lina: Exacto. En la ecuación (4.11), el coeficiente del término \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) de \(\hat{\phi}\) es \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), y el del término \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) es \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\).
En la ecuación (4.12'), el coeficiente del término \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) de \(\hat{\pi}\) es \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} (-i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{q}}}{2}}\, e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\), y el del término \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) es \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} (+i)\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{q}}}{2}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{y}}\) (en la ecuación (4.12') hay un signo menos delante de \(\hat{a}^\dagger\), y además todo está multiplicado por \((-i)\), así que \((-i) \times (-1) = +i\)).
Hay 2 términos cruzados (a continuación omito los factores de normalización de Fourier \(\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\) y me concentro solo en los signos y factores de amplitud delante de los operadores. Al final \((2\pi)^{3/2}\) se multiplica dos veces dando \((2\pi)^3\) en el denominador):
- Término \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) de \(\hat{\phi}\) × término \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) de \(\hat{\pi}\) → En la ecuación (4.12'), delante de \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\) en total hay \((-i) \times (-1) \times \sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2} = (+i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\) (la expansión de \(\hat{\pi}\) tiene un \((-i)\) global, y además un signo menos delante de \(\hat{a}^\dagger\)). El conmutador es \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\). La contribución total es \((+i)\) × (factor positivo) × \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)
- Término \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) de \(\hat{\phi}\) × término \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) de \(\hat{\pi}\) → En la ecuación (4.12'), delante de \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) en total hay \((-i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\). El conmutador es \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = -[\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = -\delta^{(3)}(\mathbf{q} - \mathbf{p}) = -\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) (aquí usamos la antisimetría del conmutador \([A, B] = -[B, A]\) y la paridad de la función delta \(\delta^{(3)}(\mathbf{q} - \mathbf{p}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) (ver @chapter:qm/appendix_c)). Multiplicando el coeficiente \((-i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\) del término \(\hat{a}_{\mathbf{q}}\) de \(\hat{\pi}\) por el \((-1)\) del conmutador: \((-i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2} \times (-1) = (+i)\sqrt{\omega_{\mathbf{q}}/2}\), y la contribución total es \((+i)\) × (factor positivo) × \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)
⚪ Mei: Los dos términos cruzados contribuyen con el mismo signo. La suma se simplifica.
🟡 Lina: En resumen:
La integral en \(\mathbf{q}\) se fija en \(\mathbf{q} = \mathbf{p}\) por la función delta, y \(\omega_{\mathbf{q}} = \omega_{\mathbf{p}}\). Además, los factores de normalización dan \((2\pi)^{3/2} \times (2\pi)^{3/2} = (2\pi)^3\) en el denominador, y los factores de amplitud dan \(\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \times \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} = \frac{1}{2}\), así que:
Haciendo el cambio \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) en el segundo término (el rango de integración es todo el espacio, así que no cambia), ambos términos se convierten en \(e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})}\):
🔵 Kai: ¡Genial, se reproduce correctamente la relación de conmutación a tiempos iguales! Si asumimos la \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) de la ecuación (4.13), se obtiene la \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) de la ecuación (4.4).
⚪ Mei: Dicho al revés, las relaciones de conmutación del campo y las de los operadores de creación/aniquilación son condiciones equivalentes. Si se asume una, se deriva la otra.
✅ Verificación de comprensión: En la ecuación (4.13), cuando \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\), ¿cuál es el valor de \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger]\)? ¿A qué relación de la mecánica cuántica corresponde?
Respuesta
\([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{0})\). Esto es formalmente infinito, pero se debe al uso de etiquetas de momento continuas. Si se coloca en una caja discreta, se obtiene \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] = 1\), que corresponde directamente al \([a, a^\dagger] = 1\) del oscilador armónico de mecánica cuántica.
📝 Ejercicios:
- Derivación de las relaciones de conmutación a tiempos iguales → Problema M-1. Derivación de las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación a partir de las relaciones de conmutación a tiempos iguales
4.6 Espacio de Fock — Las partículas nacen del campo¶
🟡 Lina: Ya que tenemos los operadores de creación y aniquilación, por fin podemos crear «partículas». En el oscilador armónico de mecánica cuántica, se construían los estados excitados aplicando repetidamente el operador de creación \(a^\dagger\) al estado fundamental \(|0\rangle\). En teoría cuántica de campos hacemos lo mismo.
Estado de vacío¶
🟡 Lina: Primero definimos el vacío \(|0\rangle\). Es el «estado sin ninguna partícula», que es aniquilado por todos los operadores de aniquilación.
🔵 Kai: Corresponde al estado del fondo de la escalera del oscilador armónico \(|0\rangle\), del que «no se puede bajar más».
Estado de una partícula¶
🟡 Lina: Al aplicar una vez el operador de creación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) al vacío, se crea el estado con una partícula de momento \(\mathbf{p}\).
La energía de esta partícula es \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\).
🔵 Kai: ¿Con solo cuantizar el campo «aparecen» partículas? ¡Pero si no asumimos partículas desde el principio!
🟡 Lina: Ahí está lo más hermoso de la teoría cuántica de campos. Solo escribimos el lagrangiano de un «campo escalar de masa \(m\)» y lo cuantizamos canónicamente. No introdujimos partículas a mano. Pero al cuantizar los modos de Fourier del campo, las excitaciones de cada modo se comportan automáticamente como partículas.
Estados de múltiples partículas¶
🟡 Lina: Aplicando el operador de creación varias veces, se pueden construir estados de múltiples partículas.
Aquí hay una propiedad importante. De la ecuación (4.14), \([\hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{p}_2}^\dagger] = 0\), por lo que:
Es decir:
🔵 Kai: El estado no cambia al intercambiar las partículas... ¿tiene eso algún significado?
🟡 Lina: ¡Muchísimo! Esto es la estadística de Bose-Einstein — es decir, las partículas de un campo cuantizado con relaciones de conmutación son automáticamente bosones. La «simetría de intercambio de partículas idénticas» que aprendimos en Mecánica Cuántica Cap. 25 aquí se deriva automáticamente de las relaciones de conmutación.
⚪ Mei: Ya veo, en mecánica cuántica la simetría de intercambio se «asumía» como postulado, pero en teoría cuántica de campos se deriva de un único principio: las relaciones de conmutación.
🟡 Lina: Exacto. Cuando se cuantiza un campo escalar con relaciones de conmutación, las partículas resultan automáticamente ser bosones. Esto no es casualidad, sino parte de un teorema profundo — la relación entre espín y estadística: los campos de espín entero se cuantizan con relaciones de conmutación y dan bosones, y los campos de espín semientero se cuantizan con relaciones de anticonmutación y dan fermiones. En Cap. 5, cuando tratemos el campo de Dirac, este contraste será claramente visible.
Espacio de Fock¶
🟡 Lina: Al reunir todos los estados con cualquier número de partículas — vacío \(|0\rangle\), estados de 1 partícula, de 2 partículas, ... — obtenemos lo que se llama el espacio de Fock. Primero definamos la notación. \(\mathcal{H}_n\) es el espacio de Hilbert (espacio de estados) donde viven «los estados con exactamente \(n\) partículas». Por ejemplo, \(\mathcal{H}_0\) es el espacio unidimensional que contiene solo el vacío \(|0\rangle\), \(\mathcal{H}_1\) es el espacio generado por todos los estados de 1 partícula \(|\mathbf{p}\rangle\) (donde se pueden superponer estados de partículas con cualquier momento \(\mathbf{p}\)), \(\mathcal{H}_2\) es el espacio generado por todos los estados de 2 partículas \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\), etc.
El espacio de Fock \(\mathcal{F}\) es la unión de todos ellos:
Aquí \(\oplus\) es el símbolo de la suma directa, que significa «unir espacios independientes sin solapamiento para formar un espacio más grande».
Por ejemplo, considera el conjunto de todos los vectores en la dirección \(x\) (un espacio unidimensional) y el de todos los vectores en la dirección \(y\) (otro espacio unidimensional). Estos dos no tienen elementos comunes excepto el vector cero. La suma directa es la operación de «unir» estos dos espacios independientes para crear el plano \(xy\) completo (un espacio bidimensional) — esa es la imagen de la suma directa. Lo importante es que la componente \(x\) y la componente \(y\) se pueden especificar independientemente. En el caso del espacio de Fock, es como un gran edificio donde se conectan la «habitación» de 0 partículas, la de 1 partícula, la de 2 partículas... Cada habitación es independiente de las demás, y gracias a la superposición cuántica, se permiten estados que abarcan múltiples habitaciones.
⚠️ Nota sobre la notación: en física se usa convencionalmente la misma \(\mathcal{H}\) tanto para el espacio de Hilbert como para la densidad hamiltoniana. La forma de distinguirlos es sencilla — si lleva un subíndice \(n\) es el espacio de Hilbert (\(\mathcal{H}_n\)); si no lo lleva, es la densidad hamiltoniana (más adelante en la ecuación (4.23) aparece \(\hat{\mathcal{H}}\) como densidad hamiltoniana).
🔵 Kai: La metáfora del edificio es muy clara. Pero en mecánica cuántica hay superposición de estados. ¿Pueden existir estados que abarquen diferentes «habitaciones»?
🟡 Lina: Exactamente ese es el punto importante. Gracias a la superposición cuántica, sí se permiten estados que abarcan múltiples habitaciones. Por ejemplo, «un estado mezcla mitad-mitad entre 0 partículas y 1 partícula» es un estado legítimo contenido en el espacio de Fock. Esa es la razón de agrupar todos los sectores en un solo espacio mediante la «suma directa», no simplemente listarlos por separado.
🔵 Kai: En mecánica cuántica el número de partículas estaba fijo, pero en el espacio de Fock ¡hasta el número de partículas puede estar en superposición! Pero si el número de partículas no está determinado, ¿qué pasa al medir?
🟡 Lina: Buena pregunta. Al medir, el número de partículas «colapsa» a un valor definido — igual que en la medición de la mecánica cuántica. Pero antes de la medición, puede existir como superposición de estados con diferente número de partículas. Añadir partículas con operadores de creación y eliminarlas con operadores de aniquilación — esta es la estructura completa del espacio de Fock. Mira la Fig. 4.3「Niveles de energía del espacio de Fock」. Por ejemplo, el estado intermedio de una partícula inestable en proceso de desintegración es una superposición de «aún no se ha desintegrado (1 partícula)» y «ya se desintegró (0 partículas + productos de desintegración)» — para describir estos estados se necesita un espacio de Fock que abarque sectores con diferente número de partículas. En Mecánica Cuántica Cap. 27 se anticipó que «la creación y aniquilación de partículas se vuelve inevitable», ¿recuerdas? El espacio de Fock es precisamente el escenario matemático que realiza esa anticipación.
🔵 Kai: Una partícula en medio de su desintegración está en superposición de «todavía existe» y «ya no existe»... es como el gato de Schrödinger. Pero a diferencia del gato, esto realmente ocurre cotidianamente en el mundo microscópico, ¿verdad? Pero espera — si el número de partículas está en superposición, ¿qué pasa con la «conservación de la energía»? Un estado con 1 partícula y uno con 0 partículas deberían tener energías diferentes, ¿no?
🟡 Lina: Pregunta aguda. En realidad, la conservación de la energía se cumple. La energía de la partícula antes de desintegrarse es igual a la suma de la energía cinética y la energía de masa de los productos de desintegración. Lo que está en superposición durante el proceso es «el estado antes de desintegrarse» y «el estado después de desintegrarse», pero ambos tienen la misma energía total — si se parte de un estado inicial con energía definida, todos los estados que se mezclan en la evolución temporal tienen la misma energía (mismo valor propio del hamiltoniano). En los aceleradores, las desintegraciones de partículas ocurren cientos de millones de veces por segundo, y es precisamente esta descripción del espacio de Fock la que se necesita. En el momento en que el detector captura una partícula, el estado de superposición del número de partículas colapsa a un número definido — eso es lo que significa «observar una desintegración».
Fig. 4.3: Niveles de energía del espacio de Fock. Con el operador de creación \(\hat{a}^\dagger\) se añaden partículas y con el operador de aniquilación \(\hat{a}\) se eliminan. Los bosones pueden ocupar el mismo estado en cualquier número.
✅ Verificación de comprensión: ¿En qué se diferencia esencialmente el espacio de Fock del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica?
Respuesta
El espacio de Hilbert de la mecánica cuántica solo trata estados con un número fijo de partículas, mientras que el espacio de Fock se construye como la suma directa de todos los sectores con 0 partículas (vacío), 1, 2, ... Esto permite describir procesos donde el número de partículas cambia (creación y aniquilación) dentro de un marco unificado.
✅ Verificación de comprensión: ¿Qué representa el estado \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle\)?
Respuesta
Un estado con 2 partículas idénticas de momento \(\mathbf{p}\). Como son bosones, está permitido que múltiples partículas ocupen el mismo estado de momento. (La normalización precisa es \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger)^2 |0\rangle\), pero con etiquetas de momento continuas hay que tener cuidado con la normalización.)
4.7 Operador de número de partículas y hamiltoniano¶
Operador de número de partículas¶
🟡 Lina: ¿Recuerdas que en el oscilador armónico de mecánica cuántica el operador de número \(\hat{n} = a^\dagger a\) contaba el número cuántico del nivel de energía? En teoría cuántica de campos también podemos definir un operador de número de partículas (number operator).
Este es el operador que «cuenta el número de partículas con momento \(\mathbf{p}\)». El número total de partículas es:
🔵 Kai: Voy a verificarlo. Apliquemos \(\hat{N}_{\mathbf{p}}\) al estado de 1 partícula \(|\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\):
Usando la relación de conmutación \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\):
Cuando \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\) devuelve «hay 1 partícula», cuando \(\mathbf{p} \neq \mathbf{q}\) devuelve «hay 0 partículas». ¡Efectivamente cuenta el número de partículas!
Expansión en modos del hamiltoniano¶
🟡 Lina: Ahora vamos a reescribir el hamiltoniano en términos de los operadores de creación y aniquilación. El hamiltoniano es:
Al sustituir las ecuaciones (4.11a) y (4.12) y realizar la integral espacial — el cálculo es algo largo, pero te explico la estructura. Por ejemplo, mirando el término \(\hat{\pi}^2\): como \(\hat{\pi}\) contiene \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) y \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), al elevar al cuadrado aparecen 4 tipos de términos: \(\hat{a}\hat{a}\), \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\), \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\), \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\). Al usar la ortogonalidad de Fourier (4.15) en la integral espacial, los términos tipo \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\hat{a}_{\mathbf{q}}\) contienen \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})\), y los tipo \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\) contienen \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\).
🔵 Kai: Aparecen dos tipos: \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} + \mathbf{q})\) y \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\).
🟡 Lina: Sí. Procesando de forma similar los términos \(\hat{\phi}^2\) y \((\nabla\hat{\phi})^2\), los términos tipo \(\hat{a}\hat{a}\) y tipo \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\) se cancelan entre los tres términos del hamiltoniano — \(\frac{1}{2}\hat{\pi}^2\), \(\frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2\), \(\frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\) — porque tienen signos opuestos (de \(\hat{\pi}^2\) sale un coeficiente \(-\omega_{\mathbf{p}}^2\), de \((\nabla\hat{\phi})^2\) un coeficiente \(+|\mathbf{p}|^2\), y de \(m^2\hat{\phi}^2\) un coeficiente \(+m^2\), pero como \(\omega_{\mathbf{p}}^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) la suma es cero), y al final solo quedan los términos tipo \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\) y \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\).
⚪ Mei: Los términos no cruzados se cancelan exactamente — la relación \(\omega_{\mathbf{p}}^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) juega un papel clave aquí.
🟡 Lina: Exacto. Como el lagrangiano del campo libre (4.1) no depende explícitamente del tiempo \(t\), según el teorema de Noether que vimos en Cap. 3, la energía (hamiltoniano) es una cantidad conservada — es decir, no depende del tiempo. Por eso calcular en \(t = 0\) da el resultado general. El resultado es:
🔵 Kai: El primer término es \(\omega_{\mathbf{p}} \hat{N}_{\mathbf{p}}\), así que es la suma de «número de partículas de cada modo × energía». Eso lo entiendo. ¡Pero el segundo término \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\)! ¿Qué es eso? ¡\(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) es infinito!
🟡 Lina: Bien observado. Este es el problema de la energía del punto cero (zero-point energy). Lo discutiremos en detalle en la siguiente sección.
✅ Verificación de comprensión: Si aplicamos el primer término del hamiltoniano (4.24), \(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\), al estado de 1 partícula \(|\mathbf{q}\rangle\), ¿qué se obtiene?
Respuesta
\(\hat{H}|\mathbf{q}\rangle = \omega_{\mathbf{q}} |\mathbf{q}\rangle\) (ignorando el término de energía del punto cero). Es decir, la energía del estado de 1 partícula con momento \(\mathbf{q}\) es \(\omega_{\mathbf{q}} = \sqrt{|\mathbf{q}|^2 + m^2}\), satisfaciendo la relación energía-momento relativista.
📝 Ejercicios:
- Cálculo de la expansión en modos del hamiltoniano → Problema M-2. Expresión del Hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación
4.8 Energía del punto cero y el problema del vacío¶
🟡 Lina: Miremos otra vez la ecuación (4.24).
Si calculamos la energía del estado de vacío \(|0\rangle\):
🔵 Kai: Esto es doblemente infinito, ¿verdad? \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) es infinito, y la integral de \(\omega_{\mathbf{p}}\) sobre todo el momento también es infinita.
🟡 Lina: Exacto. Hay dos tipos de infinito:
-
La divergencia de \(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\): Esta proviene del infinito del volumen. Si ponemos el sistema en una caja finita \(V\), \(\delta^{(3)}(\mathbf{0}) \to V/(2\pi)^3\), así que la densidad de energía es finita. Es decir, la energía total es infinita simplemente porque el espacio es infinitamente grande.
-
La divergencia de \(\int d^3p\, \omega_{\mathbf{p}}\): Esta es más grave. Para momento \(|\mathbf{p}| \to \infty\), \(\omega_{\mathbf{p}} \to |\mathbf{p}|\), así que los modos de alto momento contribuyen infinitamente. A esto se le llama divergencia ultravioleta (ultraviolet divergence).
🔵 Kai: Que la energía del vacío sea infinita... ¿no es un problema físico?
🟡 Lina: Buena pregunta. Aquí hay dos formas de pensar.
Orden normal — Una prescripción práctica¶
🟡 Lina: La primera forma de pensar es: «en los experimentos normales solo se puede medir la diferencia de energía, así que redefinamos la energía del vacío como cero». La operación matemática que realiza esto es el orden normal (normal ordering). Se denota con el símbolo \(:\!A\!:\).
El orden normal consiste en colocar siempre los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger\) a la izquierda de los operadores de aniquilación \(\hat{a}\). Los términos constantes que surgen de las relaciones de conmutación al reordenar se descartan. Aquí «términos constantes» se refiere a valores numéricos puros que no contienen operadores; en teoría cuántica de campos se llaman c-números (c-numbers). La «c» viene de classical (clásico), y se refiere a números ordinarios como \(1\) o \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) que no son operadores. Por contraste, a los operadores a veces se les llama q-números (q-numbers) (de quantum). ¿Por qué se pueden descartar? Porque, como dije antes, en los experimentos normales solo se mide la diferencia de energía, así que sumar o restar una constante al total no cambia las predicciones físicas. El orden normal equivale a «fijar el punto de referencia de la energía en el vacío».
🔵 Kai: Entiendo, es una operación para establecer el «origen» de la energía en el vacío.
🟡 Lina: Así es. Veámoslo concretamente. De la relación de conmutación (4.13): \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\). En el orden normal, descartamos este \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) (c-número) y nos quedamos solo con la parte donde \(\hat{a}^\dagger\) está a la izquierda.
Aplicando esto al hamiltoniano:
¡El término de energía del punto cero ha desaparecido!
⚪ Mei: Es decir, como \(:\!\hat{H}\!:\, |0\rangle = 0\), hemos definido la energía del vacío como cero.
🔵 Kai: Pero «descartar» la energía del punto cero, ¿no es un poco brusco? ¿De verdad no tiene significado físico?
¿Es realmente insignificante la energía del punto cero?¶
🟡 Lina: En realidad, no se puede afirmar tan tajantemente. La diferencia de energías del punto cero es físicamente observable. El ejemplo más famoso es el efecto Casimir, que calcularemos concretamente al final de este capítulo.
Además, hay otro problema más grave. En relatividad general, el valor absoluto de la energía genera campo gravitatorio. Por eso la energía del vacío afecta a la expansión del universo. La densidad de energía del vacío calculada ingenuamente y el valor estimado a partir de observaciones cosmológicas difieren en ¡\(10^{120}\) veces! Esto se conoce como el problema de la constante cosmológica (cosmological constant problem) y es uno de los mayores problemas no resueltos de la física moderna.
🔵 Kai: ¡¿\(10^{120}\) veces?! Eso es una diferencia descomunal...
🟡 Lina: Por eso el orden normal es una «prescripción práctica para avanzar en los cálculos», y no significa que el problema de la energía del punto cero esté completamente resuelto. Es una de las limitaciones de la teoría cuántica de campos, y volveremos a ella en Cap. 24. En Fig. 4.4「Energía del punto cero y orden normal」 he resumido la operación de orden normal, échale un vistazo.
Fig. 4.4: Energía del punto cero y orden normal. Antes del orden normal existe una energía del punto cero infinita, pero mediante el orden normal (reordenar los operadores de creación a la izquierda) se puede redefinir la energía del vacío como cero.
✅ Verificación de comprensión: Al tomar el orden normal \(:\!\hat{H}\!:\), ¿cuánto vale la energía del vacío? ¿Por qué?
Respuesta
\(\langle 0|:\!\hat{H}\!:|0\rangle = 0\). En el orden normal, el operador de aniquilación queda a la derecha, y al actuar sobre el vacío da \(\hat{a}_{\mathbf{p}}|0\rangle = 0\), resultando en cero. Es decir, se ha redefinido la energía del vacío como cero.
4.9 Operador de momento¶
🟡 Lina: No solo la energía, también el momento se puede expresar en términos de los operadores de creación y aniquilación. En Cap. 3 derivamos el momento como la cantidad conservada correspondiente a la simetría de traslación espacial mediante el teorema de Noether. La componente \(T^{0i}\) del tensor canónico de energía-momento \(T^{\mu\nu}\) da la densidad de momento. Concretamente, \(T^{0i} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\partial^i\phi = \pi\,\partial^i\phi\). Aquí hay que tener cuidado: en la convención de signos de QFT (\(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)), al subir un índice espacial el signo se invierte. Es decir, \(\partial^i = \eta^{i\nu}\partial_\nu = \eta^{ii}\partial_i = (-1)\partial_i = -\partial_i\) (como la métrica es diagonal, solo sobrevive el término \(\nu = i\)). \(\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}\) es la derivada espacial ordinaria (la componente \(i\) de \(\nabla\)), así que \(\partial^i\phi = -(\nabla\phi)_i\). Por lo tanto \(T^{0i} = -\pi\,(\nabla\phi)_i\) y:
El signo negativo viene de que «al subir un índice espacial con la métrica de QFT aparece un menos».
🔵 Kai: El signo negativo viene de la convención de la métrica. ¿Se puede verificar intuitivamente que esto da el momento correcto?
🟡 Lina: Buena pregunta. Comprobemos intuitivamente que el signo es correcto. Consideremos una onda en 1D que se propaga hacia la derecha: \(\phi \propto e^{-i(\omega t - px)} = e^{i(px - \omega t)}\) (\(p > 0\)). Entonces \(\nabla\phi = ip\,\phi\), \(\hat{\pi} = \dot{\phi} = -i\omega\,\phi\), así que \(-\hat{\pi}\,\nabla\hat{\phi} = -(-i\omega)(ip)\,|\phi|^2 = \omega p\,|\phi|^2 > 0\), devolviendo correctamente un momento positivo. Intuitivamente, \(\nabla\hat{\phi}\) representa «cuánto varía el campo espacialmente» y \(\hat{\pi}\) representa «el ímpetu del cambio temporal del campo», así que su producto da «en qué dirección y con cuánto ímpetu se propaga la onda del campo» — es decir, la densidad de momento. Sustituyendo las expansiones en modos (4.11a), (4.12) y tomando el orden normal — con el mismo tipo de cálculo que para el hamiltoniano usando la ortogonalidad de Fourier —:
⚪ Mei: Comparando con el hamiltoniano (4.27), la estructura es idéntica. Solo se ha reemplazado \(\omega_{\mathbf{p}}\) por \(\mathbf{p}\).
🔵 Kai: Entonces parece que se podría escribir en forma de «cuadrimomento» unificando energía y momento.
🟡 Lina: Exacto. Resumido como operador de cuadrimomento:
Aplicándolo al estado de 1 partícula \(|\mathbf{q}\rangle\):
🔵 Kai: El estado de 1 partícula tiene energía \(\omega_{\mathbf{q}}\) y momento \(\mathbf{q}\). ¡Es exactamente una partícula relativista de masa \(m\)! Pero si aplicamos esto al estado de 2 partículas \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\), ¿la energía sería \(\omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2}\)?
🟡 Lina: Exacto. En términos del cuadrimomento completo: \(:\!\hat{P}^\mu\!: |\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = (\omega_{\mathbf{p}_1} + \omega_{\mathbf{p}_2},\, \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2)\,|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle\). Tanto la energía como el momento se suman simplemente — esto refleja que en un campo libre no hay interacción y las partículas se comportan independientemente. En la teoría cuántica de campos, las partículas no son «algo que se añade al campo después», sino que aparecen automáticamente como excitaciones cuánticas del campo. Esta es la realización de la visión del mundo anticipada en Mecánica Cuántica Cap. 27: «los modos de vibración del campo son partículas».
✅ Verificación de comprensión: Si aplicamos el operador de cuadrimomento \(:\!\hat{P}^\mu\!:\) al estado de 1 partícula \(|\mathbf{q}\rangle\), ¿qué se obtiene? ¿Qué significa?
Respuesta
Se obtiene \(:\!\hat{P}^\mu\!: |\mathbf{q}\rangle = (\omega_{\mathbf{q}}, \mathbf{q}) |\mathbf{q}\rangle\). Es decir, el estado de 1 partícula tiene energía \(\omega_{\mathbf{q}} = \sqrt{|\mathbf{q}|^2 + m^2}\) y momento \(\mathbf{q}\), comportándose como una partícula de masa \(m\) que satisface la relación energía-momento relativista. La partícula ha aparecido automáticamente de la cuantización del campo, no fue asumida a mano.
4.10 Campo escalar complejo y aparición de antipartículas¶
🟡 Lina: Hasta ahora hemos cuantizado el campo escalar real, pero en el campo escalar real solo aparece 1 tipo de «partícula». Sin embargo, en la naturaleza, para toda partícula existe su antipartícula. ¿De dónde vienen las antipartículas?
🔵 Kai: En Mecánica Cuántica Cap. 27 se mencionó que las antipartículas fueron predichas a partir de la ecuación de Dirac.
🟡 Lina: Sí. Pero en realidad, con solo cuantizar un campo más simple — el campo escalar complejo (complex scalar field) — las antipartículas emergen naturalmente.
Lagrangiano del campo escalar complejo¶
🟡 Lina: La densidad lagrangiana del campo escalar complejo \(\psi(x)\) se escribe así:
🔵 Kai: Se parece al lagrangiano del campo escalar real (4.1), pero en lugar de \(\phi^2\) hay \(\psi^\dagger \psi\). ¿Por qué \(\psi^\dagger \psi\) y no \(\psi^2\)?
🟡 Lina: Buena pregunta. Como \(\psi\) es un número complejo, \(\psi^2\) es en general complejo. Pero el lagrangiano debe ser real (si la acción \(S = \int d^4x\, \mathcal{L}\) no es real, se rompe la conservación de la probabilidad). \(\psi^\dagger \psi = |\psi|^2\) es siempre real y no negativo, así que es adecuado como término de masa. El término de energía cinética \((\partial_\mu \psi^\dagger)(\partial^\mu \psi)\) tiene la misma estructura de par \(\psi^\dagger\) y \(\psi\) por la misma razón.
⚪ Mei: La condición de realidad del lagrangiano exige la combinación \(\psi^\dagger \psi\).
🟡 Lina: Ahora veamos un poco más la estructura del campo complejo. El campo complejo \(\psi\) se puede escribir usando dos campos escalares reales \(\phi_1, \phi_2\):
Es decir, el campo complejo tiene 2 grados de libertad reales independientes. Mientras el campo escalar real tenía 1 grado de libertad, el campo escalar complejo tiene 2. Este «doble de grados de libertad» es la clave para que aparezcan partículas y antipartículas.
Expansión en modos — Dos tipos de operadores¶
🟡 Lina: En la expansión en modos del campo escalar real (4.11), solo había un tipo de par \(\hat{a}\) y \(\hat{a}^\dagger\). Pero el campo complejo no es hermítico (\(\hat{\psi} \neq \hat{\psi}^\dagger\)), así que se necesitan 2 tipos de operadores independientes.
🟡 Lina: Aquí escribiré en la representación de Heisenberg incluyendo la dependencia temporal. En la ecuación (4.11a) ya apareció la combinación \(e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\), y como esta forma aparece frecuentemente en la teoría cuántica de campos, voy a introducir formalmente aquí la notación compacta usando el producto interno cuadrivectorial \(p \cdot x\). Esta es una notación estándar usada en toda la teoría cuántica de campos, no solo para campos complejos, y la usaremos de aquí en adelante. La ecuación (4.11a) del campo escalar real también se puede escribir compactamente con \(e^{-ip\cdot x}\) y \(e^{ip\cdot x}\) usando esta notación.
🔵 Kai: El producto interno cuadrivectorial es el que usa la métrica \(\eta_{\mu\nu}\) que apareció en Cap. 2, ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. Recordemos que \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\). Para el cuadrimomento \(p^\mu = (\omega_{\mathbf{p}},\, \mathbf{p})\) y las coordenadas cuadrivectoriales \(x^\mu = (t,\, \mathbf{x})\), para calcular el producto interno hay que bajar el índice de uno de ellos. \(p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\nu\) (sumando sobre \(\nu\)); escribiéndolo en componentes, como la métrica es diagonal: para \(\mu = 0\), \(p_0 = \eta_{00} p^0 = (+1) \times \omega_{\mathbf{p}} = \omega_{\mathbf{p}}\) y la componente temporal queda igual. Para las componentes espaciales (\(\mu = 1, 2, 3\)): \(p_i = \eta_{i0}p^0 + \eta_{i1}p^1 + \eta_{i2}p^2 + \eta_{i3}p^3 = 0 + \cdots + (-1)p^i + \cdots = -p^i\) y aparece un signo negativo (como la métrica es diagonal, todos los términos con \(\mu \neq \nu\) son cero). Es decir, \(p_\mu = (\omega_{\mathbf{p}},\, -\mathbf{p})\).
🔵 Kai: Como la componente espacial de la métrica es \(-1\), al bajar el índice la parte espacial lleva un signo menos.
🟡 Lina: Exacto. Por lo tanto, el producto interno cuadrivectorial — que aquí escribimos \(p \cdot x\), y es la abreviación de \(p_\mu x^\mu\) (con suma según la convención de Einstein) — es:
Así, \(e^{-ip\cdot x} = e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) corresponde a una onda de frecuencia positiva (energía positiva), y \(e^{ip\cdot x} = e^{i\omega_{\mathbf{p}} t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) corresponde a una onda de frecuencia negativa.
⚪ Mei: Con esto la parte exponencial se escribe de forma limpia. La ecuación (4.11a) también tenía dos términos \(e^{-ip\cdot x}\) y \(e^{ip\cdot x}\).
🟡 Lina: Sí. Ahora escribamos la expansión en modos del campo complejo.
🔵 Kai: ¡Dos tipos, \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\)! ¿Por qué no basta con solo \(\hat{a}\)? Y además, ¿por qué \(\hat{b}^\dagger\) (operador de creación) se combina con \(e^{ip\cdot x}\) (onda de frecuencia negativa)?
🟡 Lina: Ambas son preguntas centrales. Primero la primera. En el campo escalar real, la hermiticidad \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^\dagger\) hacía que el coeficiente de \(e^{-ip\cdot x}\) (operador de aniquilación) y el de \(e^{ip\cdot x}\) (operador de creación) fueran el par hermítico conjugado del mismo operador. La correspondencia «\(e^{-ip\cdot x}\) con operador de aniquilación» y «\(e^{ip\cdot x}\) con operador de creación» es la convención que confirmamos en la ecuación (4.11a) del campo escalar real — \(e^{-ip\cdot x}\) es la onda de energía positiva que corresponde al término que «quita» una partícula, y \(e^{ip\cdot x}\) al término que «añade» una partícula. Pero el campo complejo \(\hat{\psi}\) no es hermítico, así que el coeficiente de \(e^{-ip\cdot x}\) (operador de aniquilación \(\hat{a}\)) y el de \(e^{ip\cdot x}\) (operador de creación) deben ser de tipo diferente: \(\hat{b}^\dagger\).
Para la segunda pregunta — por qué \(\hat{b}^\dagger\) se combina con \(e^{ip\cdot x}\): \(\hat{b}^\dagger\) es el operador que «crea» una antipartícula. Al crear 1 antipartícula, la energía del sistema aumenta en \(+\omega_{\mathbf{p}}\). Por otro lado, la dependencia temporal de \(e^{ip\cdot x} = e^{i\omega_{\mathbf{p}} t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) es \(e^{+i\omega t}\), y en la representación de Heisenberg «un operador que aumenta la energía en \(\omega\)» lleva \(e^{+i\omega t}\) (la misma razón por la que en el campo escalar real \(\hat{a}^\dagger\) llevaba \(e^{+i\omega t}\)). Por eso \(\hat{b}^\dagger\) y \(e^{ip\cdot x}\) se combinan naturalmente.
⚪ Mei: Es decir, como el campo complejo no es hermítico, un solo tipo de par de operadores no es suficiente y se necesitan 2 tipos independientes.
🟡 Lina: Sí. Más concretamente, en la ecuación (4.32) vimos que \(\psi\) se construye a partir de 2 campos reales \(\phi_1\) y \(\phi_2\). A grandes rasgos, «2 grados de libertad reales → 2 tipos de operadores» es la correspondencia. Aunque estrictamente \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\) no corresponden directamente a \(\phi_1\), \(\phi_2\) de forma simple, sino en una combinación mezclada. Las relaciones de conmutación son:
Todos los demás conmutadores (\([\hat{a}, \hat{b}]\), \([\hat{a}, \hat{b}^\dagger]\), etc.) son cero. Los tipos \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\) son completamente independientes.
Hamiltoniano y partícula/antipartícula¶
🟡 Lina: El hamiltoniano con orden normal es:
🔵 Kai: ¡La energía de las partículas \(\hat{a}\) y de las partículas \(\hat{b}\) es \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\), con la misma masa \(m\)!
🟡 Lina: Sí. A la partícula creada por \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) la llamamos «partícula» y a la creada por \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) la llamamos «antipartícula». Partícula y antipartícula tienen la misma masa, pero el signo de la carga conservada es opuesto.
Simetría \(U(1)\) y carga conservada¶
🟡 Lina: El lagrangiano del campo escalar complejo (4.31) tiene una simetría que no existía en el campo escalar real. Bajo la transformación de fase:
el lagrangiano es invariante. Como \(\alpha\) es una constante, pasa a través de las derivadas, y como \(e^{-i\alpha} \cdot e^{i\alpha} = 1\), \(\psi^\dagger \psi\) también es invariante. A esta transformación de «multiplicar por una fase constante \(e^{i\alpha}\)» se le llama transformación \(U(1)\). \(U(1)\) es el conjunto de «todos los números complejos de módulo 1», que es exactamente \(e^{i\alpha}\) (\(\alpha\) cualquier número real). La «\(U\)» viene de unitary (unitario) y significa «transformación que preserva el módulo»; el «\(1\)» significa «número complejo unidimensional».
⚪ Mei: Esta es una simetría continua. Como \(\alpha\) se puede variar continuamente.
🟡 Lina: Sí. Y si hay una simetría continua, se puede usar el teorema de Noether que aprendimos en Cap. 3. Según el teorema de Noether, a cada simetría continua le corresponde una cantidad conservada. Calculando la carga conservada correspondiente a esta simetría \(U(1)\) (la derivación concreta se confirma en el problema Problema M-4. Cuantización del campo escalar complejo y partículas/antipartículas):
🔵 Kai: ¡El número de partículas menos el número de antipartículas! Entonces si una partícula y una antipartícula se aniquilan mutuamente, \(Q\) no cambia — \(+1\) y \(-1\) desaparecen y el balance es cero. ¿Pero si solo se crea una partícula, \(Q\) debería cambiar? ¿Eso no está permitido?
🟡 Lina: Buena pregunta. Como \(Q\) es una cantidad conservada, no está permitido que se cree una partícula sola. Siempre deben crearse y aniquilarse en pares de partícula y antipartícula. Este es el significado físico de la «carga conservada». Y el campo escalar real tiene \(\phi = \phi^\dagger\), por lo que no tiene simetría \(U(1)\) y no se define una carga conservada (o si se escribe formalmente, es cero). Es decir, la partícula del campo escalar real «es su propia antipartícula». En cambio, el campo escalar complejo tiene \(\psi \neq \psi^\dagger\), lo que da lugar a la simetría \(U(1)\), y partícula y antipartícula se distinguen por el signo de la carga. Resumamos las diferencias entre el campo escalar real y complejo en una tabla.
Tabla 4.5: Comparación entre campo escalar real y complejo
| Campo escalar real \(\phi\) | Campo escalar complejo \(\psi\) | |
|---|---|---|
| Hermiticidad | \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^\dagger\) | \(\hat{\psi} \neq \hat{\psi}^\dagger\) |
| Tipos de operadores | Solo \(\hat{a}\) | \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\) |
| Tipos de partículas | 1 tipo (partícula = antipartícula) | 2 tipos (partícula y antipartícula) |
| Simetría \(U(1)\) | No | Sí |
| Carga conservada | \(Q = 0\) | \(Q = N_a - N_b\) |
⚪ Mei: El contraste es muy claro. Mirando la tabla, se ve cómo las diferencias nacen en cascada a partir de la presencia o ausencia de hermiticidad.
Conjugación de carga¶
🟡 Lina: La operación de intercambiar partícula y antipartícula se llama conjugación de carga (charge conjugation). Se denota con el símbolo \(C\).
El hamiltoniano (4.36) es simétrico respecto a \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\), por lo que es invariante bajo \(C\). Pero la carga conservada (4.38):
cambia de signo.
🔵 Kai: Al intercambiar partícula y antipartícula, solo cambia el signo de la carga. La masa y la energía son iguales.
🟡 Lina: He resumido la estructura completa en Fig. 4.5「Campo escalar complejo y aparición de antipartículas」. Esto es una consecuencia del teorema CPT — el teorema que dice que al realizar simultáneamente las tres operaciones de conjugación de carga (C), inversión espacial (P) e inversión temporal (T), las leyes físicas son necesariamente invariantes. De este teorema se deduce que partícula y antipartícula tienen necesariamente la misma masa. Esto se ha confirmado experimentalmente con extrema precisión. La discusión detallada del teorema CPT se tratará en Cap. 10.
Fig. 4.5: Campo escalar complejo y aparición de antipartículas. De la cuantización del campo escalar complejo emergen naturalmente la partícula (\(\hat{a}^\dagger\)) y la antipartícula (\(\hat{b}^\dagger\)). La simetría \(U(1)\) genera la carga conservada, y bajo la conjugación de carga \(C\) se intercambian partícula y antipartícula.
✅ Verificación de comprensión: Bajo la conjugación de carga \(C\), ¿cómo se transforman respectivamente el hamiltoniano (4.36) y la carga conservada \(\hat{Q}\) (4.38)?
Respuesta
El hamiltoniano es simétrico respecto a \(\hat{a}\) y \(\hat{b}\), por lo que es invariante bajo \(C\). En cambio, la carga conservada cambia de signo: \(\hat{Q} \to -\hat{Q}\). Esto significa que al intercambiar partícula y antipartícula, la masa y la energía no cambian, pero solo se invierte el signo de la carga.
✅ Verificación de comprensión: En la cuantización del campo escalar complejo, ¿por qué se necesitan 2 tipos de operadores de creación/aniquilación (\(\hat{a}\), \(\hat{b}\))? Explícalo en una frase.
Respuesta
Como el campo complejo \(\hat{\psi}\) no es hermítico (\(\hat{\psi} \neq \hat{\psi}^\dagger\)), es necesario asignar operadores independientes a la parte de frecuencia positiva y a la de frecuencia negativa, y cada uno se encarga de la creación/aniquilación de partículas y antipartículas respectivamente.
📝 Ejercicios:
- Derivación de la carga conservada del campo escalar complejo → Problema M-4. Cuantización del campo escalar complejo y partículas/antipartículas
4.11 Efecto Casimir — La energía del punto cero realmente existe¶
🟡 Lina: Antes dije que «descartamos la energía del punto cero con el orden normal», pero la diferencia de energías del punto cero es físicamente observable. La evidencia más directa es el efecto Casimir. Fue predicho en 1948 por Hendrik Casimir y posteriormente confirmado experimentalmente.
🔵 Kai: ¿La energía del punto cero se puede observar? ¿Cómo?
Configuración: Dos placas metálicas paralelas¶
🟡 Lina: Mira la configuración ilustrada en Fig. 4.6「Configuración del efecto Casimir」. Consideremos dos placas metálicas de conductor perfecto colocadas paralelamente a una distancia \(d\) en el vacío.
Fig. 4.6: Configuración del efecto Casimir. Entre las placas metálicas, las condiciones de contorno solo permiten modos discretos (\(k_n = n\pi/d\)). Fuera existen modos continuos. La diferencia de densidad de energía del punto cero entre el interior y el exterior se manifiesta como una fuerza que atrae las placas (fuerza de Casimir).
Entre las placas, las condiciones de contorno imponen restricciones a los modos de vibración del campo. Como el campo debe ser cero en la superficie del conductor (debe haber un «nodo» de la onda), solo se permiten números de onda discretos. Es exactamente como en las vibraciones de una cuerda con ambos extremos fijos, donde solo se permiten longitudes de onda que sean fracciones enteras de la longitud de la cuerda.
Fuera de las placas metálicas, el número de onda es continuo.
⚪ Mei: Como los modos permitidos están restringidos entre las placas, la densidad de energía del punto cero difiere entre el interior y el exterior.
🟡 Lina: Exactamente. La diferencia de energía del punto cero ejerce una fuerza sobre las placas metálicas.
Cálculo en 1 dimensión¶
🟡 Lina: Para ver la esencia, calculemos primero con un campo escalar de masa cero en 1 dimensión. Lo que Casimir consideró originalmente fue el campo electromagnético (campo de fotones), pero la física esencial reside en la diferencia de energía del punto cero de un campo sin masa, así que aquí discutimos con un campo escalar con \(m = 0\) (en el caso 3D del campo electromagnético hay un factor 2 adicional por los grados de libertad de polarización, pero la dependencia en \(d\) es la misma). Con \(m = 0\), \(\omega_n = \sqrt{k_n^2 + m^2} = k_n = n\pi/d\) se simplifica. La energía del punto cero entre las placas es:
🔵 Kai: \(\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \cdots\) diverge, ¿verdad?
🟡 Lina: Sí. Pero aquí hacemos un razonamiento físico. El cálculo que sigue es algo largo, pero déjame decir primero el objetivo. Al restar la energía del punto cero sin placas (integral continua) de la energía del punto cero con placas (suma discreta), las partes divergentes se cancelan y solo queda un valor finito — encontrar ese valor finito es el propósito de este cálculo.
En realidad, las placas metálicas se vuelven transparentes para ondas electromagnéticas de longitud de onda muy corta (energía muy alta). Por eso los modos de alta frecuencia no se ven afectados por las condiciones de contorno. Para implementar esto matemáticamente, usamos una técnica llamada regularización.
Concretamente, introducimos un factor de amortiguamiento exponencial \(e^{-\epsilon n}\) (\(\epsilon > 0\) es un número positivo pequeño):
🔵 Kai: Un momento. ¿Por qué se elige la forma \(e^{-\epsilon n}\)? ¿Se obtendría el mismo resultado con un factor de amortiguamiento diferente?
🟡 Lina: Buena pregunta. En realidad, cualquier función que suprima los \(n\) altos da el mismo valor para la parte física finita (el término \(-1/12\)). Por ejemplo, con \(e^{-\epsilon n^2}\), o con un corte que trunca cuando \(n\) supera cierto valor \(N\), la forma de la parte divergente cambia, pero la parte finita no. Este es el núcleo de la regularización — el resultado físico no depende del método de regularización. En el problema Problema A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión se confirma que con otro método (regularización por función zeta) también se obtiene el mismo \(-1/12\). Aquí usamos \(e^{-\epsilon n}\) porque la fórmula de la serie geométrica permite un cálculo sencillo.
🔵 Kai: Entiendo, se elige por conveniencia del cálculo y la respuesta física no depende del método.
🟡 Lina: Exacto. Esta suma se puede calcular. Derivando respecto a \(x\) la suma de la serie geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) (\(|x| < 1\)): \(\sum_{n=1}^{\infty} n\, x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\); multiplicando ambos lados por \(x\):
Para \(\epsilon > 0\), \(x = e^{-\epsilon} < 1\) así que esta fórmula es aplicable. Desarrollemos con \(x = e^{-\epsilon}\).
⚪ Mei: Una fórmula obtenida derivando la serie geométrica.
🟡 Lina: Sí. El objetivo es separar «la parte que diverge cuando \(\epsilon \to 0\)» de «la parte finita independiente de \(\epsilon\)». Hagamos la expansión de Taylor paso a paso. Como \(e^{-\epsilon} \approx 1 - \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} - \frac{\epsilon^3}{6} + \cdots\), el denominador es:
Por lo tanto:
🔵 Kai: Déjame organizar. Lo que queremos hacer es expandir \(\sum n\,e^{-\epsilon n} = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\) en potencias de \(\epsilon\) para separar la parte divergente de la finita, ¿verdad?
🟡 Lina: Exacto. «Expandir \(\frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2}\) en potencias de \(\epsilon\) y separar \(\epsilon^{-2}\) (término divergente) y \(\epsilon^0\) (término finito)» es el objetivo. Usando \((1-u)^{-2} \approx 1 + 2u + 3u^2 + \cdots\) (de \(\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots\) (válido para \(|u| < 1\)), derivando ambos lados respecto a \(u\): \(\frac{1}{(1-u)^2} = 1 + 2u + 3u^2 + \cdots\). Aquí \(u \approx \epsilon/2\) y \(\epsilon\) es pequeño, así que \(|u| < 1\) se cumple) con \(u = \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{6} + \cdots\):
🔵 Kai: Aquí \(u\) es de primer orden en \(\epsilon\), así que \(u^2\) solo contribuye desde orden \(\epsilon^2\) en adelante.
🟡 Lina: Exacto. En la fórmula anterior escribimos \(1 - e^{-\epsilon} \approx \epsilon\left(1 - \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon^2}{6} - \cdots\right)\). Definiendo \(u \equiv \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{6} + \cdots\), se puede escribir \(1 - e^{-\epsilon} = \epsilon(1 - u)\). Por lo tanto \(\frac{1}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} \cdot \frac{1}{(1 - u)^2}\). Sustituyendo \(u = \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{6} + \cdots\) en \(\frac{1}{(1-u)^2} = 1 + 2u + 3u^2 + \cdots\): el término de orden \(\epsilon^0\) es \(1\), el de orden \(\epsilon^1\) es \(2 \times \frac{1}{2} = 1\), el de orden \(\epsilon^2\) es \(2 \times (-\frac{1}{6}) + 3 \times (\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{5}{12}\). Es decir, \(\frac{1}{(1-u)^2} \approx 1 + \epsilon + \frac{5}{12}\epsilon^2 + \cdots\), por lo que:
Ahora multiplicamos por el numerador \(e^{-\epsilon} \approx 1 - \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} - \cdots\). Es decir, expandimos \(\frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} \approx \frac{1}{\epsilon^2} \times (1 - \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} - \cdots)(1 + \epsilon + \frac{5\epsilon^2}{12} + \cdots)\). Como todo está multiplicado por \(\frac{1}{\epsilon^2}\), solo hay que organizar el producto de los dos paréntesis por potencias de \(\epsilon\) — es la misma técnica de «expansión de polinomios» que se aprende en la escuela.
Término de orden \(\epsilon^0\) (= contribución \(\epsilon^{-2}\) en total): \(1 \times 1 = 1\) → en total \(\frac{1}{\epsilon^2}\)
Término de orden \(\epsilon^1\) (= contribución \(\epsilon^{-1}\) en total): \(1 \times \epsilon + (-\epsilon) \times 1 = \epsilon - \epsilon = 0\) → se cancela
🔵 Kai: ¡Vaya, el término \(\epsilon^{-1}\) se cancela exactamente!
🟡 Lina: Sí, no es casualidad sino que se debe a una simetría de esta función. El término de orden \(\epsilon^2\) (= contribución \(\epsilon^0\) en total): reunimos 3 combinaciones.
- \(1 \times \frac{5\epsilon^2}{12} = \frac{5\epsilon^2}{12}\)
- \((-\epsilon) \times \epsilon = -\epsilon^2\)
- \(\frac{\epsilon^2}{2} \times 1 = \frac{\epsilon^2}{2}\)
Sumando: \(\left(\frac{5}{12} - 1 + \frac{1}{2}\right)\epsilon^2 = \left(\frac{5}{12} - \frac{12}{12} + \frac{6}{12}\right)\epsilon^2 = -\frac{1}{12}\epsilon^2\). Multiplicando por el \(\frac{1}{\epsilon^2}\) global: \(-\frac{1}{12}\). En resumen:
Hemos obtenido el resultado de la ecuación (4.43) con la expansión hasta aquí. Lo importante es que la parte divergente \(1/\epsilon^2\) y la parte finita \(-1/12\) se separan limpiamente. (En el problema Problema A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión se confirma el mismo cálculo con otro método de regularización (regularización por función zeta), y se extiende a 3 dimensiones.)
⚪ Mei: La parte divergente y la parte finita se han separado completamente por potencias de \(\epsilon\).
🟡 Lina: Pero el término divergente corresponde a la «energía del punto cero del espacio libre» que existiría incluso sin las placas metálicas. Piénsalo — incluso en el espacio infinito sin placas, cada modo tiene energía del punto cero \(\frac{1}{2}\omega\), y al sumar todos los modos también diverge igual. Lo que cambia al introducir las placas es que los modos permitidos se discretizan y algunos modos se «pierden». Por eso, al tomar la diferencia entre la energía del punto cero con placas y sin placas, la divergencia \(1/\epsilon^2\) común a ambos se cancela y solo queda la parte finita \(-1/12\) — que es el efecto de las condiciones de contorno.
🔵 Kai: Más concretamente: ¿si calculamos con la misma regularización la energía del punto cero sin placas, también contiene el término \(1/\epsilon^2\) pero no la parte \(-1/12\), y por eso al restar solo queda \(-1/12\)?
🟡 Lina: Esa comprensión es correcta. Más precisamente, sin placas los modos son continuos, así que la energía del punto cero es una integral \(\int dk\, \frac{1}{2}\omega_k\) en lugar de una suma. Si calculamos esta integral con la misma regularización, aparece una divergencia independiente de \(d\) (correspondiente a la parte \(1/\epsilon^2\)), pero no aparece una corrección finita como \(-1/12\) que es propia de la suma discreta. ¿Por qué? Porque \(-1/12\) surge del «error al aproximar la suma discreta \(\sum_{n=1}^\infty n\) por la integral continua correspondiente \(\int_0^\infty n\,dn\)». La integral \(\int_0^\infty n\,dn\) en sí diverge, pero la diferencia entre la suma y la integral, \(\sum n - \int n\,dn\), es finita, y su valor es exactamente \(-1/12\) (esto es un resultado matemático conocido como la fórmula de Euler-Maclaurin). Sin placas, desde el principio tenemos una integral, así que esta «diferencia entre suma e integral» no existe. Es decir, la energía de Casimir se define como la diferencia entre «la energía del punto cero con placas (suma discreta)» menos «la energía del punto cero sin placas (integral continua)», y esa diferencia corresponde a \(-1/12\). Multiplicando por el coeficiente \(\frac{\pi}{2d}\) de la ecuación (4.42):
🔵 Kai: ¡Negativa! Al hacer \(d\) más pequeño la energía disminuye (se hace más negativa), ¿así que hay una fuerza que tiende a acercar las placas?
🟡 Lina: Exacto. En la física del instituto aprendiste que «la fuerza conservativa es menos la derivada de la energía potencial respecto a la posición». Por la misma lógica, la fuerza al cambiar la separación entre placas viene dada por \(F = -\frac{\partial E_{\text{Casimir}}}{\partial d}\). Como tomamos la dirección de \(d\) creciente como positiva, \(F < 0\) significa una fuerza que acerca las placas — es decir, atractiva.
⚪ Mei: La divergencia desaparece y solo queda una fuerza finita que depende de \(d\) — esa es la esencia de la fuerza de Casimir.
Resultado en 3 dimensiones¶
🟡 Lina: En el espacio real tridimensional, el momento paralelo a las placas \(\mathbf{p}_\parallel = (p_y, p_z)\) es continuo, y solo el número de onda perpendicular a las placas se discretiza en \(k_n = n\pi/d\). Es decir, para cada modo discreto \(n\), ondas de cualquier momento pueden propagarse en la dirección paralela a las placas. La energía del punto cero total contiene tanto la integral sobre \(\mathbf{p}_\parallel\) como la suma sobre \(n\), haciendo el cálculo más complejo que en el caso unidimensional. Como la energía de cada modo es \(\omega = \sqrt{k_n^2 + |\mathbf{p}_\parallel|^2}\), la integral sobre \(\mathbf{p}_\parallel\) genera una dependencia adicional en la dimensionalidad.
🔵 Kai: Solo la dirección perpendicular a las placas se discretiza, y en la dirección paralela las ondas pueden propagarse libremente.
🟡 Lina: Sí. A grandes rasgos, en 1D solo había la suma sobre modos discretos, pero en 3D para cada modo discreto \(n\) hay que integrar sobre todos los momentos \(\mathbf{p}_\parallel\) paralelos a las placas. Esta integral bidimensional adicional cambia la potencia de \(d\) — por análisis dimensional, en 1D la energía es \(\propto 1/d\) así que la fuerza es \(\propto 1/d^2\), pero en 3D la integral sobre la dirección paralela genera un \(1/d^2\) adicional, dando una fuerza por unidad de área \(\propto 1/d^4\). El factor numérico también cambia de \(-1/12\) a \(\pi^2/720\). La derivación detallada se deja como problema (tarea avanzada de Problema A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión), pero el resultado es:
Esta es la expresión en unidades naturales (\(\hbar = c = 1\)). Para comparar con valores experimentales, restauramos \(\hbar\) y \(c\) (en unidades naturales \([F/A] = [\text{longitud}]^{-4}\), y en unidades SI \([F/A] = [\text{energía}] \cdot [\text{longitud}]^{-4}\), así que multiplicando por un \(\hbar c\) (cuyas dimensiones son \([\text{energía}] \cdot [\text{longitud}]\)) las dimensiones cuadran):
🔵 Kai: Es inversamente proporcional a \(d^4\), así que cuanto menor sea la separación entre placas, más fuerte es la fuerza. ¿Concretamente, de qué magnitud estamos hablando?
🟡 Lina: Para \(d = 1\,\mu\mathrm{m}\), \(F/A \approx 1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N/m^2}\). Es muy pequeña, pero medible.
🟡 Lina: Resumamos los resultados en 1D y 3D en una tabla.
Tabla 4.6: Resumen del efecto Casimir
| 1 dimensión (\(\hbar = c = 1\)) | 3 dimensiones (realidad) | |
|---|---|---|
| Fuerza de Casimir | \(F = -\dfrac{\pi}{24d^2}\) | \(F/A = -\dfrac{\pi^2\hbar c}{240\,d^4}\) |
| Dependencia con la distancia | \(\propto d^{-2}\) | \(\propto d^{-4}\) |
| Dirección de la fuerza | Atractiva (acerca las placas) | Atractiva (acerca las placas) |
⚪ Mei: En 1D es \(d^{-2}\) y en 3D es \(d^{-4}\); a mayor dimensión, la dependencia con la distancia se hace más abrupta.
Verificación experimental¶
🟡 Lina: El efecto Casimir fue medido con precisión por primera vez en 1997 por Steve Lamoreaux. Midió la fuerza entre una placa metálica y una esfera metálica, confirmando la coincidencia con la predicción teórica dentro del 5%. Experimentos posteriores han confirmado el acuerdo con precisión mejor que el 1%.
🔵 Kai: La energía del punto cero realmente existe y genera una fuerza física. Increíble...
⚪ Mei: Es decir, el hecho de «descartar» la energía del punto cero con el orden normal es solo una conveniencia de cálculo, y la diferencia de energías del punto cero es una cantidad física real.
🟡 Lina: Exacto. El efecto Casimir es un hermoso ejemplo de predicción de la teoría cuántica de campos que coincide con el experimento. Y al mismo tiempo, muestra que el concepto de energía del vacío no es un mero artefacto matemático, sino que tiene realidad física.
✅ Verificación de comprensión: En la fórmula de la fuerza del efecto Casimir en 3D, \(F/A = -\pi^2 \hbar c / (240\, d^4)\), ¿cómo cambia la fuerza si se reduce la separación \(d\) a la mitad?
Respuesta
Como la fuerza es inversamente proporcional a \(d^4\), al reducir \(d\) a la mitad la fuerza aumenta \(2^4 = 16\) veces. La fuerza de Casimir tiene la propiedad de volverse rápidamente más intensa a distancias muy cortas, y se hace medible en escalas del orden del micrómetro o menores.
✅ Verificación de comprensión: Explica la razón física por la que el efecto Casimir es «atractivo», desde el punto de vista de la energía del punto cero.
Respuesta
Entre las placas metálicas, las condiciones de contorno restringen los modos de vibración permitidos (los modos de longitud de onda larga no caben). Por eso la densidad de energía del punto cero entre las placas es menor que fuera. Esta diferencia de energía interior/exterior se manifiesta como una fuerza en la dirección de acercar las placas (atractiva). Al estrechar la separación, se restringen aún más modos y la energía disminuye, así que el sistema tiende hacia la dirección de menor energía — es decir, hacia donde las placas se acercan.
📝 Ejercicios:
- Cálculo de regularización de la energía de Casimir en 1D → Problema A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión
4.12 Resumen de este capítulo¶
🟡 Lina: Repasemos el contenido de hoy.
⚪ Mei: Lo organizo:
-
Cuantización canónica: Promovimos el campo clásico \(\phi\) y el momento conjugado \(\pi\) a operadores e impusimos la relación de conmutación a tiempos iguales \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\).
-
Expansión de Fourier y osciladores armónicos: Al transformar con Fourier el campo de Klein-Gordon, cada modo de momento se convierte en un oscilador armónico independiente. Introdujimos operadores de creación y aniquilación \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\), \(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) para cada modo.
-
Espacio de Fock e imagen de partículas: Construimos estados de partículas aplicando operadores de creación al vacío \(|0\rangle\). La estadística de Bose-Einstein se derivó automáticamente de las relaciones de conmutación.
🔵 Kai: Y los puntos clave de la segunda mitad son:
- Energía del punto cero: En el hamiltoniano aparece una energía del punto cero infinita. Se trata prácticamente con el orden normal, pero la diferencia de energías del punto cero es observable como efecto Casimir. Fue impactante que algo que supuestamente «descartamos» se pueda medir como fuerza. Pero dicho al revés, lo que se puede descartar con el orden normal es solo «la parte que no afecta a las diferencias», y no todo se puede descartar sin más, ¿verdad?
🟡 Lina: Exactamente, observación muy aguda. El orden normal es la operación de «fijar el punto de referencia en cero», pero las diferencias respecto a ese punto de referencia tienen significado físico. El efecto Casimir es precisamente un ejemplo donde esa diferencia se manifiesta como fuerza. Y como muestra el problema de la constante cosmológica, cuando se considera la gravedad, el punto de referencia mismo adquiere significado — ese es un problema profundo no resuelto.
⚪ Mei: Y el 5.º punto es:
-
Campo escalar complejo y antipartículas: En la cuantización del campo complejo aparecen 2 tipos de operadores \(\hat{a}\), \(\hat{b}\), y partículas y antipartículas emergen naturalmente. La simetría \(U(1)\) genera la carga conservada, y bajo la conjugación de carga se intercambian partícula y antipartícula.
-
Efecto Casimir: La diferencia de energías del punto cero es físicamente observable. Como los modos permitidos se restringen entre placas metálicas, surge una fuerza que las atrae. Esto es evidencia directa de que la energía del punto cero no es un mero artefacto matemático sino que tiene realidad física.
⚪ Mei: Si resumo todo en una frase, el corazón de la teoría cuántica de campos es «las excitaciones del campo son partículas». Sin introducir partículas a mano, con solo cuantizar el campo aparecen partículas. Y si hacemos el campo complejo, hasta las antipartículas emergen. Además, la energía del punto cero como subproducto de la cuantización se puede observar como efecto Casimir — tal como nos mostró Lina.
🟡 Lina: En el próximo capítulo aplicaremos el mismo procedimiento de cuantización canónica al campo de Dirac — el campo de los fermiones de espín 1/2. Allí, en lugar de relaciones de conmutación aparecerán relaciones de anticonmutación, y la estadística de Fermi-Dirac se derivará automáticamente. El contraste con el campo escalar será muy vívido.
Avance del próximo capítulo¶
Cap. 5 Cuantización del campo de Dirac — Relaciones de anticonmutación de los fermiones
Al cuantizar un campo de espín 1/2, es necesario imponer relaciones de anticonmutación \(\{\hat{\psi}, \hat{\psi}^\dagger\} = \delta^{(3)}\) en lugar de relaciones de conmutación. ¿Por qué? ¿Y cómo se deriva de ahí el principio de exclusión de Pauli? A través del vívido contraste con el campo escalar, revelaremos la profunda relación entre espín y estadística.
Referencias¶
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) Capítulo 12 «The canonical quantization of fields»
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) Capítulo 13 «Fields with more than one component»
- Quantum Field Theory (David Tong, Cambridge lecture notes) Capítulo 2 «Classical Field Theory»・Capítulo 3 «Canonical Quantization»
- 場の量子論——不変性と自由場を中心にして（場 上） Capítulo 10 «正準量子化の方法»・Capítulo 11 «スカラー場の量子化»
- Quantum Field Theory and the Standard Model (Schwartz) Capítulo 2 «Lorentz invariance and second quantization»
Problemas¶
📝 Ejercicios:
- Derivación de las relaciones de conmutación a tiempos iguales → Problema M-1. Derivación de las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación a partir de las relaciones de conmutación a tiempos iguales
- Cálculo de la expansión en modos del hamiltoniano → Problema M-2. Expresión del Hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación
- Derivación de la carga conservada del campo escalar complejo → Problema M-4. Cuantización del campo escalar complejo y partículas/antipartículas
- Cálculo de regularización de la energía de Casimir en 1D → Problema A-1. Cálculo cuantitativo del efecto Casimir en 1 dimensión
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